Конус. пресечен конус

30.09.2019

Дефиниции:
Определение 1. Конус
Определение 2. Кръгов конус
Определение 3. Височина на конуса
Определение 4. Прав конус
Определение 5. Прав кръгов конус
Теорема 1. Генератори на конуса
Теорема 1.1. Аксиално сечение на конуса

Обем и площ:
Теорема 2. Обем на конус
Теорема 3. Площ на страничната повърхност на конус

Пресечен конус:
Теорема 4. Сечение, успоредно на основата
Определение 6. Пресечен конус
Теорема 5. Обем на пресечен конус
Теорема 6. Странична повърхност на пресечен конус

Дефиниции
Тяло, ограничено отстрани от конична повърхност, разположена между върха му и равнината на водача, и плоската основа на водача, образувана от затворена крива, се нарича конус.

Основни понятия
Кръговият конус е тяло, което се състои от окръжност (основа), точка, която не лежи в равнината на основата (върх) и всички сегменти, свързващи върха с точките на основата.

Прав конус е конус, чиято височина съдържа центъра на основата на конуса.

Помислете за всяка линия (крива, начупена или смесена) (напр. л), лежаща в определена равнина, и произволна точка (например М), която не лежи в тази равнина. Всички възможни прави линии, свързващи точка М с всички точки на дадена права л, форма повърхност, наречена канонична. Точка M е върхът на такава повърхност и дадена линия л - ръководство. Всички прави линии, свързващи точка M с всички точки на правата л, наречена формиране. Каноничната повърхност не е ограничена нито от своя връх, нито от своя водач. Тя се простира неограничено в двете посоки от върха. Нека сега водачът е затворена изпъкнала линия. Ако водачът е начупена линия, тогава тялото, ограничено отстрани от канонична повърхност, взета между неговия връх и равнината на водача, и плоска основа в равнината на водача, се нарича пирамида.
Ако водачът е крива или смесена линия, тогава тялото, ограничено отстрани от канонична повърхност, взета между неговия връх и равнината на водача, и плоска основа в равнината на водача, се нарича конус или
Определение 1 . Конусът е тяло, състоящо се от основа - плоска фигура, ограничена от затворена линия (крива или смесена), връх - точка, която не лежи в равнината на основата, и всички сегменти, свързващи върха с всички възможни точки. на основата.
Всички прави линии, минаващи през върха на конуса и всяка от точките на кривата, ограничаваща фигурата на основата на конуса, се наричат образуващи на конуса. Най-често в геометричните задачи под образуваща на права се разбира отсечка от тази права, затворена между върха и равнината на основата на конуса.
Основата на ограничена смесена линия е много рядък случай. Тук е посочено само защото може да се разглежда в геометрията. По-често се разглежда случаят с извит водач. Въпреки че и случаят с произволна крива, и случаят със смесен водач са малко полезни и е трудно да се извлекат някакви модели от тях. Сред конусите правилният кръгов конус се изучава в курса на елементарната геометрия.

Известно е, че кръгът е специален случайзатворена крива линия. Кръгът е плоска фигура, ограничена от кръг. Като вземем окръжността като ориентир, можем да дефинираме кръгъл конус.
Определение 2 . Кръговият конус е тяло, което се състои от окръжност (основа), точка, която не лежи в равнината на основата (върх) и всички сегменти, свързващи върха с точките на основата.
Определение 3 . Височината на конуса е перпендикулярът, спуснат от върха към равнината на основата на конуса. Можете да изберете конус, чиято височина попада в центъра на плоската фигура на основата.
Определение 4 . Прав конус е конус, чиято височина съдържа центъра на основата на конуса.
Ако комбинираме тези две определения, получаваме конус, чиято основа е кръг, а височината попада в центъра на този кръг.
Определение 5 . Прав кръгъл конус е конус, чиято основа е кръг, а височината му свързва върха и центъра на основата на този конус. Такъв конус се получава чрез въртене правоъгълен триъгълникоколо единия крак. Следователно правилният кръгъл конус е въртеливо тяло и се нарича още конус на въртене. Освен ако не е посочено друго, за краткост в това, което следва, просто казваме конус.
И така, ето някои свойства на конуса:
Теорема 1. Всички образуващи на конуса са равни. Доказателство. Височината на МО е перпендикулярна на всички прави линии на основата, по дефиниция, права линия, перпендикулярна на равнината. Следователно триъгълниците MOA, MOB и MOS са правоъгълни и равни по два катета (MO е общият, OA=OB=OS са радиусите на основата. Следователно хипотенузите, т.е. образуващите, също са равни.
Понякога се нарича радиусът на основата на конуса радиус на конуса. Височината на конуса също се нарича конична ос, следователно всяко сечение, минаващо през височината, се нарича аксиално сечение. Всяко аксиално сечение пресича основата в диаметър (тъй като правата линия, по която се пресичат аксиалното сечение и равнината на основата, минава през центъра на окръжността) и образува равнобедрен триъгълник.
Теорема 1.1. Аксиалното сечение на конуса е равнобедрен триъгълник. Така че триъгълник AMB е равнобедрен, защото двете му страни MB и MA са генератори. Ъгъл AMB е ъгълът при върха на аксиалното сечение.

Конус (от гръцки "konos")– борова шишарка. Шишарката е позната на хората от древни времена. През 1906 г. е открита книгата „За метода“, написана от Архимед (287-212 г. пр.н.е.), тази книга дава решение на проблема за обема на общата част на пресичащите се цилиндри. Архимед казва, че това откритие принадлежи на древногръцкия философ Демокрит (470-380 г. пр. н. е.), който, използвайки този принцип, получава формули за изчисляване на обема на пирамида и конус.

Конус (кръгов конус) е тяло, което се състои от окръжност - основата на конуса, точка, която не принадлежи на равнината на тази окръжност - върха на конуса и всички сегменти, свързващи върха на конуса и точките на основният кръг. Отсечките, които свързват върха на конуса с точките на основната окръжност, се наричат образуващи на конуса. Повърхността на конуса се състои от основа и странична повърхност.

Конусът се нарича прав, ако правата линия, която свързва върха на конуса с центъра на основата, е перпендикулярна на равнината на основата. Правият кръгъл конус може да се разглежда като тяло, получено чрез въртене на правоъгълен триъгълник около катета му като ос.

Височината на конуса е перпендикулярът, спуснат от върха му към равнината на основата. За прав конус основата на височината съвпада с центъра на основата. Оста на прав конус е правата линия, съдържаща неговата височина.

Разрезът на конус от равнина, минаваща през генератора на конуса и перпендикулярна на аксиалното сечение, начертано през този генератор, се нарича допирателна равнина на конуса.

Равнина, перпендикулярна на оста на конуса, пресича конуса в окръжност и странична повърхност– в окръжност с център върху оста на конуса.

Равнина, перпендикулярна на оста на конуса, отрязва по-малък конус от него. Останалата част се нарича пресечен конус.

Обемът на конус е равен на една трета от произведението на височината и площта на основата. По този начин всички конуси, почиващи върху дадена основа и имащи връх, разположен в дадена равнина, успоредна на основата, имат равен обем, тъй като височините им са равни.

Площта на страничната повърхност на конуса може да се намери по формулата:

S страна = πRl,

Общата повърхност на конуса се намира по формулата:

S con = πRl + πR 2,

където R е радиусът на основата, l е дължината на образуващата.

Обемът на кръгъл конус е равен на

V = 1/3 πR 2 H,

където R е радиусът на основата, H е височината на конуса

Площта на страничната повърхност на пресечен конус може да се намери по формулата:

S страна = π(R + r)l,

Общата повърхност на пресечен конус може да се намери по формулата:

S con = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

където R е радиусът на долната основа, r е радиусът на горната основа, l е дължината на образуващата.

Обемът на пресечен конус може да се намери, както следва:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

където R е радиусът на долната основа, r е радиусът на горната основа, H е височината на конуса.

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.

Клас: 11 Урок № 14 Дата: ____________

Тема на урока: „Прав кръгъл конус, неговите елементи. Аксиални сечения на конуса. Сечения на конус с равнина, успоредна на основата. Развитие на конуса"

Цел на урока:

Въвеждане на понятията конична повърхнина, конус, елементи на конуса (странична повърхнина, основа, връх, образуваща, ос, височина), понятието пресечен конус;

Извеждат формули за изчисляване на повърхнините на страничните и пълните повърхнини на конус и пресечен конус;

Научете учениците да решават задачи по тази тема.

Насърчавайте креативността на учениците учебен материали желанието им да се усъвършенстват.

Да се възпитава организираност, дисциплина, отговорност към собствената работа и работата на съучениците.

Тип урок: изучаване на нов материал.

Оборудване на урока: интерактивна дъска, маси, модели на конуси, материал за изработка на модели: игли за плетене, модел на равнина (дунапрен), хартия, лепило, ножици, пергел, транспортир, линийка.

Форма на организация на дейността на учениците : Ж група

Напредък на урока

1. Предна работа

От предложеното геометрични формиизберете конус

Представяне на коничната повърхност

Определение №1 Коничната повърхност е повърхност, образувана от движението на права линия, която минава през дадена точка и пресича дадена равнина.

Права а - генератор;

Плоска линия MN - водач.

Незатворена конична повърхност

Ако ръководството е затворено, тогаваконичната повърхност е затворена.

Определение №2 Конус е тяло, ограничено от затворена конична повърхност и пресичаща я равнина.

Въведение в конуса и неговите елементи

А) Конус

ТАКА a(SO=Н,SO=h)

SO - височина на конуса

SA - генератор

S - връх на конуса

ABA крива -ръководство .

B) Нека правоъгълният правоъгълник SOA се върти около катета SO; по време на пълно завъртане хипотенузата AS описва конична повърхност, катетът OA описва окръжност.

Такова тяло се наричаконус на въртене . (прав кръгъл конус).

Прав кръгъл конус

S - връх на конуса

SA - генератор

SO=h - височина на конуса

(ос на конуса - a)

Основата на конуса е кръг (O; r)

O - център на основата,

AO=OB=r - радиус на основата на окръжността

DSAB-аксиален раздел

a||b, b ТАКА, а ТАКА

Кръг (o;r) ~ Кръг (o1; r1)

Концепцията за странична (пълна) повърхност.

II. Работа в групи (3-5 човека)

(задачите се разпределят на всяка група на карта)

Задача по темата „Конус“

1) Начертайте конус. Въз основа на картината идентифицирайте всички елементи на конуса.

2) Използвайки даден модел на конус, изградете развитие на този конус. Определете съответствието на елементите на развитие на конуса, чертежа и модела на конуса.

3) Направете конус от лист дебела хартия, така че цялата му повърхност да е: S110 cm2 при радиус на основата r3,1 см.

Определете какви инструменти ще ви трябват за това, какви изчисления трябва да направите, какви формули ще трябва да запомните и кои ще са ви необходими, за да извлечете нови?

4) Завършете работата на обекта според плана:

А) Какви бяха вашите отговорности в групата по време на изпълнение на задачите:

генератор на идеи;

конструктор;

калкулатор;

дизайнер;

производител.

Б) Опишете методите и подходите за решаване на проблема.

Необходими изчисленияза изработка на модел на конус. (Чертеж. Формули. Заключение)

Изработване на конус.

5) Моделът на конуса е готов.

6) Напишете формула за изчисляване на площта на напречното сечение, успоредна на основата на конуса и разделена на височината на конуса в съотношение 1:3, като се брои от върха

7) Напишете формула за изчисляване на площта на напречното сечение, минаваща през оста на конуса. защо равен на ъгълав горната част на този раздел?

8) Как можете да получите пресечен конус от вашия модел? Изчислете общата му повърхност, като използвате задачи (6).

9) Съставете и решете още три задачи по тази тема.

коментар: Учителят действа като консултант при решаване на проблеми, като използва подканващи въпроси и разчита на ключови думи.

Една от групите получи по-лесни задачи:

№1. Попълнете празните полета:

Права линия, която при движение образува конична повърхнина се нарича...;

Правата, която пресича образуващата се нарича.....;

Конусът на въртене е частен случай..., когато основата на конуса е .., а основата на височината е ..;

Сечението на конуса на въртене с равнина, успоредна на основата, е .... Намерете площта на напречното сечение.

Ако аксиалното сечение на конуса е равностранен триъгълник, то конусът.....Начертайте:

№2. Решете задачата, като попълните празните места.

При развитието на страничната повърхност на конуса централният ъгъл е 200 о. Намерете ъгъла между образуващата и основата на конуса.

дадени:VSB=200 о, SA=L, OB=r

НамеретеSAO

Решение:

1) а =360 о…..| cos x=...

2) 200 о=…

3) cosх=… , х -

А) ... генератор;

Б) ... ръководство;

B) ...конус, .... Окръжност..., основен център

Г) ...окръжност, ...разстояние на сечението от върха на конуса;

Г) ... се нарича равностранен

а)

Б) 200 о= 360 о*cos x;

Задаване на домашна работа.

Изучаване на пресечения конус, решаване на задачи №.

Обобщение на урока.

В резултат на работата студентите

Те сами извеждат формули за изчисляване на страничните и общите повърхности на конус

Начертайте сканиране

Направи необходимите изчисления

Групи

L (cm)

9,2

3,1

21,1754

89,5528

110,7282

7,8

28,26

73,476

101,74

9,4

28,26

88,548

116,808

10,4

4,9

75,3914

160,0144

235,4058

Проведена изследователска работа

Проблемите са решени

Постоянно общувахме помежду си, учехме се да мислим и да мотивираме колегите си.

Получихме не само необходимите знания, но и голямо удоволствие.

Открихме, че думата „конус“ идва от гръцката дума „xwnos“, което означаваконус.

При разрязване на конична повърхнина с равнина се получават криви от втори ред - окръжност, елипса, парабола и хипербола. В чест случай при определено място на сечащата равнина и когато тя преминава през върха на конуса (S∈γ), окръжността и елипсата се израждат в точка или една или две образуващи на конуса попадат в сечението.

Дава - кръг, когато режещата равнина е перпендикулярна на оста си и пресича всички генериращи повърхности.

Дава - елипса, когато сечащата равнина не е перпендикулярна на оста си и пресича всички генериращи повърхности.

Нека построим елиптика ω самолет α , заемащ генералска длъжност.

Решаване на проблема на напречно сечение на прав кръгов конусравнина е значително опростена, ако режещата равнина заема изпъкнала позиция.

Използвайки метода за промяна на проекционните равнини, превеждаме равнината α от обща позицияпо-специално - предно издадено. На фронталната равнина на проекциите V 1нека изградим следа от самолета α и проекция на повърхността на конуса ω равнина дава елипса, тъй като режещата равнина пресича всички образуващи на конуса. Елипса се проектира върху проекционната равнина като крива от втори ред.
По следите на самолета αVвземете произволна точка 3" измерваме разстоянието му от проекционната равнина зи го поставете по протежение на комуникационната линия вече в самолета V 1, получаване на точка 3" 1 . Пътеката ще минава през него αV 1. Линия на конично сечение ω - точки А" 1, Е" 1тук съвпада със следата на равнината. След това ще конструираме спомагателна режеща равнина γ3, като начертаем челната равнина на проекциите V 1нейната следа γ 3V 1. Спомагателна равнина, пресичаща конична повърхност ω ще даде окръжност и пресичаща се с равнина α ще даде хоризонтална линия h3. На свой ред, правата линия, пресичаща се с окръжността, дава необходимите точки C` и K`равнинни пресичания α с конична повърхност ω . Фронтални проекции на необходимите точки C" и K"конструират като точки, принадлежащи на сечащата равнина α .

Да намериш точка E(E`, E")секционни линии, начертайте хоризонтално изпъкнала равнина през върха на конуса γ 2 H, която ще пресече равнината α по права линия 1-2(1`-2`, 1"-2") . Пресечна точка 1"-2" с комуникационната линия дава точка Е" - най-висока точкасекционни линии.

За да намерите точката, указваща границата на видимост на предната проекция на линията на сечението, начертайте хоризонтално проектирана равнина през върха на конуса γ 5 Hи намерете хоризонталната проекция F`желаната точка. Освен това самолет γ 5 Hще пресече равнината α челен f(f`, f"). Пресечна точка е"с комуникационната линия дава точка F". Свързваме точките, получени върху хоризонталната проекция, с гладка крива, като маркираме върху нея най-лявата точка G - една от характерните точки на пресечната линия.
След това изграждаме проекциите G върху фронталните равнини на проекциите V1 и V. Свързваме всички построени точки от линията на сечение върху фронталната равнина на проекциите V с гладка линия.

Дава - парабола, когато сечащата равнина е успоредна на една образуваща на конуса.

Когато конструирате проекции на криви - конични сечения, е необходимо да запомните теоремата: ортогоналната проекция на плосък участък от конус на въртене върху равнина, перпендикулярна на неговата ос, е крива от втори ред и един от нейните фокуси има ортогонален проекция на върха на конуса върху тази равнина.

Нека разгледаме изграждането на секционни проекции, когато режещата равнина α успоредна на едната образуваща на конуса (SD).

Напречното сечение ще доведе до парабола с върха в точката A(A`, A"). Според теоремата върхът на конуса Спроектирани на фокус S`. Според известното =R S`определяне на позицията на директрисата на параболата. След това точките на кривата се изчертават с помощта на уравнението p=R.

Конструиране на секционни проекции, когато сечещата равнина α успоредно на една образуваща на конуса може да се направи следното:

С помощта на помощни хоризонтално изпъкнали равнини, минаващи през върха на конуса γ 1 HИ γ 2 H.

Първо се определят фронталните проекции на точките F", G"- в пресечната точка на генераторите S"1", S"2"и следата на сечащата равнина αV. На пресечната точка на комуникационните линии с γ 1 HИ γ 2 Hбъдете определени F`, G`.

Други точки от линията на сечението могат да бъдат определени по подобен начин, например D", E"И D`, E`.

Използване на спомагателни фронтални проекционни равнини ⊥ ос на конуса γ 3 VИ γ 4 V.

Проекции на сечение от спомагателни равнини и конус върху равнина з, ще има кръгове. Линии на пресичане на спомагателни равнини със сечещата равнина α ще има стърчащи отпред прави линии.

Дава - хипербола, когато сечащата равнина е успоредна на двете образуващи на конуса.

Конус (от гръцки "konos")- борова шишарка. Шишарката е позната на хората от древни времена. През 1906 г. е открита книгата „За метода“, написана от Архимед (287-212 г. пр.н.е.), тази книга дава решение на проблема за обема на общата част на пресичащите се цилиндри. Архимед казва, че това откритие принадлежи на древногръцкия философ Демокрит (470-380 г. пр. н. е.), който, използвайки този принцип, получава формули за изчисляване на обема на пирамида и конус.

Равнина, перпендикулярна на оста на конуса, пресича конуса в окръжност, а страничната повърхност пресича окръжност с център върху оста на конуса.

Обемът на конус е равен на една трета от произведението на височината и площта на основата. По този начин всички конуси, почиващи върху дадена основа и имащи връх, разположен в дадена равнина, успоредна на основата, имат еднакъв обем, тъй като техните височини са равни.