Тригонометрични формули.

Формулите за намаляване не трябва да се преподават; те трябва да се разбират. Разберете алгоритъма за тяхното извеждане. Много е лесно!

Нека вземем единична окръжност и поставим всички градуси (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) върху нея.

Нека анализираме функциите sin(a) и cos(a) във всяка четвърт.

Не забравяйте, че разглеждаме функцията sin(a) по оста Y и функцията cos(a) по оста X.

През първото тримесечие е ясно, че функцията sin(a)>0
И функция cos(a)>0
Първата четвърт може да бъде описана в градуси, като (90-α) или (360+α).

През второто тримесечие е ясно, че функцията sin(a)>0, тъй като оста Y е положителна в това тримесечие.
Функция cos(a), защото оста X е отрицателна в този квадрант.
Втората четвърт може да бъде описана в градуси, като (90+α) или (180-α).

През третото тримесечие става ясно, че функциите грях(а) Третата четвърт може да бъде описана в градуси, като (180+α) или (270-α).

През четвъртото тримесечие е ясно, че функцията sin(a), защото оста Y е отрицателна в тази четвърт.
Функция cos(a)>0, тъй като оста X е положителна в тази четвърт.
Четвъртата четвърт може да бъде описана в градуси, като (270+α) или (360-α).

Сега нека да разгледаме самите формули за намаляване.

Нека си спомним просто алгоритъм:
1. Квартал.(Винаги гледайте в кой квартал се намирате).
2. Знак.(За четвъртинки вижте положителни или отрицателни косинусови или синусови функции).
3. Ако имате (90° или π/2) и (270° или 3π/2) в скоби, тогава функционални промени.

И така ще започнем да анализираме този алгоритъм на четвъртинки.

Намерете на какво ще бъде равен изразът cos(90-α).
Разсъждаваме според алгоритъма:
1. Четвърт едно.


Ще cos(90-α) = sin(α)

Намерете на какво ще бъде равен изразът sin(90-α).
Разсъждаваме според алгоритъма:
1. Четвърт едно.


Ще sin(90-α) = cos(α)

Намерете на какво ще бъде равен изразът cos(360+α).
Разсъждаваме според алгоритъма:
1. Четвърт едно.
2. През първата четвърт знакът на функцията косинус е положителен.

Ще cos(360+α) = cos(α)

Намерете на какво ще бъде равен изразът sin(360+α).
Разсъждаваме според алгоритъма:
1. Четвърт едно.
2. През първата четвърт знакът на функцията синус е положителен.
3. Няма (90° или π/2) и (270° или 3π/2) в скоби, тогава функцията не се променя.
Ще sin(360+α) = sin(α)

Намерете на какво ще бъде равен изразът co(90+α).
Разсъждаваме според алгоритъма:
1. Втора четвърт.

3. Има (90° или π/2) в скобите, след което функцията се променя от косинус на синус.
Ще cos(90+α) = -sin(α)

Намерете на какво ще бъде равен изразът sin(90+α).
Разсъждаваме според алгоритъма:
1. Втора четвърт.

3. Има (90° или π/2) в скобите, след което функцията се променя от синус на косинус.
Ще sin(90+α) = cos(α)

Намерете на какво ще бъде равен изразът cos(180-α).
Разсъждаваме според алгоритъма:
1. Втора четвърт.
2. През втората четвърт знакът на функцията косинус е отрицателен.
3. Няма (90° или π/2) и (270° или 3π/2) в скоби, тогава функцията не се променя.
Ще cos(180-α) = cos(α)

Намерете на какво ще бъде равен изразът sin(180-α).
Разсъждаваме според алгоритъма:
1. Втора четвърт.
2. През втората четвърт знакът на функцията синус е положителен.
3. Няма (90° или π/2) и (270° или 3π/2) в скоби, тогава функцията не се променя.
Ще sin(180-α) = sin(α)

Говоря за третото и четвъртото тримесечие, нека създадем таблица по подобен начин:

Абонирай се към канала в YOUTUBEи гледайте видеото, подгответе се за изпити по математика и геометрия с нас.

Тема на урока

• Промени в синуса, косинуса и тангенса с увеличаване на ъгъла.

Цели на урока

• Запознайте се с нови дефиниции и си припомнете някои вече изучени.
• Запознайте се с модела на промени в стойностите на синуса, косинуса и тангенса с увеличаване на ъгъла.
• Развитие - развива вниманието, постоянството, постоянството на учениците, логично мислене, математическа реч.
• Образователни - чрез урока култивирайте внимателно отношение един към друг, внушавайте способността да слушате другарите, взаимопомощта и независимостта.

Цели на урока

• Проверете знанията на учениците.

План на урока

1. Повторение на предварително изучен материал.
2. Задачи за повторение.
3. Промени в синуса, косинуса и тангенса с увеличаване на ъгъла.
4. Практическа употреба.

Повторение на предварително изучен материал

Нека започнем от самото начало и си спомнете какво ще ви бъде полезно, за да опресните паметта си. Какво представляват синус, косинус и тангенс и към кой раздел на геометрията принадлежат тези понятия?

Тригонометрия- това е толкова сложна гръцка дума: trigonon - триъгълник, metro - измервам. Следователно на гръцки това означава: измерено с триъгълници.

И още една задача Б11 по същата тема - от истинския Единен държавен изпит по математика.

Задача. Намерете значението на израза:

В този кратък видео урок ще научим как да кандидатстваме формули за намаляванеза решаване на реални задачи В11 от Единния държавен изпит по математика. Както можете да видите, имаме два тригонометрични израза, всеки от които съдържа синуси и косинуси, както и някои доста брутални числени аргументи.

Преди да решим тези задачи, нека си припомним какво представляват формулите за редукция. Така че, ако имаме изрази като:

Тогава можем да се отървем от първия член (от формата k · π/2) чрез специални правила. Да рисуваме тригонометричен кръг, отбележете върху него основните точки: 0, π/2; π; 3π/2 и 2π. След това разглеждаме първия член под знака на тригонометричната функция. Ние имаме:

1. Ако членът, който ни интересува, лежи на вертикалната ос на тригонометричната окръжност (например: 3π/2; π/2 и т.н.), тогава първоначалната функция се заменя с кофункция: синусът се заменя с косинус, и косинус, напротив, по синус.
2. Ако нашият член лежи на хоризонталната ос, тогава първоначалната функция не се променя. Просто премахваме първия член в израза и това е всичко.

Така получаваме тригонометрична функция, която не съдържа членове от вида k · π/2. Работата с редукционните формули обаче не свършва дотук. Факт е, че нашата нова функция, получена след „изхвърляне“ на първия член, може да има знак плюс или минус пред него. Как да разпознаем този знак? Сега ще разберем.

Нека си представим, че ъгълът α, оставащ вътре в тригонометричната функция след трансформации, има много малка градусна мярка. Но какво означава „малка мярка“? Да речем α ∈ (0; 30°) – това е напълно достатъчно. Да вземем пример за функцията:

След това, следвайки нашите допускания, че α ∈ (0; 30°), заключаваме, че ъгълът 3π/2 − α лежи в третата координатна четвърт, т.е. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Нека си спомним знака на оригиналната функция, т.е. y = sin x на този интервал. Очевидно синусът в третата координатна четвърт е отрицателен, тъй като по дефиниция синусът е ординатата на края на движещия се радиус (накратко, синусът е y координатата). Е, координатата y в долната полуравнина винаги отнема отрицателни стойности. Това означава, че през третото тримесечие y също е отрицателно.

Въз основа на тези отражения можем да запишем крайния израз:

Задача B11 ​​- Вариант 1

Същите тези техники са доста подходящи за решаване на задача B11 ​​от Единния държавен изпит по математика. Единствената разлика е, че в мн реални проблеми B11 вместо радианова мярка (т.е. числа π, π/2, 2π и т.н.), се използва градусна мярка (т.е. 90°, 180°, 270° и т.н.). Нека разгледаме първата задача:

Нека първо да разгледаме числителя. cos 41° е нетаблична стойност, така че не можем да направим нищо с нея. Нека го оставим така за сега.

Сега нека да разгледаме знаменателя:

sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°

Очевидно това е редукционна формула, така че синусът се заменя с косинус. Освен това ъгълът 41° лежи върху сегмента (0°; 90°), т.е. в първия координатен квадрант - точно колкото е необходимо за прилагане на формулите за редукция. Но тогава 90° + 41° е втората координатна четвърт. Първоначалната функция y = sin x е положителна там, така че поставихме знак плюс пред косинуса на последната стъпка (с други думи, не поставихме нищо).

Остава да се справим с последния елемент:

cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5

Тук виждаме, че 180° е хоризонталната ос. Следователно самата функция няма да се промени: имаше косинус - и косинусът също ще остане. Но отново възниква въпросът: плюс или минус ще се появи пред получения израз cos 60°? Имайте предвид, че 180° е третата координатна четвърт. Косинусът там е отрицателен, следователно косинусът в крайна сметка ще има знак минус пред себе си. Като цяло получаваме конструкцията −cos 60° = −0,5 - това е таблична стойност, така че всичко е лесно за изчисляване.

Сега заместваме получените числа в оригиналната формула и получаваме:

Както можете да видите, числото cos 41° в числителя и знаменателя на дробта лесно се намалява и остава обичайният израз, който е равен на −10. В този случай минусът може или да бъде изваден и поставен пред знака за дроб, или да се „задържи“ до втория фактор до последната стъпка от изчисленията. Във всеки случай отговорът ще бъде −10. Това е всичко, проблем B11 е решен!

Задача B14 - вариант 2

Да преминем към втората задача. Пред нас отново е фракция:

Е, 27° се намира в първата координатна четвърт, така че няма да променяме нищо тук. Но грях 117° трябва да се напише (засега без квадрат):

sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°

Очевидно отново пред нас формула за намаляване: 90° е вертикалната ос, следователно синусът ще се промени в косинус. Освен това ъгълът α = 117° = 90° + 27° лежи във втория координатен квадрант. Първоначалната функция y = sin x е положителна там, следователно след всички трансформации все още има знак плюс пред косинуса. С други думи, там не се добавя нищо - оставяме го така: cos 27°.

Връщаме се към оригиналния израз, който трябва да бъде изчислен:

Както виждаме, след трансформациите основното тригонометрично тъждество възниква в знаменателя: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Общо −4: 1 = −4 - така намерихме отговора на втората задача B11.

Както можете да видите, с помощта на формули за редукция такива задачи от Единния държавен изпит по математика се решават буквално в няколко реда. Няма синус от сумата и косинус от разликата. Всичко, което трябва да запомним, е само тригонометричната окръжност.

Формулите за редукция са връзки, които ви позволяват да преминете от синус, косинус, тангенс и котангенс с ъгли `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` към същите функции на ъгъла `\alpha`, който се намира в първата четвърт на единичната окръжност. По този начин формулите за намаляване ни „водят“ до работа с ъгли в диапазона от 0 до 90 градуса, което е много удобно.

Общо има 32 формули за намаляване. Те несъмнено ще бъдат полезни по време на Единния държавен изпит, изпити и тестове. Но нека веднага ви предупредим, че няма нужда да ги запаметявате! Трябва да отделите малко време и да разберете алгоритъма за тяхното прилагане, тогава няма да ви е трудно да извлечете необходимото равенство в точното време.

Първо, нека запишем всички формули за намаляване:

За ъгъл (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) или (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

За ъгъл (`\pi \pm \alpha`) или (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

За ъгъл (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) или (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

За ъгъл (`2\pi \pm \alpha`) или (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Често можете да намерите формули за намаляване под формата на таблица, където ъглите са написани в радиани:

За да го използваме, трябва да изберем реда с нужната ни функция и колоната с желания аргумент. Например, за да разберете с помощта на таблица на какво ще бъде равно ` sin(\pi + \alpha)`, е достатъчно да намерите отговора в пресечната точка на реда ` sin \beta` и колоната ` \pi + \alpha`. Получаваме ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

И втората, подобна таблица, където ъглите са записани в градуси:

Мнемонично правило за формули за редукция или как да ги запомните

Както вече споменахме, няма нужда да запаметявате всички горепосочени връзки. Ако сте ги разгледали внимателно, вероятно сте забелязали някои модели. Те ни позволяват да формулираме мнемонично правило (mnemonic - запомни), с помощта на което можем лесно да получим всяка формула за редукция.

Нека незабавно да отбележим, че за да приложите това правило, трябва да сте добри в идентифицирането (или запомнянето) на знаците на тригонометричните функции в различни четвърти от единичната окръжност.
Самата ваксина включва 3 етапа:

1. 1. Аргументът на функцията трябва да бъде представен като `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, а `\alpha` е задължително остър ъгъл (от 0 до 90 градуса).
   2. За аргументи `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` тригонометрична функцияизразът, който се преобразува, се променя в кофункция, тоест обратното (синус в косинус, тангенс в котангенс и обратно). За аргументи `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` функцията не се променя.
   3. Определя се знакът на първоначалната функция. Получената функция от дясната страна ще има същия знак.

За да видим как това правило може да се приложи на практика, нека трансформираме няколко израза:

1. `cos(\pi + \alpha)`.

Функцията не е обърната. Ъгълът `\pi + \alpha` е в третата четвърт, косинусът в тази четвърт има знак "-", така че трансформираната функция също ще има знак "-".

Отговор: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.

Според мнемоничното правило функцията ще бъде обърната. Ъгълът `\frac (3\pi)2 - \alpha` е в третата четвърт, синусът тук има знак "-", така че резултатът също ще има знак "-".

Отговор: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\alpha))`. Нека представим `3\pi` като `2\pi+\pi`. „2\pi“ е периодът на функцията.

Важно: Функциите `cos \alpha` и `sin \alpha` имат период `2\pi` или `360^\circ`, техните стойности няма да се променят, ако аргументът се увеличи или намали с тези стойности.

Въз основа на това нашият израз може да бъде написан по следния начин: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Прилагайки два пъти мнемоничното правило, получаваме: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Отговор: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

Правило на коня

Втора точка от горното мнемонично правилонаричано още правилото на коня за редуциращи формули. Чудя се защо коне?

И така, имаме функции с аргументи `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, точките `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` са ключови, те са разположени върху координатните оси. „\pi“ и „2\pi“ са по хоризонталната ос x, а „\frac (\pi)2“ и „\frac (3\pi)2“ са по вертикалната ордината.

Задаваме си въпроса: „Променя ли се една функция в кофункция?“ За да отговорите на този въпрос, трябва да преместите главата си по оста, на която се намира ключовата точка.

Тоест, за аргументи с ключови точки, разположени на хоризонталната ос, ние отговаряме с „не“, като клатим глава настрани. А за ъгли с ключови точки, разположени по вертикалната ос, отговаряме с „да“, като кимаме с глава отгоре надолу, като кон :)

Препоръчваме да гледате видео урок, в който авторът обяснява подробно как да запомните формули за редукция, без да ги запаметявате.

Практически примери за използване на формули за редукция

Използването на формули за редукция започва в 9 и 10 клас. Много проблеми с тях бяха представени на Единния държавен изпит. Ето някои от проблемите, при които ще трябва да приложите тези формули:

• задачи за решаване на правоъгълен триъгълник;
• цифрови и азбучни преобразувания тригонометрични изрази, изчисляване на техните стойности;
• стереометрични задачи.

Пример 1. Изчислете с помощта на формули за редукция a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Решение: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

в) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Пример 2. След като изразите косинус чрез синус с формули за редукция, сравнете числата: 1) `sin \frac (9\pi)8` и `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` и `cos \frac (3\pi)10`.

Решение: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

Нека първо докажем две формули за синуса и косинуса на аргумента `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` и ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Останалите са извлечени от тях.

Нека вземем единична окръжност и точка А върху нея с координати (1,0). Нека след като се обърна към ъгъл `\alpha` ще отиде до точка `A_1(x, y)`, а след завъртане под ъгъл `\frac (\pi)2 + \alpha` до точка `A_2(-y, x)`. Пускайки перпендикулярите от тези точки към правата OX, виждаме, че триъгълниците `OA_1H_1` и `OA_2H_2` са равни, тъй като хипотенузите и прилежащите им ъгли са равни. След това, въз основа на дефинициите на синус и косинус, можем да напишем `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Къде можем да запишем, че ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` и ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, което доказва редукцията формули за синусови и косинусови ъгли `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Идвайки от определението за тангенс и котангенс, получаваме ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` и ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, което доказва формули за намаляване на тангенса и котангенса на ъгъла `\frac (\pi)2 + \alpha`.

За да докажете формули с аргумента `\frac (\pi)2 - \alpha`, е достатъчно да го представите като `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` и да следвате същия път като по-горе. Например, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Ъглите `\pi + \alpha` и `\pi - \alpha` могат да бъдат представени като `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` и `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` съответно.

И `\frac (3\pi)2 + \alpha` и `\frac (3\pi)2 - \alpha` като `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` и `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`.