Нека да преминем към разглеждане на приложенията на интегралното смятане. В този урок ще разгледаме типичния и най-често срещан проблем за изчисляване на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл. Нека най-после всички, които търсят смисъл във висшата математика, да го намерят. Никога не знаеш. Ще трябва да го доближим в живота селска вила зонаелементарни функции и намиране на нейната площ с помощта на определен интеграл.

За да усвоите успешно материала, трябва:

1) Разберете неопределения интеграл поне на средно ниво. Така че манекените първо трябва да се запознаят с урока на Той.

2) Да може да приложи формулата на Нютон-Лайбниц и да изчисли определения интеграл. Настройте топло приятелски отношенияс определени интеграли можете да намерите на страницата Определен интеграл. Примери за решения. Следователно задачата „изчисляване на площта с помощта на определен интеграл“ винаги включва изграждане на чертеж актуален въпросВашите знания и умения в рисуването също ще бъдат там. Като минимум трябва да можете да конструирате права линия, парабола и хипербола.

Нека започнем с извит трапец. Извит трапец е плоска фигура, ограничена от графиката на някаква функция г = f(х), ос ОХи линии х = а; х = b.

Площта на криволинейния трапец е числено равна на определен интеграл

Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение. В урока Определен интеграл. Примери за решения казахме, че определен интеграл е число. И сега е време да заявя още един полезен факт. От гледна точка на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩ. Тоест определен интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на определена фигура. Разгледайте определения интеграл

Интегранд

дефинира крива на равнината (при желание може да се начертае), а самият определен интеграл е числено равна на площсъответстващ извит трапец.

Пример 1

, , , .

Това е типично изявление за присвояване. Най-важният момент в решението е изграждането на чертежа. Освен това чертежът трябва да бъде конструиран ПРАВИЛНО.

При конструирането на чертеж препоръчвам следния ред: първо е по-добре да се изградят всички прави линии (ако има такива) и едва след това - параболи, хиперболи и графики на други функции. Техниката за конструиране точка по точка може да бъде намерена в референтния материал Графики и свойства елементарни функции. Там можете да намерите и много полезен материал за нашия урок - как бързо да построим парабола.

В този проблем решението може да изглежда така.

Нека направим чертежа (обърнете внимание, че уравнението г= 0 определя оста ОХ):

Няма да засенчваме извития трапец, тук е очевидно за каква област говорим. Решението продължава така:

На сегмента [-2; 1] функционална графика г = х 2 + 2 разположени над оста ОХ, Ето защо:

Отговор: .

Който има затруднения с изчисляването на определения интеграл и прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц

,

Обърнете се към лекцията Определен интеграл. Примери за решения. След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай ние броим броя на клетките в чертежа „на око“ - добре, ще има около 9, изглежда е вярно. Напълно ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, то явно някъде е допусната грешка - 20 клетки явно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът е отрицателен, значи и задачата е решена неправилно.

Пример 2

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии xy = 4, х = 2, х= 4 и ос ОХ.

Това е пример, който можете да решите сами. Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Какво да направите, ако извит трапецразположен под оста ОХ?

Пример 3

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии г = e-x, х= 1 и координатни оси.

Решение: Да направим чертеж:

Ако извит трапец е напълно разположен под оста ОХ, тогава неговата площ може да се намери с помощта на формулата:

В такъв случай:

.

внимание! Не бива да се бъркат двата вида задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите просто определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да е отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що обсъдената формула.

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и следователно от най-простите училищни задачи преминаваме към по-смислени примери.

Пример 4

Намерете площта на равнинна фигура, ограничена от линии г = 2х – х 2 , г = -х.

Решение: Първо трябва да направите чертеж. Когато конструираме чертеж в задачи с площи, ние се интересуваме най-много от точките на пресичане на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата г = 2х – х 2 и прав г = -х. Това може да стане по два начина. Първият метод е аналитичен. Решаваме уравнението:

Това означава, че долната граница на интеграция а= 0, горна граница на интегриране b= 3. Често е по-изгодно и по-бързо да се конструират линии точка по точка и границите на интеграцията стават ясни „сами по себе си“. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на граници все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или подробната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). Нека се върнем към нашата задача: по-рационално е първо да построим права линия и едва след това парабола. Да направим чертежа:

Нека повторим, че при поточковото конструиране границите на интегриране най-често се определят „автоматично“.

А сега работната формула:

Ако на сегмента [ а; b] някаква непрекъсната функция f(х) е по-голямо или равно на някои непрекъсната функция ж(х), тогава площта на съответната фигура може да се намери по формулата:

Тук вече не е нужно да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста, а важното е коя графика е ПО-ВИСОКО (спрямо друга графика) и коя е ПО-ДОЛУ.

В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно от 2 х – х 2 трябва да се извади – х.

Завършеното решение може да изглежда така:

Желаната фигура е ограничена от парабола г = 2х – х 2 отгоре и прави г = -хПо-долу.

На сегмент 2 х – х 2 ≥ -х. Съгласно съответната формула:

Отговор: .

Всъщност училищната формула за площта на извит трапец в долната полуравнина (виж пример № 3) е специален случайформули

.

Тъй като оста ОХдадено от уравнението г= 0, и графиката на функцията ж(х), разположен под оста ОХ, Че

.

А сега няколко примера за вашето собствено решение

Пример 5

Пример 6

Намерете площта на фигура, ограничена от линии

При решаване на задачи, включващи изчисляване на площ с помощта на определен интеграл, понякога се случва забавна случка. Чертежът беше завършен правилно, изчисленията бяха правилни, но поради невнимание ... беше намерена площта на грешната фигура.

Пример 7

Първо нека направим чертеж:

Фигурата, чиято площ трябва да намерим, е оцветена в синьо (погледнете внимателно условието - колко е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, хората често решават, че трябва да намерят областта на фигурата, която е оцветена в зелено!

Този пример също е полезен, защото изчислява площта на фигура с помощта на два определени интеграла. Наистина ли:

1) На отсечката [-1; 1] над оста ОХграфиката е разположена права г = х+1;

2) На сегмент над оста ОХсе намира графиката на хипербола г = (2/х).

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да бъдат добавени, следователно:

Отговор:

Пример 8

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии

Нека представим уравненията в "училищна" форма

и направете чертеж точка по точка:

От чертежа става ясно, че нашата горна граница е „добра“: b = 1.

Но каква е долната граница?! Ясно е, че това не е цяло число, но какво е?

Може би, а=(-1/3)? Но къде е гаранцията, че чертежът е направен с перфектна точност, може и да се окаже така а=(-1/4). Ами ако построим графиката неправилно?

В такива случаи трябва да отделите допълнително време и да изясните аналитично границите на интеграцията.

Нека намерим пресечните точки на графиките

За да направим това, решаваме уравнението:

.

следователно а=(-1/3).

По-нататъшното решение е тривиално. Основното нещо е да не се бъркате в заместванията и знаците. Изчисленията тук не са от най-простите. На сегмента

, ,

по подходящата формула:

Отговор:

За да завършим урока, нека разгледаме още две трудни задачи.

Пример 9

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии

Решение: Нека изобразим тази фигура на чертежа.

За да начертаете чертеж точка по точка, трябва да знаете външен видсинусоиди. Като цяло е полезно да знаете графиките на всички елементарни функции, както и някои синусови стойности. Те могат да бъдат намерени в таблицата със стойности тригонометрични функции. В някои случаи (например в този случай) е възможно да се изгради схематичен чертеж, на който графиките и границите на интегриране трябва да бъдат принципно правилно показани.

Тук няма проблеми с границите на интеграция, те следват директно от условието:

– “x” се променя от нула на “pi”. Нека вземем още едно решение:

На сегмент, графиката на функция г= грях 3 хразположен над оста ОХ, Ето защо:

(1) Можете да видите как синуси и косинуси се интегрират в нечетни степени в урока Интеграли на тригонометрични функции. Прищипваме единия синус.

(2) Използваме основната тригонометрична идентичност във формуляра

(3) Нека променим променливата T=cos х, тогава: се намира над оста, следователно:

.

.

Забележка: забележете как е взет интегралът на допирателната в куб; тук се използва следствие от основното тригонометрично тъждество

.

В тази статия ще научите как да намерите площта на фигура, ограничена от линии, като използвате интегрални изчисления. За първи път се сблъскваме с формулирането на такава задача в гимназията, когато току-що сме завършили изучаването на определени интеграли и е време да започнем геометричната интерпретация на усвоените знания на практика.

И така, какво е необходимо за успешно решаване на проблема с намирането на площта на фигура с помощта на интеграли:

• Способност да прави компетентни чертежи;
• Способност за решаване на определен интеграл с помощта известна формулаНютон-Лайбниц;
• Способността да „видите“ по-изгодна опция за решение - т.е. разберете как в един или друг случай ще бъде по-удобно да се извърши интеграция? По оста x (OX) или по оста y (OY)?
• Е, къде щяхме да бъдем без правилни изчисления?) Това включва разбиране как да се решава този друг тип интеграли и правилни числени изчисления.

Алгоритъм за решаване на проблема за изчисляване на площта на фигура, ограничена от линии:

1. Изграждаме чертеж. Препоръчително е да направите това на кариран лист хартия, в голям мащаб. Подписваме името на тази функция с молив над всяка графика. Подписването на графиките се извършва единствено за удобство на по-нататъшни изчисления. След като получите графика на желаната фигура, в повечето случаи веднага ще стане ясно кои граници на интегриране ще се използват. Така решаваме проблема графичен метод. Случва се обаче стойностите на лимитите да са дробни или ирационални. Следователно можете да направите допълнителни изчисления, преминете към втора стъпка.

2. Ако границите на интегриране не са изрично посочени, тогава намираме точките на пресичане на графиките една с друга и виждаме дали нашите графично решениес аналитичен.

3. След това трябва да анализирате чертежа. В зависимост от това как са подредени графиките на функциите, има различни подходи за намиране на площта на фигура. Нека помислим различни примерида намерите площта на фигура с помощта на интеграли.

3.1. Най-класическата и най-проста версия на проблема е, когато трябва да намерите площта на извит трапец. Какво е извит трапец? Това е плоска фигура, ограничена от оста x (y = 0), прави линии x = a, x = b и всяка крива, непрекъсната в интервала от a до b. Освен това тази цифра е неотрицателна и не се намира под оста x. В този случай площта на криволинейния трапец е числено равна на определен интеграл, изчислен по формулата на Нютон-Лайбниц:

Пример 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

С какви линии е ограничена фигурата? Имаме парабола y = x2 - 3x + 3, която се намира над оста OX, тя е неотрицателна, т.к. всички точки на тази парабола имат положителни стойности. След това са дадени правите линии x = 1 и x = 3, които вървят успоредно на оста на операционния усилвател и са граничните линии на фигурата отляво и отдясно. Е, y = 0, което също е оста x, която ограничава фигурата отдолу. Получената фигура е защрихована, както се вижда от фигурата вляво. В този случай можете веднага да започнете да решавате проблема. Пред нас е прост пример за извит трапец, който след това решаваме с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц.

3.2. В предишния параграф 3.1 разгледахме случая, когато извит трапец е разположен над оста x. Сега разгледайте случая, когато условията на проблема са същите, с изключение на това, че функцията лежи под оста x. Към стандартната формула на Нютон-Лайбниц се добавя минус. Ще разгледаме как да разрешим такъв проблем по-долу.

Пример 2. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

IN в този примеримаме парабола y = x2 + 6x + 2, която произхожда от под оста OX, прави x = -4, x = -1, y = 0. Тук y = 0 ограничава желаната цифра отгоре. Правите x = -4 и x = -1 са границите, в които ще бъде изчислен определеният интеграл. Принципът на решаване на проблема за намиране на площта на фигура почти напълно съвпада с пример номер 1. Единствената разлика е, че дадена функцияне положителен, но все още непрекъснат на интервала [-4; -1] . Какво имаш предвид не положително? Както може да се види от фигурата, фигурата, която лежи в рамките на дадените x, има изключително „отрицателни“ координати, което трябва да видим и запомним, когато решаваме задачата. Търсим площта на фигурата, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, само със знак минус в началото.

Статията не е завършена.

Започваме да разглеждаме действителния процес на изчисляване на двойния интеграл и да се запознаем с неговия геометричен смисъл.

Двойният интеграл е числено равен на площта на равнинната фигура (областта на интегриране). Това най-простата формадвоен интеграл, когато функцията на две променливи е равна на единица: .

Нека първо разгледаме проблема в общ изглед. Сега ще бъдете доста изненадани колко просто е всъщност всичко! Нека изчислим площта на плоска фигура, ограничена от линии. За категоричност приемаме, че на отсечката . Площта на тази фигура е числено равна на:

Нека изобразим областта на чертежа:

Нека изберем първия начин за прекосяване на района:

По този начин:

И веднага важно техническа техника: Повтарящите се интеграли могат да се разглеждат отделно. Първо вътрешният интеграл, след това външният интеграл. Горещо препоръчвам този метод на начинаещи в темата.

1) Нека изчислим вътрешния интеграл, като интегрирането се извършва върху променливата "y":

Неопределен интегралтук е най-простият, а след това се използва баналната формула на Нютон-Лайбниц, с единствената разлика, че границите на интегриране не са числа, а функции. Първо го поставят в "Y" ( противопроизводна функция) горна граница, след това долна граница

2) Резултатът, получен в първия параграф, трябва да бъде заменен във външния интеграл:

По-компактно представяне на цялото решение изглежда така:

Получената формула е точно работната формула за изчисляване на площта на равнинна фигура с помощта на „обикновения“ определен интеграл! Вижте урока Изчисляване на площ с помощта на определен интеграл, има го на всяка стъпка!

Това е проблемът за изчисляване на площ с помощта на двоен интеграл не много по-различноот задачата за намиране на площта с помощта на определен интеграл! Всъщност това е едно и също!

Съответно не трябва да възникват трудности! Няма да разглеждам много примери, тъй като всъщност многократно сте се сблъсквали с тази задача.

Пример 9

Решение: Нека изобразим областта на чертежа:

Нека изберем следния ред на обхождане на областта:

Тук и по-нататък няма да се спирам на това как да обходя района, тъй като в първия параграф бяха дадени много подробни обяснения.

По този начин:

Както вече отбелязах, по-добре е за начинаещите да изчисляват итерирани интеграли отделно и аз ще се придържам към същия метод:

1) Първо, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, се занимаваме с вътрешния интеграл:

2) Резултатът, получен в първата стъпка, се замества във външния интеграл:

Точка 2 всъщност е намиране на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл.

Отговор:

Това е толкова глупава и наивна задача.

Интересен пример за самостоятелно решение:

Пример 10

Използвайки двоен интеграл, изчислете площта на равнинна фигура, ограничена от линиите , ,

Примерен пример за крайно решение в края на урока.

В примери 9-10 е много по-изгодно да се използва първият метод за обхождане на площта; Ако не направите грешка, тогава, естествено, ще получите същите стойности на площта.

Но в някои случаи вторият метод за преминаване на района е по-ефективен и в края на курса за млади маниаци нека да разгледаме още няколко примера по тази тема:

Пример 11

Използвайки двоен интеграл, изчислете площта на равнинна фигура, ограничена от линии,

Решение: очакваме с нетърпение две параболи със странност, които лежат отстрани. Няма нужда да се усмихвате; подобни неща се случват доста често в множество интеграли.

Кой е най-лесният начин да направите рисунка?

Нека си представим парабола под формата на две функции:
– горния клон и – долния клон.

По същия начин си представете парабола под формата на горна и долна клонове.

След това начертаване на графики по точки, което води до такава странна фигура:

Изчисляваме площта на фигурата, използвайки двойния интеграл по формулата:

Какво се случва, ако изберем първия метод за прекосяване на района? Първо, тази област ще трябва да бъде разделена на две части. И второ, ще наблюдаваме тази тъжна картина: . Интегралите, разбира се, не са от свръхсложно ниво, но... има една стара математическа поговорка: който е близо до корените си, няма нужда от проверка.

Следователно, от недоразумението, дадено в условието, ние изразяваме обратните функции:

Обратни функциив този пример те имат предимството, че определят цялата парабола наведнъж без никакви листа, жълъди, клони и корени.

Според втория метод обхождането на площта ще бъде както следва:

По този начин:

Както се казва, усетете разликата.

1) Имаме работа с вътрешния интеграл:

Заместваме резултата във външния интеграл:

Интегрирането върху променливата "y" не трябва да е объркващо; ако имаше буква "zy", би било чудесно да се интегрира върху нея. Въпреки че всеки, който е прочел втория абзац на урока Как да изчислим обема на ротационно тяло, вече не изпитва и най-малката неудобство при интегрирането по метода „Y“.

Обърнете внимание и на първата стъпка: интегрантът е четен и интервалът на интегриране е симетричен около нулата. Следователно сегментът може да бъде намален наполовина и резултатът може да бъде удвоен. Този похват е коментиран подробно в урока Ефективни методи за пресмятане на определен интеграл.

Какво да добавя.... Всичко!

Отговор:

За да тествате вашата техника за интегриране, можете да опитате да изчислите . Отговорът трябва да е абсолютно същият.

Пример 12

Използвайки двоен интеграл, изчислете площта на равнинна фигура, ограничена от линии

Това е пример, който можете да решите сами. Интересно е да се отбележи, че ако се опитате да използвате първия метод за обхождане на района, фигурата вече няма да се разделя на две, а на три части! И съответно получаваме три двойки повтарящи се интеграли. Понякога се случва.

Майсторският клас приключи и е време да преминем към гросмайсторското ниво - Как да изчислим двоен интеграл? Примери за решения. Ще се опитам да не бъда толкова маниакална във втората статия =)

Пожелавам ти успех!

Решения и отговори:

Пример 2:Решение: Нека изобразим района на чертежа:

Нека изберем следния ред на обхождане на областта:

По този начин:
Нека да преминем към обратните функции:


По този начин:
Отговор:

Пример 4:Решение: Нека да преминем към директните функции:


Да направим чертежа:

Нека променим реда на преминаване на района:

Отговор:

Как да вмъкнете математически формуликъм уебсайта?

Ако някога трябва да добавите една или две математически формули към уеб страница, тогава най-лесният начин да направите това е както е описано в статията: математическите формули лесно се вмъкват в сайта под формата на снимки, които се генерират автоматично от Wolfram Alpha . В допълнение към простотата, този универсален метод ще помогне за подобряване на видимостта на сайта в търсачките. Работи отдавна (и мисля, че ще работи завинаги), но вече е морално остарял.

Ако редовно използвате математически формули на вашия сайт, тогава ви препоръчвам да използвате MathJax - специална JavaScript библиотека, която показва математическа нотация в уеб браузъри, използвайки MathML, LaTeX или ASCIIMathML маркиране.

Има два начина да започнете да използвате MathJax: (1) като използвате прост код, можете бързо да свържете MathJax скрипт към вашия уебсайт, който автоматично ще бъде зареден от отдалечен сървър в точното време (списък със сървъри); (2) изтеглете скрипта MathJax от отдалечен сървър на вашия сървър и го свържете към всички страници на вашия сайт. Вторият метод - по-сложен и отнемащ време - ще ускори зареждането на страниците на вашия сайт и ако родителският MathJax сървър стане временно недостъпен по някаква причина, това няма да се отрази по никакъв начин на вашия собствен сайт. Въпреки тези предимства избрах първия метод, тъй като е по-прост, по-бърз и не изисква технически умения. Следвайте моя пример и само след 5 минути ще можете да използвате всички функции на MathJax на вашия сайт.

Можете да свържете скрипта на библиотеката MathJax от отдалечен сървър, като използвате две опции за код, взети от основния уебсайт на MathJax или от страницата с документация:

Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и/или непосредствено след тага. Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично следи и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.

Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете уиджет, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте първата или втората версия на кода за изтегляне, представен по-горе, в него и поставете уиджета по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вмъквате математически формули в уеб страниците на вашия сайт.

Всеки фрактал се конструира според определено правило, който се прилага последователно неограничен брой пъти. Всяко такова време се нарича итерация.

Итеративният алгоритъм за конструиране на гъба на Менгер е доста прост: оригиналният куб със страна 1 е разделен от равнини, успоредни на лицата му, на 27 равни куба. От него се отстраняват един централен куб и 6 кубчета, съседни на него по стените. Резултатът е комплект, състоящ се от останалите 20 по-малки кубчета. Като направим същото с всяко от тези кубчета, получаваме комплект, състоящ се от 400 по-малки кубчета. Продължавайки този процес безкрайно, получаваме гъба Menger.

Всъщност, за да намерите площта на фигура, нямате нужда от толкова много познания за неопределения и определен интеграл. Задачата „изчислете площта с помощта на определен интеграл“ винаги включва конструиране на чертеж, така че вашите знания и умения за конструиране на чертежи ще бъдат много по-належащ въпрос. В тази връзка е полезно да опресните паметта си за графиките на основните елементарни функции и като минимум да можете да конструирате права линия и хипербола.

Извит трапец е плоска фигура, ограничена от ос, прави линии и графика на функция, непрекъсната в сегмент, който не променя знака в този интервал. Нека тази фигура се намира не по-малкоос x:

Тогава площта на криволинейния трапец е числено равна на определения интеграл. Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение.

От гледна точка на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩ.

Тоест определен интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на определена фигура. Например, разгледайте определения интеграл. Интеграндът определя крива на равнината, разположена над оста (желаещите могат да направят чертеж), а самият определен интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.

Пример 1

Това е типично изявление за присвояване. Първата и най-важна точка в решението е рисуването. Освен това чертежът трябва да бъде конструиран ПРАВИЛНО.

Когато конструирате чертеж, препоръчвам следния ред: първо е по-добре да конструирате всички прави линии (ако има такива) и едва след това - параболи, хиперболи и графики на други функции. По-изгодно е да се конструират графики на функции точка по точка.

В този проблем решението може да изглежда така.
Нека начертаем чертежа (обърнете внимание, че уравнението дефинира оста):

На сегмента графиката на функцията е разположена над оста, следователно:

Отговор:

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай „на око“ преброяваме броя на клетките в чертежа - добре, ще има около 9, изглежда е вярно. Абсолютно ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, то очевидно е, че някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът е отрицателен, значи и задачата е решена неправилно.

Пример 3

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: Да направим чертеж:

Ако извитият трапец е разположен под оста (или поне не по-високададена ос), тогава неговата площ може да се намери с помощта на формулата:

В такъв случай:

внимание! Не бива да се бъркат двата вида задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите просто определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да е отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що обсъдената формула.

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и следователно от най-простите училищни задачи преминаваме към по-смислени примери.

Пример 4

Намерете площта на равнинна фигура, ограничена от линиите , .

Решение: Първо трябва да направите чертеж. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от точките на пресичане на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и правата. Това може да стане по два начина. Първият метод е аналитичен. Решаваме уравнението:

Това означава, че долната граница на интегриране е , а горната граница на интегриране е .

По-добре е, ако е възможно, да не използвате този метод.

Много по-изгодно и по-бързо е да се изграждат линии точка по точка, а границите на интеграцията стават ясни „от само себе си“. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на граници все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или подробната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). И ние също ще разгледаме такъв пример.

Нека се върнем към нашата задача: по-рационално е първо да построим права линия и едва след това парабола. Да направим чертежа:

И сега работната формула: Ако на сегмент някаква непрекъсната функция е по-голяма или равна на някаква непрекъсната функция, тогава площта на фигурата, ограничена от графиките на тези функции и прави линии, може да се намери с помощта на формулата:

Тук вече не е нужно да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста, и, грубо казано, е важно коя графика е ПО-ВИСОКА (спрямо друга графика) и коя е ПО-ДОЛУ.

В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Завършеното решение може да изглежда така:

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.
На сегмента, съгласно съответната формула:

Отговор:

Пример 4

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , , .

Решение: Първо, нека направим чертеж:

Фигурата, чиято площ трябва да намерим, е оцветена в синьо (погледнете внимателно условието - колко е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, често се случва „бъг“, че трябва да намерите областта на фигура, която е засенчена в зелено!

Този пример е полезен и с това, че изчислява площта на фигура с помощта на два определени интеграла.

Наистина ли :

1) На сегмента над оста има графика на права линия;

2) На сегмента над оста има графика на хипербола.

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да бъдат добавени, следователно: