Muchos sistemas de ecuaciones diferenciales, tanto homogéneos como no homogéneos, se pueden reducir a una ecuación para una función desconocida. Demostremos el método con ejemplos.

Ejemplo 3.1. resolver el sistema

Solución. 1) Diferenciar por t primera ecuación y usando la segunda y tercera ecuaciones para reemplazar Y , encontramos

Diferenciamos la ecuación resultante con respecto a de nuevo

1) Creamos un sistema

De las dos primeras ecuaciones del sistema expresamos las variables Y a través de
:

Sustituyamos las expresiones encontradas por Y en la tercera ecuación del sistema

Entonces, para encontrar la función
obtuvo una ecuación diferencial de tercer orden con coeficientes constantes

.

2) Integramos la última ecuación usando el método estándar: componemos la ecuación característica
, encuentra sus raíces
y construir una solución general en forma de combinación lineal de exponenciales, teniendo en cuenta la multiplicidad de una de las raíces :.

3) Siguiente para encontrar las dos funciones restantes.
Y
, derivamos la función resultante dos veces

Usando conexiones (3.1) entre las funciones del sistema, restauramos las incógnitas restantes.

.

Respuesta. ,
,.

Puede resultar que todas las funciones conocidas excepto una queden excluidas del sistema de tercer orden incluso con una única diferenciación. En este caso, el orden de la ecuación diferencial para encontrarla será menor que el número de funciones desconocidas en el sistema original.

Ejemplo 3.2. Integrar el sistema

(3.2)

Solución. 1) Diferenciar por la primera ecuación, encontramos

Excluyendo variables Y de ecuaciones

tendremos una ecuación de segundo orden con respecto a

(3.3)

2) De la primera ecuación del sistema (3.2) tenemos

(3.4)

Sustituyendo en la tercera ecuación del sistema (3.2) las expresiones encontradas (3.3) y (3.4) para Y , obtenemos una ecuación diferencial de primer orden para determinar la función

Integrando esta ecuación no homogénea con coeficientes constantes de primer orden, encontramos
Usando (3.4), encontramos la función

Respuesta.
,,
.

Tarea 3.1. Resolver sistemas homogéneos reduciéndolos a una ecuación diferencial.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes encontrando un sistema fundamental de soluciones.

La solución general de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas se puede encontrar como una combinación lineal de las soluciones fundamentales del sistema. En el caso de sistemas con coeficientes constantes, se pueden utilizar métodos de álgebra lineal para encontrar soluciones fundamentales.

Ejemplo 3.3. resolver el sistema

(3.5)

Solución. 1) Reescribamos el sistema en forma matricial.

. (3.6)

2) Buscaremos una solución fundamental del sistema en forma de vector.
. Funciones de sustitución
en (3.6) y reduciendo por , obtenemos

, (3.7)

ese es el numero debe ser un valor propio de la matriz
, y el vector el vector propio correspondiente.

3) Del curso de álgebra lineal se sabe que el sistema (3.7) tiene una solución no trivial si su determinante es igual a cero

,

eso es . A partir de aquí encontramos los valores propios.
.

4) Encuentre los vectores propios correspondientes. Sustituyendo el primer valor en (3.7)
, obtenemos un sistema para encontrar el primer vector propio

De aquí obtenemos la conexión entre las incógnitas.
. Nos basta con elegir una solución no trivial. Creyendo
, Entonces
, es decir, el vector es propio del valor propio
, y el vector de función
solución fundamental de un sistema dado de ecuaciones diferenciales (3.5). De manera similar, al sustituir la segunda raíz
en (3.7) tenemos una ecuación matricial para el segundo vector propio
. ¿De dónde obtenemos la conexión entre sus componentes?
. Así, tenemos la segunda solución fundamental.

.

5) La solución general del sistema (3.5) se construye como una combinación lineal de las dos soluciones fundamentales obtenidas.

o en forma de coordenadas

.

Respuesta.

.

Tarea 3.2. Resolver sistemas encontrando el sistema fundamental de soluciones.

................................ 1

1. Introducción............................................... ................................................. ...... ... 2

2. Sistemas de ecuaciones diferenciales de 1er orden................................. 3

3. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden......... 2

4. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes.................................. ............. ................................................. ................... .... 3

5. Sistemas de ecuaciones diferenciales no homogéneas de 1er orden con coeficientes constantes................................. ................ .................................. ........................ ....... 2

transformada de Laplace................................................................................ 1

6. Introducción................................................. ......... ........................................ ............... ... 2

7. Propiedades de la transformada de Laplace................................................. ......... ............ 3

8. Aplicaciones de la transformada de Laplace................................................. ......... ...... 2

Introducción a las ecuaciones integrales............................................................... 1

9. Introducción................................................. .... ................................................. .......... ... 2

10. Elementos de la teoría general de ecuaciones integrales lineales................ 3

11. El concepto de solución iterativa de ecuaciones integrales de Fredholm de segundo tipo................................. ................. ................................. ......................... ........................... ........ 2

12. Ecuación de Volterra................................................ ........................................ 2

13. Resolver las ecuaciones de Volterra con un núcleo en diferencias usando la transformada de Laplace................................. ................. ................................... ........ 2

Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Introducción

Los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias constan de varias ecuaciones que contienen derivadas de funciones desconocidas de una variable. En general, dicho sistema tiene la forma

¿Dónde están las funciones desconocidas? t– variable independiente, – algunas funciones dadas, el índice numera las ecuaciones del sistema. Resolver un sistema de este tipo significa encontrar todas las funciones que satisfagan este sistema.

Como ejemplo, considere la ecuación de Newton, que describe el movimiento de un cuerpo masivo bajo la influencia de una fuerza:

¿Dónde está el vector dibujado desde el origen hasta la posición actual del cuerpo? En el sistema de coordenadas cartesiano, sus componentes son funciones. Por tanto, la ecuación (1.2) se reduce a tres ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Para encontrar funciones en cada momento, obviamente, es necesario conocer la posición inicial del cuerpo y su velocidad en el momento inicial: un total de 6 condiciones iniciales (que corresponden a un sistema de tres ecuaciones de segundo orden):

Las ecuaciones (1.3) junto con las condiciones iniciales (1.4) forman el problema de Cauchy, que, como se desprende claramente de consideraciones físicas, tiene una solución única que da una trayectoria específica del cuerpo si la fuerza satisface criterios de suavidad razonables.

Es importante señalar que este problema se puede reducir a un sistema de 6 ecuaciones de primer orden introduciendo nuevas funciones. Denotemos las funciones como e introduzcamos tres nuevas funciones definidas de la siguiente manera:

El sistema (1.3) ahora se puede reescribir en la forma

Así, hemos llegado a un sistema de seis ecuaciones diferenciales de primer orden para las funciones Las condiciones iniciales para este sistema tienen la forma

Las tres primeras condiciones iniciales dan las coordenadas iniciales del cuerpo, las tres últimas dan la proyección de la velocidad inicial sobre los ejes de coordenadas.

Ejemplo 1.1. Reducir un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.

a un sistema de cuatro ecuaciones de primer orden.

Solución. Introduzcamos la siguiente notación:

En este caso, el sistema original tomará la forma

Dos ecuaciones más dan la notación introducida:

Finalmente, componeremos un sistema de ecuaciones diferenciales de 1er orden, equivalente al sistema original de ecuaciones de 2do orden.

Estos ejemplos ilustran la situación general: cualquier sistema de ecuaciones diferenciales se puede reducir a un sistema de ecuaciones de primer orden. Así, en el futuro podremos limitarnos a estudiar sistemas de ecuaciones diferenciales de 1er orden.

Sistemas de ecuaciones diferenciales de 1er orden.

En general, un sistema de norte Las ecuaciones diferenciales de primer orden se pueden escribir de la siguiente manera:

¿Dónde están las funciones desconocidas de la variable independiente? t, – algunas funciones especificadas. decisión común El sistema (2.1) contiene norte constantes arbitrarias, es decir tiene la forma:

Al describir problemas reales utilizando sistemas de ecuaciones diferenciales, una solución específica o solución privada El sistema se encuentra a partir de una solución general especificando algunos condiciones iniciales. La condición inicial se registra para cada función y para el sistema. norte Las ecuaciones de primer orden se ven así:

Las soluciones se determinan en el espacio. línea llamada línea integral sistemas (2.1).

Formulemos un teorema de existencia y unicidad de soluciones para sistemas de ecuaciones diferenciales.

El teorema de Cauchy. El sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden (2.1) junto con las condiciones iniciales (2.2) tiene una solución única (es decir, un único conjunto de constantes se determina a partir de la solución general) si las funciones y sus derivadas parciales con respecto a todos los argumentos están limitados en las proximidades de estas condiciones iniciales.

Naturalmente, estamos hablando de una solución en algún dominio de variables. .

Resolver un sistema de ecuaciones diferenciales. puede ser visto como función vectorial X, cuyos componentes son funciones y el conjunto de funciones es como una función vectorial F, es decir.

Usando dicha notación, podemos reescribir brevemente el sistema original (2.1) y las condiciones iniciales (2.2) en el llamado forma vectorial:

Un método para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales es reducir el sistema a una única ecuación de orden superior. De las ecuaciones (2.1), así como de las ecuaciones obtenidas por su diferenciación, se puede obtener una ecuación norte de orden para cualquiera de las funciones desconocidas. Al integrarla se encuentra la función desconocida. Las funciones desconocidas restantes se obtienen a partir de las ecuaciones del sistema original y de las ecuaciones intermedias que se obtienen derivando las originales.

Ejemplo 2.1. Resolver un sistema de dos diferenciales de primer orden.

Solución. Diferenciamos la segunda ecuación:

Expresemos la derivada a través de la primera ecuación.

De la segunda ecuación

Hemos obtenido una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Su ecuación característica

de la cual obtenemos Entonces la solución general de esta ecuación diferencial será

Hemos encontrado una de las funciones desconocidas del sistema de ecuaciones original. Usando la expresión puedes encontrar:

Resolvamos el problema de Cauchy en condiciones iniciales.

Sustituyémoslos en la solución general del sistema.

y encuentre las constantes de integración:

Por tanto, la solución al problema de Cauchy serán las funciones

Las gráficas de estas funciones se muestran en la Figura 1.

Arroz. 1. Solución particular del sistema del Ejemplo 2.1 en el intervalo

Ejemplo 2.2. resolver el sistema

reduciéndolo a una sola ecuación de segundo orden.

Solución. Derivando la primera ecuación, obtenemos

Usando la segunda ecuación, llegamos a una ecuación de segundo orden para X:

No es difícil obtener su solución, y luego la función, sustituyendo lo encontrado en la ecuación. Como resultado, tenemos la siguiente solución para el sistema:

Comentario. Encontramos la función de la ecuación. Al mismo tiempo, a primera vista parece que se puede obtener la misma solución sustituyendo la conocida en la segunda ecuación del sistema original.

e integrándolo. Si se encuentra de esta manera, entonces aparece una tercera constante adicional en la solución:

Sin embargo, como es fácil comprobar, la función satisface el sistema original no en un valor arbitrario, sino sólo en Por tanto, la segunda función debe determinarse sin integración.

Sumemos los cuadrados de las funciones y:

La ecuación resultante da una familia de círculos concéntricos centrados en el origen en el plano (ver Figura 2). Las curvas paramétricas resultantes se denominan curvas de fase, y el plano en el que se encuentran es plano de fase.

Al sustituir cualquier condición inicial en la ecuación original, se pueden obtener ciertos valores de las constantes de integración, lo que significa un círculo con un cierto radio en el plano de fase. Por tanto, cada conjunto de condiciones iniciales corresponde a una curva de fase específica. Tomemos, por ejemplo, las condiciones iniciales. . Su sustitución en la solución general da los valores de las constantes. , por tanto, la solución particular tiene la forma . Al cambiar un parámetro en un intervalo, seguimos la curva de fase en el sentido de las agujas del reloj: el valor corresponde al punto de la condición inicial en el eje, el valor corresponde al punto en el eje, el valor corresponde al punto en el eje, el El valor corresponde al punto del eje y volvemos al punto inicial.

¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones diferenciales?

Se supone que el lector ya es bastante bueno resolviendo ecuaciones diferenciales, en particular ecuaciones homogéneas de segundo orden Y ecuaciones no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. No hay nada complicado en los sistemas de ecuaciones diferenciales, y si se siente cómodo con los tipos de ecuaciones anteriores, dominar los sistemas no será difícil.

Hay dos tipos principales de sistemas de ecuaciones diferenciales:

– Sistemas lineales homogéneos de ecuaciones diferenciales.
– Sistemas lineales no homogéneos de ecuaciones diferenciales

Y dos formas principales de resolver un sistema de ecuaciones diferenciales:

– Método de eliminación. La esencia del método es que durante la solución el sistema de ecuaciones diferenciales se reduce a una ecuación diferencial.

– Usando la ecuación característica(el llamado método de Euler).

En la gran mayoría de los casos, es necesario resolver un sistema de ecuaciones diferenciales utilizando el primer método. El segundo método es mucho menos común en situaciones problemáticas; en toda mi práctica, he resuelto como máximo entre 10 y 20 sistemas con él. Pero también consideraremos esto brevemente en el último párrafo de este artículo.

Pido disculpas de inmediato por lo incompleto teórico del material, pero incluí en la lección solo aquellas tareas que realmente se pueden encontrar en la práctica. Es poco probable que aquí se encuentre algo que caiga en forma de lluvia de meteoritos una vez cada cinco años, y ante tales sorpresas debería recurrir a ladrillos difusores especializados.

Sistemas lineales homogéneos de ecuaciones diferenciales.

El sistema homogéneo más simple de ecuaciones diferenciales tiene la siguiente forma:

En realidad, casi todos los ejemplos prácticos se limitan a dicho sistema =)

¿Qué hay ahí?

– estos son números (coeficientes numéricos). Los números más comunes. En particular uno, varios o incluso todos los coeficientes pueden ser cero. Pero estos obsequios rara vez se dan, por lo que la mayoría de las veces los números no son iguales a cero.

Y estas son funciones desconocidas. La variable que actúa como variable independiente es "como X en una ecuación diferencial ordinaria".

Y son las primeras derivadas de las funciones desconocidas y, respectivamente.

¿Qué significa resolver un sistema de ecuaciones diferenciales?

Esto significa encontrar semejante funciones y que satisfagan tanto el primero como el segundo ecuación del sistema. Como puede ver, el principio es muy similar al convencional. sistemas de ecuaciones lineales. Sólo que allí las raíces son números y aquí son funciones.

La respuesta encontrada está escrita en la forma. solución general de un sistema de ecuaciones diferenciales:

¡Entre llaves! Estas funciones están "en un solo arnés".

Para un sistema de control remoto, puede resolver el problema de Cauchy, es decir, encontrar solución particular del sistema, satisfaciendo las condiciones iniciales dadas. Una solución particular del sistema también se escribe entre llaves.

El sistema se puede reescribir de manera más compacta de la siguiente manera:

Pero tradicionalmente, la solución con derivadas escritas en diferenciales es más común, así que acostúmbrese inmediatamente a la siguiente notación:
y – derivados de primer orden;
y son derivadas de segundo orden.

Ejemplo 1

Resuelve el problema de Cauchy para un sistema de ecuaciones diferenciales. con condiciones iniciales , .

Solución: En los problemas, el sistema encuentra con mayor frecuencia condiciones iniciales, por lo que casi todos los ejemplos de esta lección serán con el problema de Cauchy. Pero esto no es importante, ya que todavía habrá que encontrar una solución general en el camino.

Resolvamos el sistema. por eliminación. Permítanme recordarles que la esencia del método es reducir el sistema a una ecuación diferencial. Y espero que resuelvas bien las ecuaciones diferenciales.

El algoritmo de solución es estándar:

1) tomar segunda ecuación del sistema y expresamos de él:

Necesitaremos esta ecuación hacia el final de la solución y la marcaré con un asterisco. En los libros de texto sucede que se encuentran con 500 notaciones, y luego dicen: "según la fórmula (253) ...", y buscan esta fórmula 50 páginas atrás. Me limitaré a una sola marca (*).

2) Diferenciar en ambos lados de la ecuación resultante:

Con “trazos” el proceso se ve así:

Es importante que este simple punto quede claro; no me extenderé más en él.

3) Sustituyamos y en la primera ecuación del sistema:

Y hagamos las máximas simplificaciones:

El resultado es lo más normal. ecuación homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Con “trazos” se escribe así: .

– se obtienen raíces reales diferentes, por tanto:
.

Una de las funciones ha sido encontrada a mitad de camino.

Sí, tenga en cuenta que obtuvimos una ecuación característica con un discriminante "bueno", lo que significa que no cometimos ningún error en la sustitución y las simplificaciones.

4) Vamos a por la función. Para hacer esto, tomamos la función ya encontrada. y encontrar su derivada. Nos diferenciamos por:

sustituyamos y en la ecuación (*):

O en resumen:

5) Se han encontrado ambas funciones, anotemos la solución general del sistema:

Respuesta: solución privada:

La respuesta recibida es bastante fácil de comprobar, la verificación se realiza en tres pasos:

1) Comprobar si realmente se cumplen las condiciones iniciales:

Se cumplen ambas condiciones iniciales.

2) Comprobemos si la respuesta encontrada satisface la primera ecuación del sistema.

Tomamos la función de la respuesta. y encontrar su derivada:

sustituyamos , Y en la primera ecuación del sistema:

Se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que la respuesta encontrada satisface la primera ecuación del sistema.

3) Comprobemos si la respuesta satisface la segunda ecuación del sistema.

Tomamos la función de la respuesta y encontramos su derivada:

sustituyamos , Y en la segunda ecuación del sistema:

Se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que la respuesta encontrada satisface la segunda ecuación del sistema.

Verificación completada. ¿Qué está marcado? Se ha verificado el cumplimiento de las condiciones iniciales. Y, lo más importante, se demuestra el hecho de que la solución particular encontrada satisface a cada ecuación del sistema original .

Del mismo modo, puedes consultar la solución general. , la verificación será aún más breve, ya que no es necesario comprobar si se cumplen las condiciones iniciales.

Ahora volvamos al sistema resuelto y hagamos un par de preguntas. La solución comenzó así: tomamos la segunda ecuación del sistema y la expresamos a partir de ella. ¿Era posible expresar no “X”, sino “Y”? Si expresamos , entonces esto no nos dará nada; en esta expresión de la derecha hay tanto una "y" como una "x", por lo que no podremos deshacernos de la variable y reducir la solución del sistema. a la solución de una ecuación diferencial.

Pregunta dos. ¿Era posible empezar a resolver no desde la segunda, sino desde la primera ecuación del sistema? Poder. Veamos la primera ecuación del sistema: . En él tenemos dos “X” y una “Y”, por lo que es necesario expresar estrictamente “Y” mediante “X”: . La siguiente es la primera derivada: . Entonces deberías sustituir Y en la segunda ecuación del sistema. La solución será completamente equivalente, con la diferencia de que primero encontraremos la función y luego .

Y solo para el segundo método habrá un ejemplo de solución independiente:

Ejemplo 2

Encuentre una solución particular al sistema de ecuaciones diferenciales que satisfaga las condiciones iniciales dadas.

En la solución de muestra, que se proporciona al final de la lección, a partir de la primera ecuación se expresa y toda la danza comienza a partir de esta expresión. Intente hacer usted mismo una solución de espejo, punto por punto, sin mirar la muestra.

También puedes seguir la ruta del Ejemplo No. 1: de la segunda ecuación, expresa (tenga en cuenta que es “x” lo que debe expresarse). Pero este método es menos racional porque terminamos con una fracción, lo cual no es del todo conveniente.

Sistemas lineales no homogéneos de ecuaciones diferenciales.

Casi igual, solo que la solución tardará un poco más.

El sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales, que en la mayoría de los casos se puede encontrar en los problemas, tiene la siguiente forma:

En comparación con un sistema homogéneo, a cada ecuación se le añade adicionalmente una determinada función que depende de "te". Las funciones pueden ser constantes (y al menos una de ellas no es igual a cero), exponenciales, senos, cosenos, etc.

Ejemplo 3

Encuentre una solución particular al sistema de ecuaciones diferenciales lineales correspondiente a las condiciones iniciales dadas.

Solución: Se da un sistema lineal no homogéneo de ecuaciones diferenciales; las constantes actúan como "aditivos". Usamos método de eliminación, mientras que el algoritmo de solución en sí se conserva por completo. Para variar, comenzaré con la primera ecuación.

1) De la primera ecuación del sistema expresamos:

Esto es algo importante, así que lo protagonizaré de nuevo. Es mejor no abrir los paréntesis; ¿por qué hay fracciones extra?

Y observe nuevamente que es la “y” la que se expresa a partir de la primera ecuación, mediante dos “X” y una constante.

2) Diferenciar en ambos lados:

La constante (tres) ha desaparecido, debido a que la derivada de la constante es igual a cero.

3) Sustituyamos Y en la segunda ecuación del sistema :

Inmediatamente después de la sustitución, es recomendable deshacerse de las fracciones, para ello multiplicamos cada parte de la ecuación por 5:

Ahora hacemos simplificaciones:

El resultado fue ecuación lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Ésta, en esencia, es toda la diferencia con la solución de un sistema homogéneo de ecuaciones discutida en el párrafo anterior.

Nota: Sin embargo, en un sistema no homogéneo a veces se puede obtener una ecuación homogénea.

Encontremos la solución general de la ecuación homogénea correspondiente:

Compongamos y resolvamos la ecuación característica:

– se obtienen raíces complejas conjugadas, por tanto:
.

Las raíces de la ecuación característica resultaron ser “buenas” nuevamente, lo que significa que estamos en el camino correcto.

Buscamos una solución particular a la ecuación no homogénea en la forma.
Encontremos la primera y segunda derivada:

Sustituyamos en el lado izquierdo de la ecuación no homogénea:

De este modo:

Cabe señalar que una solución particular se selecciona fácilmente de forma oral y es bastante aceptable, en lugar de largos cálculos, escribir: "Es obvio que una solución particular de una ecuación no homogénea: . "

Como resultado:

4) Buscamos una función. Primero encontramos la derivada de la función ya encontrada:

No es especialmente agradable, pero estos derivados se encuentran a menudo en los difusores.

La tormenta está en pleno apogeo y ahora habrá una novena ola. Átate con una cuerda a la cubierta.

sustituyamos
y en la ecuación (*):

5) Solución general del sistema:

6) Encuentre una solución particular correspondiente a las condiciones iniciales. :

Finalmente, una solución privada:

Verás, qué historia con final feliz, ahora puedes navegar sin miedo en barcos por el mar sereno bajo el suave sol.

Respuesta: solución privada:

Por cierto, si comienzas a resolver este sistema a partir de la segunda ecuación, los cálculos serán mucho más simples (puedes intentarlo), pero muchos visitantes del sitio pidieron analizar cosas más difíciles. ¿Cómo puedes negarte? =) Que haya ejemplos más serios.

Un ejemplo más fácil de resolver por tu cuenta:

Ejemplo 4

Encuentre una solución particular a un sistema lineal no homogéneo de ecuaciones diferenciales correspondiente a las condiciones iniciales dadas.

Resolví este problema usando el ejemplo del Ejemplo No. 1, es decir, "x" se expresa a partir de la segunda ecuación. La solución y la respuesta están al final de la lección.

En los ejemplos considerados, no fue casualidad que utilicé notaciones diferentes y apliqué soluciones diferentes. Así, por ejemplo, las derivadas en la misma tarea se escribieron de tres maneras: . En matemáticas superiores no hay que temer todo tipo de garabatos, lo principal es comprender el algoritmo de solución.

Método de ecuación característica(Método Euleriano)

Como se señaló al principio del artículo, utilizando una ecuación característica rara vez es necesario resolver un sistema de ecuaciones diferenciales, por lo que en el último párrafo consideraré solo un ejemplo.

Ejemplo 5

Dado un sistema lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales.

Encuentre una solución general a un sistema de ecuaciones usando la ecuación característica.

Solución: Observamos el sistema de ecuaciones y componemos un determinante de segundo orden:

Creo que todos pueden ver según qué principio se compiló el determinante.

Creemos una ecuación característica, para esto, a partir de cada número que se ubica en diagonal principal, resta algún parámetro:

En una copia limpia, por supuesto, debes escribir inmediatamente la ecuación característica; te la explico detalladamente, paso a paso, para que quede claro qué viene de dónde.

Ampliamos el determinante:

Y encontramos las raíces de la ecuación cuadrática:

Si la ecuación característica tiene dos raíces reales diferentes, entonces la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales tiene la forma:

Ya conocemos los coeficientes en los exponentes, solo queda encontrar los coeficientes.

1) Considere la raíz y sustitúyala en la ecuación característica:

(tampoco es necesario que escriba estos dos determinantes en el papel en blanco, sino que cree inmediatamente el siguiente sistema de forma oral)

Usando los números del determinante, componemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

De ambas ecuaciones se desprende la misma igualdad:

Ahora necesitas elegir el menos value , de modo que el valor sea un número entero. Obviamente, debes configurar . Y si entonces

Representación matricial de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (SODE) con coeficientes constantes

SODE lineal homogéneo con coeficientes constantes $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) + a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right.$,

donde $y_(1)\left(x\right),\; y_(2)\izquierda(x\derecha),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- las funciones requeridas de la variable independiente $x$, coeficientes $a_(jk),\; 1\le j,k\le n$ -- dado numeros reales Representémoslo en notación matricial:

1. matriz de funciones requeridas $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
2. matriz derivados soluciones $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
3. Matriz de coeficientes SODE $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.

Ahora, según la regla de multiplicación de matrices, este SODE se puede escribir en forma de ecuación matricial $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

Método general para resolver SODE con coeficientes constantes.

Dejalo ser matriz algunos números $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)$.

La solución al SODE se encuentra de la siguiente forma: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. En forma matricial: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)$.

De aquí obtenemos:

Ahora a la ecuación matricial de este SODE se le puede dar la forma:

La ecuación resultante se puede representar de la siguiente manera:

La última igualdad muestra que vector$\alpha $ se transforma usando la matriz $A$ en un vector paralelo $k\cdot \alpha $. Esto significa que el vector $\alpha $ es un vector propio de la matriz $A$, correspondiente al valor propio $k$.

El número $k$ se puede determinar a partir de la ecuación $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.

Esta ecuación se llama característica.

Sean diferentes todas las raíces $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ de la ecuación característica. Para cada valor $k_(i) $ del sistema $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ una matriz de valores ​​se puede definir $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i \right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.

Uno de los valores de esta matriz se elige al azar.

Finalmente, la solución de este sistema en forma matricial se escribe de la siguiente manera:

$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ left(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(array)\right)$,

donde $C_(i) $ son constantes arbitrarias.

Tarea

Resuelva el sistema DE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_ ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\right.$.

Escribimos la matriz del sistema: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

En forma matricial, este SODE se escribe de la siguiente manera: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)\cdot \left( \begin(matriz)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(matriz)\right)$.

Obtenemos la ecuación característica:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, es decir, $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.

Las raíces de la ecuación característica son: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

Creemos un sistema para calcular $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ right)) ) \end(array)\right)$ para $k_(1) =1$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (matriz)\derecha)=0,\]

es decir, $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right ) ) =0$.

Poniendo $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, obtenemos $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.

Creemos un sistema para calcular $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ right)) ) \end(array)\right)$ para $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (matriz)\derecha)=0, \]

es decir, $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right ) ) =0$.

Poniendo $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$, obtenemos $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.

Obtenemos la solución de SODE en forma matricial:

\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\right).\]

En la forma habitual, la solución del SODE tiene la forma: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x ) ) \end(array )\right.$.