دستورالعمل ها

عبارت لگاریتمی داده شده را بنویسید. اگر عبارت از لگاریتم 10 استفاده کند، نماد آن کوتاه شده و به صورت زیر است: lg b لگاریتم اعشاری است. اگر لگاریتم دارای عدد e به عنوان پایه باشد، عبارت: ln b – لگاریتم طبیعی را بنویسید. قابل درک است که نتیجه هر توانی است که عدد پایه باید به آن افزایش یابد تا عدد b به دست آید.

هنگام پیدا کردن مجموع دو تابع، فقط باید آنها را یکی یکی از هم متمایز کنید و نتایج را اضافه کنید: (u+v)" = u"+v";

هنگام یافتن مشتق حاصل ضرب دو تابع، لازم است مشتق تابع اول را در تابع دوم ضرب کنیم و مشتق تابع دوم را ضرب در تابع اول جمع کنیم: (u*v)" = u"*v. +v"*u;

برای یافتن مشتق ضریب دو تابع، باید از حاصل ضرب مشتق تقسیم در تابع مقسوم علیه، حاصل ضرب مشتق مقسوم بر تابع سود تقسیمی را کم کرد و تقسیم کرد. همه اینها توسط تابع مقسوم علیه مربع. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

اگر داده شود تابع پیچیده، سپس باید مشتق تابع داخلی و مشتق خارجی را ضرب کرد. بگذارید y=u(v(x))، سپس y"(x)=y"(u)*v"(x).

با استفاده از نتایج به دست آمده در بالا، می توانید تقریباً هر تابعی را متمایز کنید. پس بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

y=x^4، y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6)، y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *ایکس))؛
همچنین مشکلات مربوط به محاسبه مشتق در یک نقطه وجود دارد. اجازه دهید تابع y=e^(x^2+6x+5) داده شود، باید مقدار تابع را در نقطه x=1 پیدا کنید.
1) مشتق تابع را بیابید: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) مقدار تابع در را محاسبه کنید نقطه داده شده y"(1)=8*e^0=8

ویدیو در مورد موضوع

مشاوره مفید

جدول مشتقات ابتدایی را یاد بگیرید. این به میزان قابل توجهی در زمان صرفه جویی می کند.

منابع:

• مشتق از یک ثابت

بنابراین، چه تفاوتی دارد؟ معادله غیر منطقیاز منطقی؟ اگر متغیر مجهول زیر علامت باشد ریشه دوم، سپس معادله غیرمنطقی در نظر گرفته می شود.

دستورالعمل ها

روش اصلی برای حل این گونه معادلات، روش ساخت هر دو طرف است معادلاتبه یک مربع با این حال. این طبیعی است، اولین کاری که باید انجام دهید این است که از شر علامت خلاص شوید. این روش از نظر فنی دشوار نیست، اما گاهی اوقات ممکن است منجر به مشکل شود. برای مثال، معادله v(2x-5)=v(4x-7) است. با مجذور کردن دو طرف، 2x-5=4x-7 به دست می آید. حل چنین معادله ای دشوار نیست. x=1. اما عدد 1 داده نخواهد شد معادلات. چرا؟ به جای مقدار x یکی را در معادله قرار دهید و سمت راست و چپ شامل عباراتی هستند که معنی ندارند. این مقدار برای یک جذر معتبر نیست. بنابراین 1 یک ریشه خارجی است و بنابراین معادله داده شدهریشه ندارد

بنابراین، یک معادله غیر منطقی با استفاده از روش مربع کردن دو طرف آن حل می شود. و پس از حل معادله، باید ریشه های اضافی را قطع کرد. برای انجام این کار، ریشه های یافت شده را جایگزین معادله اصلی کنید.

یکی دیگر را در نظر بگیرید.
2х+vх-3=0
البته این معادله را می توان با استفاده از معادله قبلی حل کرد. حرکت ترکیبات معادلات، که ریشه مربع ندارند، در سمت راستو سپس از روش مربع سازی استفاده کنید. معادله و ریشه های منطقی حاصل را حل کنید. اما همچنین یکی دیگر، ظریف تر. یک متغیر جدید وارد کنید؛ vх=y. بر این اساس معادله ای به شکل 2y2+y-3=0 دریافت خواهید کرد. یعنی معمولی معادله درجه دوم. ریشه های آن را پیدا کنید؛ y1=1 و y2=-3/2. بعد، دو را حل کنید معادلات vх=1; vх=-3/2. معادله دوم هیچ ریشه ای ندارد. فراموش نکنید که ریشه ها را بررسی کنید.

حل هویت بسیار ساده است. برای انجام این کار، لازم است که تا رسیدن به هدف تعیین شده، تحولات یکسانی انجام شود. بدین ترتیب با کمک عملیات حسابی ساده، مشکل مطرح شده حل خواهد شد.

شما نیاز خواهید داشت

• - کاغذ؛
• - خودکار.

دستورالعمل ها

ساده‌ترین این تبدیل‌ها ضرب‌های اختصاری جبری هستند (مانند مجذور مجموع (تفاوت)، اختلاف مربع‌ها، مجموع (تفاوت)، مکعب مجموع (تفاوت)). علاوه بر این، بسیاری از و فرمول های مثلثاتی، که در اصل همان هویت ها هستند.

در واقع، مجذور مجموع دو جمله برابر است با مجذور اولی به اضافه دو برابر حاصلضرب اولی در دوم و به اضافه مجذور دومی، یعنی (a+b)^2= (a+ ب)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

هر دو را ساده کنید

اصول کلی راه حل

از کتاب درسی آنالیز ریاضی یا ریاضیات عالی تکرار کنید که انتگرال معین چیست. همانطور که مشخص است، راه حل انتگرال معینتابعی وجود دارد که مشتق آن یک انتگرال می دهد. این تابعآنتی مشتق نامیده می شود. بر اساس این اصل، انتگرال های اصلی ساخته می شوند.
با نوع انتگرال مشخص کنید که کدام یک از انتگرال های جدول در این مورد مناسب است. همیشه نمی توان فوراً این را تعیین کرد. اغلب، شکل جدولی تنها پس از چندین تغییر برای ساده سازی انتگرال قابل توجه می شود.

روش جایگزینی متغیر

اگر تابع انتگرال باشد تابع مثلثاتی، که آرگومان آن حاوی چند جمله ای است، سپس از روش جایگزینی متغیر استفاده کنید. برای انجام این کار، چند جمله ای را در آرگومان انتگرال با یک متغیر جدید جایگزین کنید. بر اساس رابطه بین متغیرهای جدید و قدیمی، حدود جدید ادغام را تعیین کنید. با متمایز کردن این عبارت، دیفرانسیل جدید را در . بنابراین شما دریافت خواهید کرد نوع جدیداز انتگرال قبلی، نزدیک یا حتی مربوط به هر جدولی.

حل انتگرال های نوع دوم

اگر انتگرال یک انتگرال از نوع دوم است، یک شکل برداری از انتگرال، پس باید از قوانین انتقال از این انتگرال ها به انتگرال های اسکالر استفاده کنید. یکی از این قوانین رابطه استروگرادسکی-گاوس است. این قانون به ما اجازه می دهد تا از شار روتور یک تابع برداری خاص به انتگرال سه گانه بر روی واگرایی یک میدان برداری معین حرکت کنیم.

جایگزینی محدودیت های یکپارچه سازی

پس از یافتن پاد مشتق، لازم است حدود ادغام جایگزین شود. ابتدا مقدار حد بالایی را با عبارت ضد مشتق جایگزین کنید. تعدادی عدد دریافت خواهید کرد. در مرحله بعد، عدد دیگری را که از حد پایین به دست می‌آید از عدد به دست آمده به پاد مشتق کم کنید. اگر یکی از حدود ادغام بی نهایت است، پس هنگام جایگزینی آن به عملکرد ضد مشتقلازم است به حد نهایی بروید و آنچه را که عبارت در تلاش است پیدا کنید.
اگر انتگرال دو بعدی یا سه بعدی است، برای درک نحوه ارزیابی انتگرال باید محدودیت های انتگرال را به صورت هندسی نشان دهید. در واقع، مثلاً در مورد یک انتگرال سه بعدی، حدود ادغام می تواند سطوح کاملی باشد که حجم ادغام شده را محدود می کند.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک سیاست حفظ حریم خصوصی ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی استفاده کرد شخص خاصییا ارتباط با او

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم پست الکترونیکو غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما این امکان را می دهد که با شما تماس بگیریم و به شما اطلاع دهیم پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و رویدادهای دیگر و رویدادهای آینده.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

با این ویدیو من یک سری درس طولانی در مورد معادلات لگاریتمی شروع می کنم. اکنون سه مثال پیش روی شماست که بر اساس آنها حل کردن را بیشتر یاد خواهیم گرفت کارهای ساده، که به این نام خوانده می شوند - تک یاخته ها.

log 0.5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

به شما یادآوری می کنم که ساده ترین معادله لگاریتمی به صورت زیر است:

log a f (x) = b

در این مورد، مهم است که متغیر x فقط در داخل آرگومان وجود داشته باشد، یعنی فقط در تابع f (x). و اعداد a و b فقط اعداد هستند و در هیچ موردی توابعی حاوی متغیر x نیستند.

روش های اصلی راه حل

راه های زیادی برای حل چنین ساختارهایی وجود دارد. به عنوان مثال، اکثر معلمان در مدرسه این روش را ارائه می دهند: فوراً تابع f (x) را با استفاده از فرمول بیان کنید f ( x) = الف ب . یعنی وقتی با ساده ترین ساخت و ساز مواجه شدید، می توانید بلافاصله بدون اقدامات و ساخت و سازهای اضافی به سراغ راه حل بروید.

بله، البته تصمیم درست خواهد بود. با این حال، مشکل این فرمول این است که اکثر دانش آموزان نمی فهمم، از کجا می آید و چرا حرف a را به حرف b می آوریم.

در نتیجه، من اغلب اشتباهات بسیار آزاردهنده ای را می بینم که مثلاً این حروف با هم عوض می شوند. این فرمولشما باید یا بفهمید یا بپرسید، و روش دوم منجر به اشتباه در نامناسب ترین و حساس ترین لحظات می شود: در امتحانات، تست ها و غیره.

به همین دلیل است که به همه دانش آموزانم پیشنهاد می کنم فرمول مدرسه استاندارد را کنار بگذارند و از روش دوم برای حل معادلات لگاریتمی استفاده کنند که همانطور که احتمالاً از نام آن حدس زدید به نام شکل متعارف.

ایده شکل متعارف ساده است. بیایید دوباره به مشکل خود نگاه کنیم: در سمت چپ ما log a داریم و با حرف a به معنای یک عدد است و در هیچ موردی تابعی حاوی متغیر x نیست. در نتیجه، این نامه مشمول تمام محدودیت هایی است که بر اساس لگاریتم اعمال می شود. برای مثال:

1 ≠ a > 0

از طرف دیگر، از همان معادله می بینیم که لگاریتم باید باشد برابر عدد b ، و هیچ محدودیتی برای این نامه اعمال نمی شود ، زیرا می تواند هر مقداری را داشته باشد - هم مثبت و هم منفی. همه چیز به مقادیری بستگی دارد که تابع f(x) می گیرد.

و در اینجا قانون شگفت انگیز خود را به یاد می آوریم که هر عدد b را می توان به عنوان لگاریتمی به پایه a از a به توان b نشان داد:

b = ورود a a b

چگونه این فرمول را به خاطر بسپاریم؟ بله خیلی ساده بیایید ساختار زیر را بنویسیم:

b = b 1 = b log a a

البته در این مورد تمام محدودیت هایی که در ابتدا یادداشت کردیم به وجود می آید. حال بیایید از ویژگی اصلی لگاریتم استفاده کنیم و ضریب b را توان a معرفی کنیم. ما گرفتیم:

b = b 1 = b log a a = log a a b

در نتیجه معادله اصلی به صورت زیر بازنویسی می شود:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

همین. تابع جدید دیگر حاوی لگاریتم نیست و با استفاده از تکنیک های استاندارد جبری قابل حل است.

البته، اکنون کسی اعتراض خواهد کرد: چرا اصلاً لازم بود که نوعی فرمول متعارف ارائه شود، چرا اگر امکان انتقال فوری از طرح اصلی به فرمول نهایی وجود داشت، چرا دو مرحله غیر ضروری دیگر انجام داد؟ بله، فقط به این دلیل که اکثر دانش‌آموزان نمی‌دانند این فرمول از کجا آمده است و در نتیجه مرتباً هنگام استفاده از آن اشتباه می‌کنند.

اما این دنباله از اقدامات، متشکل از سه مرحله، به شما امکان می دهد معادله لگاریتمی اصلی را حل کنید، حتی اگر نمی دانید فرمول نهایی از کجا آمده است. به هر حال، این ورودی فرمول متعارف نامیده می شود:

log a f (x) = log a a b

راحتی شکل متعارف نیز در این واقعیت نهفته است که می توان از آن برای حل یک کلاس بسیار گسترده از معادلات لگاریتمی استفاده کرد، و نه فقط ساده ترین آنها را که امروز در نظر می گیریم.

نمونه هایی از راه حل ها

حالا بیایید نگاهی بیندازیم نمونه های واقعی. بنابراین، بیایید تصمیم بگیریم:

log 0.5 (3x − 1) = −3

بیایید آن را اینگونه بازنویسی کنیم:

log 0.5 (3x − 1) = log 0.5 0.5 −3

بسیاری از دانش آموزان عجله دارند و سعی می کنند بلافاصله عدد 0.5 را به توانی که از مشکل اصلی به ما رسیده است، برسانند. در واقع، زمانی که در حل چنین مشکلاتی به خوبی آموزش دیده اید، می توانید بلافاصله این مرحله را انجام دهید.

با این حال، اگر اکنون به تازگی مطالعه این موضوع را شروع کرده اید، بهتر است برای جلوگیری از اشتباهات توهین آمیز در جایی عجله نکنید. بنابراین، ما شکل متعارف را داریم. ما داریم:

3x − 1 = 0.5 −3

این دیگر یک معادله لگاریتمی نیست، بلکه با توجه به متغیر x خطی است. برای حل آن، ابتدا به عدد 0.5 به توان 3- نگاه می کنیم. توجه داشته باشید که 0.5 برابر 1/2 است.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

همه اعداد اعشاریهنگامی که معادله لگاریتمی را حل می کنید به معمولی تبدیل کنید.

بازنویسی می کنیم و می گیریم:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

همین، جواب گرفتیم. مشکل اول حل شد.

وظیفه دوم

بریم سراغ کار دوم:

همانطور که می بینیم، این معادله دیگر ساده ترین نیست. اگر فقط به این دلیل که در سمت چپ تفاوت وجود دارد، و نه یک لگاریتم واحد به یک پایه.

بنابراین، باید به نحوی از شر این تفاوت خلاص شویم. در این مورد، همه چیز بسیار ساده است. بیایید نگاهی دقیق تر به پایه ها بیندازیم: در سمت چپ عدد زیر ریشه است:

توصیه کلی: در تمام معادلات لگاریتمی سعی کنید از شر رادیکال ها یعنی ورودی های دارای ریشه خلاص شوید و به ادامه مطلب بروید. توابع قدرت، صرفاً به این دلیل که نماهای این توان ها به راحتی از علامت لگاریتم خارج می شوند و در نهایت چنین نمادی محاسبات را به طور قابل توجهی ساده و سرعت می بخشد. بیایید آن را اینگونه بنویسیم:

حال بیایید ویژگی قابل توجه لگاریتم را به یاد بیاوریم: توان ها را می توان از استدلال و همچنین از پایه استخراج کرد. در مورد دلایل، موارد زیر رخ می دهد:

log a k b = 1/k loga b

به عبارت دیگر عددی که در توان پایه بوده است جلو آورده می شود و در عین حال معکوس می شود یعنی تبدیل به عدد متقابل می شود. در مورد ما، درجه پایه 1/2 بود. بنابراین، می توانیم آن را به عنوان 2/1 خارج کنیم. ما گرفتیم:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

لطفا توجه داشته باشید: در این مرحله تحت هیچ شرایطی نباید از شر لگاریتم خلاص شوید. ریاضی پایه چهارم تا پنجم و ترتیب عملیات را به خاطر بسپارید: ابتدا ضرب انجام می شود و فقط بعد از آن جمع و تفریق انجام می شود. در این حالت، یکی از همان عناصر را از 10 عنصر کم می کنیم:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

اکنون معادله ما همانطور که باید به نظر می رسد. این ساده ترین ساخت است و ما آن را با استفاده از فرم متعارف حل می کنیم:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

همین. مشکل دوم حل شد.

مثال سوم

بریم سراغ کار سوم:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

اجازه دهید فرمول زیر را به شما یادآوری کنم:

log b = log 10 b

اگر به دلایلی با علامت ثبت b گیج شده اید، هنگام انجام تمام محاسبات می توانید به سادگی log 10 b را بنویسید. می توانید با لگاریتم های اعشاری مانند سایرین کار کنید: قدرت بگیرید، هر عددی را به شکل lg 10 اضافه کنید و نمایش دهید.

این ویژگی‌ها هستند که اکنون برای حل مشکل از آنها استفاده می‌کنیم، زیرا ساده‌ترین موردی نیست که در همان ابتدای درس نوشتیم.

ابتدا، توجه داشته باشید که ضریب 2 در مقابل lg 5 را می توان اضافه کرد و به توان پایه 5 تبدیل می شود. علاوه بر این، عبارت آزاد 3 نیز می تواند به عنوان یک لگاریتم نمایش داده شود - مشاهده این از نماد ما بسیار آسان است.

خودتان قضاوت کنید: هر عددی را می توان به عنوان log به پایه 10 نشان داد:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

بیایید با در نظر گرفتن تغییرات به دست آمده، مشکل اصلی را بازنویسی کنیم:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25000

ما دوباره شکل متعارف را پیش روی خود داریم و آن را بدون گذراندن مرحله تبدیل به دست آوردیم، یعنی ساده ترین معادله لگاریتمی در جایی ظاهر نشد.

این دقیقا همان چیزی است که من در همان ابتدای درس در مورد آن صحبت کردم. فرم متعارف به شما امکان می دهد تا کلاس وسیع تری از مسائل را نسبت به فرمول استاندارد مدرسه که اکثر معلمان مدرسه ارائه می دهند، حل کنید.

خوب، همین است، ما از شر علامت لگاریتم اعشاری خلاص می شویم، و یک ساختار خطی ساده می گیریم:

x + 3 = 25000
x = 24997

همه! مشکل حل شده است.

یادداشتی در مورد دامنه

در اینجا می خواهم نکته مهمی را در مورد دامنه تعریف بیان کنم. مطمئناً اکنون دانش آموزان و معلمانی خواهند بود که می گویند: "وقتی عبارات را با لگاریتم حل می کنیم، باید به یاد داشته باشیم که آرگومان f (x) باید بزرگتر از صفر باشد!" در این راستا یک سوال منطقی مطرح می شود که چرا در هیچ یک از مشکلات مد نظر این نابرابری را الزامی نکردیم؟

نگران نباش. در این موارد هیچ ریشه اضافی ظاهر نمی شود. و این یک ترفند عالی دیگر است که به شما امکان می دهد راه حل را سرعت بخشید. فقط بدانید که اگر در مسئله، متغیر x فقط در یک مکان (یا بهتر است بگوییم، در یک آرگومان واحد از یک لگاریتم منفرد) رخ دهد و در هیچ جای دیگری در مورد ما متغیر x ظاهر نمی‌شود، دامنه تعریف را بنویسید. نیازی نیست، زیرا به صورت خودکار اجرا می شود.

خودتان قضاوت کنید: در معادله اول دریافتیم که 3x - 1، یعنی آرگومان باید برابر با 8 باشد. این به طور خودکار به این معنی است که 3x - 1 بزرگتر از صفر خواهد بود.

با همین موفقیت می توانیم بنویسیم که در حالت دوم x باید برابر با 5 2 باشد، یعنی قطعا بزرگتر از صفر است. و در مورد سوم، که در آن x + 3 = 25000، یعنی دوباره، آشکارا بزرگتر از صفر است. به عبارت دیگر، دامنه به طور خودکار برآورده می شود، اما تنها در صورتی که x فقط در آرگومان یک لگاریتم رخ دهد.

این تنها چیزی است که برای حل ساده ترین مشکلات باید بدانید. این قانون به تنهایی، همراه با قوانین تبدیل، به شما امکان می دهد تا کلاس بسیار گسترده ای از مسائل را حل کنید.

اما بیایید صادق باشیم: برای اینکه در نهایت این تکنیک را درک کنیم، تا یاد بگیریم چگونه از فرم متعارف استفاده کنیم معادله لگاریتمی، فقط تماشای یک درس ویدیویی کافی نیست. بنابراین همین حالا گزینه های راه حل های مستقل را که ضمیمه این درس تصویری است دانلود کنید و شروع به حل حداقل یکی از این دو کار مستقل کنید.

به معنای واقعی کلمه چند دقیقه طول می کشد. اما تأثیر چنین آموزشی بسیار بیشتر از این خواهد بود که به سادگی این درس ویدیویی را تماشا کنید.

امیدوارم این درس به شما در درک معادلات لگاریتمی کمک کند. از فرم متعارف استفاده کنید، عبارات را با استفاده از قوانین کار با لگاریتم ساده کنید - و از هیچ مشکلی نخواهید ترسید. این تمام چیزی است که برای امروز دارم.

با در نظر گرفتن دامنه تعریف

حالا بیایید در مورد حوزه تعریف صحبت کنیم تابع لگاریتمیو همچنین چگونگی تأثیر این امر بر حل معادلات لگاریتمی. ساختاری از فرم را در نظر بگیرید

log a f (x) = b

چنین عبارتی ساده ترین نامیده می شود - فقط یک تابع دارد و اعداد a و b فقط اعداد هستند و در هیچ موردی تابعی نیست که به متغیر x بستگی دارد. خیلی ساده میشه حلش کرد شما فقط باید از فرمول استفاده کنید:

b = ورود a a b

این فرمول یکی از ویژگی های کلیدی لگاریتم است و هنگام جایگزینی با عبارت اصلی ما به شکل زیر می رسیم:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

این یک فرمول آشنا از کتاب های درسی مدرسه. احتمالاً بسیاری از دانش‌آموزان این سؤال را خواهند داشت: از آنجایی که در عبارت اصلی تابع f (x) زیر علامت ورود به سیستم است، محدودیت‌های زیر بر روی آن اعمال می‌شود:

f(x) > 0

این محدودیت اعمال می شود زیرا لگاریتم اعداد منفی وجود ندارد. بنابراین، شاید در نتیجه این محدودیت، بررسی پاسخ ها باید معرفی شود؟ شاید باید آنها را در منبع درج کرد؟

خیر، در ساده ترین معادلات لگاریتمی بررسی اضافی غیر ضروری است. و به همین دلیل. به فرمول نهایی ما نگاهی بیندازید:

f (x) = a b

واقعیت این است که عدد a در هر صورت بزرگتر از 0 است - این الزام نیز توسط لگاریتم اعمال می شود. عدد a پایه است. در این صورت محدودیتی برای عدد b اعمال نمی شود. اما این مهم نیست، زیرا مهم نیست که یک عدد مثبت را به چه قدرتی برسانیم، باز هم در خروجی یک عدد مثبت خواهیم داشت. بنابراین، نیاز f (x) > 0 به طور خودکار برآورده می شود.

آنچه واقعاً ارزش بررسی دارد دامنه تابع زیر علامت گزارش است. ممکن است ساختارهای کاملاً پیچیده ای وجود داشته باشد و شما قطعاً باید در طول فرآیند حل آنها را زیر نظر داشته باشید. بیایید نگاهی بیندازیم.

وظیفه اول:

مرحله اول: کسر سمت راست را تبدیل کنید. ما گرفتیم:

ما از شر علامت لگاریتم خلاص می شویم و معادله غیرمنطقی معمول را بدست می آوریم:

از ریشه های به دست آمده، فقط اولین مورد مناسب ما است، زیرا ریشه دوم کمتر از صفر. تنها جواب عدد 9 خواهد بود. همین، مشکل حل شد. برای اطمینان از اینکه عبارت زیر علامت لگاریتم بزرگتر از 0 است، هیچ بررسی اضافی لازم نیست، زیرا نه تنها بزرگتر از 0 است، بلکه طبق شرط معادله برابر با 2 است. بنابراین، شرط "بزرگتر از صفر" است. ” به طور خودکار ارضا می شود.

بریم سراغ کار دوم:

اینجا همه چیز یکسان است. ما ساخت و ساز را بازنویسی می کنیم و سه گانه را جایگزین می کنیم:

از شر علائم لگاریتمی خلاص می شویم و یک معادله غیرمنطقی می گیریم:

هر دو طرف را با در نظر گرفتن محدودیت ها مربع می کنیم و به دست می آوریم:

4 − 6 x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6 x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16-4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

معادله حاصل را از طریق تفکیک حل می کنیم:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = -1

x 2 = -6

اما x = −6 برای ما مناسب نیست، زیرا اگر این عدد را با نامساوی خود جایگزین کنیم، به دست می‌آییم:

−6 + 4 = −2 < 0

در مورد ما، لازم است که بیش از 0 یا وجود داشته باشد به عنوان آخرین چارهبرابر است. اما x = -1 برای ما مناسب است:

−1 + 4 = 3 > 0

تنها پاسخ در مورد ما x = -1 خواهد بود. راه حل همین است. بیایید به همان ابتدای محاسبات خود برگردیم.

نکته اصلی این درس این است که شما نیازی به بررسی قیود یک تابع در معادلات لگاریتمی ساده ندارید. زیرا در طول فرآیند حل تمام محدودیت ها به طور خودکار برآورده می شوند.

با این حال، این به هیچ وجه به این معنی نیست که شما می توانید بررسی را به طور کلی فراموش کنید. در فرآیند کار بر روی یک معادله لگاریتمی، ممکن است به یک معادله غیرمنطقی تبدیل شود که محدودیت ها و الزامات خاص خود را برای سمت راست خواهد داشت، که امروز در دو مثال مختلف مشاهده کردیم.

با خیال راحت چنین مشکلاتی را حل کنید و اگر ریشه ای در بحث وجود دارد، به ویژه مراقب باشید.

معادلات لگاریتمی با پایه های مختلف

ما به مطالعه معادلات لگاریتمی ادامه می دهیم و به دو تکنیک بسیار جالب دیگر نگاه می کنیم که با آنها حل ساختارهای پیچیده تر مد است. اما ابتدا بیایید به یاد بیاوریم که ساده ترین مشکلات چگونه حل می شوند:

log a f (x) = b

در این مدخل a و b اعداد هستند و در تابع f (x) باید متغیر x وجود داشته باشد و فقط در آنجا، یعنی x فقط باید در آرگومان باشد. ما چنین معادلات لگاریتمی را با استفاده از فرم متعارف تبدیل خواهیم کرد. برای انجام این کار، توجه داشته باشید که

b = ورود a a b

علاوه بر این، a b دقیقاً یک استدلال است. بیایید این عبارت را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

log a f (x) = log a a b

این دقیقاً همان چیزی است که ما سعی می کنیم به آن برسیم، به طوری که یک لگاریتمی وجود دارد که بر اساس a بر روی هر دو سمت چپ و راست قرار گیرد. در این مورد، به بیان مجازی، می‌توانیم از نشانه‌های لاگ خط بکشیم و از دیدگاه ریاضی می‌توانیم بگوییم که ما به سادگی استدلال‌ها را برابر می‌کنیم:

f (x) = a b

در نتیجه، یک عبارت جدید دریافت خواهیم کرد که حل آن بسیار ساده تر خواهد بود. بیایید این قانون را برای مشکلات امروزمان اعمال کنیم.

بنابراین، طرح اول:

اول از همه، توجه می کنم که در سمت راست کسری است که مخرج آن log است. هنگامی که عبارتی مانند این را می بینید، ایده خوبی است که ویژگی شگفت انگیز لگاریتم ها را به خاطر بسپارید:

به روسی ترجمه شده است، این بدان معنی است که هر لگاریتمی را می توان به عنوان ضریب دو لگاریتمی با هر پایه c نشان داد. البته 0< с ≠ 1.

بنابراین: این فرمول یک فرمول فوق العاده دارد مورد خاص، زمانی که متغیر c برابر با متغیر باشد ب در این حالت ساختاری مانند:

این دقیقا همان ساختاری است که از علامت سمت راست معادله خود می بینیم. بیایید این ساختار را با log a b جایگزین کنیم، دریافت می کنیم:

به عبارت دیگر، در مقایسه با تکلیف اصلی، آرگومان و پایه لگاریتم را عوض کردیم. در عوض، ما مجبور شدیم کسر را معکوس کنیم.

یادآوری می کنیم که طبق قانون زیر می توان هر مدرکی را از پایه استخراج کرد:

به عبارت دیگر ضریب k که توان پایه است به صورت کسر معکوس بیان می شود. بیایید آن را به صورت کسری معکوس ارائه کنیم:

ضریب کسری را نمی توان جلوتر گذاشت، زیرا در این صورت نمی توانیم این نماد را به عنوان یک شکل متعارف نشان دهیم (در نهایت، در شکل متعارف هیچ عامل اضافی قبل از لگاریتم دوم وجود ندارد). بنابراین، کسری 1/4 را به عنوان توان به آرگومان اضافه می کنیم:

حال آرگومان هایی را که مبانی آنها یکی است (و مبانی ما واقعاً یکسان است) برابر می کنیم و می نویسیم:

x + 5 = 1

x = -4

همین. جواب معادله لگاریتمی اول را گرفتیم. لطفا توجه داشته باشید: در مشکل اصلی، متغیر x تنها در یک گزارش ظاهر می شود و در آرگومان آن ظاهر می شود. بنابراین، نیازی به بررسی دامنه نیست و عدد x = -4 ما در واقع پاسخ است.

حالا بریم سراغ عبارت دوم:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

در اینجا، علاوه بر لگاریتم های معمول، باید با log f (x) کار کنیم. چگونه می توان چنین معادله ای را حل کرد؟ برای یک دانش آموز ناآماده ممکن است به نظر برسد که این یک نوع کار سخت است، اما در واقع همه چیز را می توان به روش ابتدایی حل کرد.

نگاهی دقیق به اصطلاح lg 2 log 2 7. چه می توانیم در مورد آن بگوییم؟ مبانی و آرگومان های log و lg یکی هستند و این باید ایده هایی را ارائه دهد. بیایید یک بار دیگر به یاد بیاوریم که چگونه توان ها از زیر علامت لگاریتم خارج می شوند:

log a b n = nlog a b

به عبارت دیگر، آنچه در استدلال یک توان b بود، در مقابل خود log به عاملی تبدیل می شود. بیایید این فرمول را برای عبارت lg 2 log 2 7 اعمال کنیم. از lg 2 نترسید - این رایج ترین عبارت است. می توانید آن را به صورت زیر بازنویسی کنید:

تمام قوانینی که برای هر لگاریتم دیگری اعمال می شود برای آن معتبر است. به ویژه، عامل مقابل را می توان به درجه استدلال اضافه کرد. بیایید آن را بنویسیم:

اغلب، دانش آموزان این عمل را مستقیماً نمی بینند، زیرا خوب نیست که یک گزارش را زیر علامت دیگری وارد کنید. در واقع هیچ جرمی در این مورد وجود ندارد. علاوه بر این، اگر یک قانون مهم را به خاطر داشته باشید، فرمولی دریافت می کنیم که محاسبه آن آسان است:

این فرمول را می توان هم به عنوان تعریف و هم به عنوان یکی از ویژگی های آن در نظر گرفت. در هر صورت، اگر یک معادله لگاریتمی را تبدیل می کنید، باید این فرمول را دقیقاً بدانید که نمایش لاگ هر عددی را می دانید.

به وظیفه خود برگردیم. ما آن را با در نظر گرفتن این واقعیت بازنویسی می کنیم که اولین عبارت سمت راست علامت مساوی به سادگی برابر با lg 7 خواهد بود.

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

بیایید lg 7 را به سمت چپ حرکت دهیم، دریافت می کنیم:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

عبارات سمت چپ را کم می کنیم زیرا پایه یکسانی دارند:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

حالا بیایید به معادله ای که به دست آوردیم نگاه دقیق تری بیندازیم. این عملاً شکل متعارف است، اما ضریب -3 در سمت راست وجود دارد. بیایید آن را به آرگومان مناسب lg اضافه کنیم:

log 8 = log (x + 4) −3

قبل از ما شکل متعارف معادله لگاریتمی است، بنابراین علائم lg را خط می زنیم و آرگومان ها را معادل می کنیم:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0.5

همین! معادله لگاریتمی دوم را حل کردیم. در این مورد، هیچ بررسی اضافی لازم نیست، زیرا در مسئله اصلی x تنها در یک آرگومان وجود داشت.

بگذارید دوباره نکات کلیدی این درس را فهرست کنم.

فرمول اصلی که در تمامی دروس این صفحه به حل معادلات لگاریتمی آموزش داده می شود، فرمول متعارف است. و از این واقعیت نترسید که اکثر کتاب های درسی مدرسه به شما می آموزند که چنین مشکلاتی را متفاوت حل کنید. این ابزاربسیار مؤثر عمل می کند و به شما امکان می دهد کلاس بسیار گسترده تری از مسائل را نسبت به ساده ترین مواردی که در همان ابتدای درس مطالعه کردیم حل کنید.

علاوه بر این، برای حل معادلات لگاریتمی، دانستن خواص پایه مفید خواهد بود. برای مثال:

1. فرمول انتقال به یک پایه و مورد خاص زمانی که ما لاگ معکوس می کنیم (این در مسئله اول برای ما بسیار مفید بود).
2. فرمول جمع و تفریق توان ها از علامت لگاریتم. در اینجا، بسیاری از دانش آموزان گیر می کنند و نمی بینند که مدرک خارج شده و معرفی شده می تواند حاوی log f (x) باشد. ایرادی ندارد. می‌توانیم یکی را با توجه به علامت دیگری معرفی کنیم و در عین حال حل مسئله را به طور قابل توجهی ساده کنیم، چیزی که در مورد دوم مشاهده می‌کنیم.

در خاتمه اضافه می کنم که بررسی دامنه تعریف در هر یک از این موارد ضروری نیست، زیرا در همه جا متغیر x تنها در یک علامت log وجود دارد و در عین حال در آرگومان آن قرار دارد. در نتیجه، تمام الزامات دامنه به طور خودکار برآورده می شوند.

مشکلات با پایه متغیر

امروز به معادلات لگاریتمی نگاه خواهیم کرد که برای بسیاری از دانش آموزان غیر استاندارد به نظر می رسند، اگر نگوییم کاملاً غیرقابل حل. ما در مورد عباراتی صحبت می کنیم که نه بر اساس اعداد، بلکه بر اساس متغیرها و حتی توابع هستند. ما چنین ساختارهایی را با استفاده از تکنیک استاندارد خود، یعنی از طریق فرم متعارف، حل خواهیم کرد.

ابتدا بیایید به یاد بیاوریم که چگونه ساده ترین مسائل بر اساس اعداد معمولی حل می شوند. بنابراین، ساده ترین ساخت و ساز نامیده می شود

log a f (x) = b

برای حل چنین مشکلاتی می توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

b = ورود a a b

عبارت اصلی خود را بازنویسی می کنیم و دریافت می کنیم:

log a f (x) = log a a b

سپس آرگومان ها را برابر می کنیم، یعنی می نویسیم:

f (x) = a b

بنابراین، ما از شر علامت ورود به سیستم خلاص می شویم و مشکل معمول را حل می کنیم. در این صورت، ریشه های حاصل از حل، ریشه معادله لگاریتمی اصلی خواهند بود. علاوه بر این، رکوردی که هر دو سمت چپ و راست در یک لگاریتم با پایه یکسان باشند، دقیقاً شکل متعارف نامیده می شود. این رکوردی است که ما سعی خواهیم کرد طراحی های امروزی را کاهش دهیم. پس بزن بریم.

وظیفه اول:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

1 را با log x − 2 (x − 2) 1 جایگزین کنید. درجه ای که در استدلال مشاهده می کنیم در واقع عدد b است که در سمت راست علامت مساوی قرار دارد. بنابراین، بیایید بیان خود را بازنویسی کنیم. ما گرفتیم:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

ما چه می بینیم؟ پیش از ما شکل متعارف معادله لگاریتمی است، بنابراین می توانیم با خیال راحت استدلال ها را معادل سازی کنیم. ما گرفتیم:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

اما راه حل به همین جا ختم نمی شود، زیرا این معادله معادل معادله اصلی نیست. از این گذشته، ساختار حاصل از توابعی تشکیل شده است که در کل خط اعداد تعریف شده اند و لگاریتم های اصلی ما در همه جا و نه همیشه تعریف شده اند.

بنابراین باید حوزه تعریف را جداگانه بنویسیم. بیایید موها را از هم جدا نکنیم و ابتدا همه الزامات را بنویسیم:

ابتدا آرگومان هر یک از لگاریتم ها باید بزرگتر از 0 باشد:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

ثانیا، پایه نه تنها باید بزرگتر از 0 باشد، بلکه باید با 1 نیز متفاوت باشد:

x − 2 ≠ 1

در نتیجه، سیستم را دریافت می کنیم:

اما نگران نباشید: هنگام پردازش معادلات لگاریتمی، چنین سیستمی می تواند به طور قابل توجهی ساده شود.

خودتان قضاوت کنید: از یک طرف ما نیاز داریم که تابع درجه دوم بزرگتر از صفر باشد و از طرف دیگر این تابع درجه دوم برابر با مقدار معینی است. بیان خطی، که همچنین لازم است بزرگتر از صفر باشد.

در این حالت، اگر x − 2 > 0 را بخواهیم، ​​آنگاه شرط 2x 2 − 13x + 18 > 0 به‌طور خودکار برآورده می‌شود، بنابراین، می‌توانیم با خیال راحت از نابرابری موجود عبور کنیم تابع درجه دوم. بنابراین، تعداد عبارات موجود در سیستم ما به سه کاهش می یابد.

البته، ما به همین خوبی می‌توانیم خط بکشیم نابرابری خطی، یعنی x − 2 > 0 را خط بزنید و 2x 2 − 13x + 18 > 0 را درخواست کنید. اما باید قبول کنید که حل ساده ترین نابرابری خطی بسیار سریعتر و آسانتر از درجه دوم است، حتی اگر در نتیجه حل کل نابرابری باشد. این سیستم ما همان ریشه ها را خواهیم گرفت.

به طور کلی سعی کنید تا حد امکان محاسبات را بهینه کنید. و در مورد معادلات لگاریتمی، سخت ترین نابرابری ها را خط بزنید.

بیایید سیستم خود را بازنویسی کنیم:

در اینجا سیستمی از سه عبارت وجود دارد که ما در واقع قبلاً به دو مورد از آنها پرداخته ایم. بیایید معادله درجه دوم را جداگانه بنویسیم و آن را حل کنیم:

2 x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

قبل از ما یک سه جمله ای درجه دوم کاهش یافته است و بنابراین، می توانیم از فرمول های ویتا استفاده کنیم. ما گرفتیم:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

اکنون به سیستم خود باز می گردیم و متوجه می شویم که x = 2 برای ما مناسب نیست، زیرا از ما خواسته می شود که x به شدت بزرگتر از 2 باشد.

اما x = 5 کاملاً برای ما مناسب است: عدد 5 بزرگتر از 2 است و در عین حال 5 برابر با 3 نیست. بنابراین، تنها راه حل برای این سیستم x = 5 خواهد بود.

همین است، مشکل حل شده است، از جمله با در نظر گرفتن ODZ. بریم سراغ معادله دوم. محاسبات جالب و آموزنده تر در اینجا منتظر ما هستند:

گام اول: مثل دفعه قبل، کل این موضوع را به شکل شرعی درآوریم. برای این کار می توانیم عدد 9 را به صورت زیر بنویسیم:

لازم نیست پایه را با ریشه لمس کنید، اما بهتر است استدلال را تغییر دهید. بیایید از ریشه به سمت قدرت با یک توان منطقی حرکت کنیم. بیایید بنویسیم:

اجازه دهید کل معادله لگاریتمی بزرگ خود را بازنویسی نکنم، بلکه بلافاصله آرگومان ها را معادل سازی کنم:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

قبل از ما یک مثلث درجه دوم کاهش یافته است، بیایید از فرمول های Vieta استفاده کنیم و بنویسیم:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

بنابراین، ما ریشه ها را به دست آوردیم، اما هیچکس به ما تضمین نداد که آنها با معادله لگاریتمی اصلی مطابقت دارند. از این گذشته ، علائم ورود به سیستم محدودیت های اضافی را اعمال می کنند (در اینجا باید سیستم را یادداشت می کردیم ، اما به دلیل ماهیت دست و پا گیر کل ساختار ، تصمیم گرفتم دامنه تعریف را جداگانه محاسبه کنم).

اول از همه، به یاد داشته باشید که آرگومان ها باید بزرگتر از 0 باشند، یعنی:

اینها الزامات تحمیل شده توسط محدوده تعریف است.

بیایید فوراً توجه کنیم که از آنجایی که ما دو عبارت اول سیستم را با یکدیگر یکسان می کنیم، می توانیم هر یک از آنها را خط بزنیم. بیایید اولی را خط بکشیم زیرا از دومی تهدیدکننده تر به نظر می رسد.

علاوه بر این، توجه داشته باشید که راه حل نابرابری های دوم و سوم همان مجموعه ها خواهد بود (مکعب برخی از اعداد بزرگتر از صفر است، اگر این عدد خود بزرگتر از صفر باشد؛ به طور مشابه، با ریشه درجه سوم - این نابرابری ها کاملا مشابه هستند، بنابراین می توانیم آن را خط بزنیم).

اما با نابرابری سوم این کار نخواهد کرد. بیایید با بالا بردن هر دو قسمت به یک مکعب از شر علامت رادیکال سمت چپ خلاص شویم. ما گرفتیم:

بنابراین ما شرایط زیر را دریافت می کنیم:

− 2 ≠ x > −3

کدام یک از ریشه های ما: x 1 = -3 یا x 2 = -1 این الزامات را برآورده می کند؟ بدیهی است که فقط x = -1، زیرا x = -3 نابرابری اول را برآورده نمی کند (زیرا نابرابری ما شدید است). بنابراین، با بازگشت به مسئله خود، یک ریشه دریافت می کنیم: x = -1. همین، مشکل حل شد

یک بار دیگر نکات کلیدی این کار:

1. به راحتی می توانید معادلات لگاریتمی را با استفاده از فرم متعارف اعمال و حل کنید. دانش‌آموزانی که به این شکل می‌نویسند، به جای اینکه مستقیماً از مسئله اصلی به ساختاری مانند log a f (x) = b بروند، مقدار زیادی اجازه می‌دهند. اشتباهات کمترنسبت به کسانی که در جایی عجله دارند و از مراحل میانی محاسبات می گذرند.
2. به محض اینکه یک پایه متغیر در یک لگاریتم ظاهر می شود، مشکل از ساده ترین حالت خود خارج می شود. بنابراین، هنگام حل آن، باید دامنه تعریف را در نظر گرفت: آرگومان ها باید بزرگتر از صفر باشند و مبناها نه تنها نباید بزرگتر از 0 باشند، بلکه نباید برابر با 1 باشند.

الزامات نهایی را می توان به روش های مختلف برای پاسخ های نهایی اعمال کرد. به عنوان مثال، شما می توانید یک سیستم کامل را که شامل تمام الزامات برای دامنه تعریف است، حل کنید. از طرف دیگر می توانید ابتدا خود مشکل را حل کنید و سپس دامنه تعریف را به خاطر بسپارید و به صورت جداگانه آن را در قالب یک سیستم کار کرده و روی ریشه های به دست آمده اعمال کنید.

اینکه کدام روش را هنگام حل یک معادله لگاریتمی خاص انتخاب کنید به شما بستگی دارد. در هر صورت پاسخ یکسان خواهد بود.

معادله لگاریتمیمعادله ای است که مجهول (x) و عبارات با آن تحت علامت تابع لگاریتمی قرار دارند. حل معادلات لگاریتمی فرض بر این است که شما از قبل با و آشنا هستید.
چگونه معادلات لگاریتمی را حل کنیم؟

ساده ترین معادله است ورود به سیستم a x = b، جایی که a و b برخی از اعداد هستند، x یک مجهول است.
حل معادله لگاریتمی x = a b ارائه شده است: a > 0، a 1.

لازم به ذکر است که اگر x جایی خارج از لگاریتم باشد، به عنوان مثال log 2 x = x-2، آنگاه چنین معادله ای قبلاً مخلوط نامیده می شود و برای حل آن به رویکرد خاصی نیاز است.

حالت ایده آل زمانی است که با معادله ای روبرو می شوید که در آن فقط اعداد زیر علامت لگاریتم هستند، برای مثال x+2 = log 2 2. در اینجا برای حل آن کافی است خواص لگاریتم را بدانید. اما چنین شانسی اغلب اتفاق نمی افتد، بنابراین برای چیزهای دشوارتر آماده شوید.

اما ابتدا بیایید با آن شروع کنیم معادلات ساده. برای حل آنها، مطلوب است که بیشترین ایده کلیدر مورد لگاریتم

حل معادلات لگاریتمی ساده

این معادلات شامل معادلاتی از نوع log 2 x = log 2 2 16 است. چشم غیر مسلح می تواند ببیند که با حذف علامت لگاریتم x = 16 به دست می آید.

برای حل یک معادله لگاریتمی پیچیده تر، معمولاً به حل معمول تقلیل می یابد معادله جبرییا به حل ساده ترین معادله لگاریتمی log a x = b. در ساده ترین معادلات این اتفاق در یک حرکت می افتد، به همین دلیل است که آنها را ساده ترین می نامند.

روش فوق برای حذف لگاریتم یکی از راه های اصلی حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها است. در ریاضیات به این عمل تقویت (Potentiation) می گویند. وجود داشته باشد قوانین خاصیا محدودیت هایی برای این نوع عملیات:

• لگاریتم ها پایه های عددی یکسانی دارند
• لگاریتم های هر دو طرف معادله آزاد هستند، یعنی. بدون هیچ ضرایبی یا انواع مختلف عبارت.

فرض کنید در معادله log 2 x = 2log 2 (1 - x) تقویت قابل اعمال نیست - ضریب 2 در سمت راست آن را اجازه نمی دهد. در مثال زیر، log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) نیز یکی از محدودیت ها را برآورده نمی کند - دو لگاریتم در سمت چپ وجود دارد. اگر فقط یکی بود، موضوع کاملاً متفاوت بود!

به طور کلی، تنها در صورتی می توانید لگاریتم ها را حذف کنید که معادله به شکل زیر باشد:

log a (...) = log a (...)

مطلقاً هر عبارتی را می توان در پرانتز قرار داد. و پس از حذف لگاریتم ها، معادله ساده تری باقی می ماند - خطی، درجه دوم، نمایی، و غیره، که، امیدوارم، شما قبلا می دانید که چگونه آن را حل کنید.

بیایید مثال دیگری بزنیم:

log 3 (2x-5) = log 3 x

ما تقویت را اعمال می کنیم، دریافت می کنیم:

log 3 (2x-1) = 2

بر اساس تعریف لگاریتم، یعنی لگاریتم عددی است که برای بدست آوردن عبارتی که در زیر علامت لگاریتم قرار دارد، پایه باید به آن بلند شود. (4x-1)، دریافت می کنیم:

باز هم جواب زیبایی دریافت کردیم. در اینجا ما بدون حذف لگاریتم انجام دادیم، اما تقویت در اینجا نیز قابل استفاده است، زیرا لگاریتمی را می توان از هر عددی درست کرد و دقیقاً همان عددی که ما نیاز داریم. این روش در حل معادلات لگاریتمی و به ویژه نابرابری ها بسیار مفید است.

بیایید معادله لگاریتمی خود را log 3 (2x-1) = 2 با استفاده از تقویت حل کنیم:

بیایید عدد 2 را به عنوان یک لگاریتم تصور کنیم، برای مثال، این log 3 9، زیرا 3 2 = 9.

سپس log 3 (2x-1) = log 3 9 و دوباره همان معادله 2x-1 = 9 را بدست می آوریم. امیدوارم همه چیز روشن باشد.

بنابراین ما به چگونگی حل ساده ترین معادلات لگاریتمی نگاه کردیم که در واقع بسیار مهم هستند، زیرا حل معادلات لگاریتمی، حتی وحشتناک ترین و پیچیده ترین آنها، در پایان همیشه به حل ساده ترین معادلات ختم می شود.

در تمام کارهایی که در بالا انجام دادیم، یک نکته بسیار مهم را از دست دادیم که در آینده نقش تعیین کننده ای خواهد داشت. واقعیت این است که راه حل هر معادله لگاریتمی، حتی ابتدایی ترین آن، از دو قسمت مساوی تشکیل شده است. اولی حل خود معادله است، دومی کار با مساحت است ارزش های قابل قبول(ODZ). این دقیقاً اولین قسمتی است که ما به آن مسلط شده ایم. در مثال های بالا، ODZ به هیچ وجه روی پاسخ تاثیری ندارد، بنابراین ما آن را در نظر نگرفتیم.

بیایید مثال دیگری بزنیم:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

از نظر ظاهری، این معادله هیچ تفاوتی با یک معادله ابتدایی ندارد، که می توان آن را با موفقیت حل کرد. اما اینطور نیست. نه، البته ما آن را حل خواهیم کرد، اما به احتمال زیاد نادرست است، زیرا حاوی یک کمین کوچک است که دانش آموزان کلاس C و دانش آموزان ممتاز بلافاصله در آن می افتند. بیایید نگاه دقیق تری بیندازیم.

فرض کنید باید ریشه معادله یا مجموع ریشه ها را بیابید، اگر چندین مورد از آنها وجود دارد:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

ما از تقویت استفاده می کنیم، اینجا قابل قبول است. در نتیجه یک معادله درجه دوم معمولی بدست می آوریم.

پیدا کردن ریشه های معادله:

معلوم شد دو ریشه.

پاسخ: 3 و -1

در نگاه اول همه چیز درست است. اما بیایید نتیجه را بررسی کنیم و آن را با معادله اصلی جایگزین کنیم.

بیایید با x 1 = 3 شروع کنیم:

log 3 6 = log 3 6

بررسی با موفقیت انجام شد، اکنون صف x 2 = -1 است:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

باشه بس کن در بیرون همه چیز عالی است. یک چیز - هیچ لگاریتمی از اعداد منفی وجود ندارد! این بدان معنی است که ریشه x = -1 برای حل معادله ما مناسب نیست. و بنابراین همانطور که نوشتیم پاسخ صحیح 3 خواهد بود نه 2.

اینجاست که ODZ نقش مرگبار خود را ایفا کرد که ما آن را فراموش کرده بودیم.

اجازه دهید به شما یادآوری کنم که محدوده مقادیر قابل قبول شامل مقادیر x است که برای مثال اصلی مجاز یا منطقی هستند.

بدون ODZ، هر راه حل، حتی یک راه حل کاملاً صحیح، از هر معادله به قرعه کشی تبدیل می شود - 50/50.

چگونه می توانیم در حل یک مثال به ظاهر ابتدایی گرفتار شویم؟ اما دقیقا در لحظه تقویت. لگاریتم ها ناپدید شدند، و با آنها همه محدودیت ها.

در این صورت چه باید کرد؟ از حذف لگاریتم خودداری می کنید؟ و به طور کامل از حل این معادله خودداری کنید؟

نه، ما فقط مانند قهرمانان واقعی یک آهنگ معروف، یک مسیر انحرافی خواهیم داشت!

قبل از شروع حل هر معادله لگاریتمی، ODZ را یادداشت می کنیم. اما بعد از آن، شما می توانید هر کاری که دلتان می خواهد با معادله ما انجام دهید. پس از دریافت پاسخ، ما به سادگی آن ریشه هایی را که در ODZ ما گنجانده نشده اند را بیرون می اندازیم و نسخه نهایی را یادداشت می کنیم.

حالا بیایید تصمیم بگیریم که چگونه ODZ را ضبط کنیم. برای این کار معادله اصلی را به دقت بررسی می کنیم و به دنبال مکان های مشکوک در آن می گردیم، مانند تقسیم بر x، حتی ریشه و .... تا زمانی که معادله را حل نکرده باشیم، نمی دانیم که x برابر با چه چیزی است، اما مطمئناً می دانیم که x وجود دارد که با جایگزین کردن آن، تقسیم بر 0 یا گرفتن جذر آن را می دهد. عدد منفی، بدیهی است که به عنوان پاسخ مناسب نیستند. بنابراین، چنین x غیر قابل قبول هستند، در حالی که بقیه ODZ را تشکیل می دهند.

بیایید دوباره از همان معادله استفاده کنیم:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

همانطور که می بینید، تقسیم بر 0 وجود ندارد، همچنین هیچ ریشه مربعی وجود ندارد، اما عباراتی با x در بدنه لگاریتم وجود دارد. بیایید بلافاصله به یاد داشته باشیم که عبارت داخل لگاریتم باید همیشه >0 باشد. این شرط را به شکل ODZ می نویسیم:

آن ها ما هنوز چیزی تصمیم نگرفته ایم، اما قبلاً آن را یادداشت کرده ایم شرط لازمبرای کل عبارت زیر لگاریتمی بریس فرفری به این معنی است که این شرایط باید به طور همزمان صادق باشند.

ODZ نوشته شده است، اما همچنین لازم است سیستم نابرابری های حاصل را حل کنیم، کاری که ما انجام خواهیم داد. پاسخ x > v3 را دریافت می کنیم. اکنون ما با اطمینان می دانیم که کدام x برای ما مناسب نیست. و سپس شروع به حل خود معادله لگاریتمی می کنیم، کاری که در بالا انجام دادیم.

پس از دریافت پاسخ های x 1 = 3 و x 2 = -1، به راحتی می توان دریافت که فقط x1 = 3 مناسب ما است و آن را به عنوان پاسخ نهایی یادداشت می کنیم.

برای آینده، یادآوری موارد زیر بسیار مهم است: ما هر معادله لگاریتمی را در 2 مرحله حل می کنیم. اولی حل خود معادله، دومی حل شرط ODZ. هر دو مرحله مستقل از یکدیگر انجام می شوند و فقط در هنگام نوشتن پاسخ مقایسه می شوند. همه چیز غیر ضروری را دور بریزید و پاسخ صحیح را بنویسید.

برای تقویت مطالب، اکیداً توصیه می کنیم ویدیو را تماشا کنید:

این ویدئو نمونه های دیگری از حل log را نشان می دهد. معادلات و تمرین روش بازه در عمل.

به این سوال، نحوه حل معادلات لگاریتمیفعلاً همین است. اگر چیزی توسط لاگ تصمیم گرفته شود. معادلات نامشخص یا نامفهوم باقی می مانند، سوالات خود را در نظرات بنویسید.

توجه: آکادمی آموزش اجتماعی (ASE) آمادگی پذیرش دانشجویان جدیدالورود را دارد.

حل معادلات لگاریتمی قسمت 1.

معادله لگاریتمیمعادله ای است که در آن مجهول در زیر علامت لگاریتم (به ویژه در پایه لگاریتم) قرار می گیرد.

ساده ترین معادله لگاریتمیدارای فرم:

حل هر معادله لگاریتمیشامل انتقال از لگاریتم به عبارات تحت علامت لگاریتم است. با این حال، این عمل دامنه مقادیر مجاز معادله را گسترش می دهد و می تواند منجر به ظهور ریشه های خارجی شود. برای جلوگیری از ظهور ریشه های خارجی، می توانید یکی از سه روش زیر را انجام دهید:

1. یک انتقال معادل انجام دهیداز معادله اصلی به یک سیستم شامل

بسته به اینکه کدام نابرابری یا ساده تر.

اگر معادله دارای یک مجهول در پایه لگاریتم باشد:

سپس به سیستم می رویم:

2. به طور جداگانه محدوده مقادیر قابل قبول معادله را پیدا کنید، سپس معادله را حل کنید و بررسی کنید که آیا راه حل های یافت شده معادله را برآورده می کنند یا خیر.

3. معادله را حل کنید و سپس بررسی:جواب های پیدا شده را جایگزین معادله اصلی کنید و بررسی کنید که آیا برابری صحیح را بدست آورده ایم یا خیر.

یک معادله لگاریتمی با هر سطح از پیچیدگی همیشه در نهایت به ساده ترین معادله لگاریتمی کاهش می یابد.

تمام معادلات لگاریتمی را می توان به چهار نوع تقسیم کرد:

1 . معادلاتی که دارای لگاریتم فقط به توان اول هستند. با کمک دگرگونی ها و استفاده به فرم می رسند

مثال. بیایید معادله را حل کنیم:

بیایید عبارات زیر علامت لگاریتم را برابر کنیم:

بیایید بررسی کنیم که آیا ریشه معادله ما برآورده می شود:

بله راضی کننده است.

پاسخ: x=5

2 . معادلاتی که حاوی لگاریتم به توان هایی غیر از 1 (به ویژه در مخرج کسری) هستند. چنین معادلاتی را می توان با استفاده از معرفی تغییر متغیر.

مثال.بیایید معادله را حل کنیم:

بیایید معادله ODZ را پیدا کنیم:

معادله شامل لگاریتم مربع است، بنابراین می توان آن را با استفاده از تغییر متغیر حل کرد.

مهم! قبل از معرفی جایگزین، باید لگاریتم هایی را که بخشی از معادله هستند با استفاده از ویژگی های لگاریتم به آجر تبدیل کنید.

هنگام جدا کردن لگاریتم ها، استفاده از خواص لگاریتم ها با دقت بسیار مهم است:

علاوه بر این، یک نکته ظریف دیگر در اینجا وجود دارد و برای جلوگیری از یک اشتباه رایج، از یک برابری متوسط ​​استفاده می کنیم: درجه لگاریتم را به این شکل می نویسیم:

به همین ترتیب،

بیایید عبارات به دست آمده را در معادله اصلی جایگزین کنیم. ما گرفتیم:

اکنون می بینیم که مجهول در معادله به عنوان بخشی از . بیایید جایگزین را معرفی کنیم: . از آنجایی که می تواند هر مقدار واقعی را بگیرد، هیچ محدودیتی برای متغیر اعمال نمی کنیم.