घनाभ एक प्रकार का बहुफलक है जिसमें 6 फलक होते हैं, जिनमें से प्रत्येक एक आयत होता है। बदले में, विकर्ण एक खंड है जो समांतर चतुर्भुज के विपरीत शीर्षों को जोड़ता है। इसकी लंबाई दो तरह से तय की जा सकती है.

आपको चाहिये होगा

• समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाओं की लंबाई जानना।

निर्देश

1. विधि 1. भुजाओं a, b, c और विकर्ण d वाला एक आयताकार समांतर चतुर्भुज दिया गया है। समांतर चतुर्भुज के एक गुण के अनुसार, विकर्ण का वर्ग उसकी तीन भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि विकर्ण की लंबाई की गणना किसी दिए गए योग से वर्ग निकालकर की जा सकती है (चित्र 1)।

2. विधि 2. यह संभव है कि आयताकार समांतर चतुर्भुज एक घन है। घन एक आयताकार समांतर चतुर्भुज है जिसमें प्रत्येक फलक को एक वर्ग द्वारा दर्शाया जाता है। फलस्वरूप, इसकी सभी भुजाएँ समान हैं। फिर इसके विकर्ण की लंबाई की गणना करने का सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा: d = a*?3

समांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म का एक विशेष मामला है, जिसमें सभी छह चेहरे समांतर चतुर्भुज या आयत हैं। आयताकार फलकों वाले समांतर चतुर्भुज को आयताकार भी कहा जाता है। एक समान्तर चतुर्भुज में चार प्रतिच्छेदी विकर्ण होते हैं। यदि तीन किनारे ए, बी, सी दिए गए हैं, तो आप अतिरिक्त निर्माण करके एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के सभी विकर्ण पा सकते हैं।

निर्देश

1. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज बनाएं। डेटा लिखें: तीन किनारे ए, बी, सी। सबसे पहले एक विकर्ण m का निर्माण करें। इसे निर्धारित करने के लिए हम एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की गुणवत्ता का उपयोग करते हैं, जिसके अनुसार इसके सभी कोण समकोण होते हैं।

2. समांतर चतुर्भुज के किसी एक फलक के विकर्ण n की रचना कीजिए। निर्माण इस प्रकार करें कि प्रसिद्ध किनारा, समांतर चतुर्भुज का वांछित विकर्ण और चेहरे का विकर्ण मिलकर एक समकोण त्रिभुज a, n, m बनाएं।

3. चेहरे का निर्मित विकर्ण ज्ञात कीजिए। यह एक अन्य समकोण त्रिभुज b, c, n का कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, n² = c² + b²। इस अभिव्यक्ति की गणना करें और परिणामी मान का वर्गमूल लें - यह फलक n का विकर्ण होगा।

4. समांतर चतुर्भुज m का विकर्ण ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, समकोण त्रिभुज a, n, m में, एक अपरिचित कर्ण खोजें: m² = n² + a²। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें, फिर वर्गमूल की गणना करें। परिणामी परिणाम समांतर चतुर्भुज m का पहला विकर्ण होगा।

5. इसी प्रकार, समान्तर चतुर्भुज के अन्य सभी तीन विकर्णों को चरणों में खींचिए। साथ ही, उन सभी के लिए आसन्न फलकों के विकर्णों का अतिरिक्त निर्माण करें। बने समकोण त्रिभुजों को देखकर और पाइथागोरस प्रमेय को लागू करके, घनाभ के शेष विकर्णों के मान ज्ञात करें।

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कई वास्तविक वस्तुओं का आकार समान्तर चतुर्भुज होता है। उदाहरण कमरा और पूल हैं। इस आकार वाले हिस्से उद्योग में असामान्य नहीं हैं। इस कारण से, किसी दिए गए आंकड़े का आयतन ज्ञात करने का कार्य अक्सर सामने आता है।

निर्देश

1. समांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म है जिसका आधार एक समांतर चतुर्भुज है। एक समान्तर चतुर्भुज के चेहरे होते हैं - सभी तल जो इस आकृति को बनाते हैं। उनमें से प्रत्येक के छह फलक हैं, और वे सभी समांतर चतुर्भुज हैं। इसकी सम्मुख भुजाएँ एक दूसरे के बराबर एवं समान्तर होती हैं। इसके अलावा, इसमें विकर्ण होते हैं जो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और उस पर समद्विभाजित होते हैं।

2. समान्तर चतुर्भुज 2 प्रकार के होते हैं। पहले के लिए, सभी फलक समांतर चतुर्भुज हैं, और दूसरे के लिए, वे आयत हैं। अंतिम को आयताकार समांतर चतुर्भुज कहा जाता है। इसके सभी फलक आयताकार हैं और पार्श्व फलक आधार से लंबवत हैं। यदि किसी आयताकार समान्तर चतुर्भुज में ऐसे फलक हों जिनके आधार वर्ग हों, तो उसे घन कहा जाता है। इस स्थिति में, इसके फलक और किनारे बराबर होते हैं। किनारा किसी भी बहुफलक का एक किनारा होता है, जिसमें एक समानांतर चतुर्भुज भी शामिल होता है।

3. समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करने के लिए, आपको उसके आधार का क्षेत्रफल और ऊँचाई जानने की आवश्यकता है। समस्या की स्थितियों में कौन सा विशेष समान्तर चतुर्भुज प्रकट होता है, उसके आधार पर आयतन पाया जाता है। एक साधारण समान्तर चतुर्भुज के आधार पर एक समांतर चतुर्भुज होता है, जबकि एक आयताकार के आधार पर एक आयत या एक वर्ग होता है, जिसमें हमेशा समकोण होता है। यदि किसी समांतर चतुर्भुज के आधार पर एक समांतर चतुर्भुज है, तो उसका आयतन इस प्रकार पाया जाता है: V = S * H, जहां S आधार का क्षेत्रफल है, H समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई है आमतौर पर इसका पार्श्व किनारा होता है। समांतर चतुर्भुज के आधार पर एक समांतर चतुर्भुज भी हो सकता है जो आयत नहीं है। प्लैनिमेट्री के पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है कि एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल बराबर होता है: S=a*h, जहां h समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई है, a आधार की लंबाई है, यानी। :V=a*hp*H

4. यदि दूसरा मामला होता है, जब समांतर चतुर्भुज का आधार एक आयत होता है, तो आयतन की गणना उसी सूत्र का उपयोग करके की जाती है, लेकिन आधार का क्षेत्रफल थोड़ा अलग तरीके से पाया जाता है: V=S*H,S= a*b, जहां a और b भुजाएं हैं, क्रमशः आयत और समान्तर चतुर्भुज किनारा।V=a*b*H

5. किसी घन का आयतन ज्ञात करने के लिए, किसी को आदिम तार्किक तरीकों द्वारा निर्देशित किया जाना चाहिए। चूँकि घन के सभी फलक और किनारे बराबर हैं, और घन के आधार पर एक वर्ग है, ऊपर बताए गए सूत्रों द्वारा निर्देशित, हम निम्नलिखित सूत्र प्राप्त कर सकते हैं: V = a^3

एक दूसरे के विपरीत स्थित समान लंबाई के समानांतर खंडों के दो जोड़े द्वारा बनाई गई एक बंद ज्यामितीय आकृति को समांतर चतुर्भुज कहा जाता है। एक समांतर चतुर्भुज, जिसके सभी कोण 90° के बराबर होते हैं, आयत भी कहलाता है। इस आकृति में, आप विपरीत शीर्षों - विकर्णों को जोड़ने वाले समान लंबाई के दो खंड बना सकते हैं। इन विकर्णों की लंबाई की गणना कई तरीकों से की जाती है।

निर्देश

1. यदि दो आसन्न भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो आयत(ए और बी), तो विकर्ण (सी) की लंबाई निर्धारित करना बहुत आसान है। इस तथ्य से आगे बढ़ें कि विकर्णइसके और इन दोनों भुजाओं से बने त्रिभुज में समकोण के विपरीत स्थित है। यह हमें गणनाओं में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने और अग्रणी भुजाओं की वर्ग लंबाई के योग का वर्गमूल ज्ञात करके विकर्ण की लंबाई की गणना करने की अनुमति देता है: C = v (A? + B?)।

2. यदि केवल एक भुजा की लम्बाई ज्ञात हो आयत(ए), साथ ही कोण का आकार (?), जो इसके साथ बनता है विकर्ण, तो इस विकर्ण (सी) की लंबाई की गणना करने के लिए आपको प्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय कार्यों में से एक - कोसाइन का उपयोग करना होगा। अग्रणी भुजा की लंबाई को प्रसिद्ध कोण की कोज्या से विभाजित करें - यह विकर्ण की वांछित लंबाई होगी: C=A/cos(?)।

3. यदि एक आयत को उसके शीर्षों के निर्देशांक द्वारा दिया जाता है, तो उसके विकर्ण की लंबाई की गणना करने का कार्य इस समन्वय प्रणाली में दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने तक कम हो जाएगा। पाइथागोरस प्रमेय को उस त्रिभुज पर लागू करें जो प्रत्येक समन्वय अक्ष पर विकर्ण का प्रक्षेपण बनाता है। यह संभव है कि द्वि-आयामी निर्देशांक में एक आयत शीर्ष A(X?;Y?), B(X?;Y?), C(X?;Y?) और D(X?;Y?) से बनता है। ). फिर आपको बिंदु A और C के बीच की दूरी की गणना करने की आवश्यकता है। X अक्ष पर इस खंड के प्रक्षेपण की लंबाई समन्वय अंतर के मापांक |X?-X?| और Y अक्ष पर प्रक्षेपण के बराबर होगी। - |Y?-Y?| अक्षों के बीच का कोण 90° है, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ये दोनों प्रक्षेपण पैर हैं, और विकर्ण की लंबाई (कर्ण) उनकी लंबाई के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर है: AC=v(( X?-X?)?+(Y?- Y?)?).

4. विकर्ण ज्ञात करने के लिए आयतत्रि-आयामी समन्वय प्रणाली में, पिछले चरण की तरह ही आगे बढ़ें, केवल सूत्र में तीसरे समन्वय अक्ष पर प्रक्षेपण की लंबाई जोड़ें: AC=v((X?-X?)?+(Y ?-Y?)?+(Z?- Z?)?).

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एक गणितीय चुटकुला कई लोगों की स्मृति में बना हुआ है: पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं। गणना करने के लिए इसका उपयोग करें विकर्ण आयत .

आपको चाहिये होगा

• कागज की एक शीट, एक रूलर, एक पेंसिल, जड़ों की गणना के लिए एक फ़ंक्शन वाला एक कैलकुलेटर।

निर्देश

1. आयत एक चतुर्भुज है जिसके सभी कोण समकोण होते हैं। विकर्ण आयत- इसके दो विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाला एक सीधी रेखा खंड।

2. एक रूलर और पेंसिल के सहारे कागज के एक टुकड़े पर, एक मनमाना आयत ABCD बनाएं। इसे चौकोर नोटबुक शीट पर करना अच्छा है - इससे समकोण बनाना आसान हो जाएगा। शीर्षों को एक खंड से जोड़ें आयतए और सी. परिणामी खंड एसी है विकर्णयू आयतए बी सी डी।

3. टिप्पणी, विकर्ण AC आयत ABCD को त्रिभुज ABC और ACD में विभाजित करता है। परिणामी त्रिभुज ABC और ACD समकोण त्रिभुज हैं, क्योंकि कोण ABC और ADC 90 डिग्री के बराबर हैं (परिभाषा के अनुसार)। आयत). पाइथागोरस प्रमेय याद रखें - कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

4. कर्ण समकोण के विपरीत त्रिभुज की भुजा है। पैर समकोण से सटे त्रिभुज की भुजाएँ हैं। त्रिभुज ABC और ACD के संबंध में: AB और BC, AD और DC पैर हैं, AC दोनों त्रिभुजों के लिए सार्वभौमिक कर्ण है (वांछित) विकर्ण). नतीजतन, AC का वर्ग = वर्ग AB + वर्ग BC या AC का वर्ग = वर्ग AD + वर्ग DC। भुजाओं की लंबाई प्रतिस्थापित करें आयतउपरोक्त सूत्र में और कर्ण (विकर्ण) की लंबाई की गणना करें आयत).

5. आइए पक्षों का कहना है आयत ABCD निम्नलिखित मानों के बराबर है: AB = 5 सेमी और BC = 7 सेमी। किसी दिए गए विकर्ण AC का वर्ग आयतपाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके गणना की गई: AC वर्ग = वर्ग AB + वर्ग BC = 52+72 = 25 + 49 = 74 वर्ग सेमी। कैलकुलेटर का उपयोग करके, 74 के वर्गमूल की गणना करें। आपको 8.6 सेमी (गोल मान) मिलना चाहिए। कृपया ध्यान दें कि गुणों में से एक के अनुसार आयत, इसके विकर्ण बराबर हैं। तो दूसरे विकर्ण BD की लंबाई आयत ABCD विकर्ण AC की लंबाई के बराबर है। उपरोक्त उदाहरण के लिए, यह मान 8.6 सेमी है।

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युक्ति 6: किसी समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ दिए जाने पर उसका विकर्ण कैसे ज्ञात करें

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं। इसके सम्मुख कोणों को जोड़ने वाली सीधी रेखाएँ विकर्ण कहलाती हैं। उनकी लंबाई न केवल आकृति की भुजाओं की लंबाई पर निर्भर करती है, बल्कि इस बहुभुज के शीर्षों पर कोणों के मान पर भी निर्भर करती है, इसलिए किसी एक कोण की सच्चाई जाने बिना, विकर्णों की लंबाई की गणना की जाती है; केवल असाधारण मामलों में ही अनुमति दी जाती है। ये समांतर चतुर्भुज के विशेष मामले हैं - वर्ग और आयत।

निर्देश

1. यदि किसी समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाओं की लंबाई समान (ए) हो, तो इस आकृति को एक वर्ग भी कहा जा सकता है। इसके सभी कोणों का मान 90° के बराबर है, और विकर्णों की लंबाई (L) समान है और एक समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके गणना की जा सकती है। वर्ग की भुजा की लंबाई को दो के मूल से गुणा करें - परिणाम इसके प्रत्येक विकर्ण की लंबाई होगी: L=a*?2.

2. यदि किसी समांतर चतुर्भुज के बारे में यह ज्ञात हो कि यह एक आयत है जिसकी लंबाई (ए) और चौड़ाई (बी) शर्तों में दर्शाई गई है, तो इस स्थिति में विकर्णों की लंबाई (एल) बराबर होगी। और यहां भी, एक त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें जिसमें कर्ण विकर्ण है, और पैर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएं हैं। आयत की चौड़ाई और ऊँचाई के वर्ग के योग का मूल लेकर वांछित मान की गणना करें: L=?(a?+b?)।

3. अन्य सभी मामलों के लिए, अकेले भुजाओं की लंबाई का कौशल केवल उस मान को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है जिसमें एक साथ दोनों विकर्णों की लंबाई शामिल है - परिभाषा के अनुसार, उनके वर्गों का योग, भुजाओं के वर्गों के योग के दोगुने के बराबर है। लंबाई. यदि, समांतर चतुर्भुज (ए और बी) की दो आसन्न भुजाओं की लंबाई के अलावा, उनके बीच का कोण (?) भी ज्ञात हो, तो यह हमें विपरीत कोनों को जोड़ने वाले किसी भी खंड की लंबाई की गणना करने की अनुमति देगा। आकृति। कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके, दिए गए कोण के विपरीत स्थित विकर्ण (L?) की लंबाई ज्ञात करें - आसन्न भुजाओं की लंबाई के वर्गों को जोड़ें, उनके बीच के कोण की कोसाइन द्वारा समान लंबाई के उत्पाद को कुल से घटाएं। , और परिणामी मान से वर्गमूल लें: L? = ?(a?+b?-2*a*b*cos(?)). किसी अन्य विकर्ण (L?) की लंबाई ज्ञात करने के लिए, आप इस चरण की शुरुआत में दिए गए समांतर चतुर्भुज के गुण का उपयोग कर सकते हैं - 2 भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग को दोगुना करें, गणना किए गए विकर्ण के वर्ग को इससे घटाएं कुल, और परिणामी मान से मूल निकालें। सामान्य तौर पर, इस सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है: L? = ?(a?+b?- L??) = ?(a?+b?-(a?+b?-2*a*b*cos(?))) = ?(a?+b?- a?-b?+2*a*b*cos(?)) = ?(2*a*b*cos(?)).

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इस पाठ में, हर कोई "आयताकार समानांतर चतुर्भुज" विषय का अध्ययन करने में सक्षम होगा। पाठ की शुरुआत में, हम दोहराएंगे कि मनमाना और सीधा समांतर चतुर्भुज क्या हैं, उनके विपरीत फलकों और समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के गुणों को याद रखें। फिर हम देखेंगे कि घनाभ क्या है और इसके मूल गुणों पर चर्चा करेंगे।

विषय: रेखाओं और तलों की लंबवतता

पाठ: घनाकार

दो समान समांतर चतुर्भुज ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 तथा चार समांतर चतुर्भुज ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 से बनी सतह कहलाती है समानांतर खात(चित्र .1)।

चावल। 1 समांतर चतुर्भुज

अर्थात्: हमारे पास दो समान समांतर चतुर्भुज ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 (आधार) हैं, वे समानांतर विमानों में स्थित हैं ताकि पार्श्व किनारे AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 समानांतर हों। इस प्रकार, समांतर चतुर्भुज से बनी सतह कहलाती है समानांतर खात.

इस प्रकार, एक समांतर चतुर्भुज की सतह उन सभी समांतर चतुर्भुजों का योग है जो समांतर चतुर्भुज बनाते हैं।

1. समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समान्तर और बराबर होते हैं।

(आकृतियाँ समान हैं, अर्थात, उन्हें ओवरलैपिंग द्वारा जोड़ा जा सकता है)

उदाहरण के लिए:

एबीसीडी = ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 (परिभाषा के अनुसार समान समांतर चतुर्भुज),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (चूंकि AA 1 B 1 B और DD 1 C 1 C समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक हैं),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (चूंकि AA 1 D 1 D और BB 1 C 1 C समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक हैं)।

2. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इस बिंदु से द्विभाजित होते हैं।

समांतर चतुर्भुज AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B के विकर्ण एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, और प्रत्येक विकर्ण इस बिंदु से आधे में विभाजित होता है (चित्र 2)।

चावल। 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित होते हैं।

3. एक समान्तर चतुर्भुज के समान और समानांतर किनारों के तीन चतुर्भुज होते हैं: 1 - एबी, ए 1 बी 1, डी 1 सी 1, डीसी, 2 - एडी, ए 1 डी 1, बी 1 सी 1, बीसी, 3 - एए 1, बीबी 1, सीसी 1, डीडी 1।

परिभाषा। एक समान्तर चतुर्भुज को सीधा कहा जाता है यदि इसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हों।

मान लीजिए कि पार्श्व किनारा AA 1 आधार के लंबवत है (चित्र 3)। इसका मतलब यह है कि सीधी रेखा AA 1 सीधी रेखाओं AD और AB पर लंबवत है, जो आधार के तल में स्थित हैं। इसका मतलब यह है कि पार्श्व फलकों में आयतें हैं। और आधारों में मनमाने समांतर चतुर्भुज होते हैं। आइए हम ∠BAD = φ को निरूपित करें, कोण φ कोई भी हो सकता है।

चावल। 3 दायां समान्तर चतुर्भुज

तो, एक समकोण चतुर्भुज एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें पार्श्व किनारे समान्तर चतुर्भुज के आधारों के लंबवत होते हैं।

परिभाषा। समांतर चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है,यदि इसके पार्श्व किनारे आधार से लंबवत हैं। आधार आयताकार हैं.

समांतर चतुर्भुज ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 आयताकार है (चित्र 4), यदि:

1. एए 1 ⊥ एबीसीडी (आधार के तल पर लंबवत पार्श्व किनारा, यानी एक सीधा समानांतर चतुर्भुज)।

2. ∠BAD = 90°, अर्थात् आधार एक आयत है।

चावल। 4 आयताकार समान्तर चतुर्भुज

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में एक मनमाना समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होते हैं।लेकिन ऐसे अतिरिक्त गुण भी हैं जो घनाभ की परिभाषा से प्राप्त होते हैं।

इसलिए, घनाभएक समांतर चतुर्भुज है जिसके पार्श्व किनारे आधार से लंबवत हैं। घनाभ का आधार एक आयत है.

1. एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में, सभी छह फलक आयत हैं।

परिभाषा के अनुसार ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 आयत हैं।

2. पार्श्व पसलियाँ आधार से लंबवत होती हैं. इसका मतलब यह है कि एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के सभी पार्श्व फलक आयत हैं।

3. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी द्विफलकीय कोण समकोण होते हैं।

आइए, उदाहरण के लिए, AB किनारे वाले एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के डायहेड्रल कोण पर विचार करें, यानी, समतल ABC 1 और ABC के बीच का डायहेड्रल कोण।

AB एक किनारा है, बिंदु A 1 एक तल में स्थित है - समतल ABB 1 में, और बिंदु D दूसरे तल में - समतल A 1 B 1 C 1 D 1 में स्थित है। फिर विचाराधीन डायहेड्रल कोण को निम्नानुसार भी दर्शाया जा सकता है: ∠A 1 ABD।

आइए किनारे AB पर बिंदु A लें। AA 1 समतल АВВ-1 में किनारे AB पर लंबवत है, AD समतल ABC में किनारे AB पर लंबवत है। इसका मतलब यह है कि ∠A 1 AD किसी दिए गए डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है। ∠A 1 AD = 90°, जिसका अर्थ है कि किनारे AB पर डायहेड्रल कोण 90° है।

∠(एबीबी 1, एबीसी) = ∠(एबी) = ∠ए 1 एबीडी= ∠ए 1 एडी = 90°.

इसी प्रकार, यह सिद्ध हो गया है कि आयताकार समांतर चतुर्भुज का कोई भी द्विफलकीय कोण समकोण होता है।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

टिप्पणी। घनाभ के एक शीर्ष से निकलने वाले तीन किनारों की लंबाई घनाभ की माप होती है। इन्हें कभी-कभी लंबाई, चौड़ाई, ऊंचाई भी कहा जाता है।

दिया गया है: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - आयताकार समांतर चतुर्भुज (चित्र 5)।

सिद्ध करना: ।

चावल। 5 आयताकार समान्तर चतुर्भुज

सबूत:

सीधी रेखा CC 1 समतल ABC पर लंबवत है, और इसलिए सीधी रेखा AC पर लंबवत है। इसका मतलब है कि त्रिभुज CC 1 A समकोण है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

लेकिन BC और AD आयत की विपरीत भुजाएँ हैं। अतः BC = AD. तब:

क्योंकि , ए , वह। चूँकि CC 1 = AA 1, इसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं।

आइए हम समांतर चतुर्भुज ABC के आयामों को a, b, c के रूप में निरूपित करें (चित्र 6 देखें), तो AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज (पीपी) एक प्रिज्म से अधिक कुछ नहीं है, जिसका आधार एक आयत है। पीपी के लिए, सभी विकर्ण समान हैं, जिसका अर्थ है कि इसके किसी भी विकर्ण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

• ए, पीपी के आधार की ओर;

  इसकी ऊंचाई के साथ.

कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली पर विचार करके एक और परिभाषा दी जा सकती है:

पीपी विकर्ण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में x, y और z निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु का त्रिज्या वेक्टर है। बिंदु का यह त्रिज्या सदिश मूल बिंदु से खींचा गया है। और बिंदु के निर्देशांक समन्वय अक्षों पर त्रिज्या वेक्टर (पीपी के विकर्ण) के प्रक्षेपण होंगे। प्रक्षेपण इस समान्तर चतुर्भुज के शीर्षों से मेल खाते हैं।



एक आयताकार समांतर चतुर्भुज एक प्रकार का बहुफलक है जिसमें 6 फलक होते हैं, जिसके आधार पर एक आयत होता है। विकर्ण एक रेखाखंड है जो समांतर चतुर्भुज के विपरीत शीर्षों को जोड़ता है।

विकर्ण की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र यह है कि विकर्ण का वर्ग समांतर चतुर्भुज के तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।



मुझे इंटरनेट पर एक अच्छी आरेख-तालिका मिली जिसमें समांतर चतुर्भुज में मौजूद हर चीज की पूरी सूची थी। विकर्ण ज्ञात करने का एक सूत्र है, जिसे d से दर्शाया जाता है।

समांतर चतुर्भुज के लिए किनारे, शीर्ष और अन्य महत्वपूर्ण चीजों की एक छवि है।



यदि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की लंबाई, ऊंचाई और चौड़ाई (ए, बी, सी) ज्ञात है, तो विकर्ण की गणना करने का सूत्र इस तरह दिखेगा:



आमतौर पर, शिक्षक अपने छात्रों को कोई साधारण फॉर्मूला नहीं देते हैं, बल्कि प्रयास करते हैं ताकि वे प्रमुख प्रश्न पूछकर इसे स्वयं प्राप्त कर सकें:

• हमें क्या जानने की आवश्यकता है, हमारे पास कौन सा डेटा है?
• एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में क्या गुण होते हैं?
• क्या पाइथागोरस प्रमेय यहाँ लागू होता है? कैसे?
• क्या पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने के लिए पर्याप्त डेटा है, या कुछ अन्य गणनाओं की आवश्यकता है?

आमतौर पर, पूछे गए प्रश्नों का उत्तर देने के बाद, छात्र आसानी से इस सूत्र को स्वयं प्राप्त कर सकते हैं।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं। साथ ही इसके विपरीत फलकों के विकर्ण भी। विकर्ण की लंबाई की गणना एक शीर्ष से निकलने वाले समांतर चतुर्भुज के किनारों की लंबाई जानकर की जा सकती है। यह लंबाई इसके किनारों की लंबाई के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर है।



घनाभ तथाकथित बहुफलक में से एक है, जिसमें 6 फलक होते हैं, जिनमें से प्रत्येक एक आयत है। विकर्ण एक ऐसा खंड है जो समांतर चतुर्भुज के विपरीत शीर्षों को जोड़ता है। यदि एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः a, b, c मानी जाए, तो इसके विकर्ण (D) का सूत्र इस तरह दिखेगा: D^2=a^2+b^2+c ^2.



एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का विकर्णइसके विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है। तो हमारे पास घनाभविकर्ण d और भुजाओं a, b, c के साथ। समांतर चतुर्भुज के गुणों में से एक यह है कि वर्ग विकर्ण लंबाई d इसके तीन आयामों a, b, c के वर्गों के योग के बराबर है। अतः निष्कर्ष यह है विकर्ण लंबाईनिम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके आसानी से गणना की जा सकती है:



भी:

समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें?

• विकर्ण वर्गएक वर्ग समान्तर चतुर्भुज का (एक वर्ग समान्तर चतुर्भुज के गुण देखें) इसकी तीन अलग-अलग भुजाओं (चौड़ाई, ऊँचाई, मोटाई) के वर्गों के योग के बराबर होता है, और, तदनुसार, एक वर्ग समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण मूल के बराबर होते हैं यह राशि.

  मुझे ज्यामिति में स्कूली पाठ्यक्रम याद है, हम यह कह सकते हैं: एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसकी तीन भुजाओं के योग से प्राप्त वर्गमूल के बराबर होता है (उन्हें छोटे अक्षरों ए, बी, सी द्वारा दर्शाया जाता है)।

  एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण की लंबाई उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होती है।

  जहां तक ​​मैं स्कूल के पाठ्यक्रम, ग्रेड 9 से जानता हूं, अगर मैं गलत नहीं हूं, और यदि स्मृति काम करती है, तो एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का विकर्ण तीनों भुजाओं के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होता है।

  विकर्ण का वर्ग चौड़ाई, ऊंचाई और लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है, इस सूत्र के आधार पर हमें उत्तर मिलता है, विकर्ण अपने तीन अलग-अलग आयामों के योग के वर्गमूल के बराबर होता है, अक्षरों के साथ वे एनसीजेड एबीसी को निरूपित करें

प्रिज्म कहा जाता है समानांतर खात, यदि इसके आधार समांतर चतुर्भुज हैं। सेमी। चित्र .1.

समांतर चतुर्भुज के गुण:

समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समांतर होते हैं (अर्थात, वे समांतर तलों में स्थित होते हैं) और बराबर होते हैं।

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इस बिंदु से द्विभाजित होते हैं।

समांतर चतुर्भुज के निकटवर्ती फलक- दो चेहरे जिनमें एक समान किनारा है।

समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक- ऐसे चेहरे जिनमें समान किनारे नहीं हैं।

समांतर चतुर्भुज के विपरीत शीर्ष- दो शीर्ष जो एक ही फलक से संबंधित नहीं हैं।

समांतर चतुर्भुज का विकर्ण– एक खंड जो विपरीत शीर्षों को जोड़ता है।

यदि पार्श्व किनारे आधारों के तलों के लंबवत हों, तो समांतर चतुर्भुज कहलाता है प्रत्यक्ष.

एक समकोण चतुर्भुज जिसका आधार आयत हो, कहलाता है आयताकार. प्रिज्म, जिसके सभी फलक वर्ग हों, कहलाता है घनक्षेत्र.

समानांतर खात- एक प्रिज्म जिसका आधार समांतर चतुर्भुज हैं।

दायां समान्तर चतुर्भुज- एक समांतर चतुर्भुज जिसके पार्श्व किनारे आधार के तल के लंबवत होते हैं।

आयताकार समान्तर चतुर्भुजएक समांतर चतुर्भुज है जिसके आधार आयत हैं।

घनक्षेत्र- समान किनारों वाला एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज।

समानांतर खातप्रिज्म कहलाता है जिसका आधार एक समांतर चतुर्भुज है; इस प्रकार, एक समांतर चतुर्भुज के छह फलक होते हैं और वे सभी समांतर चतुर्भुज हैं।

विपरीत फलक जोड़ीवार बराबर और समानांतर हैं। समांतर चतुर्भुज में चार विकर्ण होते हैं; वे सभी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और उस पर आधे में विभाजित हो जाते हैं। किसी भी चेहरे को आधार बनाया जा सकता है; आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर है: V = Sh।

एक समान्तर चतुर्भुज जिसके चारों पार्श्व फलक आयत हों, एक सीधा समान्तर चतुर्भुज कहलाता है।

एक समकोण चतुर्भुज जिसके छह फलक आयत हों, आयताकार कहलाता है। सेमी। अंक 2.

एक समांतर चतुर्भुज का आयतन (V) आधार क्षेत्र (S) और ऊँचाई (h) के गुणनफल के बराबर है: व = श .

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के लिए, इसके अतिरिक्त, सूत्र मान्य है वी=एबीसी, जहां ए, बी, सी किनारे हैं।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का विकर्ण (डी) उसके किनारों से संबंध द्वारा संबंधित होता है डी 2 = ए 2 + बी 2 + सी 2 .

आयताकार समान्तर चतुर्भुज- एक समांतर चतुर्भुज जिसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हैं, और आधार आयताकार हैं।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के गुण:

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में, सभी छह फलक आयत हैं।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी द्विफलकीय कोण समकोण होते हैं।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण का वर्ग इसके तीन आयामों (तीन किनारों की लंबाई जिनमें एक सामान्य शीर्ष होता है) के वर्गों के योग के बराबर होता है।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज, जिसके सभी फलक वर्ग हों, घन कहलाता है। घन के सभी किनारे बराबर हैं; एक घन का आयतन (V) सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है व=ए 3, जहां a घन का किनारा है।