आइए अभिन्न कलन के अनुप्रयोगों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें। इस पाठ में हम एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके एक समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने की विशिष्ट और सबसे आम समस्या को देखेंगे। अंत में, उन सभी को जो उच्च गणित में अर्थ खोजते हैं, इसे खोजने दें। आप कभी नहीं जानते। इसे हमें जीवन में करीब लाना होगा देहाती कुटीर क्षेत्रप्राथमिक कार्य और एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें।

सामग्री में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1)समझे अनिश्चितकालीन अभिन्नकम से कम औसत स्तर पर. इस प्रकार, नौसिखियों को पहले स्वयं को उसके पाठ से परिचित कराना चाहिए।

2) न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने और गणना करने में सक्षम हो समाकलन परिभाषित करें. गर्म स्थापित करें मैत्रीपूर्ण संबंधनिश्चित इंटीग्रल के साथ डेफिनिट इंटीग्रल पेज पर पाया जा सकता है। समाधान के उदाहरण. इसलिए, कार्य "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करें" में हमेशा एक चित्र बनाना शामिल होता है सामयिक मुद्दाड्राइंग में आपका ज्ञान और कौशल भी रहेगा. कम से कम, आपको एक सीधी रेखा, परवलय और अतिपरवलय का निर्माण करने में सक्षम होना चाहिए।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं घुमावदार समलम्बाकार. एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से घिरी एक सपाट आकृति है य = एफ(एक्स), एक्सिस बैलऔर पंक्तियाँ एक्स = ए; एक्स = बी.

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से एक निश्चित समाकलन के बराबर होता है

किसी भी निश्चित अभिन्न अंग (जो अस्तित्व में है) का एक बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ होता है। पाठ में निश्चित अभिन्न। समाधानों के उदाहरणों में हमने कहा कि एक निश्चित समाकलन एक संख्या है। और अब एक और बात बताने का समय आ गया है उपयोगी तथ्य. ज्यामिति की दृष्टि से निश्चित समाकलन क्षेत्रफल है। अर्थात्, एक निश्चित अभिन्न (यदि यह मौजूद है) ज्यामितीय रूप से एक निश्चित आकृति के क्षेत्र से मेल खाता है। निश्चित अभिन्न पर विचार करें

इंटीग्रैंड

समतल पर एक वक्र को परिभाषित करता है (यदि वांछित हो तो इसे खींचा जा सकता है), और निश्चित अभिन्न अंग संख्यात्मक रूप से संबंधित वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र के बराबर होता है।

उदाहरण 1

, , , .

यह एक विशिष्ट असाइनमेंट स्टेटमेंट है. निर्णय में सबसे महत्वपूर्ण बिंदु ड्राइंग का निर्माण है। इसके अलावा, ड्राइंग का निर्माण सही ढंग से किया जाना चाहिए।

एक ड्राइंग का निर्माण करते समय, मैं निम्नलिखित क्रम की अनुशंसा करता हूं: सबसे पहले, सभी सीधी रेखाओं (यदि कोई हो) का निर्माण करना बेहतर है और उसके बाद ही - परवलय, हाइपरबोलस और अन्य कार्यों के ग्राफ। बिंदु-दर-बिंदु निर्माण तकनीक संदर्भ सामग्री ग्राफ़ और गुणों में पाई जा सकती है प्राथमिक कार्य. वहां आप हमारे पाठ के लिए बहुत उपयोगी सामग्री भी पा सकते हैं - कैसे जल्दी से एक परवलय का निर्माण करें।

इस समस्या में, समाधान इस तरह दिख सकता है.

चलिए ड्राइंग बनाते हैं (ध्यान दें कि समीकरण य= 0 अक्ष निर्दिष्ट करता है बैल):

हम घुमावदार समलम्बाकार को छायांकित नहीं करेंगे, यहां यह स्पष्ट है कि हम किस क्षेत्र के बारे में बात कर रहे हैं। समाधान इस प्रकार जारी है:

खंड पर [-2; 1] फ़ंक्शन ग्राफ़ य = एक्स 2+2 अक्ष के ऊपर स्थित है बैल, इसीलिए:

उत्तर: ।

जिन्हें निश्चित समाकलन की गणना करने तथा न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने में कठिनाई होती है

,

व्याख्यान डेफिनिट इंटीग्रल का संदर्भ लें। समाधान के उदाहरण. कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, हम चित्र में कोशिकाओं की संख्या "आंख से" गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 होंगे, यह सच प्रतीत होता है। यह पूरी तरह से स्पष्ट है कि यदि हमें उत्तर मिला, तो कहें: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो यह स्पष्ट है कि कहीं न कहीं गलती हुई है - 20 कोशिकाएँ स्पष्ट रूप से प्रश्न में दिए गए आंकड़े में फिट नहीं होती हैं, अधिकतम एक दर्जन। यदि उत्तर नकारात्मक है, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

उदाहरण 2

आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें, रेखाओं द्वारा सीमित xy = 4, एक्स = 2, एक्स= 4 और अक्ष बैल.

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। संपूर्ण समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

यदि अक्ष के नीचे एक घुमावदार समलम्बाकार स्थित हो तो क्या करें बैल?

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें य = पूर्व, एक्स= 1 और निर्देशांक अक्ष.

समाधान: आइए एक चित्र बनाएं:

यदि एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड पूरी तरह से धुरी के नीचे स्थित है बैल, तो इसका क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

इस मामले में:

.

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए:

1) यदि आपसे बिना किसी ज्यामितीय अर्थ के केवल एक निश्चित समाकलन को हल करने के लिए कहा जाए, तो यह नकारात्मक हो सकता है।

2) यदि आपसे एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाए, तो क्षेत्रफल हमेशा सकारात्मक होता है! यही कारण है कि जिस सूत्र पर अभी चर्चा की गई है उसमें माइनस दिखाई देता है।

व्यवहार में, अक्सर यह आंकड़ा ऊपरी और निचले दोनों आधे तलों में स्थित होता है, और इसलिए, सबसे सरल स्कूली समस्याओं से हम अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए य = 2एक्स – एक्स 2 , य = -एक्स.

समाधान: सबसे पहले आपको एक चित्र बनाना होगा। क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। आइए परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें य = 2एक्स – एक्स 2 और सीधा य = -एक्स. इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहली विधि विश्लेषणात्मक है. हम समीकरण हल करते हैं:

इसका मतलब है कि एकीकरण की निचली सीमा ए= 0, एकीकरण की ऊपरी सीमा बी= 3. बिंदु दर बिंदु रेखाएँ बनाना अक्सर अधिक लाभदायक और तेज़ होता है, और एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं ही" स्पष्ट हो जाती हैं। फिर भी, सीमाएं खोजने की विश्लेषणात्मक विधि का उपयोग अभी भी कभी-कभी करना पड़ता है, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या विस्तृत निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे भिन्नात्मक या तर्कहीन हो सकते हैं)। आइए अपने कार्य पर वापस लौटें: पहले एक सीधी रेखा बनाना और उसके बाद ही एक परवलय बनाना अधिक तर्कसंगत है। आइए चित्र बनाएं:

आइए हम दोहराएँ कि बिंदुवार निर्माण करते समय, एकीकरण की सीमाएँ अक्सर "स्वचालित रूप से" निर्धारित की जाती हैं।

और अब कार्य सूत्र:

यदि खंड पर [ ए; बी] कुछ निरंतर कार्य एफ(एक्स) कुछ से बड़ा या उसके बराबर है सतत कार्य जी(एक्स), तो संबंधित आकृति का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

यहां अब आपको यह सोचने की ज़रूरत नहीं है कि आकृति कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, लेकिन जो महत्वपूर्ण है वह यह है कि कौन सा ग्राफ़ अधिक है (दूसरे ग्राफ़ के सापेक्ष) और कौन सा नीचे है।

विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए 2 से एक्स – एक्स 2 घटाया जाना चाहिए - एक्स.

पूरा समाधान इस तरह दिख सकता है:

वांछित आंकड़ा एक परवलय द्वारा सीमित है य = 2एक्स – एक्स 2 शीर्ष पर और सीधे य = -एक्सनीचे।

खंड 2 पर एक्स – एक्स 2 ≥ -एक्स. संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर: ।

वास्तव में, निचले आधे तल में एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के लिए स्कूल सूत्र (उदाहरण संख्या 3 देखें) है विशेष मामलासूत्रों

.

क्योंकि धुरी बैलसमीकरण द्वारा दिया गया य= 0, और फ़ंक्शन का ग्राफ़ जी(एक्स) अक्ष के नीचे स्थित है बैल, वह

.

और अब आपके अपने समाधान के लिए कुछ उदाहरण

उदाहरण 5

उदाहरण 6

रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करने से जुड़ी समस्याओं को हल करते समय, कभी-कभी एक अजीब घटना घटती है। ड्राइंग सही ढंग से पूरी हुई, गणना सही थी, लेकिन लापरवाही के कारण... गलत आकृति का क्षेत्रफल मिल गया।

उदाहरण 7

सबसे पहले आइए एक चित्र बनाएं:

जिस आकृति का क्षेत्रफल हमें ज्ञात करना है वह नीले रंग से छायांकित है (स्थिति को ध्यान से देखें - आकृति कितनी सीमित है!)। लेकिन व्यवहार में, असावधानी के कारण, लोग अक्सर निर्णय लेते हैं कि उन्हें हरे रंग में छायांकित आकृति का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता है!

यह उदाहरण इसलिए भी उपयोगी है क्योंकि यह दो निश्चित समाकलनों का उपयोग करके किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करता है। वास्तव में:

1) खंड पर [-1; 1] अक्ष के ऊपर बैलग्राफ सीधा स्थित है य = एक्स+1;

2) अक्ष के ऊपर एक खंड पर बैलहाइपरबोला का ग्राफ स्थित है य = (2/एक्स).

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि क्षेत्रों को जोड़ा जा सकता है (और जोड़ा जाना चाहिए), इसलिए:

उत्तर:

उदाहरण 8

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

आइए समीकरणों को "स्कूल" रूप में प्रस्तुत करें

और बिंदु-दर-बिंदु चित्र बनाएं:

चित्र से यह स्पष्ट है कि हमारी ऊपरी सीमा "अच्छी" है: बी = 1.

लेकिन निचली सीमा क्या है?! यह स्पष्ट है कि यह पूर्णांक नहीं है, लेकिन यह क्या है?

शायद, ए=(-1/3)? लेकिन इस बात की क्या गारंटी है कि चित्र पूर्ण सटीकता के साथ बनाया गया है, यह अच्छी तरह से हो सकता है ए=(-1/4). यदि हमने ग्राफ़ गलत तरीके से बनाया तो क्या होगा?

ऐसे मामलों में, आपको अतिरिक्त समय बिताना होगा और विश्लेषणात्मक रूप से एकीकरण की सीमाओं को स्पष्ट करना होगा।

आइए ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें

ऐसा करने के लिए, हम समीकरण हल करते हैं:

.

इस तरह, ए=(-1/3).

आगे का समाधान तुच्छ है. मुख्य बात यह है कि प्रतिस्थापन और संकेतों में भ्रमित न हों। यहां गणनाएं सबसे सरल नहीं हैं. खंड पर

, ,

संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

पाठ को समाप्त करने के लिए, आइए दो और कठिन कार्यों पर नजर डालें।

उदाहरण 9

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

समाधान: आइए इस आकृति को चित्र में चित्रित करें।

बिंदु-दर-बिंदु रेखाचित्र बनाने के लिए आपको जानना आवश्यक है उपस्थितिसाइनसोइड्स सामान्य तौर पर, सभी प्रारंभिक कार्यों के ग्राफ़, साथ ही कुछ साइन मानों को जानना उपयोगी होता है। उन्हें मूल्यों की तालिका में पाया जा सकता है त्रिकोणमितीय कार्य. कुछ मामलों में (उदाहरण के लिए, इस मामले में), एक योजनाबद्ध ड्राइंग बनाना संभव है, जिस पर एकीकरण के ग्राफ़ और सीमाएं मौलिक रूप से सही ढंग से प्रदर्शित की जानी चाहिए।

यहां एकीकरण की सीमाओं के साथ कोई समस्या नहीं है, वे सीधे स्थिति से अनुसरण करते हैं:

- "x" शून्य से "pi" में बदल जाता है। आइए आगे का निर्णय लें:

एक खंड पर, एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ य= पाप 3 एक्सअक्ष के ऊपर स्थित है बैल, इसीलिए:

(1) त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन पाठ में आप देख सकते हैं कि किस प्रकार साइन और कोसाइन विषम घातों में एकीकृत होते हैं। हम एक साइनस को चुटकी बजाते हैं।

(2) हम फॉर्म में मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हैं

(3) आइए वेरिएबल बदलें टी=क्योंकि एक्स, तब: अक्ष के ऊपर स्थित है, इसलिए:

.

.

ध्यान दें: ध्यान दें कि स्पर्शरेखा घन का अभिन्न अंग कैसे लिया जाता है; यहां मूल त्रिकोणमितीय पहचान का एक परिणाम उपयोग किया जाता है

.

कार्य संख्या 3. एक चित्र बनाएं और रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें

लागू समस्याओं के समाधान के लिए अभिन्न का अनुप्रयोग

क्षेत्रफल की गणना

एक निरंतर गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन f(x) का निश्चित अभिन्न अंग संख्यात्मक रूप से वक्र y = f(x), O x अक्ष और सीधी रेखाओं x = a और x से घिरे एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के बराबर है। = बी. इसके अनुसार क्षेत्रफल सूत्र इस प्रकार लिखा जाता है:

आइए समतल आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना के कुछ उदाहरण देखें।

कार्य क्रमांक 1. रेखाओं y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 से घिरे क्षेत्र की गणना करें।

समाधान।आइए एक आकृति बनाएं जिसके क्षेत्रफल की हमें गणना करनी होगी।

y = x 2 + 1 एक परवलय है जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और परवलय O y अक्ष के सापेक्ष एक इकाई द्वारा ऊपर की ओर स्थानांतरित हो जाता है (चित्र 1)।

चित्र 1. फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = x 2 + 1

कार्य संख्या 2. 0 से 1 की सीमा में रेखाओं y = x 2 – 1, y = 0 से घिरे क्षेत्र की गणना करें।

समाधान।इस फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपर की ओर निर्देशित शाखाओं का एक परवलय है, और परवलय को O y अक्ष के सापेक्ष एक इकाई नीचे स्थानांतरित किया जाता है (चित्र 2)।

चित्र 2. फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = x 2 - 1

कार्य संख्या 3. एक चित्र बनाएं और रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें

y = 8 + 2x – x 2 और y = 2x – 4.

समाधान।इन दो रेखाओं में से पहली एक परवलय है जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित हैं, क्योंकि x 2 का गुणांक ऋणात्मक है, और दूसरी रेखा दोनों समन्वय अक्षों को प्रतिच्छेद करने वाली एक सीधी रेखा है।

एक परवलय का निर्माण करने के लिए, हम उसके शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करते हैं: y'=2 – 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - शीर्ष का भुज; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 इसकी कोटि है, N(1;9) शीर्ष है।

आइए अब समीकरणों की प्रणाली को हल करके परवलय और सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें:

किसी समीकरण के दाएँ पक्ष को बराबर करना जिसके बाएँ पक्ष बराबर हों।

हमें 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 या x 2 - 12 = 0 मिलता है, जहाँ से .

तो, बिंदु एक परवलय और एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं (चित्र 1)।

चित्र 3 फ़ंक्शन के ग्राफ़ y = 8 + 2x - x 2 और y = 2x - 4

आइए एक सीधी रेखा y = 2x - 4 बनाएं। यह निर्देशांक अक्षों पर बिंदुओं (0;-4), (2;0) से होकर गुजरती है।

एक परवलय का निर्माण करने के लिए, आप 0x अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदुओं का भी उपयोग कर सकते हैं, अर्थात, समीकरण 8 + 2x – x 2 = 0 या x 2 – 2x – 8 = 0 की जड़ें। विएटा के प्रमेय का उपयोग करना, यह आसान है इसके मूल ज्ञात करने के लिए: x 1 = 2, x 2 = 4।

चित्र 3 इन रेखाओं से घिरा एक चित्र (परवलयिक खंड एम 1 एन एम 2) दिखाता है।

समस्या का दूसरा भाग इस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। इसका क्षेत्रफल सूत्र के अनुसार निश्चित समाकलन का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है .

इस स्थिति के संबंध में, हम अभिन्न प्राप्त करते हैं:

2 घूर्णन पिंड के आयतन की गणना

O x अक्ष के चारों ओर वक्र y = f(x) के घूमने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

O y अक्ष के चारों ओर घूमते समय, सूत्र इस प्रकार दिखता है:

टास्क नंबर 4. O x अक्ष के चारों ओर सीधी रेखाओं x = 0 x = 3 और वक्र y = से घिरे एक घुमावदार समलम्बाकार के घूर्णन से प्राप्त पिंड का आयतन निर्धारित करें।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 4)।

चित्र 4. फ़ंक्शन का ग्राफ़ y =

आवश्यक मात्रा है

टास्क नंबर 5. O y अक्ष के चारों ओर वक्र y = x 2 और सीधी रेखाओं y = 0 और y = 4 से घिरे एक घुमावदार समलम्बाकार के घूर्णन से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान।हमारे पास है:

समीक्षा प्रश्न

ए)

समाधान।

निर्णय में सबसे पहला और महत्वपूर्ण बिंदु ड्राइंग है।

आइए चित्र बनाएं:

समीकरण y=0"x" अक्ष सेट करता है;

- x=-2और एक्स=1- सीधा, अक्ष के समानांतर ओयू;

- y=x 2 +2 -एक परवलय, जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, जिसका शीर्ष बिंदु (0;2) पर होता है।

टिप्पणी। एक परवलय का निर्माण करने के लिए, निर्देशांक अक्षों के साथ इसके प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को खोजना पर्याप्त है, अर्थात। डाल एक्स=0अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए कहांऔर तदनुसार निर्णय लेना द्विघात समीकरण, अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए ओह .

परवलय का शीर्ष सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

आप बिंदु दर बिंदु रेखाएँ भी बना सकते हैं।

अंतराल पर [-2;1] फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=x 2 +2अक्ष के ऊपर स्थित है बैल, इसीलिए:

उत्तर: एस=9 वर्ग इकाई

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, "आंख से" हम चित्र में कोशिकाओं की संख्या गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 होंगे, यह सच प्रतीत होता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यदि हमें, मान लीजिए, उत्तर मिला है: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो यह स्पष्ट है कि कहीं न कहीं गलती हुई है - 20 कोशिकाएँ स्पष्ट रूप से प्रश्न में दिए गए आंकड़े में फिट नहीं होती हैं, अधिकतम एक दर्जन। यदि उत्तर नकारात्मक है, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

यदि अक्ष के नीचे एक घुमावदार समलम्बाकार स्थित हो तो क्या करें ओह?

बी) रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें y=-e x , एक्स=1और समन्वय अक्ष.

समाधान।

आइए एक चित्र बनाएं.

यदि एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड पूरी तरह से धुरी के नीचे स्थित है ओह , तो इसका क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

उत्तर: एस=(ई-1)वर्ग इकाइयाँ" 1.72 वर्ग इकाइयाँ

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए:

1) यदि आपसे बिना किसी ज्यामितीय अर्थ के केवल एक निश्चित समाकलन को हल करने के लिए कहा जाए, तो यह नकारात्मक हो सकता है।

2) यदि आपसे एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाए, तो क्षेत्रफल हमेशा सकारात्मक होता है! यही कारण है कि जिस सूत्र पर अभी चर्चा की गई है उसमें माइनस दिखाई देता है।

व्यवहार में, अक्सर आकृति ऊपरी और निचले दोनों आधे-तल में स्थित होती है।

ग) रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए y=2x-x 2, y=-x.

समाधान।

सबसे पहले आपको ड्राइंग पूरी करनी होगी. आम तौर पर, क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। आइए परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें और सीधा इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहली विधि विश्लेषणात्मक है.

हम समीकरण हल करते हैं:

इसका मतलब है कि एकीकरण की निचली सीमा ए=0, एकीकरण की ऊपरी सीमा बी=3 .

हम निर्माण कर रहे हैं दी गई पंक्तियाँ: 1. परवलय - बिंदु पर शीर्ष (1;1); अक्ष चौराहा ओह -अंक (0;0) और (0;2). 2. सीधी रेखा - दूसरे और चौथे निर्देशांक कोणों का समद्विभाजक। और अब ध्यान दें! यदि खंड पर [ ए;बी] कुछ निरंतर कार्य एफ(एक्स)किसी सतत फलन से बड़ा या उसके बराबर जी(एक्स), तो संबंधित आकृति का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: . और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि चित्र कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, लेकिन महत्वपूर्ण यह है कि कौन सा ग्राफ़ अधिक है (दूसरे ग्राफ़ के सापेक्ष), और कौन सा नीचे है। विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए इसे घटाना आवश्यक है

आप बिंदु दर बिंदु रेखाएँ बना सकते हैं, और एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं ही" स्पष्ट हो जाती हैं। फिर भी, सीमाएं खोजने की विश्लेषणात्मक विधि का उपयोग अभी भी कभी-कभी करना पड़ता है, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या विस्तृत निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे भिन्नात्मक या तर्कहीन हो सकते हैं)।

वांछित आकृति ऊपर एक परवलय और नीचे एक सीधी रेखा द्वारा सीमित है।

खंड पर , संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर: एस=4.5 वर्ग इकाई

कैसे डालें गणितीय सूत्रवेबसाइट पर?

यदि आपको कभी किसी वेब पेज पर एक या दो गणितीय सूत्र जोड़ने की आवश्यकता होती है, तो ऐसा करने का सबसे आसान तरीका लेख में बताया गया है: गणितीय सूत्र आसानी से चित्रों के रूप में साइट पर डाले जाते हैं जो वोल्फ्राम अल्फा द्वारा स्वचालित रूप से उत्पन्न होते हैं . सादगी के अलावा, यह सार्वभौमिक विधि खोज इंजन में साइट की दृश्यता को बेहतर बनाने में मदद करेगी। यह लंबे समय से काम कर रहा है (और, मुझे लगता है, हमेशा काम करेगा), लेकिन नैतिक रूप से यह पहले से ही पुराना हो चुका है।

यदि आप नियमित रूप से अपनी साइट पर गणितीय सूत्रों का उपयोग करते हैं, तो मैं आपको MathJax का उपयोग करने की सलाह देता हूं - एक विशेष जावास्क्रिप्ट लाइब्रेरी जो MathML, LaTeX या ASCIIMathML मार्कअप का उपयोग करके वेब ब्राउज़र में गणितीय नोटेशन प्रदर्शित करती है।

MathJax का उपयोग शुरू करने के दो तरीके हैं: (1) एक सरल कोड का उपयोग करके, आप जल्दी से एक MathJax स्क्रिप्ट को अपनी वेबसाइट से कनेक्ट कर सकते हैं, जो सही समय पर एक दूरस्थ सर्वर से स्वचालित रूप से लोड हो जाएगी (सर्वर की सूची); (2) मैथजैक्स स्क्रिप्ट को रिमोट सर्वर से अपने सर्वर पर डाउनलोड करें और इसे अपनी साइट के सभी पेजों से कनेक्ट करें। दूसरी विधि - अधिक जटिल और समय लेने वाली - आपकी साइट के पृष्ठों की लोडिंग को तेज कर देगी, और यदि मूल MathJax सर्वर किसी कारण से अस्थायी रूप से अनुपलब्ध हो जाता है, तो यह किसी भी तरह से आपकी अपनी साइट को प्रभावित नहीं करेगा। इन फायदों के बावजूद, मैंने पहला तरीका चुना क्योंकि यह सरल, तेज़ है और इसमें तकनीकी कौशल की आवश्यकता नहीं है। मेरे उदाहरण का अनुसरण करें, और केवल 5 मिनट में आप अपनी साइट पर MathJax की सभी सुविधाओं का उपयोग करने में सक्षम होंगे।

आप मुख्य MathJax वेबसाइट या दस्तावेज़ीकरण पृष्ठ से लिए गए दो कोड विकल्पों का उपयोग करके MathJax लाइब्रेरी स्क्रिप्ट को दूरस्थ सर्वर से कनेक्ट कर सकते हैं:

इन कोड विकल्पों में से एक को कॉपी करके आपके वेब पेज के कोड में पेस्ट करना होगा, अधिमानतः टैग के बीच और टैग के तुरंत बाद। पहले विकल्प के अनुसार, MathJax तेजी से लोड होता है और पेज को कम धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों की निगरानी और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो इसे समय-समय पर अद्यतन करने की आवश्यकता होगी। यदि आप दूसरा कोड डालते हैं, तो पेज अधिक धीरे-धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको MathJax अपडेट की लगातार निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।

MathJax को कनेक्ट करने का सबसे आसान तरीका ब्लॉगर या वर्डप्रेस में है: साइट कंट्रोल पैनल में, तृतीय-पक्ष जावास्क्रिप्ट कोड डालने के लिए डिज़ाइन किया गया एक विजेट जोड़ें, ऊपर प्रस्तुत डाउनलोड कोड के पहले या दूसरे संस्करण को कॉपी करें, और विजेट को करीब रखें टेम्पलेट की शुरुआत में (वैसे, यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट अतुल्यकालिक रूप से लोड की गई है)। बस इतना ही। अब MathML, LaTeX और ASCIIMathML का मार्कअप सिंटैक्स सीखें, और आप अपनी साइट के वेब पेजों में गणितीय सूत्र सम्मिलित करने के लिए तैयार हैं।

किसी भी फ्रैक्टल का निर्माण के अनुसार किया जाता है एक निश्चित नियम, जिसे क्रमिक रूप से असीमित संख्या में लागू किया जाता है। ऐसे प्रत्येक समय को पुनरावृत्ति कहा जाता है।

मेन्जर स्पंज के निर्माण के लिए पुनरावृत्त एल्गोरिथ्म काफी सरल है: 1 भुजा वाले मूल घन को उसके फलकों के समानांतर समतलों द्वारा 27 बराबर घनों में विभाजित किया जाता है। इसमें से एक केंद्रीय घन और उसके फलकों से लगे हुए 6 घन हटा दिए जाते हैं। परिणाम एक सेट है जिसमें शेष 20 छोटे घन शामिल हैं। इनमें से प्रत्येक घन के साथ ऐसा करने पर, हमें 400 छोटे घनों का एक सेट मिलता है। इस प्रक्रिया को अनवरत जारी रखने पर हमें मेन्जर स्पंज प्राप्त होता है।

इस लेख में आप सीखेंगे कि अभिन्न गणना का उपयोग करके रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। पहली बार हम हाई स्कूल में ऐसी समस्या के सूत्रीकरण का सामना करते हैं, जब हमने निश्चित अभिन्नों का अध्ययन पूरा कर लिया है और व्यवहार में अर्जित ज्ञान की ज्यामितीय व्याख्या शुरू करने का समय आ गया है।

तो, इंटीग्रल्स का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या को सफलतापूर्वक हल करने के लिए क्या आवश्यक है:

• सक्षम चित्र बनाने की क्षमता;
• एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके हल करने की क्षमता प्रसिद्ध सूत्रन्यूटन-लीबनिज;
• अधिक लाभदायक समाधान विकल्प "देखने" की क्षमता - अर्थात। समझें कि किसी न किसी मामले में एकीकरण करना कैसे अधिक सुविधाजनक होगा? x-अक्ष (OX) के अनुदिश या y-अक्ष (OY) के अनुदिश?
• खैर, सही गणनाओं के बिना हम कहां होंगे?) इसमें यह समझना शामिल है कि अन्य प्रकार के अभिन्नों को कैसे हल किया जाए और संख्यात्मक गणनाओं को सही किया जाए।

रेखाओं से घिरी किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम एक चित्र बनाते हैं। इसे बड़े पैमाने पर कागज के चेकदार टुकड़े पर करने की सलाह दी जाती है। हम प्रत्येक ग्राफ़ के ऊपर एक पेंसिल से इस फ़ंक्शन के नाम पर हस्ताक्षर करते हैं। ग्राफ़ पर हस्ताक्षर केवल आगे की गणना की सुविधा के लिए किया जाता है। वांछित आंकड़े का एक ग्राफ प्राप्त करने के बाद, ज्यादातर मामलों में यह तुरंत स्पष्ट हो जाएगा कि एकीकरण की कौन सी सीमा का उपयोग किया जाएगा। इस तरह हम समस्या का समाधान करते हैं चित्रमय विधि. हालाँकि, ऐसा होता है कि सीमाओं के मान भिन्नात्मक या अपरिमेय होते हैं। इसलिए, आप अतिरिक्त गणनाएँ कर सकते हैं, चरण दो पर जाएँ।

2. यदि एकीकरण की सीमाएँ स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं हैं, तो हम एक दूसरे के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं, और देखते हैं कि क्या हमारा ग्राफिक समाधानविश्लेषणात्मक के साथ.

3. अगला, आपको ड्राइंग का विश्लेषण करने की आवश्यकता है। फ़ंक्शन ग्राफ़ को कैसे व्यवस्थित किया जाता है, इसके आधार पर, किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए अलग-अलग दृष्टिकोण होते हैं। चलो गौर करते हैं विभिन्न उदाहरणइंटीग्रल्स का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने पर।

3.1. समस्या का सबसे क्लासिक और सरल संस्करण तब होता है जब आपको घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता होती है। घुमावदार समलम्बाकार क्या है? यह x-अक्ष (y = 0), सीधी रेखाओं x = a, x = b और a से b के अंतराल में निरंतर किसी भी वक्र द्वारा सीमित एक सपाट आकृति है। इसके अलावा, यह आंकड़ा गैर-नकारात्मक है और x-अक्ष के नीचे स्थित नहीं है। इस मामले में, वक्ररेखीय ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र संख्यात्मक रूप से एक निश्चित अभिन्न अंग के बराबर है, जिसकी गणना न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

उदाहरण 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

आकृति किन रेखाओं से घिरी हुई है? हमारे पास एक परवलय y = x2 - 3x + 3 है, जो OX अक्ष के ऊपर स्थित है, यह गैर-नकारात्मक है, क्योंकि इस परवलय के सभी बिंदु हैं सकारात्मक मूल्य. इसके बाद, सीधी रेखाएं x = 1 और x = 3 दी गई हैं, जो ऑप-एम्प की धुरी के समानांतर चलती हैं और बाईं और दाईं ओर की आकृति की सीमा रेखाएं हैं। खैर, y = 0, जो कि x-अक्ष भी है, जो नीचे दिए गए आंकड़े को सीमित करता है। परिणामी आकृति छायांकित है, जैसा कि बाईं ओर की आकृति से देखा जा सकता है। इस मामले में, आप तुरंत समस्या का समाधान शुरू कर सकते हैं। हमारे सामने एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का एक सरल उदाहरण है, जिसे हम आगे न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके हल करते हैं।

3.2. पिछले पैराग्राफ 3.1 में, हमने उस मामले की जांच की जब एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड एक्स-अक्ष के ऊपर स्थित है। अब उस मामले पर विचार करें जब समस्या की स्थितियाँ समान हों, सिवाय इसके कि फ़ंक्शन x-अक्ष के अंतर्गत है। मानक न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र में एक ऋण जोड़ा जाता है। ऐसी समस्या को कैसे हल किया जाए, इस पर हम नीचे विचार करेंगे।

उदाहरण 2. रेखाओं y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0 से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।

में इस उदाहरण मेंहमारे पास एक परवलय y = x2 + 6x + 2 है, जो OX अक्ष के नीचे से निकलता है, सीधी रेखाएँ x = -4, x = -1, y = 0। यहां y = 0 ऊपर से वांछित आंकड़े को सीमित करता है। सीधी रेखाएँ x = -4 और x = -1 वे सीमाएँ हैं जिनके भीतर निश्चित अभिन्न की गणना की जाएगी। किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या को हल करने का सिद्धांत उदाहरण संख्या 1 से लगभग पूरी तरह मेल खाता है। अंतर केवल इतना है दिया गया कार्यसकारात्मक नहीं है, और अंतराल पर अभी भी निरंतर है [-4; -1] . आपका क्या मतलब है सकारात्मक नहीं? जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, दिए गए x के भीतर मौजूद आंकड़े में विशेष रूप से "नकारात्मक" निर्देशांक हैं, जो कि समस्या को हल करते समय हमें देखने और याद रखने की आवश्यकता है। हम न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके आकृति के क्षेत्र की तलाश करते हैं, केवल शुरुआत में एक ऋण चिह्न के साथ।

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