В предишния представихме редица формули, които ни позволяват да намерим числените характеристики на функциите, когато са известни законите за разпределение на аргументите. Въпреки това, в много случаи, за да се намерят числените характеристики на функциите, не е необходимо дори да се познават законите за разпределение на аргументите, а е достатъчно да се знаят само някои от техните числени характеристики; в същото време ние обикновено се справяме без никакви закони за разпределение. Определение числови характеристикифункции за дадени числени характеристики на аргументите се използва широко в теорията на вероятностите и може значително да опрости решаването на редица проблеми. Повечето от тези опростени методи се отнасят до линейни функции; някои елементарни нелинейни функции обаче позволяват подобен подход.

В настоящото ще представим редица теореми за числените характеристики на функциите, които заедно представляват много прост апарат за изчисляване на тези характеристики, приложим в широк диапазон от условия.

1. Математическо очакване на неслучайна стойност

Формулираното свойство е съвсем очевидно; може да се докаже чрез разглеждане на неслучайна променлива като специален тип случайна, с една възможна стойност с вероятност едно; тогава според общата формула за математическото очакване:

.

2. Дисперсия на неслучайна величина

Ако не произволна стойност, Че

3. Заместване на знака на математическото очакване с неслучайна стойност

, (10.2.1)

тоест неслучайна стойност може да бъде извадена като знак на математическото очакване.

Доказателство.

а) За прекъснати количества

b) За непрекъснати количества

.

4. Заместване на неслучайна стойност за знака на дисперсията и стандартното отклонение

Ако е неслучайна величина и е случайна, тогава

, (10.2.2)

тоест неслучайна стойност може да бъде извадена от знака на дисперсията чрез повдигането й на квадрат.

Доказателство. По дефиниция на дисперсията

Последица

,

това означава, че неслучайна стойност може да бъде извадена от знака на стандартното отклонение чрез нейната абсолютна стойност. Получаваме доказателството, като вземаме корен квадратен от формула (10.2.2) и вземаме предвид, че r.s.o. - значително положителна стойност.

5. Математическо очакване на сумата от случайни величини

Нека докажем, че за всеки две случайни променливи и

т.е. очаквана стойностсумата от две случайни променливи е равна на сумата от техните математически очаквания.

Това свойство е известно като теорема за събиране на математически очаквания.

Доказателство.

а) Нека е система от прекъснати случайни променливи. Приложете към сумата от случайни променливи обща формула(10.1.6) за математическото очакване на функция от два аргумента:

.

Ho не представлява нищо повече от общата вероятност количеството да приеме стойността:

;

следователно,

.

По подобен начин ще докажем това

,

и теоремата е доказана.

б) Нека е система от непрекъснати случайни променливи. По формула (10.1.7)

. (10.2.4)

Нека трансформираме първия от интегралите (10.2.4):

;

по същия начин

,

и теоремата е доказана.

Специално трябва да се отбележи, че теоремата за добавяне на математически очаквания е валидна за всякакви случайни величини – както зависими, така и независими.

Теоремата за добавяне на математически очаквания се обобщава до произволен брой членове:

, (10.2.5)

т.е. математическото очакване на сумата от няколко случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания.

За да го докажете, достатъчно е да използвате метода на пълната индукция.

6. Математическо очакване линейна функция

Помислете за линейна функция от няколко произволни аргумента:

където са неслучайни коефициенти. Нека докажем това

, (10.2.6)

т.е. математическото очакване на линейна функция е равно на същата линейна функция на математическите очаквания на аргументите.

Доказателство. Използвайки теоремата за добавяне на m.o. и правилото за поставяне на неслучайна величина извън знака на m.o., получаваме:

.

7. Диспептази сума от случайни променливи

Дисперсията на сумата от две случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии плюс два пъти корелационния момент:

Доказателство. Нека обозначим

Според теоремата за събиране на математическите очаквания

Нека да преминем от случайни променливи към съответните центрирани променливи. Изваждайки равенството (10.2.9) член по член от равенството (10.2.8), имаме:

По дефиниция на дисперсията

Q.E.D.

Формула (10.2.7) за дисперсията на сумата може да се обобщи за произволен брой членове:

, (10.2.10)

където е корелационният момент на количествата, знакът под сумата означава, че сумирането се простира до всички възможни комбинации по двойки от случайни променливи .

Доказателството е подобно на предишното и следва от формулата за квадрат на многочлен.

Формула (10.2.10) може да бъде написана в друга форма:

, (10.2.11)

където двойната сума се простира върху всички елементи на корелационната матрица на системата от количества , съдържащ както корелационни моменти, така и дисперсии.

Ако всички случайни променливи , включени в системата, са некорелирани (т.е. когато ), формула (10.2.10) приема формата:

, (10.2.12)

това означава, че дисперсията на сумата от некорелирани случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на членовете.

Тази позиция е известна като теорема за добавяне на дисперсии.

8. Дисперсия на линейна функция

Нека разгледаме линейна функция на няколко случайни променливи.

където са неслучайни количества.

Нека докажем, че дисперсията на тази линейна функция се изразява с формулата

, (10.2.13)

където е корелационният момент на величините , .

Доказателство. Нека въведем обозначението:

. (10.2.14)

Прилагайки формула (10.2.10) за дисперсията на сумата в дясната част на израза (10.2.14) и като вземем предвид, че , получаваме:

където е корелационният момент на количествата:

.

Нека изчислим този момент. Ние имаме:

;

по същия начин

Замествайки този израз в (10.2.15), стигаме до формула (10.2.13).

В специалния случай, когато всички количества са некорелирани, формулата (10.2.13) приема формата:

, (10.2.16)

това означава, че дисперсията на линейна функция на некорелирани случайни променливи е равна на сумата от произведенията на квадратите на коефициентите и дисперсиите на съответните аргументи.

9. Математическо очакване на произведение на случайни величини

Математическото очакване на произведението на две случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания плюс корелационния момент:

Доказателство. Ще продължим от дефиницията на корелационния момент:

Нека преобразуваме този израз, като използваме свойствата на математическото очакване:

което очевидно е еквивалентно на формула (10.2.17).

Ако случайните променливи не са корелирани, тогава формулата (10.2.17) приема формата:

т.е. математическото очакване на произведението на две некорелирани случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.

Тази позиция е известна като теорема за умножение на математическите очаквания.

Формулата (10.2.17) не е нищо повече от израз на втория смесен централен момент на системата чрез втория смесен начален момент и математически очаквания:

. (10.2.19)

Този израз често се използва на практика при изчисляване на корелационния момент по същия начин, по който за една случайна променлива дисперсията често се изчислява чрез втория начален момент и математическото очакване.

Теоремата за умножение на математическите очаквания се обобщава до произволен брой фактори, само в този случай, за нейното приложение, не е достатъчно, че количествата са некорелирани, но се изисква някои по-високи смесени моменти, броят на които зависи на броя термини в продукта, изчезват. Тези условия със сигурност са изпълнени, ако случайните променливи, включени в продукта, са независими. В такъв случай

, (10.2.20)

т.е. математическото очакване на произведението на независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.

Това твърдение може лесно да се докаже чрез пълна индукция.

10. Дисперсия на произведението на независими случайни променливи

Нека докажем това за независими величини

Доказателство. Нека обозначим . По дефиниция на дисперсията

Тъй като количествата са независими и

Когато са независими, количествата също са независими; следователно,

,

Но няма нищо повече от втория начален момент на величината и следователно се изразява чрез дисперсията:

;

по същия начин

.

Замествайки тези изрази във формула (10.2.22) и привеждайки подобни членове, стигаме до формула (10.2.21).

В случай, че се умножават центрирани случайни променливи (променливи с математически очаквания, равни на нула), формулата (10.2.21) приема формата:

, (10.2.23)

това означава, че дисперсията на произведението на независими центрирани случайни променливи е равна на произведението на техните дисперсии.

11. По-високи моменти от сумата на случайните величини

В някои случаи е необходимо да се изчислят най-високите моменти на сумата от независими случайни променливи. Нека докажем някои отношения, свързани тук.

1) Ако количествата са независими, тогава

Доказателство.

откъдето, съгласно теоремата за умножение на математическите очаквания

Но първият централен момент за всяко количество равно на нула; двата средни члена изчезват и формула (10.2.24) е доказана.

Отношението (10.2.24) лесно се обобщава чрез индукция до произволен брой независими членове:

. (10.2.25)

2) Четвъртият централен момент на сумата от две независими случайни променливи се изразява с формулата

където са дисперсиите на количествата и .

Доказателството е напълно подобно на предишното.

С помощта на метода на пълната индукция е лесно да се докаже обобщението на формула (10.2.26) за произволен брой независими членове.

1.Дисперсията на константата C е равна на 0,DC = 0, СЪС = конст.

Доказателство.DC = М(СЪС– M.C.) 2 = М(СЪС– СЪС) = 0.

2.д(CX) = СЪС 2 DX.

Доказателство. д(CX) = М(CX) 2 – М 2 (CX) = ° С 2 MX 2 – ° С 2 (MX) 2 = ° С 2 (MX 2 – М 2 х) = СЪС 2 DX.

3. Ако X и Y – независими случайни променливи, Че

Доказателство.

4. Ако X 1 , х 2 , … тогава не са зависими .

Това свойство може да се докаже чрез индукция с помощта на свойство 3.

Доказателство. D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1) 2 D(Y) = DX + D(Y).

6.

Доказателство. D(C+X) = M(X+C–M(X+C)) 2 = M(X+C–MX–MC) 2 = M(X+C–MX–C) 2 = M(X– MX) 2 = DX.

Нека са независими случайни променливи и .

Нека създадем нова случайна променлива, да намерим математическото очакване и дисперсията Y.

; .

Тоест, когато н®¥ математическото очакване на средноаритметичното на n независими еднакво разпределени случайни променливи остава непроменено, равно на математическото очакване a, докато дисперсията клони към нула.

Това свойство на статистическа стабилност на средното аритметично е в основата на закона за големите числа.

Свойства на дисперсията - понятие и видове. Класификация и характеристики на категорията "Дисперсионни свойства" 2017, 2018.

1). Дисперсията на неслучайна променлива е 0. D[X]=0 Þ следва от определението. D[X]=M(C-M[C])2=M(0)=0 2). D[X]³0 Това следва от факта, че D[X]=M[(X-mx)]2³0 3). Ако a и b са константи, тогава D=b2·D[X]. Това следва от определението за дисперсия. 4). Дисперсията е добавка, наистина...

Дисперсията на случайна променлива характеризира мярката на разпространението на случайна променлива около нейното математическо очакване. М Ако една случайна променлива x има математическо очакванех , Чедисперсия д случайната променлива x е количеството М x = - М(х) 2 .

х д Лесно е да се покаже това М x = - М(х) 2 =x = Ако една случайна променлива x има математическо очакване 2 - М М

(x)2. М Ако една случайна променлива x има математическо очакванеТази универсална формула се прилага еднакво добре както за дискретни случайни променливи, така и за непрекъснати. величина

, .

2 >за дискретни и непрекъснати случайни променливи съответно се изчислява по формулите За да се определи мярката за дисперсия на стойностите на случайна променлива, тя често се използвастандартно отклонение

Основни свойства на дисперсията:

• дисперсията на константата е нула, д ° С=0;

• за произволна константа д (cx) = ° С 2 д (х);

• дисперсия на сумата от две независимаслучайни променливи, равна на сумата от техните дисперсии: д (x± ч) = д (x) + д (з).

51) Функцията на разпределение е функцията , което определя вероятността една случайна променлива да приеме стойност, която е изобразена на числовата ос от точка, разположена вляво от точка x, т.е.

Понякога вместо термина „функция на разпределение“ се използва терминът „интегрална функция“.

Свойства на функцията на разпределение:

1. Стойността на функцията на разпределение принадлежи на сегмента: 0 F(x) 1
2. F(x) е ненамаляваща функция, т.е. F(x 2) F(x 1), ако x 2 >x 1

Следствие 1. Вероятността една случайна променлива да приеме стойност, съдържаща се в интервала (a,b), е равна на нарастването на функцията на разпределение на този интервал:

P(a X

Пример 9. Случайната променлива X е дадена от функцията на разпределение:

Намерете вероятността в резултат на теста X да приеме стойност, принадлежаща на интервала (0;2): P(0

Решение: Тъй като в интервала (0;2) по условие, F(x)=x/4+1/4, тогава F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Така че P(0

Следствие 2. Вероятността непрекъсната случайна променлива X да приеме една специфична стойност е нула.

Следствие 3. Ако възможните стойности на случайна променлива принадлежат към интервала (a;b), то: 1) F(x)=0 за x a; 2) F(x)=1 при x b.
Валидни са следните гранични отношения:

Графиката на функцията на разпределение се намира в лентата, ограничена от правите y=0, y=1 (първо свойство). С нарастването на x в интервала (a; b), който съдържа всички възможни стойности на случайната променлива, графиката се "издига нагоре". При x a ординатите на графиката са равни на нула; при x b ординатите на графиката са равни на едно:

Разпределителна функцияслучайна величина хнаречена функция F(x), изразявайки за всеки хвероятността случайната променлива хще вземе стойност по-малка от х:

.

функция F(x)Наречен кумулативна функция на разпределениеили интегралния закон за разпределение.

Методът за определяне на непрекъсната случайна променлива с помощта на функцията на разпределение не е единственият. Необходимо е да се дефинира някаква функция, която отразява вероятностите случайна точка да попадне в различни части от диапазона от възможни стойности на непрекъсната случайна променлива. Тоест, да се осигури някакъв заместител на вероятностите p i за дискретна случайна променлива в непрекъснат случай.

Тази функция е плътността на разпределението на вероятностите. Плътност на вероятността (плътност на разпределение, диференциална функция) случайна величина хнаречена функция f(x),което е първата производна на кумулативната функция на разпределение.

Дисперсия на случайна величина и нейните свойства.

Много случайни променливи имат едно и също математическо очакване, но различни възможни стойности. Следователно, едно математическо очакване не е достатъчно, за да характеризира случайна променлива.

Нека доходите хИ Y(в долари) на две фирми са дадени от разпределенията:

Понякога е удобно да се използва друга формула, която може да се получи, ако използваме свойствата на математическото очакване,

Дисперсия е налице, ако редът (съответно интегралът) се сближава.

Неотрицателно число Наречен стандартно отклонениеслучайна величина Х.Има размерността на случайна променлива хи определя някакъв стандартен средноквадратичен интервал на дисперсия, симетричен по отношение на математическото очакване. Стойността понякога се нарича стандартно отклонение.

Случайната променлива се извиква центриран, Ако . Случайната променлива се извиква нормализиран(стандартен) ако .

Да продължим примера. Нека изчислим дисперсията на доходите на две фирми:

Сравнявайки дисперсията, виждаме, че приходите на втората компания варират повече от първата.

Дисперсионни свойства.

1. Дисперсията на константна стойност е нула, т.е. , Ако постоянен. Това е очевидно, тъй като постоянната стойност има математическо очакване, равно на постоянна стойност, т.е. .

2. Постоянен множител ° Сможе да се извади от дисперсионния знак, като първо се повдигне на квадрат.

Наистина ли,

3. Дисперсията на алгебричната сума на две независими случайни величини е равна на сумата от тяхната дисперсия, т.е.

Изразът се нарича ковариация на стойностите X и Y(виж Тема 4, §2). За независими случайни променливи ковариацията е нула, т.е.

Използвайки това равенство, можете да добавите към списъка със свойства на математическото очакване. Ако случайните променливи X и Y са независими, тогава математическото очакване на произведението е равно на произведението на математическите очаквания, а именно:

Ако случайната променлива е линейно трансформирана, т.е. , Че

.

Пример 1. Оставете го да се случи ннезависими изпитания, вероятност за настъпване на събитие Авъв всяка от които е постоянна и равна стр. Каква е дисперсията на броя на случванията на дадено събитие? Ав тези тестове?

Решение. Нека е номерът на възникване на събитието Ав първия опит е броят на повторенията на събитието Авъв втория тест и т.н. След това общият брой повторения на събитието А V нтестове е равно

Използвайки свойство 3 на дисперсия, получаваме

Тук се възползвахме от факта, че , аз= (вижте примери 1 и 2, точка 3.3.1.).

Пример 2. Нека Х -сумата на депозита (в долари) в банката се дава от разпределението на вероятностите

Намерете средната сума на депозита и отклонението.

Решение. Средната сума на депозита е равна на математическото очакване

За изчисляване на дисперсията използваме формулата

D(X) = 8196 – 7849.96 = 348.04.

Стандартно отклонение

Моменти.

За да се вземе предвид влиянието върху математическото очакване на тези възможни стойности на случайната променлива х, които са големи, но имат ниска вероятност, е препоръчително да се вземат предвид математическите очаквания на положителна степен на цяло число на случайна променлива.