Изучавайки царицата на всички науки - математиката, в определен моментвсеки се сблъсква с дроби. Въпреки че тази концепция (както самите видове дроби или математическите операции с тях) не е никак сложна, тя трябва да се третира внимателно, тъй като в реалния животЩе бъде много полезно извън училище. И така, нека опресним знанията си за дробите: какво представляват, за какво служат, какви видове са и как да извършваме различни аритметични операции с тях.

Нейно величество фракция: какво е това

Дробите в математиката са числа, всяко от които се състои от една или повече части на единица. Такива дроби се наричат ​​още обикновени или прости. По правило те се записват като две числа, които са разделени с хоризонтална или наклонена линия, нарича се „дробна“ линия. Например: ½, ¾.

Горното или първото от тези числа е числителят (показва колко части са взети от числото), а долното или второто е знаменателят (показва на колко части е разделена единицата).

Дробната лента всъщност функционира като знак за деление. Например 7:9=7/9

Традиционно обикновените дроби са по-малки от единица. Докато десетичните знаци могат да бъдат по-големи от него.

За какво са дробите? Да за всичко, защото в реален святНе всички числа са цели числа. Например, две ученички в кафенето купиха един вкусен шоколад заедно. Когато щяха да споделят десерта, срещнаха приятелка и решиха да почерпят и нея. Сега обаче е необходимо правилно да разделите шоколадовата лента, като се има предвид, че тя се състои от 12 квадрата.

Отначало момичетата искаха да разделят всичко по равно, а след това всяко да получи по четири парчета. Но след като помислили, решили да почерпят приятеля си не с 1/3, а с 1/4 от шоколада. И тъй като ученичките не са учили добре дробите, те не са взели предвид, че в такава ситуация ще се окажат с 9 части, които е много трудно да се разделят на две. Този доста прост пример показва колко е важно да можете да намерите правилно част от число. Но в живота има много повече такива случаи.

Видове дроби: обикновени и десетични

Всички математически дроби са разделени на две големи категории: обикновени и десетични. Характеристиките на първия от тях бяха описани в предишния параграф, така че сега си струва да обърнете внимание на втория.

Десетичният знак е позиционният запис на част от число, който се записва писмено, разделен със запетая, без тире или наклонена черта. Например: 0,75, 0,5.

Всъщност десетичен знаке идентичен с обикновения, но знаменателят му винаги е единица, последвана от нули - оттук идва и името му.

Числото пред запетаята е цяла част, а всичко след нея е дроб. Всяка проста дроб може да се преобразува в десетична. Така десетичните дроби, посочени в предишния пример, могат да бъдат записани както обикновено: ¾ и ½.

Струва си да се отбележи, че както десетичните, така и обикновените дроби могат да бъдат положителни или отрицателни. Ако те са предшествани от знак „-“, тази дроб е отрицателна, ако „+“ е положителна дроб.

Подвидове обикновени дроби

Има тези видове прости дроби.

Подвидове десетична дроб

За разлика от простата дроб, десетичната дроб е разделена само на 2 вида.

• Краен - получи това име поради факта, че след десетичната запетая има ограничен (краен) брой цифри: 19,25.
• Безкрайна дроб е число с безкраен брой цифри след десетичната запетая. Например, когато разделите 10 на 3, резултатът ще бъде безкрайна дроб 3,333...

Събиране на дроби

Извършването на различни аритметични манипулации с дроби е малко по-трудно, отколкото с обикновени числа. Въпреки това, ако разбирате основните правила, решаването на всеки пример с тях няма да е трудно.

Например: 2/3+3/4. Най-малкото общо кратно за тях ще бъде 12, следователно е необходимо това число да бъде във всеки знаменател. За да направите това, умножаваме числителя и знаменателя на първата дроб по 4, получава се 8/12, правим същото с втория член, но само умножаваме по 3 - 9/12. Сега можете лесно да решите примера: 8/12+9/12= 17/12. Получената дроб е неправилна стойност, тъй като числителят е по-голям от знаменателя. Тя може и трябва да се трансформира в правилна смесена чрез разделяне на 17:12 = 1 и 5/12.

Когато се добавят смесени дроби, операциите се извършват първо с цели числа, а след това с дроби.

Ако примерът съдържа десетична дроб и обикновена дроб, е необходимо да направите и двете прости, след това да ги приведете към един знаменател и да ги добавите. Например 3.1+1/2. Числото 3.1 може да се запише като смесена фракция 3 и 1/10 или като неправилно - 31/10. Общият знаменател за термините ще бъде 10, така че трябва да умножите последователно числителя и знаменателя на 1/2 по 5, получавате 5/10. Тогава можете лесно да изчислите всичко: 31/10+5/10=35/10. Полученият резултат е неправилна редуцируема дроб, ние я привеждаме в нормална форма, намалявайки я с 5: 7/2 = 3 и 1/2, или десетична - 3,5.

Когато събирате 2 десетични дроби, важно е да има еднакъв брой цифри след десетичната запетая. Ако това не е така, просто трябва да добавите необходимо количествонули, защото в десетичните дроби това може да стане безболезнено. Например 3,5+3,005. За да решите този проблем, трябва да добавите 2 нули към първото число и след това да добавите една по една: 3,500+3,005=3,505.

Изваждане на дроби

Когато изваждате дроби, трябва да направите същото, както при добавяне: да намалите до общ знаменател, да извадите един числител от друг и, ако е необходимо, да преобразувате резултата в смесена дроб.

Например: 16/20-5/10. Общият знаменател ще бъде 20. Трябва да приведете втората дроб към този знаменател, като умножите двете й части по 2, получавате 10/20. Сега можете да решите примера: 16/20-10/20= 6/20. Този резултат обаче се отнася за редуцируеми дроби, така че си струва да разделите двете страни на 2 и резултатът е 3/10.

Умножение на дроби

Разделянето и умножаването на дроби са много по-прости операции от събирането и изваждането. Факт е, че при изпълнението на тези задачи не е необходимо да се търси общ знаменател.

За да умножите дроби, просто трябва да умножите двата числителя един по един, а след това и двата знаменателя. Намалете получения резултат, ако фракцията е редуцируема величина.

Например: 4/9x5/8. След алтернативно умножение резултатът е 4x5/9x8=20/72. Тази дроб може да бъде намалена с 4, така че крайният отговор в примера е 5/18.

Как да разделим дроби

Разделянето на дроби също е проста операция, но все още се свежда до умножаването им. За да разделите една дроб на друга, трябва да обърнете втората и да умножите по първата.

Например, разделяне на дробите 5/19 и 5/7. За да решите примера, трябва да размените знаменателя и числителя на втората дроб и да умножите: 5/19x7/5=35/95. Резултатът може да бъде намален с 5 - получава се 7/19.

Ако трябва да разделите дроб на просто число, техниката е малко по-различна. Първоначално трябва да напишете това число като неправилна дроб и след това да го разделите по същата схема. Например 2/13:5 трябва да се запише като 2/13: 5/1. Сега трябва да обърнете 5/1 и да умножите получените дроби: 2/13x1/5= 2/65.

Понякога трябва да разделите смесени фракции. Трябва да се отнасяте към тях както бихте направили с цели числа: да ги превърнете в неправилни дроби, да обърнете делителя и да умножите всичко. Например 8 ½: 3. Превърнете всичко в неправилни дроби: 17/2: 3/1. Това е последвано от обръщане 3/1 и умножение: 17/2x1/3= 17/6. Сега трябва да преобразувате неправилната дроб в правилната - 2 цяло и 5/6.

Така че, след като разбрахте какво представляват дробите и как можете да извършвате различни аритметични операции с тях, трябва да се опитате да не забравяте за това. В крайна сметка хората винаги са по-склонни да разделят нещо на части, отколкото да добавят, така че трябва да можете да го направите правилно.

Думата „дроби“ кара много хора да настръхват. Защото помня училището и задачите, които се решаваха по математика. Това беше задължение, което трябваше да бъде изпълнено. Ами ако се отнасяте към проблемите, включващи правилни и неправилни дроби, като към пъзел? В крайна сметка много възрастни решават цифрови и японски кръстословици. Разбрахме правилата и това е. Тук е същото. Човек трябва само да се задълбочи в теорията - и всичко ще си дойде на мястото. И примерите ще се превърнат в начин да тренирате мозъка си.

Какви видове дроби има?

Да започнем с това какво представлява. Дроб е число, което има част от единица. Може да се напише в две форми. Първият се нарича обикновен. Тоест такъв, който има хоризонтална или наклонена линия. Той е еквивалентен на знака за деление.

При такъв запис числото над чертата се нарича числител, а числото под него - знаменател.

Сред обикновените дроби се разграничават правилни и неправилни дроби. За първото абсолютната стойност на числителя винаги е по-малка от знаменателя. Грешните се наричат ​​така, защото при тях всичко е обратното. Стойността на правилната дроб винаги е по-малка от единица. Докато неправилното винаги е по-голямо от това число.

Има и смесени числа, тоест такива, които имат цяла и дробна част.

Вторият вид запис е десетична дроб. За нея има отделен разговор.

Как се различават неправилните дроби от смесените числа?

По същество нищо. Това са просто различни записи на един и същи номер. Неправилните дроби лесно се превръщат в смесени числа след прости стъпки. И обратното.

Всичко зависи от конкретната ситуация. Понякога е по-удобно да използвате неправилна дроб в задачите. И понякога е необходимо да го преобразувате в смесено число и тогава примерът ще бъде решен много лесно. Следователно, какво да използвате: неправилни дроби, смесени числа, зависи от наблюдателните умения на човека, който решава проблема.

Смесеното число също се сравнява със сумата от цялата и дробната част. Освен това вторият винаги е по-малък от единица.

Как да представим смесено число като неправилна дроб?

Ако трябва да извършите някакво действие с няколко числа, които са записани в различни видове, тогава трябва да ги направите еднакви. Един от методите е да представите числа като неправилни дроби.

За тази цел ще трябва да изпълните следния алгоритъм:

• умножете знаменателя по цялата част;
• добавете стойността на числителя към резултата;
• напишете отговора над реда;
• оставете знаменателя същия.

Ето примери как да напишете неправилни дроби от смесени числа:

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Как да напиша неправилна дроб като смесено число?

Следващата техника е противоположна на описаната по-горе. Тоест, когато всички смесени числа се заменят с неправилни дроби. Алгоритъмът на действията ще бъде както следва:

• разделете числителя на знаменателя, за да получите остатъка;
• напишете частното на мястото на цялата част на смесената;
• остатъкът трябва да бъде поставен над линията;
• делителя ще бъде знаменателят.

Примери за такава трансформация:

76/14; 76:14 = 5 с остатък 6; отговорът ще бъде 5 цяло и 6/14; дробната част в този пример трябва да се намали с 2, което води до 3/7; крайният отговор е 5 точки 3/7.

108/54; след делене се получава частното 2 без остатък; това означава, че не всички неправилни дроби могат да бъдат представени като смесено число; отговорът ще бъде цяло число - 2.

Как да превърнем цяло число в неправилна дроб?

Има ситуации, когато такова действие е необходимо. За да получите неправилни дроби с известен знаменател, ще трябва да изпълните следния алгоритъм:

• умножете цяло число по желания знаменател;
• напишете тази стойност над линията;
• поставете знаменателя под него.

Най-простият вариант е, когато знаменателят е равен на едно. Тогава не е нужно да умножавате нищо. Достатъчно е просто да напишете цялото число, дадено в примера, и да поставите едно под чертата.

Пример: Направете 5 неправилна дроб със знаменател 3. Умножаването на 5 по 3 дава 15. Това число ще бъде знаменателят. Отговорът на задачата е дроб: 15/3.

Два подхода за решаване на задачи с различни числа

Примерът изисква изчисляване на сбора и разликата, както и произведението и частното на две числа: 2 цели числа 3/5 и 14/11.

В първия подходсмесеното число ще бъде представено като неправилна дроб.

След като изпълните описаните по-горе стъпки, ще получите следната стойност: 13/5.

За да разберете сумата, трябва да намалите дробите до един и същи знаменател. 13/5 след умножаване по 11 става 143/55. И 14/11 след умножение по 5 ще изглежда като: 70/55. За да изчислите сумата, трябва само да съберете числителите: 143 и 70 и след това да запишете отговора с един знаменател. 213/55 - тази неправилна дроб е отговорът на задачата.

При намиране на разликата се изваждат еднакви числа: 143 - 70 = 73. Отговорът ще бъде дроб: 73/55.

Когато умножавате 13/5 и 14/11, не е необходимо да ги привеждате до общ знаменател. Достатъчно е да умножите числителите и знаменателите по двойки. Отговорът ще бъде: 182/55.

Същото важи и за разделението. За правилното решениетрябва да замените делението с умножение и да обърнете делителя: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Във втория подходнеправилна дроб се превръща в смесено число.

След извършване на действията на алгоритъма, 14/11 ще се превърне в смесено число с цяла част 1 и дробна 3/11.

Когато изчислявате сбора, трябва да добавите целите и дробните части поотделно. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Крайният отговор е 3 точки 48/55. При първия подход фракцията беше 213/55. Можете да проверите правилността му, като го преобразувате в смесено число. След разделянето на 213 на 55, частното е 3, а остатъкът е 48. Лесно е да се види, че отговорът е правилен.

При изваждане знакът "+" се заменя с "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. За проверка отговорът от предишния подход трябва да се преобразува в смесено число: 73 се дели на 55 и частното е 1, а остатъкът е 18.

За да намерите произведението и частното, е неудобно да използвате смесени числа. Тук винаги се препоръчва да преминете към неправилни дроби.

Думата „дроби“ кара много хора да настръхват. Защото помня училището и задачите, които се решаваха по математика. Това беше задължение, което трябваше да бъде изпълнено. Ами ако се отнасяте към проблемите, включващи правилни и неправилни дроби, като към пъзел? В крайна сметка много възрастни решават цифрови и японски кръстословици. Разбрахме правилата и това е. Тук е същото. Човек трябва само да се задълбочи в теорията - и всичко ще си дойде на мястото. И примерите ще се превърнат в начин да тренирате мозъка си.

Какви видове дроби има?

Да започнем с това какво представлява. Дроб е число, което има част от единица. Може да се напише в две форми. Първият се нарича обикновен. Тоест такъв, който има хоризонтална или наклонена линия. Той е еквивалентен на знака за деление.

При такъв запис числото над чертата се нарича числител, а числото под него - знаменател.

Сред обикновените дроби се разграничават правилни и неправилни дроби. За първото абсолютната стойност на числителя винаги е по-малка от знаменателя. Грешните се наричат ​​така, защото при тях всичко е обратното. Стойността на правилната дроб винаги е по-малка от единица. Докато неправилното винаги е по-голямо от това число.

Има и смесени числа, тоест такива, които имат цяла и дробна част.

Вторият вид запис е десетична дроб. За нея има отделен разговор.

Как се различават неправилните дроби от смесените числа?

По същество нищо. Това са просто различни записи на един и същи номер. Неправилните дроби лесно се превръщат в смесени числа след прости стъпки. И обратното.

Всичко зависи от конкретната ситуация. Понякога е по-удобно да използвате неправилна дроб в задачите. И понякога е необходимо да го преобразувате в смесено число и тогава примерът ще бъде решен много лесно. Следователно, какво да използвате: неправилни дроби, смесени числа, зависи от наблюдателните умения на човека, който решава проблема.

Смесеното число също се сравнява със сумата от цялата и дробната част. Освен това вторият винаги е по-малък от единица.

Как да представим смесено число като неправилна дроб?

Ако трябва да извършите някакво действие с няколко числа, които са написани в различни форми, тогава трябва да ги направите еднакви. Един от методите е да представите числа като неправилни дроби.

За тази цел ще трябва да изпълните следния алгоритъм:

• умножете знаменателя по цялата част;
• добавете стойността на числителя към резултата;
• напишете отговора над реда;
• оставете знаменателя същия.

Ето примери как да напишете неправилни дроби от смесени числа:

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Как да напиша неправилна дроб като смесено число?

Следващата техника е противоположна на описаната по-горе. Тоест, когато всички смесени числа се заменят с неправилни дроби. Алгоритъмът на действията ще бъде както следва:

• разделете числителя на знаменателя, за да получите остатъка;
• напишете частното на мястото на цялата част на смесената;
• остатъкът трябва да бъде поставен над линията;
• делителя ще бъде знаменателят.

Примери за такава трансформация:

76/14; 76:14 = 5 с остатък 6; отговорът ще бъде 5 цяло и 6/14; дробната част в този пример трябва да се намали с 2, което води до 3/7; крайният отговор е 5 точки 3/7.

108/54; след делене се получава частното 2 без остатък; това означава, че не всички неправилни дроби могат да бъдат представени като смесено число; отговорът ще бъде цяло число - 2.

Как да превърнем цяло число в неправилна дроб?

Има ситуации, когато такова действие е необходимо. За да получите неправилни дроби с известен знаменател, ще трябва да изпълните следния алгоритъм:

• умножете цяло число по желания знаменател;
• напишете тази стойност над линията;
• поставете знаменателя под него.

Най-простият вариант е, когато знаменателят е равен на едно. Тогава не е нужно да умножавате нищо. Достатъчно е просто да напишете цялото число, дадено в примера, и да поставите едно под чертата.

Пример: Направете 5 неправилна дроб със знаменател 3. Умножаването на 5 по 3 дава 15. Това число ще бъде знаменателят. Отговорът на задачата е дроб: 15/3.

Два подхода за решаване на задачи с различни числа

Примерът изисква изчисляване на сбора и разликата, както и произведението и частното на две числа: 2 цели числа 3/5 и 14/11.

В първия подходсмесеното число ще бъде представено като неправилна дроб.

След като изпълните описаните по-горе стъпки, ще получите следната стойност: 13/5.

За да разберете сумата, трябва да намалите дробите до един и същи знаменател. 13/5 след умножаване по 11 става 143/55. И 14/11 след умножение по 5 ще изглежда като: 70/55. За да изчислите сумата, трябва само да съберете числителите: 143 и 70 и след това да запишете отговора с един знаменател. 213/55 - тази неправилна дроб е отговорът на задачата.

При намиране на разликата се изваждат еднакви числа: 143 - 70 = 73. Отговорът ще бъде дроб: 73/55.

Когато умножавате 13/5 и 14/11, не е необходимо да ги привеждате до общ знаменател. Достатъчно е да умножите числителите и знаменателите по двойки. Отговорът ще бъде: 182/55.

Същото важи и за разделението. За да решите правилно, трябва да замените делението с умножение и да обърнете делителя: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Във втория подходнеправилна дроб се превръща в смесено число.

След извършване на действията на алгоритъма 14/11 ще се превърне в смесено число с цяла част от 1 и дробна част от 3/11.

Когато изчислявате сбора, трябва да добавите целите и дробните части поотделно. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Крайният отговор е 3 точки 48/55. При първия подход фракцията беше 213/55. Можете да проверите правилността му, като го преобразувате в смесено число. След разделянето на 213 на 55, частното е 3, а остатъкът е 48. Лесно е да се види, че отговорът е правилен.

При изваждане знакът "+" се заменя с "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. За проверка отговорът от предишния подход трябва да се преобразува в смесено число: 73 се дели на 55 и частното е 1, а остатъкът е 18.

За да намерите произведението и частното, е неудобно да използвате смесени числа. Тук винаги се препоръчва да преминете към неправилни дроби.

Обикновените дроби се делят на \textit (правилни) и \textit (неправилни) дроби. Това разделение се основава на сравнение на числителя и знаменателя.

Правилни дроби

Правилна дробнаречен обикновена дроб$\frac(m)(n)$, чийто числител е по-малък от знаменателя, т.е. $ млн

Пример 1

Например дробите $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ са правилни , така че как във всеки от тях числителят е по-малък от знаменателя, което отговаря на определението за правилна дроб.

Има определение за правилна дроб, което се основава на сравняването на дробта с единица.

правилно, ако е по-малко от едно:

Пример 2

Например обикновената дроб $\frac(6)(13)$ е правилна, защото условието $\frac(6)(13) е изпълнено

Неправилни дроби

Неправилна дробИзвиква се обикновена дроб $\frac(m)(n)$, в която числителят е по-голям или равен на знаменателя, т.е. $m\ge n$.

Пример 3

Например дробите $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ са неправилни , така че как във всеки от тях числителят е по-голям или равен на знаменателя, което отговаря на определението за неправилна дроб.

Нека дадем дефиниция на неправилна дроб, която се основава на сравнението й с единица.

Обикновената дроб $\frac(m)(n)$ е грешно, ако е равно на или по-голямо от едно:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Пример 4

Например обикновената дроб $\frac(21)(4)$ е неправилна, защото условието $\frac(21)(4) >1$ е изпълнено;

обикновената дроб $\frac(8)(8)$ е неправилна, защото условието $\frac(8)(8)=1$ е изпълнено.

Нека разгледаме по-отблизо понятието неправилна дроб.

Нека вземем за пример неправилната дроб $\frac(7)(7)$. Значението на тази фракция е да се вземат седем дяла от обект, който се разделя на седем равни дяла. Така от седемте налични дяла може да се състави целият обект. Тези. неправилната дроб $\frac(7)(7)$ описва целия обект и $\frac(7)(7)=1$. И така, неправилните дроби, в които числителят е равен на знаменателя, описват един цял обект и такава дроб може да бъде заменена с естественото число $1$.

$\frac(5)(2)$ - съвсем очевидно е, че от тези пет втори части можете да направите $2$ цели обекти (един цял обект ще бъде съставен от $2$ части, а за да съставите два цели обекта, трябва $2+2=4$ споделяния) и остава едно второ споделяне. Тоест, неправилната дроб $\frac(5)(2)$ описва $2$ от обект и $\frac(1)(2)$ дела на този обект.

$\frac(21)(7)$ -- от двадесет и една седми части можете да направите $3$ цели обекта ($3$ обекта с $7$ дялове във всеки). Тези. дробта $\frac(21)(7)$ описва $3$ цели обекти.

От разгледаните примери можем да направим следното заключение: неправилна дроб може да бъде заменена с естествено число, ако числителят се дели на знаменателя (например $\frac(7)(7)=1$ и $\frac (21)(7)=3$) или сумата от естествено число и правилна дроб, ако числителят не се дели напълно на знаменателя (например $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). Ето защо такива дроби се наричат грешно.

Определение 1

Процесът на представяне на неправилна дроб като сума от естествено число и правилна дроб (например $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) се нарича отделяне на цялата част от неправилна дроб.

При работа с неправилни дроби има тясна връзка между тях и смесените числа.

Неправилната дроб често се записва като смесено число - число, което се състои от цяла част и дробна част.

За да напишете неправилна дроб като смесено число, трябва да разделите числителя на знаменателя с остатък. Частното ще бъде цялата част от смесеното число, остатъкът ще бъде числителят на дробната част, а делителят ще бъде знаменателят на дробната част.

Пример 5

Запишете неправилната дроб $\frac(37)(12)$ като смесено число.

Решение.

Разделете числителя на знаменателя с остатък:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (остатък\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

отговор.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

За да напишете смесено число като неправилна дроб, трябва да умножите знаменателя по цялата част на числото, да добавите числителя на дробната част към получения продукт и да запишете получената сума в числителя на дробта. Знаменателят на неправилната дроб ще бъде равен на знаменателя на дробната част на смесеното число.

Пример 6

Запишете смесеното число $5\frac(3)(7)$ като неправилна дроб.

Решение.

отговор.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Събиране на смесени числа и правилни дроби

Събиране на смесени числа$a\frac(b)(c)$ и правилна дроб$\frac(d)(e)$ се извършва чрез добавяне към дадена дроб на дробната част от дадено смесено число:

Пример 7

Добавете правилната дроб $\frac(4)(15)$ и смесеното число $3\frac(2)(5)$.

Решение.

Нека използваме формулата за събиране на смесено число и правилна дроб:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ ляво(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\дясно)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

Чрез разделяне на числото \textit(5) можем да определим, че дробта $\frac(10)(15)$ е редуцируема. Нека извършим редукцията и намерим резултата от добавянето:

И така, резултатът от събирането на правилната дроб $\frac(4)(15)$ и смесеното число $3\frac(2)(5)$ е $3\frac(2)(3)$.

отговор:$3\frac(2)(3)$

Събиране на смесени числа и неправилни дроби

Събиране на неправилни дроби и смесени числасе свежда до добавяне на две смесени числа, за което е достатъчно да се изолира цялата част от неправилната дроб.

Пример 8

Изчислете сумата от смесеното число $6\frac(2)(15)$ и неправилната дроб $\frac(13)(5)$.

Решение.

Първо, нека извлечем цялата част от неправилната дроб $\frac(13)(5)$:

отговор:$8\frac(11)(15)$.

Тази статия е за обикновени дроби. Тук ще въведем понятието дроб от цяло, което ще ни доведе до определението за обикновена дроб. След това ще се съсредоточим върху приети нотацииза обикновени дроби и дайте примери за дроби, нека поговорим за числителя и знаменателя на дроб. След това ще дадем определения за правилни и неправилни, положителни и отрицателни дроби, а също така ще разгледаме позицията на дробните числа на координатен лъч. В заключение изброяваме основните операции с дроби.

Навигация в страницата.

Дялове на цялото

Първо представяме концепция за дял.

Да приемем, че имаме някакъв обект, съставен от няколко абсолютно еднакви (т.е. равни) части. За по-голяма яснота можете да си представите например ябълка, нарязана на няколко равни части, или портокал, състоящ се от няколко равни резена. Всяка от тези равни части, които съставят целия обект, се нарича части от цялотоили просто акции.

Имайте предвид, че акциите са различни. Нека обясним това. Нека вземем две ябълки. Разрежете първата ябълка на две равни части, а втората на 6 равни части. Ясно е, че делът на първата ябълка ще бъде различен от дела на втората ябълка.

В зависимост от броя на дяловете, които съставляват целия обект, тези дялове имат свои собствени имена. Нека го подредим имена на удари. Ако един обект се състои от две части, всяка от тях се нарича една втора част от целия обект; ако един обект се състои от три части, тогава всяка от тях се нарича една трета част и т.н.

Един втори дял има специално име - половината. Една трета се нарича третии една четвърт част - една четвърт.

За краткост бяха въведени следните: бийт символи. Една втора акция се обозначава като или 1/2, една трета акция се обозначава като или 1/3; една четвърт дял - като или 1/4 и т.н. Имайте предвид, че обозначението с хоризонтална лента се използва по-често. За да затвърдим материала, нека дадем още един пример: записът означава сто шестдесет и седма част от цялото.

Концепцията за дял естествено се простира от обектите до количествата. Например една от мерките за дължина е метърът. За измерване на дължини, по-къси от метър, могат да се използват части от метър. Така че можете да използвате, например, половин метър или една десета или хилядна от метъра. Дяловете на други количества се прилагат по подобен начин.

Обикновени дроби, определение и примери за дроби

За да опишем броя на споделянията, които използваме обикновени дроби. Нека дадем пример, който ще ни позволи да се доближим до определението на обикновените дроби.

Нека портокалът се състои от 12 части. Всеки дял в този случай представлява една дванадесета от цял ​​портокал, т.е. Означаваме два удара като , три удара като и така нататък, 12 удара означаваме като . Всеки от дадените записи се нарича обикновена дроб.

Сега нека дадем общ определение на обикновени дроби.

Изразената дефиниция на обикновените дроби ни позволява да дадем примери за обикновени дроби: 5/10, , 21/1, 9/4, . А ето и записите не отговарят на дадената дефиниция за обикновени дроби, тоест не са обикновени дроби.

Числител и знаменател

За удобство се разграничават обикновени дроби числител и знаменател.

Определение.

Числителобикновена дроб (m/n) е естествено число m.

Определение.

Знаменателобикновена дроб (m/n) е естествено число n.

И така, числителят се намира над дробната линия (вляво от наклонената черта), а знаменателят е разположен под дробната линия (вдясно от наклонената черта). Например, нека вземем обикновената дроб 17/29, числителят на тази дроб е числото 17, а знаменателят е числото 29.

Остава да обсъдим значението, което се съдържа в числителя и знаменателя на обикновена дроб. Знаменателят на дроб показва от колко части се състои един обект, а числителят от своя страна показва броя на тези дялове. Например, знаменателят 5 на дробта 12/5 означава, че един обект се състои от пет дяла, а числителят 12 означава, че са взети 12 такива дяла.

Естествено число като дроб със знаменател 1

Знаменателят на обикновена дроб може да бъде равен на единица. В този случай можем да считаме, че обектът е неделим, с други думи, той представлява нещо цяло. Числителят на такава дроб показва колко цели обекта са взети. Така обикновена дроб от вида m/1 има значението на естествено число m. Така обосновахме валидността на равенството m/1=m.

Нека пренапишем последното равенство, както следва: m=m/1. Това равенство ни позволява да представим всяко естествено число m като обикновена дроб. Например числото 4 е дроб 4/1, а числото 103 498 е равно на дроб 103 498/1.

така че всяко естествено число m може да бъде представено като обикновена дроб със знаменател 1 като m/1 и всяка обикновена дроб от формата m/1 може да бъде заменена с естествено число m.

Дробна лента като знак за деление

Представянето на оригиналния обект под формата на n дяла не е нищо повече от разделяне на n равни части. След като даден артикул бъде разделен на n дяла, можем да го разделим поравно между n души - всеки ще получи по един дял.

Ако първоначално имаме m идентични обекта, всеки от които е разделен на n дяла, тогава можем да разделим по равно тези m обекта между n души, давайки на всеки човек по един дял от всеки от m обекта. В този случай всеки човек ще има m дяла от 1/n, а m дяла от 1/n дава обикновената дроб m/n. Така обикновената дроб m/n може да се използва за обозначаване на разделянето на m елемента между n души.

Ето как получихме изрична връзка между обикновените дроби и деленето (вижте общата идея за деление на естествени числа). Тази връзка се изразява по следния начин: дробната черта може да се разбира като знак за деление, тоест m/n=m:n.

Използвайки обикновена дроб, можете да напишете резултата от деленето на две естествени числа, за които не се извършва интегрално деление. Например резултатът от разделянето на 5 ябълки на 8 души може да се запише като 5/8, тоест всеки ще получи пет осми от ябълка: 5:8 = 5/8.

Равни и неравни дроби, сравнение на дроби

Доста естествено действие е сравняване на дроби, защото е ясно, че 1/12 портокал е различна от 5/12, а 1/6 ябълка е същата като друга 1/6 от тази ябълка.

В резултат на сравняването на две обикновени дроби се получава един от резултатите: дробите са равни или неравни. В първия случай имаме равни обикновени дроби, а във втория – неравни обикновени дроби. Нека дадем дефиниция на равни и неравни обикновени дроби.

Определение.

равен, ако равенството a·d=b·c е вярно.

Определение.

Две обикновени дроби a/b и c/d не е равен, ако не е изпълнено равенството a·d=b·c.

Ето няколко примера за равни дроби. Например обикновената дроб 1/2 е равна на дробта 2/4, тъй като 1·4=2·2 (ако е необходимо, вижте правилата и примерите за умножение на естествени числа). За по-голяма яснота можете да си представите две еднакви ябълки, първата е нарязана наполовина, а втората е нарязана на 4 части. Очевидно е, че две четвърти от една ябълка се равняват на 1/2 дял. Други примери за равни обикновени дроби са дробите 4/7 и 36/63 и двойката дроби 81/50 и 1620/1000.

Но обикновените дроби 4/13 и 5/14 не са равни, тъй като 4·14=56, а 13·5=65, тоест 4·14≠13·5. Други примери за неравни обикновени дроби са дробите 17/7 и 6/4.

Ако при сравняване на две обикновени дроби се окаже, че не са равни, тогава може да се наложи да разберете коя от тези обикновени дроби по-малкоразлични и кои - повече. За да разберете, се използва правилото за сравняване на обикновени дроби, чиято същност е да се приведат сравняваните дроби до общ знаменател и след това да се сравнят числителите. Подробна информация по тази тема е събрана в статията сравнение на дроби: правила, примери, решения.

Дробни числа

Всяка дроб е нотация дробно число. Тоест дробта е просто „обвивка“ на дробно число, неговата външен вид, а целият семантичен товар се съдържа в дробното число. Въпреки това, за краткост и удобство, понятията дроб и дробно число се комбинират и просто се наричат ​​дроб. Тук е уместно да перифразираме една известна поговорка: казваме дроб - имаме предвид дробно число, казваме дробно число - имаме предвид дроб.

Дроби на координатен лъч

Всички дробни числа, съответстващи на обикновени дроби, имат свое собствено уникално място, т.е. има взаимно еднозначно съответствие между дробите и точките на координатния лъч.

За да стигнете до точката на координатния лъч, съответстваща на частта m/n, трябва да отделите m отсечки от началото на координатите в положителна посока, чиято дължина е 1/n част от единична отсечка. Такива сегменти могат да бъдат получени чрез разделяне на единичен сегмент на n равни части, което винаги може да се направи с помощта на пергел и линийка.

Например, нека покажем точка M на координатния лъч, съответстващ на дробта 14/10. Дължината на отсечка с краища в точка O и най-близката до нея точка, отбелязана с малка чертичка, е 1/10 от единичната отсечка. Точката с координата 14/10 се отдалечава от началото на разстояние 14 такива сегмента.

Равните дроби съответстват на едно и също дробно число, тоест равните дроби са координатите на една и съща точка на координатния лъч. Например координатите 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 съответстват на една точка от координатния лъч, тъй като всички записани дроби са равни (той се намира на разстояние половин единичен сегмент, изложен от началото в положителна посока).

На хоризонтален и насочен надясно координатен лъч точката, чиято координата е по-голямата част, се намира вдясно от точката, чиято координата е по-малката част. По същия начин точка с по-малка координата лежи отляво на точка с по-голяма координата.

Правилни и неправилни дроби, определения, примери

Сред обикновените дроби има правилни и неправилни дроби. Това разделение се основава на сравнение на числителя и знаменателя.

Нека дефинираме правилните и неправилните обикновени дроби.

Определение.

Правилна дроб е обикновена дроб, чийто числител е по-малък от знаменателя, т.е. ако m

Определение.

Неправилна дробе обикновена дроб, в която числителят е по-голям или равен на знаменателя, т.е. ако m≥n, тогава обикновената дроб е неправилна.

Ето няколко примера за правилни дроби: 1/4, 32,765/909,003. Наистина, във всяка от написаните обикновени дроби числителят е по-малък от знаменателя (ако е необходимо, вижте статията за сравнение на естествените числа), така че те са правилни по дефиниция.

Ето примери за неправилни дроби: 9/9, 23/4, . Действително числителят на първата от написаните обикновени дроби е равен на знаменателя, а в останалите дроби числителят е по-голям от знаменателя.

Има и дефиниции на правилни и неправилни дроби, базирани на сравнение на дроби с единица.

Определение.

правилно, ако е по-малко от едно.

Определение.

Обикновена дроб се нарича грешно, ако е равно на едно или по-голямо от 1.

Така че обикновената дроб 7/11 е правилна, тъй като 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 и 27/27=1.

Нека помислим как обикновените дроби с числител, по-голям или равен на знаменателя, заслужават такова име - „неправилно“.

Например, нека вземем неправилната дроб 9/9. Тази дроб означава, че се вземат девет части от обект, който се състои от девет части. Тоест от наличните девет части можем да съставим цял обект. Тоест неправилната дроб 9/9 по същество дава целия обект, тоест 9/9 = 1. По принцип неправилните дроби с числител, равен на знаменателя, означават един цял обект и такава дроб може да бъде заменена с естественото число 1.

Сега разгледайте неправилните дроби 7/3 и 12/4. Съвсем очевидно е, че от тези седем трети части можем да съставим два цели обекта (един цял обект се състои от 3 части, тогава за да съставим два цели обекта ще ни трябват 3 + 3 = 6 части) и пак ще остане една трета част . Тоест, неправилната дроб 7/3 по същество означава 2 обекта и също 1/3 от такъв обект. И от дванадесет четвърти части можем да направим три цели предмета (три обекта с по четири части). Тоест дробта 12/4 по същество означава 3 цели обекта.

Разгледаните примери ни водят до следния извод: неправилните дроби могат да бъдат заменени или с естествени числа, когато числителят се раздели поравно на знаменателя (например 9/9=1 и 12/4=3), или със сумата на естествено число и правилна дроб, когато числителят не се дели равномерно на знаменателя (например 7/3=2+1/3). Може би точно това е причината неправилните дроби да бъдат наречени „неправилни“.

От особен интерес е представянето на неправилна дроб като сбор от естествено число и правилна дроб (7/3=2+1/3). Този процес се нарича отделяне на цялата част от неправилна дроб и заслужава отделно и по-внимателно разглеждане.

Също така си струва да се отбележи, че има много тясна връзка между неправилните дроби и смесените числа.

Положителни и отрицателни дроби

Всяка обикновена дроб съответства на положително дробно число (вижте статията за положителните и отрицателните числа). Тоест обикновените дроби са положителни дроби. Например обикновените дроби 1/5, 56/18, 35/144 са положителни дроби. Когато трябва да подчертаете положителността на дроб, пред него се поставя знак плюс, например +3/4, +72/34.

Ако поставите знак минус пред обикновена дроб, тогава този запис ще съответства на отрицателно дробно число. В този случай можем да говорим за отрицателни дроби. Ето няколко примера за отрицателни дроби: −6/10, −65/13, −1/18.

Положителните и отрицателните дроби m/n и −m/n са противоположни числа. Например дробите 5/7 и −5/7 са противоположни дроби.

Положителните дроби, като положителните числа като цяло, означават добавяне, доход, възходяща промяна на всяка стойност и т.н. Отрицателните дроби съответстват на разход, дълг или намаление на каквото и да е количество. Например, отрицателната част −3/4 може да се тълкува като дълг, чиято стойност е равна на 3/4.

В хоризонтална и дясна посока отрицателните дроби са разположени вляво от началото. Точките на координатната права, чиито координати са положителната част m/n и отрицателната част −m/n, се намират на същото разстояние от началото, но от противоположните страни на точка O.

Тук си струва да споменем дроби от формата 0/n. Тези дроби са равни на числото нула, тоест 0/n=0.

Положителните дроби, отрицателните дроби и 0/n дроби се комбинират, за да образуват рационални числа.

Действия с дроби

Вече обсъдихме едно действие с обикновени дроби - сравняване на дроби - по-горе. Дефинирани са още четири аритметични функции операции с дроби– събиране, изваждане, умножение и деление на дроби. Нека разгледаме всеки от тях.

Общата същност на операциите с дроби е подобна на същността на съответните операции с естествени числа. Нека направим една аналогия.

Умножение на дробиможе да се разглежда като действие за намиране на дроб от дроб. За да изясним, нека дадем пример. Нека имаме 1/6 от една ябълка и трябва да вземем 2/3 от нея. Частта, от която се нуждаем, е резултат от умножаването на дробите 1/6 и 2/3. Резултатът от умножението на две обикновени дроби е обикновена дроб (която в специален случай е равна на естествено число). След това ви препоръчваме да проучите информацията в статията Умножаване на дроби - правила, примери и решения.

Референции.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник за 5. клас. образователни институции.
• Виленкин Н.Я. и други. 6 клас: учебник за общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в техникуми).