En este artículo, hablaremos sobre el método matricial para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, encontraremos su definición y daremos ejemplos de la solución.

Definición 1

método de matriz inversa es el método utilizado para resolver SLAE cuando el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones.

Ejemplo 1

Encuentre una solución a un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas:

un 11 x 1 + un 12 x 2 + . . . + un 1 norte X norte = segundo 1 un norte 1 X 1 + un norte 2 X 2 + . . . + un norte norte X norte = segundo norte

Vista de registro de matriz : A × X = B

donde A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n es la matriz del sistema.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - columna de incógnitas,

segundo = segundo 1 segundo 2 ⋮ segundo norte - columna de coeficientes libres.

De la ecuación que obtuvimos, necesitamos expresar X. Para hacer esto, multiplique ambos lados de la ecuación matricial de la izquierda por A - 1:

UNA - 1 × UNA × X = UNA - 1 × segundo .

Como A - 1 × A = E, entonces E × X = A - 1 × B o X = A - 1 × B.

Comentario

La matriz inversa a la matriz A tiene derecho a existir solo si la condición d e t A no es igual a cero. Por lo tanto, al resolver SLAE por el método de la matriz inversa, en primer lugar, se encuentra d e t A.

En el caso de que d e t A no sea igual a cero, el sistema tiene una única solución: utilizar el método de la matriz inversa. Si d e t A = 0, entonces el sistema no se puede resolver por este método.

Un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de matriz inversa

Ejemplo 2

Resolvemos SLAE por el método de la matriz inversa:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

¿Cómo decidir?

• Escribimos el sistema en forma de ecuación matricial А X = B , donde

A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2.

• Expresamos a partir de esta ecuación X:

• Encontramos el determinante de la matriz A:

re mi A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t А no es igual a 0, por lo tanto, el método de solución de matriz inversa es adecuado para este sistema.

• Encontramos la matriz inversa A - 1 usando la matriz de unión. Calculamos las sumas algebraicas A i j a los elementos correspondientes de la matriz A:

A 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

A 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,

A 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

A 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

A 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

A 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

A 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

A 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,

A 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.

• Anotamos la matriz de unión A * , que está compuesta por complementos algebraicos de la matriz A:

UN * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Escribimos la matriz inversa según la fórmula:

A - 1 \u003d 1 d e t A (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• Multiplicamos la matriz inversa A - 1 por la columna de términos libres B y obtenemos la solución del sistema:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Responder : x 1 = - 1; x 2 \u003d 0; x3 = 1

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Sea una matriz cuadrada de orden n

La matriz A -1 se llama matriz inversa con respecto a la matriz A, si A * A -1 = E, donde E es la matriz identidad de orden n.

Matriz de identidad- tal matriz cuadrada, en la que todos los elementos a lo largo de la diagonal principal, pasando desde la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha, son unos, y el resto son ceros, por ejemplo:

matriz inversa puede existir solo para matrices cuadradas aquellos. para aquellas matrices que tienen el mismo número de filas y columnas.

Teorema de la condición de existencia de la matriz inversa

Para que una matriz tenga matriz inversa, es necesario y suficiente que no sea degenerada.

La matriz A = (A1, A2,...A n) se llama no degenerado si los vectores columna son linealmente independientes. El número de vectores columna linealmente independientes de una matriz se denomina rango de la matriz. Por tanto, podemos decir que para que exista una matriz inversa es necesario y suficiente que el rango de la matriz sea igual a su dimensión, es decir r = norte

Algoritmo para encontrar la matriz inversa

1. Escriba la matriz A en la tabla para resolver sistemas de ecuaciones por el método de Gauss y a la derecha (en lugar de las partes correctas de las ecuaciones) asígnele la matriz E.
2. Usando transformaciones de Jordan, lleve la matriz A a una matriz que consta de columnas individuales; en este caso, es necesario transformar simultáneamente la matriz E.
3. Si es necesario, reordene las filas (ecuaciones) de la última tabla para que la matriz identidad E se obtenga debajo de la matriz A de la tabla original.
4. Escriba la matriz inversa A -1, que está en la última tabla debajo de la matriz E de la tabla original.

Ejemplo 1

Para la matriz A, encuentre la matriz inversa A -1

Solución: Anotamos la matriz A ya la derecha asignamos la matriz identidad E. Usando transformaciones de Jordan, reducimos la matriz A a la matriz identidad E. Los cálculos se muestran en la Tabla 31.1.

Verifiquemos la exactitud de los cálculos multiplicando la matriz original A y la matriz inversa A -1.

Como resultado de la multiplicación de matrices se obtiene la matriz identidad. Por lo tanto, los cálculos son correctos.

Responder:

Solución de ecuaciones matriciales

Las ecuaciones matriciales pueden verse como:

AX = B, XA = B, AXB = C,

donde A, B, C son matrices dadas, X es la matriz deseada.

Las ecuaciones matriciales se resuelven multiplicando la ecuación por matrices inversas.

Por ejemplo, para encontrar la matriz de una ecuación, debe multiplicar esta ecuación por la izquierda.

Por lo tanto, para encontrar una solución a la ecuación, debe encontrar la matriz inversa y multiplicarla por la matriz del lado derecho de la ecuación.

Otras ecuaciones se resuelven de manera similar.

Ejemplo 2

Resolver la ecuación AX = B si

Solución: Dado que la inversa de la matriz es igual (ver ejemplo 1)

Método matricial en análisis económico.

Junto con otros, también encuentran aplicación métodos matriciales. Estos métodos se basan en álgebra lineal y matricial vectorial. Dichos métodos se utilizan con el fin de analizar fenómenos económicos complejos y multidimensionales. Muy a menudo, estos métodos se utilizan cuando es necesario comparar el funcionamiento de las organizaciones y sus divisiones estructurales.

En el proceso de aplicación de métodos matriciales de análisis, se pueden distinguir varias etapas.

en la primera etapa se lleva a cabo la formación de un sistema de indicadores económicos y, sobre su base, se compila una matriz de datos iniciales, que es una tabla en la que se muestran los números del sistema en sus líneas individuales (i = 1,2,....,n), y a lo largo de los gráficos verticales - número de indicadores (j = 1,2,....,m).

En la segunda etapa para cada columna vertical se revela el mayor de los valores disponibles de los indicadores, que se toma como una unidad.

Después de eso, todas las cantidades reflejadas en esta columna se dividen por el valor más grande y se forma una matriz de coeficientes estandarizados.

En la tercera etapa todos los componentes de la matriz están elevados al cuadrado. Si tienen un significado diferente, a cada indicador de la matriz se le asigna un cierto coeficiente de ponderación k. El valor de este último lo determina un perito.

En la última cuarta etapa valores encontrados de calificaciones Rj agrupados en orden creciente o decreciente.

Los métodos de matriz anteriores deben usarse, por ejemplo, en un análisis comparativo de varios proyectos de inversión, así como en la evaluación de otros indicadores de desempeño económico de las organizaciones.

método de matriz inversa no es difícil si conoce los principios generales del trabajo con ecuaciones matriciales y, por supuesto, puede realizar operaciones algebraicas elementales.

Resolver el sistema de ecuaciones por el método de la matriz inversa. Ejemplo.

Es más conveniente comprender el método de la matriz inversa utilizando un buen ejemplo. Tomemos un sistema de ecuaciones:

El primer paso a dar para resolver este sistema de ecuaciones es encontrar el determinante. Por lo tanto, transformamos nuestro sistema de ecuaciones en la siguiente matriz:

Y encuentre el determinante deseado:

La fórmula utilizada para resolver ecuaciones matriciales es la siguiente:

Así, para calcular X, necesitamos determinar el valor de la matriz A-1 y multiplicarlo por b. Otra fórmula nos ayudará con esto:

En este caso será matriz transpuesta- es decir, lo mismo, original, pero escrito no en filas, sino en columnas.

No se debe olvidar que método de matriz inversa, al igual que el método de Cramer, solo es adecuado para sistemas en los que el determinante es mayor o menor que cero. Si el determinante es igual a cero, se debe utilizar el método de Gauss.

El siguiente paso es compilar la matriz de menores, que es el siguiente esquema:

Como resultado, obtuvimos tres matrices: menores, complementos algebraicos y una matriz transpuesta de complementos algebraicos. Ahora puede proceder a la compilación real de la matriz inversa. Ya conocemos la fórmula. Para nuestro ejemplo, se verá así.

Método matricial para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Considere un sistema de ecuaciones lineales de la siguiente forma:

$\left\(\begin(matriz)(c) (a_(11) x_(1) +a_(12) x_(2) +...+a_(1n) x_(n) =b_(1) ) \\ (a_(21) x_(1) +a_(22) x_(2) +...+a_(2n) x_(n) =b_(2) ) \\ (...) \\ (a_ (n1) x_(1) +a_(n2) x_(2) +...+a_(nn) x_(n) =b_(n) ) \end(matriz)\right. .$

Los números $a_(ij) (i=1..n,j=1..n)$ son los coeficientes del sistema, los números $b_(i) (i=1..n)$ son los términos libres .

Definición 1

En el caso de que todos los términos libres sean iguales a cero, el sistema se llama homogéneo, de lo contrario, no homogéneo.

Cada SLAE se puede asociar con varias matrices y el sistema se puede escribir en la llamada forma matricial.

Definición 2

La matriz de coeficientes de un sistema se denomina matriz del sistema y generalmente se denota con la letra $A$.

La columna de miembros libres forma un vector columna, que generalmente se denota con la letra $B$ y se denomina matriz de miembros libres.

Las variables desconocidas forman un vector columna que, por regla general, se denota con la letra $X$ y se denomina matriz de incógnitas.

Las matrices descritas anteriormente son:

$A=\left(\begin(matriz)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & ( a_(22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (...) & (a_(nn) ) \end(matriz)\right),B=\left(\begin(matriz)(c) (b_(1) ) \ \ (b_(2) ) \\ (...) \\ (b_(n) ) \end(matriz)\right),X=\left(\begin(matriz)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (...) \\ (x_(n) ) \end(matriz)\right).$

Usando matrices, SLAE se puede reescribir como $A\cdot X=B$. Tal notación a menudo se llama ecuación matricial.

En términos generales, cualquier SLAE se puede escribir en forma matricial.

Ejemplos de resolución de un sistema usando una matriz inversa

Ejemplo 1

Dana SLAE: $\left\(\begin(matriz)(c) (3x_(1) -2x_(2) +x_(3) -x_(4) =3) \\ (x_(1) -12x_(2) ) -x_(3) -x_(4) =7) \\ (2x_(1) -3x_(2) +x_(3) -3x_(4) =5) \end(matriz)\right.$.Escribir sistema en forma matricial.

Solución:

$A=\left(\begin(matriz)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1 ) \\ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(matriz)\right),B=\left(\begin(matriz)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(matriz)\right),X=\left(\begin(matriz)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \ fin(matriz)\derecha).$

$\left(\begin(matriz)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) \ \ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(matriz)\right)\cdot \left(\begin(matriz)(c) (x_(1) ) \\ (x_( 2) ) \\ (x_(3) ) \end(matriz)\right)=\left(\begin(matriz)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(matriz)\ derecha)$

En el caso de que la matriz del sistema sea cuadrada, la SLAE puede resolver las ecuaciones de forma matricial.

Dada la ecuación matricial $A\cdot X=B$, podemos expresar $X$ a partir de ella de la siguiente manera:

$A^(-1) \cdot A\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$A^(-1) \cdot A=E$ (propiedad del producto matriz)

$E\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$E\cdot X=X$ (propiedad del producto matriz)

$X=A^(-1) \cdot B$

Algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas utilizando una matriz inversa:

• escribir el sistema en forma matricial;
• calcular el determinante de la matriz del sistema;
• si el determinante de la matriz del sistema es distinto de cero, entonces encontramos la matriz inversa;
• la solución del sistema se calcula mediante la fórmula $X=A^(-1) \cdot B$.

Si la matriz del sistema tiene un determinante que no es igual a cero, entonces este sistema tiene una solución única que se puede encontrar de forma matricial.

Si la matriz del sistema tiene un determinante igual a cero, entonces este sistema no se puede resolver por el método matricial.

Ejemplo 2

Dana SLAE: $\left\(\begin(matriz)(c) (x_(1) +3x_(3) =26) \\ (-x_(1) +2x_(2) +x_(3) =52) \\ (3x_(1) +2x_(2) =52) \end(array)\right.$ Resuelve la SLAE usando el método de matriz inversa, si es posible.

Solución:

$A=\left(\begin(matriz)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & ( 0) \end(matriz)\right),B=\left(\begin(matriz)(c) (26) \\ (52) \\ (52) \end(matriz)\right),X=\left (\begin(matriz)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \end(matriz)\right). ps

Encontrar el determinante de la matriz del sistema:

$\begin(matriz)(l) (\det A=\left|\begin(matriz)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & (0) \end(matriz)\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3 \cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0) \end(matriz)$ Dado que el determinante no es igual a cero, la matriz del sistema tiene una matriz inversa y, por lo tanto, el sistema de ecuaciones se puede resolver por el método de la matriz inversa. La solución resultante será única.

Resolvemos el sistema de ecuaciones usando la matriz inversa:

$A_(11) =(-1)^(1+1) \cdot \left|\begin(matriz)(cc) (2) & (1) \\ (2) & (0) \end(matriz) \derecho|=0-2=-2; A_(12) =(-1)^(1+2) \cdot \left|\begin(matriz)(cc) (-1) & (1) \\ (3) & (0) \end(matriz) \derecho|=-(0-3)=3;$

$A_(13) =(-1)^(1+3) \cdot \left|\begin(matriz)(cc) (-1) & (2) \\ (3) & (2) \end(matriz )\derecho|=-2-6=-8; A_(21) =(-1)^(2+1) \cdot \left|\begin(matriz)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (0) \end(matriz)\ derecha|=-(0-6)=6; ps

$A_(22) =(-1)^(2+2) \cdot \left|\begin(matriz)(cc) (1) & (3) \\ (3) & (0) \end(matriz) \derecho|=0-9=-9; A_(23) =(-1)^(2+3) \cdot \left|\begin(matriz)(cc) (1) & (0) \\ (3) & (2) \end(matriz)\ derecha|=-(2-0)=-2;$

$A_(31) =(-1)^(3+1) \cdot \left|\begin(matriz)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (1) \end(matriz) \derecho|=0-6=-6; A_(32) =(-1)^(3+2) \cdot \left|\begin(matriz)(cc) (1) & (3) \\ (-1) & (1) \end(matriz) \derecho|=-(1+3)=-4;$

$A_(33) =(-1)^(3+3) \cdot \left|\begin(matriz)(cc) (1) & (0) \\ (-1) & (2) \end(matriz )\derecha|=2-0=2$

La matriz inversa deseada:

$A^(-1) =\frac(1)(-26) \cdot \left(\begin(matriz)(ccc) (-2) & (6) & (-6) \\ (3) & ( -9) & (-4) \\ (-8) & (-2) & (2) \end(matriz)\right)=\frac(1)(26) \cdot \left(\begin(matriz) (ccc) (2) & (-6) & (6) \\ (-3) & (9) & (4) \\ (8) & (2) & (-2) \end(matriz)\right )=\left(\begin(matriz)(ccc) (\frac(2)(26) ) & (\frac(-6)(26) ) & (\frac(6)(26) ) \\ (\ fracción(-3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(4)(26) ) \\ (\frac(8)(26) ) & (\frac(2) (26) ) & (\frac(-2)(26) ) \end(matriz)\right)=\left(\begin(matriz)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\ fracción(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ (-\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2) (13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1)(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\right).$

Encuentre una solución al sistema:

$X=\left(\begin(matriz)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ ( -\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2)(13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1 )(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(matriz)\right)\cdot \left(\begin(matriz)(c) (26) \\ (52) \\ (52 ) \end(matriz)\right)=\left(\begin(matriz)(c) (\frac(1)(13) \cdot 26-\frac(3)(13) \cdot 52+\frac(3 )(13) \cdot 52) ​​\\ (-\frac(3)(26) \cdot 26+\frac(9)(26) \cdot 52+\frac(2)(13) \cdot 52) \\ (\frac(4)(13) \cdot 26+\frac(1)(13) \cdot 52-\frac(1)(13) \cdot 52) ​​\end(arreglo)\right )=\left(\ begin(matriz)(c) (2-12+12) \\ (-3+18+8) \\ (8+4-4) \end(matriz)\right)=\left (\begin(matriz) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(matriz)\right)$

$X=\left(\begin(array)(c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$ - solución deseada del sistema de ecuaciones.

En la primera parte, consideramos material teórico, el método de sustitución, así como el método de suma término por término de ecuaciones del sistema. A todos los que llegaron al sitio a través de esta página, les recomiendo que lean la primera parte. Tal vez, algunos visitantes encontrarán el material demasiado simple, pero en el curso de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, hice una serie de comentarios y conclusiones muy importantes con respecto a la solución de problemas matemáticos en general.

Y ahora analizaremos la regla de Cramer, así como la solución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando la matriz inversa (método matricial). Todos los materiales se presentan de manera simple, detallada y clara, casi todos los lectores podrán aprender cómo resolver sistemas utilizando los métodos anteriores.

Primero consideramos la regla de Cramer en detalle para un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. ¿Para qué? “Después de todo, el sistema más simple puede resolverse con el método de la escuela, ¡mediante la suma término por término!

El hecho es que aunque a veces, pero existe tal tarea: resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas usando las fórmulas de Cramer. En segundo lugar, un ejemplo más simple lo ayudará a comprender cómo usar la regla de Cramer para un caso más complejo: un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Además, existen sistemas de ecuaciones lineales con dos variables, que es recomendable resolver exactamente ¡según la regla de Cramer!

Considere el sistema de ecuaciones

En el primer paso, calculamos el determinante , se llama el principal determinante del sistema.

método de Gauss.

Si , entonces el sistema tiene solución única, y para encontrar las raíces, debemos calcular dos determinantes más:
y

En la práctica, los calificadores anteriores también se pueden denotar con la letra latina.

Las raíces de la ecuación se encuentran mediante las fórmulas:
,

Ejemplo 7

Resolver un sistema de ecuaciones lineales

Solución: Vemos que los coeficientes de la ecuación son bastante grandes, en el lado derecho hay fracciones decimales con coma. La coma es un invitado bastante raro en tareas prácticas en matemáticas, tomé este sistema de un problema econométrico.

¿Cómo resolver tal sistema? Puedes tratar de expresar una variable en términos de otra, pero en este caso, seguramente obtendrás fracciones terriblemente sofisticadas con las que es extremadamente inconveniente trabajar, y el diseño de la solución se verá horrible. Puedes multiplicar la segunda ecuación por 6 y restar término por término, pero aquí aparecerán las mismas fracciones.

¿Qué hacer? En tales casos, las fórmulas de Cramer vienen al rescate.

;

;

Responder: ,

Ambas raíces tienen colas infinitas y se encuentran aproximadamente, lo cual es bastante aceptable (e incluso común) para problemas econométricos.

No se necesitan comentarios aquí, ya que la tarea se resuelve de acuerdo con fórmulas preparadas, sin embargo, hay una advertencia. Al utilizar este método, obligatorio El fragmento de la asignación es el siguiente fragmento: "entonces el sistema tiene una solución única". De lo contrario, el revisor puede castigarlo por no respetar el teorema de Cramer.

No estará de más verificar, lo cual es conveniente realizar en una calculadora: sustituimos los valores aproximados en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema. Como resultado, con un pequeño error, se deben obtener números que están en el lado derecho.

Ejemplo 8

Exprese su respuesta en fracciones impropias ordinarias. Haz un cheque.

Este es un ejemplo de una solución independiente (ejemplo de diseño fino y respuesta al final de la lección).

Pasamos a la consideración de la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Encontramos el principal determinante del sistema:

Si , entonces el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente (no tiene soluciones). En este caso, la regla de Cramer no ayudará, debe usar el método de Gauss.

Si , entonces el sistema tiene solución única, y para encontrar las raíces, debemos calcular tres determinantes más:
, ,

Y finalmente, la respuesta se calcula mediante las fórmulas:

Como puede ver, el caso "tres por tres" no es fundamentalmente diferente del caso "dos por dos", la columna de términos libres "camina" secuencialmente de izquierda a derecha a lo largo de las columnas del determinante principal.

Ejemplo 9

Resuelve el sistema usando las fórmulas de Cramer.

Solución: Resolvamos el sistema usando las fórmulas de Cramer.

, por lo que el sistema tiene solución única.

Responder: .

En realidad, no hay nada especial que comentar aquí nuevamente, en vista del hecho de que la decisión se toma de acuerdo con fórmulas prefabricadas. Pero hay un par de notas.

Sucede que como resultado de los cálculos, se obtienen fracciones irreducibles "malas", por ejemplo: .
Recomiendo el siguiente algoritmo de "tratamiento". Si no hay una computadora a la mano, hacemos esto:

1) Puede haber un error en los cálculos. Tan pronto como encuentre un tiro "malo", debe verificar inmediatamente si es la condición reescrita correctamente. Si la condición se vuelve a escribir sin errores, entonces debe volver a calcular los determinantes usando la expansión en otra fila (columna).

2) Si no se encontraron errores como resultado de la verificación, lo más probable es que se haya cometido un error tipográfico en la condición de la asignación. En este caso, resuelva la tarea con calma y CUIDADOSAMENTE hasta el final, y luego asegúrese de comprobar y redactarlo en copia limpia después de la decisión. Por supuesto, verificar una respuesta fraccionaria es una tarea desagradable, pero será un argumento convincente para el maestro, a quien, bueno, realmente le gusta poner un menos por cualquier cosa mala. La forma de tratar con fracciones se detalla en la respuesta del Ejemplo 8.

Si tiene una computadora a mano, use un programa automatizado para verificarla, que se puede descargar de forma gratuita al comienzo de la lección. Por cierto, es más ventajoso usar el programa de inmediato (incluso antes de comenzar la solución), ¡verá inmediatamente el paso intermedio en el que cometió un error! La misma calculadora calcula automáticamente la solución del sistema utilizando el método matricial.

Segunda observación. De vez en cuando hay sistemas en cuyas ecuaciones faltan algunas variables, por ejemplo:

Aquí en la primera ecuación no hay variable, en la segunda no hay variable. En tales casos, es muy importante escribir correctamente y CUIDADOSAMENTE el determinante principal:
– se colocan ceros en lugar de las variables que faltan.
Por cierto, es racional abrir determinantes con ceros en la fila (columna) en la que se encuentra el cero, ya que hay un número notablemente menor de cálculos.

Ejemplo 10

Resuelve el sistema usando las fórmulas de Cramer.

Este es un ejemplo de auto-resolución (ejemplo final y respuesta al final de la lección).

Para el caso de un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, las fórmulas de Cramer se escriben según principios similares. Puede ver un ejemplo en vivo en la lección Propiedades de los determinantes. Reduciendo el orden del determinante - cinco determinantes de cuarto orden son bastante solucionables. Aunque la tarea ya recuerda mucho al zapato de un profesor en el pecho de un estudiante afortunado.

Solución del sistema usando la matriz inversa

El método de la matriz inversa es esencialmente un caso especial ecuación matricial(Ver Ejemplo No. 3 de la lección especificada).

Para estudiar esta sección, debe poder expandir los determinantes, encontrar la matriz inversa y realizar la multiplicación de matrices. Se proporcionarán enlaces relevantes a medida que avance la explicación.

Ejemplo 11

Resolver el sistema con el método matricial

Solución: Escribimos el sistema en forma matricial:
, dónde

Por favor mire el sistema de ecuaciones y las matrices. Por qué principio escribimos elementos en matrices, creo que todos lo entienden. El único comentario: si faltaran algunas variables en las ecuaciones, habría que poner ceros en los lugares correspondientes de la matriz.

Encontramos la matriz inversa por la fórmula:
, donde es la matriz transpuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz .

Primero, tratemos con el determinante:

Aquí el determinante se expande por la primera línea.

¡Atención! Si , entonces la matriz inversa no existe y es imposible resolver el sistema por el método matricial. En este caso, el sistema se resuelve mediante la eliminación de incógnitas (método de Gauss).

Ahora necesitas calcular 9 menores y escribirlos en la matriz de menores

Referencia: Es útil saber el significado de los subíndices dobles en álgebra lineal. El primer dígito es el número de línea en el que se encuentra el elemento. El segundo dígito es el número de la columna en la que se encuentra el elemento:

Es decir, un subíndice doble indica que el elemento está en la primera fila, tercera columna, mientras que, por ejemplo, el elemento está en la 3ra fila, 2da columna