Сред различните изрази, които се разглеждат в алгебрата са важно мястозаемат суми от мономи. Ето примери за такива изрази:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Сумата от мономи се нарича полином. Членовете в полинома се наричат ​​членове на полинома. Мономите също се класифицират като полиноми, като се счита, че мономът е полином, състоящ се от един член.

Например полином
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
може да бъде опростен.

Нека представим всички членове под формата на мономи от стандартната форма:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Нека представим подобни членове в получения полином:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Резултатът е полином, всички членове на който са мономи от стандартната форма и сред тях няма подобни. Такива полиноми се наричат полиноми със стандартна форма.

Отзад степен на полиномот стандартна форма поемат най-високите правомощия на своите членове. Така биномът \(12a^2b - 7b\) има трета степен, а триномът \(2b^2 -7b + 6\) има втора.

Обикновено членовете на полиноми със стандартна форма, съдържащи една променлива, са подредени в низходящ ред на показатели. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Сумата от няколко полинома може да се трансформира (опрости) в полином със стандартна форма.

Понякога членовете на полином трябва да бъдат разделени на групи, затваряйки всяка група в скоби. Тъй като затварянето на скоби е обратното преобразуване на отварящите скоби, е лесно да се формулира правила за отваряне на скоби:

Ако пред скобите е поставен знак „+“, то термините, поставени в скоби, се изписват със същите знаци.

Ако пред скобите е поставен знак „-“, то термините, поставени в скобите, се изписват с противоположни знаци.

Трансформация (опростяване) на произведението на моном и многочлен

Използвайки разпределителното свойство на умножението, можете да трансформирате (опростите) произведението на моном и полином в полином. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведението на моном и полином е идентично равно на сумата от продуктите на този моном и всеки от членовете на полинома.

Този резултат обикновено се формулира като правило.

За да умножите моном по полином, трябва да умножите този моном по всеки от членовете на полинома.

Вече сме използвали това правило няколко пъти, за да умножим по сума.

Произведение на полиноми. Трансформация (опростяване) на произведението на два полинома

Като цяло произведението на два полинома е идентично равно на сумата от произведението на всеки член на един полином и всеки член на другия.

Обикновено се използва следното правило.

За да умножите полином по полином, трябва да умножите всеки член на един полином по всеки член на другия и да добавите получените продукти.

Формули за съкратено умножение. Сбор на квадрати, разлики и разлика на квадрати

Трябва да се справяте с някои изрази в алгебричните трансформации по-често от други. Може би най-често срещаните изрази са \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т.е. квадратът на сумата, квадратът на разликата и разликата на квадратите. Забелязахте, че имената на тези изрази изглеждат непълни, например \((a + b)^2 \) е, разбира се, не просто квадрат на сумата, а квадрат на сумата на a и b . Квадратът на сумата от a и b обаче не се среща много често, вместо буквите a и b той съдържа различни, понякога доста сложни изрази.

Изразите \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) могат лесно да бъдат преобразувани (опростени) в полиноми от стандартната форма, всъщност вече сте срещали тази задача при умножаване на полиноми:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полезно е да запомните получените идентичности и да ги приложите без междинни изчисления. Кратките словесни формулировки помагат за това.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадратът на сбора е равен на сбора от квадратите и двойното произведение.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадратът на разликата е равен на сумата от квадратите без удвоеното произведение.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разликата на квадратите е равна на произведението на разликата и сбора.

Тези три идентичности позволяват при трансформации да се заменят левите им части с десни и обратно - десните части с леви. Най-трудното е да видите съответните изрази и да разберете как променливите a и b са заменени в тях. Нека да разгледаме няколко примера за използване на формули за съкратено умножение.

Отбелязахме, че всеки моном може да бъде доведе до стандартна форма. В тази статия ще разберем какво се нарича привеждане на моном в стандартна форма, какви действия позволяват извършването на този процес и ще разгледаме решения на примери с подробни обяснения.

Навигация в страницата.

Какво означава да се намали един моном до стандартна форма?

Удобно е да се работи с мономи, когато са написани в стандартна форма. Но много често мономите се задават във форма, различна от стандартната. В тези случаи винаги можете да преминете от оригиналния моном към моном със стандартна форма чрез извършване на трансформации на идентичност. Процесът на извършване на такива трансформации се нарича редуциране на монома до стандартна форма.

Нека обобщим горните аргументи. Редуцирайте монома до стандартна форма- това означава извършване на идентични трансформации с него, така че да приеме стандартна форма.

Как да приведем моном в стандартна форма?

Време е да разберем как да редуцираме мономи до стандартна форма.

Както е известно от дефиницията, мономи с нестандартна форма са произведения на числа, променливи и техните степени и евентуално повтарящи се такива. И един моном от стандартната форма може да съдържа в своята нотация само едно число и неповтарящи се променливи или техните степени. Сега остава да разберем как да приведем продукти от първия тип към типа на втория?

За да направите това, трябва да използвате следното правилото за редуциране на моном до стандартна формасъстоящ се от две стъпки:

• Първо се извършва групиране на числови фактори, както и идентични променливи и техните мощности;
• Второ, произведението на числата се изчислява и прилага.

В резултат на прилагане на посоченото правило всеки моном ще бъде редуциран до стандартна форма.

Примери, решения

Остава само да се научим да прилагаме правилото от предходния параграф при решаване на примери.

Пример.

Редуцирайте монома 3 x 2 x 2 до стандартна форма.

Решение.

Нека групираме числови фактори и фактори с променлива x. След групирането оригиналният моном ще приеме формата (3·2)·(x·x 2) . Произведението на числата в първите скоби е равно на 6, а правилото за умножение на степени с еднакви основи позволява изразът във вторите скоби да бъде представен като x 1 +2=x 3. В резултат на това получаваме полином от стандартната форма 6 x 3.

Да дадем кратка бележкарешения: 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.

Отговор:

3 x 2 x 2 =6 x 3.

И така, за да приведете един моном в стандартна форма, трябва да можете да групирате фактори, да умножавате числа и да работите със степени.

За да консолидираме материала, нека решим още един пример.

Пример.

Представете монома в стандартна форма и посочете неговия коефициент.

Решение.

Оригиналният моном има един числен множител в записа си −1, нека го преместим в началото. След това отделно ще групираме факторите с променливата a, отделно с променливата b и няма с какво да групираме променливата m, ще я оставим както е, имаме . След извършване на операции със степени в скоби, мономът ще приеме стандартната форма, от която се нуждаем, от която можем да видим коефициента на монома, равен на −1. Минус едно може да се замени със знак минус: .

Казахме, че има както стандартни, така и нестандартни полиноми. Там отбелязахме, че всеки може привеждане на полинома в стандартна форма. В тази статия първо ще разберем какво значение носи тази фраза. След това изброяваме стъпките за преобразуване на всеки полином в стандартна форма. И накрая, нека разгледаме решенията на типични примери. Ще опишем решенията много подробно, за да разберем всички нюанси, които възникват при редуцирането на полиномите до стандартна форма.

Навигация в страницата.

Какво означава да се редуцира полином до стандартна форма?

Първо трябва ясно да разберете какво се има предвид под редуциране на полином до стандартна форма. Нека разберем това.

Полиномите, както всички други изрази, могат да бъдат подложени на идентични трансформации. В резултат на извършването на такива трансформации се получават изрази, идентично равни на оригиналния израз. По този начин извършването на определени трансформации с полиноми с нестандартна форма позволява да се премине към полиноми, които са идентично равни на тях, но записани в стандартна форма. Този преход се нарича редуциране на полинома до стандартна форма.

Така, редуцирайте полинома до стандартна форма- това означава замяна на оригиналния полином с идентично равен полином от стандартна форма, получен от оригиналния чрез извършване на идентични трансформации.

Как да редуцирам полином до стандартна форма?

Нека помислим какви трансформации ще ни помогнат да доведем полинома до стандартна форма. Ще започнем от дефиницията на полином със стандартна форма.

По дефиниция всеки член на полином от стандартна форма е моном от стандартна форма, а полином от стандартна форма не съдържа подобни членове. От своя страна полиномите, записани във форма, различна от стандартната, могат да се състоят от мономи в нестандартна форма и могат да съдържат подобни членове. Това логично следва следното правило, което обяснява как да редуцирам полином до стандартна форма:

• първо трябва да приведете мономите, които съставят оригиналния полином, в стандартна форма,
• след това извършете редукция на подобни термини.

В резултат на това ще се получи полином със стандартна форма, тъй като всичките му членове ще бъдат записани в стандартна форма и няма да съдържа подобни термини.

Примери, решения

Нека да разгледаме примери за редуциране на полиноми до стандартна форма. При решаването ще следваме стъпките, продиктувани от правилото от предходния параграф.

Тук отбелязваме, че понякога всички членове на полином се записват веднага в стандартна форма; в този случай е достатъчно просто да се дадат подобни условия. Понякога, след редуциране на условията на полином до стандартна форма, няма подобни условия, следователно етапът на привеждане на подобни условия се пропуска в този случай. Като цяло трябва да направите и двете.

Пример.

Представете полиномите в стандартна форма: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5И .

Решение.

Всички членове на полинома 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 са записани в стандартна форма; той няма подобни членове, следователно този полином вече е представен в стандартна форма.

Да преминем към следващия полином 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Формата му не е стандартна, както се вижда от членовете 2·a 3 ·0,6 и −b·a·b 4 ·b 5 на нестандартна форма. Нека го представим в стандартна форма.

На първия етап от привеждането на оригиналния полином в стандартна форма, трябва да представим всичките му членове в стандартна форма. Следователно редуцираме монома 2·a 3 ·0.6 до стандартен вид, имаме 2·a 3 ·0.6=1.2·a 3 , след което вземаме монома −b·a·b 4 ·b 5 , имаме −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. По този начин, . В получения полином всички членове са записани в стандартен вид, освен това е очевидно, че в него няма подобни членове. Следователно, това завършва редуцирането на оригиналния полином до стандартна форма.

Остава да представим последния от дадените полиноми в стандартен вид. След привеждане на всички негови членове в стандартна форма, той ще бъде написан като . Има подобни членове, така че трябва да зададете подобни членове:

Така че първоначалният полином приема стандартната форма −x·y+1.

Отговор:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – вече в стандартна форма, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 −a b 10, .

Често привеждането на полином в стандартна форма е само междинна стъпка в отговора на въпроса, поставен към проблема. Например, намирането на степента на полином изисква предварителното му представяне в стандартна форма.

Пример.

Дайте полином към стандартния формуляр, посочете неговата степен и подредете членовете в низходящи степени на променливата.

Решение.

Първо, привеждаме всички членове на полинома в стандартна форма: .

Сега представяме подобни условия:

Така че приведохме оригиналния полином до стандартна форма, това ни позволява да определим степента на полинома, която е равна на най-високата степен на мономите, включени в него. Очевидно е равно на 5.

Остава да подредим членовете на полинома в намаляващи степени на променливите. За да направите това, просто трябва да пренаредите членовете в получения полином със стандартна форма, като вземете предвид изискването. Членът z 5 има най-високата степен; степените на членовете , −0,5·z 2 и 11 са равни съответно на 3, 2 и 0. Следователно, полином с членове, подредени в намаляващи степени на променливата, ще има формата .

Отговор:

Степента на полинома е 5 и след подреждане на членовете му в низходящи степени на променливата, той приема формата .

Библиография.

• Алгебра:учебник за 7 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 7 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователните институции / А. Г. Мордкович. - 17-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебраи началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М .: Образование, 2010.- 368 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

В този урок ще си припомним основните дефиниции на тази тема и ще разгледаме някои типични проблеми, а именно привеждане на полином в стандартна форма и изчисляване на числената стойност на дадени стойностипроменливи. Ще решим няколко примера, в които редукцията до стандартна форма ще се използва за решаване на различни видове задачи.

Предмет:Полиноми. Аритметични действия върху мономи

Урок:Намаляване на полином до стандартна форма. Типични задачи

Нека си припомним основното определение: полиномът е сбор от мономи. Всеки моном, който е част от полином като член, се нарича негов член. Например:

бином;

полином;

бином;

Тъй като полиномът се състои от мономи, първото действие с полином следва от тук - трябва да приведете всички мономи в стандартна форма. Нека ви напомним, че за да направите това, трябва да умножите всички числени множители - да получите числов коефициент и да умножите съответните степени - да получите буквената част. Освен това нека обърнем внимание на теоремата за произведението на степените: при умножаване на степени техните показатели се сумират.

Нека разгледаме важна операция - редуциране на полином до стандартна форма. Пример:

Коментар: за да приведете полином в стандартен вид, трябва да приведете всички мономи, включени в състава му, в стандартен вид, след което, ако има подобни мономи - и това са мономи с една и съща буквена част - да извършите действия с тях .

И така, разгледахме първия типичен проблем - привеждане на полином до стандартна форма.

Следващия типична задача- изчисляване на конкретна стойност на полином за дадени числени стойности на променливите, включени в него. Нека продължим да разглеждаме предишния пример и да зададем стойностите на променливите:

Коментар: припомнете си, че единица във всеки естествена степенравно на единица и нула на всяка естествена степен равен на нула, в допълнение, припомнете си, че когато умножаваме произволно число по нула, получаваме нула.

Нека да разгледаме няколко примера за типични операции за редуциране на полином до стандартна форма и изчисляване на неговата стойност:

Пример 1 - привеждане в стандартна форма:

Коментар: първата стъпка е да приведете мономите към стандартната форма, трябва да приведете първия, втория и шестия; второ действие - привеждаме подобни термини, тоест извършваме дадените аритметични операции върху тях: добавяме първото с петото, второто с третото, пренаписваме останалите без промени, тъй като те нямат подобни.

Пример 2 - изчислете стойността на полинома от пример 1, дадени стойностите на променливите:

Коментар: когато изчислявате, трябва да запомните, че единица на всяка естествена степен е единица; ако е трудно да се изчислят степени на две, можете да използвате таблицата на степените.

Пример 3 - вместо звездичка поставете моном, така че резултатът да не съдържа променлива:

Коментар: независимо от задачата, първото действие винаги е едно и също - привеждане на полинома в стандартен вид. В нашия пример това действие се свежда до привеждане на подобни условия. След това трябва внимателно да прочетете условието отново и да помислите как можем да се отървем от монома. Очевидно е, че за това трябва да добавите същия моном към него, но с обратен знак - . След това заменяме звездичката с този моном и се уверяваме, че нашето решение е правилно.