Първо ниво

Квадратни уравнения. Изчерпателно ръководство (2019)

В термина „квадратно уравнение“ ключовата дума е „квадратично“. Това означава, че уравнението задължително трябва да съдържа променлива (същото x) на квадрат и не трябва да има x на трета (или по-голяма) степен.

Решаването на много уравнения се свежда до решаване на квадратни уравнения.

Нека се научим да определяме, че това е квадратно уравнение, а не някое друго уравнение.

Пример 1.

Нека се отървем от знаменателя и умножим всеки член на уравнението по

Нека преместим всичко в лявата страна и подредим членовете в низходящ ред на степените на X

Сега можем да кажем с увереност, че дадено уравнениее квадратна!

Пример 2.

Нека умножим ляво и правилната странана:

Това уравнение, въпреки че първоначално е в него, не е квадратно!

Пример 3.

Нека умножим всичко по:

Страшен? Четвърта и втора степен... Ако обаче направим замяна, ще видим, че имаме просто квадратно уравнение:

Пример 4.

Изглежда, че е там, но нека го разгледаме по-отблизо. Нека преместим всичко отляво:

Вижте, редуцирано е - и сега е просто линейно уравнение!

Сега се опитайте да определите сами кои от следните уравнения са квадратни и кои не:

Примери:

Отговори:

1. квадрат;
2. квадрат;
3. не е квадратна;
4. не е квадратна;
5. не е квадратна;
6. квадрат;
7. не е квадратна;
8. квадрат.

Математиците условно разделят всички квадратни уравнения на следните видове:

• Пълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентите и, както и свободният член c, не са равни на нула (както в примера). В допълнение, сред пълните квадратни уравнения има дадено- това са уравнения, в които коефициентът (уравнението от пример едно е не само пълно, но и намалено!)

• Непълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

  Те са непълни, защото им липсва някакъв елемент. Но уравнението винаги трябва да съдържа x на квадрат!!! В противен случай това вече няма да е квадратно уравнение, а някакво друго уравнение.

Защо са измислили такова разделение? Изглежда, че има Х на квадрат и добре. Това разделение се определя от методите за решаване. Нека разгледаме всеки от тях по-подробно.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Първо, нека се съсредоточим върху решаването на непълни квадратни уравнения - те са много по-прости!

Има видове непълни квадратни уравнения:

1. , в това уравнение коефициентът е равен.
2. , в това уравнение свободният член е равен на.
3. , в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

1. i. Тъй като знаем как да извадим корен квадратен, нека използваме това уравнение, за да изразим

Изразът може да бъде както отрицателен, така и положителен. Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото при умножаване на две отрицателни или две положителни числа резултатът винаги ще бъде положително число, така че: ако, тогава уравнението няма решения.

И ако, тогава получаваме два корена. Тези формули не трябва да се запомнят. Основното е, че трябва да знаете и винаги да помните, че не може да бъде по-малко.

Нека се опитаме да решим някои примери.

Пример 5:

Решете уравнението

Сега остава само да извлечете корена от лявата и дясната страна. В крайна сметка помните ли как се извличат корени?

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!!!

Пример 6:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 7:

Решете уравнението

о! Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени!

За такива уравнения, които нямат корени, математиците излязоха със специална икона - (празен набор). И отговорът може да бъде написан така:

Отговор:

По този начин това квадратно уравнение има два корена. Тук няма ограничения, тъй като не сме извлекли корена.
Пример 8:

Решете уравнението

Нека извадим общия множител извън скобите:

По този начин,

Това уравнение има два корена.

Отговор:

Най-простият тип непълни квадратни уравнения (въпреки че всички те са прости, нали?). Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Тук ще се справим без примери.

Решаване на пълни квадратни уравнения

Напомняме ви, че пълното квадратно уравнение е уравнение от вида където

Решаването на пълни квадратни уравнения е малко по-трудно (само малко) от тези.

Помня, Всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминант! Дори непълна.

Другите методи ще ви помогнат да го направите по-бързо, но ако имате проблеми с квадратни уравнения, първо овладейте решението с помощта на дискриминанта.

1. Решаване на квадратни уравнения с помощта на дискриминант.

Решаването на квадратни уравнения с помощта на този метод е много просто; основното е да запомните последователността от действия и няколко формули.

Ако, тогава уравнението има корен. Специално вниманиенаправи крачка. Дискриминант () ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава формулата в стъпката ще бъде намалена до. Така уравнението ще има само корен.
• Ако, тогава няма да можем да извлечем корена на дискриминанта на стъпката. Това показва, че уравнението няма корени.

Нека се върнем към нашите уравнения и да разгледаме някои примери.

Пример 9:

Решете уравнението

Етап 1прескачаме.

Стъпка 2.

Намираме дискриминанта:

Това означава, че уравнението има два корена.

Стъпка 3.

Отговор:

Пример 10:

Решете уравнението

Уравнението е представено в стандартна форма, така че Етап 1прескачаме.

Стъпка 2.

Намираме дискриминанта:

Това означава, че уравнението има един корен.

Отговор:

Пример 11:

Решете уравнението

Уравнението е представено в стандартна форма, така че Етап 1прескачаме.

Стъпка 2.

Намираме дискриминанта:

Това означава, че няма да можем да извлечем корена на дискриминанта. Няма корени на уравнението.

Сега знаем как правилно да записваме такива отговори.

Отговор:без корени

2. Решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета.

Ако си спомняте, има вид уравнение, което се нарича намалено (когато коефициентът a е равен на):

Такива уравнения са много лесни за решаване с помощта на теоремата на Vieta:

Сума от корени даденоквадратно уравнение е равно и произведението на корените е равно.

Пример 12:

Решете уравнението

Това уравнение може да бъде решено с помощта на теоремата на Виета, защото .

Сборът от корените на уравнението е равен, т.е. получаваме първото уравнение:

И произведението е равно на:

Нека съставим и решим системата:

• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Отговор: ; .

Пример 13:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 14:

Решете уравнението

Дадено е уравнението, което означава:

Отговор:

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Какво е квадратно уравнение?

С други думи, квадратното уравнение е уравнение от формата, където - неизвестното, - някои числа и.

Числото се нарича най-високото или първи коефициентквадратно уравнение, - втори коефициент, А - безплатен член.

Защо? Защото, ако уравнението веднага стане линейно, защото ще изчезне.

В този случай и може да бъде равно на нула. В този стол уравнението се нарича непълно. Ако всички членове са налице, това означава, че уравнението е пълно.

Решения на различни видове квадратни уравнения

Методи за решаване на непълни квадратни уравнения:

Първо, нека разгледаме методите за решаване на непълни квадратни уравнения - те са по-прости.

Можем да различим следните видове уравнения:

I., в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

II. , в това уравнение коефициентът е равен.

III. , в това уравнение свободният член е равен на.

Сега нека разгледаме решението за всеки от тези подтипове.

Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото когато умножите две отрицателни или две положителни числа, резултатът винаги ще бъде положително число. Ето защо:

ако, тогава уравнението няма решения;

ако имаме два корена

Тези формули не трябва да се запомнят. Основното нещо, което трябва да запомните, е, че не може да бъде по-малко.

Примери:

Решения:

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!

Квадратът на числото не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени.

За да напишем накратко, че даден проблем няма решения, използваме иконата за празен набор.

Отговор:

И така, това уравнение има два корена: и.

Отговор:

Нека извадим общия множител извън скобите:

Продуктът е равен на нула, ако поне един от факторите равен на нула. Това означава, че уравнението има решение, когато:

И така, това квадратно уравнение има два корена: и.

Пример:

Решете уравнението.

Решение:

Нека разложим лявата страна на уравнението и намерим корените:

Отговор:

Методи за решаване на пълни квадратни уравнения:

1. Дискриминант

Решаването на квадратни уравнения по този начин е лесно, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули. Не забравяйте, че всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминант! Дори непълна.

Забелязахте ли корена от дискриминанта във формулата за корените? Но дискриминантът може да бъде отрицателен. Какво да правя? Трябва да обърнем специално внимание на стъпка 2. Дискриминантът ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава уравнението има корени:
• Ако, тогава уравнението има едни и същи корени и всъщност един корен:

  Такива корени се наричат ​​двойни корени.

• Ако, тогава коренът на дискриминанта не се извлича. Това показва, че уравнението няма корени.

Защо е възможно различни количествакорени? Нека се обърнем към геометричния смисъл на квадратното уравнение. Графиката на функцията е парабола:

В специален случай, който е квадратно уравнение, . Това означава, че корените на квадратното уравнение са точките на пресичане с абсцисната ос (ос). Една парабола може изобщо да не пресича оста или да я пресича в една (когато върхът на параболата лежи върху оста) или две точки.

В допълнение, коефициентът е отговорен за посоката на клоновете на параболата. Ако, тогава клоните на параболата са насочени нагоре, а ако - надолу.

Примери:

Решения:

Отговор:

Отговор: .

Отговор:

Това означава, че няма решения.

Отговор: .

2. Теорема на Виета

Много е лесно да използвате теоремата на Vieta: просто трябва да изберете двойка числа, чийто продукт е равен на свободния член на уравнението, а сумата е равна на втория коефициент, взет с обратен знак.

Важно е да запомните, че теоремата на Виета може да се приложи само в редуцирани квадратни уравнения ().

Нека да разгледаме няколко примера:

Пример #1:

Решете уравнението.

Решение:

Това уравнение може да бъде решено с помощта на теоремата на Виета, защото . Други коефициенти: ; .

Сумата от корените на уравнението е:

И произведението е равно на:

Нека изберем двойки числа, чието произведение е равно и проверим дали сборът им е равен:

• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна на;
• И. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Така и са корените на нашето уравнение.

Отговор: ; .

Пример #2:

Решение:

Нека изберем двойки числа, които дават в произведението, и след това проверим дали сборът им е равен:

и: дават общо.

и: дават общо. За да се получи, е достатъчно просто да се сменят знаците на предполагаемите корени: и в края на краищата продуктът.

Отговор:

Пример #3:

Решение:

Свободният член на уравнението е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно число. Това е възможно само ако единият от корените е отрицателен, а другият е положителен. Следователно сумата от корените е равна на разлики в техните модули.

Нека изберем двойки числа, които дават в произведението и чиято разлика е равна на:

и: разликата им е равна - не се вписва;

и: - неподходящи;

и: - неподходящи;

и: - подходящи. Остава само да запомним, че един от корените е отрицателен. Тъй като сборът им трябва да е равен, коренът с по-малък модул трябва да е отрицателен: . Ние проверяваме:

Отговор:

Пример #4:

Решете уравнението.

Решение:

Дадено е уравнението, което означава:

Свободният член е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно. И това е възможно само когато единият корен на уравнението е отрицателен, а другият е положителен.

Нека изберем двойки числа, чийто продукт е равен, и след това определим кои корени трябва да имат отрицателен знак:

Очевидно само корените и са подходящи за първото условие:

Отговор:

Пример #5:

Решете уравнението.

Решение:

Дадено е уравнението, което означава:

Сборът на корените е отрицателен, което означава, че поне един от корените е отрицателен. Но тъй като техният продукт е положителен, това означава, че и двата корена имат знак минус.

Нека изберем двойки числа, чийто продукт е равен на:

Очевидно корените са числата и.

Отговор:

Съгласете се, много е удобно да излезете с корени устно, вместо да броите този неприятен дискриминант. Опитайте се да използвате теоремата на Vieta възможно най-често.

Но теоремата на Виета е необходима, за да улесни и ускори намирането на корените. За да имате полза от използването му, трябва да доведете действията до автоматизъм. И за това решете още пет примера. Но не изневерявайте: не можете да използвате дискриминант! Само теоремата на Виета:

Решения на задачи за самостоятелна работа:

Задача 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Според теоремата на Виета:

Както обикновено, започваме селекцията с парчето:

Не е подходящ, защото количеството;

: количеството е точно това, от което се нуждаете.

Отговор: ; .

Задача 2.

И отново нашата любима теорема на Виета: сборът трябва да е равен и произведението трябва да е равно.

Но тъй като трябва да е не, но, променяме знаците на корените: и (общо).

Отговор: ; .

Задача 3.

Хм... Къде е това?

Трябва да преместите всички условия в една част:

Сборът от корените е равен на произведението.

Добре, спри! Уравнението не е дадено. Но теоремата на Виета е приложима само в дадените уравнения. Така че първо трябва да дадете уравнение. Ако не можете да водите, откажете се от тази идея и я решете по друг начин (например чрез дискриминант). Нека ви напомня, че да се даде квадратно уравнение означава водещият коефициент да бъде равен на:

Страхотен. Тогава сумата от корените е равна на и произведението.

Тук е толкова лесно, колкото да белите круши: все пак това е просто число (съжалявам за тавтологията).

Отговор: ; .

Задача 4.

Безплатният член е отрицателен. Какво е особеното на това? И факт е, че корените ще имат различни знаци. И сега, по време на селекцията, ние проверяваме не сумата на корените, а разликата в техните модули: тази разлика е равна, но продукт.

И така, корените са равни на и, но един от тях е минус. Теоремата на Виета ни казва, че сборът от корените е равен на втория коефициент с противоположен знак, т.е. Това означава, че по-малкият корен ще има минус: и, тъй като.

Отговор: ; .

Задача 5.

Какво трябва да направите първо? Точно така, дайте уравнението:

Отново: избираме факторите на числото и тяхната разлика трябва да бъде равна на:

Корените са равни на и, но един от тях е минус. Който? Сборът им трябва да е равен, което означава, че минусът ще има по-голям корен.

Отговор: ; .

Нека обобщя:

1. Теоремата на Vieta се използва само в дадените квадратни уравнения.
2. Използвайки теоремата на Vieta, можете да намерите корените чрез избор, устно.
3. Ако уравнението не е дадено или не е намерено уравнение подходяща двойкамножители на свободния член, което означава, че няма цели корени и трябва да го решите по друг начин (например чрез дискриминант).

3. Метод за избор на пълен квадрат

Ако всички членове, съдържащи неизвестното, са представени под формата на членове от съкратени формули за умножение - квадрат на сбора или разликата - тогава след замяна на променливите уравнението може да бъде представено под формата на непълно квадратно уравнение от типа.

Например:

Пример 1:

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

Пример 2:

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

Като цяло трансформацията ще изглежда така:

Това предполага: .

Нищо не ти напомня? Това е нещо дискриминационно! Точно така получихме дискриминантната формула.

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Квадратно уравнение- това е уравнение от вида, където - неизвестното, - коефициентите на квадратното уравнение, - свободният член.

Пълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентите не са равни на нула.

Редуцирано квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът, тоест: .

Непълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

• ако коефициентът, уравнението изглежда така: ,
• ако има свободен член, уравнението има формата: ,
• ако и, уравнението изглежда така: .

1. Алгоритъм за решаване на непълни квадратни уравнения

1.1. Непълно квадратно уравнение от формата, където, :

1) Нека изразим неизвестното: ,

2) Проверете знака на израза:

• ако, тогава уравнението няма решения,
• ако, тогава уравнението има два корена.

1.2. Непълно квадратно уравнение от формата, където, :

1) Нека извадим общия множител извън скобите: ,

2) Произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. Следователно уравнението има два корена:

1.3. Непълно квадратно уравнение от формата, където:

Това уравнение винаги има само един корен: .

2. Алгоритъм за решаване на пълни квадратни уравнения от вида where

2.1. Решение с помощта на дискриминант

1) Нека редуцираме уравнението до стандартен изглед: ,

2) Нека изчислим дискриминанта по формулата: , която показва броя на корените на уравнението:

3) Намерете корените на уравнението:

• ако, тогава уравнението има корени, които се намират по формулата:
• ако, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
• ако, тогава уравнението няма корени.

2.2. Решение с помощта на теоремата на Виета

Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение (уравнение от вида където) е равна, а произведението на корените е равно, т.е. , А.

2.3. Решение по метода на избиране на пълен квадрат

Ако квадратно уравнение от формата има корени, тогава то може да бъде написано във формата: .

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за постъпване в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях има много повече повече възможностии животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще имаш нужда решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализи решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия - 299 търкайте.
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - 499 търкайте.

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

IN модерно обществоспособността да се извършват операции с уравнения, съдържащи квадратна променлива, може да бъде полезна в много области на дейност и се използва широко на практика в научните и технически разработки. Доказателство за това може да се намери в дизайна на морски и речни плавателни съдове, самолети и ракети. Използвайки такива изчисления, траекториите на движение на най-много различни тела, включително космически обекти. Примери с решение на квадратни уравнения се използват не само в икономическото прогнозиране, при проектирането и строителството на сгради, но и в най-обикновените ежедневни обстоятелства. Те може да са необходими при туристически походи, на спортни събития, в магазини, когато правите покупки и в други много често срещани ситуации.

Нека разделим израза на съставните му множители

Степента на уравнението се определя от максималната стойност на степента на променливата, която изразът съдържа. Ако е равно на 2, тогава такова уравнение се нарича квадратно.

Ако говорим на езика на формулите, тогава посочените изрази, независимо как изглеждат, винаги могат да бъдат доведени до формата, когато лявата страна на израза се състои от три члена. Сред тях: ax 2 (т.е. променлива на квадрат с нейния коефициент), bx (неизвестно без квадрат с нейния коефициент) и c (свободен компонент, т.е. обикновено число). Всичко това от дясната страна е равно на 0. В случай, че на такъв полином липсва един от съставните му членове, с изключение на ос 2, той се нарича непълно квадратно уравнение. Примери за решаване на такива проблеми, стойностите на променливите, в които са лесни за намиране, трябва да бъдат разгледани първо.

Ако изразът изглежда така, сякаш има два члена от дясната страна, по-точно ax 2 и bx, най-лесният начин да намерите x е като поставите променливата извън скоби. Сега нашето уравнение ще изглежда така: x(ax+b). След това става очевидно, че или x=0, или проблемът се свежда до намиране на променлива от следния израз: ax+b=0. Това е продиктувано от едно от свойствата на умножението. Правилото гласи, че произведението на два фактора води до 0 само ако единият от тях е нула.

Пример

x=0 или 8x - 3 = 0

В резултат на това получаваме два корена на уравнението: 0 и 0,375.

Уравнения от този вид могат да опишат движението на тела под въздействието на гравитацията, които са започнали да се движат от определена точка, взета за начало на координатите. Тук математическата нотация приема следната форма: y = v 0 t + gt 2 /2. Чрез заместване на необходимите стойности, приравняване на дясната страна на 0 и намиране на възможни неизвестни, можете да разберете времето, което минава от момента, в който тялото се издига до момента, в който пада, както и много други количества. Но ще говорим за това по-късно.

Факторизиране на израз

Правилото, описано по-горе, дава възможност за решаване на тези проблеми в повече трудни случаи. Нека да разгледаме примери за решаване на квадратни уравнения от този тип.

X 2 - 33x + 200 = 0

Този квадратен трином е пълен. Първо, нека трансформираме израза и го разложим на множители. Има две от тях: (x-8) и (x-25) = 0. В резултат на това имаме два корена 8 и 25.

Примерите за решаване на квадратни уравнения в 9 клас позволяват този метод да намери променлива в изрази не само от втория, но дори от третия и четвъртия ред.

Например: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Когато разлагаме дясната страна на множители с променлива, има три от тях, а именно (x+1), (x-3) и (x+ 3).

В резултат на това става очевидно, че това уравнение има три корена: -3; -1; 3.

Корен квадратен

Друг случай на непълно уравнение от втори ред е израз, представен на езика на буквите по такъв начин, че дясната страна е конструирана от компонентите ax 2 и c. Тук, за да се получи стойността на променливата, свободният член се прехвърля в дясната страна и след това квадратният корен се извлича от двете страни на равенството. Трябва да се отбележи, че в този случай обикновено има два корена на уравнението. Единствените изключения могат да бъдат равенства, които изобщо не съдържат член с, където променливата е равна на нула, както и варианти на изрази, когато дясната страна е отрицателна. В последния случай изобщо няма решения, тъй като горните действия не могат да бъдат извършени с корени. Трябва да се разгледат примери за решения на квадратни уравнения от този тип.

В този случай корените на уравнението ще бъдат числата -4 и 4.

Изчисляване на площта на земята

Необходимостта от този вид изчисления се е появила в древни времена, тъй като развитието на математиката в онези далечни времена до голяма степен се определя от необходимостта да се определят с най-голяма точност площите и периметрите на парцелите.

Трябва също така да разгледаме примери за решаване на квадратни уравнения въз основа на проблеми от този вид.

И така, да кажем, че има правоъгълен парцел земя, чиято дължина е с 16 метра по-голяма от ширината. Трябва да намерите дължината, ширината и периметъра на обекта, ако знаете, че площта му е 612 m2.

За да започнем, нека първо създадем необходимото уравнение. Нека означим с x ширината на областта, тогава нейната дължина ще бъде (x+16). От написаното следва, че площта се определя от израза x(x+16), който според условията на нашата задача е 612. Това означава, че x(x+16) = 612.

Решаването на пълни квадратни уравнения, а този израз е точно това, не може да се направи по същия начин. Защо? Въпреки че лявата страна все още съдържа два фактора, техният продукт изобщо не е равен на 0, така че тук се използват различни методи.

Дискриминанта

Първо, нека направим необходимите трансформации външен видна този израз ще изглежда така: x 2 + 16x - 612 = 0. Това означава, че сме получили израз във форма, съответстваща на предварително зададения стандарт, където a=1, b=16, c=-612.

Това може да е пример за решаване на квадратни уравнения с помощта на дискриминант. Тук необходими изчислениясе произвеждат по схемата: D = b 2 - 4ac. Това спомагателно количество не само прави възможно намирането на необходимите количества в уравнение от втори ред, но определя броя на възможните опции. Ако D>0, има две от тях; за D=0 има един корен. В случай Д<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

За корените и тяхната формула

В нашия случай дискриминантът е равен на: 256 - 4(-612) = 2704. Това предполага, че нашият проблем има отговор. Ако знаете k, решението на квадратни уравнения трябва да продължи с формулата по-долу. Позволява ви да изчислите корените.

Това означава, че в представения случай: x 1 =18, x 2 =-34. Вторият вариант в тази дилема не може да бъде решение, тъй като размерите на парцела не могат да бъдат измерени в отрицателни величини, което означава, че x (т.е. ширината на парцела) е 18 m. Оттук изчисляваме дължината: 18 +16=34, а периметър 2(34+ 18)=104(m2).

Примери и задачи

Продължаваме с изучаването на квадратни уравнения. Примери и подробни решения на някои от тях ще бъдат дадени по-долу.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Нека преместим всичко в лявата страна на равенството, направим трансформация, тоест ще получим типа уравнение, което обикновено се нарича стандартно, и ще го приравним към нула.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Добавяйки подобни, ние определяме дискриминанта: D = 49 - 48 = 1. Това означава, че нашето уравнение ще има два корена. Нека ги изчислим по горната формула, което означава, че първото от тях ще бъде равно на 4/3, а второто на 1.

2) Сега нека разрешим мистерии от различен вид.

Нека разберем дали тук има корени x 2 - 4x + 5 = 1? За да получим изчерпателен отговор, нека редуцираме полинома до съответната обичайна форма и изчислим дискриминанта. В горния пример не е необходимо да се решава квадратното уравнение, защото това изобщо не е същността на проблема. В този случай D = 16 - 20 = -4, което означава, че наистина няма корени.

Теорема на Виета

Удобно е да се решават квадратни уравнения, като се използват горните формули и дискриминантът, когато квадратният корен се взема от стойността на последния. Но това не винаги се случва. Има обаче много начини за получаване на стойностите на променливите в този случай. Пример: решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета. Тя носи името на живялия през 16 век във Франция и направил блестяща кариера благодарение на математическия си талант и връзки в двора. Неговият портрет можете да видите в статията.

Моделът, който известният французин забеляза, беше следният. Той доказа, че корените на уравнението се събират числено до -p=b/a, а произведението им съответства на q=c/a.

Сега нека разгледаме конкретните задачи.

3x 2 + 21x - 54 = 0

За простота, нека трансформираме израза:

x 2 + 7x - 18 = 0

Нека използваме теоремата на Виета, това ще ни даде следното: сумата от корените е -7, а произведението им е -18. От тук получаваме, че корените на уравнението са числата -9 и 2. След проверка ще се уверим, че стойностите на тези променливи наистина се вписват в израза.

Парабола и уравнение

Понятията квадратна функция и квадратни уравнения са тясно свързани. Примери за това вече бяха дадени по-рано. Сега нека разгледаме малко по-подробно някои математически гатанки. Всяко уравнение от описания тип може да бъде представено визуално. Такава зависимост, начертана като графика, се нарича парабола. Различните му видове са представени на фигурата по-долу.

Всяка парабола има връх, тоест точка, от която излизат нейните клонове. Ако a>0, те отиват високо до безкрайност, а когато a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Визуалните представяния на функции помагат за решаването на всякакви уравнения, включително квадратни. Този метод се нарича графичен. И стойността на променливата x е абсцисната координата в точките, където линията на графиката се пресича с 0x. Координатите на върха могат да бъдат намерени с помощта на току-що дадената формула x 0 = -b/2a. И чрез заместване на получената стойност в първоначалното уравнение на функцията, можете да разберете y 0, тоест втората координата на върха на параболата, която принадлежи на ординатната ос.

Пресечната точка на клоновете на парабола с абсцисната ос

Има много примери за решаване на квадратни уравнения, но има и общи модели. Нека ги разгледаме. Ясно е, че пресичането на графиката с оста 0x за a>0 е възможно само ако 0 приема отрицателни стойности. И за а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В противен случай D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

От графиката на параболата можете да определите и корените. Обратното също е вярно. Тоест, ако не е лесно да се получи визуално представяне на квадратична функция, можете да приравните дясната страна на израза на 0 и да решите полученото уравнение. И знаейки точките на пресичане с оста 0x, е по-лесно да се изгради графика.

От историята

Използвайки уравнения, съдържащи квадратна променлива, в старите времена те не само правеха математически изчисления и определяха площите на геометричните фигури. Древните са имали нужда от такива изчисления за големи открития в областта на физиката и астрономията, както и за правене на астрологични прогнози.

Както предполагат съвременните учени, жителите на Вавилон са били едни от първите, които решават квадратни уравнения. Това се случи четири века преди нашата ера. Разбира се, техните изчисления бяха коренно различни от приетите в момента и се оказаха много по-примитивни. Например месопотамските математици нямаха представа за съществуването на отрицателни числа. Не бяха запознати и с други тънкости, които всеки съвременен ученик знае.

Може би дори по-рано от учените от Вавилон, мъдрецът от Индия Баудхаяма започва да решава квадратни уравнения. Това се случи около осем века преди ерата на Христос. Вярно е, че уравненията от втори ред, методите за решаване на които той даде, бяха най-простите. Освен него китайските математици също са се интересували от подобни въпроси навремето. В Европа квадратните уравнения започват да се решават едва в началото на 13 век, но по-късно те са използвани в своите трудове от такива велики учени като Нютон, Декарт и много други.

Някои задачи по математика изискват способността да се изчислява стойността на корен квадратен. Такива проблеми включват решаване на уравнения от втори ред. В тази статия представяме ефективен метод за изчисление квадратни корении го използвайте, когато работите с формули за корените на квадратно уравнение.

Какво е квадратен корен?

В математиката това понятие съответства на символа √. Исторически данни сочат, че е използван за първи път около първата половина на 16 век в Германия (първият немски труд по алгебра от Кристоф Рудолф). Учените смятат, че символът е трансформирана латинска буква r (radix означава "корен" на латински).

Коренът на всяко число е равен на стойността, чийто квадрат съответства на радикалния израз. На езика на математиката това определение ще изглежда така: √x = y, ако y 2 = x.

Коренът на положително число (x > 0) също е положително число (y > 0), но ако вземете корена на отрицателно число (x< 0), то его результатом уже будет комплексно число, включително въображаемата единица i.

Ето два прости примера:

√9 = 3, тъй като 3 2 = 9; √(-9) = 3i, тъй като i 2 = -1.

Итеративна формула на Heron за намиране на стойностите на квадратни корени

Горните примери са много прости и изчисляването на корените в тях не е трудно. Трудности започват да се появяват при намиране на коренни стойности за всяка стойност, която не може да бъде представена като квадрат естествено число, например √10, √11, √12, √13, да не говорим за факта, че на практика е необходимо да се намерят корени за нецели числа: например √(12,15), √(8,5) и така нататък.

Във всички горепосочени случаи трябва да се използва специален метод за изчисляване на квадратния корен. Понастоящем са известни няколко такива метода: например разширение на серия Тейлър, разделяне на колони и някои други. От всички известни методи, може би най-простият и най-ефективен е използването на итеративната формула на Херон, която е известна още като вавилонския метод за определяне на квадратни корени (има доказателства, че древните вавилонци са го използвали в своите практически изчисления).

Нека е необходимо да се определи стойността на √x. Намиране на формула корен квадратенТо има следващ изглед:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), където lim n->∞ (a n) => x.

Нека дешифрираме това математическа нотация. За да изчислите √x, трябва да вземете определено число a 0 (може да е произволно, но за да получите бързо резултата, трябва да го изберете така, че (a 0) 2 да е възможно най-близо до x. След това го заменете в посочената формула за изчисляване на квадратния корен и получаване на ново число a 1, което вече ще бъде по-близо до желаната стойност. След това е необходимо да замените 1 в израза и да получите 2. Тази процедура трябва да се повтори, докато. се получава необходимата точност.

Пример за използване на итеративната формула на Heron

Описаният по-горе алгоритъм за получаване на квадратен корен от дадено число може да звучи доста сложен и объркващ за мнозина, но в действителност всичко се оказва много по-просто, тъй като тази формула се сближава много бързо (особено ако е избрано успешно число 0) .

Нека дадем прост пример: трябва да изчислите √11. Нека изберем 0 = 3, тъй като 3 2 = 9, което е по-близо до 11 отколкото 4 2 = 16. Като заместим във формулата, получаваме:

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Няма смисъл да продължаваме с изчисленията, тъй като установихме, че 2 и 3 започват да се различават едва от 5-ия знак след десетичната запетая. По този начин беше достатъчно да се приложи формулата само 2 пъти, за да се изчисли √11 с точност до 0,0001.

В днешно време калкулаторите и компютрите се използват широко за изчисляване на корени, но е полезно да запомните маркираната формула, за да можете ръчно да изчислите точната им стойност.

Уравнения от втори ред

Разбирането какво е квадратен корен и способността да се изчислява се използва при решаването на квадратни уравнения. Тези уравнения се наричат ​​равенства с едно неизвестно, чиято обща форма е показана на фигурата по-долу.

Тук c, b и a представляват някои числа и a не трябва да е равно на нула, а стойностите на c и b могат да бъдат напълно произволни, включително равни на нула.

Всички стойности на x, които отговарят на равенството, посочено на фигурата, се наричат ​​неговите корени (това понятие не трябва да се бърка с квадратния корен √). Тъй като разглежданото уравнение е от 2-ри ред (x 2), тогава не може да има повече от два корена за него. Нека разгледаме по-нататък в статията как да намерим тези корени.

Намиране на корените на квадратно уравнение (формула)

Този метод за решаване на разглеждания тип равенства се нарича още универсален метод или дискриминантен метод. Може да се използва за всякакви квадратни уравнения. Формулата за дискриминанта и корените на квадратното уравнение е следната:

То показва, че корените зависят от стойността на всеки от трите коефициента на уравнението. Освен това изчислението на x 1 се различава от изчислението на x 2 само по знака пред квадратния корен. Радикалният израз, който е равен на b 2 - 4ac, не е нищо повече от дискриминанта на въпросното равенство. Дискриминантът във формулата за корените на квадратно уравнение играе важна роля, тъй като определя броя и вида на решенията. Така че, ако е равно на нула, тогава ще има само едно решение, ако е положително, тогава уравнението има два реални корена и накрая, отрицателен дискриминант води до два комплексни корена x 1 и x 2.

Теорема на Виета или някои свойства на корените на уравнения от втори ред

В края на 16-ти век един от основателите на съвременната алгебра, французин, изучавайки уравнения от втори ред, успява да получи свойствата на неговите корени. Математически те могат да бъдат записани така:

x 1 + x 2 = -b / a и x 1 * x 2 = c / a.

И двете равенства могат лесно да бъдат получени от всеки; за да направите това, трябва само да извършите съответните математически операции с корените, получени чрез формулата с дискриминанта.

Комбинацията от тези два израза с право може да се нарече втората формула за корените на квадратно уравнение, което дава възможност да се познаят решенията му без използване на дискриминант. Тук трябва да се отбележи, че въпреки че и двата израза са винаги валидни, е удобно да се използват за решаване на уравнение само ако то може да бъде факторизирано.

Задачата за консолидиране на придобитите знания

Нека решим математически проблем, в който ще демонстрираме всички техники, разгледани в статията. Условията на задачата са следните: трябва да намерите две числа, за които произведението е -13, а сборът е 4.

Това условие веднага ни напомня за теоремата на Виета, използвайки формулите за сумата от квадратни корени и техния продукт, записваме:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Ако приемем, че a = 1, тогава b = -4 и c = -13. Тези коефициенти ни позволяват да създадем уравнение от втори ред:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Нека използваме формулата с дискриминанта и да получим следните корени:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Тоест проблемът беше сведен до намирането на числото √68. Обърнете внимание, че 68 = 4 * 17, тогава, използвайки свойството квадратен корен, получаваме: √68 = 2√17.

Сега нека използваме разглежданата формула за квадратен корен: a 0 = 4, тогава:

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Няма нужда да изчислявате 3, тъй като намерените стойности се различават само с 0,02. Така √68 = 8,246. Замествайки го във формулата за x 1,2, получаваме:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 и x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Както виждаме, сумата от намерените числа наистина е равна на 4, но ако намерим произведението им, то ще бъде равно на -12,999, което удовлетворява условията на задачата с точност до 0,001.

“, тоест уравнения от първа степен. В този урок ще разгледаме това, което се нарича квадратно уравнениеи как да го решим.

Какво е квадратно уравнение?

важно!

Степента на уравнението се определя от най-високата степен, на която стои неизвестното.

Ако максималната степен, в която неизвестното е „2“, тогава имате квадратно уравнение.

Примери за квадратни уравнения

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• х 2 + 0,25 х = 0
• x 2 − 8 = 0

важно!

Общата форма на квадратно уравнение изглежда така:

A x 2 + b x + c = 0

• „a“, „b“ и „c“ са дадени числа.
• „а“ е първият или най-високият коефициент;
• “b” е вторият коефициент;

“c” е безплатен член.

За да намерите „a“, „b“ и „c“, трябва да сравните вашето уравнение с общата форма на квадратното уравнение „ax 2 + bx + c = 0“.

Коефициенти c = 17 c = 8

Нека се упражним да определяме коефициентите "a", "b" и "c" в квадратни уравнения.	Уравнението
5x 2 − 14x + 17 = 0 а = 5 b = −14
−7x 2 − 13x + 8 = 0 a = −7 b = −13

1

3

= 0

• −x 2 + x +
• a = −1
• b = 1

  1

  3

c =

• х 2 + 0,25 х = 0
• а = 1
• b = 0,25

c = 0

• х 2 + 0,25 х = 0
• x 2 − 8 = 0
• b = 0

c = −8

Как се решават квадратни уравнения За разлика отлинейни уравнения за решаване на квадратни уравнения, спец.

формула за намиране на корени

За да решите квадратно уравнение, трябва:

• редуцирайте квадратното уравнение до общ външен вид"ax 2 + bx + c = 0". Тоест от дясната страна трябва да остане само „0“;
• използвайте формула за корени:

Нека да разгледаме пример как да използваме формулата за намиране на корените на квадратно уравнение. Нека решим квадратно уравнение.

X 2 − 3x − 4 = 0

Уравнението „x 2 − 3x − 4 = 0“ вече е сведено до общата форма „ax 2 + bx + c = 0“ и не изисква допълнителни опростявания. За да го разрешим, просто трябва да кандидатстваме формула за намиране на корените на квадратно уравнение.

Нека определим коефициентите "a", "b" и "c" за това уравнение.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Може да се използва за решаване на всяко квадратно уравнение.

Във формулата “x 1;2 = ” радикалният израз често се заменя
“b 2 − 4ac” за буквата “D” и се нарича дискриминант. Концепцията за дискриминант е разгледана по-подробно в урока „Какво е дискриминант“.

Нека да разгледаме друг пример за квадратно уравнение.

x 2 + 9 + x = 7x

В тази форма е доста трудно да се определят коефициентите "a", "b" и "c". Нека първо редуцираме уравнението до общата форма “ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Сега можете да използвате формулата за корените.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

х = 3
Отговор: x = 3

Има моменти, когато квадратните уравнения нямат корени. Тази ситуация възниква, когато формулата съдържа отрицателно число под корена.

| Повече ▼ по прост начин. За да направите това, поставете z извън скоби. Ще получите: z(аz + b) = 0. Факторите могат да бъдат записани: z=0 и аz + b = 0, тъй като и двата могат да доведат до нула. В записа az + b = 0 преместваме втория надясно с различен знак. От тук получаваме z1 = 0 и z2 = -b/a. Това са корените на оригинала.

Ако има непълно уравнение под формата az² + c = 0, в този случай те се намират чрез просто преместване на свободния член в дясната страна на уравнението. Променете и знака му. Резултатът ще бъде az² = -с. Експресирайте z² = -c/a. Вземете корена и запишете две решения - положително и отрицателно значениекорен квадратен.

Забележка

Ако в уравнението има дробни коефициенти, умножете цялото уравнение по съответния коефициент, за да се отървете от дробите.

Знанията за това как да решават квадратни уравнения са необходими както за ученици, така и за студенти; понякога това може да помогне и на възрастен обикновен живот. Има няколко специфични метода за решение.

Решаване на квадратни уравнения

Квадратно уравнение от формата a*x^2+b*x+c=0. Коефициентът x е желаната променлива, a, b, c са числени коефициенти. Не забравяйте, че знакът „+“ може да се промени на знак „-“.

За да се реши това уравнение, е необходимо да се използва теоремата на Виета или да се намери дискриминанта. Най-често срещаният метод е да се намери дискриминанта, тъй като за някои стойности на a, b, c не е възможно да се използва теоремата на Vieta.

За да намерите дискриминанта (D), трябва да напишете формулата D=b^2 - 4*a*c. Стойността D може да бъде по-голяма, по-малка или равна на нула. Ако D е по-голямо или по-малко от нула, тогава ще има два корена; ако D=0, тогава остава само един корен; Заместете известните коефициенти a, b, c във формулата и изчислете стойността.

След като намерите дискриминанта, използвайте формулите, за да намерите x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, където sqrt е функция, която означава извличане на корен квадратен от дадено число. След като изчислите тези изрази, ще намерите два корена на вашето уравнение, след което уравнението се счита за решено.

Ако D е по-малко от нула, то все още има корени. Този раздел практически не се изучава в училище. Студентите трябва да знаят, че под корена се появява отрицателно число. Те се отърват от него, като подчертават въображаемата част, тоест -1 под корена винаги е равно на въображаемия елемент „i“, който се умножава по корена със същото положително число. Например, ако D=sqrt(-20), след трансформация се получава D=sqrt(20)*i. След тази трансформация решаването на уравнението се свежда до същото намиране на корени, както е описано по-горе.

Теоремата на Vieta се състои от избиране на стойностите на x(1) и x(2). Използват се две идентични уравнения: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Освен това, много важен момент е знакът пред коефициента b; не забравяйте, че този знак е противоположен на този в уравнението. На пръв поглед изглежда, че изчисляването на x(1) и x(2) е много просто, но при решаването ще се сблъскате с факта, че ще трябва да изберете числата.

Елементи за решаване на квадратни уравнения

Според правилата на математиката, някои могат да бъдат факторизирани: (a+x(1))*(b-x(2))=0, ако сте успели да преобразувате това квадратно уравнение по подобен начин, използвайки математически формули, тогава не се колебайте да запишете отговора. x(1) и x(2) ще бъдат равни на съседните коефициенти в скоби, но с обратен знак.

Също така не забравяйте за непълните квадратни уравнения. Може да пропускате някои от членовете; ако е така, тогава всичките му коефициенти са просто равни на нула. Ако няма нищо пред x^2 или x, тогава коефициентите a и b са равни на 1.