Σε αυτό το άρθρο, θα μιλήσουμε για τη μέθοδο μήτρας για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, θα βρούμε τον ορισμό της και θα δώσουμε παραδείγματα της λύσης.

Ορισμός 1

Μέθοδος αντίστροφης μήτρας είναι η μέθοδος που χρησιμοποιείται για την επίλυση SLAE όταν ο αριθμός των αγνώστων είναι ίσος με τον αριθμό των εξισώσεων.

Παράδειγμα 1

Βρείτε λύση σε σύστημα n γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Προβολή εγγραφής μήτρας : A × X = B

όπου A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n είναι ο πίνακας του συστήματος.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - στήλη αγνώστων,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - στήλη ελεύθερων συντελεστών.

Από την εξίσωση που πήραμε, πρέπει να εκφράσουμε το Χ. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης του πίνακα στα αριστερά με A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B .

Αφού A - 1 × A = E, τότε E × X = A - 1 × B ή X = A - 1 × B.

Σχόλιο

Ο αντίστροφος πίνακας προς τον πίνακα Α έχει δικαίωμα ύπαρξης μόνο εάν η συνθήκη d e t A δεν είναι ίση με μηδέν. Επομένως, κατά την επίλυση SLAE με τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα, πρώτα απ 'όλα, βρίσκεται το d e t A.

Στην περίπτωση που το d e t A δεν είναι ίσο με μηδέν, το σύστημα έχει μόνο μία λύση: χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα. Αν d e t A = 0, τότε το σύστημα δεν μπορεί να λυθεί με αυτή τη μέθοδο.

Παράδειγμα επίλυσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα

Παράδειγμα 2

Επιλύουμε το SLAE με τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Πώς να αποφασίσετε;

• Γράφουμε το σύστημα με τη μορφή εξίσωσης πίνακα Α X = B , όπου

A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2.

• Εκφράζουμε από αυτή την εξίσωση Χ:

• Βρίσκουμε την ορίζουσα του πίνακα Α:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

Το d e t Α δεν είναι ίσο με 0, επομένως, η μέθοδος λύσης αντίστροφης μήτρας είναι κατάλληλη για αυτό το σύστημα.

• Βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα A - 1 χρησιμοποιώντας τον πίνακα ένωσης. Υπολογίζουμε τις αλγεβρικές προσθήκες A i j στα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα A:

A 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

A 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,

A 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

A 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

A 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

A 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

A 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

A 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,

A 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.

• Καταγράφουμε τον πίνακα ένωσης A * , ο οποίος αποτελείται από αλγεβρικά συμπληρώματα του πίνακα A:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Γράφουμε τον αντίστροφο πίνακα σύμφωνα με τον τύπο:

A - 1 \u003d 1 d e t A (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• Πολλαπλασιάζουμε τον αντίστροφο πίνακα A - 1 με τη στήλη των ελεύθερων όρων B και παίρνουμε τη λύση του συστήματος:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Απάντηση : x 1 = - 1; x 2 \u003d 0; x 3 = 1

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Αυτή η ηλεκτρονική αριθμομηχανή λύνει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μήτρας. Δίνεται μια πολύ αναλυτική λύση. Για να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, επιλέξτε τον αριθμό των μεταβλητών. Επιλέξτε μια μέθοδο για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα. Στη συνέχεια, εισάγετε τα δεδομένα στα κελιά και κάντε κλικ στο κουμπί "Υπολογισμός".

×

Μια προειδοποίηση

Διαγραφή όλων των κελιών;

Κλείσιμο Clear

Οδηγίες εισαγωγής δεδομένων.Οι αριθμοί εισάγονται ως ακέραιοι αριθμοί (παραδείγματα: 487, 5, -7623 κ.λπ.), δεκαδικοί αριθμοί (π.χ. 67., 102,54 κ.λπ.) ή κλάσματα. Το κλάσμα πρέπει να πληκτρολογηθεί ως a/b, όπου το a και το b είναι ακέραιοι ή δεκαδικοί αριθμοί. Παραδείγματα 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, κ.λπ.

Μέθοδος μήτρας για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Θεωρήστε το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Λαμβάνοντας υπόψη τον ορισμό του αντίστροφου πίνακα, έχουμε ΕΝΑ −1 ΕΝΑ=μι, που μιείναι η μήτρα ταυτότητας. Επομένως, το (4) μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Έτσι, για να λυθεί το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων (1) (ή (2)), αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το αντίστροφο σε ΕΝΑμήτρα ανά διάνυσμα περιορισμού σι.

Παραδείγματα επίλυσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα

Παράδειγμα 1. Λύστε το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πίνακα:

Ας βρούμε το αντίστροφο του πίνακα Α με τη μέθοδο Jordan-Gauss. Στη δεξιά πλευρά της μήτρας ΕΝΑγράψτε τον πίνακα ταυτότητας:

Ας εξαιρέσουμε τα στοιχεία της 1ης στήλης του πίνακα κάτω από την κύρια διαγώνιο. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τις σειρές 2,3 με τη σειρά 1, πολλαπλασιαζόμενες με -1/3, -1/3, αντίστοιχα:

Ας εξαιρέσουμε τα στοιχεία της 2ης στήλης του πίνακα κάτω από την κύρια διαγώνιο. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τη γραμμή 3 με τη γραμμή 2 πολλαπλασιασμένη με -24/51:

Ας εξαιρέσουμε τα στοιχεία της 2ης στήλης του πίνακα πάνω από την κύρια διαγώνιο. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τη σειρά 1 με τη σειρά 2, πολλαπλασιαζόμενη με -3/17:

Διαχωρίστε τη δεξιά πλευρά της μήτρας. Ο προκύπτων πίνακας είναι το αντίστροφο του ΕΝΑ :

Μορφή μήτρας γραφής συστήματος γραμμικών εξισώσεων: τσεκούρι=β, που

Υπολογίστε όλα τα αλγεβρικά συμπληρώματα του πίνακα ΕΝΑ:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Ο αντίστροφος πίνακας υπολογίζεται από την παρακάτω παράσταση.

Σκεφτείτε σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων(ΑΡΓΑ) σχετικά nάγνωστος Χ 1 , Χ 2 , ..., Χ n :

Αυτό το σύστημα σε "διπλωμένη" μορφή μπορεί να γραφτεί ως εξής:

μικρό n i=1 ένα ij Χ ι = β Εγώ , i=1,2, ..., n.

Σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού πινάκων, το εξεταζόμενο σύστημα γραμμικών εξισώσεων μπορεί να γραφτεί μορφή μήτρας τσεκούρι=β, που

Μήτρα ΕΝΑ, του οποίου οι στήλες είναι οι συντελεστές για τους αντίστοιχους αγνώστους, και οι σειρές οι συντελεστές για τους αγνώστους στην αντίστοιχη εξίσωση λέγεται μήτρα συστήματος. μήτρα στήλης σι, του οποίου τα στοιχεία είναι τα σωστά μέρη των εξισώσεων του συστήματος, ονομάζεται πίνακας του δεξιού μέρους ή απλά δεξιά πλευρά του συστήματος. μήτρα στήλης Χ , του οποίου τα στοιχεία είναι άγνωστα άγνωστα, ονομάζεται λύση συστήματος.

Το σύστημα των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων γραμμένο ως τσεκούρι=β, είναι ένα εξίσωση μήτρας.

Αν η μήτρα του συστήματος μη εκφυλισμένος, τότε έχει έναν αντίστροφο πίνακα και μετά τη λύση του συστήματος τσεκούρι=βδίνεται από τον τύπο:

x=A -1 σι.

ΠαράδειγμαΛύστε το σύστημα μέθοδος μήτρας.

Απόφασηβρείτε τον αντίστροφο πίνακα για τον πίνακα συντελεστών του συστήματος

Υπολογίστε την ορίζουσα επεκτείνοντας την πρώτη σειρά:

Στο βαθμό που Δ ≠ 0 , τότε ΕΝΑ -1 υπάρχουν.

Ο αντίστροφος πίνακας βρίσκεται σωστά.

Ας βρούμε μια λύση στο σύστημα

Ως εκ τούτου, Χ 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Εξέταση:

7. Το θεώρημα Kronecker-Capelli για τη συμβατότητα συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.

Σύστημα γραμμικών εξισώσεωνμοιάζει με:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .

Εδώ δίνονται τα a i j και b i (i = ; j = ) και τα x j είναι άγνωστοι πραγματικοί αριθμοί. Χρησιμοποιώντας την έννοια του γινομένου πινάκων, μπορούμε να ξαναγράψουμε το σύστημα (5.1) με τη μορφή:

όπου A = (a i j) είναι ο πίνακας που αποτελείται από τους συντελεστές των αγνώστων του συστήματος (5.1), ο οποίος ονομάζεται μήτρα συστήματος, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - διανύσματα στήλης που αποτελούνται αντίστοιχα από άγνωστους x j και ελεύθερους όρους b i .

Παραγγελθείσα συλλογή nκαλούνται πραγματικοί αριθμοί (c 1 , c 2 ,..., c n). λύση συστήματος(5.1) εάν ως αποτέλεσμα της αντικατάστασης αυτών των αριθμών αντί των αντίστοιχων μεταβλητών x 1 , x 2 ,..., x n κάθε εξίσωση του συστήματος μετατραπεί σε αριθμητική ταυτότητα. με άλλα λόγια, αν υπάρχει ένα διάνυσμα C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T τέτοιο ώστε AC  B.

Το σύστημα (5.1) καλείται άρθρωση,ή διαλυτόςαν έχει τουλάχιστον μία λύση. Το σύστημα ονομάζεται ασύμβατες,ή αδιάλυτοςαν δεν έχει λύσεις.

,

που σχηματίζεται με την ανάθεση μιας στήλης ελεύθερων όρων στον πίνακα Α στα δεξιά, καλείται σύστημα εκτεταμένης μήτρας.

Το ερώτημα της συμβατότητας του συστήματος (5.1) λύνεται με το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα Kronecker-Capelli . Το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων είναι συνεπές αν και μόνο εάν οι τάξεις των πινάκων A και A συμπίπτουν, δηλ. r(A) = r(A) = r.

Για το σύνολο M των λύσεων του συστήματος (5.1), υπάρχουν τρεις δυνατότητες:

1) M =  (σε αυτή την περίπτωση το σύστημα είναι ασυνεπές).

2) Το M αποτελείται από ένα στοιχείο, δηλ. το σύστημα έχει μια μοναδική λύση (σε αυτή την περίπτωση το σύστημα ονομάζεται βέβαιος);

3) Το M αποτελείται από περισσότερα από ένα στοιχεία (τότε καλείται το σύστημα αβέβαιος). Στην τρίτη περίπτωση, το σύστημα (5.1) έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Το σύστημα έχει μοναδική λύση μόνο εάν r(A) = n. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των εξισώσεων δεν είναι μικρότερος από τον αριθμό των αγνώστων (mn). αν m>n, τότε οι εξισώσεις m-n είναι συνέπειες των υπολοίπων. Αν 0

Για να λύσουμε ένα αυθαίρετο σύστημα γραμμικών εξισώσεων, πρέπει να μπορούμε να λύσουμε συστήματα στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων, τα λεγόμενα Συστήματα τύπου Cramer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Τα συστήματα (5.3) επιλύονται με έναν από τους ακόλουθους τρόπους: 1) με τη μέθοδο Gauss ή με τη μέθοδο εξάλειψης αγνώστων. 2) σύμφωνα με τους τύπους του Cramer. 3) με τη μέθοδο matrix.

Παράδειγμα 2.12. Διερευνήστε το σύστημα εξισώσεων και λύστε το εάν είναι συμβατό:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Απόφαση.Γράφουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος:

 .

Ας υπολογίσουμε την κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος. Προφανώς, για παράδειγμα, το δευτερεύον δευτερεύον στην επάνω αριστερή γωνία = 7  0; τα ανήλικα τρίτης τάξης που το περιέχουν είναι ίσα με μηδέν:

Επομένως, η κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος είναι 2, δηλ. r(A) = 2. Για να υπολογίσετε την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα A, λάβετε υπόψη το οριακό δευτερεύον

Ως εκ τούτου, η κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα είναι r(A) = 3. Εφόσον r(A)  r(A), το σύστημα είναι ασυνεπές.

Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας nης τάξης

Ο πίνακας A -1 ονομάζεται αντίστροφη μήτρασε σχέση με τον πίνακα A, εάν A * A -1 = E, όπου E είναι ο πίνακας ταυτότητας της νης τάξης.

Μήτρα ταυτότητας- ένας τέτοιος τετράγωνος πίνακας, στον οποίο όλα τα στοιχεία κατά μήκος της κύριας διαγωνίου, που περνούν από την επάνω αριστερή γωνία στην κάτω δεξιά γωνία, είναι ένα και τα υπόλοιπα είναι μηδενικά, για παράδειγμα:

αντίστροφη μήτραμπορεί να υπάρχει μόνο για τετράγωνους πίνακεςεκείνοι. για τους πίνακες που έχουν τον ίδιο αριθμό σειρών και στηλών.

Θεώρημα Συνθήκης Ύπαρξης Αντίστροφου Πίνακα

Για να έχει μια μήτρα αντίστροφη μήτρα, είναι απαραίτητο και επαρκές να είναι μη εκφυλισμένος.

Καλείται ο πίνακας A = (A1, A2,...A n). μη εκφυλισμένοςαν τα διανύσματα στηλών είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων στήλης ενός πίνακα ονομάζεται κατάταξη του πίνακα. Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι για να υπάρχει ένας αντίστροφος πίνακας, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα να είναι ίση με τη διάστασή του, δηλ. r = n.

Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα

1. Γράψτε τον πίνακα Α στον πίνακα για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss και στα δεξιά (στη θέση των δεξιών τμημάτων των εξισώσεων) αντιστοιχίστε τον πίνακα Ε σε αυτόν.
2. Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Jordan, φέρτε τον πίνακα A σε έναν πίνακα που αποτελείται από μεμονωμένες στήλες. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να μετασχηματιστεί ταυτόχρονα ο πίνακας Ε.
3. Εάν είναι απαραίτητο, αναδιατάξτε τις σειρές (εξισώσεις) του τελευταίου πίνακα έτσι ώστε ο πίνακας ταυτότητας Ε να λαμβάνεται κάτω από τον πίνακα Α του αρχικού πίνακα.
4. Γράψτε τον αντίστροφο πίνακα A -1, ο οποίος βρίσκεται στον τελευταίο πίνακα κάτω από τον πίνακα E του αρχικού πίνακα.

Παράδειγμα 1

Για τον πίνακα A, βρείτε τον αντίστροφο πίνακα A -1

Λύση: Καταγράφουμε τον πίνακα A και στα δεξιά εκχωρούμε τον πίνακα ταυτότητας E. Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Jordan, ανάγουμε τον πίνακα A στον πίνακα ταυτότητας E. Οι υπολογισμοί φαίνονται στον Πίνακα 31.1.

Ας ελέγξουμε την ορθότητα των υπολογισμών πολλαπλασιάζοντας τον αρχικό πίνακα Α και τον αντίστροφο πίνακα Α -1.

Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του πίνακα, λαμβάνεται ο πίνακας ταυτότητας. Επομένως, οι υπολογισμοί είναι σωστοί.

Απάντηση:

Επίλυση εξισώσεων μήτρας

Οι εξισώσεις μήτρας μπορούν να μοιάζουν με:

AX = B, XA = B, AXB = C,

όπου A, B, C δίνονται πίνακες, X είναι ο επιθυμητός πίνακας.

Οι εξισώσεις μήτρας λύνονται πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση με αντίστροφους πίνακες.

Για παράδειγμα, για να βρείτε τον πίνακα από μια εξίσωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτήν την εξίσωση επί στα αριστερά.

Επομένως, για να βρείτε μια λύση στην εξίσωση, πρέπει να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα και να τον πολλαπλασιάσετε με τον πίνακα στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.

Άλλες εξισώσεις λύνονται παρόμοια.

Παράδειγμα 2

Να λύσετε την εξίσωση AX = B αν

Απόφαση: Εφόσον το αντίστροφο του πίνακα είναι ίσο (βλ. παράδειγμα 1)

Μέθοδος matrix στην οικονομική ανάλυση

Μαζί με άλλα βρίσκουν και εφαρμογή μεθόδους μήτρας. Αυτές οι μέθοδοι βασίζονται σε γραμμική άλγεβρα και διανυσματική μήτρα. Τέτοιες μέθοδοι χρησιμοποιούνται για τους σκοπούς της ανάλυσης πολύπλοκων και πολυδιάστατων οικονομικών φαινομένων. Τις περισσότερες φορές, αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται όταν είναι απαραίτητο να συγκριθεί η λειτουργία των οργανισμών και τα δομικά τους τμήματα.

Κατά τη διαδικασία εφαρμογής μεθόδων ανάλυσης μήτρας, μπορούν να διακριθούν διάφορα στάδια.

Στο πρώτο στάδιοπραγματοποιείται ο σχηματισμός ενός συστήματος οικονομικών δεικτών και στη βάση του καταρτίζεται ένας πίνακας αρχικών δεδομένων, ο οποίος είναι ένας πίνακας στον οποίο εμφανίζονται οι αριθμοί του συστήματος στις επιμέρους γραμμές του (i = 1,2,....,n), και κατά μήκος των κάθετων γραφημάτων - αριθμοί δεικτών (j = 1,2,....,m).

Στο δεύτερο στάδιογια κάθε κάθετη στήλη, αποκαλύπτεται η μεγαλύτερη από τις διαθέσιμες τιμές των δεικτών, η οποία λαμβάνεται ως μονάδα.

Μετά από αυτό, όλα τα ποσά που απεικονίζονται σε αυτήν τη στήλη διαιρούνται με τη μεγαλύτερη τιμή και σχηματίζεται ένας πίνακας τυποποιημένων συντελεστών.

Στο τρίτο στάδιοόλα τα συστατικά του πίνακα είναι τετράγωνα. Εάν έχουν διαφορετική σημασία, τότε σε κάθε δείκτη του πίνακα εκχωρείται ένας συγκεκριμένος συντελεστής στάθμισης κ. Η αξία του τελευταίου καθορίζεται από ειδικό.

Στο τελευταίο τέταρτο στάδιοβρέθηκαν τιμές βαθμολογιών Rjομαδοποιούνται με αύξουσα ή φθίνουσα σειρά.

Οι παραπάνω μέθοδοι μήτρας θα πρέπει να χρησιμοποιούνται, για παράδειγμα, σε μια συγκριτική ανάλυση διαφόρων επενδυτικών σχεδίων, καθώς και στην αξιολόγηση άλλων δεικτών οικονομικής απόδοσης των οργανισμών.

Σύμφωνα με τους τύπους του Cramer.

Μέθοδος Gauss;

Απόφαση: Το θεώρημα Kronecker-Capelli. Ένα σύστημα είναι συνεπές εάν και μόνο εάν η κατάταξη του πίνακα αυτού του συστήματος είναι ίση με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα του, δηλ. r(ΕΝΑ)=r(Α'1), που

Ο εκτεταμένος πίνακας του συστήματος έχει τη μορφή:

Πολλαπλασιάστε την πρώτη σειρά με ( –3 ), και το δεύτερο στις ( 2 ) στη συνέχεια προσθέστε τα στοιχεία της πρώτης σειράς στα αντίστοιχα στοιχεία της δεύτερης σειράς. Αφαιρέστε την τρίτη γραμμή από τη δεύτερη γραμμή. Στον προκύπτοντα πίνακα, η πρώτη σειρά παραμένει αμετάβλητη.

6 ) και αλλάξτε τη δεύτερη και την τρίτη γραμμή:

Πολλαπλασιάστε τη δεύτερη σειρά με ( –11 ) και προσθέστε στα αντίστοιχα στοιχεία της τρίτης σειράς.

Διαιρέστε τα στοιχεία της τρίτης σειράς με ( 10 ).

Ας βρούμε την ορίζουσα του πίνακα ΑΛΛΑ.

Ως εκ τούτου, r(ΕΝΑ)=3 . Εκτεταμένη κατάταξη μήτρας r(Α'1) ισούται επίσης με 3 , δηλ.

r(ΕΝΑ)=r(Α'1)=3 Þ το σύστημα είναι συμβατό.

1) Εξετάζοντας το σύστημα για συμβατότητα, ο επαυξημένος πίνακας μετασχηματίστηκε με τη μέθοδο Gauss.

Η μέθοδος Gauss είναι η εξής:

1. Φέρνοντας τον πίνακα σε τριγωνική μορφή, δηλαδή, τα μηδενικά πρέπει να είναι κάτω από την κύρια διαγώνιο (κίνηση προς τα εμπρός).

2. Από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε x 3και να το αντικαταστήσουμε με το δεύτερο, βρίσκουμε x 2, και γνωρίζοντας x 3, x 2συνδέοντάς τα στην πρώτη εξίσωση, βρίσκουμε x 1(αντίστροφη κίνηση).

Ας γράψουμε τον επαυξημένο πίνακα, μετασχηματισμένο με τη μέθοδο Gauss

ως σύστημα τριών εξισώσεων:

Þ x 3 \u003d 1

x 2 = x 3Þ x 3 \u003d 1

2x 1 \u003d 4 + x 2 + x 3Þ 2x 1 =4+1+1Þ

Þ 2x 1 =6 Þ x 1 \u003d 3

.

2) Λύνουμε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer: αν η ορίζουσα του συστήματος των εξισώσεων Δ είναι διαφορετική από το μηδέν, τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, η οποία βρίσκεται από τους τύπους

Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα του συστήματος Δ:

Επειδή η ορίζουσα του συστήματος είναι μη μηδενική, τότε σύμφωνα με τον κανόνα του Cramer, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση. Υπολογίζουμε τις ορίζουσες Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . Λαμβάνονται από την ορίζουσα του συστήματος Δ αντικαθιστώντας την αντίστοιχη στήλη με τη στήλη των ελεύθερων συντελεστών.

Βρίσκουμε τους αγνώστους χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Απάντηση: x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 1 .

3) Λύνουμε το σύστημα με λογισμό πίνακα, δηλαδή χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα.

A×X=B Þ X \u003d A -1 × B, που Α'1είναι ο αντίστροφος πίνακας προς ΑΛΛΑ,

στήλη δωρεάν μελών,

Matrix-στήλη αγνώστων.

Ο αντίστροφος πίνακας υπολογίζεται με τον τύπο:

που ρε- ορίζουσα μήτρας ΑΛΛΑ, Και ijείναι τα αλγεβρικά συμπληρώματα του στοιχείου α ijμήτρες ΑΛΛΑ. ρε= 60 (από την προηγούμενη παράγραφο). Η ορίζουσα είναι μη μηδενική, επομένως, ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος και ο πίνακας αντίστροφος σε αυτόν μπορεί να βρεθεί με τον τύπο (*). Ας βρούμε αλγεβρικές προσθήκες για όλα τα στοιχεία του πίνακα Α με τον τύπο:

Και ij =(-1 )i+j M ij .

x 1, x 2, x 3 μετέτρεψαν κάθε εξίσωση σε ταυτότητα, τότε βρίσκονται σωστά.

Παράδειγμα 6. Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian και βρείτε δύο βασικές λύσεις του συστήματος.