Въвеждайки концепцията за частична производна на функция от няколко променливи, ние увеличихме променливите поотделно, оставяйки всички други аргументи непроменени. По-специално, ако разгледаме функция на две променливи z = f(x,y), тогава или на променливата x е дадено увеличение Δx, а след това в областта на дефиниране на функцията е имало преход от точка с координати (x,y) до точка с координати (x + Δx ;y); или на променливата y беше дадено увеличение Δy и след това в областта на дефиниране на функцията имаше преход от точка с координати (x,y) към точка с координати (x; y + Δy) (виж Фигура 5.6 ). Така точката, в която взехме частичната производна на функцията, се премести в посоки, успоредни на координатните оси в равнината (или успоредни на оста x, или успоредни на ординатата). Нека сега разгледаме случая, когато посоката може да се вземе произволно, т.е. нарастванията се дават на няколко променливи едновременно. За случай на функция на две променливи ще се преместим до точката (x + Δx; y + Δy), а изместването ще бъде Δ л(виж Фигура 5.6).

При движение в дадена посока функцията z ще увеличи Δ л z = f(x + Δx; y + Δy) – f(x,y), наречено нарастване на функцията z в дадена посока л.

Производна на z л` в посока л функции на две променливи
z = f(x,y) е границата на отношението на увеличението на функцията в тази посока към стойността на изместване Δ лкато последното клони към нула, т.е. .

Производна z л` характеризира скоростта на изменение на функцията по посока л.

Концепцията за производна по посока може да се обобщи за функции с произволен брой променливи.

Фигура 5.6 – Преместване на точка в посока л

Може да се докаже, че z л` = z x `cos α + z y `cos β, където α и β са ъглите, образувани от посоката на движение на точката с координатните оси (виж Фигура 5.6).

Например, нека намерим производната на функцията z = ln (x 2 + xy) в точката
(3; 1) в посоката, преминаваща от тази точка към точка (6; -3) (виж Фигура 5.7).

За да направите това, първо намерете частичните производни на тази функция в точка (3; 1): z x ` = (2x + y)/(x 2 + xy) = (2*3 + 1)/(3 2 + 3* 1) = 7/12;
z y ` = x/(x 2 + xy) = 3/(3 2 + 3*1) = 3/12 = 1/4.

Обърнете внимание, че Δx = 6 – 3 = 3; Δy = -3 – 1 = -4; (Δ л) 2 = 9 + 16 = 25;
|Δ л| = 5. Тогава cos α = 3/5; cos β = -4/5; z л` = z x `cos α + z y `cos β = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4 / 5) = (7*1 – 1*4)/(4*5) = 3/20.

Градиентна функция

От училищния курс по математика знаем, че вектор в равнина е насочен сегмент. Началото и краят му имат две координати. Координатите на вектора се изчисляват чрез изваждане на началните координати от крайните координати.

Концепцията за вектор може да се разшири до n-мерно пространство (вместо две координати ще има n координати).

Градиент grad z на функцията z = f(x 1, x 2, ...x n) е векторът на частните производни на функцията в точка, т.е. вектор с координати .

Може да се докаже, че градиентът на функция характеризира посоката на най-бързо нарастване на нивото на функция в дадена точка.

Например за функцията z = 2x 1 + x 2 (виж Фигура 5.8), градиентът във всяка точка ще има координати (2; 1). Можете да го построите на самолет различни начини, приемайки всяка точка за начало на вектора. Например, можете да свържете точка (0; 0) с точка (2; 1), или точка (1; 0) с точка (3; 1), или точка (0; 3) с точка (2; 4), или така нататък. (Вижте Фигура 5.8). Всички вектори, конструирани по този начин, ще имат координати (2 – 0; 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

От фигура 5.8 ясно се вижда, че нивото на функцията нараства в посока на градиента, тъй като построените линии на ниво съответстват на стойностите на нивото 4> 3> 2.

Фигура 5.8 - Градиент на функция z = 2x 1 + x 2

Нека разгледаме друг пример - функцията z = 1/(x 1 x 2). Градиентът на тази функция вече няма да бъде винаги еднакъв в различни точки, тъй като нейните координати се определят от формулите (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

Фигура 5.9 показва линиите на нивото на функцията z = 1/(x 1 x 2) за нива 2 и 10 (правата линия 1/(x 1 x 2) = 2 е обозначена с пунктирана линия, а правата линия
1/(x 1 x 2) = 10 – плътна линия).

Фигура 5.9 - Градиенти на функцията z = 1/(x 1 x 2) в различни точки

Вземете например точката (0,5; 1) и изчислете градиента в тази точка: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Обърнете внимание, че точката (0,5; 1) лежи на линията на нивото 1/(x 1 x 2) = 2, защото z = f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. За да изобразите вектора ( -4; -2) на фигура 5.9 свързваме точката (0,5; 1) с точката (-3,5; -1), т.к.
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Нека вземем друга точка на същата линия на ниво, например точка (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Нека изчислим градиента в тази точка
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). За да го изобразим на фигура 5.9, свързваме точката (1; 0.5) с точката (-1; -3.5), защото (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

Нека вземем друга точка на същата линия на ниво, но само сега в неположителна координатна четвърт. Например точка (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Градиентът в тази точка ще бъде равен на
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Нека го изобразим на фигура 5.9, като свържем точката (-0,5; -1) с точката (3,5; 1), защото (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Трябва да се отбележи, че и в трите разгледани случая градиентът показва посоката на нарастване на функционалното ниво (към линията на нивото 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Може да се докаже, че градиентът винаги е перпендикулярен на линията на нивото (равнината), минаваща през дадена точка.

Разгледайте функцията u(x, y, z) в точка M(x, y, z) и точка M 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Нека начертаем 1 вектор през точки M и M. Ъглите на наклона на този вектор към посоката на координатните оси x, y, z ще бъдат означени съответно с a, b, g. Косинусите на тези ъгли се наричат насочващи косинусивектор

Нека означим разстоянието между точките M и M 1 на вектора като DS.

където величините e 1 , e 2 , e 3 са безкрайно малки при .

От геометрични съображения е очевидно:

Така горните равенства могат да бъдат представени по следния начин:

Забележете, че количеството s е скаларно. Той само определя посоката на вектора.

От това уравнение следва следното определение:

Лимитът се нарича производна на функцията u(x, y, z) по посока на векторав точка с координати (x, y, z).

Нека обясним значението на горните равенства с помощта на пример.

Пример 9.1. Изчислете производната на функцията z = x 2 + y 2 x в точка A(1, 2) по посока на вектора. B (3, 0).

Решение.На първо място е необходимо да се определят координатите на вектора.

Намираме частните производни на функцията z в общ изглед:

Стойностите на тези количества в точка А:

За да намерим насочващите косинуси на вектор, извършваме следните трансформации:

=

Стойността е взета произволен вектор, насочен по даден вектор, т.е. определяне посоката на диференциация.

От тук получаваме стойностите на косинусите на посоката на вектора:

cosa = ; cosb = -

Накрая получаваме: - производна стойност дадена функцияпо посока на вектора.

Ако в някаква област D са дадени функция u = u(x, y, z) и някакъв вектор, чиито проекции върху координатните оси са равни на стойностите на функцията u в съответната точка

,

тогава този вектор се нарича градиентфункции u.

В този случай те казват, че в областта D е определено поле от градиенти.

Теорема: Нека са дадени функцията u = u(x, y, z) и градиентното поле

.

Тогава производната по отношение на посоката на някакъв вектор е равна на проекцията на вектора gradu върху вектора.

Доказателство: Разгледайте единичен вектор и някаква функция u = u(x, y, z) и намерете скаларно произведениевектори и дипломиран.

Изразът от дясната страна на това равенство е производната на функцията u по посока на s.

Тези. . Ако ъгълът между векторите дипломирани се обозначава с j, тогава скаларното произведение може да се запише като произведение на модулите на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях. Като се вземе предвид факта, че векторът е единица, т.е. неговият модул е ​​равен на единица, можем да напишем:

Изразът от дясната страна на това равенство е проекцията на вектора град укъм вектор.

Теоремата е доказана.

За илюстриране на геометричните и физически смисълградиент, да кажем, че градиентът е вектор, показващ посоката на най-бързата промяна на някакво скаларно поле u в дадена точка. Във физиката има такива понятия като температурен градиент, градиент на налягане и др. Тези. посоката на градиента е посоката на най-много бърз растежфункции.

От гледна точка на геометрично представяне градиентът е перпендикулярен на повърхността на функционалното ниво.

Нека функцията u = f (x, y, z)непрекъснато в даден регион ди има непрекъснати частни производни в тази област. Нека изберем точка в разглежданата област M(x,y,z)и начертайте вектор от него С, насочващи косинуси на които са cosα, cosβ, cosγ. На вектора С на разстояние Δ сот началото му ще намерим точка М 1 (x+Δ x, y+Δ y, z+Δ z), Където

Нека си представим пълното увеличение на функцията fкато:

Където

След разделяне на Δ сполучаваме:

Тъй като предишното равенство може да бъде пренаписано като:

Градиент.

ОпределениеГраницата на съотношението при се нарича производна на функция u = f (x, y, z)по посока на вектора С и е обозначена.

В този случай от (1) получаваме:

(2)

Забележка 1. Частичните производни са специален случай на производна по посока. Например, когато получаваме:

Забележка 2. По-горе геометричното значение на частните производни на функция на две променливи беше дефинирано като ъгловите коефициенти на допирателните към линиите на пресичане на повърхността, която е графиката на функцията, с равнини x = x 0И y = y 0. По подобен начин можем да разгледаме производната на тази функция по посока лв точката M(x 0, y 0)като ъглов коефициент на пресечната линия на дадена повърхност и равнина, минаваща през точка Муспоредна на оста О zи прав л.

ОпределениеВектор, чиито координати във всяка точка от определена област са частните производни на функцията u = f (x, y, z)в този момент се нарича градиентфункции u = f (x, y, z).

Обозначение: град u = .

Градиентни свойства.

1. Производна по отношение на посоката на някакъв вектор С е равна на проекцията на вектора град uкъм вектор С . Доказателство. Единичен вектор на посоката С изглежда като e S =(cosα, cosβ, cosγ), следователно дясната страна на формула (4.7) е скаларното произведение на векторите grad uИ e s , тоест посочената проекция.

2. Производна в дадена точка по посока на вектора С То има най-висока стойност, равно на |град u|, ако тази посока съвпада с посоката на градиента. Доказателство. Нека означим ъгъла между векторите С и град uпрез φ. Тогава от свойство 1 следва, че |grad u|∙cosφ, (4.8) следователно най-голямата му стойност се постига при φ=0 и е равна на |grad u|.

3. Производна по посока на вектор, перпендикулярен на вектора град u, е равно на нула.

Доказателство. В този случай във формула (4.8)

4. Ако z = f(x,y)е функция на две променливи, тогава град f= насочен перпендикулярно на линията на нивото f (x,y) = c,преминавайки през тази точка.

Екстремуми на функции на няколко променливи. Необходимо условие за екстремум. Достатъчно условие за екстремум. Условен екстремум. Метод на умножителя на Лагранж. Намиране на най-голямата и най-малката стойност.

Определение 1.Точка M 0 (x 0, y 0)Наречен максимална точкафункции z = f (x, y),Ако f (x o, y o) > f(x,y)за всички точки (x, y) М 0.

Определение 2. Точка M 0 (x 0, y 0)Наречен минимална точкафункции z = f (x, y),Ако f (x o, y o) < f(x,y)за всички точки (x, y)от някаква околност на точка М 0.

Забележка 1. Максималните и минималните точки се извикват екстремни точкифункции на няколко променливи.

Забележка 2. Точката на екстремум за функция на произволен брой променливи се определя по подобен начин.

Теорема 1(необходими условия за екстремум). Ако M 0 (x 0, y 0)– екстремна точка на функцията z = f (x, y),тогава в този момент частните производни от първи ред на тази функция са равни на нула или не съществуват.

Доказателство.

Нека фиксираме стойността на променливата при, броене y = y 0. След това функцията f (x, y 0)ще бъде функция на една променлива х, за което x = x 0е екстремната точка. Следователно, по теоремата на Ферма, или не съществува. Същото твърдение се доказва по подобен начин за .

Определение 3.Точките, принадлежащи към областта на функция на няколко променливи, в които частните производни на функцията са равни на нула или не съществуват, се наричат стационарни точкитази функция.

Коментирайте. Така екстремумът може да бъде достигнат само в стационарни точки, но не е задължително да се наблюдава във всяка от тях.

Теорема 2(достатъчни условия за екстремум). Нека в някои околности на точката M 0 (x 0, y 0), която е неподвижна точка на функцията z = f (x, y),тази функция има непрекъснати частни производни до 3-ти ред включително. Нека означим тогава:

1) f(x,y)има в точка М 0максимум ако AC–B² > 0, А < 0;

2) f(x,y)има в точка М 0минимум ако AC–B² > 0, А > 0;

3) няма екстремум в критичната точка, ако AC–B² < 0;

4) ако AC–B² = 0, необходими са допълнителни изследвания.

Пример. Нека намерим точките на екстремума на функцията z = x² - 2 xy + 2г² + 2 х.За да намерим стационарни точки, решаваме системата . И така, неподвижната точка е (-2,-1). При което А = 2, IN = -2, СЪС= 4. Тогава AC–B² = 4 > 0, следователно в стационарна точка се достига екстремум, а именно минимум (тъй като А > 0).

Условен екстремум.

Определение 4.Ако аргументите на функцията f (x 1, x 2,…, x n)са обвързани с допълнителни условия във формуляра муравнения ( м< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (1)

където функциите φ i имат непрекъснати частни производни, тогава се наричат ​​уравнения (1). уравнения на връзката.

Определение 5.Екстремум на функцията f (x 1, x 2,…, x n)когато са изпълнени условия (1), се извиква условен екстремум.

Коментирайте. Можем да предложим следната геометрична интерпретация на условния екстремум на функция от две променливи: нека аргументите на функцията f(x,y)свързани с уравнението φ (x,y)= 0, определяща някаква крива в равнината O xy. Възстановяване на перпендикуляри към равнина O от всяка точка на тази крива xyдокато се пресече с повърхността z = f (x,y),получаваме пространствена крива, лежаща на повърхността над кривата φ (x,y)= 0. Задачата е да се намерят точките на екстремума на получената крива, които, разбира се, в общия случай не съвпадат с безусловните точки на екстремум на функцията f(x,y).

Нека определим необходимите условия за условен екстремум за функция от две променливи, като първо въведем следното определение:

Определение 6.функция L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (2)

Където λi –някои са постоянни, т.нар Функция на Лагранж, и числата λi– неопределени множители на Лагранж.

Теорема(необходими условия за условен екстремум). Условен екстремум на функция z = f (x, y)в присъствието на уравнението на свързване φ ( x, y)= 0 може да се постигне само в стационарни точки на функцията на Лагранж L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Производна по посока.

Пуснете в самолета XOYразположена точка М 0 (х 0 ,г 0 ). Нека зададем произволен ъгъл аи разгледайте набор от точки на една и съща равнина, чиито координати се определят от формулите

х = х 0 + T cos a, y = y 0 + Tгрях а. (1)

Тук T- параметър, който може да бъде равен на произволно число. От формули (1) следва:

(y - y 0)/(х - х 0) = tg а

Това означава, че всички точки М(x,y), чиито координати удовлетворяват равенства (1), лежат на права линия, минаваща през точката М 0 (х 0 ,y 0) и компонент на ъгъла ас ос ОХ. Всяка стойност Tсъответства на една точка М(x,y), лежащ на тази права, и съгласно формула (1) от разстоянието между точките М 0 (х 0 ,y 0) и М(x,y) равно на T. Можем да разглеждаме тази права линия като числова ос с положителна посока, определена от увеличаване на параметъра T. Нека означим положителната посока на тази ос със символа л.

л.Производна на функция z = f(x,y) в точка М 0 (х 0 ,y 0)към л извикан номер

Производната по посока на функция може да получи геометрична интерпретация. Ако чрез директно л, определени по формули (1), начертайте вертикална равнина П(всъщност в триизмерното пространство уравнения (1) дефинират същата тази равнина), тогава тази равнина ще пресича повърхностната графика на функцията z = f(x,y) заедно

някаква пространствена крива Л. Тангенс на ъгъла между хоризонталната равнина и допирателната към тази крива в точката М 0 (х 0 ,y 0) е равно на производната на функцията в тази точка на посоката л.

Във всеки курс на математически анализ е доказано, че производната по посока, определена по формула (2), може да бъде представена във формата

Обърнете внимание, че частната производна по отношение на хсъщо е производна по посока. Тази посока се определя от равенствата: cos а = 1; грях а = 0. По същия начин, частната производна по отношение на ге производната по отношение на посоката, която може да бъде определена от условията cos а = 0; грях а = 1.

Преди да анализираме формула (3), представяме някои концепции и факти от курса по векторна алгебра. Пуснете в равнина с координатна система XOYдаден насочен сегмент или (което е едно и също нещо) вектор и точката М 0 (х 0 ,y 0) е неговата начална точка и М 1 (х 1 ,y 1)- крайна точка. Да определим координатата на вектора по оста ОХкато число равно на х 1 ‑ х 0, а координатата по оста като число, равно на г 1 ‑ г 0 . Ако посочите подредена двойка произволни числа аИ b, тогава тези числа могат да се разглеждат като координати на някакъв вектор в равнината XOY, а дължината на този вектор се определя от формулата

,

и тангенса на ъгъла на наклон жвектор към ос ОХопределя се по формулата tg g = b/a(обърнете внимание, че знаейки стойността на tg ж, както и знака на някое от числата аИ b, можем да определим ъгъла жточен до 2 стр).

Ще напишем представянето на вектор под формата на двойка от неговите координати във формата . Това представяне има един характерна особеност: то не определя местоположението на вектора върху равнината XOY. За да го определите, трябва да посочите, заедно с координатите на вектора, например координатите на началната му точка или, както може да се нарече, точката на приложение на вектора.

Ако са дадени два вектора: и , тогава скаларно произведениеот тези вектори се нарича числото ( й- ъгъл между векторите).

Във всеки курс по векторна алгебра се доказва, че скаларното произведение на векторите и е равно на сумата от продуктите на същите координати на тези вектори:

= а 1 b 1 + а 2 b 2 . (4)

Нека в някаква област Жсамолет XOYпосочена функция z = f(x,y) , което има непрекъснати частни производни по отношение на двата аргумента.

Градиентили градиентен вектор функции f(x,y)в точката (x,y) О G е векторът, даден с формулата

.

функция fопределя за всяка точка от областта Жградиентният вектор, излизащ от тази точка.

Нека сега се върнем към формула (3). нея правилната странаможем да го разглеждаме като скаларно произведение на вектори. Първият от тях е градиентният вектор на функцията z = f(x,y) в точката М 0 (х 0 ,y 0):

.

Вторият е вектор . Това е вектор с дължина 1 и ъгъл на наклон спрямо оста Ox равен на а.

Сега можем да заключим, че производната на функцията z = f(x,y) в посоката, определена от ъгъла анаклон към оста ОХ, в точка М 0 (х 0 ,y 0) може да се изчисли с помощта на формулата

. (5)

Тук b- ъгълът между вектора и вектора, определящ посоката, по която е взета производната. Тук се отчита и че