За да извършите умножение на алгебрични (рационални) дроби, трябва:

1) Запишете произведението на числителите в числителя и запишете произведението на знаменателите на тези дроби в знаменателя.

В този случай са необходими полиноми.

2) Ако е възможно, намалете фракцията.

Коментирайте.

При умножаване сумата и разликата трябва да бъдат оградени в скоби.

Примери за умножение алгебрични дроби.

Когато умножаваме алгебрични дроби, ние умножаваме отделно числителите и знаменателите на тези дроби отделно:

Намаляваме 36 и 45 с 9, 22 и 55 с 11, a² и с a a, b и b с b, c⁵ и c² с c²:

За да умножите алгебрични дроби, трябва да умножите числителя по числителя и знаменателя по знаменателя. Тъй като числителите и знаменателите на тези дроби съдържат полиноми, те са необходими.

В числителя на първата дроб изваждаме общия множител 3 извън скоби. Разлагаме числителя на втората дроб на множители като разлика на квадратите. Знаменателят на първата дроб е квадратът на разликата. В знаменателя на втората дроб изваждаме общия множител 5:

Дробта може да бъде намалена с (x+3) и (2x-1):

Умножаваме числителя по числителя, знаменателя по знаменателя. Разлагаме знаменателя на втората дроб, използвайки формулата за разликата на квадратите:

(a-b) и (b-a) се различават само по знак. Нека извадим „минуса“ от скоби, например в числителя. След това намалете дроба с (a-b) и с a:

Когато умножаваме алгебрични дроби, умножаваме числителя по числителя, а знаменателя по знаменателя. Опитваме се да разложим полиномите, включени в тях.

В първата дроб числителят е пълният квадрат на сбора, а знаменателят е сборът на кубовете. Във втората дроб в числителя - (част от формулата за сумата на кубовете), в знаменателя има общ множител 3, който поставяме извън скоби:

Намаляваме дробта с (x+3)² и (x²-3x+9):

В алгебрата операциите с алгебрични (рационални) дроби могат да се появят както като отделна задача, така и в хода на решаване на други примери, например решаване на уравнения и неравенства. Ето защо е важно да се научите как да умножавате, разделяте, събирате и изваждате такива дроби навреме.

Категория: |

Видео урок „Умножение и деление на алгебрични дроби. Повдигане на алгебрична дроб на степен“ е помощно средство за преподаване на урок по математика по тази тема. С помощта на видео урок е по-лесно за учителя да развие в учениците способността да умножават и делят алгебрични дроби. Нагледното помагало съдържа подробно, разбираемо описание на примери, в които се извършват операции за умножение и деление. Материалът може да се демонстрира по време на обяснението на учителя или да стане отделна част от урока.

За да се развие способността за решаване на задачи за умножение и деление на алгебрични дроби, покрай описанието на решението са дадени важни коментари, които изискват запаметяване и дълбоко разбиране, са подчертани с цвят, удебелен шрифт и указатели. С помощта на видео урок учителят може да повиши ефективността на урока. Това визуално помагало ще ви помогне бързо и ефективно да постигнете учебните си цели.

Видео урокът започва с представяне на темата. След това се посочва, че операциите за умножение и деление с алгебрични дроби се извършват подобно на операциите с обикновени дроби. Екранът демонстрира правилата за умножение, деление и степенуване на дроби. Умножението на дроби се демонстрира с помощта на буквени опции. Отбелязва се, че при умножаване на дроби числителите, както и знаменателите, се умножават. Това дава получената дроб a/b·c/d=ac/bd. Разделянето на дроби се демонстрира с помощта на израза a/b:c/d като пример. Посочва се, че за извършване на операцията деление е необходимо в числителя да се запише произведението на числителя на дивидента и знаменателя на делителя. Знаменателят на частното е произведението на знаменателя на дивидента и числителя на делителя. Така операцията деление се превръща в операция за умножаване на частта от дивидента и реципрочната стойност на делителя. Повишаването на дроб на степен е еквивалентно на дроб, в която числителят и знаменателят са повдигнати на зададената степен.

Решението на примерите е обсъдено по-долу. В пример 1 е необходимо да се извършат действията (5x-5y)/(x-y)·(x 2 -y 2)/10x. За да се реши този пример, числителят на втората дроб, включена в продукта, се разлага на множители. С помощта на формули за съкратено умножение се прави трансформацията x 2 -y 2 = (x+y)(x-y). След това числителите на дробите и знаменателите се умножават. След извършване на операциите става ясно, че числителят и знаменателят имат множители, които могат да бъдат намалени, като се използва основното свойство на дроб. В резултат на преобразуванията се получава дробта (x+y) 2 /2x. Тук също разглеждаме изпълнението на действия 7a 3 b 5 /(3a-3b)·(6b 2 -12ab+6a 2)/49a 4 b 5. Всички числители и знаменатели се разглеждат за възможността за факторизиране и идентифициране на общи множители. След това числителите и знаменателите се умножават. След умножението се правят съкращения. Резултатът от трансформацията е дробта 2(a-b)/7a.

Разглежда се пример, в който е необходимо да се извършат действията (x 3 -1)/8y:(x 2 +x+1)/16y 2. За да се реши изразът, се предлага да се трансформира числителят на първата дроб, като се използва съкратената формула за умножение x 3 -1=(x-1)(x 2 +x+1). Според правилото за деление на дроби първата дроб се умножава по реципрочната на втората дроб. След умножаването на числителите и знаменателите се получава дроб, която съдържа едни и същи множители в числителя и знаменателя. Те се свиват. Резултатът е дробта (x-1)2y. Решението на примера (a 4 -b 4)/(ab+2b-3a-6):(b-a)(a+2) също е описано тук. Подобно на предишния пример, формулата за съкратено умножение се използва за преобразуване на числителя. Преобразува се и знаменателят на дробта. След това първата дроб се умножава с реципрочната стойност на втората дроб. След умножението се извършват трансформации, намаляващи числителя и знаменателя с общи множители. Резултатът е дробта -(a+b)(a 2 +b 2)/(b-3). Обръща се внимание на учениците как се променят знаците на числителя и знаменателя при умножение.

В третия пример трябва да извършите операции с дроби ((x+2)/(3x 2 -6x)) 3:((x 2 +4x+4)/(x 2 -4x+4)) 2 . В решението този примерПрилага се правилото за повдигане на дроб на степен. И първата, и втората дроби се повдигат на степен. Те се преобразуват чрез повишаване на числителя и знаменателя на дробта на степен. В допълнение, за преобразуване на знаменателите на дроби се използва съкратената формула за умножение, подчертаваща общия множител. За да разделите първата дроб на втората, трябва да умножите първата дроб по реципрочната на втората. Числителят и знаменателят образуват изрази, които могат да бъдат съкращавани. След трансформацията се получава дробта (x-2)/27x 3 (x+2).

Видео урок „Умножение и деление на алгебрични дроби. Повишаване на алгебрична дроб на степен“ се използва за повишаване на ефективността на традиционен урок по математика. Материалът може да бъде полезен за учител, преподаващ дистанционно. Подробно, ясно описание на решението на примерите ще помогне на студентите, които самостоятелно овладяват предмета или се нуждаят от допълнително обучение.

Тема: Умножение и деление на алгебрични дроби

Образованието е това, което остава, когато всичко научено вече е забравено.

Лауе

Цели:

Образователни:

закачете ZUN на темата

провеждане на инициал текущ контролзнания

работа върху пропуските

Образователни:

допринасят за развитието на комуникативна компетентност, т.е. способността за ефективно сътрудничество с други хора.

насърчаване на развитието на кооперативна компетентност, т.е. способност за работа по двойки.

допринасят за развитието на проблемна компетентност, т.е. способността да се разбере неизбежността на трудностите, възникващи в хода на всяка дейност.

Образователни:

внушава способността за адекватна оценка на работата, извършена от приятел;

Когато работите по двойки, култивирайте качествата на взаимопомощ и подкрепа.

Методически:

създаване на условия за проява на индивидуалност и познавателна активност на учениците;

покажете методологията за провеждане на урок с проектиране на резултатите образователни дейностии начини за изучаването им въз основа на подход, основан на компетентности.

Оборудване:дъска, цветен тебешир. Таблица "Умножение и деление на алгебрични дроби"; карти за самостоятелна работа, карти “мемо”. Задача в свободна минута.

Напредък на урока

Организационен момент

Планът на урока е написан на дъската:

Орално загряване.

Индивидуална работа.

Решаване на задачи.

Работа по двойки.

Обобщение на урока.

домашна работа.

Учител: В старите времена в Русия се е смятало, че ако човек е умел в математиката, това означава най-висока степенстипендия. А умението да виждаш и чуваш правилно е първата стъпка към мъдростта. Бих искал днес всички ученици от вашия клас да покажат колко са мъдри и знаещи хората по алгебра за 7 клас.

И така, темата на урока е „Умножение и деление на алгебрични дроби.“ В последния урок започнахте да учите тази темаи обсъдихме защо го изучаваме. Нека си припомним къде ще ни бъде полезно само за няколко урока.

Ученици: За съвместни действия с алгебрични дроби, за решаване на уравнения и следователно задачи.

Учител: Още в старите времена в Русия казаха, че умножението е мъка, а разделянето е беда. Всеки, който можеше бързо и точно да умножава и дели, се смяташе за велик математик.

Какви цели ще си поставите?

Ученици: Продължете да изучавате темата, научете как бързо и точно да умножавате и разделяте.

Учител: За да постигнем целите си, ние (отваря плана, написан на дъската, изговаря го)

1. Устна загрявка: (в този момент 3 - 4 души решават упражнението за намаляване на дроби по двойки) факторизирайте, попълвайки празните места

1= (y-1) (...), 5a+5b=... (a+b), xy-x=x (...), 14-2x=...

намалете фракцията

Дроби, дроби, бийте дроби, съкращавайте ги, не ги щадете.

открийте грешката, допусната при умножаване и деление на алгебрични дроби

Учител: Къде беше допусната грешката? Защо стана грешката? Кое правило ученикът не знае? Коя познавахте? Как да го направя правилно?

2. Работа в тетрадка, номер от учебника 488 (1) Анализ, решение, проверка.

Учител: И сега ще имате възможност да покажете знанията си при попълване на теста и за да ви вдъхновя за работа, ще прочета стихотворението „За учителя да запише „5“ в дневника си, да умее да умножава числителя по числителя в един миг и за да е доволен учителят от вас, вие умножавате първия знаменател по втория "

Самопроверка, взаимна проверка. Според критериите (поместени на дъската) B-1 (321), B-2 (132) с правилните кодове, оценка по двойки. Първоначален резултат. Оценки.

Работа върху грешките в двойки ученик-учител

Ако няма грешки в двойките, направете задачата в свободна минута.

Опростете израза и намерете стойността му, когато

5. Обобщение на урока

В края на урока бих искал да разбера от вас какви видове работа ви създават трудности? защо мислиш Какво ново научи? Колко от вас са доволни от работата си в клас? Смятате ли, че поставените в началото на урока цели са постигнати?

Учител: Бих искал да завърша урока с думите на френския инженер-физик Лауе: „Образованието е това, което остава, когато всичко научено вече е забравено.“

Надявам се, че няма да забравите този материал, за да не се случи това, трябва да изпълните задачи № 486 487 488 дори.

Този урок ще обхване правилата за умножение и деление на алгебрични дроби, както и примери за прилагане на тези правила. Умножаването и деленето на алгебрични дроби не се различава от умножението и деленето обикновени дроби. В същото време наличието на променливи води до малко повече по сложни начиниопростяване на получените изрази. Въпреки факта, че умножаването и деленето на дроби е по-лесно от добавянето и изваждането им, изучаването на тази тема трябва да се подхожда изключително отговорно, тъй като в нея има много клопки, на които обикновено не се обръща внимание. Като част от урока не само ще изучаваме правилата за умножаване и деление на дроби, но и ще анализираме нюансите, които могат да възникнат при използването им.

Тема:Алгебрични дроби. Аритметични действия върху алгебрични дроби

Урок:Умножение и деление на алгебрични дроби

Правилата за умножение и деление на алгебрични дроби са абсолютно подобни на правилата за умножение и деление на обикновени дроби. Да им напомним:

Тоест, за да се умножат дроби, е необходимо да се умножат техните числители (това ще бъде числителят на продукта) и техните знаменатели (това ще бъде знаменателят на продукта).

Делението с дроб е умножение с обърната дроб, т.е. за да се разделят две дроби, е необходимо първата от тях (дивидента) да се умножи по обърнатата втора (делител).

Въпреки простотата на тези правила, много хора правят грешки в редица специални случаи, когато решават примери по тази тема. Нека разгледаме по-отблизо тези специални случаи:

Във всички тези правила използвахме следния факт: .

Нека решим няколко примера за умножение и деление на обикновени дроби, за да запомним как да използваме тези правила.

Пример 1

Забележка:При съкращаването на дроби използвахме разлагането на числата на прости множители. Нека ви го напомним прости числа те се наричат естествени числа, които се делят само на и на себе си. Останалите номера се извикват композитен . Числото не е нито просто, нито съставно. Примери за прости числа: .

Пример 2

Нека сега разгледаме един от частните случаи с обикновени дроби.

Пример 3

Както можете да видите, умножаването и разделянето на обикновени дроби, ако правилата се прилагат правилно, не е трудно.

Нека да разгледаме умножението и деленето на алгебрични дроби.

Пример 4

Пример 5

Обърнете внимание, че е възможно и дори необходимо да се намалят дроби след умножение по същите правила, които по-рано разгледахме в уроците, посветени на намаляване на алгебрични дроби. Нека разгледаме няколко прости примериза специални случаи.

Пример 6

Пример 7

Нека сега разгледаме малко повече сложни примериза умножение и деление на дроби.

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

Пример 12

Пример 13

Преди това разглеждахме дроби, в които и числителят, и знаменателят бяха мономи. В някои случаи обаче е необходимо да се умножат или разделят дроби, чиито числители и знаменатели са полиноми. В този случай правилата остават същите, но за намаляване е необходимо да се използват съкратени формули за умножение и скоби.

Пример 14

Пример 15

Пример 16

Пример 17

Пример 18

Този урок ще обхване правилата за умножение и деление на алгебрични дроби, както и примери за прилагане на тези правила. Умножаването и деленето на алгебрични дроби не се различава от умножението и деленето на обикновени дроби. В същото време наличието на променливи води до малко по-сложни начини за опростяване на получените изрази. Въпреки факта, че умножаването и деленето на дроби е по-лесно от добавянето и изваждането им, изучаването на тази тема трябва да се подхожда изключително отговорно, тъй като в нея има много клопки, на които обикновено не се обръща внимание. Като част от урока не само ще изучаваме правилата за умножаване и деление на дроби, но и ще анализираме нюансите, които могат да възникнат при използването им.

Тема:Алгебрични дроби. Аритметични действия върху алгебрични дроби

Урок:Умножение и деление на алгебрични дроби

Правилата за умножение и деление на алгебрични дроби са абсолютно подобни на правилата за умножение и деление на обикновени дроби. Да им напомним:

Тоест, за да се умножат дроби, е необходимо да се умножат техните числители (това ще бъде числителят на продукта) и техните знаменатели (това ще бъде знаменателят на продукта).

Делението с дроб е умножение с обърната дроб, т.е. за да се разделят две дроби, е необходимо първата от тях (дивидента) да се умножи по обърнатата втора (делител).

Въпреки простотата на тези правила, много хора правят грешки в редица специални случаи, когато решават примери по тази тема. Нека разгледаме по-отблизо тези специални случаи:

Във всички тези правила използвахме следния факт: .

Нека решим няколко примера за умножение и деление на обикновени дроби, за да запомним как да използваме тези правила.

Пример 1

Забележка:При съкращаването на дроби използвахме разлагането на числата на прости множители. Нека ви го напомним прости числа Това са естествените числа, които се делят само на и на себе си. Останалите номера се извикват композитен . Числото не е нито просто, нито съставно. Примери за прости числа: .

Пример 2

Нека сега разгледаме един от частните случаи с обикновени дроби.

Пример 3

Както можете да видите, умножаването и разделянето на обикновени дроби, ако правилата се прилагат правилно, не е трудно.

Нека да разгледаме умножението и деленето на алгебрични дроби.

Пример 4

Пример 5

Обърнете внимание, че е възможно и дори необходимо да се намалят дроби след умножение по същите правила, които по-рано разгледахме в уроците, посветени на намаляване на алгебрични дроби. Нека да разгледаме няколко прости примера за специални случаи.

Пример 6

Пример 7

Нека сега да разгледаме някои по-сложни примери за умножение и деление на дроби.

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

Пример 12

Пример 13

Преди това разглеждахме дроби, в които и числителят, и знаменателят бяха мономи. В някои случаи обаче е необходимо да се умножат или разделят дроби, чиито числители и знаменатели са полиноми. В този случай правилата остават същите, но за намаляване е необходимо да се използват съкратени формули за умножение и скоби.

Пример 14

Пример 15

Пример 16

Пример 17

Пример 18