Нека да преминем към разглеждане на приложенията на интегралното смятане. В този урок ще разгледаме типичния и най-често срещан проблем за изчисляване на площта на равнинна фигура с помощта на определен интеграл. Нека най-после всички, които търсят смисъл във висшата математика, да го намерят. Никога не знаеш. Ще трябва да го доближим в живота селска вилаелементарни функции и намиране на нейната площ с помощта на определен интеграл.

За да усвоите успешно материала, трябва:

1) Разберете неопределен интегралпоне на средно ниво. Така че манекените първо трябва да се запознаят с урока на Той.

2) Да може да прилага формулата на Нютон-Лайбниц и да пресмята определен интеграл. Настройте топло приятелски отношенияс определени интеграли можете да намерите на страницата Определен интеграл. Примери за решения. Следователно задачата „изчисляване на площта с помощта на определен интеграл“ винаги включва изграждане на чертеж актуален въпросВашите знания и умения в рисуването също ще бъдат там. Като минимум трябва да можете да конструирате права линия, парабола и хипербола.

Да започнем с извит трапец. Извит трапец е плоска фигура, ограничена от графиката на някаква функция г = f(х), ос ОХи линии х = а; х = b.

Площта на криволинейния трапец е числено равна на определен интеграл

Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение. В урока Определен интеграл. Примери за решения казахме, че определен интеграл е число. И сега е време да заявя още един полезен факт. От гледна точка на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩ. Тоест определен интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на определена фигура. Разгледайте определения интеграл

Интегранд

определя крива на равнината (може да бъде начертана, ако желаете), а самият определен интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.

Пример 1

, , , .

Това е типично изявление за присвояване. Най-важният момент в решението е изграждането на чертежа. Освен това чертежът трябва да бъде конструиран ПРАВИЛНО.

При конструирането на чертеж препоръчвам следния ред: първо е по-добре да се изградят всички прави линии (ако има такива) и едва след това - параболи, хиперболи и графики на други функции. Техниката за конструиране точка по точка може да бъде намерена в референтния материал Графики и свойства елементарни функции. Там можете да намерите и много полезен материал за нашия урок - как бързо да построим парабола.

В този проблем решението може да изглежда така.

Нека направим чертежа (обърнете внимание, че уравнението г= 0 определя оста ОХ):

Няма да засенчваме извития трапец, тук е очевидно за каква област говорим. Решението продължава така:

На сегмента [-2; 1] функционална графика г = х 2 + 2 разположени над оста ОХ, Ето защо:

Отговор: .

Който има затруднения с изчисляването на определения интеграл и прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц

,

Обърнете се към лекцията Определен интеграл. Примери за решения. След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай ние броим броя на клетките в чертежа „на око“ - добре, ще има около 9, което изглежда е вярно. Напълно ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, то явно някъде е допусната грешка - 20 клетки явно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът е отрицателен, значи и задачата е решена неправилно.

Пример 2

Изчислете площта на фигурата, ограничени от линии xy = 4, х = 2, х= 4 и ос ОХ.

Това е пример, който можете да решите сами. Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Какво да направите, ако под оста се намира извит трапец ОХ?

Пример 3

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии г = д-х, х= 1 и координатни оси.

Решение: Да направим чертеж:

Ако извит трапец е напълно разположен под оста ОХ, то неговата площ може да се намери с помощта на формулата:

В такъв случай:

.

внимание! Не бива да се бъркат двата вида задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите просто определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да е отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що обсъдената формула.

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и следователно от най-простите училищни задачи преминаваме към по-смислени примери.

Пример 4

Намерете площта на равнинна фигура, ограничена от линии г = 2х – х 2 , г = -х.

Решение: Първо трябва да направите чертеж. Когато конструираме чертеж в задачи с площи, ние се интересуваме най-много от точките на пресичане на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата г = 2х – х 2 и прав г = -х. Това може да стане по два начина. Първият метод е аналитичен. Решаваме уравнението:

Това означава, че долната граница на интеграция а= 0, горна граница на интегриране b= 3. Често е по-изгодно и по-бързо да се конструират линии точка по точка и границите на интеграцията стават ясни „сами по себе си“. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на граници все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или подробната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). Нека се върнем към нашата задача: по-рационално е първо да построим права линия и едва след това парабола. Да направим чертежа:

Нека повторим, че при поточковото конструиране границите на интегриране най-често се определят „автоматично“.

А сега работната формула:

Ако на сегмента [ а; b] някаква непрекъсната функция f(х) е по-голямо или равно на някои непрекъсната функция ж(х), тогава площта на съответната фигура може да се намери по формулата:

Тук вече не е нужно да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста, а важното е коя графика е ПО-ВИСОКО (спрямо друга графика) и коя е ПО-ДОЛУ.

В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно от 2 х – х 2 трябва да се извади – х.

Завършеното решение може да изглежда така:

Желаната фигура е ограничена от парабола г = 2х – х 2 отгоре и прави г = -хПо-долу.

На сегмент 2 х – х 2 ≥ -х. Съгласно съответната формула:

Отговор: .

Всъщност училищната формула за площта на криволинейния трапец в долната полуравнина (виж пример № 3) е специален случайформули

.

Тъй като оста ОХдадено от уравнението г= 0, и графиката на функцията ж(х), разположен под оста ОХ, Че

.

А сега няколко примера за вашето собствено решение

Пример 5

Пример 6

Намерете площта на фигура, ограничена от линии

При решаване на задачи, включващи изчисляване на площ с помощта на определен интеграл, понякога се случва забавна случка. Чертежът беше завършен правилно, изчисленията бяха правилни, но поради невнимание ... беше намерена площта на грешната фигура.

Пример 7

Първо нека направим чертеж:

Фигурата, чиято площ трябва да намерим, е оцветена в синьо (погледнете внимателно условието - колко е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, хората често решават, че трябва да намерят областта на фигурата, която е оцветена в зелено!

Този пример също е полезен, защото изчислява площта на фигура с помощта на два определени интеграла. Наистина ли:

1) На отсечката [-1; 1] над оста ОХграфиката е разположена права г = х+1;

2) На сегмент над оста ОХсе намира графиката на хипербола г = (2/х).

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да бъдат добавени, следователно:

Отговор:

Пример 8

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии

Нека представим уравненията в "училищна" форма

и направете чертеж точка по точка:

От чертежа става ясно, че нашата горна граница е „добра“: b = 1.

Но каква е долната граница?! Ясно е, че това не е цяло число, но какво е?

Може би, а=(-1/3)? Но къде е гаранцията, че чертежът е направен с перфектна точност, може и да се окаже, че а=(-1/4). Ами ако построим графиката неправилно?

В такива случаи трябва да отделите допълнително време и да изясните аналитично границите на интеграцията.

Нека намерим пресечните точки на графиките

За да направим това, решаваме уравнението:

.

следователно а=(-1/3).

По-нататъшното решение е тривиално. Основното нещо е да не се бъркате в заместванията и знаците. Изчисленията тук не са от най-простите. На сегмента

, ,

по съответната формула:

Отговор:

За да завършим урока, нека разгледаме още две трудни задачи.

Пример 9

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии

Решение: Нека изобразим тази фигура на чертежа.

За да нарисувате чертеж точка по точка, трябва да знаете външен видсинусоиди. Като цяло е полезно да знаете графиките на всички елементарни функции, както и някои синусови стойности. Те могат да бъдат намерени в таблицата със стойности тригонометрични функции. В някои случаи (например в този случай) е възможно да се изгради схематичен чертеж, на който графиките и границите на интегриране трябва да бъдат принципно правилно показани.

Тук няма проблеми с границите на интеграция, те следват директно от условието:

– „x“ се променя от нула на „pi“. Нека вземем още едно решение:

На сегмент, графиката на функция г= грях 3 хразположен над оста ОХ, Ето защо:

(1) Можете да видите как синусите и косинусите се интегрират в нечетни степени в урока Интеграли на тригонометрични функции. Прищипваме единия синус.

(2) Използваме основната тригонометрична идентичност във формуляра

(3) Нека променим променливата T=cos х, тогава: се намира над оста, следователно:

.

.

Забележка: забележете как е взет интегралът на допирателната в куб; тук се използва следствие от основното тригонометрично тъждество

.

Задача № 3. Направете чертеж и изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите

Приложение на интеграла за решаване на приложни задачи

Изчисляване на площ

Определеният интеграл на непрекъсната неотрицателна функция f(x) е числено равен на площта на криволинейния трапец, ограничен от кривата y = f(x), оста O x и правите линии x = a и x = б. В съответствие с това формулата за площ се записва, както следва:

Нека да разгледаме някои примери за изчисляване на площите на равнинни фигури.

Задача № 1. Да се ​​изчисли площта, ограничена от правите y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Решение.Нека построим фигура, чиято площ ще трябва да изчислим.

y = x 2 + 1 е парабола, чиито клонове са насочени нагоре и параболата е изместена нагоре с една единица спрямо оста O y (Фигура 1).

Фигура 1. Графика на функцията y = x 2 + 1

Задача № 2. Изчислете площта, ограничена от правите y = x 2 – 1, y = 0 в диапазона от 0 до 1.

Решение.Графиката на тази функция е парабола от клонове, които са насочени нагоре и параболата е изместена спрямо оста O y надолу с една единица (Фигура 2).

Фигура 2. Графика на функцията y = x 2 – 1

Задача № 3. Направете чертеж и изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите

y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4.

Решение.Първата от тези две линии е парабола с клони, насочени надолу, тъй като коефициентът на x 2 е отрицателен, а втората линия е права линия, пресичаща двете координатни оси.

За да построим парабола, намираме координатите на нейния връх: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисата на върха; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 е неговата ордината, N(1;9) е върхът.

Сега нека намерим пресечните точки на параболата и правата, като решим системата от уравнения:

Приравняване на десните страни на уравнение, чиито леви страни са равни.

Получаваме 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 или x 2 – 12 = 0, откъдето .

И така, точките са пресечните точки на парабола и права линия (Фигура 1).

Фигура 3 Графики на функциите y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4

Да построим права линия y = 2x – 4. Тя минава през точките (0;-4), (2;0) на координатните оси.

За да конструирате парабола, можете също да използвате нейните пресечни точки с оста 0x, т.е. корените на уравнението 8 + 2x – x 2 = 0 или x 2 – 2x – 8 = 0. Използвайки теоремата на Виета, е лесно за да намерите неговите корени: x 1 = 2, x 2 = 4.

Фигура 3 показва фигура (параболичен сегмент M 1 N M 2), ограничена от тези линии.

Втората част от проблема е да се намери площта на тази фигура. Площта му може да се намери с помощта на определен интеграл по формулата .

Във връзка с това условие получаваме интеграла:

2 Изчисляване на обема на ротационно тяло

Обемът на тялото, получен от въртенето на кривата y = f(x) около оста O x, се изчислява по формулата:

При завъртане около оста O y формулата изглежда така:

Задача No4. Определете обема на тялото, получено от въртенето на извит трапец, ограничен от прави x = 0 x = 3 и крива y = около оста O x.

Решение.Нека нарисуваме картина (Фигура 4).

Фигура 4. Графика на функцията y =

Необходимият обем е

Задача No5. Изчислете обема на тялото, получено от въртенето на извит трапец, ограничен от кривата y = x 2 и прави линии y = 0 и y = 4 около оста O y.

Решение.Ние имаме:

Въпроси за преглед

а)

Решение.

Първата и най-важна точка в решението е рисуването.

Да направим чертежа:

Уравнението y=0задава оста "x";

- х=-2И х=1- права, успоредна на оста OU;

- y=x 2 +2 -парабола, чиито клонове са насочени нагоре, с върха в точката (0;2).

Коментирайте. За да се изгради парабола, достатъчно е да се намерят точките на нейното пресичане с координатните оси, т.е. поставяне х=0намерете пресечната точка с оста OUи съответно да вземе решение квадратно уравнение, намерете пресечната точка с оста о .

Върхът на парабола може да се намери с помощта на формулите:

Можете също да изграждате линии точка по точка.

На интервала [-2;1] графиката на функцията y=x 2 +2разположен над оста вол, Ето защо:

Отговор: С=9 кв. единици

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай „на око“ преброяваме броя на клетките в чертежа - добре, ще има около 9, изглежда е вярно. Абсолютно ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, то очевидно е, че някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът е отрицателен, значи и задачата е решена неправилно.

Какво да направите, ако под оста се намира извит трапец О?

б) Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y=-e x , х=1и координатни оси.

Решение.

Да направим рисунка.

Ако извит трапец е напълно разположен под оста о , тогава неговата площ може да се намери с помощта на формулата:

Отговор: S=(e-1)кв. единици“ 1,72 кв. единици

внимание! Не бива да се бъркат двата вида задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите просто определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да е отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що обсъдената формула.

На практика най-често фигурата е разположена както в горната, така и в долната полуравнина.

в) Намерете площта на плоска фигура, ограничена от линии y=2x-x 2, y=-x.

Решение.

Първо трябва да завършите чертежа. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от точките на пресичане на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и прав Това може да стане по два начина. Първият метод е аналитичен.

Решаваме уравнението:

Това означава, че долната граница на интеграция а=0, горна граница на интеграция b=3 .

Ние строим дадени линии: 1. Парабола - връх в точка (1;1); пресичане на осите О-точки (0;0) и (0;2). 2. Права - ъглополовяща на 2-ри и 4-ти координатни ъгли. А сега Внимание! Ако на сегмента [ a;b] някаква непрекъсната функция f(x)по-голяма или равна на някаква непрекъсната функция g(x), тогава площта на съответната фигура може да се намери по формулата: . И няма значение къде се намира фигурата - над оста или под оста, но има значение коя графика е ПО-ВИСОКО (спрямо друга графика) и коя е ПО-ДОЛУ. В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Можете да конструирате линии точка по точка и границите на интеграцията стават ясни „сами по себе си“. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на граници все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или подробната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални).

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.

На сегмента , по съответната формула:

Отговор: С=4,5 кв. единици

Как се вмъква математически формуликъм уебсайта?

Ако някога трябва да добавите една или две математически формули към уеб страница, тогава най-лесният начин да направите това е както е описано в статията: математическите формули лесно се вмъкват в сайта под формата на снимки, които се генерират автоматично от Wolfram Alpha . В допълнение към простотата, този универсален метод ще помогне за подобряване на видимостта на сайта в търсачките. Работи отдавна (и мисля, че ще работи завинаги), но вече е морално остарял.

Ако редовно използвате математически формули на вашия сайт, тогава ви препоръчвам да използвате MathJax - специална JavaScript библиотека, която показва математическа нотация в уеб браузъри, използвайки MathML, LaTeX или ASCIIMathML маркиране.

Има два начина да започнете да използвате MathJax: (1) като използвате прост код, можете бързо да свържете MathJax скрипт към вашия уебсайт, който автоматично ще бъде зареден от отдалечен сървър в точното време (списък със сървъри); (2) изтеглете скрипта MathJax от отдалечен сървър на вашия сървър и го свържете към всички страници на вашия сайт. Вторият метод - по-сложен и отнемащ време - ще ускори зареждането на страниците на вашия сайт и ако родителският MathJax сървър стане временно недостъпен по някаква причина, това няма да се отрази по никакъв начин на вашия собствен сайт. Въпреки тези предимства избрах първия метод, тъй като е по-прост, по-бърз и не изисква технически умения. Следвайте примера ми и само след 5 минути ще можете да използвате всички функции на MathJax на вашия сайт.

Можете да свържете скрипта на библиотеката MathJax от отдалечен сървър, като използвате две опции за код, взети от основния уебсайт на MathJax или от страницата с документация:

Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и/или непосредствено след тага. Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично следи и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.

Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете уиджет, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте в него първата или втората версия на кода за изтегляне, представен по-горе, и поставете уиджета по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вмъквате математически формули в уеб страниците на вашия сайт.

Всеки фрактал се конструира според определено правило, който се прилага последователно неограничен брой пъти. Всяко такова време се нарича итерация.

Итеративният алгоритъм за конструиране на гъба на Менгер е доста прост: оригиналният куб със страна 1 е разделен от равнини, успоредни на лицата му, на 27 равни куба. От него се отстраняват един централен куб и 6 куба, съседни на него по стените. Резултатът е комплект, състоящ се от останалите 20 по-малки кубчета. Като направим същото с всяко от тези кубчета, получаваме комплект, състоящ се от 400 по-малки кубчета. Продължавайки този процес безкрайно, получаваме гъба Menger.

В тази статия ще научите как да намерите площта на фигура, ограничена от линии, като използвате интегрални изчисления. За първи път се сблъскваме с формулирането на такава задача в гимназията, когато току-що сме завършили изучаването на определени интеграли и е време да започнем геометричната интерпретация на усвоените знания на практика.

И така, какво е необходимо за успешно решаване на проблема с намирането на площта на фигура с помощта на интеграли:

• Способност да прави компетентни чертежи;
• Способност за решаване на определен интеграл с помощта известна формулаНютон-Лайбниц;
• Способността да „видите“ по-изгодна опция за решение - т.е. разберете как ще бъде по-удобно да се извърши интеграция в един или друг случай? По оста x (OX) или по оста y (OY)?
• Е, къде щяхме да бъдем без правилни изчисления?) Това включва разбиране как да се решава този друг тип интеграли и правилни числени изчисления.

Алгоритъм за решаване на проблема за изчисляване на площта на фигура, ограничена от линии:

1. Изграждаме чертеж. Препоръчително е да направите това на кариран лист хартия, в голям мащаб. Подписваме името на тази функция с молив над всяка графика. Подписването на графиките се извършва единствено за удобство на по-нататъшни изчисления. След като получите графика на желаната фигура, в повечето случаи веднага ще стане ясно кои граници на интегриране ще се използват. Така решаваме проблема графичен метод. Случва се обаче стойностите на лимитите да са дробни или ирационални. Следователно можете да направите допълнителни изчисления, преминете към втора стъпка.

2. Ако границите на интегриране не са изрично посочени, тогава намираме точките на пресичане на графиките една с друга и виждаме дали нашите графично решениес аналитичен.

3. След това трябва да анализирате чертежа. В зависимост от това как са подредени графиките на функциите, има различни подходи за намиране на площта на фигура. Нека помислим различни примериза намиране на площта на фигура с помощта на интеграли.

3.1. Най-класическата и най-проста версия на проблема е, когато трябва да намерите площта на извит трапец. Какво е извит трапец? Това е плоска фигура, ограничена от оста x (y = 0), прави линии x = a, x = b и всяка крива, непрекъсната в интервала от a до b. Освен това тази цифра е неотрицателна и не се намира под оста x. В този случай площта на криволинейния трапец е числено равна на определен интеграл, изчислен по формулата на Нютон-Лайбниц:

Пример 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

С какви линии е ограничена фигурата? Имаме парабола y = x2 - 3x + 3, която се намира над оста OX, тя е неотрицателна, т.к. всички точки на тази парабола имат положителни стойности. След това са дадени правите линии x = 1 и x = 3, които вървят успоредно на оста на операционния усилвател и са граничните линии на фигурата отляво и отдясно. Е, y = 0, което също е оста x, която ограничава фигурата отдолу. Получената фигура е защрихована, както се вижда от фигурата вляво. В този случай можете веднага да започнете да решавате проблема. Пред нас е прост пример за извит трапец, който след това решаваме с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц.

3.2. В предишния параграф 3.1 разгледахме случая, когато извит трапец е разположен над оста x. Сега разгледайте случая, когато условията на проблема са същите, с изключение на това, че функцията лежи под оста x. Към стандартната формула на Нютон-Лайбниц се добавя минус. Ще разгледаме как да разрешим такъв проблем по-долу.

Пример 2. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

IN в този примеримаме парабола y = x2 + 6x + 2, която произхожда от под оста OX, прави x = -4, x = -1, y = 0. Тук y = 0 ограничава желаната цифра отгоре. Правите x = -4 и x = -1 са границите, в които ще бъде изчислен определеният интеграл. Принципът на решаване на проблема за намиране на площта на фигура почти напълно съвпада с пример номер 1. Единствената разлика е, че дадена функцияне положителен, но все още непрекъснат на интервала [-4; -1] . Какво имаш предвид не положително? Както може да се види от фигурата, фигурата, която се намира в рамките на дадените x, има изключително „отрицателни“ координати, което трябва да видим и запомним, когато решаваме задачата. Търсим площта на фигурата, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, само със знак минус в началото.

Статията не е завършена.