در این پست و چند پست بعدی به مدل های ریاضی خواهیم پرداخت رویدادهای تصادفی. مدل ریاضییک عبارت ریاضی است که یک متغیر تصادفی را نشان می دهد. برای متغیرهای تصادفی گسسته، این عبارت ریاضی به عنوان تابع توزیع شناخته می شود.

اگر مشکل به شما اجازه می دهد که به صراحت یک عبارت ریاضی را که نشان دهنده یک متغیر تصادفی است بنویسید، می توانید احتمال دقیق هر یک از مقادیر آن را محاسبه کنید. در این حالت می توانید تمام مقادیر تابع توزیع را محاسبه و فهرست کنید. توزیع‌های متنوعی از متغیرهای تصادفی در کاربردهای تجاری، جامعه‌شناسی و پزشکی مشاهده می‌شود. یکی از مفیدترین توزیع ها دو جمله ای است.

توزیع دو جمله ای برای شبیه سازی موقعیت هایی که با ویژگی های زیر مشخص می شوند استفاده می شود.

• نمونه از تعداد ثابتی از عناصر تشکیل شده است n، نشان دهنده نتایج یک آزمون خاص است.
• هر عنصر نمونه متعلق به یکی از دو دسته متقابل منحصر به فرد است که کل فضای نمونه را خسته می کند. به طور معمول این دو دسته موفقیت و شکست نامیده می شوند.
• احتمال موفقیت آرثابت است بنابراین، احتمال شکست است 1 - ص.
• نتیجه (یعنی موفقیت یا شکست) هر آزمایشی به نتیجه آزمایش دیگری بستگی ندارد. برای اطمینان از استقلال نتایج، عناصر نمونه معمولاً با استفاده از دو روش مختلف به دست می‌آیند. هر عنصر نمونه به طور تصادفی از یک نامتناهی استخراج می شود جمعیتبدون بازگشت یا از یک جمعیت محدود با بازگشت.

یادداشت را با فرمت یا نمونه ها در قالب دانلود کنید

توزیع دو جمله ای برای تخمین تعداد موفقیت ها در یک نمونه متشکل از استفاده می شود nمشاهدات بیایید سفارش را به عنوان مثال در نظر بگیریم. مشتریان شرکت ساکسون برای ثبت سفارش می توانند از فرم الکترونیکی تعاملی استفاده کرده و آن را برای شرکت ارسال کنند. سپس سیستم اطلاعاتی خطا، اطلاعات ناقص یا نادرست در سفارشات را بررسی می کند. هر سفارش مورد نظر علامت گذاری شده و در گزارش استثنای روزانه گنجانده شده است. داده های جمع آوری شده توسط شرکت نشان می دهد که احتمال خطا در سفارشات 0.1 است. یک شرکت مایل است بداند که احتمال یافتن تعداد معینی از سفارشات اشتباه در یک نمونه مشخص چقدر است. به عنوان مثال، فرض کنید مشتریان چهار فرم الکترونیکی را پر می کنند. احتمال اینکه همه سفارشات بدون خطا باشد چقدر است؟ چگونه این احتمال را محاسبه کنیم؟ با موفقیت، خطا را هنگام پر کردن فرم درک خواهیم کرد و سایر نتایج شکست تلقی خواهند شد. به یاد داشته باشید که ما به تعداد سفارشات اشتباه در یک نمونه معین علاقه مند هستیم.

چه نتایجی را می توانیم مشاهده کنیم؟ اگر نمونه از چهار مرتبه تشکیل شده باشد، ممکن است یک، دو، سه یا هر چهار مرتبه نادرست باشد و ممکن است همه آنها صحیح باشند. می توان مقدار تصادفیبا تشریح تعداد فرم های نادرست تکمیل شده، مقدار دیگری را در نظر بگیرید؟ این امکان پذیر نیست زیرا تعداد فرم های نادرست نمی تواند از حجم نمونه بیشتر شود nیا منفی باشد بنابراین، یک متغیر تصادفی اطاعت می کند قانون دوجمله ایتوزیع، مقادیر از 0 تا را می گیرد n.

فرض کنید در یک نمونه چهار مرتبه نتایج زیر مشاهده می شود:

احتمال یافتن سه مرتبه اشتباه در یک نمونه چهار مرتبه، به ترتیب مشخص شده چقدر است؟ از آنجایی که تحقیقات اولیه نشان داده است که احتمال خطا هنگام پر کردن فرم 0.10 است، احتمال نتایج فوق به صورت زیر محاسبه می شود:

از آنجایی که نتایج به یکدیگر وابسته نیستند، احتمال توالی مشخص شده از نتایج برابر است با: p*p*(1–p)*p = 0.1*0.1*0.9*0.1 = 0.0009. اگر نیاز به محاسبه تعداد انتخاب دارید ایکس nعناصر، باید از فرمول ترکیبی (1) استفاده کنید:

کجا n! = n * (n –1) * (n – 2) * … * 2 * 1 - فاکتوریل یک عدد n، و 0! = 1 و 1! = 1 طبق تعریف

این عبارت اغلب به عنوان . بنابراین، اگر n = 4 و X = 3 باشد، تعداد دنباله های متشکل از سه عنصر استخراج شده از حجم نمونه 4 با فرمول زیر تعیین می شود:

بنابراین، احتمال تشخیص سه دستور اشتباه به صورت زیر محاسبه می شود:

(تعداد دنباله های ممکن) *
(احتمال یک دنباله خاص) = 4 * 0.0009 = 0.0036

به همین ترتیب، می توانید احتمال اینکه از بین چهار ترتیب یک یا دو اشتباه وجود داشته باشد و همچنین احتمال اشتباه بودن یا درست بودن همه ترتیبات را محاسبه کنید. اما با افزایش حجم نمونه nتعیین احتمال یک توالی خاص از نتایج دشوارتر می شود. در این صورت مناسب است مدل ریاضی، توزیع دوجمله ای تعداد انتخاب ها را توصیف می کند ایکساشیاء از یک انتخاب شامل nعناصر.

توزیع دو جمله ای

جایی که P(X)- احتمال ایکسموفقیت برای یک حجم نمونه معین nو احتمال موفقیت آر, ایکس = 0, 1, … n.

لطفاً توجه داشته باشید که فرمول (2) رسمی سازی نتیجه گیری های شهودی است. مقدار تصادفی ایکس، که از توزیع دو جمله ای تبعیت می کند، می تواند هر عدد صحیحی را در محدوده 0 تا داشته باشد n. کار کنید آرایکس(1 - p)n – ایکسنشان دهنده احتمال یک دنباله خاص متشکل از ایکسموفقیت در حجم نمونه برابر است n. مقدار تعداد ترکیبات ممکن را تعیین می کند ایکسموفقیت در nتست ها بنابراین، برای تعداد معینی از آزمایشات nو احتمال موفقیت آراحتمال یک دنباله متشکل از ایکسموفقیت، برابر

P(X) = (تعداد دنباله های ممکن) * (احتمال یک دنباله خاص) =

اجازه دهید نمونه هایی را در نظر بگیریم که کاربرد فرمول (2) را نشان می دهد.

1. فرض کنید احتمال پرکردن نادرست فرم 0.1 باشد. احتمال اینکه از بین چهار فرم تکمیل شده، سه مورد نادرست باشد چقدر است؟ با استفاده از فرمول (2) متوجه می شویم که احتمال تشخیص سه مرتبه اشتباه در نمونه ای متشکل از چهار مرتبه برابر است با

2. فرض کنید احتمال پرکردن نادرست فرم 0.1 باشد. احتمال اینکه از بین چهار فرم تکمیل شده حداقل سه مورد نادرست باشد چقدر است؟ همانطور که در مثال قبل نشان داده شد، احتمال اینکه از بین چهار فرم تکمیل شده، سه فرم نادرست باشد 0.0036 است. برای محاسبه احتمال اینکه از بین چهار فرم تکمیل شده حداقل سه فرم نادرست باشد، باید احتمال اینکه از بین چهار فرم تکمیل شده سه نادرست باشد و احتمال اینکه از بین چهار فرم تکمیل شده همه نادرست باشند را اضافه کنید. احتمال رخداد دوم است

بنابراین، احتمال اینکه از بین چهار فرم تکمیل شده حداقل سه مورد نادرست باشد برابر است

P(X > 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0.0036 + 0.0001 = 0.0037

3. فرض کنید احتمال پرکردن اشتباه فرم 0.1 باشد. احتمال اینکه از چهار فرم تکمیل شده کمتر از سه فرم نادرست باشد چقدر است؟ احتمال این اتفاق

P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

با استفاده از فرمول (2) هر یک از این احتمالات را محاسبه می کنیم:

بنابراین، P(X< 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.

احتمال P(X< 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х>3. سپس P(X< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.

با افزایش حجم نمونه nمحاسبات مشابه آنچه در مثال 3 انجام شد دشوار می شود. برای جلوگیری از این عوارض، بسیاری از احتمالات دو جمله ای از قبل جدول بندی شده اند. برخی از این احتمالات در شکل نشان داده شده است. 1. مثلاً برای بدست آوردن این احتمال که ایکس= 2 در n= 4 و پ= 0.1، باید عددی را که در تقاطع خط قرار دارد از جدول استخراج کنید ایکس= 2 و ستون آر = 0,1.

برنج. 1. احتمال دو جمله ای در n = 4, ایکس= 2 و آر = 0,1

توزیع دوجمله ای را می توان با استفاده از توابع اکسل=BINOM.DIST() (شکل 2)، که دارای 4 پارامتر است: تعداد موفقیت - ایکستعداد تست ها (یا حجم نمونه) – n، احتمال موفقیت – آر، پارامتر انتگرال، که مقدار TRUE را می گیرد (در این حالت احتمال محاسبه می شود نه کمتر ایکسرویدادها) یا FALSE (در این مورد احتمال محاسبه می شود دقیقا ایکسمناسبت ها).

برنج. 2. پارامترهای تابع =BINOM.DIST()

برای سه مثال بالا، محاسبات در شکل نشان داده شده است. 3 (به فایل اکسل نیز مراجعه کنید). هر ستون شامل یک فرمول است. اعداد پاسخ نمونه های عدد مربوطه را نشان می دهند).

برنج. 3. محاسبه توزیع دو جمله ای در اکسل برای n= 4 و پ = 0,1

ویژگی های توزیع دو جمله ای

توزیع دو جمله ای به پارامترها بستگی دارد nو آر. توزیع دو جمله ای می تواند متقارن یا نامتقارن باشد. اگر p = 0.05، توزیع دوجمله ای بدون توجه به مقدار پارامتر متقارن است. n. با این حال، اگر p ≠ 0.05، توزیع کج می شود. چگونه ارزش نزدیک ترپارامتر آربه 0.05 و اندازه نمونه بزرگتر است n، عدم تقارن توزیع کمتر مشخص می شود. بنابراین، توزیع تعداد فرم های نادرست تکمیل شده به سمت راست منحرف می شود زیرا پ= 0.1 (شکل 4).

برنج. 4. هیستوگرام توزیع دوجمله ای در n= 4 و پ = 0,1

انتظار توزیع دوجمله ایبرابر حاصلضرب حجم نمونه nدر مورد احتمال موفقیت آر:

(3) M = E(X) =n.p.

به طور متوسط، با یک سری آزمایش به اندازه کافی طولانی در یک نمونه متشکل از چهار مرتبه، ممکن است P = E(X) = 4 x 0.1 = 0.4 فرم های اشتباه تکمیل شده وجود داشته باشد.

انحراف استاندارد توزیع دو جمله ای

به عنوان مثال، انحراف استاندارد تعداد فرم های اشتباه تکمیل شده در یک سیستم اطلاعات حسابداری عبارت است از:

از مطالب کتاب Levin et al Statistics for Manager استفاده شده است. - م.: ویلیامز، 2004. - ص. 307-313

بیایید توزیع Binomial را در نظر بگیریم، انتظارات ریاضی، واریانس و حالت آن را محاسبه کنیم. با استفاده از تابع MS EXCEL (BINOM.DIST)، نمودارهایی از تابع توزیع و چگالی احتمال را رسم خواهیم کرد. اجازه دهید پارامتر توزیع p را تخمین بزنیم، انتظارات ریاضیتوزیع و انحراف معیار. بیایید توزیع برنولی را نیز در نظر بگیریم.

تعریف. اجازه دهید آنها برگزار شود nآزمایشاتی که در هر یک از آنها فقط 2 رویداد می تواند رخ دهد: رویداد "موفقیت" با احتمال پ یا یک رویداد "شکست" با احتمال q =1-p (به اصطلاح طرح برنولی،برنولیآزمایش های).

احتمال دریافت دقیقا ایکس موفقیت در اینها n تست ها برابر است با:

تعداد موفقیت در نمونه ایکس یک متغیر تصادفی است که دارد توزیع دو جمله ای(انگلیسی) دو جمله ایتوزیع) پو n– پارامترهای این توزیع هستند.

لطفاً آن را برای استفاده به خاطر بسپارید طرح های برنولیو به همین ترتیب توزیع دو جمله ای،شرایط زیر باید رعایت شود:

• هر آزمون باید دقیقاً دو نتیجه داشته باشد که معمولاً "موفقیت" و "شکست" نامیده می شود.
• نتیجه هر آزمون نباید به نتایج آزمون های قبلی (استقلال آزمون) بستگی داشته باشد.
• احتمال موفقیت پ برای تمام تست ها باید ثابت باشد.

توزیع دو جمله ای در MS EXCEL

در MS EXCEL، از نسخه 2010، برای توزیع دو جمله اییک تابع BINOM.DIST()، وجود دارد نام انگلیسی- BINOM.DIST()، که به شما امکان می دهد تا احتمال اینکه نمونه دقیقاً حاوی خواهد بود را محاسبه کنید ایکس"موفقیت" (یعنی تابع چگالی احتمال p(x)، فرمول بالا را ببینید)، and تابع توزیع تجمعی(احتمالی که نمونه خواهد داشت ایکسیا کمتر "موفقیت"، از جمله 0).

قبل از MS EXCEL 2010، EXCEL یک تابع (BINOMIST) داشت که به شما امکان محاسبه را نیز می دهد. تابع توزیعو چگالی احتمالی p(x). BINOMIST () در MS EXCEL 2010 برای سازگاری باقی مانده است.

فایل مثال حاوی نمودارها است توزیع چگالی احتمالو .

توزیع دو جمله ایتعیین را دارد ب(n; پ) .

توجه داشته باشید: برای ساخت تابع انتگرالتوزیعنمودار نوع کامل برنامه، برای چگالی توزیع – هیستوگرام با گروه بندی. برای اطلاعات بیشتر در مورد ایجاد نمودار، مقاله انواع اساسی نمودار را مطالعه کنید.

توجه داشته باشید: برای سهولت در نوشتن فرمول ها، نام پارامترها در فایل مثال ایجاد شده است توزیع دو جمله ای: n و p.

فایل نمونه شامل محاسبات مختلفاحتمالات با استفاده از توابع MS EXCEL:

همانطور که در تصویر بالا مشاهده می کنید، فرض بر این است که:

• جامعه نامتناهی که نمونه از آن گرفته شده است شامل 10٪ (یا 0.1) عناصر معتبر (پارامتر) است. پ، آرگومان تابع سوم = BINOM.DIST())
• برای محاسبه این احتمال که در یک نمونه 10 عنصری (پارامتر n، آرگومان دوم تابع) دقیقاً 5 عنصر معتبر وجود خواهد داشت (آگومان اول)، باید فرمول را بنویسید: =BINOM.DIST(5، 10، 0.1، FALSE)
• آخرین، چهارمین عنصر تنظیم شده = FALSE، i.e. مقدار تابع برگردانده می شود چگالی توزیع.

اگر مقدار آرگومان چهارم = TRUE باشد، تابع BINOM.DIST() مقدار را برمی گرداند. تابع توزیع تجمعییا به سادگی تابع توزیع. در این حالت، می توانید احتمال اینکه تعداد عناصر خوب در یک نمونه از یک محدوده خاص، مثلاً 2 یا کمتر (شامل 0) باشد، محاسبه کنید.

برای این کار باید فرمول را بنویسید:
= BINOM.DIST(2; 10; 0.1; TRUE)

توجه داشته باشید: برای یک مقدار غیرصحیح x، . مثلا، فرمول های زیرهمان مقدار را برمی گرداند:
=BINOM.DIST( 2 ; 10; 0.1; درست است، واقعی)
=BINOM.DIST( 2,9 ; 10; 0.1; درست است، واقعی)

توجه داشته باشید: در فایل نمونه چگالی احتمالیو تابع توزیعهمچنین با استفاده از تعریف و تابع NUMBERCOMB() محاسبه می شود.

شاخص های توزیع

که در نمونه فایل در کاربرگ مثالفرمول هایی برای محاسبه برخی از شاخص های توزیع وجود دارد:

• =n*p;
• (انحراف استاندارد مربع) = n*p*(1-p);
• = (n+1)*p;
• =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

بیایید فرمول را استخراج کنیم انتظارات ریاضی توزیع دو جمله ایاستفاده كردن مدار برنولی.

طبق تعریف، متغیر تصادفی X در طرح برنولی(متغیر تصادفی برنولی) دارد تابع توزیع:

این توزیع نامیده می شود توزیع برنولی.

توجه داشته باشید: توزیع برنولی – مورد خاص توزیع دو جمله ایبا پارامتر n=1.

بیایید 3 آرایه 100 عددی با احتمال موفقیت متفاوت ایجاد کنیم: 0.1; 0.5 و 0.9. برای انجام این کار در پنجره تولید اعداد تصادفیاجازه دهید پارامترهای زیر را برای هر احتمال p تنظیم کنیم:

توجه داشته باشید: اگر گزینه را تنظیم کنید پراکندگی تصادفی (دانه تصادفی، سپس می توانید مجموعه تصادفی خاصی از اعداد تولید شده را انتخاب کنید. برای مثال با تنظیم این گزینه =25 می توانید تولید کنید کامپیوترهای مختلفهمان مجموعه اعداد تصادفی (البته اگر سایر پارامترهای توزیع منطبق باشند). مقدار گزینه می تواند مقادیر صحیح را از 1 تا 32767 بگیرد پراکندگی تصادفیممکن است گیج کننده باشد بهتر است به این صورت ترجمه شود شماره گیری با اعداد تصادفی.

در نتیجه ما 3 ستون 100 عددی خواهیم داشت که بر اساس آنها می توانیم به عنوان مثال احتمال موفقیت را تخمین بزنیم. پطبق فرمول: تعداد موفقیت/100(سانتی متر. برگه فایل نمونه GenerationBernoulli).

توجه داشته باشید: برای توزیع های برنولیبا p=0.5 می توانید از فرمول =RANDBETWEEN(0;1) استفاده کنید که با .

تولید اعداد تصادفی توزیع دو جمله ای

فرض کنید 7 محصول معیوب در نمونه وجود دارد. این به این معنی است که "بسیار محتمل" است که نسبت محصولات معیوب تغییر کرده باشد پکه از خصوصیات ماست فرایند تولید. اگرچه چنین وضعیتی "بسیار محتمل" است، اما این احتمال وجود دارد (خطر آلفا، خطای نوع 1، "هشدار کاذب") که پبدون تغییر باقی ماند و افزایش تعداد محصولات معیوب به دلیل نمونه گیری تصادفی بود.

همانطور که در شکل زیر مشاهده می شود، 7 تعداد محصولات معیوب قابل قبول برای فرآیندی با 0.21=p در همان مقدار است. آلفا. این نشان می دهد که وقتی از مقدار آستانه اقلام معیوب در یک نمونه فراتر رفت، پ"به احتمال زیاد" افزایش یافته است. عبارت "به احتمال زیاد" به این معنی است که تنها به احتمال 10٪ (100٪ - 90٪) وجود دارد که انحراف درصد محصولات معیوب بالاتر از آستانه فقط به دلایل تصادفی باشد.

بنابراین، فراتر رفتن از آستانه تعداد محصولات معیوب در نمونه می تواند به عنوان سیگنالی باشد که فرآیند به هم ریخته و شروع به تولید محصولات مستعمل کرده است. Oدرصد بالاتر محصولات معیوب

توجه داشته باشید: قبل از MS EXCEL 2010، EXCEL یک تابع CRITBINOM() داشت که معادل BINOM.INV(). CRITBINOM() در MS EXCEL 2010 و بالاتر برای سازگاری باقی مانده است.

رابطه توزیع دو جمله ای با سایر توزیع ها

اگر پارامتر n توزیع دو جمله ایبه بی نهایت تمایل دارد و پبه 0 تمایل دارد، سپس در این مورد توزیع دو جمله ایمی توان تقریب زد.
ما می توانیم شرایط را زمانی که تقریب فرموله کنیم توزیع پواسونخوب کار می کند:

• پ<0,1 (کمتر پو بیشتر n، هر چه تقریب دقیق تر باشد)
• پ>0,9 (با توجه به اینکه q=1- پ، محاسبات در این مورد باید از طریق انجام شود q(آ ایکسنیاز به تعویض دارد n- ایکس). بنابراین، هر چه کمتر qو بیشتر n، هر چه تقریب دقیق تر باشد).

در 0.1<=p<=0,9 и n*p>10 توزیع دو جمله ایمی توان تقریب زد.

در نوبتش، توزیع دو جمله ایهنگامی که اندازه جمعیت N باشد، ممکن است به عنوان یک تقریب خوب عمل کند توزیع فرا هندسیبسیار بزرگتر از اندازه نمونه n (یعنی N>>n یا n/N<<1).

جزئیات بیشتر در مورد رابطه بین توزیع های فوق را می توان در مقاله یافت. همچنین نمونه هایی از تقریب وجود دارد و شرایط زمانی که ممکن است و با چه دقتی توضیح داده شده است.

مشاوره: می توانید در مورد سایر توزیع های MS EXCEL در مقاله بخوانید.

توزیع احتمال متغیرهای تصادفی گسسته. توزیع دو جمله ای. توزیع پواسون توزیع هندسی تابع تولید.

6. توزیع احتمال متغیرهای تصادفی گسسته

6.1. توزیع دو جمله ای

بگذارید تولید شود nمحاکمه های مستقل، که در هر یک از این رویداد آممکن است ظاهر شود یا نباشد. احتمال پوقوع یک رویداد آدر همه آزمون ها ثابت است و از آزمونی به آزمون دیگر تغییر نمی کند. به عنوان یک متغیر تصادفی X تعداد وقوع رویداد را در نظر بگیرید آدر این تست ها فرمولی برای یافتن احتمال وقوع یک رویداد آصاف کیک بار در هر nآزمایشات، همانطور که مشخص است، شرح داده شده است فرمول برنولی

توزیع احتمال تعریف شده توسط فرمول برنولی نامیده می شود دو جمله ای .

این قانون "دوجمله ای" نامیده می شود زیرا سمت راست را می توان به عنوان یک اصطلاح کلی در بسط دو جمله ای نیوتن در نظر گرفت.

بیایید قانون دوجمله ای را به صورت جدول بنویسیم

	پ n	n.p. n –1 q				q n

اجازه دهید ویژگی های عددی این توزیع را پیدا کنیم.

با تعریف انتظارات ریاضی برای DSV، ما داریم

.

اجازه دهید تساوی را بنویسیم که یک باینری نیوتنی است

.

و آن را با توجه به p متمایز کنید. در نتیجه بدست می آوریم

.

ضلع چپ و راست را در ضرب کنید پ:

.

با توجه به اینکه پ+ q=1، ما داریم

(6.2)

بنابراین، انتظارات ریاضی از تعداد وقوع رویدادها درnآزمایش‌های مستقل برابر است با حاصل ضرب تعداد آزمایش‌هاnبر اساس احتمالپوقوع یک رویداد در هر آزمایش.

بیایید واریانس را با استفاده از فرمول محاسبه کنیم

.

برای این ما پیدا خواهیم کرد

.

اجازه دهید ابتدا فرمول دوجمله ای نیوتن را دو بار با توجه به آن متمایز کنیم پ:

و هر دو طرف تساوی را در ضرب کنید پ 2:

از این رو،

بنابراین، واریانس توزیع دو جمله ای است

. (6.3)

این نتایج را می توان از استدلال صرفاً کیفی نیز به دست آورد. تعداد کل X وقوع رویداد A در تمام آزمایش‌ها، مجموع تعداد وقوع رویداد در آزمایش‌های فردی است. بنابراین، اگر X 1 تعداد وقوع رویداد در آزمایش اول، X 2 - در آزمایش دوم و غیره باشد، تعداد کل وقوع رویداد A در همه آزمایش‌ها برابر است با X = X 1 +X 2 +…+X n. با توجه به ویژگی انتظار ریاضی:

هر یک از اصطلاحات سمت راست برابری، انتظار ریاضی تعداد رویدادها در یک آزمایش است که برابر با احتمال رویداد است. بدین ترتیب،

با توجه به خاصیت پراکندگی:

از آنجا که، و انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی ، که فقط می تواند دو مقدار یعنی 1 2 با احتمال را بگیرد پو 0 2 با احتمال q، آن
. بدین ترتیب،
در نتیجه می گیریم

با استفاده از مفهوم گشتاورهای اولیه و مرکزی، می‌توانیم فرمول‌هایی برای عدم تقارن و کشیدگی به دست آوریم:

. (6.4)

برنج. 6.1

چند ضلعی توزیع دو جمله ای شکل زیر را دارد (شکل 6.1 را ببینید). احتمال P n (ک) ابتدا با افزایش افزایش می یابد ک، به بالاترین مقدار خود می رسد و سپس شروع به کاهش می کند. توزیع دوجمله ای به جز مورد کج است پ=0.5. توجه داشته باشید که با تعداد زیادی تست nتوزیع دوجمله ای بسیار نزدیک به نرمال است. (دلیل این پیشنهاد مربوط به قضیه محلی مویور-لاپلاس است.)

عددمتر 0 وقوع یک رویداد نامیده می شودبه احتمال زیاد ، اگر احتمال وقوع یک رویداد در تعداد معینی بار در این سری از آزمایش ها بیشترین باشد (حداکثر در چند ضلعی توزیع). برای توزیع دوجمله ای

اظهار نظر. این نابرابری را می توان با استفاده از فرمول بازگشتی برای احتمالات دو جمله ای اثبات کرد:

(6.6)

مثال 6.1.سهم محصولات ممتاز در این شرکت 31 درصد است. انتظارات و واریانس ریاضی و همچنین محتمل ترین تعداد محصولات ممتاز در یک دسته 75 محصولی انتخاب شده به صورت تصادفی چیست؟

راه حل. از آنجا که پ=0,31, q=0,69, n= 75، پس

M[ ایکس] = n.p.= 750.31 = 23.25; D[ ایکس] = npq = 750,310,69 = 16,04.

برای یافتن محتمل ترین عدد متر 0، بیایید یک نابرابری مضاعف ایجاد کنیم

نتیجه می شود که متر 0 = 23.

توزیع دو جمله ای

توزیع احتمال تعداد وقوع برخی رویدادها در طول آزمایشات مستقل مکرر. اگر در طول هر آزمایش احتمال وقوع یک رویداد برابر باشد R،و 0 ≤ پ≤ 1، سپس تعداد μ وقوع این رویداد در nکارآزمایی های مستقل یک متغیر تصادفی وجود دارد که مقادیر را در نظر می گیرد متر = 1, 2,.., nبا احتمالات

جایی که q= 1 - پ،آ - ضرایب دو جمله ای (از این رو نام B. R.). فرمول فوق گاهی فرمول برنولی نامیده می شود. ارزش مورد انتظارو پراکندگیمقادیر μ که دارای B.r است برابر است با م(μ) = n.p.و D(μ) = npq، به ترتیب. در بزرگ nبه موجب قضیه لاپلاس (نگاه کنید به قضیه لاپلاس، B.r. نزدیک به توزیع نرمال (نگاه کنید به توزیع نرمال) که در عمل از آن استفاده می کنند. برای کوچک nباید از جداول B.r استفاده کنید.

روشن: Bolshev L. N.، Smirnov N. V.، جداول آمار ریاضی، M.، 1965.

دایره المعارف بزرگ شوروی. - م.: دایره المعارف شوروی. 1969-1978 .

ببینید «توزیع دوجمله‌ای» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

تابع احتمال ... ویکی پدیا

- (توزیع دوجمله ای) توزیعی که به شما امکان می دهد احتمال وقوع هر رویداد تصادفی را که در نتیجه مشاهدات تعدادی رویداد مستقل به دست می آید محاسبه کنید، در صورتی که احتمال وقوع اجزای اولیه آن ... ... فرهنگ لغت اقتصادی

- (توزیع برنولی) توزیع احتمال تعداد وقوع یک رویداد خاص در طول آزمایشات مستقل مکرر، در صورتی که احتمال وقوع این رویداد در هر آزمایش برابر با p(0 p 1) باشد. دقیقا عدد؟ اتفاقات این رویداد عبارتند از ...... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

توزیع دو جمله ای- - مباحث مخابرات، مفاهیم اولیه توزیع دو جمله ای EN ...

- (توزیع برنولی)، توزیع احتمال تعداد وقوع یک رویداد خاص در طول آزمایشات مستقل مکرر، در صورتی که احتمال وقوع این رویداد در هر آزمایش برابر با p (0≤p≤1) باشد. یعنی تعداد μ وقوع این رویداد... ... فرهنگ لغت دایره المعارفی

توزیع دو جمله ای- 1.49. توزیع دو جمله ای توزیع احتمال یک متغیر تصادفی گسسته X، با گرفتن هر مقدار صحیح از 0 تا n، به طوری که برای x = 0، 1، 2، ...، n و پارامترهای n = 1، 2، ... و 0< p < 1, где Источник … فرهنگ لغت - کتاب مرجع شرایط اسناد هنجاری و فنی

توزیع برنولی، توزیع احتمال یک متغیر تصادفی X، با گرفتن مقادیر صحیح با احتمالات، به ترتیب (ضریب دوجمله ای؛ پارامتر p از B.r.، به نام احتمال یک نتیجه مثبت، با گرفتن مقادیر ... دایره المعارف ریاضی

- (توزیع برنولی)، توزیع احتمال تعداد وقوع یک رویداد خاص در طول آزمایشات مستقل مکرر، در صورتی که احتمال وقوع این رویداد در هر آزمایش برابر با p باشد (0).<или = p < или = 1). Именно, число м появлений … علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

توزیع احتمال دو جمله ای- (توزیع دوجمله ای) توزیعی که در مواردی مشاهده می شود که نتیجه هر آزمایش مستقل (مشاهده آماری) یکی از دو مقدار ممکن را بگیرد: پیروزی یا شکست، شمول یا طرد، به علاوه یا ... فرهنگ لغت اقتصادی و ریاضی

توزیع احتمال دو جمله ای- توزیعی که در مواردی مشاهده می شود که نتیجه هر آزمایش مستقل (مشاهده آماری) یکی از دو مقدار ممکن را بگیرد: پیروزی یا شکست، شمول یا حذف، مثبت یا منفی، 0 یا 1. یعنی... ... راهنمای مترجم فنی

کتاب ها

• نظریه احتمالات و آمار ریاضی در مسائل. بیش از 360 مسئله و تمرین، D. A. Borzykh. کتابچه راهنمای پیشنهادی شامل وظایفی با سطوح مختلف پیچیدگی است. با این حال، تأکید اصلی بر وظایف با پیچیدگی متوسط ​​است. این کار عمداً برای تشویق دانش آموزان به ...
• نظریه احتمالات و آمار ریاضی در مسائل: بیش از 360 مسئله و تمرین، برزیخ د.. کتابچه راهنمای پیشنهادی شامل مسائلی با سطوح مختلف پیچیدگی است. با این حال، تأکید اصلی بر وظایف با پیچیدگی متوسط ​​است. این کار عمداً برای تشویق دانش آموزان به ...