Какви видове полигони има? Урок "Многоъгълници"

04.07.2020

Триъгълник, квадрат, шестоъгълник - тези фигури са известни на почти всички. Но не всеки знае какво е правилен многоъгълник. Но всички те са еднакви. Правилен многоъгълник е този, който има равни ъгли и страни. Има много такива фигури, но всички те имат еднакви свойства и за тях се прилагат едни и същи формули.

Свойства на правилните многоъгълници

Всеки правилен многоъгълник, независимо дали е квадрат или осмоъгълник, може да бъде вписан в кръг. Това основно свойство често се използва при конструирането на фигура. Освен това кръг може да бъде вписан в многоъгълник. В този случай броят на точките на контакт ще бъде равен на броя на неговите страни. Важно е, че окръжност, вписана в правилен многоъгълник, ще има общ център с него. Тези геометрични фигури са предмет на същите теореми. Всяка страна на правилния n-ъгълник е свързана с радиуса R на описаната около него окръжност. Следователно може да се изчисли с помощта на следната формула: a = 2R ∙ sin180°. Чрез можете да намерите не само страните, но и периметъра на многоъгълника.

Как да намерите броя на страните на правилен многоъгълник

Всеки се състои от определен брой сегменти, равни един на друг, които, когато са свързани, образуват затворена линия. В този случай всички ъгли на получената фигура имат същата стойност. Многоъгълниците се делят на прости и сложни. Първата група включва триъгълник и квадрат. Сложните многоъгълници имат повече страни. Те също включват фигури във формата на звезда. При сложни правилни многоъгълници страните се намират, като се впишат в окръжност. Нека дадем доказателство. Начертайте правилен многоъгълник с произволен брой страни n. Начертайте кръг около него. Задайте радиуса R. Сега си представете, че ви е даден някакъв n-ъгълник. Ако точките на неговите ъгли лежат на окръжността и са равни една на друга, тогава страните могат да бъдат намерени по формулата: a = 2R ∙ sinα: 2.

Намиране броя на страните на вписан правилен триъгълник

Равностранен триъгълник е правилен многоъгълник. За него важат същите формули като за квадрат и n-ъгълник. Триъгълникът ще се счита за правилен, ако страните му са равни по дължина. В този случай ъглите са 60⁰. Нека построим триъгълник с дадена дължина на страната a. Като знаете медианата и височината му, можете да намерите стойността на страните му. За да направим това, ще използваме метода за намиране чрез формулата a = x: cosα, където x е медианата или височината. Тъй като всички страни на триъгълника са равни, получаваме a = b = c. Тогава ще бъде вярно следното твърдение: a = b = c = x: cosα. По същия начин можете да намерите стойността на страните в равнобедрен триъгълник, но x ще бъде дадената височина. В този случай тя трябва да се проектира стриктно върху основата на фигурата. И така, като знаем височината x, намираме страната a равнобедрен триъгълникпо формулата a = b = x: cosα. След като намерите стойността на a, можете да изчислите дължината на основата c. Нека приложим Питагоровата теорема. Ще търсим стойността на половината от основата c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Тогава c = 2xtanα. По този прост начин можете да намерите броя на страните на всеки вписан многоъгълник.

Изчисляване на страните на квадрат, вписан в окръжност

Както всеки друг вписан правилен многоъгълник, квадратът има равни страни и ъгли. За него важат същите формули като за триъгълника. Можете да изчислите страните на квадрат, като използвате стойността на диагонала. Нека разгледаме този метод по-подробно. Известно е, че диагоналът дели ъгъл наполовина. Първоначално стойността му беше 90 градуса. Така след разделянето се образуват два ъгли в основата, които ще бъдат равни на 45 градуса. Съответно всяка страна на квадрата ще бъде равна, тоест: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, където e е диагоналът на квадрата или основата на правоъгълния триъгълник, образуван след разделение. Това не е единственият начиннамиране на страните на квадрат. Нека впишем тази фигура в кръг. Като знаем радиуса на тази окръжност R, намираме страната на квадрата. Ще го изчислим по следния начин: a4 = R√2. Радиусите на правилните многоъгълници се изчисляват по формулата R = a: 2tg (360 o: 2n), където a е дължината на страната.

Как да изчислим периметъра на n-ъгълник

Периметърът на n-ъгълник е сумата от всичките му страни. Лесно е да се изчисли. За да направите това, трябва да знаете значенията на всички страни. За някои видове полигони има специални формули. Те ви позволяват да намерите периметъра много по-бързо. Известно е, че всеки правилен многоъгълник има равни страни. Следователно, за да се изчисли неговият периметър, е достатъчно да знаете поне един от тях. Формулата ще зависи от броя на страните на фигурата. Като цяло изглежда така: P = an, където a е стойността на страната, а n е броят на ъглите. Например, за да намерите периметъра на правилен осмоъгълник със страна 3 см, трябва да го умножите по 8, т.е. P = 3 ∙ 8 = 24 см. За шестоъгълник със страна 5 см, изчисляваме както следва: P = 5 ∙ 6 = 30 cm И така за всеки многоъгълник.

Намиране на периметъра на успоредник, квадрат и ромб

В зависимост от това колко страни има правилният многоъгълник се изчислява неговият периметър. Това значително улеснява задачата. Всъщност, за разлика от други фигури, в този случай не е нужно да търсите всичките му страни, една е достатъчна. Използвайки същия принцип, намираме периметъра на четириъгълниците, тоест квадрат и ромб. Въпреки факта, че това са различни фигури, формулата за тях е една и съща: P = 4a, където a е страната. Да дадем пример. Ако страната на ромб или квадрат е 6 cm, тогава намираме периметъра, както следва: P = 4 ∙ 6 = 24 cm За успоредник само противоположните страни са равни. Следователно неговият периметър се намира с помощта на различен метод. И така, трябва да знаем дължината a и ширината b на фигурата. След това прилагаме формулата P = (a + b) ∙ 2. Успоредник, в който всички страни и ъгли между тях са равни, се нарича ромб.

Намиране на периметъра на равностранен и правоъгълен триъгълник

Периметърът на правилния може да се намери с помощта на формулата P = 3a, където a е дължината на страната. Ако е неизвестен, може да се намери чрез медианата. IN правоъгълен триъгълниксамо две страни са еднакво важни. Основата може да бъде намерена чрез Питагоровата теорема. След като са известни стойностите на трите страни, изчисляваме периметъра. Може да се намери с помощта на формулата P = a + b + c, където a и b са равни страни, а c е основата. Припомнете си, че в равнобедрен триъгълник a = b = a, което означава a + b = 2a, тогава P = 2a + c. Например страната на равнобедрен триъгълник е 4 см, нека намерим основата и периметъра му. Изчисляваме стойността на хипотенузата с помощта на Питагоровата теорема с = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm. Сега изчислете периметъра P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Как да намерите ъглите на правилен многоъгълник

Правилен многоъгълник се среща в живота ни всеки ден, например правилен квадрат, триъгълник, осмоъгълник. Изглежда, че няма нищо по-лесно от това да изградите тази фигура сами. Но това е просто само на пръв поглед. За да конструирате който и да е n-ъгълник, трябва да знаете стойността на неговите ъгли. Но как да ги намерим? Дори древните учени са се опитвали да построят правилни многоъгълници. Те измислиха как да ги поставят в кръгове. И тогава необходимите точки бяха маркирани върху него и свързани с прави линии. За прости фигури проблемът с конструкцията беше решен. Получени са формули и теореми. Например Евклид в известната си работа „Начало“ се занимава с решаването на проблеми за 3-, 4-, 5-, 6- и 15-ъгълници. Той намери начини да ги конструира и да намери ъгли. Нека да разгледаме как да направим това за 15-ъгълник. Първо трябва да изчислите сумата вътрешни ъгли. Необходимо е да се използва формулата S = 180⁰(n-2). И така, даден ни е 15-ъгълник, което означава, че числото n е 15. Заместваме данните, които знаем, във формулата и получаваме S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Намерихме сумата от всички вътрешни ъгли на 15-ъгълник. Сега трябва да получите стойността на всеки от тях. Има общо 15 ъгъла. Правим изчислението 2340⁰: 15 = 156⁰. Това означава, че всеки вътрешен ъгъл е равен на 156⁰, сега с линийка и компас можете да построите правилен 15-ъгълник. Но какво да кажем за по-сложните n-ъгълници? В продължение на много векове учените се борят да решат този проблем. Открит е едва през 18 век от Карл Фридрих Гаус. Той успя да конструира 65537-gon. Оттогава проблемът официално се счита за напълно разрешен.

Изчисляване на ъгли на n-ъгълници в радиани

Разбира се, има няколко начина да намерите ъглите на многоъгълниците. Най-често се изчисляват в градуси. Но те могат да бъдат изразени и в радиани. Как да стане това? Трябва да продължите по следния начин. Първо откриваме броя на страните на правилния многоъгълник, след което изваждаме 2 от него. Това означава, че получаваме стойността: n - 2. Умножете намерената разлика по числото n („pi“ = 3,14). Сега всичко, което остава, е да разделим получения продукт на броя на ъглите в n-ъгълника. Нека разгледаме тези изчисления, като използваме същия десетоъгълник като пример. И така, числото n е 15. Нека приложим формулата S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Това, разбира се, не е единственият начин за изчисляване на ъгъл в радиани. Можете просто да разделите ъгъла в градуси на 57,3. В крайна сметка това е колко градуса са еквивалентни на един радиан.

Изчисляване на ъгли в градуси

Освен в градуси и радиани, можете да опитате да намерите ъглите на правилен многоъгълник в градуси. Това става по следния начин. от общ бройъгли, извадете 2, разделете получената разлика на броя на страните на правилен многоъгълник. Умножаваме намерения резултат по 200. Между другото, такава единица за измерване на ъгли като градуси практически не се използва.

Изчисляване на външни ъгли на n-ъгълници

За всеки правилен многоъгълник, освен вътрешния, можете да изчислите и външния ъгъл. Стойността му се намира по същия начин, както при другите фигури. Така че, за да намерите външния ъгъл на правилен многоъгълник, трябва да знаете стойността на вътрешния. Освен това знаем, че сумата от тези два ъгъла винаги е равна на 180 градуса. Затова правим изчисленията, както следва: 180⁰ минус стойността на вътрешния ъгъл. Ние намираме разликата. Тя ще бъде равна на стойността на ъгъла, съседен на него. Например вътрешният ъгъл на квадрат е 90 градуса, което означава, че външният ъгъл ще бъде 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Както виждаме, не е трудно да се намери. Външният ъгъл може да приеме стойност от +180⁰ до -180⁰, съответно.

Многоъгълнике геометрична фигура, ограничена от затворена начупена линия, която няма самопресечения.

Връзките на полилинията се наричат страни на многоъгълника, а неговите върхове - върховете на многоъгълника.

Ъглина многоъгълник са вътрешните ъгли, образувани от съседни страни. Броят на ъглите на един многоъгълник е равен на броя на неговите върхове и страни.

Многоъгълниците са именувани според броя на страните. Многоъгълникът с най-малко страни се нарича триъгълник; той има само три страни. Многоъгълник с четири страни се нарича четириъгълник, с пет страни петоъгълник и т.н.

Обозначението на многоъгълник се състои от буквите, стоящи на върховете му, като ги наименуват по ред (по посока на часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка). Например, казват или пишат: петоъгълник ABCDE :

В петоъгълник ABCDEточки А, б, В, гИ дса върховете на петоъгълника, а сегментите AB, пр.н.е., CD, DEИ Е.А.- страни на петоъгълник.

Изпъкнал и вдлъбнат

Многоъгълникът се нарича изпъкнал, ако нито една от страните му, удължена до права линия, не го пресича. В противен случай многоъгълникът се нарича вдлъбнат:

Периметър

Сумата от дължините на всички страни на многоъгълник се нарича неговата периметър.

Периметър на многоъгълник ABCDEравно на:

AB + пр.н.е.+ CD + DE + Е.А.

Ако един многоъгълник има всички страни и всички ъгли равни, тогава той се нарича правилно. Само изпъкнали многоъгълници могат да бъдат правилни многоъгълници.

Диагонал

Диагонал на многоъгълник- това е сегмент, свързващ върховете на два ъгъла, които нямат обща страна. Например сегмент ADе диагоналът:

Единственият многоъгълник, който няма нито един диагонал, е триъгълник, тъй като няма ъгли, които нямат общи страни.

Ако начертаем всички възможни диагонали от всеки връх на многоъгълник, те ще разделят многоъгълника на триъгълници:

Ще има точно два триъгълника по-малко от страните:

t = п - 2

Къде tе броят на триъгълниците и п- брой страни.

Разделянето на многоъгълник на триъгълници с помощта на диагонали се използва за намиране на площта на многоъгълника, тъй като за да намерите площта на многоъгълник, трябва да го разделите на триъгълници, да намерите площта на тези триъгълници и да добавите получените резултати.

Многоъгълникът е геометрична фигура, която е ограничена от всички страни със затворена начупена линия. В този случай броят на връзките на прекъснатата линия не трябва да бъде по-малък от три. Всяка двойка сегменти с начупена линия има обща точкаи образува ъгли. Броят на ъглите заедно с броя на сегментите на полилинията са основните характеристики на многоъгълника. Във всеки многоъгълник броят на връзките на граничния затворен многоъгълник съвпада с броя на ъглите.

В геометрията страните обикновено се наричат връзките на начупена линия, която ограничава геометричен обект. Върховете са допирните точки между две съседни страни., от броя на които многоъгълници получават имената си.

Ако затворената начупена линия се състои от три сегмента, тя се нарича триъгълник; съответно от четири сегмента - четириъгълник, от пет - петоъгълник и т.н.

За обозначаване на триъгълник или четириъгълник се използват главни латински букви за обозначаване на неговите върхове. Буквите са наименувани по ред - по или обратно на часовниковата стрелка.

Основни понятия

Когато описвате дефиницията на многоъгълник, трябва да имате предвид някои свързани геометрични концепции:

Ако върховете са краищата на една страна, те се наричат съседни.
Ако сегмент свързва несъседни върхове, тогава той се нарича диагонал. Триъгълникът не може да има диагонали.
Вътрешен ъгъл е ъгълът при един от върховете, който се образува от двете му страни, събиращи се в тази точка. Винаги се намира във вътрешната област на геометричната фигура. Ако многоъгълникът не е изпъкнал, неговият размер може да надвишава 180 градуса.
Външен ъгъл при определен връх е ъгъл, съседен на вътрешния при него. С други думи, външният ъгъл може да се счита за разликата между 180° и стойността на вътрешния ъгъл.
Сумата от стойностите на всички сегменти се нарича периметър.
Ако всички страни и всички ъгли са равни, то се нарича правилно. Само изпъкналите могат да бъдат правилни.

Както бе споменато по-горе, имената на многоъгълните геометрични се основават на броя на върховете. Ако една фигура има n числа от тях, тя се извиква n-gon:

Многоъгълникът се нарича равнинен, ако ограничава крайната част на равнината. Тази геометрична фигура може да бъде вписана в кръг или описана около кръг.
n-ъгълник се нарича изпъкнал, ако отговаря на едно от условията, дадени по-долу.
Фигурата е разположена от едната страна на права линия, която свързва два съседни върха.
Тази фигура служи обща частили пресечната точка на няколко полуравнини.
Диагоналите са разположени вътре в многоъгълника.
Ако краищата на сегмент са разположени в точки, които принадлежат на многоъгълник, целият сегмент принадлежи към него.
Една фигура може да се нарече правилна, ако всички нейни сегменти и всички ъгли са равни. Примерите включват квадрат, равностранен триъгълникили правилен петоъгълник.
Ако n-ъгълник не е изпъкнал, всичките му страни и ъгли са равни и върховете му съвпадат с тези на правилен n-ъгълник, той се нарича звездовиден. Такива фигури могат да имат самопресичане. Примери за това са пентаграма или хексаграма.
За триъгълник или четириъгълник се казва, че е вписан в кръг, когато всичките му върхове са разположени вътре в един кръг. Ако страните на тази фигура имат допирни точки с окръжността, това е многоъгълник, описан около определена окръжност.

Всякакви изпъкнал n-ъгълник може да бъде разделен на триъгълници. В този случай броят на триъгълниците е с 2 по-малък от броя на страните.

Видове фигури

Това е многоъгълник с три върха и три свързващи ги отсечки. В този случай точките на свързване на сегментите не лежат на една и съща права линия.

Точките на свързване на сегментите са върхове на триъгълника. Самите сегменти се наричат страни на триъгълника. Обща сумаВътрешните ъгли на всеки триъгълник са 180°.

Според отношенията между страните всички триъгълници могат да бъдат разделени на няколко вида:

Равностранен- при които дължината на всички сегменти е еднаква.
Равнобедрен- триъгълници, в които два от трите сегмента са равни.
Разнообразен- ако дължината на всички сегменти е различна.

Освен това е обичайно да се разграничават следните триъгълници:

Остроъгълен.
Правоъгълна.
Тъп.

Четириъгълник

Четириъгълникът е плоска фигура, която има 4 върха и 4 сегмента, които ги свързват последователно.

Ако всички ъгли на четириъгълник са прави ъгли, тази фигура се нарича правоъгълник.
Правоъгълник, чиито страни са с еднакъв размер, се нарича квадрат.
Четириъгълник, чиито страни са равни, се нарича ромб.

На една права линия не може да има три върха на четириъгълник.

видео

За повече информация относно полигоните, гледайте това видео.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране определено лицеили връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите своя лична информациявсеки път, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес имейли т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални предложения, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от Вас, на трети страни.

Изключения:

При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

В този урок ще започнем нова темаи въведе нова концепция за нас: „многоъгълник“. Ще разгледаме основните понятия, свързани с многоъгълниците: страни, върхови ъгли, изпъкналост и неизпъкналост. След това ще докажем най-важните факти, като теоремата за сумата от вътрешните ъгли на многоъгълник, теоремата за сумата от външните ъгли на многоъгълник. В резултат на това ще се доближим до изучаването на специални случаи на многоъгълници, които ще бъдат разгледани в следващите уроци.

Тема: Четириъгълници

Урок: Многоъгълници

В курса по геометрия изучаваме свойствата геометрични формии вече разгледахме най-простите от тях: триъгълници и кръгове. В същото време обсъдихме и конкретни специални случаи на тези фигури, като правоъгълни, равнобедрени и правилни триъгълници. Сега е време да поговорим за по-общи и сложни фигури - полигони.

Със специален калъф полигонивече сме запознати - това е триъгълник (виж фиг. 1).

ориз. 1. Триъгълник

Самото име вече подчертава, че това е фигура с три ъгъла. Следователно, в многоъгълникможе да има много от тях, т.е. повече от три. Например, нека начертаем петоъгълник (виж фиг. 2), т.е. фигура с пет ъгъла.

ориз. 2. Петоъгълник. Изпъкнал многоъгълник

Определение.Многоъгълник- фигура, състояща се от няколко точки (повече от две) и съответния брой сегменти, които ги свързват последователно. Тези точки се наричат върховемногоъгълник, а сегментите са партии. В този случай две съседни страни не лежат на една права линия и две несъседни страни не се пресичат.

Определение.Правилен многоъгълнике изпъкнал многоъгълник, в който всички страни и ъгли са равни.

Всякакви многоъгълникразделя равнината на две зони: вътрешна и външна. Вътрешната зона също се нарича многоъгълник.

С други думи, например, когато говорят за петоъгълник, те имат предвид както цялата му вътрешна област, така и нейната граница. А вътрешната област включва всички точки, които лежат вътре в многоъгълника, т.е. точката също се отнася до петоъгълника (виж фиг. 2).

Многоъгълниците също понякога се наричат n-ъгълници, за да се подчертае, че се разглежда общият случай на наличие на някакъв неизвестен брой ъгли (n части).

Определение. Периметър на многоъгълник- сумата от дължините на страните на многоъгълника.

Сега трябва да се запознаем с видовете многоъгълници. Те се делят на изпъкналИ неизпъкнал. Например многоъгълникът, показан на фиг. 2 е изпъкнал, а на фиг. 3 не изпъкнали.

ориз. 3. Неизпъкнал многоъгълник

Определение 1. Многоъгълникнаречен изпъкнал, ако при изчертаване на права линия през някоя от страните му цялата многоъгълниклежи само от едната страна на тази права линия. Неконвексенса всички останали полигони.

Лесно е да си представим, че при разширяване на която и да е страна на петоъгълника на фиг. 2 всичко ще бъде от едната страна на тази права линия, т.е. тя е изпъкнала. Но когато чертаете права линия през четириъгълник на фиг. 3 вече виждаме, че го разделя на две части, т.е. не е изпъкнал.

Но има и друга дефиниция на изпъкналостта на многоъгълник.

Определение 2. Многоъгълникнаречен изпъкнал, ако при избора на произволни две от вътрешните му точки и свързването им с отсечка всички точки от отсечката са и вътрешни точки на многоъгълника.

Демонстрация на използването на това определение може да се види в примера за конструиране на сегменти на фиг. 2 и 3.

Определение. Диагонална многоъгълник е всеки сегмент, свързващ два несъседни върха.

За да се опишат свойствата на многоъгълниците, има две най-важни теореми за техните ъгли: теорема за сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълникИ теорема за сумата от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник. Нека да ги разгледаме.

Теорема. Върху сумата от вътрешни ъгли на изпъкнал многоъгълник (п-гон).

Къде е броят на неговите ъгли (страни).

Доказателство 1. Нека изобразим на фиг. 4 изпъкнал n-ъгълник.

ориз. 4. Изпъкнал n-ъгълник

От върха изчертаваме всички възможни диагонали. Те разделят n-ъгълника на триъгълници, защото всяка от страните на многоъгълника образува триъгълник, с изключение на страните, съседни на върха. От фигурата е лесно да се види, че сумата от ъглите на всички тези триъгълници ще бъде точно равна на сумата от вътрешните ъгли на n-ъгълника. Тъй като сумата от ъглите на всеки триъгълник е , тогава сумата от вътрешните ъгли на n-gon е:

Q.E.D.

Доказателство 2. Възможно е друго доказателство на тази теорема. Нека начертаем подобен n-ъгълник на фиг. 5 и свържете която и да е от вътрешните му точки с всички върхове.

ориз. 5.

Получихме разбиване на n-ъгълника на n триъгълника (колкото страни, толкова и триъгълника). Сборът от всичките им ъгли е равен на сбора от вътрешните ъгли на многоъгълника и сбора от ъглите във вътрешната точка и това е ъгълът. Ние имаме:

Q.E.D.

Доказано.

Според доказаната теорема е ясно, че сумата от ъглите на n-ъгълник зависи от броя на неговите страни (от n). Например в триъгълник и сумата от ъглите е . В четириъгълник и сумата от ъглите е и т.н.

Теорема. Върху сумата от външни ъгли на изпъкнал многоъгълник (п-гон).

Къде е броят на неговите ъгли (страни), а , ..., са външните ъгли.

Доказателство. Нека изобразим изпъкнал n-ъгълник на фиг. 6 и означете неговите вътрешни и външни ъгли.

ориз. 6. Изпъкнал n-ъгълник с обозначени външни ъгли

защото След това външният ъгъл се свързва с вътрешния като съседен и по същия начин за останалите външни ъгли. След това:

По време на трансформациите използвахме вече доказана теорема за сумата от вътрешни ъгли на n-ъгълник.