а)

Решение.

Първата и най-важна точка от решението е изграждането на чертежа.

Да направим чертежа:

Уравнение y=0 задава оста "x";

- х=-2 И х=1 - права, успоредна на оста о;

- y=x 2 +2 - парабола, чиито клонове са насочени нагоре, с върха в точката (0;2).

Коментирайте.За да се изгради парабола, достатъчно е да се намерят точките на нейното пресичане с координатните оси, т.е. поставяне х=0 намерете пресечната точка с оста о и съответно да вземе решение квадратно уравнение, намерете пресечната точка с оста о .

Върхът на парабола може да се намери с помощта на формулите:

Можете също да изграждате линии точка по точка.

На интервала [-2;1] графиката на функцията y=x 2 +2 разположен над оста вол , Ето защо:

отговор: С =9 кв. единици

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай „на око“ преброяваме броя на клетките в чертежа - добре, ще има около 9, изглежда е вярно. Напълно ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, то явно някъде е допусната грешка - 20 клетки явно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът е отрицателен, значи и задачата е решена неправилно.

Какво да направите, ако се намира извитият трапец под оста О?

б)Изчислете площта на фигурата, ограничени от линии y=-e x , х=1 и координатни оси.

Решение.

Да направим рисунка.

Ако извит трапец напълно разположен под оста о , тогава неговата площ може да се намери с помощта на формулата:

отговор: S=(e-1) кв. единици“ 1,72 кв. единици

внимание! Не трябва да се бъркат двата типа задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите просто определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да е отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що обсъдената формула.

На практика най-често фигурата е разположена както в горната, така и в долната полуравнина.

с)Намерете площта на равнинна фигура, ограничена от линии y=2x-x 2, y=-x.

Решение.

Първо трябва да завършите чертежа. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от точките на пресичане на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и прав Това може да стане по два начина. Първият метод е аналитичен.

Решаваме уравнението:

Това означава, че долната граница на интеграция а=0 , горна граница на интеграция b=3 .

Построяваме дадените прави: 1. Парабола - връх в точка (1;1); пресичане на осите О-точки (0;0) и (0;2). 2. Права - ъглополовяща на 2-ри и 4-ти координатни ъгли. А сега Внимание! Ако на сегмента [ a;b] някаква непрекъсната функция f(x)по-голям или равен на някои непрекъсната функция g(x), тогава площта на съответната фигура може да се намери по формулата: . И няма значение къде се намира фигурата - над оста или под оста, но има значение коя графика е ПО-ВИСОКО (спрямо друга графика) и коя е ПО-ДОЛУ. В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Можете да конструирате линии точка по точка и границите на интеграцията стават ясни „сами по себе си“. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на граници все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или подробната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални).

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.

На сегмента , по съответната формула:

отговор: С =4,5 кв. единици

В тази статия ще научите как да намерите площта на фигура, ограничена от линии, като използвате интегрални изчисления. За първи път се сблъскваме с формулирането на такъв проблем в гимназията, когато току-що сме завършили обучението определени интегралии е време да започнем геометричната интерпретация на придобитите знания на практика.

И така, какво е необходимо за успешно решаване на проблема с намирането на площта на фигура с помощта на интеграли:

• Способност да прави компетентни чертежи;
• Способност за решаване на определен интеграл с помощта известна формулаНютон-Лайбниц;
• Способността да „видите“ по-изгодна опция за решение - т.е. разберете как ще бъде по-удобно да се извърши интеграция в един или друг случай? По оста x (OX) или по оста y (OY)?
• Е, къде щяхме да бъдем без правилни изчисления?) Това включва разбиране как да се решава този друг тип интеграли и правилни числени изчисления.

Алгоритъм за решаване на проблема за изчисляване на площта на фигура, ограничена от линии:

1. Изграждаме чертеж. Препоръчително е да направите това на кариран лист хартия, в голям мащаб. Подписваме името на тази функция с молив над всяка графика. Подписването на графиките се извършва единствено за удобство на по-нататъшни изчисления. След като получите графика на желаната фигура, в повечето случаи веднага ще стане ясно кои граници на интегриране ще се използват. Така решаваме проблема графичен метод. Случва се обаче стойностите на границите да са дробни или ирационални. Следователно можете да направите допълнителни изчисления, преминете към втора стъпка.

2. Ако границите на интегриране не са изрично посочени, тогава намираме точките на пресичане на графиките една с друга и виждаме дали нашите графично решениес аналитичен.

3. След това трябва да анализирате чертежа. В зависимост от това как са подредени графиките на функциите, има различни подходи за намиране на площта на фигура. Нека помислим различни примериза намиране на площта на фигура с помощта на интеграли.

3.1. Най-класическата и най-проста версия на проблема е, когато трябва да намерите площта на извит трапец. Какво е извит трапец? Това е плоска фигура, ограничена от оста x (y = 0), направо x = a, x = bи всяка крива, непрекъсната на интервала от акъм b. Освен това тази цифра е неотрицателна и не се намира под оста x. В този случай площта на криволинейния трапец е числено равна на определен интеграл, изчислен по формулата на Нютон-Лайбниц:

Пример 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

С какви линии е ограничена фигурата? Имаме парабола y = x2 – 3x + 3, който се намира над ос ОХ, то е неотрицателно, защото всички точки на тази парабола имат положителни стойности. На следващо място, дадени прави линии х = 1И х = 3, които вървят успоредно на оста Операционен усилвател, са граничните линии на фигурата отляво и отдясно. добре y = 0, това е и оста x, която ограничава фигурата отдолу. Получената фигура е защрихована, както се вижда от фигурата вляво. В този случай можете веднага да започнете да решавате проблема. Пред нас е прост пример за извит трапец, който допълнително решаваме с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц.

3.2. В предишния параграф 3.1 разгледахме случая, когато извит трапец е разположен над оста x. Сега разгледайте случая, когато условията на проблема са същите, с изключение на това, че функцията лежи под оста x. Към стандартната формула на Нютон-Лайбниц се добавя минус. Ще разгледаме как да разрешим такъв проблем по-долу.

Пример 2 . Изчислете площта на фигура, ограничена от линии y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

IN в този примеримаме парабола y = x2 + 6x + 2, която произхожда от ос ОХ, направо x = -4, x = -1, y = 0. тук y = 0ограничава желаната фигура отгоре. Директен х = -4И х = -1това са границите, в които ще бъде изчислен определеният интеграл. Принципът на решаване на проблема за намиране на площта на фигура почти напълно съвпада с пример номер 1. Единствената разлика е, че дадената функция не е положителна, а също така е непрекъсната на интервала [-4; -1] . Какво имаш предвид не положително? Както може да се види от фигурата, фигурата, която се намира в рамките на дадените x, има изключително „отрицателни“ координати, което трябва да видим и запомним, когато решаваме задачата. Търсим площта на фигурата, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, само със знак минус в началото.

Статията не е завършена.

Задача № 3. Направете чертеж и изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите

Приложение на интеграла за решаване на приложни задачи

Изчисляване на площ

Определеният интеграл на непрекъсната неотрицателна функция f(x) е числено равен наплощта на криволинейния трапец, ограничен от кривата y = f(x), оста O x и правите линии x = a и x = b. В съответствие с това формулата за площ се записва, както следва:

Нека да разгледаме някои примери за изчисляване на площите на равнинни фигури.

Задача № 1. Да се ​​изчисли площта, ограничена от правите y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Решение.Нека построим фигура, чиято площ ще трябва да изчислим.

y = x 2 + 1 е парабола, чиито клонове са насочени нагоре и параболата е изместена нагоре с една единица спрямо оста O y (Фигура 1).

Фигура 1. Графика на функцията y = x 2 + 1

Задача № 2. Изчислете площта, ограничена от правите y = x 2 – 1, y = 0 в диапазона от 0 до 1.

Решение.Графиката на тази функция е парабола от клонове, които са насочени нагоре и параболата е изместена спрямо оста O y надолу с една единица (Фигура 2).

Фигура 2. Графика на функцията y = x 2 – 1

Задача № 3. Направете чертеж и изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите

y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4.

Решение.Първата от тези две линии е парабола с клони, насочени надолу, тъй като коефициентът на x 2 е отрицателен, а втората линия е права линия, пресичаща двете координатни оси.

За да построим парабола, намираме координатите на нейния връх: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисата на върха; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 е неговата ордината, N(1;9) е върхът.

Сега нека намерим пресечните точки на параболата и правата, като решим системата от уравнения:

Приравняване на десните страни на уравнение, чиито леви страни са равни.

Получаваме 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 или x 2 – 12 = 0, откъдето .

И така, точките са пресечните точки на парабола и права линия (Фигура 1).

Фигура 3 Графики на функциите y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4

Да построим права линия y = 2x – 4. Тя минава през точките (0;-4), (2;0) на координатните оси.

За да конструирате парабола, можете също да използвате нейните пресечни точки с оста 0x, т.е. корените на уравнението 8 + 2x – x 2 = 0 или x 2 – 2x – 8 = 0. Използвайки теоремата на Виета, е лесно за да намерите неговите корени: x 1 = 2, x 2 = 4.

Фигура 3 показва фигура (параболичен сегмент M 1 N M 2), ограничена от тези линии.

Втората част от проблема е да се намери площта на тази фигура. Площта му може да се намери с помощта на определен интеграл по формулата .

Във връзка с това условие получаваме интеграла:

2 Изчисляване на обема на въртеливо тяло

Обемът на тялото, получен от въртенето на кривата y = f(x) около оста O x, се изчислява по формулата:

При завъртане около оста O y формулата изглежда така:

Задача No4. Определете обема на тялото, получено от въртенето на извит трапец, ограничен от прави x = 0 x = 3 и крива y = около оста O x.

Решение.Нека нарисуваме картина (Фигура 4).

Фигура 4. Графика на функцията y =

Необходимият обем е

Задача No5. Изчислете обема на тялото, получено от въртенето на извит трапец, ограничен от кривата y = x 2 и прави линии y = 0 и y = 4 около оста O y.

Решение.Ние имаме:

Въпроси за преглед

В предишния раздел, посветен на анализа на геометричния смисъл на определен интеграл, получихме редица формули за изчисляване на площта на криволинейния трапец:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x за непрекъсната и неотрицателна функция y = f (x) на интервала [ a ; б],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x за непрекъсната и неположителна функция y = f (x) на интервала [ a ; b ] .

Тези формули са приложими за решаване на прости задачи. В действителност често ще трябва да работим с по-сложни фигури. В тази връзка ще посветим този раздел на анализ на алгоритми за изчисляване на площта на фигури, които са ограничени от функции в изрична форма, т.е. като y = f(x) или x = g(y).

Теорема

Нека функциите y = f 1 (x) и y = f 2 (x) са дефинирани и непрекъснати на интервала [ a ; b ] и f 1 (x) ≤ f 2 (x) за всяка стойност x от [ a ; b ] . Тогава формулата за изчисляване на площта на фигурата G, ограничена от линиите x = a, x = b, y = f 1 (x) и y = f 2 (x), ще изглежда като S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Подобна формула ще бъде приложима за площта на фигура, ограничена от линиите y = c, y = d, x = g 1 (y) и x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Доказателство

Нека разгледаме три случая, за които формулата ще бъде валидна.

В първия случай, като се вземе предвид свойството на адитивност на площта, сумата от площите на оригиналната фигура G и криволинейния трапец G1 е равна на площта на фигурата G2. Това означава, че

Следователно S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Можем да извършим последния преход, използвайки третото свойство на определения интеграл.

Във втория случай е вярно равенството: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Графичната илюстрация ще изглежда така:

Ако и двете функции са неположителни, получаваме: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Графичната илюстрация ще изглежда така:

Нека да преминем към разглеждане на общия случай, когато y = f 1 (x) и y = f 2 (x) пресичат оста O x.

Означаваме пресечните точки като x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Тези точки разделят сегмента [a; b] на n части x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n, където α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

следователно

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Можем да направим последния преход, използвайки петото свойство на определения интеграл.

Нека илюстрираме общия случай на графиката.

Формулата S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x може да се счита за доказана.

Сега нека да преминем към анализиране на примери за изчисляване на площта на фигури, които са ограничени от линиите y = f (x) и x = g (y).

Ще започнем разглеждането на всеки от примерите, като построим графика. Изображението ще ни позволи да представим сложни форми като обединение на по-прости форми. Ако изграждането на графики и фигури върху тях ви създава затруднения, можете да изучавате раздела за основни елементарни функции, геометрична трансформация на графики на функции, както и конструиране на графики, докато изучавате функция.

Пример 1

Необходимо е да се определи площта на фигурата, която е ограничена от параболата y = - x 2 + 6 x - 5 и правите линии y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Решение

Нека начертаем линиите на графиката в декартовата координатна система.

На отсечката [ 1 ; 4 ] графиката на параболата y = - x 2 + 6 x - 5 е разположена над правата линия y = - 1 3 x - 1 2. В тази връзка, за да получим отговора, използваме формулата, получена по-рано, както и метода за изчисляване на определения интеграл, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Отговор: S(G) = 13

Нека да разгледаме по-сложен пример.

Пример 2

Необходимо е да се изчисли площта на фигурата, която е ограничена от линиите y = x + 2, y = x, x = 7.

Решение

В този случай имаме само една права линия, разположена успоредно на оста x. Това е x = 7. Това изисква сами да намерим втората граница на интеграция.

Нека построим графика и върху нея да начертаем линиите, дадени в постановката на задачата.

Имайки графиката пред очите си, лесно можем да определим, че долната граница на интегриране ще бъде абсцисата на пресечната точка на графиката на правата линия y = x и полупараболата y = x + 2. За намиране на абсцисата използваме равенствата:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Оказва се, че абсцисата на пресечната точка е x = 2.

Обръщаме внимание, че в общ примерна чертежа линиите y = x + 2, y = x се пресичат в точката (2; 2), така че такива подробни изчисления може да изглеждат ненужни. Донесохме това тук подробно решениесамо защото има повече трудни случаирешението може да не е толкова очевидно. Това означава, че винаги е по-добре да се изчислят координатите на пресечната точка на линиите аналитично.

На интервала [ 2 ; 7] графиката на функцията y = x се намира над графиката на функцията y = x + 2. Нека приложим формулата за изчисляване на площта:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Отговор: S (G) = 59 6

Пример 3

Необходимо е да се изчисли площта на фигурата, която е ограничена от графиките на функциите y = 1 x и y = - x 2 + 4 x - 2.

Решение

Нека начертаем линиите на графиката.

Нека дефинираме границите на интеграцията. За да направите това, ние определяме координатите на точките на пресичане на линиите, като приравняваме изразите 1 x и - x 2 + 4 x - 2. При условие, че x не е нула, равенството 1 x = - x 2 + 4 x - 2 става еквивалентно на уравнение от трета степен - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 с цели коефициенти. За да опресните паметта си за алгоритъма за решаване на такива уравнения, можем да се обърнем към раздела „Решаване на кубични уравнения“.

Коренът на това уравнение е x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Разделяйки израза - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 на бинома x - 1, получаваме: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Можем да намерим останалите корени от уравнението x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Намерихме интервала x ∈ 1; 3 + 13 2, в която фигурата G се съдържа над синята и под червената линия. Това ни помага да определим площта на фигурата:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Отговор: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Пример 4

Необходимо е да се изчисли площта на фигурата, която е ограничена от кривите y = x 3, y = - log 2 x + 1 и абсцисната ос.

Решение

Нека начертаем всички линии на графиката. Можем да получим графиката на функцията y = - log 2 x + 1 от графиката y = log 2 x, ако я позиционираме симетрично спрямо оста x и я преместим с една единица нагоре. Уравнението на оста x е y = 0.

Нека маркираме точките на пресичане на линиите.

Както се вижда от фигурата, графиките на функциите y = x 3 и y = 0 се пресичат в точката (0; 0). Това се случва, защото x = 0 е единственият реален корен на уравнението x 3 = 0.

x = 2 е единственият корен на уравнението - log 2 x + 1 = 0, така че графиките на функциите y = - log 2 x + 1 и y = 0 се пресичат в точката (2; 0).

x = 1 е единственият корен на уравнението x 3 = - log 2 x + 1 . В тази връзка графиките на функциите y = x 3 и y = - log 2 x + 1 се пресичат в точката (1; 1). Последното твърдение може да не е очевидно, но уравнението x 3 = - log 2 x + 1 не може да има повече от един корен, тъй като функцията y = x 3 е строго нарастваща, а функцията y = - log 2 x + 1 е строго намаляващ.

По-нататъшното решение включва няколко опции.

Вариант #1

Можем да си представим фигурата G като сбор от два криволинейни трапеца, разположени над оста x, първият от които е разположен под средната линия на сегмента x ∈ 0; 1, а втората е под червената линия на отсечката x ∈ 1; 2. Това означава, че площта ще бъде равна на S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Вариант №2

Фигура G може да бъде представена като разлика между две фигури, първата от които е разположена над оста x и под синята линия на сегмента x ∈ 0; 2, а втората между червената и синята линия на отсечката x ∈ 1; 2. Това ни позволява да намерим района, както следва:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

В този случай, за да намерите площта, ще трябва да използвате формула от вида S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Всъщност линиите, които ограничават фигурата, могат да бъдат представени като функции на аргумента y.

Нека решим уравненията y = x 3 и - log 2 x + 1 по отношение на x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Получаваме необходимата площ:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Отговор: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Пример 5

Необходимо е да се изчисли площта на фигурата, която е ограничена от линиите y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Решение

Ще начертаем линия на графиката с червена линия, дадена от функцията y = x. Ще начертаем линията y = - 1 2 x + 4 в синьо, а линията y = 2 3 x - 3 в черно.

Нека маркираме пресечните точки.

Нека намерим пресечните точки на графиките на функциите y = x и y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Проверка: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 не е решението на уравнението x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 е решението на уравнението ⇒ (4; 2) пресечна точка i y = x и y = - 1 2 x + 4

Нека намерим пресечната точка на графиките на функциите y = x и y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Проверка: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 е решението на уравнението ⇒ (9 ; 3) точка a s y = x и y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Няма решение на уравнението

Нека намерим пресечната точка на правите y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) пресечна точка y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3

Метод №1

Нека си представим площта на желаната фигура като сбор от площите на отделните фигури.

Тогава площта на фигурата е:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Метод № 2

Площта на оригиналната фигура може да бъде представена като сбор от две други фигури.

След това решаваме уравнението на линията спрямо x и едва след това прилагаме формулата за изчисляване на площта на фигурата.

y = x ⇒ x = y 2 червена линия y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 черна линия y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Така че площта е:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Както можете да видите, стойностите са еднакви.

Отговор: S (G) = 11 3

Резултати

За да намерите областта на фигура, която е ограничена дадени линиитрябва да построим прави в равнината, да намерим техните пресечни точки и да приложим формулата, за да намерим площта. В този раздел разгледахме най-често срещаните варианти на задачи.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура

Нека да преминем към разглеждане на приложенията на интегралното смятане. В този урок ще анализираме типичната и най-често срещана задача – как да използваме определен интеграл за изчисляване на площта на равнинна фигура. И накрая, тези, които търсят смисъл във висшата математика - дано го намерят. Човек никога не знае. Ще трябва да го доближим в живота парцел за лятна вилаелементарни функции и намиране на нейната площ с помощта на определен интеграл.

За да усвоите успешно материала, трябва:

1) Разберете неопределен интегралпоне на средно ниво. Следователно манекените трябва първо да прочетат урока не.

2) Да може да приложи формулата на Нютон-Лайбниц и да изчисли определения интеграл. Настройте топло приятелски отношенияс определени интеграли можете да намерите на страницата Определен интеграл. Примери за решения.

Всъщност, за да намерите площта на фигура, нямате нужда от толкова много познания за неопределения и определен интеграл. Задачата „изчисляване на площта с помощта на определен интеграл“ винаги включва изграждане на чертеж, много повече актуален въпросще бъдат вашите знания и умения в рисуването. В тази връзка е полезно да опресните паметта си на графиките на основните елементарни функции, и като минимум да могат да конструират права линия, парабола и хипербола. Това може да стане (за мнозина е необходимо) с помощта на методически материали статии за геометрични трансформации на графики.

Всъщност всеки е запознат със задачата за намиране на лицето с помощта на определен интеграл още от училище и няма да отидем много по-далеч от училищна програма. Тази статия може изобщо да не съществува, но факт е, че проблемът възниква в 99 от 100 случая, когато ученик страда от омразно училище и ентусиазирано овладява курс по висша математика.

Материалите на този семинар са представени просто, подробно и с минимум теория.

Нека започнем с извит трапец.

Криволинеен трапеце плоска фигура, ограничена от ос, прави линии и графиката на функция, непрекъсната на интервал, който не променя знака на този интервал. Нека тази фигура се намира не по-нискоос x:

Тогава площта на криволинейния трапец е числено равна на определен интеграл. Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение. В час Определен интеграл. Примери за решенияКазах, че определен интеграл е число. И сега е време да заявя още един полезен факт. От гледна точка на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩ.

т.е. определеният интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на определена фигура. Например, разгледайте определения интеграл. Подинтегралната функция определя крива на равнината, разположена над оста (желаещите могат да направят чертеж), а самият определен интеграл е числен равна на площсъответстващ извит трапец.

Пример 1

Това е типично изявление за присвояване. Първата и най-важна точка в решението е изграждането на чертеж. Освен това чертежът трябва да бъде конструиран ДЯСНО.

Когато конструирате чертеж, препоръчвам следния ред: на първо времепо-добре е да се конструират всички прави линии (ако съществуват) и само Тогава– параболи, хиперболи, графики на други функции. По-изгодно е да се изграждат графики на функции точка по точка, техниката на изграждане точка по точка можете да намерите в референтния материал Графики и свойства на елементарни функции. Там можете да намерите и много полезен материал за нашия урок - как бързо да построим парабола.

В този проблем решението може да изглежда така.
Нека начертаем чертежа (обърнете внимание, че уравнението дефинира оста):

Няма да засенчвам извития трапец, тук е очевидно за каква област говорим. Решението продължава така:

На сегмента е разположена графиката на функцията над оста, Ето защо:

отговор:

Който има затруднения с изчисляването на определения интеграл и прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц , вижте лекцията Определен интеграл. Примери за решения.

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай ние броим броя на клетките в чертежа „на око“ - добре, ще има около 9, изглежда е вярно. Абсолютно ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, то очевидно е, че някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът е отрицателен, значи и задачата е решена неправилно.

Пример 2

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии , и ос

Това е пример, който можете да решите сами. Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Какво да направите, ако се намира извитият трапец под оста?

Пример 3

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: Да направим рисунка:

Ако се намира извит трапец под оста(или поне не по-високодадена ос), тогава неговата площ може да се намери с помощта на формулата:
В този случай:

внимание! Не трябва да се бъркат двата типа задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите просто определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да е отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що обсъдената формула.

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и следователно от най-простите училищни задачи преминаваме към по-смислени примери.

Пример 4

Намерете площта на равнинна фигура, ограничена от линии, .

Решение: Първо трябва да завършите чертежа. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от точките на пресичане на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и правата. Това може да стане по два начина. Първият метод е аналитичен. Решаваме уравнението:

Това означава, че долната граница на интегриране е , а горната граница на интегриране е .
Ако е възможно, по-добре е да не използвате този метод..

Много по-изгодно и по-бързо е да се изграждат линии точка по точка, а границите на интеграция стават ясни „от само себе си“. Техниката за конструиране точка по точка за различни графики е разгледана подробно в помощта Графики и свойства на елементарни функции. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на граници все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или подробната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). И ние също ще разгледаме такъв пример.

Нека се върнем към нашата задача: по-рационално е първо да построим права линия и едва след това парабола. Да направим чертежа:

Повтарям, че при поточковото конструиране границите на интеграция най-често се откриват „автоматично“.

А сега и работещата формула: Ако има някаква непрекъсната функция на сегмента по-голямо или равно нанякаква непрекъсната функция , тогава площта на фигурата, ограничена от графиките на тези функции и линиите , , може да се намери с помощта на формулата:

Тук вече не е нужно да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста, и, грубо казано, има значение коя графика е ПО-ВИСОКА(спрямо друга графика), и кое е ПО-ДОЛУ.

В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Завършеното решение може да изглежда така:

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.
На сегмента, съгласно съответната формула:

отговор:

Всъщност училищната формула за площта на криволинейния трапец в долната полуравнина (вижте прост пример № 3) е специален случайформули . Тъй като оста е определена от уравнението, и графиката на функцията е разположена не по-високооси, тогава

А сега няколко примера за вашето собствено решение

Пример 5

Пример 6

Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите , .

При решаване на задачи, включващи изчисляване на площ с помощта на определен интеграл, понякога се случва забавна случка. Чертежът е направен правилно, изчисленията са правилни, но поради невнимание... беше намерена зоната на грешната фигура, точно така твоят смирен слуга се прецака няколко пъти. Ето един случай от реалния живот:

Пример 7

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , , .

Решение: Първо, нека направим чертеж:

...Ех, рисунката излезе скапана, но май всичко се чете.

Фигурата, чиято площ трябва да намерим, е оцветена в синьо(погледнете внимателно състоянието - колко е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, често се случва „бъг“, че трябва да намерите областта на фигура, която е засенчена в зелено!

Този пример е полезен и с това, че изчислява площта на фигура с помощта на два определени интеграла. наистина:

1) На сегмента над оста има графика на права линия;

2) На сегмента над оста има графика на хипербола.

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да бъдат добавени, следователно:

отговор:

Да преминем към друга смислена задача.

Пример 8

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии,
Нека представим уравненията в "училищна" форма и да направим чертеж точка по точка:

От чертежа става ясно, че нашата горна граница е „добра“: .
Но каква е долната граница?! Ясно е, че това не е цяло число, но какво е? може би Но къде е гаранцията, че чертежът е направен с перфектна точност, може да се окаже, че... Или корена. Ами ако построим графиката неправилно?

В такива случаи трябва да отделите допълнително време и да изясните аналитично границите на интеграцията.

Нека намерим пресечните точки на права линия и парабола.
За да направим това, решаваме уравнението:


,

Наистина,.

По-нататъшното решение е тривиално, основното е да не се бъркате в заместванията и знаците тук не са най-простите.

На сегмента , по съответната формула:

отговор:

Е, за да завършим урока, нека разгледаме още две трудни задачи.

Пример 9

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , ,

Решение: Нека изобразим тази фигура на чертежа.

По дяволите, забравих да подпиша графика и, съжалявам, не исках да преработвам снимката. Не е ден за теглене, накратко, днес е денят =)

За изграждането точка по точка трябва да знаете външен видсинусоиди (и като цяло е полезно да се знае графики на всички елементарни функции), както и някои синусови стойности, те могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица. В някои случаи (както в този случай) е възможно да се изгради схематичен чертеж, на който графиките и границите на интегриране трябва да бъдат фундаментално правилно показани.

Тук няма проблеми с границите на интегриране, те следват директно от условието: „x“ се променя от нула на „pi“. Нека вземем още едно решение:

На сегмента графиката на функцията е разположена над оста, следователно: