Графично решениеуравнения, неравенства, системи с параметър (алгебра и начало на анализа) Съдържание
Въведение
II. Уравнения с параметри.
§ 1. Определения.
§ 2. Алгоритъм за решение.
§ 3. Примери.
III. Неравенства с параметри.
§ 1. Определения.
§ 2. Алгоритъм за решение.
§ 3. Примери.
IV. Библиография.
Въведение
Изследването на много физически процеси и геометрични модели често води до решаване на проблеми с параметри. Някои университети също включват уравнения, неравенства и техните системи в изпитните работи, които често са много сложни и изискват нестандартен подход при решаването им. В училище този един от най-трудните раздели от училищния курс по математика се разглежда само в няколко избираеми класа.
При подготовката на тази работа си поставих за цел по-задълбочено проучване на тази тема, идентифицирайки най-много рационално решение, което бързо води до отговор. По мое мнение графичен методе удобно и по бърз начинрешаване на уравнения и неравенства с параметри.
Моето есе разглежда често срещани видове уравнения, неравенства и техните системи и се надявам, че знанията, които придобих в процеса на работа, ще ми помогнат при полагане на училищни изпити и при постъпване в университет.
§ 1. Основни определения
Помислете за уравнението
¦ (a, b, c, …, k , x)=j (a, b, c, …, k , x), (1)
където a, b, c, …, k, x са променливи величини.
Всяка система от променливи стойности
a = a0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,
в която и лявата, и дясната страна на това уравнение приемат реални стойности, се нарича система приемливи стойностипроменливи a, b, c, …, k, x. Нека A е множеството от всички допустими стойности на a, B е множеството от всички допустими стойности на b и т.н., X е множеството от всички допустими стойности на x, т.е. аО А, bО B, …, xО X. Ако за всяко от множествата A, B, C, …, K изберете и фиксирайте по една стойност съответно a, b, c, …, k и ги заместете в уравнение ( 1), тогава получаваме уравнение за x, т.е. уравнение с едно неизвестно.
Променливите a, b, c, ..., k, които се считат за постоянни при решаване на уравнение, се наричат параметри, а самото уравнение се нарича уравнение, съдържащо параметри.
Параметрите се означават с първите букви от латинската азбука: a, b, c, d, ..., k, l, m, n, а неизвестните - с буквите x, y, z.
Да се реши уравнение с параметри означава да се посочи при какви стойности на параметрите съществуват решения и какви са те.
Две уравнения, съдържащи еднакви параметри, се наричат еквивалентни, ако:
а) имат смисъл за едни и същи стойности на параметри;
б) всяко решение на първото уравнение е решение на второто и обратно.
§ 2. Алгоритъм за решение. Намерете областта на дефиниция на уравнението. Изразяваме a като функция на x. В координатната система xOa изграждаме графика на функцията a=¦ (x) за тези стойности на x, които са включени в областта на дефиниция дадено уравнение.
Намираме пресечните точки на правата a=c, където cÎ (-¥ ;+¥) с графиката на функцията a=¦ (x) Ако правата a=c пресича графиката a=¦ (x) , тогава определяме абсцисите на пресечните точки. За да направите това, достатъчно е да решите уравнението a=¦ (x) за x.
Записваме отговора. § 3. Примери
I. Решете уравнението
Тъй като x=0 не е корен на уравнението, уравнението може да бъде разрешено за a:
или 
Графиката на функция е две „залепени“ хиперболи. Броят на решенията на първоначалното уравнение се определя от броя на пресечните точки на построената права и правата линия y=a.
Ако a Î (-¥ ;-1]È (1;+¥)È , тогава правата y=a пресича графиката на уравнение (1) в една точка. Ще намерим абсцисата на тази точка, когато решаваме уравнението за х.
Така в този интервал уравнение (1) има решение 
.
Ако a О , то правата у=а пресича графиката на уравнение (1) в две точки. Абсцисите на тези точки могат да бъдат намерени от уравненията и 
, получаваме
И 
.
Ако a О , то правата у=а не пресича графиката на уравнение (1), следователно няма решения.
Ако a Î (-¥ ;-1]È (1;+¥)È , тогава ;
Ако a О , тогава , ;
Ако a О , тогава няма решения.
II. Намерете всички стойности на параметъра a, за които уравнението има три различни корена.
След като пренапишете уравнението във формуляра и разгледате двойка функции, можете да забележите, че желаните стойности на параметъра a и само те ще съответстват на онези позиции на графиката на функцията, в които има точно три точки на пресичане с графиката на функцията.
В координатната система xOy ще построим графика на функцията ). За да направим това, можем да го представим във формата и след като разгледахме четири възникващи случая, записваме тази функция във формата
Тъй като графиката на функция е права линия, която има ъгъл на наклон към оста Ox, равен на , и пресича оста Oy в точка с координати (0, a), заключаваме, че трите посочени пресечни точки могат да бъдат получени само в случай, че тази линия докосва графиката на функцията. Следователно намираме производната
III. Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които системата от уравнения
има решения.
От първото уравнение на системата получаваме 
при Следователно това уравнение дефинира семейство от „полупараболи“ - десните клонове на параболата “плъзгат” върховете им по абсцисната ос.
Нека изберем перфектните квадрати от лявата страна на второто уравнение и го разложим на множители
Множеството от точки на равнината, удовлетворяващи второто уравнение, са две прави линии
Нека разберем при какви стойности на параметъра a крива от семейството на „полупараболите“ има поне една обща точка с една от получените прави линии.
Ако върховете на полупараболите са вдясно от точка A, но вляво от точка B (точка B съответства на върха на „полупараболата“, който докосва
права линия), тогава разглежданите графики нямат общи точки. Ако върхът на „полупараболата” съвпада с точка А, то .
Определяме случая на „полупарабола“, докосваща права от условието за съществуване на уникално решение на системата
В този случай уравнението
има един корен, откъдето намираме:
Следователно оригиналната система няма решения за 
, и за или има поне едно решение.
Отговор: a Î (-¥ ;-3] È (;+¥).
IV. Решете уравнението
Използвайки равенството , пренаписваме даденото уравнение във вида
Това уравнение е еквивалентно на системата
Уравнението 
нека го пренапишем във формата
. (*)
Последното уравнение е най-лесно за решаване с помощта на геометрични съображения. Нека построим графики на функциите и От графиката следва, че графиките не се пресичат и следователно уравнението няма решения.
Ако , тогава когато графиките на функциите съвпадат и следователно всички стойности са решения на уравнение (*).
Когато графиките се пресичат в една точка, чиято абциса е . Така, когато уравнение (*) има единствено решение - .
Нека сега проучим при какви стойности на a намерените решения на уравнение (*) ще удовлетворят условията
Нека бъде тогава. Системата ще приеме формата
Неговото решение ще бъде интервалът xÎ (1;5). Като се има предвид това, можем да заключим, че оригиналното уравнение е изпълнено от всички стойности на x от интервала ∪ или в друга нотация x 1 ≤x≤x 2,
където x 1 и x 2 са корените на квадратния трином a x 2 +b x+c и x 1 Чертежът ясно показва, че параболата е разположена над оста Ox навсякъде, с изключение на точката на контакт, тоест в интервалите (−∞, x 0), (x 0, ∞). За по-голяма яснота, нека подчертаем областите в чертежа по аналогия с предишния параграф. Правим изводи: за a>0 и D=0 където x 0 е коренът на квадратния трином a x 2 + b x + c. Очевидно параболата е разположена над оста Ox по цялата си дължина (няма интервали, в които да е под оста Ox, няма точка на допиране). Така за a>0 и D<0
решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 и a x 2 +b x+c≥0 е множеството от всички реални числа и неравенствата a x 2 +b x+c<0
и a·x 2 +b·x+c≤0
не имеют решений. И остават три варианта за местоположението на параболата с клони, насочени надолу, а не нагоре, спрямо оста Ox. По принцип те не трябва да се разглеждат, тъй като умножаването на двете страни на неравенството по −1 ни позволява да стигнем до еквивалентно неравенство с положителен коефициент за x 2. Но все пак не пречи да добиете представа за тези случаи. Разсъжденията тук са подобни, така че ще запишем само основните резултати. Резултатът от всички предишни изчисления е алгоритъм за графично решаване на квадратни неравенства: Върху координатната равнина се прави схематичен чертеж, който изобразява оста Ox (не е необходимо да се изобразява оста Oy) и скица на парабола, съответстваща на квадратичната функция y=a·x 2 +b·x+c. За да нарисувате скица на парабола, достатъчно е да изясните две точки: Когато чертежът е готов, използвайте го във втората стъпка от алгоритъма те представляват желаното решение на квадратното неравенство и ако няма такива интервали и точки на допиране, тогава първоначалното квадратно неравенство няма решения. Всичко, което остава, е да се решат няколко квадратни неравенства с помощта на този алгоритъм. Пример. Решете неравенството Решение. Трябва да решим квадратно неравенство, нека използваме алгоритъма от предишния параграф. В първата стъпка трябва да скицираме графиката на квадратичната функция От това става ясно, че параболата пресича оста Ox в две точки с абсциси −3 и 1/3. Ще изобразим тези точки на чертежа като обикновени точки, тъй като решаваме нестрого неравенство. Въз основа на изяснените данни получаваме следния чертеж (той отговаря на първия шаблон от първия параграф на статията): Да преминем към втората стъпка от алгоритъма. Тъй като решаваме нестрого квадратно неравенство със знак ≤, трябва да определим интервалите, на които параболата е разположена под абсцисата и да добавим към тях абсцисите на пресечните точки. От чертежа се вижда, че параболата е под оста x на интервала (−3, 1/3) и към нея добавяме абсцисите на пресечните точки, тоест числата −3 и 1/3. В резултат на това стигаме до числовия интервал [−3, 1/3] . Това е решението, което търсим. Може да се запише като двойно неравенство −3≤x≤1/3. Отговор: [−3, 1/3] или −3≤x≤1/3. Пример. Намерете решението на квадратното неравенство −x 2 +16 x−63<0
. Решение. Както обикновено, започваме с рисунка. Численият коефициент за квадрата на променливата е отрицателен, −1, следователно клоновете на параболата са насочени надолу. Нека изчислим дискриминанта или още по-добре четвъртата му част: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Стойността му е положителна, нека изчислим корените на квадратния трином: Тъй като решаваме строго квадратно неравенство със знак<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс: Чертежът показва, че решенията на първоначалното квадратно неравенство са два интервала (−∞, 7) , (9, +∞) . Отговор: (−∞, 7)∪(9, +∞) или в друга нотация x<7
, x>9
. Когато решавате квадратни неравенства, когато дискриминантът на квадратен трином от лявата му страна е нула, трябва да внимавате да включите или изключите абсцисата на допирателната точка от отговора. Това зависи от знака на неравенството: ако неравенството е строго, то не е решение на неравенството, но ако не е строго, тогава е. Пример. Квадратното неравенство 10 x 2 −14 x+4,9≤0 има ли поне едно решение? Решение. Нека начертаем функцията y=10 x 2 −14 x+4,9. Неговите клонове са насочени нагоре, тъй като коефициентът на x 2 е положителен и докосва абсцисната ос в точката с абсцисата 0,7, тъй като D"=(−7) 2 −10 4,9=0, откъдето или 0,7 във формата на десетична дроб Схематично това изглежда така: Тъй като решаваме квадратно неравенство със знак ≤, неговото решение ще бъде интервалите, на които параболата е под оста Ox, както и абсцисата на допирателната точка. От чертежа става ясно, че няма нито една празнина, където параболата да е под оста Ox, така че нейното решение ще бъде само абсцисата на допирателната точка, тоест 0,7. Отговор: това неравенство има уникално решение 0.7. Пример. Решете квадратното неравенство –x 2 +8 x−16<0
. Решение. Следваме алгоритъма за решаване на квадратни неравенства и започваме с построяване на графика. Клоните на параболата са насочени надолу, тъй като коефициентът на x 2 е отрицателен, −1. Нека намерим дискриминанта на квадратния трином –x 2 +8 x−16, който имаме D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0и след това x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . И така, параболата докосва оста Ox в абсцисната точка 4. Да направим чертежа: Гледаме знака на първоначалното неравенство, той е там<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс. В нашия случай това са отворени лъчи (−∞, 4) , (4, +∞) . Отделно отбелязваме, че 4 - абсцисата на точката на контакт - не е решение, тъй като в точката на контакт параболата не е по-ниска от оста Ox. Отговор: (−∞, 4)∪(4, +∞) или в друга нотация x≠4 . Обърнете специално внимание на случаите, когато дискриминантът на квадратния трином от лявата страна на квадратното неравенство е по-малък от нула. Тук няма нужда да бързаме и да казваме, че неравенството няма решения (свикнали сме да правим такова заключение за квадратни уравнения с отрицателен дискриминант). Въпросът е, че квадратното неравенство за D<0
может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел. Пример. Намерете решението на квадратното неравенство 3 x 2 +1>0. Решение. Както обикновено, започваме с рисунка. Коефициентът a е 3, той е положителен, следователно клоните на параболата са насочени нагоре. Изчисляваме дискриминанта: D=0 2 −4·3·1=−12 . Тъй като дискриминантът е отрицателен, параболата няма общи точки с оста Ox. Получената информация е достатъчна за схематична графика: Решаваме строго квадратно неравенство със знак >. Неговото решение ще бъдат всички интервали, в които параболата е над оста Ox. В нашия случай параболата е над оста x по цялата си дължина, така че желаното решение ще бъде множеството от всички реални числа. Ox , и вие също трябва да добавите абсцисата на точките на пресичане или абсцисата на допирателната точка към тях. Но от чертежа ясно се вижда, че няма такива интервали (тъй като параболата е навсякъде под абсцисната ос), както няма пресечни точки, както няма и допирателни точки. Следователно първоначалното квадратно неравенство няма решения. Отговор: няма решения или в друг запис ∅. Библиография. Системата се състои от неравенства на две променливи: За да разрешите системата, трябва: 1. За всяко неравенство напишете уравнението, съответстващо на това неравенство. 2. Построяване на прави линии, които са графики на функции, зададени с уравнения. 3. За всяка права определете полуравнината, която е дадена от неравенството. За да направите това, вземете произволна точка, която не лежи на права, и заменете нейните координати в неравенството. ако неравенството е вярно, тогава полуравнината, съдържаща избраната точка, е решението на първоначалното неравенство. Ако неравенството е невярно, тогава полуравнината от другата страна на правата е множеството от решения на това неравенство. 4. За да се реши система от неравенства, е необходимо да се намери зоната на пресичане на всички полуравнини, които са решението на всяко неравенство на системата. Тази област може да се окаже празна, тогава системата от неравенства няма решения и е непоследователна. В противен случай се казва, че системата е последователна. Може да има краен брой или безкраен брой решения. Областта може да бъде затворен многоъгълник или неограничена. Пример 3.Решете системата графично: Разгледайте уравненията x + y–1 = 0 и –2x – 2y + 5 = 0, съответстващи на неравенствата. Нека построим прави линии, дадени от тези уравнения (фиг. 3). Фигура 3 – Изображение на прави линии Нека дефинираме полуравнините, определени от неравенствата. Нека вземем произволна точка, нека (0; 0). Помислете за x+ y– 1 ≤ 0, заместете точката (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Това означава, че в полуравнината, където се намира точката (0; 0), x + y – 1 ≤ 0 , т.е. полуравнината, лежаща под правата, е решение на първото неравенство. Замествайки тази точка (0; 0) във втората, получаваме: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуравнината, където се намира точката (0; 0), –2x – 2y + 5≥ 0, и бяхме попитани къде –2x – 2y + 5 ≤ 0, следователно, в другата полуравнина – в едната над правата линия. Нека намерим пресечната точка на тези две полуравнини. Правите са успоредни, така че равнините не се пресичат никъде, което означава, че системата от тези неравенства няма решения и е несъвместима. Пример 4.Намерете графично решения на системата от неравенства: 1. Да напишем уравненията, съответстващи на неравенствата, и да построим прави линии (фиг. 4). x + 2y– 2 = 0 х 2 0 y – x – 1 = 0 х 0 2 y + 2 = 0; y = –2. Фигура 4 – Изображение на прави линии 2. След като избрахме точката (0; 0), определяме знаците на неравенствата в полуравнините: 0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. x + 2y– 2 ≤ 0 в полуравнината под правата; 0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y –x– 1 ≤ 0 в полуравнината под правата; 0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. y + 2 ≥ 0 в полуравнината над правата. 3. Пресечната точка на тези три полуравнини ще бъде област, която е триъгълник. Не е трудно да се намерят върховете на региона като пресечни точки на съответните линии Така A(–3; –2), B(0; 1), C(6; –2). Нека разгледаме друг пример, в който получената област на решение на системата е неограничена. Пример 5.Решете системата графично Нека да напишем уравненията, съответстващи на неравенствата, и да построим прави линии (фиг. 5). Фигура 5 – Изображение на прави линии x + y – 1 = 0 х 0 1 y – x – 1 = 0 x 0 –1 Нека дефинираме знаци в полуравнини. Нека изберем точката (0; 0): 0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y – x – 1 ≤ 0 под правата линия; 0 + 0 – 1 ≤ 0, т.е. x + y – 1 ≤ 0 под правата линия. Пресечната точка на две полуравнини е ъгъл с върха в точка A(0;1). Тази неограничена област е решението на оригиналната система от неравенства.
Тук виждаме парабола, чиито клонове са насочени нагоре и която докосва абсцисната ос, т.е. има една обща точка с нея, означаваме абсцисата на тази точка като x 0. Представеният случай съответства на a>0 (клоните са насочени нагоре) и D=0 (квадратният трином има един корен x 0). Например, можете да вземете квадратична функция y=x 2 −4·x+4, тук a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 и x 0 =2.
В този случай клоните на параболата са насочени нагоре и тя няма общи точки с абсцисната ос. Тук имаме условията a>0 (клоните са насочени нагоре) и D<0
(квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1
, здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0
.
Алгоритъм за решение
Примери с решения
.
. Коефициентът на x 2 е равен на 2, той е положителен, следователно клоновете на параболата са насочени нагоре. Нека също да разберем дали параболата има общи точки с оста x; за да направим това, ще изчислим дискриминанта на квадратния трином 
. Ние имаме 
. Дискриминантът се оказа по-голям от нула, следователно триномът има два реални корена: 
И 
, тоест x 1 =−3 и x 2 =1/3.
И 
, x 1 =7 и x 2 =9. Така че параболата пресича оста Ox в две точки с абсцисите 7 и 9 (първоначалното неравенство е строго, така че ще изобразим тези точки с празен център. Сега можем да направим схематичен чертеж). 
