معادلات درجه دوم در کلاس هشتم مطالعه می شوند، بنابراین هیچ چیز پیچیده ای در اینجا وجود ندارد. توانایی حل آنها کاملاً ضروری است.

معادله درجه دوم معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 است که در آن ضرایب a، b و c اعداد دلخواه و a ≠ 0 هستند.

قبل از مطالعه روش های حل خاص، توجه داشته باشید که تمام معادلات درجه دوم را می توان به سه کلاس تقسیم کرد:

1. آنها ریشه ندارند.
2. دقیقا یک ریشه داشته باشد.
3. آنها دو ریشه متفاوت دارند.

این یک تفاوت مهم است معادلات درجه دوماز خطوط خطی، جایی که ریشه همیشه وجود دارد و منحصر به فرد است. چگونه تعیین کنیم که یک معادله چند ریشه دارد؟ یک چیز شگفت انگیز برای این وجود دارد - ممیز.

ممیز

اجازه دهید معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 داده شود، سپس متمایز کننده به سادگی عدد D = b 2 - 4ac است.

شما باید این فرمول را از روی قلب بدانید. الان از کجا آمده مهم نیست. یک چیز دیگر مهم است: با علامت تمایز می توانید تعیین کنید که یک معادله درجه دوم چند ریشه دارد. برای مثال:

1. اگر D< 0, корней нет;
2. اگر D = 0 باشد، دقیقاً یک ریشه وجود دارد.
3. اگر D > 0 باشد، دو ریشه وجود خواهد داشت.

لطفاً توجه داشته باشید: متمایز کننده تعداد ریشه ها را نشان می دهد و اصلاً علائم آنها را نشان نمی دهد ، همانطور که به دلایلی بسیاری از مردم معتقدند. به مثال ها نگاهی بیندازید و خودتان همه چیز را متوجه خواهید شد:

وظیفه. معادلات درجه دوم چند ریشه دارند:

1. x 2 - 8 x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

بیایید ضرایب معادله اول را بنویسیم و ممیز را پیدا کنیم:
a = 1، b = -8، c = 12;
D = (-8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

بنابراین ممیز مثبت است، بنابراین معادله دو ریشه متفاوت دارد. ما معادله دوم را به روشی مشابه تجزیه و تحلیل می کنیم:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = 131-.

ممیز منفی است، هیچ ریشه ای وجود ندارد. آخرین معادله باقی مانده این است:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

ممیز صفر است - ریشه یک خواهد بود.

لطفا توجه داشته باشید که ضرایب برای هر معادله نوشته شده است. بله، طولانی است، بله، خسته کننده است، اما شما شانس را با هم مخلوط نمی کنید و اشتباهات احمقانه ای مرتکب نمی شوید. خودتان انتخاب کنید: سرعت یا کیفیت.

به هر حال، اگر این کار را انجام دهید، پس از مدتی دیگر نیازی به نوشتن همه ضرایب نخواهید داشت. شما چنین عملیاتی را در سر خود انجام خواهید داد. اکثر مردم از جایی بعد از 50-70 معادله حل شده شروع به انجام این کار می کنند - به طور کلی، نه چندان زیاد.

ریشه های یک معادله درجه دوم

حالا بیایید به سراغ خود راه حل برویم. اگر تفکیک کننده D > 0 باشد، ریشه ها را می توان با استفاده از فرمول ها پیدا کرد:

فرمول اصلی برای ریشه های یک معادله درجه دوم

وقتی D = 0 باشد، می توانید از هر یک از این فرمول ها استفاده کنید - همان عدد را دریافت خواهید کرد که پاسخ خواهد بود. در نهایت، اگر D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

معادله اول:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ معادله دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم:

معادله دوم:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2-4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ معادله دوباره دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \راست))=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]

در نهایت معادله سوم:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ معادله یک ریشه دارد. از هر فرمولی می توان استفاده کرد. مثلا اولی:

همانطور که از مثال ها می بینید، همه چیز بسیار ساده است. اگر فرمول ها را بلد باشید و بتوانید بشمارید مشکلی پیش نمی آید. اغلب، هنگام جایگزینی ضرایب منفی در فرمول، خطا رخ می دهد. در اینجا دوباره، تکنیک توضیح داده شده در بالا کمک خواهد کرد: به فرمول به معنای واقعی کلمه نگاه کنید، هر مرحله را یادداشت کنید - و خیلی زود از شر خطاها خلاص خواهید شد.

معادلات درجه دوم ناقص

این اتفاق می افتد که یک معادله درجه دوم کمی با آنچه در تعریف ارائه شده است متفاوت است. مثلا:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

به راحتی می توان متوجه شد که این معادلات دارای یکی از اصطلاحات هستند. حل چنین معادلات درجه دوم حتی ساده تر از معادلات استاندارد است: آنها حتی نیازی به محاسبه متمایز ندارند. بنابراین، بیایید یک مفهوم جدید را معرفی کنیم:

معادله ax 2 + bx + c = 0 یک معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود اگر b = 0 یا c = 0، یعنی. ضریب متغیر x یا عنصر آزاد برابر با صفر است.

البته زمانی که هر دوی این ضرایب برابر با صفر باشند، یک حالت بسیار دشوار ممکن است: b = c = 0. در این حالت، معادله به شکل ax 2 = 0 است. بدیهی است که چنین معادله ای یک ریشه دارد: x = 0.

بیایید موارد باقیمانده را در نظر بگیریم. اجازه دهید b = 0، سپس یک معادله درجه دوم ناقص از شکل ax 2 + c = 0 به دست می آوریم. اجازه دهید آن را کمی تبدیل کنیم:

از حسابی ریشه دوموجود دارد فقط از عدد منفی، آخرین برابری فقط برای (-c/a) ≥ 0 معنا دارد. نتیجه گیری:

1. اگر در یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 + c = 0 نابرابری (-c/a) ≥ 0 برآورده شود، دو ریشه وجود خواهد داشت. فرمول بالا داده شده است؛
2. اگر (-c/a)< 0, корней нет.

همانطور که می بینید، نیازی به تفکیک کننده نبود - هیچ محاسبات پیچیده ای در معادلات درجه دوم ناقص وجود ندارد. در واقع، حتی لازم نیست نابرابری (−c/a) ≥ 0 را به خاطر بسپارید. کافی است مقدار x 2 را بیان کنید و ببینید در طرف دیگر علامت مساوی چه چیزی وجود دارد. اگر یک عدد مثبت وجود داشته باشد، دو ریشه خواهد بود. اگر منفی باشد، اصلا ریشه ای وجود نخواهد داشت.

حال اجازه دهید به معادلات شکل ax 2 + bx = 0 نگاه کنیم که در آن عنصر آزاد برابر با صفر است. همه چیز در اینجا ساده است: همیشه دو ریشه وجود خواهد داشت. کافی است چند جمله ای را فاکتور بگیریم:

خارج کردن عامل مشترک از پرانتز

زمانی که حداقل یکی از عوامل صفر باشد، حاصلضرب صفر است. ریشه ها از اینجا می آید. در پایان، اجازه دهید به چند مورد از این معادلات نگاه کنیم:

وظیفه. حل معادلات درجه دوم:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(-7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6. هیچ ریشه ای وجود ندارد، زیرا یک مربع نمی تواند برابر با یک عدد منفی باشد.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.

معادلات درجه دوم اغلب هنگام حل مسائل مختلف در فیزیک و ریاضی ظاهر می شوند. در این مقاله به چگونگی حل این برابری ها به روشی جهانی "از طریق یک ممیز" خواهیم پرداخت. نمونه هایی از استفاده از دانش کسب شده نیز در مقاله آورده شده است.

در مورد چه معادلاتی صحبت خواهیم کرد؟

شکل زیر فرمولی را نشان می دهد که در آن x یک متغیر مجهول است و نمادهای لاتین a، b، c نشان دهنده برخی اعداد شناخته شده است.

به هر یک از این نمادها یک ضریب می گویند. همانطور که می بینید، عدد "a" قبل از متغیر x به مربع ظاهر می شود. این حداکثر توان عبارت نمایش داده شده است، به همین دلیل است که به آن معادله درجه دوم می گویند. نام دیگر آن اغلب استفاده می شود: معادله مرتبه دوم. مقدار a خود یک ضریب مربع است (ایستاده زمانی که متغیر مربع است)، b است ضریب خطی(در کنار متغیر افزایش یافته به توان اول قرار دارد)، در نهایت عدد c عبارت آزاد است.

توجه داشته باشید که نوع معادله نشان داده شده در شکل بالا یک عبارت درجه دوم کلاسیک عمومی است. علاوه بر آن، معادلات مرتبه دوم دیگری نیز وجود دارد که در آنها ضرایب b و c می تواند صفر باشد.

هنگامی که وظیفه برای حل برابری مورد نظر تنظیم شده است، این بدان معنی است که چنین مقادیری از متغیر x باید پیدا شود که آن را برآورده کند. در اینجا، اولین چیزی که باید به خاطر بسپارید این است: از آنجایی که حداکثر درجه X 2 است، پس این نوععبارات نمی توانند بیش از 2 راه حل داشته باشند. این بدان معناست که اگر هنگام حل یک معادله، 2 مقدار x پیدا شد که آن را برآورده می کند، می توانید مطمئن باشید که عدد 3 وجود ندارد و آن را جایگزین x کنید، تساوی نیز درست خواهد بود. به جواب های معادله در ریاضیات، ریشه آن می گویند.

روش های حل معادلات مرتبه دوم

حل معادلات از این نوع مستلزم آگاهی از برخی نظریه ها در مورد آنها است. در درس جبر مدرسه 4 روش حل مختلف در نظر گرفته شده است. بیایید آنها را فهرست کنیم:

• با استفاده از فاکتورسازی؛
• با استفاده از فرمول مربع کامل؛
• با اعمال نمودار تابع درجه دوم مربوطه؛
• با استفاده از معادله تفکیک

مزیت روش اول سادگی آن است، اما نمی توان از آن برای همه معادلات استفاده کرد. روش دوم جهانی است، اما تا حدودی دست و پا گیر است. روش سوم با وضوح آن متمایز است، اما همیشه راحت و قابل اجرا نیست. و در نهایت، استفاده از معادله تمایز یک راه جهانی و نسبتاً ساده برای یافتن ریشه‌های مطلقاً هر معادله مرتبه دوم است. بنابراین، در مقاله ما فقط آن را در نظر خواهیم گرفت.

فرمول به دست آوردن ریشه های معادله

بیایید به ظاهر عمومیمعادله درجه دوم. بیایید آن را بنویسیم: a*x²+ b*x + c =0. قبل از استفاده از روش حل آن "از طریق تشخیص"، باید همیشه برابری را به شکل نوشتاری آن بیاورید. یعنی باید از سه جمله (یا کمتر اگر b یا c 0 باشد) تشکیل شده باشد.

به عنوان مثال، اگر عبارتی وجود داشته باشد: x²-9*x+8 = -5*x+7*x²، ابتدا باید تمام عبارت های آن را به یک سمت تساوی منتقل کنید و عبارت های حاوی متغیر x را به آن اضافه کنید. همان قدرت ها

در این حالت، این عمل به عبارت زیر منجر می شود: -6*x²-4*x+8=0 که معادل معادله 6*x²+4*x-8=0 است (در اینجا ما سمت چپ را ضرب کردیم و سمت راست تساوی توسط -1) .

در مثال بالا، a = 6، b=4، c=-8. توجه داشته باشید که تمام عبارات تساوی مورد بررسی همیشه با هم جمع می شوند، بنابراین اگر علامت "-" ظاهر شود، به این معنی است که ضریب مربوطه مانند عدد c در این مورد منفی است.

پس از بررسی این نکته، اجازه دهید اکنون به خود فرمول برویم، که به دست آوردن ریشه های یک معادله درجه دوم را ممکن می سازد. به نظر می رسد که در عکس زیر نشان داده شده است.

همانطور که از این عبارت مشخص است، به شما امکان می دهد دو ریشه بگیرید (به علامت "±" توجه کنید). برای این کار کافی است ضرایب b و c و a را جایگزین آن کنید.

مفهوم ممیز

در پاراگراف قبلی، فرمولی داده شد که به شما امکان می دهد هر معادله مرتبه دوم را به سرعت حل کنید. در آن، عبارت رادیکال تفکیک کننده نامیده می شود، یعنی D = b²-4*a*c.

چرا این قسمت از فرمول برجسته شده است و حتی دارد اسم مناسب? واقعیت این است که ممیز هر سه ضریب معادله را به یک عبارت واحد متصل می کند. آخرین واقعیتبه این معنی است که به طور کامل حاوی اطلاعاتی در مورد ریشه ها است که می تواند در لیست زیر بیان شود:

1. D>0: تساوی دارای 2 راه حل مختلف است که هر دو اعداد واقعی هستند.
2. D=0: معادله فقط یک ریشه دارد و آن یک عدد واقعی است.

وظیفه تعیین تمایز

بیایید یک مثال ساده از نحوه پیدا کردن یک ممیز ارائه کنیم. اجازه دهید برابری زیر داده شود: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

بیایید آن را به نمای استاندارد، بدست می آوریم: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0 که از آن به برابری می رسیم: -2*x²+ 2*x- 11 = 0. در اینجا a=-2، b=2، c=-11.

اکنون می توانید از فرمول بالا برای تشخیص دهنده استفاده کنید: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. عدد حاصل پاسخ کار است. از آنجایی که در مثال ممیز کمتر از صفر، پس می توان گفت که این معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد. راه حل آن فقط اعداد از نوع مختلط خواهد بود.

نمونه ای از نابرابری از طریق ممیز

بیایید مسائل از نوع کمی متفاوت را حل کنیم: با توجه به برابری -3*x²-6*x+c = 0. لازم است مقادیر c را پیدا کنیم که برای آنها D>0 باشد.

در این حالت از 3 ضریب فقط 2 ضریب مشخص است بنابراین نمی توان مقدار دقیق ممیز را محاسبه کرد اما مثبت بودن آن مشخص است. ما از آخرین واقعیت هنگام نوشتن نابرابری استفاده می کنیم: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. حل نابرابری حاصل به نتیجه می رسد: c>-3.

بیایید عدد حاصل را بررسی کنیم. برای این کار D را برای 2 حالت c=-2 و c=-4 محاسبه می کنیم. عدد -2 نتیجه به دست آمده (-2>-3) را برآورده می کند، ممیز مربوطه مقدار D = 12>0 را خواهد داشت. به نوبه خود، عدد -4 نابرابری (-4) را برآورده نمی کند. بنابراین، هر عدد c که بزرگتر از -3 باشد، شرط را برآورده می کند.

نمونه ای از حل معادله

اجازه دهید مسئله ای را ارائه کنیم که نه تنها شامل یافتن ممیز، بلکه حل معادله نیز می شود. باید ریشه های برابری -2*x²+7-9*x = 0 را پیدا کرد.

در این مثال، ممیز برابر با مقدار زیر است: D = 81-4*(-2)*7= 137. سپس ریشه های معادله به صورت زیر تعیین می شوند: x = (9±√137)/(- 4). این مقادیر دقیق ریشه ها هستند، اگر ریشه را تقریباً محاسبه کنید، اعداد را دریافت می کنید: x = -5.176 و x = 0.676.

مشکل هندسی

بیایید مشکلی را حل کنیم که نه تنها به توانایی محاسبه متمایز، بلکه به استفاده از مهارت های تفکر انتزاعی و دانش نحوه نوشتن معادلات درجه دوم نیاز دارد.

باب یک لحاف 5*4 متری داشت. پسر می خواست یک نوار پیوسته از پارچه زیبا در اطراف کل محیط به آن بدوزد. اگر بدانیم که باب 10 متر مربع پارچه دارد، این نوار چقدر ضخیم خواهد بود.

بگذارید نوار ضخامت x متر داشته باشد، سپس مساحت پارچه در امتداد ضلع بلند پتو (5+2*x)*x می شود و چون 2 ضلع بلند وجود دارد، داریم: 2*x *(5+2*x). در ضلع کوتاه، مساحت پارچه دوخته شده 4*x خواهد بود، از آنجایی که 2 تا از این ضلع ها وجود دارد، مقدار 8*x را دریافت می کنیم. توجه داشته باشید که مقدار 2*x به ضلع بلند اضافه شده است زیرا طول پتو با آن عدد افزایش یافته است. مساحت کل پارچه دوخته شده به پتو 10 متر مربع است. بنابراین، برابری را بدست می آوریم: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

برای این مثال، ممیز برابر است با: D = 18²-4*4*(-10) = 484. ریشه آن 22 است. با استفاده از فرمول، ریشه های مورد نیاز را پیدا می کنیم: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5؛ 0.5). بدیهی است که از بین دو ریشه، تنها عدد 0.5 با توجه به شرایط مسئله مناسب است.

بنابراین، نوار پارچه ای که باب به پتو می دوزد، 50 سانتی متر عرض خواهد داشت.

به عنوان مثال، برای مثلث \(3x^2+2x-7\)، ممیز برابر با \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\ خواهد بود. و برای مثلث \(x^2-5x+11\) برابر با \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\ خواهد بود.

تمایز با \(D\) نشان داده می شود و اغلب در حل استفاده می شود. همچنین، با مقدار تفکیک کننده، می توانید بفهمید که نمودار تقریباً چه شکلی است (به زیر مراجعه کنید).

تمایز و ریشه های یک معادله درجه دوم

مقدار متمایز تعداد معادلات درجه دوم را نشان می دهد:
- اگر \(D\) مثبت باشد، معادله دو ریشه خواهد داشت.
- اگر \(D\) برابر با صفر باشد - فقط یک ریشه وجود دارد.
- اگر \(D\) منفی باشد، هیچ ریشه ای وجود ندارد.

این نیازی به آموزش ندارد، رسیدن به چنین نتیجه ای دشوار نیست، فقط با دانستن این موضوع که از ممیز (یعنی \(\sqrt(D)\) در فرمول محاسبه ریشه های درجه دوم گنجانده شده است. معادله: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) و \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( د))(2a)\) بیایید به جزئیات بیشتر نگاه کنیم.

اگر ممیز مثبت باشد

در این صورت، ریشه آن مقداری عدد مثبت است، یعنی \(x_(1)\) و \(x_(2)\) معانی متفاوتی خواهند داشت، زیرا در فرمول اول \(\sqrt(D)\ ) اضافه می شود و در دومی کم می شود. و ما دو ریشه متفاوت داریم.

مثال : ریشه های معادله \(x^2+2x-3=0\) را پیدا کنید
راه حل :

پاسخ : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

اگر ممیز صفر باشد

اگر ممیز صفر باشد چند ریشه خواهد بود؟ بیایید استدلال کنیم.

فرمول های ریشه شبیه به این هستند: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) و \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . و اگر ممیز صفر باشد، ریشه آن نیز صفر است. سپس معلوم می شود:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

یعنی مقادیر ریشه های معادله یکسان خواهد بود، زیرا جمع یا تفریق صفر چیزی را تغییر نمی دهد.

مثال : ریشه های معادله \(x^2-4x+4=0\) را بیابید
راه حل :

\(x^2-4x+4=0\)		ضرایب را می نویسیم:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		ما تشخیص دهنده را با استفاده از فرمول \(D=b^2-4ac\) محاسبه می کنیم.
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		پیدا کردن ریشه های معادله
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		ما دو ریشه یکسان داریم، بنابراین هیچ فایده ای ندارد که آنها را جداگانه بنویسیم - آنها را به عنوان یکی می نویسیم.

پاسخ : \(x=2\)

که در جامعه مدرنتوانایی انجام عملیات با معادلات حاوی یک متغیر مربعی می تواند در بسیاری از زمینه های فعالیت مفید باشد و به طور گسترده در عمل در علم و دانش مورد استفاده قرار می گیرد. تحولات فنی. گواه این امر را می توان در طراحی شناورهای دریایی و رودخانه ای، هواپیماها و موشک ها یافت. با استفاده از این محاسبات، مسیر حرکت از ترین بدن های مختلفاز جمله اجرام فضایی. نمونه هایی با حل معادلات درجه دوم نه تنها در پیش بینی اقتصادی، در طراحی و ساخت ساختمان ها، بلکه در معمول ترین شرایط روزمره نیز استفاده می شوند. آنها ممکن است در سفرهای پیاده روی، در رویدادهای ورزشی، در فروشگاه ها هنگام خرید و سایر موقعیت های بسیار رایج مورد نیاز باشند.

بیایید عبارت را به عوامل سازنده آن بشکنیم

درجه یک معادله با حداکثر مقدار درجه متغیری که عبارت حاوی آن است تعیین می شود. اگر برابر با 2 باشد، چنین معادله ای درجه دوم نامیده می شود.

اگر به زبان فرمول ها صحبت کنیم، عبارات نشان داده شده، صرف نظر از اینکه چگونه به نظر می رسند، همیشه می توانند زمانی که سمت چپ عبارت از سه عبارت تشکیل شده است، به شکلی درآیند. از جمله: ax 2 (یعنی یک متغیر مجذور ضریب آن)، bx (یک مجهول بدون مربع با ضریب آن) و c (یک جزء آزاد، یعنی یک عدد معمولی). همه اینها در سمت راست برابر با 0 است. در صورتی که چنین چند جمله ای فاقد یکی از جمله های تشکیل دهنده خود باشد، به استثنای محور 2، معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود. نمونه هایی با حل چنین مسائلی، ابتدا باید مقادیر متغیرهایی را که در آنها به راحتی یافت می شود در نظر گرفت.

اگر عبارت به نظر می رسد که دو عبارت در سمت راست دارد، به طور دقیق تر ax 2 و bx، ساده ترین راه برای پیدا کردن x قرار دادن متغیر خارج از پرانتز است. حالا معادله ما به این صورت خواهد بود: x(ax+b). در مرحله بعد، مشخص می شود که یا x=0، یا مشکل به یافتن یک متغیر از عبارت زیر می شود: ax+b=0. این توسط یکی از خواص ضرب دیکته می شود. این قانون بیان می کند که حاصل ضرب دو عامل تنها در صورتی به صفر می رسد که یکی از آنها صفر باشد.

مثال

x=0 یا 8x - 3 = 0

در نتیجه دو ریشه معادله بدست می آوریم: 0 و 0.375.

معادلات از این نوع می توانند حرکت اجسامی را تحت تأثیر گرانش توصیف کنند که از نقطه خاصی که به عنوان مبدأ مختصات گرفته شده شروع به حرکت کردند. اینجا نماد ریاضیشکل زیر را به خود می گیرد: y = v 0 t + gt 2/2. جایگزینی مقادیر لازم، معادل سازی سمت راست 0 و با یافتن مجهولات احتمالی، می توانید زمان سپری شدن از لحظه بالا آمدن بدن تا لحظه سقوط و همچنین بسیاری از کمیت های دیگر را دریابید. اما بعداً در این مورد صحبت خواهیم کرد.

فاکتورگیری یک بیان

قاعده ای که در بالا توضیح داده شد، حل این مشکلات را در موارد بیشتری ممکن می سازد موارد دشوار. بیایید به نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم از این نوع نگاه کنیم.

X 2 - 33x + 200 = 0

این مثلث درجه دوم کامل است. ابتدا، بیایید عبارت را تبدیل کنیم و آن را فاکتور کنیم. دو تا از آنها وجود دارد: (x-8) و (x-25) = 0. در نتیجه ما دو ریشه 8 و 25 داریم.

مثال‌هایی با حل معادلات درجه دوم در درجه 9 به این روش اجازه می‌دهد تا متغیری را در عبارات نه تنها مرتبه دوم، بلکه حتی از مرتبه سوم و چهارم پیدا کند.

به عنوان مثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. هنگام فاکتورگیری سمت راست به عوامل با متغیر، سه مورد از آنها وجود دارد، یعنی (x+1)، (x-3) و (x+ 3).

در نتیجه آشکار می شود که معادله داده شدهدارای سه ریشه: -3; -1؛ 3.

ریشه دوم

مورد دیگر معادله ناقص مرتبه دوم عبارتی است که در زبان حروف به گونه ای نمایش داده می شود که سمت راست از اجزای ax 2 و c ساخته شده است. در اینجا برای به دست آوردن مقدار متغیر، عبارت آزاد به سمت راست منتقل می شود و پس از آن جذر از دو طرف تساوی استخراج می شود. لازم به ذکر است که در این حالت معمولاً دو ریشه معادله وجود دارد. تنها استثناها می‌توانند برابری‌هایی باشند که اصلاً شامل یک عبارت نیستند، جایی که متغیر برابر با صفر است، و همچنین انواع عبارات وقتی سمت راست منفی است. در مورد دوم، هیچ راه حلی وجود ندارد، زیرا اقدامات فوق را نمی توان با ریشه انجام داد. نمونه هایی از راه حل های معادلات درجه دوم از این نوع باید در نظر گرفته شود.

در این صورت ریشه های معادله اعداد -4 و 4 خواهند بود.

محاسبه مساحت زمین

نیاز به این نوع محاسبات در زمان های قدیم ظاهر شد، زیرا توسعه ریاضیات در آن زمان های دور تا حد زیادی با نیاز به تعیین با بیشترین دقت مساحت و محیط قطعات زمین تعیین می شد.

همچنین باید نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم را بر اساس مسائلی از این دست در نظر بگیریم.

بنابراین، فرض کنید یک زمین مستطیل شکل وجود دارد که طول آن 16 متر بیشتر از عرض است. اگر می دانید مساحت آن 612 متر مربع است، باید طول، عرض و محیط سایت را پیدا کنید.

برای شروع، اجازه دهید ابتدا معادله لازم را ایجاد کنیم. عرض مساحت را با x نشان می دهیم، سپس طول آن (x+16) خواهد بود. از مطالبی که نوشته شد مساحت با عبارت x(x+16) تعیین می شود که با توجه به شرایط مسئله ما 612 می شود. یعنی x(x+16) = 612.

حل معادلات درجه دوم کامل، و این عبارت دقیقاً همان است، نمی تواند به همین صورت انجام شود. چرا؟ اگرچه سمت چپ هنوز دارای دو عامل است، اما حاصلضرب آنها به هیچ وجه برابر با 0 نیست، بنابراین در اینجا از روش های مختلفی استفاده می شود.

ممیز

اول از همه، اجازه دهید تغییرات لازم را انجام دهیم، سپس ظاهراین عبارت به شکل زیر خواهد بود: x 2 + 16x - 612 = 0. این به این معنی است که ما یک عبارت را به شکلی مطابق با استاندارد مشخص شده قبلی دریافت کرده ایم، که در آن a=1، b=16، c=-612.

این می تواند نمونه ای از حل معادلات درجه دوم با استفاده از ممیز باشد. اینجا محاسبات لازمطبق این طرح تولید می شوند: D = b 2 - 4ac. این کمیت کمکی نه تنها یافتن مقادیر مورد نیاز را در یک معادله مرتبه دوم ممکن می سازد، بلکه تعداد گزینه های ممکن را نیز تعیین می کند. اگر D>0 باشد، دو مورد از آنها وجود دارد. برای D=0 یک ریشه وجود دارد. در مورد D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

درباره ریشه ها و فرمول آنها

در مورد ما، تمایز برابر است با: 256 - 4(-612) = 2704. این نشان می دهد که مشکل ما پاسخ دارد. اگر k را می دانید حل معادلات درجه دوم را باید با استفاده از فرمول زیر ادامه دهید. این به شما امکان می دهد ریشه ها را محاسبه کنید.

این بدان معنی است که در مورد ارائه شده: x 1 = 18، x 2 =-34. گزینه دوم در این معضل نمی تواند راه حل باشد، زیرا ابعاد زمین را نمی توان در مقادیر منفی اندازه گیری کرد، یعنی x (یعنی عرض قطعه) 18 متر است از اینجا طول را محاسبه می کنیم: 18 +16=34 و محیط 2(34+18)=104(m2).

مثال ها و وظایف

ما مطالعه خود را در مورد معادلات درجه دوم ادامه می دهیم. نمونه ها و راه حل های دقیق چند مورد از آنها در زیر آورده شده است.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

بیایید همه چیز را به سمت چپ تساوی منتقل کنیم، یک تبدیل ایجاد کنیم، یعنی نوع معادله ای را که معمولاً استاندارد نامیده می شود، به دست می آوریم و آن را با صفر برابر می کنیم.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

با اضافه کردن موارد مشابه، تفکیک کننده را تعیین می کنیم: D = 49 - 48 = 1. این به این معنی است که معادله ما دو ریشه خواهد داشت. بیایید آنها را طبق فرمول بالا محاسبه کنیم، به این معنی که اولی برابر با 4/3 و دومی برابر با 1 خواهد بود.

2) حالا بیایید اسرار دیگری را حل کنیم.

بیایید دریابیم که آیا ریشه ای در اینجا وجود دارد x 2 - 4x + 5 = 1؟ برای به دست آوردن یک پاسخ جامع، چند جمله ای را به شکل معمول مربوطه کاهش می دهیم و تفکیک کننده را محاسبه می کنیم. در مثال بالا نیازی به حل معادله درجه دوم نیست، زیرا اصل مسئله اصلاً این نیست. در این مورد، D = 16 - 20 = -4، یعنی واقعا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

قضیه ویتا

حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول های فوق و تفکیک کننده راحت است، زمانی که ریشه دوم از مقدار دومی گرفته شود. اما همیشه این اتفاق نمی افتد. با این حال، راه های زیادی برای به دست آوردن مقادیر متغیرها در این مورد وجود دارد. مثال: حل معادلات درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا. نام او برگرفته از کسی است که در قرن شانزدهم در فرانسه زندگی می‌کرد و به لطف استعداد ریاضی و ارتباطاتش در دربار، حرفه‌ای درخشان ایجاد کرد. پرتره او در مقاله قابل مشاهده است.

الگویی که مرد مشهور فرانسوی متوجه آن شد به شرح زیر بود. او ثابت کرد که ریشه های معادله به صورت عددی با -p=b/a جمع می شوند و حاصلضرب آنها با q=c/a مطابقت دارد.

حالا بیایید به وظایف خاص نگاه کنیم.

3x 2 + 21x - 54 = 0

برای سادگی، اجازه دهید عبارت را تبدیل کنیم:

x 2 + 7x - 18 = 0

بیایید از قضیه Vieta استفاده کنیم، این به ما می دهد: مجموع ریشه ها -7 است و حاصلضرب آنها 18- است. از اینجا می‌گیریم که ریشه‌های معادله اعداد -9 و 2 هستند. پس از بررسی، مطمئن می‌شویم که این مقادیر متغیر واقعاً با عبارت مطابقت دارند.

نمودار سهمی و معادله

مفاهیم تابع درجه دوم و معادلات درجه دوم ارتباط نزدیکی با هم دارند. نمونه هایی از این قبلا قبلاً آورده شده است. حالا بیایید با کمی جزئیات بیشتر به چند معمای ریاضی نگاه کنیم. هر معادله ای از نوع توصیف شده را می توان به صورت بصری نشان داد. چنین رابطه ای که به صورت نمودار ترسیم می شود، سهمی نامیده می شود. انواع مختلف آن در شکل زیر ارائه شده است.

هر سهمی یک راس دارد، یعنی نقطه ای که شاخه های آن از آن بیرون می آیند. اگر a>0 باشد، تا بی نهایت بالا می روند و وقتی a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

نمایش بصری توابع به حل هر معادله ای از جمله معادلات درجه دوم کمک می کند. این روش را گرافیکی می نامند. و مقدار متغیر x مختصات ابسیسا در نقاطی است که خط نمودار با 0x قطع می شود. مختصات راس را می توان با استفاده از فرمولی که x 0 = -b/2a داده شده است، پیدا کرد. و با جایگزین کردن مقدار حاصل به معادله اصلی تابع، می توانید y 0 را پیدا کنید، یعنی مختصات دوم راس سهمی که متعلق به محور مختصات است.

تقاطع شاخه های سهمی با محور آبسیسا

مثال های زیادی برای حل معادلات درجه دوم وجود دارد، اما الگوهای کلی نیز وجود دارد. بیایید به آنها نگاه کنیم. واضح است که تقاطع نمودار با محور 0x برای a>0 فقط در صورتی امکان پذیر است که y 0 بگیرد. مقادیر منفی. و برای یک<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. در غیر این صورت D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

از نمودار سهمی نیز می توانید ریشه ها را تعیین کنید. مخالفش هم درست است. یعنی اگر به‌دست آوردن نمایش تصویری از یک تابع درجه دوم آسان نیست، می‌توانید سمت راست عبارت را با 0 برابر کنید و معادله حاصل را حل کنید. و با دانستن نقاط تقاطع با محور 0x، ساختن نمودار آسانتر است.

از تاریخ

با استفاده از معادلات حاوی یک متغیر مربع، در قدیم نه تنها محاسبات ریاضی انجام می دادند و مساحت اشکال هندسی را تعیین می کردند. گذشتگان برای اکتشافات بزرگ در زمینه های فیزیک و ستاره شناسی و همچنین برای پیش بینی های نجومی به چنین محاسباتی نیاز داشتند.

همانطور که دانشمندان مدرن پیشنهاد می کنند، ساکنان بابل جزو اولین کسانی بودند که معادلات درجه دوم را حل کردند. این اتفاق چهار قرن قبل از دوران ما افتاد. البته محاسبات آنها با محاسباتی که در حال حاضر پذیرفته شده اند کاملاً متفاوت بود و معلوم شد که بسیار ابتدایی تر است. به عنوان مثال، ریاضیدانان بین النهرین هیچ ایده ای در مورد وجود اعداد منفی نداشتند. آنها همچنین با ظرافت های دیگری که هر دانش آموز مدرنی می داند ناآشنا بودند.

شاید حتی زودتر از دانشمندان بابل، حکیم هندی بودهایاما شروع به حل معادلات درجه دوم کرد. این اتفاق حدود هشت قرن قبل از عصر مسیح رخ داد. درست است، معادلات مرتبه دوم، روش هایی که او برای حل آنها ارائه کرد، ساده ترین بودند. علاوه بر او، ریاضیدانان چینی نیز در قدیم به سوالات مشابه علاقه داشتند. در اروپا، معادلات درجه دوم فقط در آغاز قرن سیزدهم حل شد، اما بعداً توسط دانشمندان بزرگی مانند نیوتن، دکارت و بسیاری دیگر در آثارشان استفاده شد.

در ادامه مبحث حل معادلات، مطالب این مقاله شما را با معادلات درجه دوم آشنا می کند.

بیایید همه چیز را با جزئیات بررسی کنیم: ماهیت و نماد یک معادله درجه دوم، تعریف اصطلاحات همراه، تجزیه و تحلیل طرح برای حل معادلات ناقص و کامل، آشنایی با فرمول ریشه ها و ممیز، برقراری ارتباط بین ریشه ها و ضرایب، و البته به مثال های کاربردی راه حل تصویری خواهیم داد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

معادله درجه دوم، انواع آن

تعریف 1

معادله درجه دوممعادله ای است که به صورت نوشته می شود a x 2 + b x + c = 0، جایی که ایکس– متغیر، a، b و ج- برخی از اعداد، در حالی که آصفر نیست

اغلب، معادلات درجه دوم را معادلات درجه دوم نیز می نامند، زیرا در اصل یک معادله درجه دوم یک معادله جبری درجه دوم است.

بیایید برای توضیح تعریف داده شده مثالی بیاوریم: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7، 5 x 2 + 3، 1 x + 0، 11 = 0، و غیره. اینها معادلات درجه دوم هستند.

تعریف 2

اعداد a، b و جضرایب معادله درجه دوم هستند a x 2 + b x + c = 0، در حالی که ضریب آبه نام اول، یا ارشد، یا ضریب در x 2، b - ضریب دوم، یا ضریب در ایکس، آ جبه نام یک عضو رایگان

مثلا در معادله درجه دوم 6 x 2 − 2 x − 11 = 0ضریب پیشرو 6 است، ضریب دوم است − 2 ، و عبارت آزاد برابر است با − 11 . به این نکته توجه کنیم که وقتی ضرایب بو/یا c منفی هستند، سپس یک فرم کوتاه از فرم استفاده می شود 6 x 2 − 2 x − 11 = 0، اما نه 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

اجازه دهید این جنبه را نیز روشن کنیم: اگر ضرایب آو/یا ببرابر 1 یا − 1 ، در این صورت ممکن است در نوشتن معادله درجه دوم که با ویژگی های نوشتن ضرایب عددی نشان داده شده توضیح داده می شود ، مشارکت صریحی نداشته باشند. مثلاً در معادله درجه دوم y 2 − y + 7 = 0ضریب پیشرو 1 و ضریب دوم است − 1 .

معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته

بر اساس مقدار ضریب اول، معادلات درجه دوم به کاهش یافته و کاهش نیافته تقسیم می شوند.

تعریف 3

معادله درجه دوم کاهش یافته استمعادله درجه دومی است که ضریب اصلی آن 1 است. برای سایر مقادیر ضریب پیشرو، معادله درجه دوم کاهش نمی یابد.

بیایید مثال هایی بزنیم: معادلات درجه دوم x 2 − 4 · x + 3 = 0، x 2 − x − 4 5 = 0 کاهش می یابند که در هر یک از آنها ضریب پیشرو 1 است.

9 x 2 − x − 2 = 0- معادله درجه دوم کاهش نیافته که ضریب اول با آن متفاوت است 1 .

هر معادله درجه دوم کاهش یافته را می توان با تقسیم هر دو طرف بر ضریب اول (تبدیل معادل) به یک معادله کاهش یافته تبدیل کرد. معادله تبدیل شده دارای همان ریشه معادل معادله تقلیل نشده خواهد بود یا اصلاً ریشه نخواهد داشت.

در نظر گرفتن یک مثال خاص به ما این امکان را می دهد که انتقال از یک معادله درجه دوم کاهش یافته به یک معادله کاهش یافته را به وضوح نشان دهیم.

مثال 1

با توجه به معادله 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . لازم است معادله اصلی را به شکل کاهش یافته تبدیل کنید.

راه حل

طبق طرح فوق، دو طرف معادله اصلی را بر ضریب پیشرو 6 تقسیم می کنیم. سپس دریافت می کنیم: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3، و این همان است که: (6 x 2): 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0و بیشتر: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.از اینجا: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . بنابراین، معادله ای معادل معادله داده شده به دست می آید.

پاسخ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

معادلات درجه دوم کامل و ناقص

اجازه دهید به تعریف معادله درجه دوم بپردازیم. در آن مشخص کردیم که a ≠ 0. یک شرط مشابه برای معادله لازم است a x 2 + b x + c = 0دقیقا مربع بود، از زمانی که در a = 0اساساً تبدیل می شود معادله خطی b x + c = 0.

در صورتی که ضرایب بو جبرابر با صفر (که هم به صورت مجزا و هم به صورت مشترک امکان پذیر است)، معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود.

تعریف 4

معادله درجه دوم ناقص- چنین معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0،که در آن حداقل یکی از ضرایب بو ج(یا هر دو) صفر است.

معادله درجه دوم کامل- یک معادله درجه دوم که در آن تمام ضرایب عددی برابر با صفر نیستند.

بیایید بحث کنیم که چرا به انواع معادلات درجه دوم دقیقاً این نام ها داده شده است.

وقتی b = 0، معادله درجه دوم شکل می گیرد a x 2 + 0 x + c = 0، که همان است a x 2 + c = 0. در c = 0معادله درجه دوم به صورت نوشته شده است a x 2 + b x + 0 = 0، که معادل است a x 2 + b x = 0. در b = 0و c = 0معادله شکل خواهد گرفت a x 2 = 0. معادلاتی که ما به دست آوردیم با معادله درجه دوم کامل تفاوت دارند زیرا در سمت چپ آنها عبارتی با متغیر x یا عبارت آزاد یا هر دو وجود ندارد. در واقع، این واقعیت نام این نوع معادله را داد - ناقص.

برای مثال، x 2 + 3 x + 4 = 0 و - 7 x 2 - 2 x + 1، 3 = 0 معادلات درجه دوم کامل هستند. x 2 = 0، − 5 x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – معادلات درجه دوم ناقص.

حل معادلات درجه دوم ناقص

تعریفی که در بالا داده شد، تشخیص انواع معادلات درجه دوم ناقص زیر را ممکن می سازد:

• a x 2 = 0، این معادله با ضرایب مطابقت دارد b = 0و c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 در b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 در c = 0.

اجازه دهید حل هر نوع معادله درجه دوم ناقص را به ترتیب در نظر بگیریم.

حل معادله a x 2 = 0

همانطور که در بالا ذکر شد، این معادله با ضرایب مطابقت دارد بو ج، برابر با صفر است. معادله a x 2 = 0را می توان به یک معادله معادل تبدیل کرد x 2 = 0، که با تقسیم دو طرف معادله اصلی بر عدد بدست می آوریم آ، برابر با صفر نیست. واقعیت آشکار این است که ریشه معادله x 2 = 0این صفر است زیرا 0 2 = 0 . این معادله ریشه دیگری ندارد، که می توان آن را با ویژگی های درجه توضیح داد: برای هر عدد پ،برابر با صفر نیست، نابرابری درست است p 2 > 0، که از آن نتیجه می شود که وقتی p ≠ 0برابری p 2 = 0هرگز محقق نخواهد شد.

تعریف 5

بنابراین، برای معادله درجه دوم ناقص a x 2 = 0 یک ریشه منحصر به فرد وجود دارد x = 0.

مثال 2

به عنوان مثال، اجازه دهید یک معادله درجه دوم ناقص را حل کنیم - 3 x 2 = 0. معادل معادله است x 2 = 0، تنها ریشه آن است x = 0، سپس معادله اصلی یک ریشه دارد - صفر.

به طور خلاصه راه حل به صورت زیر نوشته شده است:

− 3 x 2 = 0، x 2 = 0، x = 0.

حل معادله a x 2 + c = 0

در خط بعدی حل معادلات درجه دوم ناقص است، که در آن b = 0، c ≠ 0، یعنی معادلات شکل a x 2 + c = 0. بیایید این معادله را با انتقال یک جمله از یک طرف معادله به سمت دیگر، تغییر علامت به سمت مقابل و تقسیم دو طرف معادله بر عددی که برابر با صفر نیست، تبدیل کنیم:

• انتقال جدر سمت راست، که معادله را نشان می دهد a x 2 = - c;
• دو طرف معادله را بر تقسیم کنید آ، در نهایت به x = - c a می رسیم.

بر این اساس، تبدیل های ما معادل هستند، معادله به دست آمده نیز معادل معادله اصلی است و این واقعیت، نتیجه گیری در مورد ریشه های معادله را ممکن می سازد. از آنچه ارزش ها هستند آو جمقدار عبارت - c a بستگی دارد: می تواند علامت منفی داشته باشد (مثلاً اگر a = 1و c = 2، سپس - c a = - 2 1 = - 2) یا علامت مثبت (مثلاً اگر a = - 2و c = 6، سپس - c a = - 6 - 2 = 3); صفر نیست چون c ≠ 0. اجازه دهید با جزئیات بیشتری در موقعیت هایی صحبت کنیم که - c a< 0 и - c a > 0 .

در صورتی که - ج الف< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа پبرابری p 2 = - c a نمی تواند درست باشد.

همه چیز متفاوت است وقتی - c a > 0: ریشه مربع را به خاطر بسپارید، و آشکار می شود که ریشه معادله x 2 = - c a عدد - c a خواهد بود، زیرا - c a 2 = - c a. درک اینکه عدد - - c a نیز ریشه معادله x 2 = - c a است دشوار نیست: در واقع، - - c a 2 = - c a.

معادله هیچ ریشه دیگری نخواهد داشت. ما می توانیم این را با استفاده از روش تضاد نشان دهیم. برای شروع، اجازه دهید نمادهای ریشه های موجود در بالا را به صورت تعریف کنیم x 1و − x 1. فرض کنید معادله x 2 = - c a نیز یک ریشه دارد x 2، که با ریشه متفاوت است x 1و − x 1. ما می دانیم که با جایگزینی در معادله ایکسریشه های آن، معادله را به یک برابری عددی منصفانه تبدیل می کنیم.

برای x 1و − x 1می نویسیم: x 1 2 = - c a و برای x 2- x 2 2 = - c a . بر اساس ویژگی های تساوی های عددی، یک عبارت برابری صحیح را به صورت ترم از دیگری کم می کنیم که به ما می دهد: x 1 2 − x 2 2 = 0. ما از خصوصیات عملیات با اعداد برای بازنویسی آخرین برابری به عنوان استفاده می کنیم (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. معلوم است که حاصل ضرب دو عدد صفر است اگر و فقط اگر حداقل یکی از اعداد صفر باشد. از مطالب فوق چنین بر می آید که x 1 - x 2 = 0و/یا x 1 + x 2 = 0، که همان است x 2 = x 1و/یا x 2 = - x 1. یک تناقض آشکار به وجود آمد، زیرا در ابتدا توافق شد که ریشه معادله است x 2متفاوت است x 1و − x 1. بنابراین، ما ثابت کردیم که معادله هیچ ریشه ای جز x = - c a و x = - - c a ندارد.

اجازه دهید همه استدلال های بالا را خلاصه کنیم.

تعریف 6

معادله درجه دوم ناقص a x 2 + c = 0معادل معادله x 2 = - c a است که:

• هیچ ریشه ای در - c a نخواهد داشت< 0 ;
• دارای دو ریشه x = - c a و x = - - c a برای - c a > 0 خواهد بود.

اجازه دهید مثال هایی از حل معادلات ارائه دهیم a x 2 + c = 0.

مثال 3

با یک معادله درجه دوم 9 x 2 + 7 = 0.باید راه حلی پیدا کرد.

راه حل

بیایید عبارت آزاد را به سمت راست معادله منتقل کنیم، سپس معادله شکل خواهد گرفت 9 x 2 = − 7.
اجازه دهید هر دو طرف معادله حاصل را بر تقسیم کنیم 9 ، به x 2 = - 7 9 می رسیم. در سمت راست عددی با علامت منفی می بینیم که به این معنی است: معادله داده شده ریشه ندارد. سپس معادله درجه دوم ناقص اصلی 9 x 2 + 7 = 0هیچ ریشه ای نخواهد داشت

پاسخ:معادله 9 x 2 + 7 = 0ریشه ندارد

مثال 4

معادله باید حل شود − x 2 + 36 = 0.

راه حل

بیایید عدد 36 را به سمت راست حرکت دهیم: − x 2 = − 36.
بیایید هر دو قسمت را بر اساس تقسیم کنیم − 1 ، ما گرفتیم x 2 = 36. در سمت راست یک عدد مثبت وجود دارد که از آن نتیجه می گیریم x = 36 یا x = - 36 .
بیایید ریشه را استخراج کنیم و نتیجه نهایی را بنویسیم: معادله درجه دوم ناقص − x 2 + 36 = 0دو ریشه دارد x = 6یا x = - 6.

پاسخ: x = 6یا x = - 6.

حل معادله a x 2 +b x=0

اجازه دهید نوع سوم معادلات درجه دوم ناقص را تجزیه و تحلیل کنیم c = 0. برای یافتن راه حل برای یک معادله درجه دوم ناقص a x 2 + b x = 0، از روش فاکتورسازی استفاده خواهیم کرد. اجازه دهید چند جمله ای را که در سمت چپ معادله قرار دارد فاکتورسازی کنیم و عامل مشترک را از پرانتز خارج کنیم. ایکس. این مرحله تبدیل معادله درجه دوم ناقص اولیه را به معادل آن ممکن می سازد x (a x + b) = 0. و این معادله نیز به نوبه خود معادل مجموعه ای از معادلات است x = 0و a x + b = 0. معادله a x + b = 0خطی و ریشه آن: x = - b a.

تعریف 7

بنابراین، معادله درجه دوم ناقص است a x 2 + b x = 0دو ریشه خواهد داشت x = 0و x = - b a.

بیایید مطالب را با یک مثال تقویت کنیم.

مثال 5

لازم است برای معادله 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 راه حلی پیدا کنید.

راه حل

ما آن را بیرون می آوریم ایکسخارج از پرانتز معادله x · 2 3 · x - 2 7 = 0 را دریافت می کنیم. این معادله معادل معادلات است x = 0و 2 3 x - 2 2 7 = 0. اکنون باید معادله خطی حاصل را حل کنید: 2 3 · x = 2 2 7، x = 2 2 7 2 3.

به طور خلاصه جواب معادله را به صورت زیر بنویسید:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 یا 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 یا x = 3 3 7

پاسخ: x = 0، x = 3 3 7.

متمایز، فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

برای یافتن جواب معادلات درجه دوم، یک فرمول ریشه وجود دارد:

تعریف 8

x = - b ± D 2 · a، که در آن D = b 2 − 4 a c- به اصطلاح تفکیک کننده یک معادله درجه دوم.

نوشتن x = - b ± D 2 · a اساساً به این معنی است که x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

درک این که چگونه این فرمول مشتق شده و چگونه آن را اعمال کنیم مفید خواهد بود.

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

اجازه دهید با کار حل یک معادله درجه دوم روبرو شویم a x 2 + b x + c = 0. اجازه دهید تعدادی تبدیل معادل را انجام دهیم:

• دو طرف معادله را بر یک عدد تقسیم کنید آ، متفاوت از صفر، معادله درجه دوم زیر را به دست می آوریم: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• بیایید مربع کامل در سمت چپ معادله حاصل را انتخاب کنیم:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ج الف
  پس از این، معادله به شکل زیر در می آید: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• اکنون می توان دو عبارت آخر را به سمت راست منتقل کرد، علامت را به سمت مخالف تغییر داد، پس از آن به دست می آوریم: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• در نهایت، عبارت نوشته شده در سمت راست آخرین برابری را تبدیل می کنیم:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

بنابراین، به معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 می رسیم که معادل معادله اصلی است. a x 2 + b x + c = 0.

حل این گونه معادلات را در پاراگراف های قبل (حل معادلات درجه دوم ناقص) بررسی کردیم. تجربه به دست آمده این امکان را فراهم می کند تا در مورد ریشه های معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 نتیجه گیری کنیم:

• با b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• وقتی b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 معادله x + b 2 · a 2 = 0 است، سپس x + b 2 · a = 0 است.

از اینجا تنها ریشه x = - b 2 · a آشکار است.

• برای b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 موارد زیر درست خواهد بود: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 یا x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 که همان x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 یا x = - b 2 · a - b 2 - 4 است. · a · c 4 · a 2 , i.e. معادله دو ریشه دارد

می توان نتیجه گرفت که وجود یا عدم وجود ریشه های معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (و بنابراین معادله اصلی) به علامت عبارت b بستگی دارد. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 در سمت راست نوشته شده است. و علامت این عبارت با علامت صورت، (مخرج 4 a 2همیشه مثبت خواهد بود)، یعنی نشانه بیان b 2 − 4 a c. این بیان b 2 − 4 a cنام داده شده است - ممیز معادله درجه دوم و حرف D به عنوان نام آن تعریف می شود. در اینجا می توانید ماهیت ممیز را بنویسید - بر اساس ارزش و علامت آن ، آنها می توانند نتیجه بگیرند که آیا معادله درجه دوم ریشه واقعی خواهد داشت یا خیر ، و اگر چنین است ، تعداد ریشه ها چقدر است - یک یا دو.

اجازه دهید به معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 برگردیم. بیایید آن را با استفاده از نماد تفکیک بازنویسی کنیم: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

اجازه دهید نتایج خود را دوباره فرموله کنیم:

تعریف 9

• در دی< 0 معادله هیچ ریشه واقعی ندارد.
• در D=0معادله یک ریشه دارد x = - b 2 · a ;
• در D > 0معادله دو ریشه دارد: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 یا x = - b 2 · a - D 4 · a 2. بر اساس خواص رادیکال ها، این ریشه ها را می توان به شکل زیر نوشت: x = - b 2 · a + D 2 · a or - b 2 · a - D 2 · a. و وقتی ماژول ها را باز می کنیم و کسرها را به یک مخرج مشترک می آوریم، به دست می آوریم: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

بنابراین، نتیجه استدلال ما استخراج فرمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم بود:

x = - b + D 2 a، x = - b - D 2 a، ممیز دیبا فرمول محاسبه می شود D = b 2 − 4 a c.

این فرمول ها تعیین هر دو ریشه واقعی را در زمانی که تفکیک کننده بزرگتر از صفر است ممکن می سازد. هنگامی که ممیز صفر است، با اعمال هر دو فرمول، ریشه یکسانی به عنوان تنها راه حل معادله درجه دوم به دست می آید. در مواردی که ممیز منفی باشد، اگر بخواهیم از فرمول ریشه درجه دوم استفاده کنیم، با نیاز به جذر یک عدد منفی مواجه می شویم که ما را از محدوده اعداد حقیقی خارج می کند. با یک ممیز منفی، معادله درجه دوم ریشه واقعی نخواهد داشت، اما یک جفت ریشه مزدوج پیچیده امکان پذیر است که با همان فرمول های ریشه ای که ما به دست آوردیم تعیین می شود.

الگوریتم حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه

حل یک معادله درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه امکان پذیر است، اما این معمولاً زمانی انجام می شود که نیاز به یافتن ریشه های پیچیده باشد.

در اکثر موارد، معمولاً به معنای جستجوی نه پیچیده، بلکه برای ریشه های واقعی یک معادله درجه دوم است. سپس بهتر است قبل از استفاده از فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم، ابتدا ممیز را مشخص کرده و از منفی نبودن آن اطمینان حاصل کنیم (در غیر این صورت به این نتیجه می رسیم که معادله ریشه واقعی ندارد) و سپس اقدام به محاسبه می کنیم. ارزش ریشه ها

استدلال بالا امکان فرموله کردن یک الگوریتم برای حل یک معادله درجه دوم را فراهم می کند.

تعریف 10

برای حل یک معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0، لازم:

• طبق فرمول D = b 2 − 4 a cمقدار متمایز را بیابید.
• در D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• برای D = 0، تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول x = - b 2 · a ;
• برای D > 0، دو ریشه واقعی معادله درجه دوم را با استفاده از فرمول x = - b ± D 2 · a تعیین کنید.

توجه داشته باشید که وقتی ممیز صفر است، می توانید از فرمول x = - b ± D 2 · a استفاده کنید، نتیجه مشابه فرمول x = - b 2 · a خواهد بود.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم

اجازه دهید برای مثال ها راه حلی ارائه دهیم معانی مختلفممیز

مثال 6

ما باید ریشه های معادله را پیدا کنیم x 2 + 2 x − 6 = 0.

راه حل

بیایید ضرایب عددی معادله درجه دوم را بنویسیم: a = 1، b = 2 و c = - 6. بعد طبق الگوریتم پیش می رویم، i.e. بیایید شروع به محاسبه ممیز کنیم، که ضرایب a، b را جایگزین می کنیم. و جبه فرمول تفکیک: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28.

پس D > 0 بدست می آوریم، یعنی معادله اصلی دو ریشه واقعی خواهد داشت.
برای یافتن آنها، از فرمول ریشه x = - b ± D 2 · a استفاده می کنیم و با جایگزینی مقادیر مربوطه، به دست می آوریم: x = - 2 ± 28 2 · 1. بیایید عبارت حاصل را با خارج کردن عامل از علامت ریشه و سپس کاهش کسر ساده کنیم:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 یا x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 یا x = - 1 - 7

پاسخ: x = - 1 + 7، x = - 1 - 7.

مثال 7

نیاز به حل یک معادله درجه دوم − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

راه حل

بیایید تفکیک کننده را تعریف کنیم: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. با این مقدار ممیز، معادله اصلی تنها یک ریشه خواهد داشت که با فرمول x = - b 2 · a تعیین می شود.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

پاسخ: x = 3.5.

مثال 8

معادله باید حل شود 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

راه حل

ضرایب عددی این معادله عبارتند از: a = 5، b = 6 و c = 2. ما از این مقادیر برای یافتن متمایز استفاده می کنیم: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . تفکیک محاسبه شده منفی است، بنابراین معادله درجه دوم اصلی ریشه واقعی ندارد.

در موردی که وظیفه نشان دادن ریشه های پیچیده است، فرمول ریشه را اعمال می کنیم و اقداماتی را با اعداد مختلط انجام می دهیم:

x = - 6 ± - 4 2 5،

x = - 6 + 2 i 10 یا x = - 6 - 2 i 10،

x = - 3 5 + 1 5 · i یا x = - 3 5 - 1 5 · i.

پاسخ:هیچ ریشه واقعی وجود ندارد. ریشه های مختلط به شرح زیر است: - 3 5 + 1 5 · i، - 3 5 - 1 5 · i.

که در برنامه آموزشی مدرسههیچ الزام استانداردی برای جستجوی ریشه های پیچیده وجود ندارد، بنابراین، اگر در حین حل، تشخیص دهنده منفی باشد، بلافاصله پاسخ نوشته می شود که هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

فرمول ریشه برای ضرایب حتی دوم

فرمول ریشه x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) به دست آوردن فرمول دیگری، فشرده تر را ممکن می کند، به فرد اجازه می دهد تا برای معادلات درجه دوم راه حل هایی با ضریب زوج برای x پیدا کند. یا با ضریب شکل 2 · n، به عنوان مثال، 2 3 یا 14 ln 5 = 2 7 ln 5). اجازه دهید نشان دهیم که چگونه این فرمول مشتق شده است.

اجازه دهید با کار پیدا کردن یک راه حل برای معادله درجه دوم a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 مواجه شویم. طبق الگوریتم پیش می رویم: متمایز D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) را تعیین می کنیم و سپس از فرمول ریشه استفاده می کنیم:

x = - 2 n ± D 2 a، x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a، x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a، x = - - n ± n 2 - a · c a .

بگذارید عبارت n 2 − a · c با D 1 نشان داده شود (گاهی اوقات با D نشان داده می شود). سپس فرمول ریشه های معادله درجه دوم در نظر گرفته شده با ضریب دوم 2 · n به شکل زیر در می آید:

x = - n ± D 1 a، که در آن D 1 = n 2 - a · c.

به راحتی می توان فهمید که D = 4 · D 1، یا D 1 = D 4. به عبارت دیگر، D 1 یک چهارم ممیز است. بدیهی است که علامت D 1 همان علامت D است ، به این معنی که علامت D 1 می تواند به عنوان نشانگر وجود یا عدم وجود ریشه های یک معادله درجه دوم نیز باشد.

تعریف 11

بنابراین، برای یافتن راه حل برای یک معادله درجه دوم با ضریب دوم 2 n، لازم است:

• پیدا کردن D 1 = n 2 − a · c ;
• در D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• وقتی D 1 = 0، تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول x = - n a تعیین کنید.
• برای D 1 > 0، دو ریشه واقعی را با استفاده از فرمول x = - n ± D 1 a تعیین کنید.

مثال 9

حل معادله درجه دوم 5 x 2 − 6 x − 32 = 0 ضروری است.

راه حل

می توانیم ضریب دوم معادله داده شده را به صورت 2 · (- 3) نشان دهیم. سپس معادله درجه دوم داده شده را به صورت 5 x 2 + 2 (- 3) x − 32 = 0 بازنویسی می کنیم که a = 5، n = − 3 و c = − 32.

بیایید قسمت چهارم ممیز را محاسبه کنیم: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. مقدار حاصل مثبت است، به این معنی که معادله دو ریشه واقعی دارد. اجازه دهید آنها را با استفاده از فرمول ریشه مربوطه تعیین کنیم:

x = - n ± D 1 a، x = - - 3 ± 169 5، x = 3 ± 13 5،

x = 3 + 13 5 یا x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 یا x = - 2

می توان محاسبات را با استفاده از فرمول معمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم انجام داد، اما در این مورد راه حل دشوارتر خواهد بود.

پاسخ: x = 3 1 5 یا x = - 2 .

ساده سازی فرم معادلات درجه دوم

گاهی اوقات می توان شکل معادله اصلی را بهینه کرد که روند محاسبه ریشه ها را ساده می کند.

به عنوان مثال، حل معادله درجه دوم 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 به وضوح راحت‌تر از 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 است.

بیشتر اوقات، ساده سازی شکل یک معادله درجه دوم با ضرب یا تقسیم دو طرف آن در یک عدد مشخص انجام می شود. به عنوان مثال، در بالا یک نمایش ساده از معادله 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 را نشان دادیم که با تقسیم هر دو طرف بر 100 به دست می‌آید.

چنین تبدیلی زمانی امکان پذیر است که ضرایب معادله درجه دوم اعداد هم اول نباشند. سپس معمولاً هر دو طرف معادله را بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک تقسیم می کنیم ارزش های مطلقضرایب آن

به عنوان مثال، از معادله درجه دوم 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 استفاده می کنیم. اجازه دهید GCD مقادیر مطلق ضرایب آن را تعیین کنیم: GCD (12، 42، 48) = GCD (GCD (12، 42)، 48) = GCD (6، 48) = 6. اجازه دهید هر دو طرف معادله درجه دوم اصلی را بر 6 تقسیم کنیم و معادله درجه دوم معادل 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 را به دست آوریم.

با ضرب هر دو طرف یک معادله درجه دوم، معمولاً از شر ضرایب کسری خلاص می شوید. در این حالت آنها در حداقل مضرب مشترک مخرج ضرایب آن ضرب می شوند. به عنوان مثال، اگر هر قسمت از معادله درجه دوم 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 با LCM (6، 3، 1) = 6 ضرب شود، آنگاه به صورت بیشتر نوشته می شود. به شکل ساده x 2 + 4 x − 18 = 0.

در نهایت، یادآور می‌شویم که تقریباً همیشه با تغییر علائم هر جمله معادله، که با ضرب (یا تقسیم) هر دو طرف در - 1 به دست می‌آید، از منهای اولین ضریب معادله درجه دوم خلاص می‌شویم. به عنوان مثال، از معادله درجه دوم − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0، می توانید به نسخه ساده شده آن 2 x 2 + 3 x − 7 = 0 بروید.

رابطه بین ریشه ها و ضرایب

فرمول ریشه های معادلات درجه دوم که قبلاً برای ما شناخته شده است، x = - b ± D 2 · a، ریشه های معادله را از طریق ضرایب عددی آن بیان می کند. با تکیه بر این فرمول، ما این فرصت را داریم که وابستگی های دیگر بین ریشه ها و ضرایب را مشخص کنیم.

معروف ترین و کاربردی ترین فرمول ها قضیه Vieta است:

x 1 + x 2 = - b a و x 2 = c a.

به ویژه، برای معادله درجه دوم داده شده، مجموع ریشه ها ضریب دوم با علامت مخالف است و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است. به عنوان مثال، با نگاه کردن به شکل معادله درجه دوم 3 x 2 − 7 x + 22 = 0، می توان بلافاصله تعیین کرد که مجموع ریشه های آن 7 3 و حاصل ضرب ریشه ها 22 3 است.

همچنین می توانید تعدادی ارتباط دیگر بین ریشه ها و ضرایب یک معادله درجه دوم پیدا کنید. به عنوان مثال، مجموع مجذورات ریشه های یک معادله درجه دوم را می توان بر حسب ضرایب بیان کرد:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید