بچه های بیشتر سن پیش دبستانیبدانید که یک مثلث چگونه است اما بچه ها در حال حاضر شروع به درک اینکه چگونه در مدرسه هستند. یک نوع مثلث منفرد است. ساده ترین راه برای فهمیدن اینکه چیست، دیدن عکسی از آن است. و در تئوری این همان چیزی است که آنها آن را "ساده ترین چندضلعی" با سه ضلع و رئوس می نامند که یکی از آنها

درک مفاهیم

در هندسه، این نوع اشکال با سه ضلع وجود دارد: مثلث های حاد، قائم الزاویه و منفرد. علاوه بر این، ویژگی های این ساده ترین چند ضلعی ها برای همه یکسان است. بله، برای همه انواع ذکر شدهچنین نابرابری مشاهده خواهد شد. مجموع طول هر دو ضلع لزوما از طول ضلع سوم بیشتر خواهد بود.

اما برای اطمینان از اینکه ما در مورد یک شکل کامل صحبت می کنیم و نه در مورد مجموعه ای از رئوس جداگانه، لازم است بررسی کنیم که شرط اصلی وجود دارد: مجموع زوایا. مثلث منفردبرابر با 180 o همین امر در مورد انواع دیگر فیگورهای سه ضلعی نیز صادق است. درست است، در یک مثلث منفرد، یکی از زاویه ها حتی بزرگتر از 90 درجه خواهد بود، و دو زاویه باقی مانده مطمئناً حاد خواهند بود. در این حالت بزرگترین زاویه ای است که در مقابل طولانی ترین ضلع قرار خواهد گرفت. درست است، اینها همه ویژگی های یک مثلث منفرد نیستند. اما حتی با دانستن این ویژگی ها، دانش آموزان می توانند بسیاری از مسائل هندسه را حل کنند.

برای هر چند ضلعی با سه رأس، این نیز درست است که با ادامه هر یک از اضلاع، زاویه ای به دست می آید که اندازه آن برابر با مجموع دو راس داخلی غیر مجاور خواهد بود. محیط یک مثلث منفرد مانند سایر اشکال محاسبه می شود. برابر است با مجموع طول تمام اضلاع آن. برای تعیین این، ریاضیدانان استخراج کردند فرمول های مختلفبسته به اینکه چه داده هایی در ابتدا وجود دارد.

سبک صحیح

یکی از مهمترین شرایطحل مسائل هندسه ترسیم درستی است. معلمان ریاضیات اغلب می گویند که نه تنها به تجسم آنچه داده می شود و آنچه از شما خواسته می شود کمک می کند، بلکه 80٪ به پاسخ صحیح نزدیکتر می شود. به همین دلیل مهم است که بدانیم چگونه یک مثلث منفرد بسازیم. اگر فقط به یک شکل فرضی نیاز دارید، می توانید هر چند ضلعی را با سه ضلع رسم کنید تا یکی از زاویه ها بزرگتر از 90 درجه باشد.

اگر مقادیر مشخصی از طول اضلاع یا درجات زاویه داده شود، لازم است یک مثلث منفرد مطابق با آنها رسم شود. در این مورد، باید سعی شود با محاسبه دقیق زوایا با استفاده از نقاله، زاویه ها را تا حد امکان دقیق ترسیم کرد و اضلاع را متناسب با شرایط داده شده در کار نمایش داد.

خطوط اصلی

اغلب، برای دانش‌آموزان کافی نیست که فقط بدانند برخی از چهره‌ها چگونه باید باشند. آنها نمی توانند خود را به اطلاعاتی در مورد اینکه کدام مثلث منفرد و کدام راست است محدود کنند. درس ریاضی مستلزم آن است که دانش آنها از ویژگی های اساسی شکل ها باید کامل تر باشد.

بنابراین، هر دانش آموز باید تعریف نیمساز، میانه، عمود بر عمود و ارتفاع را درک کند. علاوه بر این، او باید ویژگی های اساسی آنها را بداند.

بنابراین، نیمسازها یک زاویه را به نصف، و ضلع مقابل را به قطعاتی که متناسب با اضلاع مجاور هستند، تقسیم می کنند.

میانه هر مثلث را به دو مساحت مساوی تقسیم می کند. در نقطه ای که آنها را قطع می کنند، هر یک از آنها به 2 بخش به نسبت 2: 1 تقسیم می شود، زمانی که از رأسی که از آن بیرون آمده است، مشاهده می شود. در این حالت، میانه بزرگ همیشه به کوچکترین سمت خود کشیده می شود.

کمتر به ارتفاع توجه نمی شود. این عمود بر طرف مقابل گوشه است. ارتفاع مثلث منفرد ویژگی های خاص خود را دارد. اگر از یک راس تیز کشیده شده باشد، در کنار این ساده ترین چندضلعی قرار نمی گیرد، بلکه به ادامه آن ختم می شود.

نیمساز عمود بر خطی است که از مرکز وجه مثلث امتداد می یابد. علاوه بر این، در یک زاویه قائم به آن قرار دارد.

کار با حلقه ها

در ابتدای مطالعه هندسه، کافی است کودکان درک کنند که چگونه یک مثلث منفرد را ترسیم کنند، یاد بگیرند که آن را از انواع دیگر تشخیص دهند و ویژگی های اساسی آن را به خاطر بسپارند. اما برای دانش آموزان دبیرستانی این دانش دیگر کافی نیست. به عنوان مثال، در آزمون یکپارچه دولتی اغلب سوالاتی در مورد دایره های محدود شده و درج شده وجود دارد. اولی هر سه راس مثلث را لمس می کند و دومی هر کدام یک راس دارد نقطه مشترکبا همه احزاب

ساختن یک مثلث منقوش محاط شده یا محاط شده بسیار دشوارتر است، زیرا برای انجام این کار ابتدا باید دریابید که مرکز دایره و شعاع آن باید کجا باشد. راستی، ابزار لازمدر این حالت، نه تنها یک مداد با خط کش، بلکه یک قطب نما نیز تبدیل می شود.

همین مشکلات در هنگام ساخت چند ضلعی های محاطی با سه ضلع به وجود می آید. ریاضیدانان فرمول های مختلفی را توسعه داده اند که به آنها امکان می دهد مکان خود را تا حد امکان دقیق تعیین کنند.

مثلث های حکاکی شده

همانطور که قبلا گفته شد، اگر یک دایره از هر سه رأس عبور کند، آن را دایره دور می گویند. خاصیت اصلی آن منحصر به فرد بودن آن است. برای اینکه بفهمید دایره محصور یک مثلث منفرد چگونه باید قرار گیرد، باید به خاطر داشته باشید که مرکز آن در محل تقاطع سه عمود بر دو قسمتی است که به اضلاع شکل می روند. اگر در یک چند ضلعی حاد با سه رأس این نقطه در داخل آن قرار گیرد، در یک چندضلعی با زاویه منفرد خارج از آن خواهد بود.

برای مثال، با دانستن اینکه یکی از اضلاع یک مثلث منفرد برابر با شعاع آن است، می توانید زاویه ای را که در مقابل وجه شناخته شده قرار دارد، پیدا کنید. سینوس آن برابر با نتیجه تقسیم طول ضلع شناخته شده بر 2R خواهد بود (که در آن R شعاع دایره است). یعنی گناه زاویه برابر ½ خواهد بود. این به این معنی است که زاویه برابر با 150 درجه خواهد بود.

اگر شما نیاز به پیدا کردن شعاع محیطی یک مثلث منفرد دارید، به اطلاعاتی در مورد طول اضلاع آن (c, v, b) و مساحت آن S نیاز خواهید داشت. از این گذشته، شعاع به این صورت محاسبه می شود: (c x v x b) : 4 x S. به هر حال، مهم نیست که چه نوع شکلی دارید: مثلث منفرد مقیاسی، متساوی الساقین، قائم الزاویه یا حاد. در هر شرایطی، به لطف فرمول بالا، می توانید مساحت یک چند ضلعی معین را با سه ضلع پیدا کنید.

مثلث های محصور شده

همچنین اغلب باید با دایره های درج شده کار کنید. طبق یک فرمول، شعاع چنین شکلی، ضرب در ½ محیط، برابر با مساحت مثلث خواهد بود. درست است، برای فهمیدن آن باید اضلاع یک مثلث منفرد را بدانید. از این گذشته ، برای تعیین ½ محیط ، باید طول آنها را اضافه کنید و بر 2 تقسیم کنید.

برای درک اینکه مرکز یک دایره محاط شده در یک مثلث منقطع باید کجا باشد، لازم است سه نیم‌ساز رسم کنید. اینها خطوطی هستند که گوشه ها را نصف می کنند. در تقاطع آنها است که مرکز دایره قرار خواهد گرفت. در این صورت از هر طرف به یک اندازه فاصله خواهد داشت.

شعاع چنین دایره ای محاط شده در مثلث منفرد برابر است با ضریب (p-c) x (p-v) x (p-b): p. در این حالت p نیمه محیط مثلث است، c، v، b اضلاع آن هستند.

مثلثچند ضلعی با 3 ضلع (یا 3 زاویه) است. اضلاع یک مثلث اغلب با حروف کوچک نشان داده می شوند حروف بزرگ، نشان دهنده رئوس معکوس است.

مثلث حادبه مثلثی گفته می شود که هر سه زاویه آن تند باشد.

مثلث ماتبه مثلثی گفته می شود که یکی از زوایای آن منفرد است.

راست گوشهبه مثلثی گفته می شود که یکی از زوایای آن قائم الزاویه و به عبارت دیگر برابر 90 درجه باشد. اضلاع a و b که زاویه قائمه تشکیل می دهند نامیده می شوند پاها; سمت ج، معکوس زاویه راست، تماس گرفت هیپوتنوئوس.

مثلث متساوی الساقینبه مثلثی گفته می شود که دو ضلع آن برابر است (a = c). این اضلاع مساوی نامیده می شوند جانبی، شخص 3 نامیده می شود پایه مثلث.

مثلث متساوی الاضلاعبه مثلثی گفته می شود که تمام اضلاع آن برابر باشد (a = b = c). در آن صورت، در یک مثلث هیچ یک از اضلاع آن (abc) برابر نیست، پس این است مثلث متساوی الاضلاع.

ویژگی های اصلی مثلث ها

در هر مثلث:

نشانه های تساوی مثلث ها

مثلث ها متجانس هستند که در این صورت به ترتیب برابر هستند:

نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه

دو مثلث قائم الزاویه مساوی هستند که در این صورت یکی از معیارهای زیر انجام می شود:

ارتفاعمثلث- این عمودی است که از هر راس به سمت مقابل (یا ادامه آن) افتاده است. این طرف نامیده می شود پایه مثلث. سه ارتفاع یک مثلث همیشه در یک نقطه به نام همدیگر را قطع می کنند مرکز متعامد مثلث.

مرکز قائم مثلث حاد در داخل مثلث و مرکز عمود مثلث منفرد در خارج قرار دارد. مرکز قائم مثلث قائم الزاویه با راس زاویه قائم الزاویه منطبق است.

میانه- این قطعه ای است که هر رأس مثلث را به وسط ضلع معکوس متصل می کند. سه وسط یک مثلث در یک نقطه تلاقی می کنند که همیشه در داخل مثلث قرار دارد و مرکز جرم آن است. این نقطه هر میانه را به نسبت 2:1 تقسیم می کند و از رأس شمارش می کند.

نیمساز- این قسمت نیمساز زاویه از راس تا نقطه تقاطع با طرف معکوس است. سه نیمساز یک مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند که همیشه در داخل مثلث قرار دارد و مرکز دایره محاطی است. نیمساز ضلع عقب را به قطعاتی متناسب با اضلاع مجاور تقسیم می کند.

عمود بر میانهعمودی است که از نقطه میانیبخش (سمت). سه عمود بر میانه یک مثلث در یک نقطه که مرکز دایره است قطع می شوند.

در مثلث حاد این نقطه در داخل مثلث، در مثلث منفرد در خارج، در مثلث قائم الزاویه در وسط هیپوتنوس قرار دارد. مرکز عمود، مرکز جرم، مرکز دایره محصور و مرکز دایره محاطی منحصراً در یک مثلث متساوی الاضلاع منطبق هستند.

اصل موضوع فیثاغورث

در مثلث قائم الزاویه، مجذور طول هیپوتنوس برابر است با مجموع مجذورات طول پاها.

تایید اصل فیثاغورث

بیایید یک AKMB مربع با استفاده از فرض AB به عنوان ضلع بسازیم. سپس اضلاع مثلث قائم الزاویه ABC را طوری ادامه می دهیم که یک مربع CDEF که ضلع آن برابر a + b است به دست می آوریم. اکنون مشخص است که مساحت مربع CDEF برابر است با (a + b) 2. از طرف دیگر، این مساحت برابر است با مجموع مساحت های چهار مثلث قائم الزاویه و مربع AKMB، در موارد دیگر. کلمات،

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

c 2 + 2 ab = (a + b) 2,

و داریم:

c 2 = a 2 + b 2 .

نسبت تصویر در یک مثلث تصادفی

در حالت کلی (برای یک مثلث تصادفی) داریم:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C،

که در آن C زاویه بین ضلع a و b است.

علاوه بر این در سایت:

شاید ابتدایی ترین، ساده ترین و جالب ترین شکل در هندسه مثلث باشد. میدانم دبیرستانخواص اولیه آن مورد مطالعه قرار می گیرد، اما گاهی اوقات دانش در مورد این موضوع ناقص است. انواع مثلث ها در ابتدا خواص آنها را مشخص می کنند. اما این دیدگاه مختلط باقی می ماند. بنابراین، اکنون اجازه دهید این موضوع را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

انواع مثلث ها به درجه اندازه گیری زاویه ها بستگی دارد. این اشکال حاد، مستطیل و منفرد هستند. اگر همه زوایا از 90 درجه تجاوز نکنند، می توان با خیال راحت این رقم را حاد نامید. اگر حداقل یک زاویه از مثلث 90 درجه باشد، پس شما با یک زیرگونه مستطیلی روبرو هستید. بر این اساس، در سایر موارد، مورد مورد نظر زاویه‌دار نامیده می‌شود.

مشکلات زیادی برای زیرگروه های حاد زاویه دار وجود دارد. ویژگی متمایزمحل داخلی نقاط تقاطع نیمسازها، میانه ها و ارتفاعات است. در موارد دیگر ممکن است این شرط رعایت نشود. تعیین نوع شکل مثلث کار سختی نیست. کافی است که مثلا کسینوس هر زاویه را بدانیم. در صورت وجود مقادیر کمتر از صفر، به این معنی که مثلث در هر صورت منفرد است. در مورد نشانگر صفر، شکل دارای زاویه قائمه است. همه ارزش های مثبتتضمین می شود که به شما می گویند که به یک نمای زاویه ای نگاه می کنید.

نمی توان به مثلث منظم اشاره نکرد. این ایده آل ترین منظره است که در آن تمام نقاط تقاطع میانه ها، نیمسازها و ارتفاعات بر هم منطبق هستند. مرکز دایره منقوش و محصور نیز در همین مکان قرار دارد. برای حل مشکلات، فقط باید یک طرف را بشناسید، زیرا ابتدا زوایای آن به شما داده می شود و دو طرف دیگر مشخص هستند. یعنی رقم فقط با یک پارامتر مشخص می شود. وجود دارند ویژگی اصلی- برابری دو ضلع و زاویه در قاعده.

گاهی این سوال پیش می آید که آیا مثلثی با اضلاع معین وجود دارد؟ در واقع از شما سوال می شود که آیا مناسب است یا خیر این توصیفتحت انواع اصلی به عنوان مثال، اگر مجموع دو ضلع کمتر از ضلع سوم باشد، در واقع چنین رقمی اصلا وجود ندارد. اگر کار از شما بخواهد کسینوس زوایای مثلثی با ضلع های 3،5،9 را پیدا کنید، آنگاه می توان چیزهای بدیهی را بدون تکنیک های پیچیده ریاضی توضیح داد. فرض کنید می خواهید از نقطه A به نقطه B برسید فاصله در یک خط مستقیم 9 کیلومتر است. با این حال، به یاد آوردید که باید به نقطه C در فروشگاه بروید. فاصله A تا C 3 کیلومتر و از C تا B 5 است. بنابراین، معلوم می شود که هنگام حرکت در فروشگاه، یک کیلومتر کمتر پیاده روی خواهید کرد. اما از آنجایی که نقطه C در مسیر مستقیم AB قرار ندارد، باید مسافت بیشتری را طی کنید. اینجا یک تناقض وجود دارد. البته این یک توضیح مشروط است. ریاضیات بیش از یک راه برای اثبات اینکه همه انواع مثلث ها از هویت اصلی تبعیت می کنند می داند. بیان می کند که مجموع دو طرف طولانی ترسوم.

هر نوع دارای خواص زیر است:

1) مجموع تمام زوایا 180 درجه است.

2) همیشه یک مرکز متعامد وجود دارد - نقطه تقاطع هر سه ارتفاع.

3) هر سه وسط رسم شده از رئوس زوایای داخلی در یک مکان تلاقی می کنند.

4) دور هر مثلثی می توان یک دایره رسم کرد. همچنین می توانید دایره ای را طوری بنویسید که فقط سه نقطه تماس داشته باشد و از اضلاع بیرونی خارج نشود.

اکنون با خواص اصلی آنها آشنا شدید انواع مختلفمثلثها. در آینده، مهم است که بفهمید هنگام حل یک مشکل با چه چیزی سر و کار دارید.