Σε αυτό το άρθρο, θα μιλήσουμε για τη μέθοδο μήτρας για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, θα βρούμε τον ορισμό της και θα δώσουμε παραδείγματα της λύσης.
Ορισμός 1
Μέθοδος αντίστροφης μήτρας είναι η μέθοδος που χρησιμοποιείται για την επίλυση SLAE όταν ο αριθμός των αγνώστων είναι ίσος με τον αριθμό των εξισώσεων.
Παράδειγμα 1
Βρείτε λύση σε σύστημα n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n
Προβολή εγγραφής μήτρας : A × X = B
όπου A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n είναι ο πίνακας του συστήματος.
X = x 1 x 2 ⋮ x n - στήλη αγνώστων,
B = b 1 b 2 ⋮ b n - στήλη ελεύθερων συντελεστών.
Από την εξίσωση που πήραμε, πρέπει να εκφράσουμε το Χ. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης του πίνακα στα αριστερά με A - 1:
A - 1 × A × X = A - 1 × B .
Αφού A - 1 × A = E, τότε E × X = A - 1 × B ή X = A - 1 × B.
Σχόλιο
Ο αντίστροφος πίνακας προς τον πίνακα Α έχει δικαίωμα ύπαρξης μόνο εάν η συνθήκη d e t A δεν είναι ίση με μηδέν. Επομένως, κατά την επίλυση SLAE με τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα, πρώτα απ 'όλα, βρίσκεται το d e t A.
Στην περίπτωση που το d e t A δεν είναι ίσο με μηδέν, το σύστημα έχει μόνο μία λύση: χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα. Αν d e t A = 0, τότε το σύστημα δεν μπορεί να λυθεί με αυτή τη μέθοδο.
Παράδειγμα επίλυσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα
Παράδειγμα 2Επιλύουμε το SLAE με τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα:
2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2
Πώς να αποφασίσετε;
- Γράφουμε το σύστημα με τη μορφή εξίσωσης πίνακα Α X = B , όπου
A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2.
- Εκφράζουμε από αυτή την εξίσωση Χ:
- Βρίσκουμε την ορίζουσα του πίνακα Α:
d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25
Το d e t Α δεν είναι ίσο με 0, επομένως, η μέθοδος λύσης αντίστροφης μήτρας είναι κατάλληλη για αυτό το σύστημα.
- Βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα A - 1 χρησιμοποιώντας τον πίνακα ένωσης. Υπολογίζουμε τις αλγεβρικές προσθήκες A i j στα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα A:
A 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,
A 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,
A 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,
A 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,
A 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,
A 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,
A 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,
A 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,
A 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.
- Καταγράφουμε τον πίνακα ένωσης A * , ο οποίος αποτελείται από αλγεβρικά συμπληρώματα του πίνακα A:
A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0
- Γράφουμε τον αντίστροφο πίνακα σύμφωνα με τον τύπο:
A - 1 \u003d 1 d e t A (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,
- Πολλαπλασιάζουμε τον αντίστροφο πίνακα A - 1 με τη στήλη των ελεύθερων όρων B και παίρνουμε τη λύση του συστήματος:
X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1
Απάντηση : x 1 = - 1; x 2 \u003d 0; x 3 = 1
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας nης τάξης
Ο πίνακας A -1 ονομάζεται αντίστροφη μήτρασε σχέση με τον πίνακα A, εάν A * A -1 = E, όπου E είναι ο πίνακας ταυτότητας της νης τάξης.
Μήτρα ταυτότητας- ένας τέτοιος τετράγωνος πίνακας, στον οποίο όλα τα στοιχεία κατά μήκος της κύριας διαγωνίου, που περνούν από την επάνω αριστερή γωνία στην κάτω δεξιά γωνία, είναι ένα και τα υπόλοιπα είναι μηδενικά, για παράδειγμα:
αντίστροφη μήτραμπορεί να υπάρχει μόνο για τετράγωνους πίνακεςεκείνοι. για τους πίνακες που έχουν τον ίδιο αριθμό σειρών και στηλών.
Θεώρημα Συνθήκης Ύπαρξης Αντίστροφου Πίνακα
Για να έχει μια μήτρα αντίστροφη μήτρα, είναι απαραίτητο και επαρκές να είναι μη εκφυλισμένος.
Καλείται ο πίνακας A = (A1, A2,...A n). μη εκφυλισμένοςαν τα διανύσματα στηλών είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων στήλης ενός πίνακα ονομάζεται κατάταξη του πίνακα. Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι για να υπάρχει ένας αντίστροφος πίνακας, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα να είναι ίση με τη διάστασή του, δηλ. r = n.
Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα
- Γράψτε τον πίνακα Α στον πίνακα για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss και στα δεξιά (στη θέση των δεξιών τμημάτων των εξισώσεων) αντιστοιχίστε τον πίνακα Ε σε αυτόν.
- Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Jordan, φέρτε τον πίνακα A σε έναν πίνακα που αποτελείται από μεμονωμένες στήλες. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να μετασχηματιστεί ταυτόχρονα ο πίνακας Ε.
- Εάν είναι απαραίτητο, αναδιατάξτε τις σειρές (εξισώσεις) του τελευταίου πίνακα έτσι ώστε ο πίνακας ταυτότητας Ε να λαμβάνεται κάτω από τον πίνακα Α του αρχικού πίνακα.
- Γράψτε τον αντίστροφο πίνακα A -1, ο οποίος βρίσκεται στον τελευταίο πίνακα κάτω από τον πίνακα E του αρχικού πίνακα.
Για τον πίνακα A, βρείτε τον αντίστροφο πίνακα A -1
Λύση: Καταγράφουμε τον πίνακα A και στα δεξιά εκχωρούμε τον πίνακα ταυτότητας E. Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Jordan, ανάγουμε τον πίνακα A στον πίνακα ταυτότητας E. Οι υπολογισμοί φαίνονται στον Πίνακα 31.1.
Ας ελέγξουμε την ορθότητα των υπολογισμών πολλαπλασιάζοντας τον αρχικό πίνακα Α και τον αντίστροφο πίνακα Α -1.
Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του πίνακα, λαμβάνεται ο πίνακας ταυτότητας. Επομένως, οι υπολογισμοί είναι σωστοί.
Απάντηση: 
Επίλυση εξισώσεων μήτρας
Οι εξισώσεις μήτρας μπορούν να μοιάζουν με:
AX = B, XA = B, AXB = C,
όπου A, B, C δίνονται πίνακες, X είναι ο επιθυμητός πίνακας.
Οι εξισώσεις μήτρας λύνονται πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση με αντίστροφους πίνακες.
Για παράδειγμα, για να βρείτε τον πίνακα από μια εξίσωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτήν την εξίσωση επί στα αριστερά.
Επομένως, για να βρείτε μια λύση στην εξίσωση, πρέπει να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα και να τον πολλαπλασιάσετε με τον πίνακα στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.
Άλλες εξισώσεις λύνονται παρόμοια.
Να λύσετε την εξίσωση AX = B αν 
Απόφαση: Εφόσον το αντίστροφο του πίνακα είναι ίσο (βλ. παράδειγμα 1)
Μέθοδος matrix στην οικονομική ανάλυση
Μαζί με άλλα βρίσκουν και εφαρμογή μεθόδους μήτρας. Αυτές οι μέθοδοι βασίζονται σε γραμμική άλγεβρα και διανυσματική μήτρα. Τέτοιες μέθοδοι χρησιμοποιούνται για τους σκοπούς της ανάλυσης πολύπλοκων και πολυδιάστατων οικονομικών φαινομένων. Τις περισσότερες φορές, αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται όταν είναι απαραίτητο να συγκριθεί η λειτουργία των οργανισμών και τα δομικά τους τμήματα.
Κατά τη διαδικασία εφαρμογής μεθόδων ανάλυσης μήτρας, μπορούν να διακριθούν διάφορα στάδια.
Στο πρώτο στάδιοπραγματοποιείται ο σχηματισμός ενός συστήματος οικονομικών δεικτών και στη βάση του καταρτίζεται ένας πίνακας αρχικών δεδομένων, ο οποίος είναι ένας πίνακας στον οποίο εμφανίζονται οι αριθμοί του συστήματος στις επιμέρους γραμμές του (i = 1,2,....,n), και κατά μήκος των κάθετων γραφημάτων - αριθμοί δεικτών (j = 1,2,....,m).
Στο δεύτερο στάδιογια κάθε κάθετη στήλη, αποκαλύπτεται η μεγαλύτερη από τις διαθέσιμες τιμές των δεικτών, η οποία λαμβάνεται ως μονάδα.
Μετά από αυτό, όλα τα ποσά που αντικατοπτρίζονται σε αυτή τη στήλη διαιρούνται με τη μεγαλύτερη τιμή και σχηματίζεται ένας πίνακας τυποποιημένων συντελεστών.
Στο τρίτο στάδιοόλα τα συστατικά του πίνακα είναι τετράγωνα. Εάν έχουν διαφορετική σημασία, τότε σε κάθε δείκτη του πίνακα εκχωρείται ένας συγκεκριμένος συντελεστής στάθμισης κ. Η αξία του τελευταίου καθορίζεται από ειδικό.
Στο τελευταίο τέταρτο στάδιοβρέθηκαν τιμές βαθμολογιών Rjομαδοποιούνται με αύξουσα ή φθίνουσα σειρά.
Οι παραπάνω μέθοδοι μήτρας θα πρέπει να χρησιμοποιούνται, για παράδειγμα, σε μια συγκριτική ανάλυση διαφόρων επενδυτικών σχεδίων, καθώς και στην αξιολόγηση άλλων δεικτών οικονομικής απόδοσης των οργανισμών.
Μέθοδος αντίστροφης μήτραςδεν είναι δύσκολο αν γνωρίζετε τις γενικές αρχές της εργασίας με εξισώσεις πινάκων και, φυσικά, μπορείτε να εκτελέσετε στοιχειώδεις αλγεβρικές πράξεις.
Επίλυση του συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα. Παράδειγμα.
Είναι πιο βολικό να κατανοήσουμε τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα χρησιμοποιώντας ένα καλό παράδειγμα. Ας πάρουμε ένα σύστημα εξισώσεων:
Το πρώτο βήμα που πρέπει να γίνει για να λυθεί αυτό το σύστημα εξισώσεων είναι να βρεθεί η ορίζουσα. Επομένως, μετατρέπουμε το σύστημα των εξισώσεων μας στον ακόλουθο πίνακα:
Και βρείτε την επιθυμητή ορίζουσα:
Ο τύπος που χρησιμοποιείται για την επίλυση εξισώσεων μήτρας είναι ο ακόλουθος:
Έτσι, για να υπολογίσουμε το X, πρέπει να προσδιορίσουμε την τιμή του πίνακα A-1 και να τον πολλαπλασιάσουμε με b. Μια άλλη φόρμουλα θα μας βοηθήσει σε αυτό:
Στο σε αυτή την περίπτωση θα είναι μεταφερόμενος πίνακας- δηλαδή το ίδιο, πρωτότυπο, αλλά γραμμένο όχι σε σειρές, αλλά σε στήλες.
Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι μέθοδος αντίστροφης μήτρας, όπως η μέθοδος του Cramer, είναι κατάλληλο μόνο για συστήματα στα οποία η ορίζουσα είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από το μηδέν. Εάν η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν, πρέπει να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Gauss.
Το επόμενο βήμα είναι η σύνταξη της μήτρας των ανηλίκων, η οποία είναι το ακόλουθο σχήμα:
Ως αποτέλεσμα, πήραμε τρεις πίνακες - δευτερεύοντες, αλγεβρικά συμπληρώματα και έναν μετατιθέμενο πίνακα αλγεβρικών συμπληρωμάτων. Τώρα μπορείτε να προχωρήσετε στην πραγματική μεταγλώττιση του αντίστροφου πίνακα. Γνωρίζουμε ήδη τη φόρμουλα. Για το παράδειγμά μας, θα μοιάζει με αυτό.
Μέθοδος μήτρας για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων
Θεωρήστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων της ακόλουθης μορφής:
$\left\(\begin(array)(c) (a_(11) x_(1) +a_(12) x_(2) +...+a_(1n) x_(n) =b_(1) ) \\ (a_(21) x_(1) +a_(22) x_(2) +...+a_(2n) x_(n) =b_(2) ) \\ (...) \\ (a_ (n1) x_(1) +a_(n2) x_(2) +...+a_(nn) x_(n) =b_(n) ) \end(πίνακας)\δεξιά. .$
Οι αριθμοί $a_(ij) (i=1..n,j=1..n)$ είναι οι συντελεστές του συστήματος, οι αριθμοί $b_(i) (i=1..n)$ είναι οι ελεύθεροι όροι .
Ορισμός 1
Στην περίπτωση που όλοι οι ελεύθεροι όροι είναι ίσοι με μηδέν, το σύστημα ονομάζεται ομοιογενές, διαφορετικά - ανομοιογενές.
Κάθε SLAE μπορεί να συσχετιστεί με πολλούς πίνακες και το σύστημα μπορεί να γραφτεί στη λεγόμενη μορφή matrix.
Ορισμός 2
Ο πίνακας συντελεστών ενός συστήματος ονομάζεται πίνακας συστήματος και συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα $A$.
Η στήλη των ελεύθερων όρων σχηματίζει ένα διάνυσμα στήλης, το οποίο συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα $B$ και ονομάζεται πίνακας ελεύθερων όρων.
Οι άγνωστες μεταβλητές σχηματίζουν ένα διάνυσμα στήλης, το οποίο, κατά κανόνα, συμβολίζεται με το γράμμα $X$ και ονομάζεται πίνακας αγνώστων.
Οι πίνακες που περιγράφονται παραπάνω είναι:
$A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & ( a_(22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (...) & (a_(nn) ) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (b_(1) ) \ \ (b_(2) ) \\ (...) \\ (b_(n) ) \end(array)\right),X=\left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (...) \\ (x_(n) ) \end(πίνακας)\δεξιά).$
Χρησιμοποιώντας πίνακες, το SLAE μπορεί να ξαναγραφτεί ως $A\cdot X=B$. Ένας τέτοιος συμβολισμός ονομάζεται συχνά εξίσωση πίνακα.
Σε γενικές γραμμές, κάθε SLAE μπορεί να γραφτεί σε μορφή πίνακα.
Παραδείγματα επίλυσης συστήματος με χρήση αντίστροφου πίνακα
Παράδειγμα 1
Dana SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (3x_(1) -2x_(2) +x_(3) -x_(4) =3) \\ (x_(1) -12x_(2 ) -x_(3) -x_(4) =7) \\ (2x_(1) -3x_(2) +x_(3) -3x_(4) =5) \end(array)\right.$.Write σύστημα σε μορφή μήτρας.
Απόφαση:
$A=\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1 ) \\ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(array)\right),X=\left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \ end(array)\right).$
$\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) \ \ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_( 2) ) \\ (x_(3) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(array)\ δεξιά) $
Στην περίπτωση που ο πίνακας του συστήματος είναι τετράγωνος, το SLAE μπορεί να λύσει τις εξισώσεις με τρόπο μήτρας.
Με δεδομένη την εξίσωση πίνακα $A\cdot X=B$, μπορούμε να εκφράσουμε $X$ από αυτήν με τον ακόλουθο τρόπο:
$A^(-1) \cdot A\cdot X=A^(-1) \cdot B$
$A^(-1) \cdot A=E$ (ιδιότητα προϊόντος μήτρας)
$E\cdot X=A^(-1) \cdot B$
$E\cdot X=X$ (ιδιότητα προϊόντος μήτρας)
$X=A^(-1) \cdot B$
Αλγόριθμος για την επίλυση συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων με χρήση αντίστροφου πίνακα:
- γράψτε το σύστημα σε μορφή μήτρας.
- Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα του συστήματος.
- Εάν η ορίζουσα του πίνακα συστήματος είναι μη μηδενική, τότε βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα.
- η λύση του συστήματος υπολογίζεται με τον τύπο $X=A^(-1) \cdot B$.
Εάν ο πίνακας του συστήματος έχει μια ορίζουσα που δεν είναι ίση με το μηδέν, τότε αυτό το σύστημα έχει μια μοναδική λύση που μπορεί να βρεθεί με τρόπο μήτρας.
Αν ο πίνακας του συστήματος έχει ορίζουσα ίση με μηδέν, τότε αυτό το σύστημα δεν μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του πίνακα.
Παράδειγμα 2
Dana SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (x_(1) +3x_(3) =26) \\ (-x_(1) +2x_(2) +x_(3) =52) \\ (3x_(1) +2x_(2) =52) \end(array)\right.$ Λύστε το SLAE χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα, αν είναι δυνατόν.
Απόφαση:
$A=\left(\begin(array)(cccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & ( 0) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (26) \\ (52) \\ (52) \end(array)\right),X=\left (\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \end(array)\right). $
Εύρεση της ορίζουσας του πίνακα του συστήματος:
$\begin(array)(l) (\det A=\left|\begin(array)(cccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & (0) \end(array)\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3 \cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0) \end(array)$ Εφόσον η ορίζουσα δεν είναι ίση με το μηδέν, ο πίνακας του συστήματος έχει αντίστροφο πίνακα και, επομένως, το σύστημα των εξισώσεων μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα. Η λύση που θα προκύψει θα είναι μοναδική.
Λύνουμε το σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα:
$A_(11) =(-1)^(1+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (2) & (1) \\ (2) & (0) \end(array) \right|=0-2=-2; A_(12) =(-1)^(1+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (-1) & (1) \\ (3) & (0) \end(array) \right|=-(0-3)=3;$
$A_(13) =(-1)^(1+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (-1) & (2) \\ (3) & (2) \end(array )\right|=-2-6=-8; A_(21) =(-1)^(2+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (0) \end(array)\ δεξιά|=-(0-6)=6; $
$A_(22) =(-1)^(2+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (3) & (0) \end(array) \right|=0-9=-9; A_(23) =(-1)^(2+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (0) \\ (3) & (2) \end(array)\ δεξιά|=-(2-0)=-2;$
$A_(31) =(-1)^(3+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (1) \end(array) \right|=0-6=-6; A_(32) =(-1)^(3+2) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (-1) & (1) \end(array) \right|=-(1+3)=-4;$
$A_(33) =(-1)^(3+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (0) \\ (-1) & (2) \end(array )\right|=2-0=2$
Ο επιθυμητός αντίστροφος πίνακας:
$A^(-1) =\frac(1)(-26) \cdot \left(\begin(array)(cccc) (-2) & (6) & (-6) \\ (3) & ( -9) & (-4) \\ (-8) & (-2) & (2) \end(array)\right)=\frac(1)(26) \cdot \left(\begin(array) (cccc) (2) & (-6) & (6) \\ (-3) & (9) & (4) \\ (8) & (2) & (-2) \end(πίνακας)\δεξιά )=\left(\begin(array)(cccc) (\frac(2)(26) ) & (\frac(-6)(26) ) & (\frac(6)(26) ) \\ (\ frac(-3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(4)(26) ) \\ (\frac(8)(26) ) & (\frac(2) (26) ) & (\frac(-2)(26) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\ frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ (-\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2) (13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1)(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\right).$
Βρείτε μια λύση στο σύστημα:
$X=\left(\begin(array)(cccc) (\frac(1)(13) ) & (-\frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ ( -\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2)(13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1 )(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (26) \\ (52) \\ (52 ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) (\frac(1)(13) \cdot 26-\frac(3)(13) \cdot 52+\frac(3 )(13) \cdot 52) \\ (-\frac(3)(26) \cdot 26+\frac(9)(26) \cdot 52+\frac(2)(13) \cdot 52) \\ (\frac(4)(13) \cdot 26+\frac(1)(13) \cdot 52-\frac(1)(13) \cdot 52) \end(array)\right )=\left(\ begin(array)(c) (2-12+12) \\ (-3+18+8) \\ (8+4-4) \end(array)\right)=\αριστερά (\begin(array) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$
$X=\left(\begin(array)(c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$ - επιθυμητή λύση του συστήματος εξισώσεων.
Στο πρώτο μέρος, εξετάσαμε κάποιο θεωρητικό υλικό, τη μέθοδο υποκατάστασης, καθώς και τη μέθοδο προσθήκης εξισώσεων συστήματος ανά όρο. Σε όλους όσους ήρθαν στον ιστότοπο μέσω αυτής της σελίδας, συνιστώ να διαβάσετε το πρώτο μέρος. Ίσως, κάποιοι επισκέπτες θα βρουν το υλικό πολύ απλό, αλλά κατά την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, έκανα μια σειρά από πολύ σημαντικές παρατηρήσεις και συμπεράσματα σχετικά με την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων γενικά.
Και τώρα θα αναλύσουμε τον κανόνα του Cramer, καθώς και τη λύση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα (μέθοδος matrix). Όλα τα υλικά παρουσιάζονται απλά, λεπτομερώς και ξεκάθαρα, σχεδόν όλοι οι αναγνώστες θα μπορούν να μάθουν πώς να λύνουν συστήματα χρησιμοποιώντας τις παραπάνω μεθόδους.
Αρχικά εξετάζουμε λεπτομερώς τον κανόνα του Cramer για ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων σε δύο άγνωστα. Για ποιο λόγο? «Τελικά, το απλούστερο σύστημα μπορεί να λυθεί με τη σχολική μέθοδο, με πρόσθεση κάθε όρου!
Το γεγονός είναι ότι ακόμη και αν μερικές φορές, αλλά υπάρχει μια τέτοια εργασία - να λύσετε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστους χρησιμοποιώντας τύπους Cramer. Δεύτερον, ένα απλούστερο παράδειγμα θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε πώς να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα του Cramer για μια πιο περίπλοκη περίπτωση - ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.
Επιπλέον, υπάρχουν συστήματα γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές, που καλό είναι να λυθούν με ακρίβεια σύμφωνα με τον κανόνα του Cramer!
Θεωρήστε το σύστημα των εξισώσεων
Στο πρώτο βήμα, υπολογίζουμε την ορίζουσα , ονομάζεται ο κύριος καθοριστικός παράγοντας του συστήματος.
Μέθοδος Gauss.
Εάν , τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, και για να βρούμε τις ρίζες, πρέπει να υπολογίσουμε δύο ακόμη ορίζοντες:
και
Στην πράξη, οι παραπάνω προσδιορισμοί μπορούν να υποδηλωθούν και με το λατινικό γράμμα.
Οι ρίζες της εξίσωσης βρίσκονται με τους τύπους:
,
Παράδειγμα 7
Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων 
Απόφαση: Βλέπουμε ότι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι αρκετά μεγάλοι, στη δεξιά πλευρά υπάρχουν δεκαδικά κλάσματα με κόμμα. Το κόμμα είναι ένας μάλλον σπάνιος επισκέπτης σε πρακτικές εργασίες στα μαθηματικά· πήρα αυτό το σύστημα από ένα οικονομετρικό πρόβλημα.
Πώς να λύσετε ένα τέτοιο σύστημα; Μπορείτε να προσπαθήσετε να εκφράσετε μια μεταβλητή σε σχέση με μια άλλη, αλλά σε αυτήν την περίπτωση, σίγουρα θα λάβετε τρομερά φανταχτερά κλάσματα, με τα οποία είναι εξαιρετικά άβολο να εργαστείτε και ο σχεδιασμός της λύσης θα φαίνεται απλώς απαίσιος. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τη δεύτερη εξίσωση με 6 και να αφαιρέσετε όρο προς όρο, αλλά εδώ θα εμφανιστούν τα ίδια κλάσματα.
Τι να κάνω? Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι φόρμουλες του Cramer έρχονται στη διάσωση.
;
;
Απάντηση: ,
Και οι δύο ρίζες έχουν άπειρες ουρές και βρίσκονται κατά προσέγγιση, κάτι που είναι αρκετά αποδεκτό (και ακόμη και συνηθισμένο) για οικονομικά προβλήματα.
Δεν χρειάζονται σχόλια εδώ, καθώς η εργασία επιλύεται σύμφωνα με έτοιμους τύπους, ωστόσο, υπάρχει μια προειδοποίηση. Όταν χρησιμοποιείτε αυτή τη μέθοδο, υποχρεωτικόςΤο τμήμα της ανάθεσης είναι το ακόλουθο τμήμα: "έτσι το σύστημα έχει μια μοναδική λύση". Διαφορετικά, ο αναθεωρητής μπορεί να σας τιμωρήσει επειδή δεν τηρείτε το θεώρημα του Cramer.
Δεν θα είναι περιττό να ελέγξετε, το οποίο είναι βολικό να πραγματοποιηθεί σε μια αριθμομηχανή: αντικαθιστούμε τις κατά προσέγγιση τιμές στην αριστερή πλευρά κάθε εξίσωσης του συστήματος. Ως αποτέλεσμα, με ένα μικρό σφάλμα, θα πρέπει να ληφθούν οι αριθμοί που βρίσκονται στη δεξιά πλευρά.
Παράδειγμα 8
Εκφράστε την απάντησή σας με συνηθισμένα ακατάλληλα κλάσματα. Κάντε έναν έλεγχο.
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση (παράδειγμα καλού σχεδιασμού και απάντηση στο τέλος του μαθήματος).
Στρέφουμε στην εξέταση του κανόνα του Cramer για ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους: 
Βρίσκουμε τον κύριο προσδιοριστικό παράγοντα του συστήματος: 
Αν , τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι ασυνεπές (δεν έχει λύσεις). Σε αυτή την περίπτωση, ο κανόνας του Cramer δεν θα βοηθήσει, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο Gauss.
Εάν , τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση και για να βρούμε τις ρίζες, πρέπει να υπολογίσουμε τρεις ακόμη ορίζοντες: 
, 
, 
Και τέλος, η απάντηση υπολογίζεται από τους τύπους: 
Όπως μπορείτε να δείτε, η περίπτωση "τρία με τρία" δεν διαφέρει ουσιαστικά από την περίπτωση "δύο προς δύο", η στήλη των ελεύθερων όρων "βαδίζει" διαδοχικά από αριστερά προς τα δεξιά κατά μήκος των στηλών της κύριας ορίζουσας.
Παράδειγμα 9
Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer. 
Απόφαση: Ας λύσουμε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer. 
, οπότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.
Απάντηση: 
.
Πράγματι, δεν υπάρχει κάτι ιδιαίτερο να σχολιάσουμε ξανά εδώ, δεδομένου ότι η απόφαση λαμβάνεται με έτοιμες φόρμουλες. Υπάρχουν όμως μερικές σημειώσεις.
Συμβαίνει ότι ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, λαμβάνονται "κακά" μη αναγώγιμα κλάσματα, για παράδειγμα: .
Προτείνω τον παρακάτω αλγόριθμο «θεραπείας». Εάν δεν υπάρχει υπολογιστής στο χέρι, κάνουμε το εξής:
1) Μπορεί να υπάρχει λάθος στους υπολογισμούς. Μόλις συναντήσετε μια «κακή» βολή, πρέπει αμέσως να ελέγξετε αν είναι η συνθήκη ξαναγραμμένη σωστά. Εάν η συνθήκη ξαναγραφτεί χωρίς σφάλματα, τότε πρέπει να υπολογίσετε εκ νέου τους ορίζοντες χρησιμοποιώντας την επέκταση σε μια άλλη σειρά (στήλη).
2) Εάν δεν βρέθηκαν σφάλματα ως αποτέλεσμα του ελέγχου, τότε πιθανότατα έγινε τυπογραφικό λάθος στην κατάσταση της ανάθεσης. Σε αυτή την περίπτωση, ήρεμα και ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ λύστε την εργασία μέχρι το τέλος, και στη συνέχεια φροντίστε να ελέγξετεκαι συντάσσεται σε καθαρό αντίγραφο μετά την απόφαση. Φυσικά, ο έλεγχος μιας κλασματικής απάντησης είναι μια δυσάρεστη εργασία, αλλά θα είναι ένα αφοπλιστικό επιχείρημα για τον δάσκαλο, ο οποίος, λοιπόν, του αρέσει πολύ να βάζει ένα μείον για κάθε κακό όπως. Ο τρόπος αντιμετώπισης των κλασμάτων περιγράφεται λεπτομερώς στην απάντηση για το Παράδειγμα 8.
Εάν έχετε έναν υπολογιστή στο χέρι, χρησιμοποιήστε ένα αυτοματοποιημένο πρόγραμμα για να τον ελέγξετε, το οποίο μπορείτε να το κατεβάσετε δωρεάν στην αρχή του μαθήματος. Παρεμπιπτόντως, είναι πιο πλεονεκτικό να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμα αμέσως (ακόμα και πριν ξεκινήσετε τη λύση), θα δείτε αμέσως το ενδιάμεσο βήμα στο οποίο κάνατε λάθος! Η ίδια αριθμομηχανή υπολογίζει αυτόματα τη λύση του συστήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο matrix.
Δεύτερη παρατήρηση. Κατά καιρούς υπάρχουν συστήματα στις εξισώσεις των οποίων λείπουν κάποιες μεταβλητές, για παράδειγμα: 
Εδώ στην πρώτη εξίσωση δεν υπάρχει μεταβλητή, στη δεύτερη δεν υπάρχει μεταβλητή. Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι πολύ σημαντικό να γράψετε σωστά και ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ τον κύριο προσδιοριστικό παράγοντα: 
– Τα μηδενικά τοποθετούνται στη θέση των μεταβλητών που λείπουν.
Παρεμπιπτόντως, είναι λογικό να ανοίγουμε ορίζουσες με μηδενικά στη σειρά (στήλη) στην οποία βρίσκεται το μηδέν, καθώς υπάρχουν αισθητά λιγότεροι υπολογισμοί.
Παράδειγμα 10
Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer. 
Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως (τελικό δείγμα και απάντηση στο τέλος του μαθήματος).
Για την περίπτωση ενός συστήματος 4 εξισώσεων με 4 αγνώστους, οι τύποι του Cramer γράφονται σύμφωνα με παρόμοιες αρχές. Μπορείτε να δείτε ένα ζωντανό παράδειγμα στο μάθημα Determinant Properties. Μείωση της σειράς της ορίζουσας - πέντε ορίζουσες 4ης τάξης είναι αρκετά επιλύσιμες. Αν και το έργο θυμίζει ήδη πολύ το παπούτσι καθηγητή στο στήθος ενός τυχερού μαθητή.
Λύση του συστήματος με χρήση του αντίστροφου πίνακα
Η μέθοδος του αντίστροφου πίνακα είναι ουσιαστικά μια ειδική περίπτωση εξίσωση μήτρας(Βλ. Παράδειγμα Νο. 3 του καθορισμένου μαθήματος).
Για να μελετήσετε αυτήν την ενότητα, πρέπει να είστε σε θέση να επεκτείνετε τις ορίζουσες, να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα και να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό πίνακα. Σχετικοί σύνδεσμοι θα δοθούν καθώς προχωρά η εξήγηση.
Παράδειγμα 11
Λύστε το σύστημα με τη μέθοδο matrix 
Απόφαση: Γράφουμε το σύστημα σε μορφή πίνακα:
, που 
Παρακαλούμε δείτε το σύστημα των εξισώσεων και τους πίνακες. Με ποια αρχή γράφουμε στοιχεία σε πίνακες, νομίζω ότι όλοι καταλαβαίνουν. Το μόνο σχόλιο: αν έλειπαν κάποιες μεταβλητές στις εξισώσεις, τότε θα έπρεπε να μπουν μηδενικά στις αντίστοιχες θέσεις του πίνακα.
Βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα με τον τύπο:
, όπου είναι ο μετατιθέμενος πίνακας αλγεβρικών συμπληρωμάτων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα .
Αρχικά, ας ασχοληθούμε με την ορίζουσα:
Εδώ η ορίζουσα επεκτείνεται κατά την πρώτη γραμμή.
Προσοχή! Εάν , τότε ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει και είναι αδύνατο να λυθεί το σύστημα με τη μέθοδο του πίνακα. Σε αυτή την περίπτωση, το σύστημα επιλύεται με την εξάλειψη αγνώστων (μέθοδος Gauss).
Τώρα πρέπει να υπολογίσετε 9 ανηλίκους και να τους γράψετε στη μήτρα των ανηλίκων 
Αναφορά:Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε την έννοια των διπλών δεικτών στη γραμμική άλγεβρα. Το πρώτο ψηφίο είναι ο αριθμός γραμμής στην οποία βρίσκεται το στοιχείο. Το δεύτερο ψηφίο είναι ο αριθμός της στήλης στην οποία βρίσκεται το στοιχείο: 
Δηλαδή, ένας διπλός δείκτης υποδεικνύει ότι το στοιχείο βρίσκεται στην πρώτη γραμμή, τρίτη στήλη, ενώ, για παράδειγμα, το στοιχείο βρίσκεται στην 3η σειρά, 2η στήλη