با ماتریس A، اگر یک عدد l وجود داشته باشد که AX = lX باشد.

در این حالت، عدد l را مقدار ویژه عملگر (ماتریس A) می نامند که مربوط به بردار X است.

به عبارت دیگر، بردار ویژه برداری است که تحت عمل یک عملگر خطی، به یک بردار خطی تبدیل می شود، یعنی. فقط در یک عدد ضرب کنید در مقابل، بردارهای نامناسب برای تبدیل پیچیده تر هستند.

بیایید تعریف بردار ویژه را در قالب یک سیستم معادلات بنویسیم:

بیایید همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل کنیم:

سیستم اخیر را می توان به صورت ماتریسی به صورت زیر نوشت:

(A - lE)X = O

سیستم به دست آمده همیشه یک جواب صفر دارد X = O. چنین سیستم هایی که در آنها تمام عبارات آزاد برابر با صفر هستند، همگن نامیده می شوند. اگر ماتریس چنین سیستمی مربع باشد و تعیین کننده آن نباشد برابر با صفر، سپس طبق فرمول های کرامر ما همیشه یک راه حل منحصر به فرد - صفر خواهیم داشت. می توان ثابت کرد که یک سیستم راه حل های غیر صفر دارد اگر و تنها در صورتی که تعیین کننده این ماتریس برابر با صفر باشد، یعنی.

|A - lE| = = 0

این معادله با l مجهول، معادله مشخصه (چند جمله ای مشخصه) ماتریس A (عملگر خطی) نامیده می شود.

می توان ثابت کرد که چند جمله ای مشخصه یک عملگر خطی به انتخاب مبنا بستگی ندارد.

به عنوان مثال، بیایید مقادیر ویژه و بردارهای ویژه عملگر خطی را که با ماتریس A = تعریف شده است، پیدا کنیم.

برای انجام این کار، اجازه دهید یک معادله مشخصه |A - lE| ایجاد کنیم = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; مقادیر ویژه l 1 = (2 - 12)/2 = -5؛ l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

برای یافتن بردارهای ویژه، دو سیستم معادله را حل می کنیم

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

برای اولین مورد، ماتریس گسترش یافته شکل می گیرد

,

از آنجا x 2 = c، x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s، یعنی. X (1) = (-(2/3)s؛ s).

برای دومی از آنها، ماتریس گسترش یافته شکل می گیرد

,

از جایی که x 2 = c 1، x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1، یعنی. X (2) = ((2/3)s 1؛ s 1).

بنابراین، بردارهای ویژه این عملگر خطی، همه بردارهای شکل (-(2/3)с؛ c) با مقدار ویژه (-5) و همه بردارهای شکل ((2/3)с 1 ; с 1) با مقدار ویژه 7.

می توان ثابت کرد که ماتریس عملگر A در پایه متشکل از بردارهای ویژه آن مورب است و به شکل زیر است:

,

جایی که l i مقادیر ویژه این ماتریس هستند.

عکس این قضیه نیز صادق است: اگر ماتریس A در برخی از پایه ها مورب باشد، تمام بردارهای این مبنا بردارهای ویژه این ماتریس خواهند بود.

همچنین می توان ثابت کرد که اگر یک عملگر خطی دارای n مقدار ویژه متمایز جفتی باشد، بردارهای ویژه متناظر به صورت خطی مستقل هستند و ماتریس این عملگر در مبنای متناظر دارای فرم مورب است.

بیایید این را با مثال قبلی توضیح دهیم. بیایید مقادیر دلخواه غیر صفر c و c 1 را در نظر بگیریم، اما به گونه ای که بردارهای X (1) و X (2) به صورت خطی مستقل باشند، یعنی. مبنایی را تشکیل خواهد داد. برای مثال، اجازه دهید c = c 1 = 3، سپس X (1) = (-2؛ 3)، X (2) = (2؛ 3).

بیایید مطمئن شویم استقلال خطیاین بردارها:

12 ≠ 0. در این مبنای جدید، ماتریس A به شکل A * = خواهد بود.

برای تأیید این موضوع، از فرمول A * = C -1 AC استفاده می کنیم. ابتدا بیایید C -1 را پیدا کنیم.

C -1 = ;

اشکال درجه دوم

شکل درجه دوم f(x 1, x 2, x n) n متغیر مجموعی است که هر جمله آن یا مجذور یکی از متغیرها است یا حاصل ضرب دو متغیر مختلف با یک ضریب معین: f( x 1، x 2، x n ) = (a ij = a ji).

ماتریس A که از این ضرایب تشکیل شده است، ماتریس فرم درجه دوم نامیده می شود. این همیشه یک ماتریس متقارن است (یعنی یک ماتریس متقارن در مورد قطر اصلی، a ij = a ji).

در نمادگذاری ماتریسی، شکل درجه دوم f(X) = X T AX است، که در آن

در واقع

به عنوان مثال، بیایید در آن بنویسیم فرم ماتریسیفرم درجه دوم

برای انجام این کار، ماتریسی از فرم درجه دوم را پیدا می کنیم. عناصر مورب آن برابر با ضرایب متغیرهای مربع است و عناصر باقی مانده برابر با نصف ضرایب متناظر شکل درجه دوم است. از همین رو

اجازه دهید ماتریس-ستون متغیرهای X با تبدیل خطی غیر منحط ماتریس-ستون Y به دست آید، یعنی. X = CY، که در آن C یک ماتریس غیر مفرد از مرتبه n است. سپس فرم درجه دوم f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

بنابراین، با یک تبدیل خطی غیر منحط C، ماتریس فرم درجه دوم به شکل A * = C T AC می باشد.

برای مثال، بیایید شکل درجه دوم f(y 1, y 2) را که از شکل درجه دوم f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 با تبدیل خطی بدست می آید، پیدا کنیم.

اگر تمام ضرایب آن a ij = 0 برای i ≠ j باشد، یک شکل درجه دوم متعارف نامیده می شود (شکل متعارفی دارد).
f(x 1، x 2، x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

ماتریس آن مورب است.

قضیه (اثبات در اینجا ذکر نشده است). هر شکل درجه دوم را می توان با استفاده از تبدیل خطی غیر منحط به شکل متعارف کاهش داد.

برای مثال، اجازه دهید شکل درجه دوم را به شکل متعارف کاهش دهیم
f(x 1، x 2، x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

برای این کار ابتدا یک مربع کامل با متغیر x 1 انتخاب کنید:

f(x 1، x 2، x 3) = 2 (x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

حالا یک مربع کامل با متغیر x 2 انتخاب می کنیم:

f(x 1، x 2، x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

سپس تبدیل خطی غیر منحط y 1 = x 1 + x 2، y 2 = x 2 + (1/10)x 3 و y 3 = x 3 این شکل درجه دوم را به شکل متعارف f(y 1, y 2 می کند. ، y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2.

توجه داشته باشید که شکل متعارف یک فرم درجه دوم به طور مبهم تعیین می شود (همان شکل درجه دوم را می توان به شکل متعارف کاهش داد. راه های مختلف). با این حال، دریافت شده است راه های مختلفاشکال متعارف تعدادی از خواص عمومی. به طور خاص، تعداد عبارت های دارای ضرایب مثبت (منفی) یک فرم درجه دوم به روش کاهش فرم به این شکل بستگی ندارد (به عنوان مثال، در مثال در نظر گرفته شده همیشه دو ضریب منفی و یک ضریب مثبت وجود خواهد داشت). این ویژگی را قانون اینرسی اشکال درجه دوم می نامند.

اجازه دهید این را با آوردن همان شکل درجه دوم به شکل متعارف آن به روشی دیگر تأیید کنیم. اجازه دهید تبدیل را با متغیر x 2 شروع کنیم:

f(x 1، x 2، x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3 (x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2، که در آن y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3، y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 و y 3 = x 1 . در اینجا یک ضریب منفی 3 در y 1 و دو ضریب مثبت 3 و 2 در y 2 و y 3 وجود دارد (و با استفاده از روش دیگری ضریب منفی (5-) در y 2 و دو ضریب مثبت دریافت کردیم: 2 در y 1 و 1/20 در سال 3).

همچنین لازم به ذکر است که رتبه یک ماتریس یک فرم درجه دوم که به آن رتبه فرم درجه دوم گفته می شود. برابر عددضرایب غیر صفر شکل متعارف است و تحت تبدیل های خطی تغییر نمی کند.

یک فرم درجه دوم f(X) مثبت (منفی) قطعی نامیده می شود اگر برای همه مقادیر متغیرهایی که همزمان برابر با صفر نیستند، مثبت باشد، یعنی. f(X) > 0 (منفی، یعنی.
f (X)< 0).

برای مثال، شکل درجه دوم f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 مثبت است، زیرا مجموع مربع ها است و شکل درجه دوم f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 منفی قطعی است، زیرا نشان می دهد که می توان آن را به صورت f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 نشان داد.

در اکثر موقعیت های عملی، ایجاد علامت قطعی یک شکل درجه دوم تا حدودی دشوارتر است، بنابراین برای این کار از یکی از قضایای زیر استفاده می کنیم (آنها را بدون اثبات فرمول بندی می کنیم).

قضیه. یک شکل درجه دوم مثبت (منفی) قطعی است اگر و فقط در صورتی که همه مقادیر ویژه ماتریس آن مثبت (منفی) باشند.

قضیه (معیار سیلوستر). یک فرم درجه دوم قطعی مثبت است اگر و تنها در صورتی که همه مینورهای اصلی ماتریس این شکل مثبت باشند.

مینور اصلی (زاویه ای) مرتبه k ام ماتریس مرتبه n A تعیین کننده ماتریس است که از k ردیف و ستون اول ماتریس A () تشکیل شده است.

توجه داشته باشید که برای اشکال درجه دوم قطعی منفی، علائم صغیر اصلی متناوب است و صغیر مرتبه اول باید منفی باشد.

برای مثال، اجازه دهید شکل درجه دوم f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 را برای قطعیت علامت بررسی کنیم.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. بنابراین، شکل درجه دوم مثبت قطعی است.

روش 2. مینور اصلی مرتبه اول ماتریس A D 1 = a 11 = 2 > 0. مینور اصلی از مرتبه دوم D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. بنابراین، طبق معیار سیلوستر، شکل درجه دوم است. مثبت قطعی

شکل درجه دوم دیگری را برای قطعیت علامت بررسی می کنیم، f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

روش 1. بیایید یک ماتریس از شکل درجه دوم A = بسازیم. معادله مشخصهشبیه خواهد شد = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. بنابراین، شکل درجه دوم قطعی منفی است.

روش 2. مینور اصلی مرتبه اول ماتریس A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. در نتیجه، با توجه به معیار سیلوستر، شکل درجه دوم قطعی منفی است (علائم خرده اصلی متناوب، با شروع با منفی).

و به عنوان مثال دیگر، شکل درجه دوم تعیین شده با علامت را بررسی می کنیم f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

روش 1. بیایید یک ماتریس از شکل درجه دوم A = بسازیم. معادله مشخصه شکل خواهد داشت = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

یکی از این اعداد منفی و دیگری مثبت است. نشانه های مقادیر ویژه متفاوت است. در نتیجه، شکل درجه دوم می تواند نه منفی و نه مثبت معین باشد، یعنی. این شکل درجه دوم علامت مشخص نیست (می تواند مقادیر هر علامتی را بگیرد).

روش 2. مینور اصلی مرتبه اول ماتریس A D 1 = a 11 = 2 > 0. مینور اصلی مرتبه دوم D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

www.site به شما امکان می دهد تا پیدا کنید. سایت محاسبه را انجام می دهد. در عرض چند ثانیه سرور صادر می شود راه حل صحیح. معادله مشخصه برای ماتریس یک عبارت جبری خواهد بود که طبق قانون محاسبه تعیین کننده ماتریس ماتریس پیدا می شود، در حالی که مورب اصلی تفاوت در مقادیر عناصر مورب و متغیر خواهد بود. هنگام محاسبه معادله مشخصه برای یک ماتریس به صورت آنلاین، هر عنصر ماتریس با سایر عناصر مربوط به ماتریس ضرب خواهد شد. شما می توانید آن را به صورت آنلاین فقط برای یک ماتریس مربع پیدا کنید. عملیات یافتن معادله مشخصه برای یک ماتریس آنلاین به محاسبه مجموع جبری حاصلضرب عناصر ماتریس در نتیجه یافتن تعیین کننده ماتریس، تنها به منظور تعیین معادله مشخصه برای آنلاین کاهش می یابد. ماتریس این عملیات جایگاه ویژه ای را در تئوری ماتریس اشغال می کند و به شما امکان می دهد مقادیر ویژه و بردارها را با استفاده از ریشه ها پیدا کنید. وظیفه یافتن معادله مشخصه برای یک ماتریس به صورت آنلاین، ضرب عناصر ماتریس با جمع بعدی این محصولات در یک قانون خاص. www.site معادله مشخصه یک ماتریس از یک بعد معین را به صورت آنلاین پیدا می کند. محاسبه معادله مشخصه یک ماتریس به صورت آنلاین برای یک بعد معین، یافتن یک چند جمله ای با ضرایب عددی یا نمادین است که طبق قانون محاسبه تعیین کننده یک ماتریس - به عنوان مجموع محصولات عناصر مربوطه ماتریس، فقط برای هدف از تعیین معادله مشخصه برای ماتریس آنلاین است. یافتن یک چند جمله ای با توجه به یک متغیر برای یک ماتریس مربع، به عنوان تعریف معادله مشخصه برای ماتریس، در نظریه ماتریس رایج است. مقدار ریشه های چند جمله ای معادله مشخصه برای یک ماتریس آنلاین برای تعیین بردارهای ویژه و مقادیر ویژه برای ماتریس استفاده می شود. علاوه بر این، اگر تعیین کننده ماتریس برابر با صفر باشد، بر خلاف ماتریس معکوس، معادله مشخصه ماتریس همچنان وجود خواهد داشت. برای محاسبه معادله مشخصه برای یک ماتریس یا یافتن معادلات مشخصه برای چندین ماتریس به طور همزمان، باید زمان و تلاش زیادی صرف کنید، در حالی که سرور ما معادله مشخصه یک ماتریس را در عرض چند ثانیه به صورت آنلاین پیدا می کند. در این صورت، پاسخ به یافتن معادله مشخصه برای یک ماتریس آنلاین صحیح و با دقت کافی خواهد بود، حتی اگر اعداد هنگام یافتن معادله مشخصه برای یک ماتریس آنلاین غیرمنطقی باشد. در وب سایت www.site، ورودی های نمادین در عناصر ماتریس مجاز است، یعنی معادله مشخصه برای یک ماتریس آنلاین را می توان به صورت نمادین کلی در هنگام محاسبه معادله مشخصه یک ماتریس آنلاین نشان داد. بررسی پاسخ به دست آمده هنگام حل مسئله یافتن معادله مشخصه یک ماتریس به صورت آنلاین با استفاده از وب سایت www.site مفید است. هنگام انجام عملیات محاسبه چند جمله ای - معادله مشخصه یک ماتریس، هنگام حل این مشکل باید مراقب و بسیار متمرکز باشید. به نوبه خود، سایت ما به شما کمک می کند تا راه حل خود را در مورد معادله مشخصه یک ماتریس به صورت آنلاین بررسی کنید. اگر برای بررسی طولانی مشکلات حل شده وقت ندارید، مطمئناً www.site خواهد بود ابزار مناسببرای بررسی هنگام یافتن و محاسبه معادله مشخصه برای ماتریس آنلاین.

نحوه درج فرمول های ریاضیبه وب سایت؟

اگر زمانی نیاز دارید که یک یا دو فرمول ریاضی را به یک صفحه وب اضافه کنید، ساده ترین راه برای انجام این کار همانطور که در مقاله توضیح داده شده است: فرمول های ریاضی به راحتی به شکل تصاویری که به طور خودکار توسط Wolfram Alpha تولید می شوند در سایت قرار می گیرند. . این روش جهانی علاوه بر سادگی، به بهبود دید سایت در موتورهای جستجو کمک خواهد کرد. مدت زیادی است که کار می کند (و فکر می کنم برای همیشه کار خواهد کرد)، اما از نظر اخلاقی منسوخ شده است.

اگر به طور مرتب از فرمول های ریاضی در سایت خود استفاده می کنید، توصیه می کنم از MathJax استفاده کنید - یک کتابخانه جاوا اسکریپت ویژه که نمادهای ریاضی را در مرورگرهای وب با استفاده از نشانه گذاری MathML، LaTeX یا ASCIIMathML نمایش می دهد.

دو راه برای شروع استفاده از MathJax وجود دارد: (1) با استفاده از یک کد ساده، می توانید به سرعت یک اسکریپت MathJax را به وب سایت خود متصل کنید، که به طور خودکار از یک سرور راه دور در زمان مناسب بارگذاری می شود (لیست سرورها). (2) اسکریپت MathJax را از یک سرور راه دور به سرور خود دانلود کنید و آن را به تمام صفحات سایت خود متصل کنید. روش دوم - پیچیده تر و وقت گیرتر - باعث افزایش سرعت بارگذاری صفحات سایت شما می شود و اگر سرور مادر MathJax به دلایلی موقتاً از دسترس خارج شود، این به هیچ وجه روی سایت شما تأثیر نخواهد گذاشت. با وجود این مزایا، من روش اول را انتخاب کردم زیرا ساده تر، سریع تر است و به مهارت های فنی نیاز ندارد. از من پیروی کنید و تنها در عرض 5 دقیقه می توانید از تمام ویژگی های MathJax در سایت خود استفاده کنید.

می توانید اسکریپت کتابخانه MathJax را از یک سرور راه دور با استفاده از دو گزینه کد گرفته شده از وب سایت اصلی MathJax یا در صفحه مستندات متصل کنید:

یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها و یا بلافاصله بعد از برچسب. طبق گزینه اول MathJax سریعتر بارگذاری می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را نظارت و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را وارد کنید، صفحات کندتر بارگذاری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی های MathJax ندارید.

ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را اضافه کنید که برای درج کد جاوا اسکریپت شخص ثالث طراحی شده است، نسخه اول یا دوم کد دانلود ارائه شده در بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیکتر قرار دهید. به ابتدای الگو (به هر حال، این اصلا ضروری نیست، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب سایت خود وارد کنید.

هر فراکتال بر اساس قانون خاصی ساخته می شود که به طور مداوم تعداد نامحدودی بارها اعمال می شود. هر چنین زمانی را تکرار می نامند.

الگوریتم تکراری برای ساخت اسفنج منگر بسیار ساده است: مکعب اصلی با ضلع 1 توسط صفحات موازی با وجوه خود به 27 مکعب مساوی تقسیم می شود. یک مکعب مرکزی و 6 مکعب مجاور آن در امتداد وجوه از آن برداشته می شود. نتیجه مجموعه ای متشکل از 20 مکعب کوچکتر باقی مانده است. با انجام همین کار با هر یک از این مکعب ها، مجموعه ای متشکل از 400 مکعب کوچکتر بدست می آوریم. با ادامه این روند بی پایان، یک اسفنج منگر به دست می آوریم.

سیستم معادلات خطی همگن

سیستم همگن معادلات خطیسیستم فرم نامیده می شود

واضح است که در این مورد ، زیرا تمام عناصر یکی از ستون ها در این تعیین کننده ها برابر با صفر هستند.

از آنجایی که مجهولات طبق فرمول ها پیدا می شوند ، در صورتی که Δ ≠ 0 باشد، سیستم یک راه حل صفر منحصر به فرد دارد ایکس = y = z= 0. با این حال، در بسیاری از مسائل سوال جالب این است که آیا؟ سیستم همگنراه حل هایی غیر از صفر

قضیه. به منظور سیستم خطیمعادلات همگن

یک راه حل غیر صفر داشت، لازم و کافی است که Δ ≠ 0 باشد. بنابراین، اگر تعیین کننده Δ ≠ 0 باشد، آنگاه سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. اگر Δ ≠ 0 باشد، سیستم معادلات همگن خطی داردمجموعه بی نهایت

تصمیمات

مثال ها.

بردارهای ویژه و مقادیر ویژه یک ماتریس , اجازه دهید یک ماتریس مربع داده شودایکس - تعدادی ماتریس-ستون که ارتفاع آن با ترتیب ماتریس منطبق است. .

آ اجازه دهید یک ماتریس مربع داده شود

در بسیاری از مسائل باید معادله را در نظر بگیریم

جایی که λ عدد معینی است. واضح است که برای هر λ این معادله یک جواب صفر دارد. عدد λ را که این معادله راه حل های غیر صفر دارد نامیده می شودمقدار خاص - تعدادی ماتریس-ستون که ارتفاع آن با ترتیب ماتریس منطبق استماتریس ها اجازه دهید یک ماتریس مربع داده شود، آ برای چنین λ نامیده می شودمقدار خاص - تعدادی ماتریس-ستون که ارتفاع آن با ترتیب ماتریس منطبق است.

بردار ویژه - تعدادی ماتریس-ستون که ارتفاع آن با ترتیب ماتریس منطبق استبیایید بردار ویژه ماتریس را پیدا کنیم . از آنجا که∙E X = X ، سپس معادله ماتریس را می توان به صورت بازنویسی کرد . در شکل بسط یافته، این معادله را می توان به صورت سیستمی از معادلات خطی بازنویسی کرد. واقعا .

و بنابراین

بنابراین، سیستمی از معادلات خطی همگن برای تعیین مختصات به دست آورده ایم x 1, x 2, x 3بردار اجازه دهید یک ماتریس مربع داده شود. برای اینکه یک سیستم جواب های غیر صفر داشته باشد کافی و ضروری است که تعیین کننده سیستم برابر با صفر باشد، یعنی.

این معادله درجه 3 برای λ است. نامیده می شود معادله مشخصهمقدار خاص - تعدادی ماتریس-ستون که ارتفاع آن با ترتیب ماتریس منطبق استو برای تعیین مقادیر ویژه λ خدمت می کند.

هر مقدار ویژه λ مربوط به یک بردار ویژه است اجازه دهید یک ماتریس مربع داده شود، که مختصات آن از سیستم در مقدار متناظر λ تعیین می شود.

تصمیمات

جبر برداری. مفهوم بردار

هنگام مطالعه شاخه های مختلف فیزیک، کمیت هایی وجود دارد که با تعیین مقادیر عددی آنها به طور کامل تعیین می شوند، مثلاً طول، مساحت، جرم، دما و غیره. به چنین مقادیری اسکالر می گویند. با این حال، علاوه بر آنها، کمیت هایی نیز وجود دارد که برای تعیین آنها، علاوه بر مقدار عددی، باید جهت آنها را در فضا نیز دانست، به عنوان مثال، نیروی وارد بر بدن، سرعت و شتاب بدن وقتی در فضا حرکت می کند، تنش میدان مغناطیسیدر یک نقطه معین از فضا و غیره به چنین کمیت ها کمیت های برداری می گویند.

اجازه دهید تعریف دقیقی را معرفی کنیم.

بخش کارگردانی شدهبیایید یک قطعه را نام ببریم که نسبت به انتهای آن مشخص است که کدام یک از آنها اول است و کدام دوم.

برداریک قطعه جهت دار با طول معین نامیده می شود، یعنی. این قطعه ای با طول معین است که در آن یکی از نقاط محدود کننده آن به عنوان ابتدا و دومی به عنوان پایان در نظر گرفته می شود. اگر - تعدادی ماتریس-ستون که ارتفاع آن با ترتیب ماتریس منطبق است– ابتدای بردار، بپایان آن است، سپس بردار با نماد نشان داده می شود، علاوه بر این، بردار اغلب با یک حرف مشخص می شود. در شکل، بردار با یک قطعه و جهت آن با یک فلش نشان داده شده است.

مدول، سپس معادله ماتریس را می توان به صورت بازنویسی کرد طولبردار به طول قطعه جهت دار گفته می شود که آن را تعریف می کند. مشخص شده با || یا ||.

ما همچنین بردار صفر را که ابتدا و انتهای آن بر هم منطبق است به عنوان بردار درج خواهیم کرد. تعیین شده است. بردار صفر جهت خاصی ندارد و مدول آن صفر ||=0 است.

بردارها نامیده می شوند خطی، اگر روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار گیرند. علاوه بر این، اگر بردارها و در یک جهت باشند، در مقابل می نویسیم.

بردارهایی که روی خطوط مستقیم موازی با همان صفحه قرار دارند نامیده می شوند هم صفحه.

دو بردار نامیده می شوند برابر، اگر خطی باشند، جهت یکسان و از نظر طول برابر هستند. در این مورد می نویسند.

از تعریف برابری بردارها چنین استنباط می شود که یک بردار را می توان به موازات خود حمل کرد و مبدا خود را در هر نقطه ای از فضا قرار داد.

مثلا .

عملیات خطی روی بردارها

ضرب بردار در عدد.

حاصل ضرب یک بردار و عدد λ بردار جدیدی است به طوری که:

حاصل ضرب یک بردار و یک عدد λ با نشان داده می شود.

به عنوان مثال، یک بردار وجود دارد که در جهت همان بردار است و طول آن نصف بردار است.

عملیات معرفی شده دارای ویژگی های زیر است:

اضافه بردار.

اجازه دهید و دو بردار دلخواه باشد. بیایید یک نکته دلخواه را در نظر بگیریم Oو یک بردار بسازید. پس از آن از نقطه - تعدادی ماتریس-ستون که ارتفاع آن با ترتیب ماتریس منطبق استبیایید بردار را کنار بگذاریم. بردار اتصال ابتدای بردار اول به انتهای بردار دوم نامیده می شود میزاناز این بردارها و نشان داده می شود .

تعریف فرمول بندی شده جمع بردار نامیده می شود قانون متوازی الاضلاع، از آنجایی که مجموع یکسان بردارها را می توان به صورت زیر بدست آورد. از اصل موضوع به تعویق بیفتیم Oبردارها و . بیایید یک متوازی الاضلاع روی این بردارها بسازیم OABC. از آنجایی که بردارها، پس بردار، که قطری از متوازی الاضلاع است که از راس کشیده شده است. O، بدیهی است که مجموع بردارها خواهد بود.

بررسی ویژگی های زیر جمع بردار آسان است.

تفاوت برداری

بردار هم خط به یک بردار معین، از نظر طول مساوی و جهت مخالف، نامیده می شود مقابلبردار برای یک بردار و با نشان داده می شود. بردار مخالف را می توان حاصل ضرب بردار در عدد λ = –1: .

بردار ویژه یک ماتریس مربع بردار ویژه ای است که وقتی در یک ماتریس معین ضرب می شود، یک بردار خطی ایجاد می کند. به زبان ساده، هنگام ضرب یک ماتریس در یک بردار ویژه، دومی ثابت می ماند، اما در یک عدد معین ضرب می شود.

تعریف

بردار ویژه یک بردار غیرصفر V است که وقتی در ماتریس مربع M ضرب می شود، مقداری λ افزایش می یابد. در نماد جبری به نظر می رسد:

M × V = λ × V،

جایی که λ - مقدار خاصماتریس های M.

بیایید به یک مثال عددی نگاه کنیم. برای سهولت در ضبط، اعداد در ماتریس با یک نقطه ویرگول از هم جدا می شوند. اجازه دهید ماتریس داشته باشیم:

• M = 0; 4
• 6; 10.

بیایید آن را در یک بردار ستون ضرب کنیم:

• V = -2;

وقتی یک ماتریس را در بردار ستونی ضرب می کنیم، یک بردار ستونی نیز بدست می آوریم. در زبان ریاضی دقیق، فرمول ضرب یک ماتریس 2 × 2 در بردار ستونی به صورت زیر خواهد بود:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 به معنای عنصر ماتریس M است که در ردیف اول و ستون اول قرار دارد و M22 به معنای عنصر واقع در ردیف دوم و ستون دوم است. برای ماتریس ما، این عناصر برابر است با M11 = 0، M12 = 4، M21 = 6، M22 10. برای یک بردار ستونی، این مقادیر برابر است با V11 = –2، V21 = 1. طبق این فرمول، نتیجه زیر حاصل ضرب یک ماتریس مربع بردار را بدست می آوریم:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

برای راحتی، بردار ستون را در یک ردیف بنویسیم. بنابراین، ماتریس مربع را در بردار (-2; 1) ضرب کردیم و به بردار (4; -2) رسیدیم. بدیهی است که این همان بردار ضرب در λ = -2 است. Lambda در این مورد نشان دهنده مقدار ویژه ماتریس است.

بردار ویژه یک ماتریس یک بردار خطی است، یعنی جسمی که با ضرب در ماتریس موقعیت خود را در فضا تغییر نمی دهد. مفهوم هم خطی در جبر برداری مشابه اصطلاح توازی در هندسه است. در یک تفسیر هندسی، بردارهای خطی، بخش های موازی جهت دار با طول های مختلف هستند. از زمان اقلیدس، می دانیم که یک خط دارای تعداد بی نهایت خط موازی با آن است، بنابراین منطقی است که فرض کنیم هر ماتریس دارای تعداد بی نهایت بردار ویژه است.

از مثال قبلی واضح است که بردارهای ویژه می توانند (-8؛ 4)، و (16؛ -8)، و (32، -16) باشند. اینها همه بردارهای خطی مربوط به مقدار ویژه λ = -2 هستند. هنگامی که ماتریس اصلی را در این بردارها ضرب می کنیم، باز هم به برداری می رسیم که 2 برابر با ماتریس اصلی تفاوت دارد. به همین دلیل است که هنگام حل مسائل مربوط به یافتن بردار ویژه، باید فقط اشیاء بردار مستقل خطی را پیدا کرد. اغلب، برای یک ماتریس n × n، تعداد n بردار ویژه وجود دارد. ماشین حساب ما برای تجزیه و تحلیل طراحی شده است ماتریس های مربعمرتبه دوم، بنابراین تقریباً همیشه نتیجه دو بردار ویژه خواهد بود، مگر زمانی که بر هم منطبق باشند.

در مثال بالا، ما بردار ویژه ماتریس اصلی را از قبل می دانستیم و عدد لامبدا را به وضوح تعیین کردیم. با این حال، در عمل، همه چیز برعکس اتفاق می افتد: ابتدا مقادیر ویژه و تنها پس از آن بردارهای ویژه یافت می شوند.

الگوریتم حل

بیایید دوباره به ماتریس اصلی M نگاه کنیم و سعی کنیم هر دو بردار ویژه آن را پیدا کنیم. بنابراین ماتریس به نظر می رسد:

• M = 0; 4
• 6; 10.

ابتدا باید مقدار ویژه λ را تعیین کنیم که نیازمند محاسبه دترمینان ماتریس زیر است:

• (0 - λ); 4
• 6; (10 - λ).

این ماتریسبا کم کردن مجهول λ از عناصر روی قطر اصلی به دست می آید. تعیین کننده با استفاده از فرمول استاندارد تعیین می شود:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 - λ) × (10 - λ) - 24

از آنجایی که بردار ما باید غیر صفر باشد، معادله به دست آمده را به صورت خطی وابسته می‌پذیریم و detA تعیین‌مان را با صفر برابر می‌کنیم.

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

بیایید براکت ها را باز کنیم و معادله مشخصه ماتریس را بدست آوریم:

λ 2 - 10λ - 24 = 0

این استاندارد است معادله درجه دوم، که باید از طریق تفکیک کننده حل شود.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

ریشه تشخیص sqrt(D) = 14 است، بنابراین λ1 = -2، λ2 = 12. حال برای هر مقدار لامبدا باید بردار ویژه را پیدا کنیم. اجازه دهید ضرایب سیستم را برای λ = -2 بیان کنیم.

• M - λ × E = 2; 4
• 6; 12.

در این فرمول E ماتریس هویت است. بر اساس ماتریس به دست آمده، سیستمی از معادلات خطی ایجاد می کنیم:

2x + 4y = 6x + 12y،

که در آن x و y عناصر بردار ویژه هستند.

بیایید تمام X در سمت چپ و همه Y ها در سمت راست را جمع آوری کنیم. بدیهی است - 4x = 8y. عبارت را بر - 4 تقسیم کنید و x = –2y را بدست آورید. اکنون می‌توانیم اولین بردار ویژه ماتریس را با گرفتن مقادیر مجهولات تعیین کنیم (بی نهایت بردارهای ویژه وابسته به خطی را به خاطر بسپاریم). بیایید y = 1 و سپس x = –2 را در نظر بگیریم. بنابراین، اولین بردار ویژه شبیه V1 = (-2; 1) است. به ابتدای مقاله برگردید. این شی برداری بود که ماتریس را در آن ضرب کردیم تا مفهوم بردار ویژه را نشان دهیم.

حال بیایید بردار ویژه را برای λ = 12 پیدا کنیم.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

بیایید همان سیستم معادلات خطی را ایجاد کنیم.

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

اکنون x = 1 را می گیریم، بنابراین y = 3. بنابراین، بردار ویژه دوم شبیه V2 = (1؛ 3) است. هنگام ضرب ماتریس اصلی در یک بردار مشخص، نتیجه همیشه همان بردار ضرب در 12 خواهد بود. اینجا جایی است که الگوریتم حل به پایان می رسد. اکنون می دانید که چگونه به صورت دستی بردار ویژه یک ماتریس را تعیین کنید.

• تعیین کننده؛
• ردیابی، یعنی مجموع عناصر روی مورب اصلی؛
• رتبه، یعنی بیشترین مقدارسطرها/ستون های مستقل خطی.

این برنامه طبق الگوریتم فوق عمل می کند و فرآیند حل را تا حد امکان کوتاه می کند. ذکر این نکته ضروری است که در برنامه لامبدا با حرف "c" مشخص می شود. بیایید به یک مثال عددی نگاه کنیم.

نمونه ای از نحوه عملکرد برنامه

بیایید سعی کنیم بردارهای ویژه ماتریس زیر را تعیین کنیم:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

بیایید این مقادیر را در سلول های ماشین حساب وارد کرده و به شکل زیر پاسخ را دریافت کنیم:

• رتبه ماتریس: 2;
• تعیین کننده ماتریس: 18;
• ردیابی ماتریس: 19;
• محاسبه بردار ویژه: c 2 − 19.00c + 18.00 (معادله مشخصه).
• محاسبه بردار ویژه: 18 (مقدار لامبدا اول).
• محاسبه بردار ویژه: 1 (مقدار لامبدا دوم)؛
• سیستم معادلات برای بردار 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
• سیستم معادلات برای بردار 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• بردار ویژه 1: (1; 1);
• بردار ویژه 2: (-3.25؛ 1).

بنابراین، ما دو بردار ویژه مستقل خطی به دست آوردیم.

نتیجه

جبر خطی و هندسه تحلیلی- موضوعات استاندارد برای هر دانشجوی سال اول در یک تخصص فنی. تعداد زیادی ازبردارها و ماتریس ها وحشتناک هستند و در چنین محاسبات دست و پا گیر به راحتی می توان اشتباه کرد. برنامه ما به دانش آموزان اجازه می دهد تا محاسبات خود را بررسی کنند یا به طور خودکار مشکل پیدا کردن بردار ویژه را حل کنند. ماشین حساب های جبر خطی دیگری در کاتالوگ ما وجود دارد که از آنها در مطالعات یا کار خود استفاده کنید.