سیستم تک کاناله در صفبا امتناع ها

فرض کنید که QS از یک کانال سرویس تشکیل شده است و ورودی آن یک جریان پواسون از درخواست ها را با شدت دریافت می کند. ایکس،یعنی پیوسته مقدار تصادفی T - زمان بین درخواست های همسایه بر اساس یک قانون نمایی توزیع می شود، زمان سرویس هر درخواست با پارامتر p توزیع یکسانی دارد. گزینه ها ایکسو p را به ترتیب شدت جریان درخواست و شدت جریان سرویس می نامند.

سیستم صف می تواند در یکی از دو حالت باشد: s 0 - کانال آزاد (بیکار) یا s، - کانال مشغول است. از حالت s 0 به حالت s، سیستم توسط جریانی از درخواست های ورودی و از حالت s به حالت s 0 - یک جریان سرویس منتقل می شود. چگالی احتمال انتقال از حالت s 0 به حالت س (و به ترتیب معکوس برابر است ایکسو R.

نمودار وضعیت QS در شکل نشان داده شده است. 1.5.

برنج.

به ترتیب در حالت s 0 یا s t. بدیهی است که شرط نرمال سازی p 0 (t) + Pi (t) = 1 معتبر است.

با توجه به اینکه فرآیند تصادفیجریان در QS مارکوین است، احتمالات p 0 (t) و pj (t) را می توان از سیستم معادلات کولموگروف تعیین کرد:

جایگزینی شرایط نرمال سازی در این سیستم منجر به یک معادله دیفرانسیل معمولی برای p 0 (t) می شود:

با در نظر گرفتن این شرط که در لحظه اولیه زمان در t = O کانال آزاد باشد، یعنی p 0 (0) = 1 و pj(0) = 0، می توانیم جواب معادله (1.20) را به شکل زیر بدست آوریم:

با استفاده از شرط عادی سازی، می توانید یک عبارت برای تعیین pj(t) نیز تنظیم کنید:

در حالت ثابت محدود کننده (در t -» °°) سیستم معادلات جبریبرای احتمالات حالت به شکل زیر است:

با در نظر گرفتن شرایط عادی سازی، احتمالات محدود کننده حالت ها را تعیین می کنیم

بیایید شاخص های اصلی عملکرد یک QS تک کاناله با خرابی را در نظر بگیریم.

از آنجایی که احتمال سرویس دهی به برنامه های ورودی در چنین سیستمی برابر است با p 0 و نسبی توان عملیاتی Q برابر است با نسبت میانگین تعداد برنامه‌های سرویس‌دهی شده به میانگین تعداد برنامه‌های دریافتی در واحد زمان، سپس Q = p 0، یعنی برای یک QS تک کاناله با خرابی

توان عملیاتی مطلق QS میانگین تعداد درخواست های ارائه شده در واحد زمان یا شدت جریان خروجی است:

احتمال خرابی در QS زمانی رخ می دهد که کانال مشغول است، این احتمال P است!

میانگین زمان برای سرویس دهی یک درخواست معکوس p است:

به طور مشابه، می توانید میانگین زمان قطعی کانال را تعیین کنید:

میانگین زمان ماندن یک برنامه کاربردی در سیستم با فرمول محاسبه می شود:

مثال 1.4.ساده ترین جریان تماس با شدت به خط تلفن اپراتور تلفن همراه می رسد ایکس= 1.5 درخواست در دقیقه. عملکرد خط p = 0.4 تماس در دقیقه. تماسی که در حالی که مشغول است به خط می رسد سرویس نمی شود. ظرفیت مطلق خط، میانگین زمان سرویس برای یک تماس، احتمال خرابی سرویس و همچنین میانگین زمان ماندن یک درخواست در سیستم را تعیین کنید.

راه حل. 1. با استفاده از فرمول های (1.27)-(1.31)، انجام محاسبات لازم، دریافت می کنیم: A = 0.32 تماس در دقیقه. p open = 0.79; t o6cjI = 2.5 دقیقه;

• 1 سیستم = °> 52 دقیقه -
• 2. داده های محاسبه شده نشان می دهد که اگر تنها یک شماره تلفن وجود داشته باشد، CMO نمی تواند با جریان برنامه ها مقابله کند.

QS چند کاناله با خرابی.

ورودی یک سیستم با n کانال ساده ترین جریان درخواست ها را با شدت دریافت می کند ایکس،جریان خدمات توسط هر کانال نیز ساده ترین با شدت p است.

اجازه دهید وضعیت های سیستم را با توجه به تعداد کانال های اشغال شده شماره گذاری کنیم (هر کانال در سیستم یا رایگان است یا فقط یک درخواست را ارائه می دهد).

این سیستم دارای حالات زیر است: که در آن s k -

وضعیت سیستم زمانی که k درخواست در آن وجود دارد، یعنی k کانال اشغال شده است.

نمودار وضعیت چنین سیستمی مربوط به فرآیند مرگ و تولید مثل است و در شکل نشان داده شده است. 1.6.

برنج. 1.6.

جریان درخواست ها به طور متوالی سیستم را از هر حالت چپ به حالت راست مجاور با همان شدت انتقال می دهد. به.شدت جریان سرویس، که سیستم را از هر حالت راست به حالت چپ منتقل می کند، بسته به حالت دائما تغییر می کند. اجازه دهید به عنوان مثال یک QS را در نظر بگیریم که در حالت s 2 است که دو کانال اشغال شده است. هنگامی که سرویس کانال دوم یا اول به ترتیب پایان می یابد، سیستم می تواند به حالت s t برود، شدت کل سرویس برابر با 2p خواهد بود.

با استفاده از فرمول (1.18) برای فرآیند مرگ و تولید مثل، عبارت زیر را برای حداکثر احتمال حالت p 0 بدست می آوریم.

اجازه دهید نمادی به نام شدت کاهش یافته جریان درخواست ها (شدت بار کانال) معرفی کنیم. این مقدار نشان‌دهنده میانگین تعداد درخواست‌های دریافت‌شده در طول متوسط ​​زمان سرویس‌دهی یک درخواست است. سپس می توانیم فرمول زیر را بدست آوریم:

با استفاده از عبارت (1.19) داریم:

فرمول های داده شده (1.34) در ادبیات فنی، فرمول های Erlang نامیده می شوند (مهندس دانمارکی، ریاضیدان - یکی از بنیانگذاران تئوری صف).

اجازه دهید عبارات تحلیلی را برای ارزیابی شاخص های عملکرد اصلی QS در نظر گرفته بنویسیم. بر اساس اصل عملیاتی این شکست SMOدر سرویس دهی یک درخواست زمانی اتفاق می افتد که همه کانال ها مشغول هستند و سیستم در حالت s n است، یعنی احتمال خرابی QS وجود دارد.

از آنجایی که رویداد سرویس دهی به درخواست و صورت امتناع از سرویس دهی برعکس است، احتمال سرویس دهی به درخواست (احتمال رایگان بودن حداقل یک کانال) خواهد بود.

ظرفیت نسبی QS به عنوان احتمال سرویس آن تعریف می شود

توان عملیاتی مطلق QS (معروف به شدت جریان برنامه های کاربردی سرویس شده):

برای QS چند کاناله، یک شاخص مهم از بازده عملیاتی آنها، میانگین تعداد کانال های اشغال شده k ( ارزش مورد انتظارتعداد کانال های شلوغ)

با توجه به اینکه ظرفیت مطلق سیستم A چیزی بیش از شدت جریان برنامه های کاربردی ارائه شده توسط سیستم در واحد زمان نیست و هر کانال شلوغبه طور متوسط ​​​​p درخواست در واحد زمان ارائه می دهد، میانگین تعداد کانال های شلوغ را می توان با فرمول تعیین کرد:

مثال 1.5.مركز كامپيوتر شركت شبكه برق مجهز به سه كامپيوتر است كه سفارشات انجام كار محاسباتي را دريافت مي كنند. اگر هر سه کامپیوتر به طور همزمان کار می کنند، سفارش ورودی جدید پذیرفته نمی شود. میانگین زمان کار با یک سفارش 2.5 ساعت است. شدت جریان برنامه ها 0.2 ساعت -1 است. تعیین و تجزیه و تحلیل احتمالات محدود کننده حالت ها و شاخص های عملکرد مرکز کامپیوتر.

راه حل. 1. پارامترهای QS را تعریف کنید: n = 2; ایکس= 0.2 ساعت -1 ;

شدت جریان خدمات

; شدت بار کامپیوتر p = 0.2/0.4 = 0.5.

2. بیایید احتمالات حالت ها را پیدا کنیم: احتمال اینکه هیچ برنامه کاربردی در سیستم وجود نداشته باشد:

احتمالات حالات دیگر:

احتمال رد درخواست ورودی:

بنابراین، در حالت ثابت کار یک مرکز کامپیوتر، به طور متوسط، برای 61٪ از مواقع یک درخواست وجود ندارد، در 30٪ موارد یک درخواست (یک کامپیوتر اشغال شده است)، در 8٪ وجود دارد. دو درخواست (دو کامپیوتر اشغال شده) و در 1٪ - سه درخواست (سه کامپیوتر اشغال شده است). احتمال خرابی زمانی که هر سه کامپیوتر مشغول هستند p شکست = 0.01 است.

3. اجازه دهید شاخص های کارایی مرکز کامپیوتر را تعیین کنیم: توان عملیاتی نسبی:

یعنی از هر صد درخواست، مرکز کامپیوتر 99 مورد را ارائه می دهد.

توان عملیاتی مرکز داده مطلق:

یعنی به طور متوسط ​​0.2 برنامه در ساعت ارائه می شود. میانگین تعداد کامپیوترهای اشغال شده:

تحلیل فنی و اقتصادی داده‌های به‌دست‌آمده باید بر اساس مقایسه درآمد حاصل از اجرای درخواست‌ها با زیان‌های ناشی از خرابی رایانه‌های گران قیمت باشد. همانطور که می بینیم، در این مورد، توان عملیاتی بالای مرکز کامپیوتر، اما خرابی قابل توجه کانال های خدمات وجود دارد. جستجو برای راه حل سازش ضروری است.

به عنوان شاخص های اثربخشی یک QS با خرابی، ما موارد زیر را در نظر خواهیم گرفت:

1) الف - ظرفیت مطلق QS، یعنی میانگین تعداد برنامه های ارائه شده در واحد زمان؛

2) س - توان نسبی، یعنی میانگین سهم برنامه های دریافتی سرویس شده توسط سیستم؛

3) P_(\text(otk)) - احتمال شکست، یعنی که برنامه QS را بدون سرویس رها می کند.

4) \overline(k) - میانگین تعداد کانال های شلوغ(برای یک سیستم چند کاناله).

سیستم تک کاناله (SMS) با خرابی

بیایید مشکل را در نظر بگیریم. یک کانال وجود دارد که جریانی از درخواست ها را با شدت \lambda دریافت می کند. جریان سرویس دارای شدت \mu است. احتمالات محدود کننده حالت های سیستم و شاخص های کارایی آن را بیابید.

توجه داشته باشید.در اینجا و در ادامه، فرض بر این است که تمام جریان رویدادهایی که QS را از حالتی به حالت دیگر منتقل می‌کنند، ساده‌ترین هستند. اینها همچنین شامل یک جریان خدمات هستند - جریانی از درخواست‌ها که توسط یک کانال به طور مداوم مشغول ارائه می‌شوند. میانگین زمان سرویس به طور معکوس بر اساس مقدار شدت \mu است، یعنی. \overline(t)_(\text(ob.))=1/\mu.

سیستم S (SMO) دو حالت دارد: S_0 - کانال رایگان است، S_1 - کانال مشغول است. نمودار وضعیت برچسب گذاری شده در شکل نشان داده شده است. 6.

در حالت محدود کننده و ساکن، سیستم معادلات جبری برای احتمالات حالت ها به شکلی است (برای قانون تشکیل چنین معادلاتی به بالا مراجعه کنید)

\begin(cases)\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end (موارد)

آن ها سیستم به یک معادله تبدیل می شود. با در نظر گرفتن شرط نرمال سازی p_0+p_1=1، از (18) احتمالات محدود کننده حالت ها را می یابیم.

P_0=\frac(\mu)(\lambda+\mu)،\quad p_1=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,

که بیانگر میانگین زمان نسبی باقی ماندن سیستم در حالت S_0 (زمانی که کانال آزاد است) و S_1 (زمانی که کانال مشغول است) می باشد. به ترتیب ظرفیت نسبی Q سیستم و احتمال خرابی P_(\text(otk)) را تعیین کنید:

Q=\frac(\mu)(\lambda+\mu)\,

P_(\text(otk))=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,.

با ضرب توان نسبی Q در شدت جریان شکست، توان عملیاتی مطلق را پیدا می کنیم

A=\frac(\lambda\mu)(\lambda+\mu)\,.

مثال 5.شناخته شده است که برنامه های کاربردی برای مکالمات تلفنیدر یک استودیوی تلویزیونی با شدت \lambda برابر با 90 درخواست در ساعت وارد می‌شوند و میانگین مدت مکالمه تلفنی حداقل است. شاخص های عملکرد QS (ارتباط تلفنی) را با یک شماره تلفن تعیین کنید.

راه حل.ما \lambda=90 (1/h) داریم. \overline(t)_(\text(ob.))=2دقیقه نرخ جریان خدمات \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(2)=0,\!5(1/min) =30 (1/h). با توجه به (20) ظرفیت نسبی QS Q=\frac(30)(90+30)=0،\!25، یعنی به طور متوسط، تنها 25 درصد از درخواست های دریافتی از طریق تلفن مذاکره می شود. بر این اساس، احتمال انکار خدمت خواهد بود P_(\text(otk))=0،\!75(نگاه کنید به (21)). توان عملیاتی مطلق QS مطابق (29) A=90\cdot0.\!25=22،\!5، یعنی به طور متوسط ​​در هر ساعت 22.5 درخواست مذاکره انجام می شود. بدیهی است که اگر تنها یک شماره تلفن وجود داشته باشد، CMO به خوبی با جریان برنامه ها مقابله نخواهد کرد.

سیستم چند کاناله (MSS) با خرابی

بیایید کلاسیک را در نظر بگیریم مشکل ارلنگ. n کانال وجود دارد که جریانی از درخواست ها را با شدت \lambda دریافت می کنند. جریان سرویس دارای شدت \mu است. احتمالات محدود کننده حالت های سیستم و شاخص های کارایی آن را بیابید.

سیستم S (SMO) دارای حالات زیر است (آنها را با توجه به تعداد برنامه های موجود در سیستم شماره گذاری می کنیم): S_0، S_1، S_2،\ldots،S_k،\ldots،S_n، که در آن S_k وضعیت سیستم است زمانی که k برنامه در آن وجود دارد، یعنی. k کانال اشغال شده است.

نمودار وضعیت QS مربوط به فرآیند مرگ و تولید مثل است و در شکل نشان داده شده است. 7.

جریان درخواست‌ها به‌طور متوالی سیستم را از هر حالت چپ به حالت راست مجاور با همان شدت \lambda منتقل می‌کند. شدت جریان سرویس که سیستم را از هر حالت سمت راست به حالت چپ مجاور منتقل می کند بسته به حالت دائماً در حال تغییر است. در واقع، اگر QS در وضعیت S_2 باشد (دو کانال مشغول هستند)، پس از اتمام سرویس کانال اول یا دوم، می تواند به وضعیت S_1 (یک کانال مشغول است) برود. شدت کل جریان سرویس آنها 2\mu خواهد بود. به طور مشابه، کل جریان سرویس انتقال QS از حالت S_3 (سه کانال مشغول است) به S_2 دارای شدت 3\mu خواهد بود، یعنی. هر یک از سه کانال می تواند رایگان شود و غیره.

در فرمول (16) برای طرح مرگ و تولید مثل، احتمال محدود کننده حالت را بدست می آوریم.

P_0=(\left(1+ \frac(\lambda)(\mu)+ \frac(\lambda^2)(2!\mu^2)+\ldots+\frac(\lambda^k)(k!\ mu^k)+\ldots+ \frac(\lambda^n)(n!\mu^n)\right)\^{-1}, !}

شرایط گسترش کجاست \frac(\lambda)(\mu),\,\frac(\lambda^2)(2!\mu^2),\,\ldots,\,\frac(\lambda^k)(k!\mu ^k)،\،\ldots،\، \frac(\lambda^n)(n!\mu^n)، ضرایب p_0 را در عبارات احتمالات حاشیه ای نشان می دهد p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n. اندازه

\rho=\frac(\lambda)(\mu)

تماس گرفت با توجه به شدت جریان برنامه هایا شدت بار کانال. میانگین تعداد درخواست های دریافت شده در طول متوسط ​​زمان سرویس دهی به یک درخواست را بیان می کند. اکنون

P_0=(\left(1+\rho+\frac(\rho^2)(2+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1}, !}

P_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac(\rho^2)(2\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0. !}

فرمول های (25) و (26) برای احتمالات محدود کننده نامیده می شوند فرمول های ارلنگبه افتخار بنیانگذار تئوری صف.

احتمال خرابی QS حداکثر احتمالی است که همه کانال‌های i سیستم مشغول باشند، یعنی.

P_(\text(otk))= \frac(\rho^n)(n\cdot p_0. !}

توان عملیاتی نسبی - احتمال ارائه یک درخواست:

Q=1- P_(\text(otk))=1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0. !}

توان عملیاتی مطلق:

A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}

میانگین تعداد کانال های اشغال شده \overline(k) انتظار ریاضی تعداد کانال های اشغال شده است:

\overline(k)=\sum_(k=0)^(n)(k\cdot p_k)،

که در آن p_k احتمالات محدود کننده حالت هایی است که با فرمول های (25)، (26) تعیین می شوند.

با این حال، اگر در نظر بگیریم که ظرفیت مطلق سیستم A چیزی بیش از شدت نیست، می توان میانگین تعداد کانال های اشغال شده را راحت تر پیدا کرد. جریان ارائه شدهسیستم کاربردی (در واحد زمان). از آنجایی که هر کانال مشغول به طور متوسط ​​درخواست های \mu (در واحد زمان) را ارائه می دهد، پس میانگین تعداد کانال های مشغول است

\overline(k)=\frac(A)(\mu)

یا، با توجه به (29)، (24):

\overline(k)=\rho\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}

مثال 6.در شرایط مثال 5، تعداد بهینه شماره تلفن های یک استودیوی تلویزیونی را تعیین کنید، در صورتی که شرط بهینه، رضایت حداقل 90 درخواست مذاکره از هر 100 درخواست در نظر گرفته شود.

راه حل.شدت بار کانال طبق فرمول (25) \rho=\frac(90)(30)=3، یعنی در طول زمان متوسط ​​(در مدت زمان) مکالمه تلفنی \overline(t)_(\text(ob.))=2دقیقه به طور متوسط ​​3 درخواست برای مذاکره دریافت می شود.

ما به تدریج تعداد کانال ها (شماره تلفن) n=2،3،4،\ldot را افزایش می دهیم و با استفاده از فرمول های (25)، (28)، (29)، ویژگی های سرویس را برای QS کانال n حاصله تعیین می کنیم. مثلاً با n=2 داریم

З_0=(\left(1+3+ \frac(3^2)(2\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4 !}و غیره.

ما مقادیر ویژگی های QS را در جدول خلاصه می کنیم. 1.

با توجه به شرط بهینه Q\geqslant0,\!9، بنابراین، نصب 5 شماره تلفن در استودیو تلویزیون ضروری است (در این مورد Q = 0,\!9 - جدول 1 را ببینید). در این صورت در هر ساعت به طور متوسط ​​80 درخواست (A=80,\!1) و میانگین تعداد شماره تلفن (کانال) اشغال شده طبق فرمول (30) سرویس می شود. \overline(k)=\frac(80,\!1)(30)=2,\!67.

مثال 7.یک مرکز محاسبات مشترک با سه کامپیوتر سفارشات را از شرکت ها برای کار محاسباتی دریافت می کند. اگر هر سه کامپیوتر کار می کنند، سفارش تازه دریافت شده پذیرفته نمی شود و شرکت مجبور می شود با مرکز کامپیوتر دیگری تماس بگیرد. میانگین زمان کار با یک سفارش 3 ساعت است. شدت جریان برنامه ها 0.25 (1/ساعت). احتمالات محدود کننده حالت ها و شاخص های عملکرد مرکز کامپیوتر را بیابید.

راه حل.با شرط n=3،~\lambda=0،\!25(1/h) \overline(t)_(\text(ob.))= 3 (ساعت). نرخ جریان خدمات \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(3)=0,\!33. شدت بار کامپیوتر طبق فرمول (24) \rho=\frac(0,\!25)(0,\!33)=0,\!75. بیایید احتمالات محدود کننده حالت ها را پیدا کنیم:

طبق فرمول (25) p_0=(\left(1+0,\!75+ \frac(0,\!75^2)(2+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476 !};

طبق فرمول (26) p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac(0,\!75^2)(2\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033 !};

آن ها در حالت ثابت کار مرکز کامپیوتر، به طور متوسط ​​47.6٪ مواقع هیچ درخواستی وجود ندارد، 35.7٪ - یک درخواست (یک کامپیوتر اشغال شده است)، 13.4٪ - دو درخواست (دو کامپیوتر)، 3.3٪ از زمان - سه درخواست (سه کامپیوتر اشغال شده است).

بنابراین احتمال خرابی (زمانی که هر سه کامپیوتر مشغول هستند) است P_(\text(otk))=p_3=0،\!033.

طبق فرمول (28) ظرفیت نسبی مرکز Q=1-0،\!033=0،\!967، یعنی مرکز کامپیوتر به طور متوسط ​​از هر 100 درخواست، 96.7 درخواست را خدمات رسانی می کند.

طبق فرمول (29) ظرفیت مطلق مرکز A=0،\!25\cdot0،\!967=0،\!242، یعنی به طور متوسط ​​یک ساعت سرو شده است. 0.242 برنامه.

طبق فرمول (30) میانگین تعداد کامپیوترهای اشغال شده \overline(k)=\frac(0,\!242)(0,\!33)=0,\!725، یعنی هر یک از این سه کامپیوتر به طور متوسط ​​فقط برای سرویس‌دهی مشغول هستند \frac(72,\!5)(3)= 24,\!2%..

هنگام ارزیابی کارایی یک مرکز کامپیوتری، لازم است درآمد حاصل از اجرای درخواست‌ها را با ضررهای ناشی از خرابی رایانه‌های گران قیمت مقایسه کنیم (از یک طرف توان عملیاتی بالای QS داریم و از طرف دیگر. ، خرابی قابل توجهی در کانال های خدمات وجود دارد) و یک راه حل سازش انتخاب کنید.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای انجام محاسبات، باید کنترل های ActiveX را فعال کنید!

ساده ترین مدل تک کاناله.چنین مدلی با یک جریان ورودی احتمالی و روش سرویس، مدلی است که با توزیع نمایی هر دو مدت زمان فواصل بین ورود نیازمندی ها و مدت زمان خدمات مشخص می شود. در این حالت، چگالی توزیع مدت زمان فواصل بین دریافت درخواست‌ها به شکلی است.

(1)

شدت برنامه هایی که وارد سیستم می شوند کجاست.

تراکم توزیع مدت زمان خدمات:

, (2)

شدت سرویس کجاست

جریان درخواست ها و خدمات ساده است.

اجازه دهید سیستم با آن کار کند امتناع هاتعیین توان عملیاتی مطلق و نسبی سیستم ضروری است.

بیایید این سیستم صف را در قالب یک نمودار (شکل 1) تصور کنیم که دو حالت دارد:

S 0 -کانال رایگان (در انتظار)؛

S 1- کانال مشغول است (درخواست در حال انجام است).

برنج. 1.نمودار حالت یک QS تک کاناله با خرابی

اجازه دهید احتمال حالت ها را نشان دهیم:

P 0 (t) -احتمال حالت "بدون کانال"؛

P 1 (t)- احتمال وضعیت "کانال مشغول"

با استفاده از نمودار حالت مشخص شده (شکل 1)، یک سیستم ایجاد می کنیم معادلات دیفرانسیلکولموگروف برای احتمالات حالت:

(3)

سیستم معادلات دیفرانسیل خطی (3) با در نظر گرفتن شرایط نرمال سازی = 1 راه حلی دارد. جواب این سیستم ناپایدار نامیده می شود، زیرا مستقیماً به t بستگی دارد و به نظر می رسد:

(4)

(5)

به راحتی می توان تأیید کرد که برای یک QS تک کاناله با خرابی احتمال وجود دارد P 0 (t)چیزی بیش از ظرفیت نسبی سیستم نیست q

واقعا، P 0- احتمال اینکه در زمان t کانال رایگان باشد و درخواستی که در زمان t رسیده است , ارائه خواهد شد، و بنابراین برای در این لحظهدر زمان t میانگین نسبت تعداد برنامه های ارائه شده به تعداد دریافتی نیز برابر است , یعنی

q = . (6)

پس از یک فاصله زمانی زیاد ()، یک حالت ثابت (پایدار) به دست می آید:

با دانستن توان عملیاتی نسبی، به راحتی می توان عدد مطلق را پیدا کرد. توان عملیاتی مطلق (آ)- تعداد متوسطی که سیستم صف می تواند در واحد زمان ارائه دهد:

احتمال رد سرویس یک درخواست برابر با احتمال حالت "کانال مشغول" خواهد بود:

این مقداررا می توان به عنوان میانگین سهم درخواست های ارائه نشده در بین درخواست های ارسال شده تفسیر کرد.

مثال 1.اجازه دهید یک QS تک کاناله با خرابی نشان دهنده یک پست تعمیر و نگهداری روزانه (DS) برای شستشوی خودرو باشد. درخواست - ماشینی که در زمانی که پست اشغال شده می رسد - از خدمات خودداری می شود. سرعت جریان خودرو = 1.0 (وسایل نقلیه در ساعت). میانگین مدت خدمات 1.8 ساعت است. جریان ماشین و جریان سرویس ساده ترین هستند.

لازم است در حالت ثابت تعیین شود مقادیر حدی:

ظرفیت نسبی q;

توان عملیاتی مطلق آ؛

احتمال شکست

توان عملیاتی واقعی مرکز خدمات را با اسمی مقایسه کنید که اگر هر وسیله نقلیه دقیقاً 1.8 ساعت سرویس داشته باشد و خودروها بدون وقفه از یکدیگر پیروی کنند.

راه حل

1. بیایید شدت جریان خدمات را تعیین کنیم:

2. بیایید توان نسبی را محاسبه کنیم:

اندازه qبه این معنی که در حالت ثابت، سیستم تقریباً به 35٪ از وسایل نقلیه ای که به پست EO می رسند خدمات می دهد.

3. خروجی مطلق با فرمول تعیین می شود:

1 0,356 = 0,356.

این بدان معناست که سیستم (EO post) قادر است به طور متوسط ​​0.356 سرویس خودرو در ساعت را انجام دهد.

3. احتمال شکست:

این به این معنی است که حدود 65٪ از وسایل نقلیه وارد شده به پست EO از سرویس دهی محروم می شوند.

4. بیایید ظرفیت اسمی سیستم را تعیین کنیم:

(وسایل نقلیه در ساعت).

به نظر می رسد که 1.5 برابر بیشتر از توان عملیاتی واقعی است که با در نظر گرفتن ماهیت تصادفی جریان درخواست ها و زمان خدمات محاسبه می شود.

QS تک کاناله با انتظار.سیستم نوبت دهی یک کانال دارد. جریان ورودی درخواست‌های خدمات، ساده‌ترین جریان با شدت است. شدت جریان سرویس برابر است (یعنی به طور متوسط ​​یک کانال مشغول به طور مداوم درخواست های سرویس را صادر می کند). مدت زمان خدمت یک متغیر تصادفی است که تابع قانون توزیع نمایی است. جریان سرویس ساده ترین جریان پواسون رویدادها است. درخواست دریافت شده در زمانی که کانال مشغول است در صف قرار می گیرد و در انتظار سرویس است.

بیایید فرض کنیم مهم نیست که چه تعداد تقاضا به ورودی سیستم خدمات می رسد، این سیستم(صف + مشتریان در حال ارائه خدمات) نمی توانند بیش از N-نیازها (برنامه ها) را برآورده کنند، یعنی مشتریانی که منتظر نیستند مجبور به ارائه خدمات در جای دیگری می شوند. در نهایت، منبع تولید کننده درخواست های خدمات ظرفیت نامحدود (بی نهایت بزرگ) دارد.

نمودار حالت QS در این مورد به شکلی است که در شکل نشان داده شده است. 2.

برنج. 2.نمودار حالت یک QS تک کاناله با انتظار

(طرح مرگ و تولید مثل)

حالت های QS تفسیر زیر را دارند:

S 0 - کانال رایگان است.

S 1 - کانال مشغول (بدون صف)؛

S 2 - کانال مشغول است (یک درخواست در صف است).

……………………

S n -کانال مشغول است (n - 1 درخواست در صف قرار دارد).

…………………...

S N -کانال مشغول است (ن- 1 برنامه در صف هستند).

فرآیند ثابت در این سیستم با سیستم معادلات جبری زیر شرح داده می شود:

پ- شماره وضعیت

جواب سیستم معادلات فوق (10) برای مدل QS ما دارای شکل است

(11)

لازم به ذکر است که تحقق شرط ثابت بودن برای یک QS معین ضروری نیست، زیرا تعداد برنامه های پذیرفته شده در سیستم سرویس دهی با اعمال محدودیت در طول صف کنترل می شود (که نمی تواند از آن تجاوز کند. ن- 1)، و نه نسبت بین شدت جریان ورودی، یعنی نه نسبت

تعریف کنیم ویژگی های QS تک کانالهبا انتظار و طول صف محدود برابر با (N- 1):

احتمال امتناع از ارائه خدمات یک برنامه:

(13)

توان نسبی سیستم:

(14)

توان عملیاتی مطلق:

A = q 𝝀; (15)

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم:

(16)

میانگین زمان ماندگاری یک برنامه کاربردی در سیستم:

میانگین مدت اقامت یک مشتری (برنامه) در صف:

میانگین تعداد برنامه ها (کلاینت ها) در صف (طول صف):

Lq= (1 - P N)W q .(19)

بیایید نمونه ای از QS تک کاناله با انتظار را در نظر بگیریم.

مثال 2.پست تشخیصی تخصصی QS تک کاناله است. تعداد پارکینگ خودروهای در انتظار عیب یابی محدود و برابر با 3 [ (ن- 1) = 3]. اگر همه پارکینگ ها اشغال شده باشند، یعنی از قبل سه خودرو در صف هستند، خودروی بعدی که برای عیب یابی می آید در صف سرویس قرار نمی گیرد. جریان خودروهایی که برای عیب یابی می‌رسند طبق قانون پواسون توزیع می‌شود و شدت آن 0.85 = 𝝀 (ماشین در ساعت) است. زمان عیب یابی خودرو بر اساس یک قانون نمایی توزیع می شود و به طور متوسط ​​1.05 ساعت است.

نیاز به تعیینویژگی های احتمالی یک ایستگاه تشخیصی که در حالت ثابت کار می کند.

راه حل

1. پارامتر جریان سرویس خودرو:

.

2. شدت کاهش یافته جریان اتومبیل ها به عنوان نسبت شدت های 𝝀 و μ تعریف می شود، یعنی.

3. بیایید احتمالات نهایی سیستم را محاسبه کنیم:

4. احتمال خرابی سرویس خودرو:

5. توان عملیاتی نسبی ایستگاه تشخیصی:

6. توان عملیاتی مطلق ایستگاه تشخیص

آ= 𝝀 q= 0.85 0.842 = 0.716 (وسایل نقلیه در ساعت).

7. میانگین تعداد خودروهای در حال سرویس و در صف (یعنی در سیستم نوبت دهی):

8. میانگین زمان ماندن خودرو در سیستم:

9. میانگین مدت زمانی که یک درخواست در صف خدمات می ماند:

10. میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف (طول صف):

Lq= (1 - P N)W q= 0,85 (1 - 0,158) 1,423 = 1,02.

کار پست تشخیصی در نظر گرفته شده را می توان رضایت بخش تلقی کرد، زیرا پست تشخیصی به طور متوسط ​​در 15.8٪ موارد به خودروها سرویس نمی دهد. (ر otk = 0.158).

QS تک کاناله با انتظار بدون محدودیت در ظرفیت بلوک انتظار(یعنی). شرایط عملیاتی باقی مانده QS بدون تغییر باقی می ماند.

حالت ثابت عملکرد این QS برای هر n = 0، 1، 2،... و زمانی وجود دارد که 𝝀< µ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при для любого پ=0،1،2،…، دارای فرم است

جواب این سیستم معادلات شکل دارد

ویژگی های یک QS تک کانال با انتظار، بدون محدودیت در طول صف، به شرح زیر است:

میانگین تعداد مشتریان (درخواست) برای خدمات در سیستم:

(22)

میانگین مدت اقامت مشتری در سیستم:

(23)

میانگین تعداد مشتریان در صف خدمات:

میانگین مدت زمانی که مشتری در صف می گذراند:

مثال 3.اجازه دهید وضعیت در نظر گرفته شده در مثال 2 را به یاد بیاوریم، جایی که ما در مورد عملکرد یک پست تشخیصی صحبت می کنیم. اجازه دهید پست تشخیصی مورد نظر دارای تعداد نامحدود پارکینگ برای خودروهایی باشد که برای سرویس می‌رسند، یعنی طول صف نامحدود است.

برای تعیین مقادیر نهایی ویژگی های احتمالی زیر لازم است:

احتمالات حالات سیستم (ایستگاه تشخیصی)؛

میانگین تعداد خودروهای موجود در سیستم (در حال سرویس و در صف)؛

میانگین مدت اقامت یک وسیله نقلیه در سیستم (برای سرویس و در صف)؛

میانگین تعداد خودروهایی که در صف خدمات هستند.

4. میانگین مدت اقامت مشتری در سیستم:

5. میانگین تعداد خودروهایی که در صف خدمات هستند:

6. میانگین مدت زمانی که یک خودرو در صف می گذراند:

7. توان عملیاتی نسبی سیستم:

یعنی هر برنامه ای که وارد سیستم می شود سرویس می شود.

8 . توان عملیاتی مطلق:

A= q = 0,85 1 = 0,85.

لازم به ذکر است که شرکتی که دیاگ خودروها را انجام می دهد در درجه اول علاقه مند به تعداد مشتریانی است که در صورت رفع محدودیت در طول صف به ایستگاه عیب یابی مراجعه کنند.

فرض کنید در نسخه اصلی تعداد جای پارک برای خودروهای ورودی برابر با سه بود (به مثال 2 مراجعه کنید). فرکانس تیشرایط زمانی ایجاد می شود که خودرویی که به یک پست تشخیصی می رسد نمی تواند به صف بپیوندد:

تی= λP N.

در مثال ما، با N=3 + 1 = 4 و ρ = 0.893،

t = λ P 0ρ 4 = 0.85 0.248 0.8934 = 0.134 اتومبیل در ساعت.

با حالت کارکرد 12 ساعته ایستگاه تشخیص، این معادل این واقعیت است که ایستگاه عیب یابی به طور متوسط ​​در هر شیفت (روز) 12 0.134 = 1.6 خودرو را از دست می دهد.

حذف محدودیت در طول صف به ما این امکان را می دهد که تعداد مشتریانی را که در مثال خود ارائه می دهیم به طور متوسط ​​1.6 اتومبیل در هر شیفت (12 ساعت کار) در ایستگاه تشخیص افزایش دهیم. واضح است که تصمیم برای گسترش فضای پارک خودروهایی که به ایستگاه تشخیصی می‌رسند باید بر اساس ارزیابی خسارت اقتصادی ناشی از از دست دادن مشتریان در شرایطی که تنها سه جای پارک برای این خودروها وجود دارد، باشد.

اطلاعات مربوطه.

ایستگاه خدمات یک جریان ساده از درخواست ها را با شدت 1 ماشین در هر 2 ساعت دریافت می کند. میانگین زمان تعمیر 2 ساعت است. ارزیابی عملکرد CMO و ارائه توصیه هایی برای بهبود خدمات.

راه حل:
نوع QS را تعیین کنید. عبارت "به ایستگاه" از یک دستگاه خدمات واحد صحبت می کند، یعنی. برای حل از فرمول استفاده می کنیم QS تک کاناله
نوع QS تک کاناله را تعیین می کنیم. از آنجایی که به یک صف اشاره شده است، بنابراین "QS تک کاناله با طول صف محدود" را انتخاب می کنیم.
پارامتر λ باید بر حسب ساعت بیان شود. شدت کاربرد 1 ماشین در 2 ساعت یا 0.5 در هر ساعت است.

شدت جریان سرویس μ به صراحت مشخص نشده است. در اینجا زمان سرویس t obs = 2 ساعت است.

ما شاخص های خدمات را برای یک QS تک کانال محاسبه می کنیم:

1. شدت جریان خدمات:

1. شدت بار.

ρ = λ t obs = 0.5 2 = 1

شدت بار ρ=1 درجه سازگاری جریان ورودی و خروجی درخواست های کانال سرویس را نشان می دهد و پایداری سیستم صف را تعیین می کند.

3. احتمال رایگان بودن کانال(نسبت خرابی کانال).


در نتیجه، 20 درصد از کانال در مدت یک ساعت بیکار می شود، زمان بیکاری برابر با t pr = 12 دقیقه است.

1. نسبت درخواست های رد شده.

درخواست ها رد نمی شوند. تمام درخواست های دریافت شده سرویس می شوند، p open = 0.

1. پهنای باند نسبی.

سهم درخواست های ارائه شده در واحد زمان:
Q = 1 - p باز = 1 - 0 = 1

در نتیجه به 100% درخواست های دریافتی سرویس داده خواهد شد. سطح خدمات قابل قبول باید بالای 90٪ باشد.

تعداد درخواست های رد شده در یک ساعت: λ p 1 = 0 برنامه در ساعت.
بهره وری اسمی QS: 1/2 = 0.5 برنامه در ساعت.
عملکرد واقعی SMO: 0.5 / 0.5 = 100٪ از عملکرد اسمی.

نتیجه گیری: ایستگاه 100% بارگذاری شده است. در این حالت هیچ گونه خرابی مشاهده نمی شود.

توان عملیاتی مطلق– میانگین تعداد برنامه‌هایی که می‌توان در واحد زمان سرویس داد. p 0 - احتمال آزاد بودن کانال، Q - ظرفیت نسبی

شدت بار ρ=3 درجه سازگاری جریان ورودی و خروجی درخواست های کانال سرویس را نشان می دهد و پایداری سیستم صف را تعیین می کند.
2. زمان سرویس.
دقیقه

در نتیجه، 3٪ از کانال در عرض یک ساعت بیکار می شود، زمان بیکاری برابر با t pr = 1.7 دقیقه است.

1 کانال مشغول است:
p 1 = ρ 1 / 1! p 0 = 3 1/1! 0.0282 = 0.0845
2 کانال مشغول هستند:
p 2 = ρ 2 / 2! p 0 = 3 2 / 2! 0.0282 = 0.13
3 کانال مشغول هستند:
p 3 = ρ 3 / 3! p 0 = 3 3 / 3! 0.0282 = 0.13
.

این بدان معناست که 13 درصد از درخواست های دریافتی برای خدمت پذیرفته نمی شوند.
.

p open + p obs = 1

p obs = 1 - p باز = 1 - 0.13 = 0.87
در نتیجه به 87 درصد از درخواست های دریافتی سرویس داده می شود. سطح خدمات قابل قبول باید بالای 90٪ باشد.
.
n ز = ρ p obs = 3 0.87 = 2.6 کانال
.
n pr = n - n z = 3 - 2.6 = 0.4 کانال
.

در نتیجه، سیستم 90٪ مشغول تعمیر و نگهداری است.
8. توان عملیاتی مطلق برای QS چند کاناله.

A = p obs λ = 0.87 6 = 5.2 برنامه در دقیقه.
9. متوسط ​​از کار افتادن QS.
t pr = p باز ∙ t obs = 0.13∙ 0.5 = 0.06 دقیقه.
.

واحدها
دقیقه
.
L obs = ρ Q = 3 0.87 = 2.62 واحد.
.
L CMO = L och + L obs = 1.9 + 2.62 = 4.52 واحد.
.
دقیقه
تعداد درخواست های رد شده در یک ساعت: λ p 1 = 0.78 برنامه در دقیقه.
بهره وری اسمی سیستم: 3 / 0.5 = 6 برنامه در دقیقه.
عملکرد واقعی SMO: 5.2 / 6 = 87٪ از ظرفیت اسمی.

مثال شماره 2. سوپرمارکت سبزیجات و گیاهان اولیه را از گلخانه های یک مزرعه دولتی در حومه شهر دریافت می کند. ماشین‌های دارای کالا به سوپرمارکت می‌رسند زمان نامحدود. به طور متوسط، λ وسیله نقلیه در روز وارد می شوند. اتاق های ابزار و تجهیزات برای تهیه سبزیجات برای فروش امکان پردازش و نگهداری کالاهایی با حجم بیش از m خودرو را در یک زمان فراهم می کند. این سوپرمارکت از n بسته بندی استفاده می کند که هر کدام به طور متوسط ​​می توانند کالاها را از یک دستگاه در طول روز خدمات پردازش کنند. احتمال سرویس یک وسیله نقلیه ورودی P obs را تعیین کنید. ظرفیت اتاق های تاسیسات متر مربع چقدر باید باشد تا احتمال سرویس بیشتر یا مساوی باشد ارزش داده شده، یعنی Pub.> P*obs.
λ = 3; t obs = 0.5; n = 2; m = 2، P* obs = 0.92.
راه حل.

ما شاخص های خدمات یک QS چند کاناله را محاسبه می کنیم:
ما شدت جریان برنامه ها را به ساعت تبدیل می کنیم: λ = 3/24 = 0.13
شدت جریان خدمات:
μ = 1/12 = 0.0833
1. شدت بار.
ρ = λ t obs = 0.13 12 = 1.56
شدت بار ρ=1.56 درجه سازگاری جریان ورودی و خروجی درخواست های کانال سرویس را نشان می دهد و پایداری سیستم صف را تعیین می کند.
از 1.56<2, то процесс обслуживания будет стабилен.
3. احتمال رایگان بودن کانال(نسبت خرابی کانال).

در نتیجه، 18٪ از کانال در یک ساعت بیکار می شود، زمان بیکاری برابر با t pr = 11 دقیقه است.
احتمال اینکه سرویس:
1 کانال مشغول است:
p 1 = ρ 1 / 1! p 0 = 1.56 1/1! 0.18 = 0.29
2 کانال مشغول هستند:
p 2 = ρ 2 / 2! p 0 = 1.56 2/2! 0.18 = 0.22
4. نسبت درخواست های رد شده.

این بدان معناست که 14 درصد از درخواست های دریافتی برای خدمت پذیرفته نمی شوند.
5. احتمال سرویس دهی به درخواست های دریافتی.
در سیستم های دارای خرابی، خرابی و رویدادهای تعمیر و نگهداری یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند، بنابراین:
p open + p obs = 1
توان عملیاتی نسبی: Q = p obs.
p obs = 1 - p باز = 1 - 0.14 = 0.86
در نتیجه به 86 درصد از درخواست های دریافتی سرویس داده می شود. سطح خدمات قابل قبول باید بالای 90٪ باشد.
6. میانگین تعداد کانال های اشغال شده توسط سرویس.
n h = ρ p obs = 1.56 0.86 = 1.35 کانال.
میانگین تعداد کانال های بیکار.
n pr = n - n z = 2 - 1.35 = 0.7 کانال.
7. نرخ اشغال کانال برای خدمات.
K 3 = n 3 / n = 1.35/2 = 0.7
در نتیجه، سیستم 70٪ مشغول تعمیر و نگهداری است.
8. پیدا کنید توان عملیاتی مطلق.
A = p obs λ = 0.86 0.13 = 0.11 برنامه در ساعت.
9. متوسط ​​از کار افتادن QS.
t pr = p باز t obs = 0.14 12 = 1.62 ساعت.
احتمال تشکیل صف.


10. میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف.

واحدها
11. متوسط ​​از کار افتادن QS(میانگین زمان انتظار برای ارائه درخواست در صف).
T och = L och / A = 0.44/0.11 = 3.96 ساعت.
12. میانگین تعداد درخواست های ارائه شده.
L obs = ρ Q = 1.56 0.86 = 1.35 واحد.
13. میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم.
L CMO = L och + L obs = 0.44 + 1.35 = 1.79 واحد.
13. میانگین زمان ماندن یک برنامه کاربردی در CMO.
T CMO = L CMO / A = 1.79/0.11 = 16.01 ساعت.

حال بیایید به این سوال پاسخ دهیم: ظرفیت اتاق های ابزار m 1 چقدر باید باشد تا احتمال سرویس بزرگتر یا مساوی با یک مقدار داده شده باشد، یعنی. P obs. > 0.92. محاسبه بر اساس شرایط انجام می شود:

جایی که
برای داده های ما:

در مرحله بعد، باید یک k را انتخاب کنید (به بند 3 "نسبت خرابی کانال" مراجعه کنید)، که در آن p 0.92 باز می شود.
برای مثال، با k = m 1 = 4، p open = 0.07 یا p obs = 0.93.