Πολλά συστήματα διαφορικών εξισώσεων, τόσο ομοιογενών όσο και ανομοιογενών, μπορούν να αναχθούν σε μία εξίσωση σε σχέση με μία άγνωστη συνάρτηση. Ας δείξουμε τη μέθοδο με παραδείγματα.
Παράδειγμα 3.1.Λύστε το σύστημα
Απόφαση. 1) Διαφοροποίηση σε σχέση με tπρώτη εξίσωση και χρησιμοποιώντας τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση για αντικατάσταση 
και 
, βρίσκουμε
Η εξίσωση που προκύπτει είναι διαφορίσιμη σε σχέση με 
πάλι
1) Φτιάχνουμε ένα σύστημα
Από τις δύο πρώτες εξισώσεις του συστήματος, εκφράζουμε τις μεταβλητές 
και 
διά μέσου 
:
Ας αντικαταστήσουμε τις εκφράσεις που βρέθηκαν 
και 
στην τρίτη εξίσωση του συστήματος
Έτσι, για να βρείτε τη συνάρτηση 
έλαβε μια διαφορική εξίσωση τρίτης τάξης με σταθερούς συντελεστές
.
2) Ενσωματώνουμε την τελευταία εξίσωση με την τυπική μέθοδο: συνθέτουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση 
, βρείτε τις ρίζες του 
και να δημιουργήσετε μια γενική λύση με τη μορφή γραμμικού συνδυασμού εκθετών, λαμβάνοντας υπόψη την πολλαπλότητα μιας από τις ρίζες:.
3) Δίπλα για να βρείτε τα δύο υπόλοιπα χαρακτηριστικά 
και 
, διαφοροποιούμε τη διπλά ληφθείσα συνάρτηση 
Χρησιμοποιώντας συνδέσεις (3.1) μεταξύ των λειτουργιών του συστήματος, ανακτούμε τα υπόλοιπα άγνωστα
.
Απάντηση.
,
,.
Μπορεί να αποδειχθεί ότι όλες οι γνωστές συναρτήσεις εκτός από μία εξαιρούνται από το σύστημα τρίτης τάξης ακόμη και μετά από μία μόνο διαφοροποίηση. Σε αυτήν την περίπτωση, η σειρά της διαφορικής εξίσωσης για την εύρεση της θα είναι μικρότερη από τον αριθμό των άγνωστων συναρτήσεων στο αρχικό σύστημα.
Παράδειγμα 3.2.Ενσωματώστε το σύστημα
(3.2)
Απόφαση. 1) Διαφοροποίηση σε σχέση με 
πρώτη εξίσωση, βρίσκουμε
Εξαιρούνται οι μεταβλητές 
και 
από τις εξισώσεις
θα έχουμε εξίσωση δεύτερης τάξης ως προς 
(3.3)
2) Από την πρώτη εξίσωση του συστήματος (3.2) έχουμε
(3.4)
Αντικαθιστώντας στην τρίτη εξίσωση του συστήματος (3.2) τις παραστάσεις (3.3) και (3.4) που βρέθηκαν για 
και 
, λαμβάνουμε μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης για να προσδιορίσουμε τη συνάρτηση 
Ενσωματώνοντας αυτή την ανομοιογενή εξίσωση με σταθερούς συντελεστές πρώτης τάξης, βρίσκουμε 
Χρησιμοποιώντας το (3.4), βρίσκουμε τη συνάρτηση 
Απάντηση.
,,
.
Εργασία 3.1. Να λύσετε ομογενή συστήματα με αναγωγή σε μία διαφορική εξίσωση.
3.1.1. 3.1.2.
3.1.3.
3.1.4.
3.1.5.
3.1.6.
3.1.7.
3.1.8.
3.1.9.
3.1.10.
3.1.11.
3.1.12.
3.1.13.
3.1.14.
3.1.15.
3.1.16.
3.1.17.
3.1.18.
3.1.19.
3.1.20.
3.1.21.
3.1.22.
3.1.23.
3.1.24.
3.1.25.
3.1.26.
3.1.27.
3.1.28.
3.1.29.
3.1.30.
3.2. Επίλυση συστημάτων γραμμικών ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές με την εύρεση ενός θεμελιώδους συστήματος λύσεων
Η γενική λύση ενός συστήματος γραμμικών ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων μπορεί να βρεθεί ως γραμμικός συνδυασμός των θεμελιωδών λύσεων του συστήματος. Στην περίπτωση συστημάτων με σταθερούς συντελεστές, μπορούν να χρησιμοποιηθούν μέθοδοι γραμμικής άλγεβρας για την εύρεση θεμελιωδών λύσεων.
Παράδειγμα 3.3.Λύστε το σύστημα
(3.5)
Απόφαση. 1) Ξαναγράψτε το σύστημα σε μορφή μήτρας
. (3.6)
2) Θα αναζητήσουμε μια θεμελιώδη λύση του συστήματος με τη μορφή διανύσματος 
. Λειτουργίες αντικατάστασης 
στο (3.6) και μειώνοντας κατά 
, παίρνουμε
, (3.7)
αυτός είναι ο αριθμός 
πρέπει να είναι μια ιδιοτιμή του πίνακα 
και το διάνυσμα 
αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα.
3) Από την πορεία της γραμμικής άλγεβρας, είναι γνωστό ότι το σύστημα (3.7) έχει μια μη τετριμμένη λύση αν η ορίζοντή του είναι ίση με μηδέν
,
δηλ. Από εδώ βρίσκουμε τις ιδιοτιμές 
.
4) Να βρείτε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Αντικατάσταση σε (3.7) της πρώτης τιμής 
, λαμβάνουμε ένα σύστημα για την εύρεση του πρώτου ιδιοδιανύσματος
Από εδώ παίρνουμε τη σύνδεση μεταξύ των αγνώστων 
. Αρκεί να επιλέξουμε μια μη τετριμμένη λύση. Υποθέτοντας 
, τότε 
, δηλαδή το διάνυσμα 
είναι ιδιοτιμή για ιδιοτιμή 
και το διάνυσμα συνάρτησης 
θεμελιώδης λύση του δεδομένου συστήματος διαφορικών εξισώσεων (3.5). Ομοίως, κατά την αντικατάσταση της δεύτερης ρίζας 
στην (3.7) έχουμε την εξίσωση πίνακα για το δεύτερο ιδιοδιάνυσμα 
. Πού βρίσκουμε τη σύνδεση μεταξύ των συστατικών του 
. Έτσι, έχουμε τη δεύτερη θεμελιώδη λύση
.
5) Η γενική λύση του συστήματος (3.5) κατασκευάζεται ως γραμμικός συνδυασμός δύο θεμελιωδών λύσεων που λαμβάνονται
ή σε συντεταγμένη μορφή
.
Απάντηση.
.
Εργασία 3.2. Λύστε συστήματα βρίσκοντας το θεμελιώδες σύστημα λύσεων.
................................ 1
1. Εισαγωγή............................................... ................................................ . .. 2
2. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης .............................. 3
3. Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης......... 2
4. Συστήματα γραμμικών ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές................................. ...................................................... ...................................... 3
5. Συστήματα ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης με σταθερούς συντελεστές .................................... ................................................................. ............................ ....... 2
Μετασχηματισμός Laplace................................................................................ 1
6. Εισαγωγή ..................................................... ................................................ . .. 2
7. Ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace.......................................... ............. ............ 3
8. Εφαρμογές του μετασχηματισμού Laplace.......................................... ............. 2
Εισαγωγή στις ολοκληρωτικές εξισώσεις............................................................... 1
9. Εισαγωγή ................................................ ................................................ . .. 2
10. Στοιχεία της γενικής θεωρίας των γραμμικών ολοκληρωτικών εξισώσεων....................... 3
11. Η έννοια της επαναληπτικής λύσης ολοκληρωτικών εξισώσεων Fredholm 2ου είδους ................................... ................................................................. .......................................................... ........... 2
12. Εξίσωση Volterra ................................................ .................................... 2
13. Λύση των εξισώσεων Volterra με πυρήνα διαφοράς με χρήση του μετασχηματισμού Laplace ................................... ................................................................ ...................... 2
Συστήματα συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων
Εισαγωγή
Τα συστήματα συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων αποτελούνται από πολλές εξισώσεις που περιέχουν παραγώγους άγνωστων συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Γενικά, ένα τέτοιο σύστημα έχει τη μορφή
όπου είναι άγνωστες συναρτήσεις, tείναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή, είναι κάποιες δεδομένες συναρτήσεις, ο δείκτης απαριθμεί τις εξισώσεις στο σύστημα. Για να λύσετε ένα τέτοιο σύστημα σημαίνει να βρείτε όλες τις λειτουργίες που ικανοποιούν αυτό το σύστημα.
Ως παράδειγμα, λάβετε υπόψη την εξίσωση του Νεύτωνα που περιγράφει την κίνηση ενός σώματος μάζας υπό τη δράση μιας δύναμης:
όπου είναι το διάνυσμα που αντλείται από την αρχή των συντεταγμένων στην τρέχουσα θέση του σώματος. Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, τα συστατικά του είναι οι συναρτήσεις 
Έτσι, η εξίσωση (1.2) ανάγεται σε τρεις διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
Για να βρείτε χαρακτηριστικά 
σε κάθε χρονική στιγμή, προφανώς, πρέπει να γνωρίζετε την αρχική θέση του σώματος και την ταχύτητά του την αρχική στιγμή - μόνο 6 αρχικές συνθήκες (που αντιστοιχεί σε ένα σύστημα τριών εξισώσεων δεύτερης τάξης):
Οι εξισώσεις (1.3) μαζί με τις αρχικές συνθήκες (1.4) σχηματίζουν το πρόβλημα Cauchy, το οποίο, όπως είναι σαφές από φυσικές εκτιμήσεις, έχει μια μοναδική λύση που δίνει μια συγκεκριμένη τροχιά του σώματος εάν η δύναμη ικανοποιεί εύλογα κριτήρια ομαλότητας.
Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι αυτό το πρόβλημα μπορεί να περιοριστεί σε ένα σύστημα 6 εξισώσεων πρώτης τάξης με την εισαγωγή νέων συναρτήσεων. Υποδηλώστε τις συναρτήσεις ως και εισαγάγετε τρεις νέες συναρτήσεις, που ορίζονται ως εξής
Το σύστημα (1.3) μπορεί τώρα να ξαναγραφτεί ως
Έτσι, καταλήξαμε σε ένα σύστημα έξι διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης για τις συναρτήσεις 
Οι αρχικές προϋποθέσεις για αυτό το σύστημα έχουν τη μορφή
Οι τρεις πρώτες αρχικές συνθήκες δίνουν τις αρχικές συντεταγμένες του σώματος, οι τρεις τελευταίες δίνουν τις προβολές της αρχικής ταχύτητας στους άξονες συντεταγμένων.
Παράδειγμα 1.1.Μειώστε το σύστημα δύο διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης
σε ένα σύστημα τεσσάρων εξισώσεων 1ης τάξης.
Απόφαση.Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό:
Σε αυτήν την περίπτωση, το αρχικό σύστημα θα λάβει τη μορφή
Δύο ακόμη εξισώσεις δίνουν τον εισαγόμενο συμβολισμό:
Τέλος, συνθέτουμε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης, ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα εξισώσεων 2ης τάξης
Αυτά τα παραδείγματα απεικονίζουν τη γενική κατάσταση: οποιοδήποτε σύστημα διαφορικών εξισώσεων μπορεί να αναχθεί σε ένα σύστημα εξισώσεων 1ης τάξης. Έτσι, σε όσα ακολουθούν μπορούμε να περιοριστούμε στη μελέτη συστημάτων διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης.
Συστήματα διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης
Σε γενικές γραμμές, ένα σύστημα των nΟι διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης μπορούν να γραφτούν ως εξής:
όπου είναι οι άγνωστες συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής t, είναι κάποιες δεδομένες λειτουργίες. Κοινή απόφασητο σύστημα (2.1) περιέχει nαυθαίρετες σταθερές, δηλ. μοιάζει με:
Κατά την περιγραφή πραγματικών προβλημάτων χρησιμοποιώντας συστήματα διαφορικών εξισώσεων, μια συγκεκριμένη λύση ή ιδιωτική απόφασησύστημα βρίσκεται από τη γενική λύση με τον προσδιορισμό ορισμένων αρχικές συνθήκες. Η αρχική συνθήκη γράφεται για κάθε συνάρτηση και για το σύστημα nΟι εξισώσεις 1ης τάξης μοιάζουν με αυτό:
Οι λύσεις ορίζονται στο χώρο 
καλείται η γραμμή αναπόσπαστη γραμμήσυστήματα (2.1).
Ας διατυπώσουμε ένα θεώρημα για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα των λύσεων για συστήματα διαφορικών εξισώσεων.
Το θεώρημα του Cauchy.Το σύστημα διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης (2.1), μαζί με τις αρχικές συνθήκες (2.2), έχει μια μοναδική λύση (δηλαδή, ένα σύνολο σταθερών προσδιορίζεται από τη γενική λύση) εάν οι συναρτήσεις και οι μερικές παράγωγοί τους ως προς σε όλα τα επιχειρήματα 
περιορίζονται γύρω από αυτές τις αρχικές συνθήκες.
Φυσικά, μιλάμε για μια λύση σε κάποια περιοχή μεταβλητών .
Επίλυση συστήματος διαφορικών εξισώσεων 
μπορεί να θεωρηθεί ως διανυσματική συνάρτηση Χ, των οποίων τα συστατικά είναι συναρτήσεις και το σύνολο των συναρτήσεων - ως διανυσματική συνάρτηση φά, δηλ.
Χρησιμοποιώντας μια τέτοια σημείωση, μπορεί κανείς να ξαναγράψει εν συντομία το αρχικό σύστημα (2.1) και τις αρχικές συνθήκες (2.2) στο λεγόμενο διανυσματική μορφή:
Μία από τις μεθόδους για την επίλυση ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων είναι η αναγωγή αυτού του συστήματος σε μία μόνο εξίσωση υψηλότερης τάξης. Από τις εξισώσεις (2.1), καθώς και από τις εξισώσεις που προκύπτουν από τη διαφοροποίησή τους, μπορεί να ληφθεί μία εξίσωση nΗ σειρά για οποιαδήποτε από τις άγνωστες συναρτήσεις Ενσωματώνοντάς την, βρίσκουν μια άγνωστη συνάρτηση Οι υπόλοιπες άγνωστες συναρτήσεις λαμβάνονται από τις εξισώσεις του αρχικού συστήματος και τις ενδιάμεσες εξισώσεις που προκύπτουν διαφοροποιώντας τις αρχικές.
Παράδειγμα 2.1.Λύστε ένα σύστημα δύο διαφορικών πρώτης τάξης
Απόφαση. Ας διαφοροποιήσουμε τη δεύτερη εξίσωση:
Εκφράζουμε την παράγωγο ως προς την πρώτη εξίσωση
Από τη δεύτερη εξίσωση
Λάβαμε μια γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Η χαρακτηριστική του εξίσωση
από όπου παίρνουμε Τότε η γενική λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης θα είναι
Βρήκαμε μια από τις άγνωστες συναρτήσεις του αρχικού συστήματος εξισώσεων. Χρησιμοποιώντας την έκφραση, μπορείτε επίσης να βρείτε:
Ας λύσουμε το πρόβλημα του Cauchy υπό αρχικές συνθήκες
Αντικαταστήστε τα στη γενική λύση του συστήματος
και βρείτε τις σταθερές ολοκλήρωσης: 
Έτσι, η λύση του προβλήματος Cauchy θα είναι οι συναρτήσεις
Τα γραφήματα αυτών των συναρτήσεων φαίνονται στο σχήμα 1.
Ρύζι. 1. Ειδική λύση του συστήματος του Παραδείγματος 2.1 στο διάστημα
Παράδειγμα 2.2.Λύστε το σύστημα
ανάγοντάς το σε μία εξίσωση 2ης τάξης.
Απόφαση.Διαφοροποιώντας την πρώτη εξίσωση, παίρνουμε
Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη εξίσωση, καταλήγουμε σε μια εξίσωση δεύτερης τάξης για Χ:
Είναι εύκολο να λάβουμε τη λύση του, και στη συνέχεια τη συνάρτηση, αντικαθιστώντας το που βρέθηκε στην εξίσωση. Ως αποτέλεσμα, έχουμε την ακόλουθη λύση συστήματος:
Σχόλιο.Βρήκαμε τη συνάρτηση από την εξίσωση . Ταυτόχρονα, με την πρώτη ματιά, φαίνεται ότι η ίδια λύση μπορεί να ληφθεί αντικαθιστώντας τη γνωστή στη δεύτερη εξίσωση του αρχικού συστήματος
και την ενσωμάτωσή του. Αν βρεθεί με αυτόν τον τρόπο, τότε μια τρίτη, επιπλέον σταθερά εμφανίζεται στη λύση:
Ωστόσο, καθώς είναι εύκολο να ελεγχθεί, η συνάρτηση ικανοποιεί το αρχικό σύστημα όχι για μια αυθαίρετη τιμή του , αλλά μόνο για. Έτσι, η δεύτερη συνάρτηση θα πρέπει να προσδιοριστεί χωρίς ενσωμάτωση.
Προσθέτουμε τα τετράγωνα των συναρτήσεων και :
Η εξίσωση που προκύπτει δίνει μια οικογένεια ομόκεντρων κύκλων με κέντρο την αρχή στο επίπεδο (βλ. Εικόνα 2). Οι παραμετρικές καμπύλες που προκύπτουν ονομάζονται καμπύλες φάσηςκαι το αεροπλάνο στο οποίο βρίσκονται - επίπεδο φάσης.
Αντικαθιστώντας οποιεσδήποτε αρχικές συνθήκες στην αρχική εξίσωση, μπορεί κανείς να λάβει ορισμένες τιμές των σταθερών ολοκλήρωσης, που σημαίνει έναν κύκλο με μια ορισμένη ακτίνα στο επίπεδο φάσης. Έτσι, κάθε σύνολο αρχικών συνθηκών αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη καμπύλη φάσης. Πάρτε, για παράδειγμα, τις αρχικές συνθήκες 
. Η αντικατάστασή τους στη γενική λύση δίνει τις τιμές των σταθερών 
, άρα η συγκεκριμένη λύση έχει τη μορφή . Όταν αλλάζουμε την παράμετρο στο διάστημα, ακολουθούμε την καμπύλη φάσης δεξιόστροφα: η τιμή αντιστοιχεί στο σημείο αρχικής κατάστασης στον άξονα , η τιμή αντιστοιχεί στο σημείο του άξονα , η τιμή αντιστοιχεί στο σημείο του άξονα , η τιμή αντιστοιχεί στο σημείο του άξονα στο σημείο του άξονα , όταν επιστρέφουμε στο σημείο εκκίνησης .
Πώς να λύσετε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων;
Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης γνωρίζει ήδη πώς να λύνει διαφορικές εξισώσεις αρκετά καλά, ιδίως ομογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξηςκαι ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξηςμε σταθερούς συντελεστές. Δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σχετικά με τα συστήματα διαφορικών εξισώσεων και εάν είστε σίγουροι για τους παραπάνω τύπους εξισώσεων, τότε η κυριαρχία των συστημάτων δεν θα είναι δύσκολη.
Υπάρχουν δύο κύριοι τύποι συστημάτων διαφορικών εξισώσεων:
– Γραμμικά ομοιογενή συστήματα διαφορικών εξισώσεων
– Γραμμικά ανομοιογενή συστήματα διαφορικών εξισώσεων
Και δύο κύριοι τρόποι επίλυσης ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων:
– Μέθοδος αποκλεισμού. Η ουσία της μεθόδου είναι ότι κατά τη διάρκεια της επίλυσης το σύστημα διαφορικών εξισώσεων ανάγεται σε μία διαφορική εξίσωση.
– Χρησιμοποιώντας τη χαρακτηριστική εξίσωση(η λεγόμενη μέθοδος Euler).
Στη συντριπτική πλειοψηφία των περιπτώσεων, το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων πρέπει να λυθεί με τον πρώτο τρόπο. Η δεύτερη μέθοδος στις συνθήκες προβλημάτων είναι πολύ λιγότερο συνηθισμένη, σε όλη μου την πρακτική έλυσα 10-20 συστήματα το πολύ με αυτήν. Αλλά θα το εξετάσουμε επίσης εν συντομία στην τελευταία παράγραφο αυτού του άρθρου.
Ζητώ αμέσως συγγνώμη για τη θεωρητική ελλιπή ύλη, αλλά από την άλλη πλευρά, συμπεριέλαβα στο μάθημα μόνο εκείνες τις εργασίες που μπορούν πραγματικά να συναντηθούν στην πράξη. Αυτό που πέφτει σε βροχή μετεωριτών μία φορά κάθε πέντε χρόνια, είναι απίθανο να βρείτε εδώ, και με τέτοιες εκπλήξεις, θα πρέπει να στραφείτε σε εξειδικευμένα τούβλα για διαχυτές.
Γραμμικά ομοιογενή συστήματα διαφορικών εξισώσεων
Το απλούστερο ομοιογενές σύστημα διαφορικών εξισώσεων έχει την ακόλουθη μορφή: 
Στην πραγματικότητα, σχεδόν όλα τα πρακτικά παραδείγματα περιορίζονται σε ένα τέτοιο σύστημα =)
Τι ΕΙΝΑΙ εκει?
είναι αριθμοί (αριθμητικοί συντελεστές). Οι πιο συνηθισμένοι αριθμοί. Συγκεκριμένα, ένας, πολλοί ή ακόμη και όλοι οι συντελεστές μπορεί να είναι μηδέν. Αλλά τέτοια δώρα σπάνια πετιούνται, επομένως οι αριθμοί τις περισσότερες φορές δεν είναι ίσοι με το μηδέν.
Και είναι άγνωστες συναρτήσεις. Μια μεταβλητή λειτουργεί ως ανεξάρτητη μεταβλητή - είναι "όπως το x σε μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση".
Και είναι οι πρώτες παράγωγοι των άγνωστων συναρτήσεων και, αντίστοιχα.
Τι σημαίνει επίλυση συστήματος διαφορικών εξισώσεων;
Αυτό σημαίνει να βρεις τέτοιοςλειτουργίες και που ικανοποιούν και πρώτο και δεύτεροεξίσωση συστήματος. Όπως μπορείτε να δείτε, η αρχή είναι πολύ παρόμοια με τη συνηθισμένη συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Μόνο εκεί οι ρίζες είναι αριθμοί και εδώ είναι συναρτήσεις.
Η απάντηση που βρέθηκε γράφεται ως γενική λύση συστήματος διαφορικών εξισώσεων:
Σε σγουρές αγκύλες!Αυτές οι λειτουργίες είναι «σε μία ομάδα».
Για το σύστημα τηλεχειρισμού, μπορείτε να λύσετε το πρόβλημα Cauchy, δηλαδή να βρείτε ιδιωτική λύση του συστήματος, ικανοποιώντας τις δεδομένες αρχικές προϋποθέσεις. Μια συγκεκριμένη λύση του συστήματος είναι επίσης γραμμένη με σγουρά τιράντες.
Πιο συμπαγή, το σύστημα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
Αλλά η λύση με τα παράγωγα γραμμένα σε διαφορικά είναι παραδοσιακά πιο κοινή, γι' αυτό συνηθίστε αμέσως τον ακόλουθο συμβολισμό:
και είναι παράγωγα πρώτης τάξης.
και είναι παράγωγα δεύτερης τάξης.
Παράδειγμα 1
Λύστε το πρόβλημα Cauchy για ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων 
με αρχικές συνθήκες, .
Απόφαση:Στα προβλήματα, το σύστημα εμφανίζεται συχνότερα με αρχικές συνθήκες, επομένως σχεδόν όλα τα παραδείγματα αυτού του μαθήματος θα αφορούν το πρόβλημα Cauchy. Αλλά αυτό δεν είναι σημαντικό, αφού η γενική λύση θα πρέπει ακόμα να βρεθεί στην πορεία.
Ας λύσουμε το σύστημα μέθοδος εξάλειψης. Σας υπενθυμίζω ότι η ουσία της μεθόδου είναι να ανάγει το σύστημα σε μία διαφορική εξίσωση. Και όσο για τις διαφορικές εξισώσεις, ελπίζω να λύσετε καλά.
Ο αλγόριθμος λύσης είναι τυπικός:
1) Παίρνουμε δεύτερη εξίσωση του συστήματοςκαι εκφράστε από αυτό: 
Θα χρειαστούμε αυτήν την εξίσωση προς το τέλος της λύσης και θα τη σημειώσω με έναν αστερίσκο. Στα σχολικά βιβλία τυχαίνει να συναντούν 500 σύμβολα και μετά αναφέρονται: «σύμφωνα με τον τύπο (253) ...», και αναζητούν αυτόν τον τύπο κάπου 50 σελίδες πίσω. Θα περιοριστώ σε ένα μόνο σημάδι (*).
2) Διαφοροποιήστε και στις δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει: 
Με "εγκεφαλικά επεισόδια" η διαδικασία μοιάζει με αυτό: 
Είναι σημαντικό αυτό το απλό σημείο να είναι σαφές, δεν θα σταθώ περαιτέρω σε αυτό.
3) Αντικατάσταση και 
στην πρώτη εξίσωση του συστήματος: 
Και ας απλοποιήσουμε όσο το δυνατόν περισσότερο: 
Έλαβε το πιο συνηθισμένο ομογενής εξίσωση δεύτερης τάξηςμε σταθερούς συντελεστές. Με «εγκεφαλικά» γράφεται ως εξής: 
.
- λαμβάνονται διάφορες πραγματικές ρίζες, επομένως: 
.
Μια από τις λειτουργίες βρίσκεται, στα μισά του δρόμου.
Ναι, σημειώστε ότι έχουμε μια χαρακτηριστική εξίσωση με «καλή» διάκριση, που σημαίνει ότι δεν μπλέξαμε τίποτα σε αντικαταστάσεις και απλοποιήσεις.
4) Πάμε για τη συνάρτηση. Για να το κάνουμε αυτό, παίρνουμε τη συνάρτηση που έχει ήδη βρεθεί 
και να βρεις την παράγωγο του. Διακρίνουμε ως εξής:
Υποκατάστατο 
και στην εξίσωση (*):
Ή πιο σύντομη: 
5) Βρίσκονται και οι δύο συναρτήσεις, γράφουμε τη γενική λύση του συστήματος: 
Απάντηση:ιδιωτική λύση: 
Η απάντηση που λάβαμε είναι αρκετά εύκολο να ελεγχθεί, μπορούμε να την ελέγξουμε σε τρία βήματα:
1) Ελέγξτε εάν οι αρχικές συνθήκες ικανοποιούνται πραγματικά:
Και οι δύο αρχικές προϋποθέσεις πληρούνται.
2) Ας ελέγξουμε αν η απάντηση που βρέθηκε ικανοποιεί την πρώτη εξίσωση του συστήματος.
Παίρνουμε μια συνάρτηση από την απάντηση 
και βρείτε την παράγωγό του:
Υποκατάστατο 
, και 
στην πρώτη εξίσωση του συστήματος: 
Λαμβάνεται η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι η απάντηση που βρέθηκε ικανοποιεί την πρώτη εξίσωση του συστήματος.
3) Ελέγξτε αν η απάντηση ικανοποιεί τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος
Παίρνουμε μια συνάρτηση από την απάντηση και βρίσκουμε την παράγωγό της:
Υποκατάστατο 
, και 
στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος: 
Λαμβάνεται η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι η απάντηση που βρέθηκε ικανοποιεί τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος.
Ολοκληρώθηκε η επαλήθευση. Τι ελέγχεται; Επαληθεύεται η εκπλήρωση των αρχικών προϋποθέσεων. Και, κυρίως, το γεγονός ότι βρέθηκε η συγκεκριμένη λύση 
ικανοποιεί στον καθένααρχική εξίσωση συστήματος 
.
Ομοίως, μπορεί κανείς να ελέγξει τη γενική λύση 
, ο έλεγχος θα είναι ακόμη πιο σύντομος, αφού δεν είναι απαραίτητος ο έλεγχος της εκπλήρωσης των αρχικών προϋποθέσεων.
Τώρα ας επιστρέψουμε στο λυμένο σύστημα και ας κάνουμε μερικές ερωτήσεις. Η λύση ξεκίνησε ως εξής: πήραμε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος και εκφράσαμε από αυτήν. Και ήταν δυνατόν να εκφραστεί όχι «x», αλλά «y»; Εάν εκφράσουμε , τότε αυτό δεν θα μας δώσει τίποτα - σε αυτήν την έκφραση στα δεξιά υπάρχουν και το "y" και το "x", επομένως δεν θα μπορέσουμε να απαλλαγούμε από τη μεταβλητή και να μειώσουμε τη λύση του συστήματος στο λύση μιας διαφορικής εξίσωσης.
Ερώτηση δύο. Ήταν δυνατόν να ξεκινήσει η λύση όχι από τη δεύτερη, αλλά από την πρώτη εξίσωση του συστήματος; Μπορώ. Εξετάζουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος: . Σε αυτό έχουμε δύο "x" και ένα "y", επομένως είναι απαραίτητο να εκφράσουμε αυστηρά το "y" μέσω του "x": 
. Ακολουθεί η πρώτη παράγωγος: 
. Τότε θα πρέπει να αντικαταστήσετε 
και 
στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος. Η λύση θα είναι εντελώς ισοδύναμη, με τη διαφορά ότι πρώτα βρίσκουμε τη συνάρτηση και μετά .
Και μόνο για τη δεύτερη μέθοδο θα υπάρχει ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:
Παράδειγμα 2
Να βρείτε μια συγκεκριμένη λύση του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων που να ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες.
Στο δείγμα λύσης, που δίνεται στο τέλος του μαθήματος, εκφράζεται από την πρώτη εξίσωση 
και όλος ο χορός ξεκινά από αυτή την έκφραση. Προσπαθήστε να εκτελέσετε ανεξάρτητα μια λύση καθρέφτη σημείο προς σημείο, χωρίς να κοιτάξετε το δείγμα.
Μπορείτε επίσης να ακολουθήσετε τον τρόπο του Παραδείγματος Νο. 1 - από τη δεύτερη εξίσωση, εκφράστε 
(Σημειώστε ότι είναι το "x" που πρέπει να εκφραστεί). Αλλά αυτή η μέθοδος είναι λιγότερο ορθολογική, για το λόγο ότι πήραμε ένα κλάσμα, το οποίο δεν είναι πολύ βολικό.
Γραμμικά ανομοιογενή συστήματα διαφορικών εξισώσεων
Σχεδόν το ίδιο, μόνο που η λύση θα είναι κάπως μεγαλύτερη.
Ένα ανομοιογενές σύστημα διαφορικών εξισώσεων, το οποίο στις περισσότερες περιπτώσεις μπορείτε να συναντήσετε σε προβλήματα, έχει την ακόλουθη μορφή: 
Σε σύγκριση με ένα ομοιογενές σύστημα, κάθε εξίσωση προσθέτει επιπλέον κάποια συνάρτηση που εξαρτάται από το "te". Οι συναρτήσεις μπορεί να είναι σταθερές (και τουλάχιστον μία από αυτές είναι μη μηδενική), εκθέτες, ημίτονο, συνημίτονα κ.λπ.
Παράδειγμα 3
Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στο σύστημα της γραμμικής ΔΕ που αντιστοιχεί στις δεδομένες αρχικές συνθήκες 
Απόφαση:Δίνεται ένα γραμμικό μη ομοιογενές σύστημα διαφορικών εξισώσεων, οι σταθερές λειτουργούν ως «πρόσθετα». Χρησιμοποιούμε μέθοδος εξάλειψης, ενώ ο ίδιος ο αλγόριθμος λύσης διατηρείται πλήρως. Για αλλαγή, θα ξεκινήσω μόνο με την πρώτη εξίσωση.
1) Από την πρώτη εξίσωση του συστήματος εκφράζουμε: 
Αυτό είναι σημαντικό πράγμα, οπότε θα το σημειώσω ξανά με αστερίσκο. Καλύτερα να μην ανοίξουμε τις αγκύλες, γιατί επιπλέον κλάσματα;
Και για άλλη μια φορά, σημειώστε ότι είναι ακριβώς το "y" που εκφράζεται από την πρώτη εξίσωση - μέσω δύο "x" και μιας σταθεράς.
2) Διαφοροποιήστε ως προς τα δύο μέρη: 
Η σταθερά (τριπλή) έχει εξαφανιστεί, λόγω του ότι η παράγωγος της σταθεράς είναι ίση με μηδέν.
3) Αντικαταστάτης 
και 
στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος 
:
Αμέσως μετά την αντικατάσταση, συνιστάται να απαλλαγούμε από τα κλάσματα, γι 'αυτό πολλαπλασιάζουμε κάθε μέρος της εξίσωσης με 5: 
Τώρα κάνουμε απλοποιήσεις: 
Σαν άποτέλεσμα, γραμμική ανομοιογενής εξίσωση δεύτερης τάξηςμε σταθερούς συντελεστές. Αυτή, στην πραγματικότητα, είναι η όλη διαφορά από τη λύση ενός ομοιογενούς συστήματος εξισώσεων, που συζητήθηκε στην προηγούμενη παράγραφο.
Σημείωση: Ωστόσο, σε ένα ανομοιογενές σύστημα, μερικές φορές μπορεί να ληφθεί μια ομοιογενής εξίσωση.
Ας βρούμε τη γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης: 
Συνθέτουμε και λύνουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση: 
– λαμβάνονται συζευγμένες σύνθετες ρίζες, επομένως:
.
Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης αποδείχτηκαν και πάλι «καλές», πράγμα που σημαίνει ότι είμαστε στο σωστό δρόμο.
Αναζητούμε μια συγκεκριμένη λύση μιας ανομοιογενούς εξίσωσης στη μορφή .
Ας βρούμε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο:
Αντικαταστήστε στην αριστερή πλευρά της ανομοιογενούς εξίσωσης: 
Ετσι:
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι μια συγκεκριμένη λύση επιλέγεται εύκολα προφορικά και είναι αρκετά αποδεκτό να γράψουμε αντί για μεγάλους υπολογισμούς: "Προφανώς, μια συγκεκριμένη λύση σε μια ανομοιογενή εξίσωση:".
Σαν άποτέλεσμα:
4) Ψάχνουμε για συνάρτηση. Αρχικά, βρίσκουμε την παράγωγο της ήδη βρέθηκε συνάρτησης:
Δεν είναι ιδιαίτερα ευχάριστο, αλλά παρόμοια παράγωγα σε diffurs συχνά πρέπει να βρεθούν.
Η καταιγίδα είναι σε πλήρη εξέλιξη και τώρα θα υπάρχει ο ένατος άξονας. Δέστε τον εαυτό σας στο κατάστρωμα με ένα σχοινί.
Υποκατάστατο
και στην εξίσωση (*): 
5) Γενική λύση του συστήματος:
6) Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση που να αντιστοιχεί στις αρχικές συνθήκες 
:
Τέλος, μια ιδιωτική λύση: 
Βλέπετε, τι ιστορία με αίσιο τέλος, τώρα μπορείτε άφοβα να πλεύσετε με βάρκες σε μια γαλήνια θάλασσα κάτω από τον απαλό ήλιο.
Απάντηση:ιδιωτική λύση: 
Παρεμπιπτόντως, αν ξεκινήσετε να λύνετε αυτό το σύστημα από τη δεύτερη εξίσωση, τότε οι υπολογισμοί θα αποδειχθούν πολύ ευκολότεροι (μπορείτε να δοκιμάσετε), αλλά πολλοί επισκέπτες στον ιστότοπο ζήτησαν να αποσυναρμολογήσουν ακόμη πιο δύσκολα πράγματα. Πώς μπορείς να αρνηθείς; =) Ας υπάρχουν πιο σοβαρά παραδείγματα.
Ένα παράδειγμα είναι πιο εύκολο να λυθεί μόνος σας:
Παράδειγμα 4
Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση ενός γραμμικού ανομοιογενούς συστήματος διαφορικών εξισώσεων που αντιστοιχεί σε δεδομένες αρχικές συνθήκες 
Αυτό το πρόβλημα επιλύθηκε από εμένα σύμφωνα με το παράδειγμα του Παραδείγματος Νο. 1, δηλαδή το "x" εκφράζεται από τη δεύτερη εξίσωση. Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.
Στα παραδείγματα που εξετάστηκαν, δεν ήταν τυχαίο που χρησιμοποίησα διαφορετικές σημειώσεις, εφάρμοσα διαφορετικές λύσεις. Έτσι, για παράδειγμα, τα παράγωγα στην ίδια εργασία γράφτηκαν με τρεις τρόπους: . Στα ανώτερα μαθηματικά, δεν χρειάζεται να φοβάστε όλα τα είδη squiggles, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσετε τον αλγόριθμο λύσης.
Χαρακτηριστική μέθοδος εξίσωσης(μέθοδος Euler)
Όπως σημειώθηκε στην αρχή του άρθρου, είναι πολύ σπάνιο να χρειαστεί να λύσετε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη χαρακτηριστική εξίσωση, οπότε στην τελευταία παράγραφο θα εξετάσω μόνο ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα 5
Δίνεται ένα γραμμικό ομοιογενές σύστημα διαφορικών εξισώσεων 
Να βρείτε τη γενική λύση ενός συστήματος εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη χαρακτηριστική εξίσωση
Απόφαση:Εξετάζουμε το σύστημα των εξισώσεων και συνθέτουμε μια ορίζουσα δεύτερης τάξης:
Με ποια αρχή συντίθεται η ορίζουσα, νομίζω ότι ο καθένας μπορεί να δει.
Ας φτιάξουμε μια χαρακτηριστική εξίσωση, για αυτό, από κάθε αριθμό, που βρίσκεται στο κύρια διαγώνιο, αφαιρέστε κάποια παράμετρο: 
Σε καθαρό αντίγραφο, βέβαια, θα πρέπει να γράψετε αμέσως τη χαρακτηριστική εξίσωση, εξηγώ αναλυτικά, βήμα-βήμα, ώστε να είναι ξεκάθαρο από τι προήλθε.
Άνοιγμα της ορίζουσας: 
Και βρίσκουμε τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης: 
Αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τότε η γενική λύση του συστήματος διαφορικών εξισώσεων έχει τη μορφή: 
Γνωρίζουμε ήδη τους συντελεστές στους εκθέτες, μένει να βρούμε τους συντελεστές
1) Θεωρήστε τη ρίζα και αντικαταστήστε την στη χαρακτηριστική εξίσωση: 
(αυτοί οι δύο προσδιοριστικοί παράγοντες στο καθαρό αντίγραφο δεν μπορούν επίσης να γραφτούν, αλλά να συνθέσουν αμέσως προφορικά το παρακάτω σύστημα)
Από τους αριθμούς της ορίζουσας συνθέτουμε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους: 
Η ίδια ισότητα προκύπτει και από τις δύο εξισώσεις:
Τώρα πρέπει να διαλέξετε ελάχιστατιμή τέτοια ώστε η τιμή να είναι ακέραιος. Προφανώς, θα πρέπει να ορίσετε . Και αν, τότε
Σημείωση πίνακα για ένα σύστημα συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων (SODE) με σταθερούς συντελεστές
Γραμμικό ομοιογενές SODE με σταθερούς συντελεστές $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_(2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right.$,
όπου $y_(1) \left(x\right),\; y_(2) \αριστερά(x\δεξιά),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- επιθυμητές συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής $x$, συντελεστές $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- δεδομένη πραγματικούς αριθμούςαντιπροσωπεύουν σε συμβολισμό πίνακα:
- μήτρα των επιθυμητών συναρτήσεων $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
- μήτρα παράγωγαλύσεις $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
- Πίνακας συντελεστών SODE $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.
Τώρα, με βάση τον κανόνα πολλαπλασιασμού του πίνακα, αυτό το SODE μπορεί να γραφτεί ως εξίσωση πίνακα $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.
Γενική Μέθοδος Επίλυσης ΣΟΔΕ με Σταθερούς Συντελεστές
Ας υπάρχει μήτραμερικοί αριθμοί $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)$.
Η λύση SODE βρίσκεται στην ακόλουθη μορφή: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^( k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. Σε μορφή μήτρας: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)$.
Από εδώ παίρνουμε:
Τώρα στην εξίσωση πίνακα αυτού του SODE μπορεί να δοθεί η μορφή:
Η εξίσωση που προκύπτει μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:
Η τελευταία ισότητα το δείχνει διάνυσμαΤο $\alpha $ μετατρέπεται από τον πίνακα $A$ σε ένα παράλληλο διάνυσμα $k\cdot \alpha $. Αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα $\alpha $ είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του πίνακα $A$ που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $k$.
Ο αριθμός $k$ μπορεί να προσδιοριστεί από την εξίσωση $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.
Αυτή η εξίσωση ονομάζεται χαρακτηριστική.
Έστω όλες οι ρίζες $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Για κάθε τιμή $k_(i)$ από $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \ \ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \ \ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) ( \alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ ένας πίνακας τιμών μπορεί να οριστεί $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i\right) )) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.
Μία από τις τιμές σε αυτόν τον πίνακα επιλέγεται αυθαίρετα.
Τέλος, η λύση αυτού του συστήματος σε μορφή πίνακα γράφεται ως εξής:
$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ left(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\lddots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n ) \cdot x) ) \end(array)\right)$,
όπου $C_(i) $ είναι αυθαίρετες σταθερές.
Εργο
Λύστε το σύστημα $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\right.$.
Γράψτε τον πίνακα συστήματος: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.
Σε μορφή πίνακα, αυτό το SODE γράφεται ως εξής: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (πίνακας)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)\cdot \left( \begin( πίνακας)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)$.
Παίρνουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση:
$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, δηλαδή $k^( 2) -10\cdot k+9=0$.
Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.
Συνθέτουμε ένα σύστημα για τον υπολογισμό του $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ δεξιά))) \end(πίνακας)\δεξιά)$ για $k_(1) =1$:
\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (πίνακας)\δεξιά)=0,\]
δηλαδή $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$.
Βάζοντας $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, παίρνουμε $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.
Συνθέτουμε ένα σύστημα για τον υπολογισμό του $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ δεξιά))) \end(πίνακας)\right)$ για $k_(2) =9$:
\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (πίνακας)\δεξιά)=0, \]
δηλαδή $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$.
Βάζοντας $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$, παίρνουμε $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.
Λαμβάνουμε το διάλυμα SODE σε μορφή μήτρας:
\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\right).\]
Στη συνήθη μορφή, η λύση SODE είναι: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end (πίνακας )\right.$.