Мода- стойността в набор от наблюдения, която се среща най-често

Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),

тук X Mo е лявата граница на модалния интервал, h Mo е дължината на модалния интервал, f Mo-1 е честотата на премодалния интервал, f Mo е честотата на модалния интервал, f Mo+1 е честота на постмодалния интервал.

Режимът на абсолютно непрекъснато разпределение е всяка точка локален максимумплътност на разпространение. За дискретни разпределенияза режим се счита всяка стойност a i, чиято вероятност p i е по-голяма от вероятностите на съседни стойности

Медиананепрекъсната случайна променлива хнеговата стойност Me се нарича, за която е еднакво вероятно случайната променлива да бъде по-малка или по-голяма мех, т.е.

M e =(n+1)/2 P(X < Me) = P(X > мех)

Равномерно разпределен NSV

Равномерно разпределение.Непрекъсната случайна променлива се нарича равномерно разпределена върху сегмента (), ако нейната функция на плътност на разпределение (фиг. 1.6, А) има формата:

Обозначение: – SW се разпределя равномерно върху .

Съответно функцията на разпределение на сегмента (фиг. 1.6, b):

Ориз. 1.6. Функции на случайна променлива, разпределени равномерно върху [ а,b]: А– плътности на вероятностите f(х); b– разпределения Е(х)

Математическото очакване и дисперсията на даден SV се определят от изразите:

Поради симетрията на функцията на плътността тя съвпада с медианата. Режимите нямат равномерно разпределение

Пример 4. Времето за изчакване за отговор на телефонно обаждане е случайна величина, която се подчинява на единен закон за разпределение в диапазона от 0 до 2 минути. Намерете функциите на интегралното и диференциалното разпределение на тази случайна променлива.

27. Нормален закон за разпределение на вероятностите

Непрекъсната случайна променлива x има нормално разпределение с параметри: m,s > 0, ако плътността на разпределението на вероятността има формата:

където: m – математическо очакване, s – средно стандартно отклонение.

Нормалното разпределение се нарича още гаусово на името на немския математик Гаус. Фактът, че една случайна променлива има нормално разпределение с параметри: m, , се означава по следния начин: N (m,s), където: m=a=M[X];

Доста често във формулите математическото очакване се означава с А . Ако една случайна променлива е разпределена по закона N(0,1), тогава тя се нарича нормализирана или стандартизирана нормална променлива. Функцията на разпределение за него има формата:

Графика на плътността нормална дистрибуция, която се нарича нормална крива или крива на Гаус, е показана на фиг. 5.4.

Ориз. 5.4. Нормална плътност на разпределение

Имотислучайна променлива с нормален закон на разпределение.

1. Ако , тогава да се намери вероятността тази стойност да попадне в даден интервал ( х 1; х 2) се използва формулата:

2. Вероятността отклонението на случайна величина от нейното математическо очакване да не превиши стойността (по абсолютна стойност) е равна.

В допълнение към математическото очакване и дисперсията, теорията на вероятностите също използва редица числени характеристики, които отразяват определени характеристики на разпределението.

Определение. Режимът Mo(X) на случайна променлива X е нейната най-вероятна стойност(за което вероятността r gили плътност на вероятността

Ако вероятността или плътността на вероятността достигне максимум не в една, а в няколко точки, се извиква разпределението мултимодален(фиг. 3.13).

Мода Мъх),при коя вероятност R (или плътността на вероятността (p(x) достига глобален максимум се нарича най-вероятно значениеслучайна променлива (на фиг. 3.13 това е Mo(X) 2).

Определение. Медианата Ме(Х) на непрекъсната случайна променлива X е нейната стойност, за което

тези. вероятността случайната променлива хще приеме стойност, по-малка от медианата кожа)или по-голямо от него, е същото и равно на 1/2. Геометрично вертикална права линия х = кожа), минаваща през точка с абциса, равна на кожа), разделя площта на фигурата йод на кривата на разпределение на две равни части (фиг. 3.14). Очевидно, в точката х = кожа)функцията на разпределение е равна на 1/2, т.е. P(Me(X))= 1/2 (фиг. 3.15).

Нека отбележим важно свойство на медианата на случайна променлива: очаквана стойност абсолютна стойносттогава отклонението на случайната величина X от постоянната стойност C е минимално, когато тази константа C е равна на медианата Me(X) = m, т.е.

(свойството е подобно на свойството (3.10") на минималния квадрат на отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване).

O Пример 3.15. Намерете модата, медианата и математическото очакване на случайна променлива X sплътност на вероятността f(x) = 3x 2 за xx.

Решение.Кривата на разпределение е показана на фиг. 3.16. Очевидно плътността на вероятността φ(x) е максимална при х= Mo(X) = 1.

Медиана кожа) = b намираме от условие (3.28):

където

Нека изчислим математическото очакване по формула (3.25):

Взаимно подреждане на точките M(X)>Me(X) И Мъх) във възходящ ред на абсцисата е показано на фиг. 3.16. ?

Заедно с цифровите характеристики, отбелязани по-горе, концепцията за квантили и процентни точки се използва за описание на случайна променлива.

Определение. Квантилно ниво y-квантил )

тази стойност x q на случайна променлива се нарича , при което неговата функция на разпределение приема стойност равна на d, т.е.

Някои квантили са получили специално име. Очевидно горното въведено Медиана случайна променлива е квантил от ниво 0,5, т.е. Me(X) = x 05. Квантилите dg 0 2 5 и x 075 бяха наименувани съответно нисък И горен квартилK

Тясно свързано с понятието квантил е понятието процентен пункт.Под YuOuHo-noy точка се подразбира квантил x x (( , тези. такава стойност на случайна променлива Х, при което

0 Пример 3.16. Въз основа на данните в пример 3.15 намерете квантила x 03 и 30% точка на случайната променлива Х.

Решение. Съгласно формула (3.23), функцията на разпределение

Намираме квантила 0 s от уравнение (3.29), т.е. x $3 =0,3, откъдето L "oz -0,67. Нека намерим 30% точка на случайната променлива Х, или квантил x 0 7, от ур. x $ 7 = 0,7, от където x 0 7 «0,89. ?

Сред числените характеристики на случайна променлива моментите - начален и централен - са от особено значение.

Определение. Началният моментK-тият ред на случайна променлива X се нарича математическо очакване та степентази стойност :

Определение. Централен моментk-тият ред на случайна променлива X е математическото очакване на k-та степен на отклонение на случайна променлива X от нейното математическо очакване:

Формули за изчисляване на моменти за дискретни случайни променливи(приемане на стойности х 1 с вероятности p,) и непрекъснати (с плътност на вероятността cp(x)) са дадени в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Лесно се забелязва, че когато k = 1 първи начален момент на случайна величина хе неговото математическо очакване, т.е. h x = M[X) = a,при Да се= 2 втори централен момент - дисперсия, т.е. p 2 = T)(X).

Централните моменти p A могат да бъдат изразени чрез началните моменти, но по формулите:

и т.н.

Например c 3 = M(X-a)* = M(X*-ZaX 2 +Za 2 X-a->) = M(X*)~ -ZaM(X 2)+Za 2 M(X)~ a3 = y 3 -Зу^ + Зу(у, -у^ = y 3 - Зу^ + 2у^ (при извеждането взехме предвид, че А = M(X)= V, е неслучайна стойност). ?

По-горе беше отбелязано, че математическото очакване M(X),или първият начален момент, характеризира средната стойност или позиция, центърът на разпределението на случайна променлива хна числовата ос; дисперсия ОХ),или вторият централен момент p 2, - s t s - разпределителен дисперсионен пън хотносително M(X).За още Подробно описаниеразпределенията служат като моменти от по-високи порядки.

Трета централна точка p 3 служи за характеризиране на асиметрията (изкривеността) на разпределението. Има размерите на случаен куб. За да се получи безразмерна величина, тя се разделя на o 3, където a е стандартното отклонение на случайната променлива Х.Получената стойност АНаречен коефициент на асиметрия на случайна променлива.

Ако разпределението е симетрично спрямо математическото очакване, тогава коефициентът на асиметрия A = 0.

На фиг. Фигура 3.17 показва две криви на разпределение: I и II. Крива I има положителна (дясна) асиметрия (L > 0), а крива II има отрицателна (лява) асиметрия (L

Четвърта централна точка p 4 служи за характеризиране на стръмността (рязкост или плоскост) на разпределението.

Очаквана стойност. Математическо очакванедискретна случайна променлива х, приемайки краен брой стойности хiс вероятности Рi, сумата се нарича:

Математическо очакваненепрекъсната случайна променлива хсе нарича интеграл от произведението на неговите стойности хвърху плътността на разпределението на вероятностите f(х):

(6b)

Неправилен интеграл (6 b) се приема за абсолютно конвергентен (в противен случай те казват, че математическото очакване М(х) не съществува). Математическото очакване характеризира средна стойностслучайна величина х. Размерността му съвпада с размерността на случайната променлива.

Свойства на математическото очакване:

дисперсия. Дисперсияслучайна величина хномерът се нарича:

Дисперсията е характеристика на разсейванестойности на случайни променливи хспрямо средната му стойност М(х). Размерността на дисперсията е равна на размерността на случайната променлива на квадрат. Въз основа на дефинициите на дисперсия (8) и математическо очакване (5) за дискретна случайна променлива и (6) за непрекъсната случайна променлива, получаваме подобни изразиза отклонение:

(9)

Тук м = М(х).

Дисперсионни свойства:

Стандартно отклонение:

(11)

Тъй като стандартното отклонение има същото измерение като случайна променлива, то се използва по-често като мярка за дисперсия, отколкото за дисперсия.

Моменти на разпространение. Понятията математическо очакване и дисперсия са специални случаи на повече обща концепцияза числени характеристики на случайни променливи – разпределителни моменти. Моментите на разпределение на случайна величина се въвеждат като математически очаквания на някои прости функции на случайна величина. И така, редовен момент кспрямо точката х 0 се нарича математическо очакване М(х–х 0 )к. Моменти за произхода х= 0 се извикват начални моментии са обозначени:

(12)

Началният момент на първия ред е центърът на разпределението на разглежданата случайна променлива:

(13)

Моменти за центъра на разпространение х= мса наречени централни точкии са обозначени:

(14)

От (7) следва, че централният момент от първи ред е винаги равно на нула:

Централните моменти не зависят от произхода на стойностите на случайната променлива, тъй като при изместване с постоянна стойност СЪСнеговият разпределителен център се измества със същата стойност СЪС, а отклонението от центъра не се променя: х – м = (х – СЪС) – (м – СЪС).
Сега това е очевидно дисперсия- Това централен момент от втори ред:

Асиметрия. Централен момент от трети ред:

(17)

служи за оценка асиметрии на разпределение. Ако разпределението е симетрично спрямо точката х= м, тогава централният момент от трети ред ще бъде равен на нула (както всички централни моменти от нечетни редове). Следователно, ако централният момент от трети ред е различен от нула, тогава разпределението не може да бъде симетрично. Големината на асиметрията се оценява с помощта на безразмерна коефициент на асиметрия:

(18)

Знакът на коефициента на асиметрия (18) показва дясно- или ляво-странна асиметрия (фиг. 2).

Ориз. 2. Видове асиметрия на разпределението.

Излишък. Централен момент от четвърти ред:

(19)

служи за оценка на т.нар излишък, което определя степента на стръмност (пикова точка) на кривата на разпределение близо до центъра на разпределението по отношение на нормалната крива на разпределение. Тъй като за нормално разпределение стойността, взета като ексцес, е:

(20)

На фиг. 3 показва примери за криви на разпределение с различни значенияизлишък. За нормално разпределение д= 0. Кривите, които са по-заострени от нормалното, имат положителен ексцес, тези с по-плосък връх имат отрицателен ексцес.

Ориз. 3. Криви на разпределение с различна степен на стръмност (ексцес).

Моментите от по-висок порядък обикновено не се използват в инженерните приложения на математическата статистика.

Мода отделенслучайна променлива е нейната най-вероятна стойност. Мода непрекъснатослучайна променлива е нейната стойност, при която плътността на вероятността е максимална (фиг. 2). Ако кривата на разпределението има един максимум, тогава разпределението се нарича унимодален. Ако кривата на разпределение има повече от един максимум, тогава се извиква разпределението мултимодален. Понякога има разпределения, чиито криви имат минимум, а не максимум. Такива разпределения се наричат антимодални. В общия случай модата и математическото очакване на една случайна величина не съвпадат. В специалния случай, за модален, т.е. имащ режим, симетрично разпределение и при наличие на математическо очакване, последното съвпада с мода и центъра на симетрия на разпределението.

Медиана случайна величина х- това е смисълът му мех, за които е изпълнено равенство: т.е. еднакво вероятно е случайната променлива хще бъде по-малко или повече мех. Геометрично Медианае абсцисата на точката, в която площта под кривата на разпределение е разделена наполовина (фиг. 2). В случай на симетрично модално разпределение медианата, модата и математическото очакване са еднакви.

Сред числовите характеристики на случайните променливи е необходимо на първо място да се отбележат тези, които характеризират позицията на случайната променлива върху числовата ос, т.е. посочете някаква средна, приблизителна стойност, около която са групирани всички възможни стойности на случайна променлива.

Средната стойност на случайна променлива е определено число, което е неин „представител“ и го замества в грубо приблизителни изчисления. Когато казваме: „средното време на работа на лампата е 100 часа“ или „средната точка на удар е изместена спрямо целта с 2 м надясно“, ние посочваме определена числена характеристика на случайна променлива, която описва нейното местоположение на числовата ос, т.е. "позиционни характеристики".

От характеристиките на позицията в теорията на вероятностите жизненоважна роляиграе математическото очакване на случайна променлива, което понякога се нарича просто средна стойност на случайната променлива.

Нека разгледаме дискретна случайна променлива с възможни стойности с вероятности. Трябва да характеризираме с някакво число позицията на стойностите на случайна променлива по оста x, като вземем предвид факта, че тези стойности имат различни вероятности. За тази цел е естествено да се използва т. нар. „среднопретеглена” на стойностите, като всяка стойност при осредняването трябва да се вземе предвид с „тегло”, пропорционално на вероятността на тази стойност. Така ще изчислим средната стойност на случайната променлива, която ще обозначим с:

или предвид това,

. (5.6.1)

Тази среднопретеглена стойност се нарича математическо очакванеслучайна величина. Така ние въведохме в разглеждането една от най-важните концепции на теорията на вероятностите - концепцията за математическото очакване.

Математическото очакване на случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и вероятностите на тези стойности.

Имайте предвид, че в горната формулировка дефиницията на математическото очакване е валидна, строго погледнато, само за дискретни случайни променливи; По-долу ще обобщим тази концепция за случая на непрекъснати количества.

За да направим концепцията за математическото очакване по-ясна, нека се обърнем към механичната интерпретация на разпределението на дискретна случайна променлива. Нека на абсцисната ос има точки с абциси, в които са съсредоточени масите съответно и . Тогава, очевидно, математическото очакване, определено с формула (5.6.1), не е нищо повече от абсцисата на центъра на тежестта на дадена система от материални точки.

Математическото очакване на случайна променлива е свързано със специфична зависимост със средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива за голям брой експерименти. Тази зависимост е от същия тип като зависимостта между честота и вероятност, а именно: при голям брой експерименти средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива се доближава (конвергира по вероятност) до нейното математическо очакване. От наличието на връзка между честотата и вероятността може да се изведе като следствие наличието на подобна връзка между средното аритметично и математическото очакване.

Наистина, разгледайте дискретна случайна променлива, характеризираща се със серия на разпределение:

Където .

Нека се проведат независими експерименти, във всеки от които количеството приема определена стойност. Да приемем, че стойността се появи веднъж, стойността се появи веднъж и стойността се появи веднъж. очевидно,

Нека изчислим средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на величината, която, за разлика от математическото очакване, означаваме:

Но няма нищо повече от честотата (или статистическата вероятност) на дадено събитие; тази честота може да бъде обозначена. Тогава

,

тези. средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива е равна на сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайната променлива и честотите на тези стойности.

Тъй като броят на експериментите се увеличава, честотите ще се доближават (сближават по вероятност) до съответните вероятности. Следователно средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива ще се доближи (сближи по вероятност) до нейното математическо очакване с увеличаване на броя на експериментите.

Връзката между средното аритметично и математическото очакване, формулирана по-горе, съставлява съдържанието на една от формите на закона за големите числа. Ще дадем строго доказателство за този закон в Глава 13.

Вече знаем, че всички форми на закона за големите числа посочват факта, че някои средни стойности са стабилни за голям брой експерименти. Тук говорим за устойчивост на средноаритметичното от поредица от наблюдения на една и съща величина. При малък брой експерименти средноаритметичната стойност на техните резултати е случайна; с достатъчно увеличаване на броя на експериментите, той става „почти неслучаен“ и, стабилизирайки се, се доближава до постоянна стойност - математическото очакване.

Стабилността на средните стойности за голям брой експерименти може лесно да се провери експериментално. Например, когато претегляме тяло в лаборатория на прецизни везни, в резултат на претеглянето всеки път получаваме нова стойност; За да намалим грешката на наблюдение, претегляме тялото няколко пъти и използваме средноаритметичната стойност на получените стойности. Лесно е да се види, че с по-нататъшно увеличаване на броя на експериментите (претегляния), средноаритметичната стойност реагира на това увеличение все по-малко и при достатъчно голям брой експерименти практически престава да се променя.

Формула (5.6.1) за математическото очакване отговаря на случая на дискретна случайна величина. За непрекъсната стойностматематическото очакване естествено се изразява не като сума, а като интеграл:

, (5.6.2)

където е плътността на разпределение на количеството.

Формула (5.6.2) се получава от формула (5.6.1), ако отделните стойности в нея се заменят с непрекъснато променящ се параметър x, съответните вероятности - с вероятностния елемент, а крайната сума - с интеграла. В бъдеще често ще използваме този метод за разширяване на формулите, получени за прекъснати количества към случая на непрекъснати количества.

В механичната интерпретация математическото очакване на непрекъсната случайна променлива запазва същото значение - абсцисата на центъра на тежестта в случая, когато масата е разпределена по абсцисата непрекъснато, с плътност. Тази интерпретация често позволява да се намери математическото очакване, без да се изчислява интегралът (5.6.2), от прости механични съображения.

По-горе въведохме нотация за математическото очакване на количеството. В редица случаи, когато количеството е включено във формулите като конкретно число, е по-удобно да се обозначи с една буква. В тези случаи ще обозначим математическото очакване на стойност с:

Означенията и за математическото очакване ще се използват паралелно в бъдеще, в зависимост от удобството на конкретен запис на формулите. Нека също така се съгласим, ако е необходимо, да съкращаваме думите „математическо очакване“ с буквите m.o.

трябва да бъде отбелязано че най-важната характеристикаразпоредби - математическо очакване - не съществува за всички случайни величини. Възможно е да се съставят примери за такива случайни променливи, за които не съществува математическо очакване, тъй като съответната сума или интеграл се разминават.

Помислете, например, за прекъсната случайна променлива със серия на разпределение:

Лесно е да се провери, че т.е. серия за разпространение има смисъл; обаче сумата в този случай се разминава и следователно няма математическо очакване на стойността. Такива случаи обаче не представляват съществен интерес за практиката. Обикновено случайните променливи, с които работим, имат ограничен диапазон от възможни стойности и, разбира се, имат математическо очакване.

По-горе дадохме формули (5.6.1) и (5.6.2), изразяващи съответно математическото очакване за прекъсната и непрекъсната случайна променлива.

Ако количеството принадлежи на количествата смесен тип, тогава неговото математическо очакване се изразява с формула от вида:

, (5.6.3)

където сумата се простира до всички точки, в които функцията на разпределение е прекъсната, а интегралът се простира до всички области, в които функцията на разпределение е непрекъсната.

В допълнение към най-важната характеристика на позицията - математическото очакване - на практика понякога се използват и други характеристики на позицията, по-специално модата и медианата на случайна променлива.

Режимът на случайна променлива е нейната най-вероятна стойност. Терминът "най-вероятна стойност" строго погледнато се прилага само за прекъснати количества; за непрекъснато количество режимът е стойността, при която плътността на вероятността е максимална. Нека се съгласим да обозначим режима с буквата . На фиг. 5.6.1 и 5.6.2 показват режима съответно за прекъснати и непрекъснати случайни променливи.

Ако полигонът на разпределение (кривата на разпределение) има повече от един максимум, разпределението се нарича „мултимодално“ (фиг. 5.6.3 и 5.6.4).

Понякога има разпределения, които имат минимум в средата, а не максимум (фиг. 5.6.5 и 5.6.6). Такива разпределения се наричат ​​„антимодални“. Пример за антимодално разпределение е разпределението, получено в Пример 5, № 5.1.

В общия случай модата и математическото очакване на една случайна величина не съвпадат. В конкретния случай, когато разпределението е симетрично и модално (т.е. има мода) и има математическо очакване, то то съвпада с модата и центъра на симетрия на разпределението.

Често се използва и друга характеристика на позицията - така наречената медиана на случайна величина. Тази характеристика обикновено се използва само за непрекъснати случайни променливи, въпреки че може да бъде формално дефинирана за прекъсната променлива.

Медианата на случайна променлива е нейната стойност, за която

тези. еднакво вероятно е случайната променлива да бъде по-малка или по-голяма от . Геометрично медианата е абсцисата на точката, в която площта, ограничена от кривата на разпределение, е разделена наполовина (фиг. 5.6.7).

мода()на непрекъсната случайна променлива е нейната стойност, която съответства на максималната стойност на нейната плътност на вероятността.

Медиана()Непрекъсната случайна променлива е нейната стойност, която се определя от равенството:

B15. Биномен законразпределения и техните числени характеристики. Биномиално разпределение описва повтарящи се независими експерименти. Този закон определя настъпването на едно събитие веднъж независими тестове, ако вероятността за възникване на събитие във всеки от тези експерименти не се променя от експеримент на експеримент. Вероятност:

,

където: е известната вероятност за настъпване на събитие в експеримент, която не се променя от експеримент на експеримент;

– вероятност за ненастъпване на събитие в експеримента;

– зададения брой появявания на събитието в експериментите;

– брой комбинации от елементи по .

B15. Закон за равномерно разпределение, графики на функция на разпределение и плътност, числени характеристики. Разглежда се непрекъсната случайна променлива равномерно разпределен, ако нейната плътност на вероятността има формата:

Очаквана стойностслучайна променлива с равномерно разпределение:

дисперсияможе да се изчисли, както следва:

Стандартно отклонениеще изглежда така:

.

B17. Експоненциален закон на разпределение, графики на функция на разпределение и плътност, числени характеристики. Експоненциално разпределениеНепрекъсната случайна променлива е разпределение, което се описва със следния израз за плътността на вероятността:

,

където е постоянна положителна стойност.

Функцията на разпределение на вероятностите в този случай има формата:

Математическото очакване на случайна променлива с експоненциално разпределение се получава въз основа на обща формулакато се има предвид, че когато:

.

Интегрирайки този израз по части, намираме: .

Дисперсията за експоненциалното разпределение може да се получи с помощта на израза:

.

Замествайки израза за плътността на вероятността, намираме:

Изчислявайки интеграла по части, получаваме: .

B16. Нормален закон на разпределение, графики на функция на разпределение и плътност. Стандартно нормално разпределение. Отразена нормална функция на разпределение. нормалнотакова разпределение на случайна променлива се нарича, чиято плътност на вероятността се описва от функцията на Гаус:

къде е стандартното отклонение;

– математическо очакване на случайна величина.

Графиката на плътността на нормалното разпределение се нарича нормална крива на Гаус.

B18. Неравенството на Марков. Обобщено неравенство на Чебишев. Ако за случайна променлива хсъществува, значи е вярно за всеки Марковско неравенство .

Следва от обобщено неравенство на Чебишев: Нека функцията е монотонно нарастваща и неотрицателна върху . Ако за случайна променлива хсъществува, тогава неравенството е валидно за всеки .

B19. Законът за големите числа във формата на Чебишев. Значението му. Следствие от закона за големите числа във форма на Чебишев. Закон за големите числа във формата на Бернули. Под закон на големите числав теорията на вероятностите се разбират редица теореми, всяка от които установява факта на асимптотичното приближаване на средната стойност на голям брой експериментални данни до математическото очакване на случайна променлива. Доказателствата на тези теореми се основават на неравенството на Чебишев. Това неравенство може да се получи чрез разглеждане на дискретна случайна променлива с възможни стойности.

Теорема. Нека има крайна последователност независими случайни променливи, със същото математическо очакване и дисперсии, ограничени от същата константа:

Тогава, каквото и да е числото, вероятността за събитието

клони към единство при .

Теоремата на Чебишев установява връзка между теорията на вероятностите, която разглежда средните характеристики на целия набор от стойности на случайна променлива и математическа статистика, работещи с ограничен набор от стойности на това количество. Той показва, че при достатъчно голям брой измервания на определена случайна величина средноаритметичното на стойностите на тези измервания се доближава до математическото очакване.

НА 20. Предмет и задачи на математическата статистика. Генерални и извадкови съвкупности. Метод на избор. Математическа статистика– науката за математически методисистематизиране и използване на статистически данни за научни и практически изводи, базирани на теорията на вероятностите.

Обектите на изучаване на математическата статистика са случайни събития, величини и функции, които характеризират разглежданото случайно явление. Случайни са следните събития: спечелване на един паричен билет от лотарията, съответствие на контролирания продукт с установените изисквания, безпроблемна работа на превозното средство през първия месец от експлоатацията му, изпълнение на дневния работен график от изпълнителя.

Извадкова популациянаречена колекция от произволно избрани обекти.

Общо населениеименувайте набора от обекти, от които е направена пробата.

НА 21. Методи за подбор.

Методи за избор: 1 Селекция, която не изисква разчленяване населениена части. Те включват а) обикновено произволно вземане на проби без повторение и б) просто произволно повторно вземане на проби. 2) Селекция, при която популацията се разделя на части. Те включват a) типичен избор, b) механичен избор и c) сериен избор.

Обикновено произволнонаречена селекция, при която обектите се извличат един по един от популацията.

Типичнонаречена селекция, при която обектите се избират не от цялата популация, а от всяка нейна „типична“ част.

Механичнисе нарича селекция, при която съвкупността се разделя механично на толкова групи, колкото обекти има за включване в извадката, и от всяка група се избира по един обект.

Сериеннаречена селекция, при която обектите се избират от общата съвкупност не един по един, а в „серии“, които се подлагат на непрекъснато проучване.

B22. Статистически и вариационни редове. Емпирична функция на разпределение и нейните свойства. Вариационни серииза дискретни и непрекъснати случайни променливи. Нека извадка бъде извлечена от генералната популация и стойността на параметъра, който се изследва, е наблюдавана веднъж, - веднъж и т.н. Освен това размерът на извадката. Наблюдаваните стойности се наричат настроики, а последователността от опции, записани във възходящ ред, е вариационна серия . Извикват се номерата на наблюденията честоти, и тяхната връзка с размера на извадката - относителни честоти.Вариационни серииможе да се представи с таблица като:

х			…..
н			….

Разпределение на статистическата извадканаименувайте списък с опции и съответните им относителни честоти. Статистическо разпределениеможе да се представи като:

х			…..
w			….

къде са относителните честоти.

Емпирична функция на разпределениеизвикване на функция, която определя за всяка стойност x относителната честота на събитието X