تعریف کلاسیک و آماری احتمال

برای فعالیت های عملی لازم است که بتوان وقایع را با توجه به میزان امکان وقوع آنها مقایسه کرد. بیایید یک مورد کلاسیک را در نظر بگیریم. 10 توپ در کوزه وجود دارد که 8 تای آنهاست سفید، 2 مشکی. بدیهی است که رویداد "یک توپ سفید از کوزه کشیده می شود" و رویداد "یک توپ سیاه از کوزه کشیده خواهد شد" به درجه ای متفاوتاحتمال وقوع آنها بنابراین، برای مقایسه رویدادها، به یک معیار کمی خاص نیاز است.

یک معیار کمی برای احتمال وقوع یک رویداد است احتمال . پرکاربردترین تعاریف احتمال یک رویداد، تعاریف کلاسیک و آماری است.

تعریف کلاسیکاحتمال با مفهوم یک نتیجه مطلوب همراه است. بیایید به این موضوع با جزئیات بیشتری نگاه کنیم.

اجازه دهید نتایج یک آزمایش یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل دهد و به همان اندازه ممکن باشد، یعنی. منحصر به فرد ممکن، ناسازگار و به همان اندازه ممکن است. چنین نتایجی نامیده می شود نتایج ابتدایی، یا موارد. گفته می شود که آزمون به پایان می رسد طرح موردییا " طرح کوزه"، زیرا هر مشکل احتمالی برای چنین آزمایشی را می توان با یک مشکل معادل با کوزه ها و توپ های رنگ های مختلف جایگزین کرد.

نتیجه نامیده می شود مطلوبرویداد آ، در صورتی که وقوع این مورد مستلزم وقوع واقعه باشد آ.

طبق تعریف کلاسیک احتمال وقوع یک رویداد A برابر است با نسبت تعداد پیامدهای مطلوب این رویداد به تعداد کل پیامدها، یعنی

,

(1.1)

جایی که P(A)- احتمال رخداد آ; متر- تعداد موارد مساعد برای رویداد آ; n- تعداد کل موارد

مثال 1.1.هنگام پرتاب تاس، شش نتیجه ممکن وجود دارد: 1، 2، 3، 4، 5، 6 امتیاز. احتمال کسب تعداد امتیاز زوج چقدر است؟

راه حل. همه n= 6 نتیجه یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهد و به همان اندازه ممکن است، یعنی. منحصر به فرد ممکن، ناسازگار و به همان اندازه ممکن است. رویداد A - "ظاهر تعداد زوج" - با 3 نتیجه (مورد) - از دست دادن 2، 4 یا 6 امتیاز مورد علاقه است. با استفاده از فرمول کلاسیک برای احتمال یک رویداد، به دست می آوریم

P(A) = = . ◄

بر اساس تعریف کلاسیک احتمال یک رویداد، ویژگی های آن را یادداشت می کنیم:

1. احتمال هر رویدادی بین صفر و یک است، یعنی.

0 ≤ آر(آ) ≤ 1.

2. احتمال یک رویداد قابل اعتماد برابر با یک است.

3. احتمال وقوع یک رویداد غیرممکن صفر است.

همانطور که قبلا گفته شد، تعریف کلاسیکاحتمال فقط برای آن دسته از رویدادهایی قابل استفاده است که می توانند در نتیجه آزمایش هایی که دارای تقارن نتایج احتمالی هستند، به وجود بیایند، به عنوان مثال. قابل تقلیل به الگوی موارد با این حال، دسته بزرگی از رویدادها وجود دارد که احتمالات آنها را نمی توان با استفاده از تعریف کلاسیک محاسبه کرد.

مثلاً اگر سکه را مسطح فرض کنیم، بدیهی است که رویدادهای «ظهور نشان» و «ظهور سرها» را نمی‌توان به یک اندازه ممکن دانست. بنابراین، فرمول تعیین احتمال با توجه به طرح کلاسیک در این مورد قابل اجرا نیست.

با این حال، رویکرد دیگری برای تخمین احتمال رویدادها وجود دارد که بر اساس تعداد دفعات وقوع یک رویداد معین در آزمایش‌های انجام‌شده، وجود دارد. در این مورد از تعریف آماری احتمال استفاده می شود.

احتمال آماریرویداد A فراوانی (فرکانس) نسبی وقوع این رویداد در n کارآزمایی انجام شده است، یعنی.

,

(1.2)

جایی که P*(A)- احتمال آماری یک رویداد آ; w(A)- فراوانی نسبی رویداد آ; متر- تعداد آزمایشاتی که در آن رویداد رخ داده است آ; n- تعداد کل آزمون ها

بر خلاف احتمال ریاضی P(A)، در تعریف کلاسیک، احتمال آماری در نظر گرفته شده است P*(A)یک مشخصه است با تجربه, تجربی. به عبارت دیگر، احتمال آماریمناسبت ها آعددی است که فرکانس نسبی حول آن تثبیت می شود (تنظیم) w(A)با افزایش نامحدود در تعداد آزمایشات انجام شده در شرایط یکسان.

مثلاً وقتی در مورد تیراندازی می گویند که با احتمال 0.95 به هدف می زند، این بدان معناست که از صدها تیر شلیک شده توسط او در شرایط خاص (همان هدف در همان فاصله، همان تفنگ و غیره). ) به طور متوسط ​​حدود 95 نفر موفق هستند. طبیعتاً هر صد نفر 95 شلیک موفق نخواهند داشت، گاهی اوقات کمتر و گاهی بیشتر می شود، اما به طور متوسط ​​با تکرارهای متعدد تیراندازی در شرایط یکسان، این درصد ضربه ها بدون تغییر باقی می ماند. عدد 0.95 که به عنوان شاخص مهارت تیرانداز عمل می کند، معمولاً بسیار است. پایدار، یعنی درصد ضربه ها در بیشتر تیراندازی ها برای یک تیرانداز معین تقریباً یکسان است، فقط در موارد نادری به طور قابل توجهی از مقدار میانگین آن انحراف دارد.

یکی دیگر از معایب تعریف کلاسیک احتمال ( 1.1 ) محدود کردن استفاده از آن این است که تعداد محدودی از نتایج آزمایش ممکن را فرض می کند. در برخی موارد، با استفاده از یک تعریف هندسی احتمال، می توان بر این نقص غلبه کرد. یافتن احتمال سقوط یک نقطه در یک منطقه خاص (قطعه، بخشی از یک صفحه و غیره).

اجازه دهید شکل صاف gبخشی از یک شکل صاف را تشکیل می دهد جی(شکل 1.1). مناسب جییک نقطه به طور تصادفی پرتاب می شود. این بدان معناست که تمام نقاط منطقه جی"حقوق برابر" با توجه به اینکه آیا یک نقطه تصادفی پرتاب شده به آن برخورد می کند یا خیر. با فرض اینکه احتمال یک رویداد آ– نقطه پرتاب شده به شکل برخورد می کند g- متناسب با مساحت این شکل است و به موقعیت آن نسبت به آن بستگی ندارد جی، نه از فرم g، پیدا خواهیم کرد

احتمالرویداد نسبت تعداد پیامدهای ابتدایی مطلوب برای یک رویداد معین به تعداد تمام نتایج ممکن تجربه ای است که ممکن است این رویداد در آن ظاهر شود. احتمال رخداد A با P(A) نشان داده می شود (در اینجا P حرف اول کلمه فرانسوی probabilite - probability است). طبق تعریف
(1.2.1)
تعداد پیامدهای اولیه مطلوب برای رویداد A کجاست. - تعداد تمام نتایج ابتدایی به همان اندازه ممکن آزمایش که یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهد.
این تعریف از احتمال را کلاسیک می نامند. این در مرحله اولیه توسعه نظریه احتمال بوجود آمد.

احتمال یک رویداد دارای ویژگی های زیر است:
1. احتمال یک رویداد قابل اعتماد برابر با یک است. اجازه دهید یک رویداد قابل اعتماد را با حرف نشان دهیم. بنابراین برای یک رویداد خاص
(1.2.2)
2. احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است. اجازه دهید یک رویداد غیرممکن را با حرف نشان دهیم. بنابراین برای یک رویداد غیرممکن
(1.2.3)
3. احتمال یک رویداد تصادفی به صورت عدد مثبت کمتر از یک بیان می شود. از آنجایی که برای یک رویداد تصادفی نابرابری ها، یا، ارضا می شوند، پس
(1.2.4)
4. احتمال هر رویدادی نابرابری ها را ارضا می کند
(1.2.5)
این از روابط (1.2.2) - (1.2.4) نتیجه می شود.

مثال 1.یک کوزه شامل 10 توپ با اندازه و وزن یکسان است که 4 توپ قرمز و 6 توپ آبی است. یک توپ از کوزه کشیده می شود. احتمال آبی بودن توپ کشیده چقدر است؟

راه حل. رویداد "توپ کشیده شده آبی شد" را با حرف A نشان می دهیم. این آزمون دارای 10 نتیجه ابتدایی به همان اندازه ممکن است که 6 مورد به نفع رویداد A است. مطابق با فرمول (1.2.1)، ما به دست می آوریم.

مثال 2.تمام اعداد طبیعی از 1 تا 30 روی کارت های یکسان نوشته شده و در یک کوزه قرار می گیرند. پس از به هم زدن کامل کارت ها، یک کارت از urn خارج می شود. احتمال اینکه عدد روی کارت گرفته شده مضرب 5 باشد چقدر است؟

راه حل.اجازه دهید رویداد را با A نشان دهیم "عدد روی کارت گرفته شده مضرب 5 است." در این آزمون 30 نتیجه ابتدایی به همان اندازه ممکن وجود دارد که از میان آنها رویداد A با 6 نتیجه (اعداد 5، 10، 15، 20، 25، 30) مورد علاقه است. از این رو،

مثال 3.دو تاس پرتاب می شود و مجموع امتیازات روی وجه های بالایی محاسبه می شود. احتمال رویداد B را به گونه ای بیابید که وجه های بالای تاس در مجموع 9 امتیاز داشته باشند.

راه حل.در این آزمون تنها 6 2 = 36 پیامد ابتدایی به همان اندازه ممکن وجود دارد. رویداد B با 4 نتیجه مورد علاقه است: (3;6)، (4;5)، (5;4)، (6;3)، بنابراین

مثال 4. به صورت تصادفی انتخاب شده است عدد طبیعی، از 10 تجاوز نمی کند. احتمال اول بودن این عدد چقدر است؟

راه حل.اجازه دهید رویداد "عدد انتخابی اول است" را با حرف C نشان دهیم. در این مورد، n = 10، m = 4 (اعداد اول 2، 3، 5، 7). بنابراین، احتمال لازم است

مثال 5.دو سکه متقارن پرتاب می شود. احتمال وجود اعداد در بالای هر دو سکه چقدر است؟

راه حل.اجازه دهید با حرف D اتفاقی را که "در بالای هر سکه یک عدد وجود دارد" نشان دهیم. در این آزمون 4 نتیجه ابتدایی به همان اندازه ممکن وجود دارد: (G، G)، (G، C)، (C، G)، (C، C). (علامت (G, C) به این معنی است که سکه اول دارای نشان است و سکه دوم دارای شماره). رویداد D توسط یک نتیجه ابتدایی (C, C) مورد علاقه است. از آنجایی که m = 1، n = 4، پس

مثال 6.احتمال اینکه یک عدد دو رقمی به طور تصادفی انتخاب شده دارای ارقام یکسان باشد چقدر است؟

راه حل.اعداد دو رقمی اعدادی از 10 تا 99 هستند. در مجموع 90 عدد از این دست وجود دارد. همان اعداددارای 9 عدد (این اعداد عبارتند از 11، 22، 33، 44، 55، 66، 77، 88، 99). از آنجایی که در این مورد m = 9، n = 90، پس
,
که در آن A رویداد "عددی با ارقام یکسان" است.

مثال 7.از حروف کلمه دیفرانسیلیک حرف به صورت تصادفی انتخاب می شود. احتمال اینکه این حرف باشد چقدر است: الف) مصوت، ب) صامت، ج) حرف. ساعت?

راه حل. کلمه دیفرانسیل دارای 12 حرف است که 5 حرف آن مصوت و 7 حرف صامت است. نامه ها ساعتدر این کلمه وجود ندارد اجازه دهید رویدادها را نشان دهیم: A - "حرف مصوت"، B - "حرف همخوان"، C - "حرف" ساعتتعداد پیامدهای ابتدایی مطلوب: - برای رویداد A، - برای رویداد B، - برای رویداد C. از آنجایی که n = 12، پس
، و .

مثال 8.دو تاس پرتاب می شود و تعداد نقاط بالای هر تاس درج می شود. این احتمال را پیدا کنید که هر دو تاس تعداد امتیاز یکسانی را نشان دهند.

راه حل.بیایید این رویداد را با حرف A نشان دهیم. رویداد A با 6 نتیجه اولیه مورد علاقه است: (1;])، (2;2)، (3;3)، (4;4)، (5;5)، (6). ؛ 6). تعداد کل پیامدهای ابتدایی به همان اندازه ممکن که یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند، در این مورد n=6 2 =36. این بدان معنی است که احتمال لازم است

مثال 9.این کتاب 300 صفحه دارد. احتمال اینکه به صورت تصادفی چقدر است صفحه باز شودآیا یک شماره سریال بر 5 بخش پذیر خواهد بود؟

راه حل.از شرایط مسئله چنین استنباط می شود که تمام نتایج ابتدایی ممکن که یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند 300 = n خواهند بود. از این میان، m = 60 به نفع وقوع رویداد مشخص شده است. در واقع، عددی که مضرب 5 است به شکل 5k است، که در آن k یک عدد طبیعی است، و از آن جا . از این رو،
، جایی که A - رویداد "صفحه" دارای یک عدد دنباله ای است که مضرب 5 است.

مثال 10. دو تاس پرتاب می شود و مجموع امتیازات روی وجه های بالایی محاسبه می شود. چه چیزی محتمل تر است - گرفتن مجموع 7 یا 8؟

راه حل. اجازه دهید رویدادها را نشان دهیم: A - "7 امتیاز چرخانده می شود" ، B - "8 امتیاز نورد می شود". رویداد A با 6 نتیجه اولیه مورد علاقه قرار می گیرد: (1؛ 6)، (2؛ 5)، (3؛ 4)، (4؛ 3)، (5؛ 2)، (6؛ 1)، و رویداد B مورد علاقه است. با 5 نتیجه: (2؛ 6)، (3؛ 5)، (4؛ 4)، (5؛ 3)، (6؛ 2). همه پیامدهای ابتدایی به همان اندازه ممکن n = 6 2 = 36 هستند. و .

بنابراین، P(A)>P(B)، یعنی کسب مجموع 7 امتیاز، احتمال بیشتری نسبت به کسب مجموع 8 امتیاز دارد.

وظایف

1. یک عدد طبیعی که بیشتر از 30 نباشد به طور تصادفی انتخاب می شود. احتمال اینکه این عدد مضرب 3 باشد چقدر است؟
2. در کوزه آقرمز و بتوپ های آبی، از نظر اندازه و وزن یکسان. احتمال اینکه توپی که به طور تصادفی از این کوزه کشیده می شود آبی باشد چقدر است؟
3. عددی که بیشتر از 30 نباشد به طور تصادفی انتخاب می شود. احتمال اینکه این عدد مقسوم علیه 30 باشد چقدر است؟
4. در کوزه آآبی و بتوپ های قرمز، از نظر اندازه و وزن یکسان. یک توپ از این کوزه برداشته و کنار گذاشته می شود. این توپ قرمز شد. پس از این، یک توپ دیگر از کوزه کشیده می شود. احتمال اینکه توپ دوم نیز قرمز باشد را پیدا کنید.
5. یک عدد ملی که بیشتر از 50 نباشد به طور تصادفی انتخاب می شود. احتمال اینکه این عدد اول باشد چقدر است؟
6. سه تاس پرتاب می شود و مجموع امتیازات روی وجه های بالایی محاسبه می شود. چه چیزی بیشتر محتمل است - در مجموع 9 یا 10 امتیاز کسب کنید؟
7. سه تاس انداخته می شود و مجموع امتیازهای ریخته شده محاسبه می شود. چه چیزی محتمل تر است - در مجموع 11 (رویداد A) یا 12 امتیاز (رویداد B)؟

پاسخ ها

1. 1/3. 2 . ب/(آ+ب). 3 . 0,2. 4 . (ب-1)/(آ+ب-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - احتمال کسب 9 امتیاز در کل. p 2 = 27/216 - احتمال کسب 10 امتیاز در کل. p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216، P(B) = 25/216، P(A) > P(B).

سوالات

1. احتمال وقوع یک رویداد چیست؟
2. احتمال یک رویداد قابل اعتماد چقدر است؟
3. احتمال وقوع یک رویداد غیرممکن چقدر است؟
4. حدود احتمال یک رویداد تصادفی چیست؟
5. حدود احتمال هر رویداد چیست؟
6- چه تعریفی از احتمال را کلاسیک می نامند؟

در هنگام ارزیابی احتمال وقوع هر رویداد تصادفی، بسیار مهم است که درک خوبی از این موضوع داشته باشیم که آیا احتمال () وقوع رویدادی که ما به آن علاقه داریم بستگی به چگونگی توسعه سایر رویدادها دارد یا خیر.

در مورد طرح کلاسیک، زمانی که همه نتایج به یک اندازه محتمل هستند، می‌توانیم مقادیر احتمال رویداد فردی مورد علاقه خود را به طور مستقل تخمین بزنیم. ما می توانیم این کار را انجام دهیم حتی اگر رویداد مجموعه ای پیچیده از چندین نتیجه ابتدایی باشد. اگر چندین رویداد تصادفی به طور همزمان یا متوالی اتفاق بیفتد چه؟ این موضوع چگونه بر احتمال وقوع رویدادی که ما به آن علاقه مندیم تأثیر می گذارد؟

اگر من یک قالب را چندین بار بچرخانم و بخواهم یک عدد شش بالا بیاید و مدام بدشانس باشم، آیا این بدان معناست که باید شرطم را افزایش دهم زیرا طبق تئوری احتمالات، در شرف خوش شانسی هستم؟ افسوس که نظریه احتمال چنین چیزی را بیان نمی کند. بدون تاس، بدون کارت، بدون سکه نمی توانم به یاد بیاورم آنچه دفعه قبل به ما نشان دادند اصلاً برای آنها مهم نیست که امروز برای اولین بار است یا دهمین بار است که شانس خود را آزمایش می کنم. هر بار که رول را تکرار می‌کنم، فقط یک چیز می‌دانم: و این بار احتمال گرفتن شش دوباره یک ششم است. البته این بدان معنا نیست که شماره مورد نیاز من هرگز بالا نمی آید. این فقط به این معنی است که باخت من بعد از اولین پرتاب و بعد از هر پرتاب دیگری یک رویداد مستقل است.

رویدادهای A و B نامیده می شوند مستقل، در صورتی که اجرای یکی از آنها به هیچ وجه بر احتمال رخداد دیگری تأثیری نداشته باشد. به عنوان مثال، احتمال اصابت یک هدف با دو سلاح اول به این بستگی ندارد که آیا هدف توسط سلاح دیگر مورد اصابت قرار گرفته باشد، بنابراین رویدادهای "اولین سلاح به هدف اصابت کرد" و "سلاح دوم به هدف اصابت کرد" مستقل.

اگر دو رویداد A و B مستقل باشند و احتمال هر یک از آنها مشخص باشد، احتمال وقوع همزمان هر دو رویداد A و B (با علامت AB) با استفاده از قضیه زیر قابل محاسبه است.

قضیه ضرب احتمال برای رویدادهای مستقل

P(AB) = P(A)*P(B)- احتمال همزمانشروع دو مستقلحوادث برابر است با کار کردناحتمالات این اتفاقات

مثال.احتمال اصابت به هدف هنگام شلیک اسلحه اول و دوم به ترتیب برابر است: p 1 = 0.7; p 2 = 0.8. احتمال ضربه با یک اسلحه توسط هر دو اسلحه را به طور همزمان پیدا کنید.

راه حل:همانطور که قبلاً دیدیم، رویدادهای A (اصابت با اسلحه اول) و B (اصابت با تفنگ دوم) مستقل هستند، یعنی. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p2 =0.56.

اگر رویدادهای اولیه مستقل نباشند، چه اتفاقی برای تخمین‌های ما می‌افتد؟ مثال قبلی را کمی تغییر می دهیم.

مثال.دو تیرانداز در یک مسابقه به اهدافی شلیک می کنند و اگر یکی از آنها دقیق شلیک کند، حریف شروع به عصبی شدن می کند و نتایج او بدتر می شود. چگونه می توان این موقعیت روزمره را به یک مسئله ریاضی تبدیل کرد و راه های حل آن را ترسیم کرد؟ به طور شهودی روشن است که لازم است به نحوی دو گزینه برای توسعه رویدادها از هم جدا شوند تا اساساً دو سناریو ایجاد شود. وظایف مختلف. در حالت اول اگر حریف از دست داد، سناریو برای ورزشکار عصبی مساعد خواهد بود و دقت او بیشتر می شود. در حالت دوم، اگر حریف شانس خود را شایسته استفاده کرده باشد، احتمال اصابت به هدف برای ورزشکار دوم کاهش می یابد.

برای جدا کردن سناریوهای احتمالی (که اغلب فرضیه نامیده می شود) برای توسعه رویدادها، اغلب از نمودار "درخت احتمال" استفاده می کنیم. این نمودار از نظر معنی شبیه درخت تصمیم است که احتمالا قبلاً با آن سروکار داشته اید. هر شاخه نشان دهنده یک سناریوی جداگانه برای توسعه رویدادها است، فقط در حال حاضر آن را دارد مقدار خاصباصطلاح مشروطاحتمالات (q 1، q 2، q 1 -1، q 2 -1).

این طرح برای تجزیه و تحلیل رویدادهای تصادفی متوالی بسیار مناسب است.

باقی مانده است که یک سوال مهم دیگر را روشن کنیم: مقادیر اولیه احتمالات از کجا می آیند؟ موقعیت های واقعی ? بالاخره نه با همان سکه ها و تاسآیا نظریه احتمال کار می کند؟ معمولا این تخمین ها از آمار گرفته می شود و زمانی که اطلاعات آماری در دسترس نیست، ما تحقیقات خود را انجام می دهیم. و ما اغلب مجبوریم آن را نه با جمع آوری داده ها، بلکه با این سوال شروع کنیم که واقعاً به چه اطلاعاتی نیاز داریم.

مثال.فرض کنید باید در شهری با جمعیت صد هزار نفری، حجم بازار یک محصول جدید را که یک کالای ضروری نیست، مثلاً برای مومیایی برای مراقبت از موهای رنگ شده، تخمین بزنیم. بیایید نمودار "درخت احتمال" را در نظر بگیریم. در این مورد، ما باید مقدار احتمال را در هر "شاخه" تقریباً تخمین بزنیم. بنابراین، برآورد ما از ظرفیت بازار:

1) از کل ساکنان شهر، 50٪ زن هستند،

2) از تمام زنان، فقط 30٪ موهای خود را اغلب رنگ می کنند،

3) از آنها، تنها 10٪ از مومیایی کردن موهای رنگ شده استفاده می کنند،

4) از آنها، تنها 10٪ می توانند شجاعت امتحان یک محصول جدید را به دست آورند،

5) 70 درصد آنها معمولا همه چیز را نه از ما، بلکه از رقبایمان می خرند.

راه حل:طبق قانون ضرب احتمالات، احتمال رویداد مورد علاقه ما را تعیین می کنیم A = (یکی از ساکنان شهر این مومیایی جدید را از ما می خرد) = 0.00045.

بیایید این مقدار احتمال را در تعداد ساکنان شهر ضرب کنیم. در نتیجه ما فقط 45 مشتری بالقوه داریم و با توجه به اینکه یک بطری از این محصول چند ماه دوام می آورد، تجارت چندان پر جنب و جوش نیست.

و با این حال، برخی از مزایای ارزیابی های ما وجود دارد.

در مرحله اول، می‌توانیم پیش‌بینی‌های ایده‌های تجاری مختلف را با هم مقایسه کنیم.

ثانیا همانطور که قبلاً گفتیم مقدار تصادفیبه آن تصادفی نمی گویند زیرا به هیچ چیز بستگی ندارد. فقط او دقیقمعنی از قبل مشخص نیست. می دانیم که می توان میانگین تعداد خریداران را افزایش داد (مثلاً با تبلیغ یک محصول جدید). بنابراین منطقی است که تلاش‌هایمان را روی آن «چنگال‌هایی» متمرکز کنیم که توزیع احتمال به‌خصوص برای ما مناسب نیست، روی آن عواملی که می‌توانیم بر آن‌ها تأثیر بگذاریم.

بیایید نمونه کمی دیگر از تحقیقات رفتار مصرف کننده را بررسی کنیم.

مثال.به طور متوسط ​​روزانه 10000 نفر از بازار مواد غذایی بازدید می کنند. احتمال اینکه بازدیدکننده بازار وارد غرفه شود محصولات لبنی، برابر با 1/2 است. مشخص است که این غرفه روزانه به طور متوسط ​​500 کیلوگرم محصولات مختلف به فروش می رساند.

آیا می توان گفت که میانگین خرید در غرفه فقط 100 گرم وزن دارد؟

بحث.البته که نه. واضح است که همه کسانی که وارد غرفه می‌شوند، در نهایت چیزی را از آنجا خریداری نکرده‌اند.

همانطور که در نمودار نشان داده شده است، برای پاسخ به سوال در مورد میانگین وزن یک خرید، باید پاسخی برای این سوال پیدا کنیم که احتمال اینکه فردی که وارد غرفه می شود چیزی را از آنجا بخرد چقدر است. اگر چنین داده هایی در اختیار نداریم، اما به آن نیاز داریم، باید خودمان با مشاهده بازدیدکنندگان غرفه برای مدتی آن را به دست آوریم. فرض کنید مشاهدات ما نشان داد که تنها یک پنجم بازدیدکنندگان غرفه چیزی می خرند.

وقتی این تخمین ها را به دست آوردیم، کار ساده می شود. از 10000 نفری که به بازار می آیند، 5000 نفر به غرفه محصولات لبنی می روند. وزن متوسطخرید برابر با 500 گرم است. جالب است بدانید که برای ساختن تصویری کامل از آنچه در حال رخ دادن است، منطق "شاخه بندی" مشروط باید در هر مرحله از استدلال ما به وضوح تعریف شود که گویی با یک موقعیت "خاص" کار می کنیم، و نه با احتمالات

وظایف خودآزمایی

1. اجازه دهید یک مدار الکتریکی متشکل از n عنصر متصل به صورت سری وجود داشته باشد که هر یک مستقل از بقیه عمل می کند.

احتمال p شکست هر عنصر مشخص است. احتمال عملکرد صحیح کل بخش مدار را تعیین کنید (رویداد A).

2. دانش آموز 20 سوال از 25 سوال امتحانی را می داند. احتمال اینکه دانش آموز سه سوالی که ممتحن به او داده می داند را بیابید.

3. تولید شامل چهار مرحله متوالی است که در هر یک از آنها تجهیزات کار می کنند که احتمال خرابی آنها در ماه آینده به ترتیب برابر با p 1، p 2، p 3 و p 4 است. احتمال عدم توقف تولید به دلیل خرابی تجهیزات را در یک ماه پیدا کنید.

• احتمال، درجه (معیار نسبی، ارزیابی کمی) امکان وقوع یک رویداد است. هنگامی که دلایل وقوع برخی رویدادهای احتمالی در واقع از دلایل مخالف آن بیشتر باشد، این رویداد محتمل و در غیر این صورت - بعید یا غیر محتمل نامیده می شود. غلبه دلایل مثبت بر دلایل منفی، و بالعکس، می تواند به درجات مختلفی باشد، در نتیجه احتمال (و عدم احتمال) می تواند بیشتر یا کمتر شود. بنابراین، احتمال اغلب در سطح کیفی ارزیابی می شود، به ویژه در مواردی که ارزیابی کمی کم و بیش دقیق غیرممکن یا بسیار دشوار است. درجه بندی های مختلفی از "سطوح" احتمال ممکن است.

  مطالعه احتمالات از دیدگاه ریاضی یک رشته خاص - نظریه احتمال را تشکیل می دهد. در نظریه احتمال و آمار ریاضیمفهوم احتمال به عنوان رسمیت یافته است مشخصه عددیرویدادها - اندازه گیری احتمال (یا مقدار آن) - اندازه گیری در مجموعه ای از رویدادها (زیر مجموعه های مجموعه ای از رویدادهای ابتدایی) که مقادیر را از

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  معنی

  (\displaystyle 1)

  مربوط به یک رویداد قابل اعتماد است. یک رویداد غیرممکن دارای احتمال 0 است (عموماً برعکس همیشه صادق نیست). اگر احتمال وقوع یک رویداد باشد

  (\displaystyle p)

  سپس احتمال عدم وقوع آن برابر است با

  (\displaystyle 1-p)

  به طور خاص، احتمال

  (\displaystyle 1/2)

  یعنی احتمال مساوی وقوع و عدم وقوع یک رویداد.

  تعریف کلاسیک احتمال مبتنی بر مفهوم احتمال برابر نتایج است. احتمال، نسبت تعداد پیامدهای مطلوب برای یک رویداد معین به تعداد کل نتایج ممکن است. به عنوان مثال، اگر فرض شود که فقط این دو احتمال رخ می دهند و آنها به یک اندازه ممکن هستند، احتمال به دست آوردن سر یا دم در یک پرتاب تصادفی سکه 1/2 است. این «تعریف» کلاسیک احتمال را می‌توان به تعداد نامتناهی از مقادیر ممکن تعمیم داد - برای مثال، اگر رویدادی با احتمال مساوی در هر نقطه (تعداد نقاط نامتناهی است) از یک منطقه محدود رخ دهد. فضا (صفحه)، پس احتمال وقوع آن در بخشی از این منطقه امکان پذیر برابر است با نسبت حجم (مساحت) این قسمت به حجم (مساحت) منطقه همه نقاط ممکن.

  "تعریف" تجربی احتمال با فراوانی یک رویداد مرتبط است، بر اساس این واقعیت که با تعداد کافی آزمایش‌ها، فرکانس باید به درجه عینی امکان این رویداد تمایل داشته باشد. در ارائه مدرن نظریه احتمال، احتمال به صورت بدیهی تعریف می شود مورد خاصنظریه انتزاعی اندازه گیری مجموعه با این حال، حلقه اتصال بین معیار انتزاعی و احتمال، که میزان امکان وقوع یک رویداد را بیان می کند، دقیقاً بسامد مشاهده آن است.

  توصيف احتمالي پديده‌هاي خاص در سراسر جهان گسترده شده است علم مدرنبه ویژه در اقتصاد سنجی، فیزیک آماری سیستم های ماکروسکوپی (ترمودینامیکی)، که در آن حتی در مورد توصیف قطعی کلاسیک حرکت ذرات، توصیف قطعی کل سیستم ذرات عملاً ممکن و مناسب به نظر نمی رسد. در فیزیک کوانتومی، فرآیندهای توصیف شده خود ماهیت احتمالی دارند.

واضح است که هر رویداد درجاتی از احتمال وقوع (اجرای آن) متفاوت است. برای مقایسه کمی رویدادها با یکدیگر با توجه به میزان امکان آنها، بدیهی است که باید عدد معینی را با هر رویداد مرتبط کرد، که بیشتر باشد، امکان وقوع رویداد بیشتر باشد. این عدد را احتمال وقوع یک رویداد می نامند.

احتمال وقوع– معیار عددی درجه امکان عینی وقوع این رویداد است.

یک آزمایش تصادفی و یک رویداد تصادفی A را در نظر بگیرید که در این آزمایش مشاهده شده است. بیایید این آزمایش را n بار تکرار کنیم و m(A) تعداد آزمایش هایی باشد که در آن رویداد A رخ داده است.

رابطه (1.1)

تماس گرفت فراوانی نسبیرویدادهای A در سری آزمایش های انجام شده.

به راحتی می توان اعتبار ویژگی ها را تأیید کرد:

اگر A و B ناسازگار باشند (AB= )، آنگاه ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

فرکانس نسبی تنها پس از یک سری آزمایش تعیین می شود و به طور کلی می تواند از سری به سری دیگر متفاوت باشد. با این حال، تجربه نشان می دهد که در بسیاری از موارد، با افزایش تعداد آزمایش ها، فرکانس نسبی به عدد خاصی نزدیک می شود. این واقعیت پایداری فرکانس نسبی بارها تأیید شده است و می توان آن را به طور تجربی ثابت کرد.

مثال 1.19.. اگر یک سکه پرتاب کنید، هیچ کس نمی تواند پیش بینی کند که روی کدام سمت قرار می گیرد. اما اگر دو تن سکه پرتاب کنید، همه می گویند که حدود یک تن با نشان می ریزد، یعنی فرکانس نسبی افتادن نشان تقریباً 0.5 است.

اگر با افزایش تعداد آزمایش‌ها، فرکانس نسبی رویداد ν(A) به عدد ثابت معینی متمایل شود، گفته می‌شود که رویداد A از نظر آماری پایدار استو این عدد را احتمال رویداد A می نامند.

احتمال وقوع رویداد آمقدار ثابتی P(A) نامیده می شود که با افزایش تعداد آزمایش ها، فرکانس نسبی ν(A) این رویداد به آن گرایش پیدا می کند.

این تعریف نامیده می شود تعیین آماری احتمال .

بیایید آزمایش تصادفی خاصی را در نظر بگیریم و اجازه دهیم فضای رویدادهای ابتدایی آن شامل مجموعه ای متناهی یا نامتناهی (اما قابل شمارش) از رویدادهای ابتدایی ω 1, ω 2, …, ω i, … باشد. فرض کنید به هر رویداد ابتدایی ω i یک عدد معین اختصاص داده شده است - р i، که درجه احتمال وقوع یک رویداد ابتدایی معین را مشخص می کند و ویژگی های زیر را برآورده می کند:

این عدد p i نامیده می شود احتمال یک رویداد ابتداییωi.

بگذارید اکنون A یک رویداد تصادفی باشد که در این آزمایش مشاهده شده است، و اجازه دهید با مجموعه خاصی مطابقت داشته باشد

در این تنظیم احتمال وقوع یک رویداد آ مجموع احتمالات وقایع ابتدایی به نفع A را نام ببرید(شامل در مجموعه A مربوطه):

(1.4)

احتمال معرفی شده به این ترتیب دارای ویژگی های مشابه فرکانس نسبی است، یعنی:

و اگر AB = (A و B ناسازگار هستند)،

سپس P(A+B) = P(A) + P(B)

در واقع، طبق (1.4)

در آخرین رابطه از این واقعیت استفاده کردیم که یک رویداد ابتدایی نمی تواند همزمان دو رویداد ناسازگار را به نفع خود قرار دهد.

ما مخصوصاً متذکر می شویم که تئوری احتمالات روش هایی را برای تعیین p i نشان نمی دهد.

به عنوان مثال، طرح کلاسیک نظریه احتمال را در نظر بگیرید. برای انجام این کار، یک آزمایش تصادفی را در نظر بگیرید که فضای رویدادهای ابتدایی آن از تعداد محدود (n) عنصر تشکیل شده است. اجازه دهید علاوه بر این فرض کنیم که همه این رویدادهای ابتدایی به یک اندازه ممکن هستند، یعنی احتمالات رویدادهای ابتدایی برابر است با p(ω i)=p i =p. نتیجه می شود که

مثال 1.20. هنگام پرتاب یک سکه متقارن، گرفتن سر و دم به یک اندازه امکان پذیر است، احتمال آنها برابر با 0.5 است.

مثال 1.21. هنگام پرتاب یک قالب متقارن، همه چهره ها به یک اندازه ممکن هستند، احتمالات آنها برابر با 1/6 است.

حال اجازه دهید رویداد A مورد علاقه m رویدادهای ابتدایی باشد، آنها معمولاً نامیده می شوند نتایج مطلوب برای رویداد A. سپس

بدست آورد تعریف کلاسیک احتمال: احتمال P(A) رویداد A برابر است با نسبت تعداد نتایج مطلوب به رویداد A به تعداد کل پیامدها

مثال 1.22. کوزه حاوی m توپ سفید و n توپ سیاه است. احتمال رسم یک توپ سفید چقدر است؟

راه حل. تعداد کل رویدادهای ابتدایی m+n است. همه آنها به یک اندازه محتمل هستند. رویداد مطلوب A که م. از این رو، .

ویژگی های زیر از تعریف احتمال به دست می آید:

ملک 1. احتمال یک رویداد قابل اعتماد برابر با یک است.

در واقع، اگر رویداد قابل اعتماد باشد، هر نتیجه اولیه آزمون به نفع رویداد است. در این مورد t=p،از این رو،

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

ملک 2. احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است.

در واقع، اگر رویدادی غیرممکن باشد، هیچ یک از نتایج اولیه آزمون به نفع رویداد نیست. در این مورد تی= 0، بنابراین، P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

ملک 3.احتمال یک رویداد تصادفی عددی مثبت بین صفر و یک است.

در واقع، یک رویداد تصادفی تنها توسط برخی از افراد مورد علاقه است تعداد کلنتایج آزمون ابتدایی یعنی 0≤m≤n، که به معنای 0≤m/n≤1 است، بنابراین، احتمال هر رویدادی نابرابری مضاعف 0≤ را برآورده می کند. P(A) ≤1. (1.8)

با مقایسه تعاریف احتمال (5/1) و بسامد نسبی (1/1) نتیجه می گیریم: تعریف احتمال برای انجام آزمایش نیازی ندارددر حقیقت؛ تعریف فرکانس نسبی این را فرض می کند آزمایشات در واقع انجام شد. به عبارت دیگر، احتمال قبل از آزمایش محاسبه می شود و فرکانس نسبی - بعد از آزمایش.

با این حال، محاسبه احتمال نیاز به اطلاعات اولیه در مورد تعداد یا احتمالات نتایج اولیه مطلوب برای یک رویداد معین دارد. در غیاب چنین اطلاعات اولیه، از داده های تجربی برای تعیین احتمال استفاده می شود، یعنی فراوانی نسبی رویداد بر اساس نتایج یک آزمایش تصادفی تعیین می شود.

مثال 1.23. بخش کنترل فنی کشف 3قطعات غیر استاندارد در دسته ای از 80 قطعه که به طور تصادفی انتخاب شده اند. فراوانی نسبی وقوع قطعات غیر استاندارد r(A)= 3/80.

مثال 1.24. با توجه به هدف.تولید شده است 24 شلیک شد و 19 ضربه ثبت شد. نرخ نسبی ضربه به هدف r(A)=19/24.

مشاهدات طولانی مدت نشان داده است که اگر آزمایش‌ها در شرایط یکسانی انجام شوند که در هر یک از آنها تعداد آزمایش‌ها به اندازه کافی زیاد باشد، فرکانس نسبی خاصیت پایداری را نشان می‌دهد. این ملک است که در آزمایش‌های مختلف فرکانس نسبی کمی تغییر می‌کند (هرچه کمتر، آزمایش‌های بیشتری انجام شود)، که حول یک عدد ثابت مشخص در نوسان است.معلوم شد که این عدد ثابت را می توان به عنوان مقدار تقریبی احتمال در نظر گرفت.

رابطه بین فرکانس نسبی و احتمال در زیر با جزئیات بیشتر و دقیق تر توضیح داده خواهد شد. حال اجازه دهید ویژگی پایداری را با مثال هایی توضیح دهیم.

مثال 1.25. بر اساس آمار سوئد، فراوانی نسبی تولد دختران در سال 1935 به تفکیک ماه با اعداد زیر مشخص می شود (اعداد به ترتیب ماه مرتب شده اند، با شروع از ژانویه): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

فرکانس نسبی در اطراف عدد 0.481 در نوسان است که می توان آن را به عنوان در نظر گرفت ارزش تقریبیاحتمال دختر داشتن

توجه داشته باشید که داده های آماری کشورهای مختلف تقریباً یک مقدار فرکانس نسبی را ارائه می دهند.

مثال 1.26.آزمایش های پرتاب سکه بارها انجام شد که در آن تعداد ظاهر "نشان" شمارش شد. نتایج چندین آزمایش در جدول نشان داده شده است.