Без да знаете как да намалите дроб и да имате постоянни умения за решаване подобни примериМного е трудно да се изучава алгебра в училище. Колкото по-напред отивате, толкова повече пречи на основните ви познания за редуциране на дроби. нова информация. Първо се появяват степени, след това фактори, които по-късно стават полиноми.

Как можете да избегнете объркване тук? Внимателно затвърдете уменията в предишни теми и постепенно се подгответе за знания как да намалите дроб, което става все по-сложно от година на година.

Основни познания

Без тях няма да можете да се справите със задачи от всяко ниво. За да разберете, трябва да разберете две прости точки. Първо: можете само да намалите факторите. Този нюанс се оказва много важен, когато в числителя или знаменателя се появяват полиноми. След това трябва ясно да разграничите къде е множителят и къде събираемият.

Втората точка казва, че всяко число може да бъде представено под формата на фактори. Освен това резултатът от намаляването е дроб, чийто числител и знаменател вече не могат да бъдат намалени.

Правила за съкращаване на обикновени дроби

Първо трябва да проверите дали числителят се дели на знаменателя или обратното. Тогава точно този брой трябва да бъде намален. Това е най-простият вариант.

Второто е анализът външен видчисла. Ако и двете завършват с една или повече нули, те могат да бъдат съкратени с 10, 100 или хиляда. Тук можете да видите дали числата са четни. Ако да, тогава можете спокойно да го намалите на две.

Третото правило за намаляване на дроб е разлагането на числителя и знаменателя на прости множители. По това време трябва активно да използвате всичките си знания за признаците за делимост на числата. След това разлагане остава само да се намерят всички повтарящи се, да се умножат и да се намалят с полученото число.

Ами ако има алгебричен израз в дроб?

Тук се появяват първите трудности. Защото тук се появяват термини, които могат да бъдат идентични с фактори. Много искам да ги намаля, но не мога. Преди да можете да намалите алгебрична дроб, тя трябва да бъде преобразувана така, че да има множители.

За да направите това, ще трябва да изпълните няколко стъпки. Може да се наложи да преминете през всички тях или може би първият ще предостави подходящ вариант.

Проверете дали числителят и знаменателят или някой израз в тях се различават по знак. В този случай просто трябва да поставите минус едно извън скоби. Това създава равни фактори, които могат да бъдат намалени.

Вижте дали е възможно да премахнете общия множител от полинома извън скоби. Може би това ще доведе до скоба, която също може да бъде съкратена, или ще бъде премахнат моном.

Опитайте се да групирате мономите, за да добавите общ множител към тях. След това може да се окаже, че ще има фактори, които могат да бъдат намалени, или отново ще се повтори поставянето в скоби на общи елементи.

Опитайте се да разгледате писмено формулите за съкратено умножение. С тяхна помощ можете лесно да преобразувате полиноми в множители.

Последователност от действия с дроби със степени

За да разберете лесно въпроса как да намалите дроб със степени, трябва да запомните твърдо основните операции с тях. Първият от тях е свързан с умножението на правомощията. В този случай, ако основите са еднакви, индикаторите трябва да се добавят.

Второто е разделението. Отново, за тези, които имат същите причини, индикаторите ще трябва да бъдат извадени. Освен това трябва да извадите от числото, което е в дивидента, а не обратното.

Третото е степенуването. При това положение показателите се умножават.

Успешното редуциране също ще изисква способността да се редуцират правомощията до равни бази. Тоест, да видим, че четири е две на квадрат. Или 27 - кубът от три. Тъй като намаляването на 9 на квадрат и 3 на куб е трудно. Но ако трансформираме първия израз като (3 2) 2, тогава редукцията ще бъде успешна.

Онлайн калкулатор изпълнява намаляване алгебрични дроби в съответствие с правилото за съкращаване на дроби: замяна на оригиналната дроб с равна дроб, но с по-малък числител и знаменател, т.е. Едновременно деление на числителя и знаменателя на дроб на техния общ най-голям общ множител (НОД). Калкулаторът също се показва подробно решение, което ще ви помогне да разберете последователността на намаляването.

дадено:

Решение:

Извършва редукция на дроби

проверка на възможността за извършване на редукция на алгебрична дроб

1) Определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на дроб

определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на алгебрична дроб

2) Намаляване на числителя и знаменателя на дроб

намаляване на числителя и знаменателя на алгебрична дроб

3) Избиране на цялата част от дроб

отделяне на цялата част от алгебрична дроб

4) Преобразуване на алгебрична дроб в десетична дроб

превръщане на алгебрична дроб в десетичен знак

Помощ за изработка на сайт на проекта

Уважаеми посетители на сайта.
Ако не сте успели да намерите това, което търсите, не забравяйте да напишете за това в коментарите, какво липсва в момента на сайта. Това ще ни помогне да разберем в каква посока трябва да продължим, а други посетители скоро ще могат да получат необходимия материал.
Ако сайтът се оказа полезен за вас, дарете сайта на проекта само 2 ₽и ще знаем, че се движим в правилната посока.

Благодаря ви, че се отбихте!

I. Процедура за намаляване на алгебрична дроб с помощта на онлайн калкулатор:

1. За да намалите алгебрична дроб, въведете стойностите на числителя и знаменателя на дробта в съответните полета. Ако фракцията е смесена, попълнете и полето, съответстващо на цялата част от фракцията. Ако дробта е проста, оставете полето за цялата част празно.
2. За да посочите отрицателна дроб, поставете знак минус върху цялата част на дробта.
3. В зависимост от зададената алгебрична дроб автоматично се изпълнява следната последователност от действия:

• определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на дроб;
• намаляване на числителя и знаменателя на дроб с gcd;
• подчертаване на цялата част от дроб, ако числителят на крайната дроб е по-голям от знаменателя.
• преобразуване на крайната алгебрична дроб в десетична дробзакръглено до най-близката стотна.

II. За справка:

Дробта е число, състоящо се от една или повече части (дроби) на единица. Обикновена дроб (обикновена дроб) се записва като две числа (числителя на дробта и знаменателя на дробта), разделени от хоризонтална черта (дробна лента), указваща знака за деление.

Числителят на дроб е числото над дробната черта. Числителят показва колко акции са взети от цялото.

1. Знаменателят на дроб е числото под дробната черта. Знаменателят показва на колко равни части е разделено цялото. Простата дроб е дроб, която няма цяла част. Простата дроб може да бъде правилна или неправилна. , Правилна дроб е дроб, чийто числител е по-малък от знаменателя, така че правилната дроб винаги е по-малка от единица. Пример за правилни дроби: 8/7, 11/19, 16/17., Неправилна дроб е дроб, в която числителят е по-голям или равен на знаменателя, така че неправилната дроб винаги е по-голяма или равна на едно. Пример за неправилни дроби: 7/6, 8/7, 13/13..
2. смесена дроб е число, което съдържа цяло число и правилна дроб и обозначава сумата от това цяло число и правилната дроб. Всяка смесена дроб може да се преобразува в неправилна дроб. Пример за смесени дроби: 1¼, 2½, 4¾.

III. Забележка: Маркиран блок с изходни даннижълто

блокът от междинни изчисления е маркиран в синьо

блокът за решение е маркиран в зелено

За събиране, изваждане, умножение и деление на обикновени или смесени дроби използвайте онлайн калкулатора за дроби с подробни решения.

В тази статия ще разгледаме подробно как намаляване на дроби. Първо, нека обсъдим какво се нарича намаляване на дроб. След това нека поговорим за редуцирането на съкратима дроб до несъкратима форма. След това ще получим правилото за намаляване на дроби и накрая ще разгледаме примери за прилагането на това правило.

Например, нека намалим обикновената дроб 8/24, като разделим нейния числител и знаменател на 2. С други думи, нека намалим дробта 8/24 с 2. Тъй като 8:2=4 и 24:2=12, това намаление води до дробта 4/12, която е равна на първоначалната дроб 8/24 (вижте равни и неравни дроби). В резултат на това имаме.

Привеждане на обикновени дроби до несъкратима форма

Обикновено крайната цел на редуцирането на дроб е да се получи нередуцируема дроб, която е равна на оригиналната редуцируема дроб. Тази цел може да бъде постигната чрез намаляване на първоначалната редуцируема дроб с нейния числител и знаменател. В резултат на такова намаление винаги се получава несъкратима дроб. Наистина, малка част е нередуцируем, тъй като е известно, че И - . Тук ще кажем, че най-големият общ делител на числителя и знаменателя на една дроб е най-голямото число, с което тази дроб може да бъде намалена.

така че редуциране на обикновена дроб до несъкратим видсе състои от разделяне на числителя и знаменателя на оригиналната редуцируема дроб на техния gcd.

Нека разгледаме пример, за който се връщаме към дробта 8/24 и я намаляваме с най-големия общ делител на числата 8 и 24, който е равен на 8. Тъй като 8:8=1 и 24:8=3, стигаме до несъкратимата дроб 1/3. И така, .

Обърнете внимание, че фразата „намаляване на дроб“ често означава редуциране на оригиналната дроб до нейната нередуцируема форма. С други думи, намаляването на дроб много често се отнася до разделяне на числителя и знаменателя на техния най-голям общ множител (вместо на който и да е общ множител).

Как да намалим дроб? Правила и примери за съкращаване на дроби

Остава само да разгледаме правилото за съкращаване на дроби, което обяснява как да съкратим дадена дроб.

Правило за съкращаване на дробисе състои от две стъпки:

• първо се намира gcd на числителя и знаменателя на дробта;
• второ, числителят и знаменателят на дробта се разделят на тяхната gcd, което дава несъкратима дроб, равна на първоначалната.

Нека го подредим пример за намаляване на дробспоред посоченото правило.

Пример.

Намалете дробта 182/195.

Решение.

Нека изпълним и двете стъпки, предписани от правилото за съкращаване на дроб.

Първо намираме НОД(182, 195) . Най-удобно е да използвате алгоритъма на Евклид (вижте): 195=182·1+13, 182=13·14, тоест НОД(182, 195)=13.

Сега разделяме числителя и знаменателя на дробта 182/195 на 13 и получаваме несъкратимата дроб 14/15, която е равна на оригиналната дроб. Това завършва намаляването на фракцията.

Накратко решението може да се напише по следния начин: .

отговор:

Това е мястото, където можем да завършим редуцирането на дроби. Но за да бъде картината пълна, нека разгледаме още два начина за намаляване на дроби, които обикновено се използват в лесни случаи.

Понякога числителят и знаменателят на намалената дроб не са трудни. Намаляването на дроб в този случай е много просто: просто трябва да премахнете всички общи множители от числителя и знаменателя.

Струва си да се отбележи, че този метод следва директно от правилото за съкращаване на дроби, тъй като произведението на всички общи прости множители на числителя и знаменателя е равно на техния най-голям общ делител.

Нека разгледаме решението на примера.

Пример.

Намалете дробта 360/2 940.

Решение.

Нека разделим числителя и знаменателя на прости множители: 360=2·2·2·3·3·5 и 2940=2·2·3·5·7·7. по този начин .

Сега се отърваваме от общите множители в числителя и знаменателя за удобство, просто ги задраскваме: .

Накрая умножаваме останалите множители: , и редукцията на дробта е завършена.

тук кратка бележкарешения: .

отговор:

Нека разгледаме друг начин за намаляване на дроб, който се състои в последователно намаляване. Тук на всяка стъпка дробта се намалява с някакъв общ делител на числителя и знаменателя, който е или очевиден, или се определя лесно с

дивизияи числителя и знаменателя на дробта върху техните общ делител, различен от един, се нарича намаляване на дроб.

За съкращаване обикновена дроб, трябва да разделите неговия числител и знаменател на едно и също естествено число.

Това число е най-големият общ делител на числителя и знаменателя на дадената дроб.

Възможни са следните формуляри за записване на решенияПримери за съкращаване на обикновени дроби.

Студентът има право да избере всяка форма на запис.

Примери. Опростете дробите.

Намалете дробта с 3 (разделете числителя на 3;

разделете знаменателя на 3).

Намалете дроба със 7.

Извършваме посочените действия в числителя и знаменателя на дробта.

Получената дроб се намалява с 5.

Нека намалим тази дроб 4) на 5·7³- най-големият общ делител (НОД) на числителя и знаменателя, който се състои от общите множители на числителя и знаменателя, взети на степен с най-малък показател.

Нека разложим числителя и знаменателя на тази дроб на прости множители.

Получаваме: 756=2²·3³·7И 1176=2³·3·7².

Определете НОД (най-големия общ делител) на числителя и знаменателя на дробта 5) .

Това е произведението на общи множители, взети с най-ниските показатели.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Разделяме числителя и знаменателя на тази дроб на тяхната gcd, т.е 2²·3·7получаваме несъкратима дроб 9/14 .

Или беше възможно да се напише разлагането на числителя и знаменателя под формата на произведение от прости множители, без да се използва концепцията за мощност, и след това да се намали дробта, като се зачеркнат същите множители в числителя и знаменателя. Когато не останат еднакви множители, умножаваме останалите множители отделно в числителя и отделно в знаменателя и записваме получената дроб 9/14 .

И накрая беше възможно да се намали тази част 5) постепенно, прилагайки знаци за деление на числата както към числителя, така и към знаменателя на дробта. Нека помислим така: числа 756 И 1176 завършват на четно число, което означава, че и двете се делят на 2 . Намаляваме дроба с 2 . Числителят и знаменателят на новата дроб са числа 378 И 588 също се разделя на 2 . Намаляваме дроба с 2 . Забелязваме, че броят 294 - дори и 189 е нечетно и намаляването с 2 вече не е възможно. Да проверим делимостта на числата 189 И 294 на 3 .

(1+8+9)=18 се дели на 3 и (2+9+4)=15 се дели на 3, следователно и самите числа 189 И 294 се разделят на 3 . Намаляваме дроба с 3 . следващ, 63 се дели на 3 и 98 - не Нека разгледаме други прости множители. И двете числа се делят на 7 . Намаляваме дроба с 7 и получаваме несъкратимата дроб 9/14 .

Ако трябва да разделим 497 на 4, тогава при деленето ще видим, че 497 не се дели равномерно на 4, т.е. остатъкът от делението остава. В такива случаи се казва, че е завършено деление с остатък, а решението се записва по следния начин:
497: 4 = 124 (1 остатък).

Компонентите за деление от лявата страна на равенството се наричат ​​по същия начин, както при деление без остатък: 497 - дивидент, 4 - разделител. Резултатът от деленето при деление с остатък се нарича непълна частна. В нашия случай това е числото 124. И накрая, последният компонент, който не е в обикновеното деление, е остатък. В случаите, когато няма остатък, се казва, че едно число е разделено на друго без следа или напълно. Смята се, че с такова разделение остатъкът равно на нула. В нашия случай остатъкът е 1.

Остатъкът винаги е по-малък от делителя.

Делението може да се провери чрез умножение. Ако например има равенство 64: 32 = 2, тогава проверката може да се извърши по следния начин: 64 = 32 * 2.

Често в случаите, когато се извършва деление с остатък, е удобно да се използва равенството
a = b * n + r,
където a е дивидентът, b е делителят, n е непълното частно, r е остатъкът.

Частното на естествените числа може да се запише като дроб.

Числителят на дроб е дивидентът, а знаменателят е делителят.

Тъй като числителят на дроб е дивидентът, а знаменателят е делителят, вярват, че чертата на дроб означава действието на деленето. Понякога е удобно да напишете делението като дроб, без да използвате знака ":".

Частното от деленето на естествените числа m и n може да се запише като дроб \(\frac(m)(n) \), където числителят m е дивидентът, а знаменателят n е делителят:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Следните правила са верни:

За да получите дробта \(\frac(m)(n)\), трябва да разделите единицата на n равни части (акции) и да вземете m такива части.

За да получите дробта \(\frac(m)(n)\), трябва да разделите числото m на числото n.

За да намерите част от цяло, трябва да разделите числото, съответстващо на цялото, на знаменателя и да умножите резултата по числителя на дробта, която изразява тази част.

За да намерите цяло от неговата част, трябва да разделите числото, съответстващо на тази част, на числителя и да умножите резултата по знаменателя на фракцията, която изразява тази част.

Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат по едно и също число (с изключение на нула), стойността на дробта няма да се промени:
\(\голям \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Ако и числителят, и знаменателят на дроб са разделени на едно и също число (с изключение на нула), стойността на дробта няма да се промени:
\(\голям \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Това свойство се нарича основно свойство на дроб.

Последните две трансформации се наричат намаляване на дроб.

Ако дробите трябва да бъдат представени като дроби с еднакъв знаменател, тогава това действие се извиква свеждане на дроби до общ знаменател.

Правилни и неправилни дроби. Смесени числа

Вече знаете, че дроб може да се получи, като едно цяло се раздели на равни части и се вземат няколко такива части. Например дробта \(\frac(3)(4)\) означава три четвърти от едно. В много от задачите в предишния параграф дробите са използвани за представяне на части от цяло. Здрав разумпредполага, че частта винаги трябва да е по-малка от цялото, но тогава какво да кажем за дроби като например \(\frac(5)(5)\) или \(\frac(8)(5)\)? Ясно е, че това вече не е част от звеното. Вероятно затова се наричат ​​дроби, чийто числител е по-голям или равен на знаменателя неправилни дроби. Останалите дроби, т.е. дроби, чийто числител е по-малък от знаменателя, се наричат правилни дроби.

Както знаете, всяка обикновена дроб, както правилна, така и неправилна, може да се разглежда като резултат от разделянето на числителя на знаменателя. Следователно в математиката, за разлика от обикновения език, терминът „неправилна дроб“ не означава, че сме направили нещо нередно, а само че числителят на тази дроб е по-голям или равен на знаменателя.

Ако числото се състои от цяла част и дроб, тогава фракциите се наричат ​​смесени.

Например:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 е цялата част, а \(\frac(2)(3) \) е дробната част.

Ако числителят на дробта \(\frac(a)(b) \) се дели на естествено число n, тогава, за да се раздели тази дроб на n, нейният числител трябва да бъде разделен на това число:
\(\голям \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Ако числителят на дробта \(\frac(a)(b) \) не се дели на естествено число n, тогава за да разделите тази дроб на n, трябва да умножите знаменателя й по това число:
\(\голям \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Обърнете внимание, че второто правило също е вярно, когато числителят се дели на n. Следователно можем да го използваме, когато е трудно да определим на пръв поглед дали числителят на една дроб се дели на n или не.

Действия с дроби. Събиране на дроби.

Можете да извършвате аритметични операции с дробни числа, точно както с естествени числа. Нека първо разгледаме добавянето на дроби. Лесно е да събирате дроби с еднакви знаменатели. Нека намерим, например, сумата от \(\frac(2)(7)\) и \(\frac(3)(7)\). Лесно е да се разбере, че \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

За да съберете дроби с еднакви знаменатели, трябва да съберете числителите им и да оставите знаменателя същия.

Използвайки букви, правилото за събиране на дроби с еднакви знаменатели може да бъде написано по следния начин:
\(\голям \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Ако трябва да добавите дроби с различни знаменатели, те първо трябва да бъдат намалени до общ знаменател. Например:
\(\голям \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

За дробите, както и за естествените числа, са валидни комутативността и асоциативността на събирането.

Добавяне на смесени фракции

Извикват се нотации като \(2\frac(2)(3)\). смесени фракции. В този случай се извиква числото 2 цяла частсмесена дроб и числото \(\frac(2)(3)\) е нейното дробна част. Записът \(2\frac(2)(3)\) се чете по следния начин: „две и две трети“.

Когато разделите числото 8 на числото 3, можете да получите два отговора: \(\frac(8)(3)\) и \(2\frac(2)(3)\). Те изразяват едно и също дробно число, т.е. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Така неправилната дроб \(\frac(8)(3)\) се представя като смесена дроб \(2\frac(2)(3)\). В такива случаи се казва, че неправилна дроб подчерта цялата част.

Изваждане на дроби (дробни числа)

Изваждането на дробни числа, подобно на естествените числа, се определя въз основа на действието на добавяне: изваждането на друго от едно число означава намиране на число, което, когато се добави към второто, дава първото. Например:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \), тъй като \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

Правилото за изваждане на дроби с еднакви знаменатели е подобно на правилото за събиране на такива дроби:
За да намерите разликата между дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на втората от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя същия.

Използвайки букви, това правило е написано така:
\(\голям \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Умножение на дроби

За да умножите дроб по дроб, трябва да умножите техните числители и знаменатели и да запишете първия продукт като числител, а втория като знаменател.

Използвайки букви, правилото за умножение на дроби може да бъде написано по следния начин:
\(\голям \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Използвайки формулираното правило, можете да умножите дроб по естествено число, по смесена дроб, както и да умножите смесени дроби. За да направите това, трябва да запишете естествено число като дроб със знаменател 1, а смесена дроб като неправилна дроб.

Резултатът от умножението трябва да се опрости (ако е възможно) чрез намаляване на дробта и изолиране на цялата част от неправилната дроб.

За дробите, както и за естествените числа, са валидни комутативността и комбинативността на умножението, както и разпределителното свойство на умножението спрямо събирането.

Деление на дроби

Нека вземем дробта \(\frac(2)(3)\) и я „обърнем“, разменяйки числителя и знаменателя. Получаваме дробта \(\frac(3)(2)\). Тази дроб се нарича обратендроби \(\frac(2)(3)\).

Ако сега „обърнем“ дробта \(\frac(3)(2)\), ще получим оригиналната дроб \(\frac(2)(3)\). Следователно дроби като \(\frac(2)(3)\) и \(\frac(3)(2)\) се наричат взаимно обратни.

Например фракциите \(\frac(6)(5) \) и \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) и \(\frac (18 )(7)\).

Използвайки букви, реципрочните дроби могат да бъдат записани както следва: \(\frac(a)(b) \) и \(\frac(b)(a) \)

Ясно е, че произведението на реципрочните дроби е равно на 1. Например: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Използвайки реципрочни дроби, можете да намалите деленето на дроби до умножение.

Правилото за деление на дроб на дроб е:
За да разделите една дроб на друга, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя.

Използвайки букви, правилото за разделяне на дроби може да бъде написано по следния начин:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Ако дивидентът или делителят е естествено числоили смесена дроб, тогава, за да се използва правилото за деление на дроби, тя трябва първо да бъде представена като неправилна дроб.