जब एक सिक्का उछाला जाता है, तो हम कह सकते हैं कि यह शीर्ष पर आएगा, या संभावना यह 1/2 है. बेशक, इसका मतलब यह नहीं है कि यदि एक सिक्का 10 बार उछाला जाता है, तो वह अनिवार्य रूप से 5 बार सिर पर आएगा। यदि सिक्का "उचित" है और यदि इसे कई बार उछाला जाता है, तो आधे समय में चित बहुत करीब आएंगे। इस प्रकार, संभावनाएँ दो प्रकार की होती हैं: प्रयोगात्मक और सैद्धांतिक .

प्रायोगिक और सैद्धांतिक संभाव्यता

यदि आप एक सिक्का उछालते हैं एक बड़ी संख्या कीबार - मान लीजिए 1000 - और गिनें कि कितनी बार सिर फेंका गया है, हम सिर फेंके जाने की संभावना निर्धारित कर सकते हैं। यदि सिर को 503 बार फेंका जाता है, तो हम उसके उतरने की संभावना की गणना कर सकते हैं:
503/1000, या 0.503।

यह प्रयोगात्मक संभाव्यता का निर्धारण. संभाव्यता की यह परिभाषा डेटा के अवलोकन और अध्ययन से आती है और यह काफी सामान्य और बहुत उपयोगी है। उदाहरण के लिए, यहाँ कुछ संभावनाएँ दी गई हैं जो प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित की गई थीं:

1. किसी महिला को स्तन कैंसर होने की संभावना 1/11 है।

2. अगर आप किसी ऐसे व्यक्ति को चूमते हैं जिसे सर्दी है तो आपको भी सर्दी होने की संभावना 0.07 है।

3. जो व्यक्ति अभी-अभी जेल से रिहा हुआ है उसके जेल लौटने की 80% संभावना है।

यदि हम एक सिक्के को उछालने पर विचार करते हैं और इस बात को ध्यान में रखते हैं कि यह समान रूप से संभावना है कि यह चित या पट आएगा, तो हम चित आने की संभावना की गणना कर सकते हैं: 1/2 यह संभाव्यता की एक सैद्धांतिक परिभाषा है। यहां कुछ अन्य संभावनाएं दी गई हैं जिन्हें सैद्धांतिक रूप से गणित का उपयोग करके निर्धारित किया गया है:

1. यदि एक कमरे में 30 लोग हैं, तो उनमें से दो का जन्मदिन एक ही होने की संभावना (वर्ष को छोड़कर) 0.706 है।

2. एक यात्रा के दौरान, आप किसी से मिलते हैं और बातचीत के दौरान आपको पता चलता है कि आपका एक पारस्परिक मित्र है। विशिष्ट प्रतिक्रिया: "यह नहीं हो सकता!" वास्तव में, यह वाक्यांश उपयुक्त नहीं है, क्योंकि ऐसी घटना की संभावना काफी अधिक है - केवल 22% से अधिक।

इस प्रकार, प्रायोगिक संभावनाएँ अवलोकन और डेटा संग्रह के माध्यम से निर्धारित की जाती हैं। सैद्धांतिक संभावनाएँ गणितीय तर्क के माध्यम से निर्धारित की जाती हैं। प्रयोगात्मक और सैद्धांतिक संभावनाओं के उदाहरण, जैसे कि ऊपर चर्चा की गई है, और विशेष रूप से वे जिनकी हमें उम्मीद नहीं है, हमें संभाव्यता का अध्ययन करने के महत्व की ओर ले जाते हैं। आप पूछ सकते हैं, "सच्ची संभावना क्या है?" दरअसल, ऐसी कोई बात नहीं है. कुछ सीमाओं के भीतर संभावनाओं को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। वे सैद्धांतिक रूप से हमें प्राप्त संभावनाओं से मेल खा भी सकते हैं और नहीं भी। ऐसी स्थितियाँ होती हैं जिनमें एक प्रकार की संभाव्यता को दूसरे की तुलना में निर्धारित करना बहुत आसान होता है। उदाहरण के लिए, सैद्धांतिक संभाव्यता का उपयोग करके सर्दी लगने की संभावना का पता लगाना पर्याप्त होगा।

प्रायोगिक संभावनाओं की गणना

आइए पहले हम संभाव्यता की प्रयोगात्मक परिभाषा पर विचार करें। ऐसी संभावनाओं की गणना के लिए हम जिस मूल सिद्धांत का उपयोग करते हैं वह इस प्रकार है।

सिद्धांत पी (प्रायोगिक)

यदि किसी प्रयोग में जिसमें n अवलोकन किए गए हैं, कोई स्थिति या घटना E, n अवलोकनों में m बार घटित होती है, तो घटना की प्रयोगात्मक संभावना को P (E) = m/n कहा जाता है।

उदाहरण 1 समाजशास्त्रीय सर्वेक्षण. बाएं हाथ वाले, दाएं हाथ वाले और ऐसे लोगों की संख्या निर्धारित करने के लिए एक प्रायोगिक अध्ययन किया गया जिनके दोनों हाथ समान रूप से विकसित हैं। परिणाम ग्राफ़ में दिखाए गए हैं।

ए) संभावना निर्धारित करें कि वह व्यक्ति दाएं हाथ का है।

बी) संभावना निर्धारित करें कि व्यक्ति बाएं हाथ का है।

ग) संभावना निर्धारित करें कि एक व्यक्ति दोनों हाथों में समान रूप से धाराप्रवाह है।

घ) अधिकांश प्रोफेशनल बॉलिंग एसोसिएशन टूर्नामेंट 120 खिलाड़ियों तक सीमित हैं। इस प्रयोग के आंकड़ों के आधार पर, कितने खिलाड़ी बाएं हाथ के हो सकते हैं?

समाधान

a) दाएं हाथ से काम करने वाले लोगों की संख्या 82 है, बाएं हाथ से काम करने वालों की संख्या 17 है, और दोनों हाथों से समान रूप से निपुण लोगों की संख्या 1 है। अवलोकनों की कुल संख्या 100 है। इस प्रकार, संभावना वह व्यक्ति दाएं हाथ का है, वह P है
पी = 82/100, या 0.82, या 82%।

बी) किसी व्यक्ति के बाएं हाथ का होने की प्रायिकता P है, जहां
पी = 17/100, या 0.17, या 17%।

ग) संभावना है कि एक व्यक्ति दोनों हाथों में समान रूप से धाराप्रवाह है, पी है, जहां
पी = 1/100, या 0.01, या 1%।

डी) 120 गेंदबाज, और (बी) से हम उम्मीद कर सकते हैं कि 17% बाएं हाथ के हैं। यहाँ से
120 का 17% = 0.17.120 = 20.4,
यानी, हम उम्मीद कर सकते हैं कि लगभग 20 खिलाड़ी बाएं हाथ के होंगे।

उदाहरण 2 गुणवत्ता नियंत्रण . किसी निर्माता के लिए अपने उत्पादों की गुणवत्ता बनाए रखना बहुत महत्वपूर्ण है उच्च स्तर. दरअसल, कंपनियां इस प्रक्रिया को सुनिश्चित करने के लिए गुणवत्ता नियंत्रण निरीक्षकों को नियुक्त करती हैं। लक्ष्य न्यूनतम संभव संख्या में दोषपूर्ण उत्पाद तैयार करना है। लेकिन चूंकि कंपनी हर दिन हजारों उत्पाद बनाती है, इसलिए वह यह निर्धारित करने के लिए हर उत्पाद का परीक्षण नहीं कर सकती कि वह दोषपूर्ण है या नहीं। यह पता लगाने के लिए कि कितने प्रतिशत उत्पाद ख़राब हैं, कंपनी बहुत कम उत्पादों का परीक्षण करती है।
मंत्रालय कृषिअमेरिका के लिए आवश्यक है कि उत्पादकों द्वारा बेचे जाने वाले 80% बीज अंकुरित होने चाहिए। एक कृषि कंपनी द्वारा उत्पादित बीजों की गुणवत्ता निर्धारित करने के लिए, उत्पादित बीजों में से 500 बीज बोए जाते हैं। इसके बाद गणना की गई कि 417 बीज अंकुरित हुए।

क) इसकी क्या संभावना है कि बीज अंकुरित होगा?

ख) क्या बीज सरकारी मानकों के अनुरूप हैं?

समाधानक) हम जानते हैं कि बोए गए 500 बीजों में से 417 अंकुरित हुए। बीज अंकुरण की संभावना पी, और
पी = 417/500 = 0.834, या 83.4%।

ख) चूँकि अंकुरित बीजों का प्रतिशत आवश्यकतानुसार 80% से अधिक हो गया है, बीज सरकारी मानकों के अनुरूप हैं।

उदाहरण 3 टेलीविजन रेटिंग. आंकड़ों के अनुसार, संयुक्त राज्य अमेरिका में 105,500,000 घरों में टेलीविजन हैं। हर सप्ताह कार्यक्रमों को देखने की जानकारी एकत्र और संसाधित की जाती है। एक सप्ताह में, 7,815,000 परिवारों ने सीबीएस पर हिट कॉमेडी श्रृंखला "एवरीबडी लव्स रेमंड" देखी और 8,302,000 परिवारों ने एनबीसी पर हिट श्रृंखला "लॉ एंड ऑर्डर" देखी (स्रोत: नीलसन मीडिया रिसर्च)। इसकी क्या संभावना है कि किसी दिए गए सप्ताह के दौरान एक घर का टीवी "एवरीबडी लव्स रेमंड" पर सेट हो?

समाधानसंभावना है कि एक घर में टीवी "एवरीबडी लव्स रेमंड" पर ट्यून किया गया है, पी है, और
पी = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%।
किसी घर के टीवी को लॉ एंड ऑर्डर पर ट्यून करने की संभावना P है, और
पी = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%।
इन प्रतिशतों को रेटिंग कहा जाता है।

सैद्धांतिक संभाव्यता

मान लीजिए कि हम एक प्रयोग कर रहे हैं, जैसे सिक्का या डार्ट फेंकना, डेक से कार्ड निकालना, या असेंबली लाइन पर गुणवत्ता के लिए उत्पादों का परीक्षण करना। ऐसे प्रयोग के प्रत्येक संभावित परिणाम को कहा जाता है एक्सोदेस . सभी संभावित परिणामों के समुच्चय को कहा जाता है परिणाम स्थान . आयोजन यह परिणामों का एक समूह है, अर्थात परिणामों के स्थान का एक उपसमूह है।

उदाहरण 4 डार्ट फेंकना। मान लीजिए कि एक डार्ट फेंकने के प्रयोग में, एक डार्ट एक लक्ष्य से टकराता है। निम्नलिखित में से प्रत्येक को खोजें:

बी) परिणाम स्थान

समाधान
ए) परिणाम हैं: काले को मारना (बी), लाल को मारना (आर) और सफेद को मारना (बी)।

बी) परिणामों का स्थान है (काले को मारना, लाल को मारना, सफेद को मारना), जिसे बस (एच, के, बी) के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण 5 पासा फेंकना. पासा छह भुजाओं वाला एक घन है, प्रत्येक पर एक से छह बिंदु बने होते हैं।


मान लीजिए हम एक पासा फेंक रहे हैं। खोजो
क) परिणाम
बी) परिणाम स्थान

समाधान
ए) परिणाम: 1, 2, 3, 4, 5, 6।
बी) परिणाम स्थान (1, 2, 3, 4, 5, 6)।

हम किसी घटना E के घटित होने की प्रायिकता को P(E) के रूप में निरूपित करते हैं। उदाहरण के लिए, "सिक्का सिर पर गिरेगा" को एच द्वारा दर्शाया जा सकता है। फिर पी(एच) इस संभावना को दर्शाता है कि सिक्का सिर पर गिरेगा। जब किसी प्रयोग के सभी परिणामों के घटित होने की संभावना समान होती है, तो उन्हें समान रूप से संभावित कहा जाता है। समान रूप से संभावित घटनाओं और नहीं होने वाली घटनाओं के बीच अंतर देखने के लिए, नीचे दिखाए गए लक्ष्य पर विचार करें।

लक्ष्य ए के लिए, काले, लाल और सफेद रंग से टकराने की घटनाएं समान रूप से संभावित हैं, क्योंकि काले, लाल और सफेद क्षेत्र समान हैं। हालाँकि, लक्ष्य बी के लिए, इन रंगों वाले क्षेत्र समान नहीं हैं, अर्थात, उन पर प्रहार करना समान रूप से संभावित नहीं है।

सिद्धांत पी (सैद्धांतिक)

यदि कोई घटना E, परिणाम स्थान S से n संभावित समान रूप से संभावित परिणामों में से m तरीकों से घटित हो सकती है, तो सैद्धांतिक संभाव्यता घटनाएँ, P(E) है
पी(ई) = एम/एन.

उदाहरण 6पासे को घुमाकर 3 प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

समाधानएक पासे पर 6 समान रूप से संभावित परिणाम होते हैं और संख्या 3 आने की केवल एक संभावना होती है। तब प्रायिकता P, P(3) = 1/6 होगी।

उदाहरण 7एक पासे पर एक सम संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

समाधानघटना एक सम संख्या फेंकने की है। यह 3 तरीकों से हो सकता है (यदि आप 2, 4 या 6 रोल करते हैं)। समान रूप से संभावित परिणामों की संख्या 6 है। तब संभावना P(सम) = 3/6, या 1/2।

हम मानक 52 कार्ड डेक से जुड़े कई उदाहरणों का उपयोग करेंगे। इस डेक में नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए कार्ड शामिल हैं।

उदाहरण 8ताश के पत्तों की अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से इक्का निकलने की प्रायिकता क्या है?

समाधान 52 परिणाम हैं (गड्डी में कार्डों की संख्या), उनकी समान संभावना है (यदि डेक अच्छी तरह से फेंटा गया है), और इक्का निकालने के 4 तरीके हैं, इसलिए पी सिद्धांत के अनुसार, संभावना
पी(एक इक्का निकालें) = 4/52, या 1/13।

उदाहरण 9मान लीजिए कि हम बिना देखे, 3 लाल गेंदों और 4 हरी गेंदों वाले बैग से एक गेंद चुनते हैं। लाल गेंद चुनने की प्रायिकता क्या है?

समाधानकिसी भी गेंद को निकालने के 7 समान रूप से संभावित परिणाम होते हैं, और चूँकि लाल गेंद को निकालने के तरीकों की संख्या 3 है, हमें मिलता है
पी(लाल गेंद चयन) = 3/7.

निम्नलिखित कथन सिद्धांत पी के परिणाम हैं।

संभाव्यता के गुण

a) यदि घटना E घटित नहीं हो सकती, तो P(E) = 0.
ख) यदि घटना E का घटित होना निश्चित है तो P(E) = 1.
ग) घटना E के घटित होने की प्रायिकता 0 से 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1 तक की एक संख्या है।

उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालने पर, सिक्के के किनारे पर गिरने की घटना की संभावना शून्य होती है। एक सिक्के के या तो चित या पट होने की प्रायिकता 1 है।

उदाहरण 10आइए मान लें कि 52-कार्ड डेक से 2 कार्ड निकाले गए हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वे दोनों शिखर हैं?

समाधान 52 पत्तों की अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से 2 पत्ते निकालने के तरीकों की संख्या n 52 C 2 है। चूँकि 52 में से 13 पत्ते हुकुम हैं, 2 हुकुम निकालने के तरीकों m की संख्या 13 C2 है। तब,
पी(2 चोटियाँ खींचना) = एम/एन = 13 सी 2/52 सी 2 = 78/1326 = 1/17।

उदाहरण 11मान लीजिए कि 6 पुरुषों और 4 महिलाओं के समूह में से 3 लोगों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि 1 पुरुष और 2 महिलाओं का चयन किया जाएगा?

समाधान 10 लोगों के समूह में से तीन लोगों को चुनने के तरीकों की संख्या 10 C 3 है। एक पुरुष को 6 C 1 तरीकों से चुना जा सकता है, और 2 महिलाओं को 4 C 2 तरीकों से चुना जा सकता है। गिनती के मूल सिद्धांत के अनुसार, 1 पुरुष और 2 महिलाओं को चुनने के तरीकों की संख्या 6 C 1 है। 4 सी 2 . तब, 1 पुरुष और 2 महिलाओं के चुने जाने की प्रायिकता है
पी = 6 सी 1 . 4 सी 2/10 सी 3 = 3/10.

उदाहरण 12 पासा फेंकना. दो पासों पर कुल 8 आने की प्रायिकता क्या है?

समाधानप्रत्येक पासे के 6 संभावित परिणाम होते हैं। परिणाम दोगुने हो गए हैं, जिसका अर्थ है कि 6.6 या 36 संभावित तरीके हैं जिनमें दो पासों पर संख्याएँ दिखाई दे सकती हैं। (यह बेहतर है अगर क्यूब अलग-अलग हों, मान लें कि एक लाल है और दूसरा नीला है - इससे परिणाम देखने में मदद मिलेगी।)

संख्याओं के जोड़े जिनका योग 8 होता है, नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं। 5 हैं संभावित तरीके 8 के बराबर योग प्राप्त हो रहा है, इसलिए संभावना 5/36 है।

संभावना- 0 और 1 के बीच की एक संख्या जो किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की संभावना को दर्शाती है, जहां 0 घटना घटित होने की संभावना का पूर्ण अभाव है, और 1 का अर्थ है कि संबंधित घटना निश्चित रूप से घटित होगी।

घटना E की प्रायिकता 1 से 1 तक की संख्या है।
परस्पर अपवर्जी घटनाओं की संभावनाओं का योग 1 के बराबर होता है।

अनुभवजन्य संभाव्यता- संभाव्यता, जिसकी गणना अतीत में किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति के रूप में की जाती है, जिसे ऐतिहासिक डेटा के विश्लेषण से निकाला जाता है।

अत्यंत दुर्लभ घटनाओं की संभावना की गणना अनुभवजन्य रूप से नहीं की जा सकती।

व्यक्तिपरक संभावना- ऐतिहासिक डेटा की परवाह किए बिना किसी घटना के व्यक्तिगत व्यक्तिपरक मूल्यांकन पर आधारित संभाव्यता। जो निवेशक शेयर खरीदने और बेचने का निर्णय लेते हैं वे अक्सर व्यक्तिपरक संभावना के आधार पर कार्य करते हैं।

पूर्व संभावना -

संभावना 1 इंच है... (संभावना है) कि कोई घटना संभाव्यता की अवधारणा के माध्यम से घटित होगी। किसी घटना के घटित होने की संभावना को प्रायिकता के माध्यम से इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: पी/(1-पी)।

उदाहरण के लिए, यदि किसी घटना की संभावना 0.5 है, तो घटना की संभावना 2 में से 1 है क्योंकि 0.5/(1-0.5).

किसी घटना के घटित न होने की संभावना की गणना सूत्र (1-पी)/पी का उपयोग करके की जाती है

असंगत संभावना- उदाहरण के लिए, कंपनी ए के शेयरों की कीमत संभावित घटना ई को 85% तक ध्यान में रखती है, और कंपनी बी के शेयरों की कीमत केवल 50% को ध्यान में रखती है। इसे असंगत संभाव्यता कहा जाता है। डच सट्टेबाजी प्रमेय के अनुसार, असंगत संभावना लाभ के अवसर पैदा करती है।

बिना शर्त संभावनाप्रश्न का उत्तर है "घटना घटित होने की प्रायिकता क्या है?"

सशर्त संभाव्यता- यह प्रश्न का उत्तर है: "यदि घटना बी घटित होती है तो घटना ए की संभावना क्या है।" सशर्त संभाव्यता को P(A|B) के रूप में दर्शाया जाता है।

संयुक्त संभाव्यता- संभावना है कि घटनाएँ A और B एक साथ घटित होंगी। P(AB) के रूप में दर्शाया गया।

पी(ए|बी) = पी(एबी)/पी(बी) (1)

पी(एबी) = पी(ए|बी)*पी(बी)

संभावनाओं के योग के लिए नियम:

घटना A या घटना B में से किसी एक के घटित होने की प्रायिकता है

पी (ए या बी) = पी(ए) + पी(बी) - पी(एबी) (2)

यदि घटनाएँ A और B परस्पर अनन्य हैं, तो

पी (ए या बी) = पी(ए) + पी(बी)

स्वतंत्र घटनाएँ- घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं यदि

पी(ए|बी) = पी(ए), पी(बी|ए) = पी(बी)

अर्थात्, यह परिणामों का एक क्रम है जहां संभाव्यता मान एक घटना से दूसरी घटना तक स्थिर रहता है।
सिक्का उछालना ऐसी घटना का एक उदाहरण है - प्रत्येक बाद वाले टॉस का परिणाम पिछले टॉस के परिणाम पर निर्भर नहीं करता है।

आश्रित घटनाएँ- ये ऐसी घटनाएँ हैं जहाँ एक के घटित होने की संभावना दूसरे के घटित होने की संभावना पर निर्भर करती है।

संभाव्यता गुणन नियम स्वतंत्र घटनाएँ:
यदि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं, तो

पी(एबी) = पी(ए) * पी(बी) (3)

कुल संभाव्यता नियम:

पी(ए) = पी(एएस) + पी(एएस") = पी(ए|एस")पी(एस) + पी (ए|एस")पी(एस") (4)

S और S" परस्पर अनन्य घटनाएँ हैं

अपेक्षित मूल्ययादृच्छिक चर संभावित परिणामों का औसत है अनियमित परिवर्तनशील वस्तु. घटना X के लिए, अपेक्षा को E(X) के रूप में दर्शाया गया है।

मान लीजिए कि हमारे पास एक निश्चित संभावना के साथ परस्पर अनन्य घटनाओं के 5 मूल्य हैं (उदाहरण के लिए, किसी कंपनी की आय ऐसी संभावना के साथ ऐसी और ऐसी राशि थी)। अपेक्षित मान सभी परिणामों के योग को उनकी संभाव्यता से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

एक यादृच्छिक चर का फैलाव उसकी अपेक्षा से एक यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की अपेक्षा है:

एस 2 = ई(2) (6)

सशर्त अपेक्षित मान एक यादृच्छिक चर X का अपेक्षित मान है, बशर्ते कि घटना S पहले ही घटित हो चुकी हो।

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संभाव्यता क्या है?

जब पहली बार मेरा सामना इस शब्द से हुआ तो मुझे समझ नहीं आया कि यह क्या है। इसलिए, मैं स्पष्ट रूप से समझाने की कोशिश करूंगा।

संभावना वह संभावना है कि जो घटना हम चाहते हैं वह घटित होगी।

उदाहरण के लिए, आपने किसी दोस्त के घर जाने का फैसला किया, आपको प्रवेश द्वार याद है और यहां तक ​​कि वह मंजिल भी याद है जिस पर वह रहता है। लेकिन मैं अपार्टमेंट का नंबर और स्थान भूल गया। और अब आप सीढ़ी पर खड़े हैं, और आपके सामने चुनने के लिए दरवाजे हैं।

इसकी क्या संभावना (संभावना) है कि यदि आप पहली घंटी बजाते हैं, तो आपका मित्र आपके लिए दरवाजा खोल देगा? वहाँ केवल अपार्टमेंट हैं, और एक दोस्त उनमें से केवल एक के पीछे रहता है। समान अवसर के साथ हम कोई भी दरवाजा चुन सकते हैं।

लेकिन यह मौका क्या है?

दरवाज़ा, दाहिना दरवाज़ा. पहली दरवाज़े की घंटी बजाकर अनुमान लगाने की संभावना:। यानी तीन में से एक बार आप सटीक अनुमान लगा लेंगे.

हम जानना चाहते हैं कि एक बार फोन करने के बाद हम कितनी बार दरवाजे का अनुमान लगाएंगे? आइए सभी विकल्पों पर नजर डालें:

1. तुमने बुलाया 1दरवाजा
2. तुमने बुलाया 2दरवाजा
3. तुमने बुलाया 3दरवाजा

आइए अब उन सभी विकल्पों पर नजर डालें जहां कोई मित्र हो सकता है:

एक। पीछे 1दरवाजा
बी। पीछे 2दरवाजा
वी पीछे 3दरवाजा

आइए तालिका के रूप में सभी विकल्पों की तुलना करें। एक चेकमार्क विकल्पों को इंगित करता है जब आपकी पसंद किसी मित्र के स्थान से मेल खाती है, एक क्रॉस - जब यह मेल नहीं खाता है।

आप हर चीज को कैसे देखते हैं शायद विकल्पआपके मित्र का स्थान और आपकी पसंद कि किस दरवाजे पर घंटी बजानी है।

ए हर चीज़ के लिए अनुकूल परिणाम . यानी आप एक बार दरवाजे की घंटी बजाकर ही अंदाजा लगा लेंगे, यानी. .

यह संभाव्यता है - संभावित घटनाओं की संख्या के लिए अनुकूल परिणाम (जब आपकी पसंद आपके मित्र के स्थान से मेल खाती है) का अनुपात।

परिभाषा ही सूत्र है. प्रायिकता को आमतौर पर p द्वारा दर्शाया जाता है, इसलिए:

ऐसा सूत्र लिखना बहुत सुविधाजनक नहीं है, इसलिए आइए - अनुकूल परिणामों की संख्या, और - के लिए लें कुलपरिणाम.

संभावना को प्रतिशत के रूप में लिखा जा सकता है, ऐसा करने के लिए, आपको परिणामी परिणाम को इससे गुणा करना होगा:

"परिणाम" शब्द ने संभवतः आपका ध्यान खींचा होगा। क्योंकि गणितज्ञ बुलाते हैं विभिन्न क्रियाएं(हमारे देश में ऐसी क्रिया एक घंटी है) प्रयोग, तो ऐसे प्रयोगों के परिणाम को आमतौर पर परिणाम कहा जाता है।

खैर, अनुकूल और प्रतिकूल परिणाम होते रहते हैं।

आइए अपने उदाहरण पर वापस जाएँ। मान लीजिए कि हमने एक दरवाज़ा बजाया, लेकिन वह हमारे लिए खुला था अजनबी. हमने सही अनुमान नहीं लगाया. इसकी क्या प्रायिकता है कि यदि हम बचे हुए दरवाज़ों में से किसी एक पर घंटी बजाएँ, तो हमारा मित्र हमारे लिए उसे खोल देगा?

अगर आपने ऐसा सोचा है तो ये गलती है. आइए इसका पता लगाएं।

हमारे पास दो दरवाजे बचे हैं। तो हमारे पास संभावित कदम हैं:

1) कॉल करें 1दरवाजा
2) कॉल करें 2दरवाजा

इस सब के बावजूद, मित्र निश्चित रूप से उनमें से एक के पीछे है (आखिरकार, वह जिसे हमने बुलाया था उसके पीछे नहीं था):

ए) दोस्त के लिए 1दरवाजा
बी) दोस्त के लिए 2दरवाजा

आइए फिर से तालिका बनाएं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, केवल वही विकल्प हैं जो अनुकूल हैं। अर्थात् प्रायिकता बराबर है।

क्यों नहीं?

जिस स्थिति पर हमने विचार किया वह है आश्रित घटनाओं का उदाहरण.पहला इवेंट पहली डोरबेल है, दूसरा इवेंट दूसरा डोरबेल है।

और इन्हें आश्रित इसलिए कहा जाता है क्योंकि ये निम्नलिखित क्रियाओं को प्रभावित करते हैं। आख़िरकार, यदि पहली घंटी बजने के बाद किसी मित्र ने उत्तर दिया, तो क्या संभावना होगी कि वह अन्य दो में से एक के पीछे था? सही, ।

लेकिन यदि आश्रित घटनाएँ हैं, तो अवश्य भी होंगी स्वतंत्र? यह सही है, वे घटित होते हैं।

एक पाठ्यपुस्तक का उदाहरण सिक्का उछालना है।

1. एक बार सिक्का उछालो. उदाहरण के लिए, चित आने की प्रायिकता क्या है? यह सही है - क्योंकि सभी विकल्प हैं (या तो हेड या टेल, हम सिक्के के किनारे पर उतरने की संभावना को नजरअंदाज कर देंगे), लेकिन यह केवल हमारे लिए उपयुक्त है।
2. लेकिन बात सिर चढ़ गई. ठीक है, चलो इसे फिर से फेंक देते हैं। अब चित आने की प्रायिकता क्या है? कुछ भी नहीं बदला है, सब कुछ वैसा ही है. कितने विकल्प? दो। हम कितनों से खुश हैं? एक।

और इसे लगातार कम से कम एक हजार बार सिर ऊपर आने दें। एक बार में चित आने की संभावना समान होगी। हमेशा विकल्प होते हैं, और अनुकूल भी।

आश्रित घटनाओं को स्वतंत्र घटनाओं से अलग करना आसान है:

1. यदि प्रयोग एक बार किया जाता है (वे एक बार सिक्का फेंकते हैं, एक बार दरवाजे की घंटी बजाते हैं, आदि), तो घटनाएँ हमेशा स्वतंत्र होती हैं।
2. यदि एक प्रयोग कई बार किया जाता है (एक सिक्का एक बार फेंका जाता है, दरवाजे की घंटी कई बार बजाई जाती है), तो पहली घटना हमेशा स्वतंत्र होती है। और फिर, यदि अनुकूल परिणामों की संख्या या सभी परिणामों की संख्या बदलती है, तो घटनाएँ निर्भर होती हैं, और यदि नहीं, तो वे स्वतंत्र होती हैं।

आइए संभाव्यता निर्धारित करने का थोड़ा अभ्यास करें।

उदाहरण 1।

सिक्के को दो बार उछाला जाता है. लगातार दो बार चित आने की प्रायिकता क्या है?

समाधान:

आइए सभी संभावित विकल्पों पर विचार करें:

1. ईगल-ईगल
2. चित्त पट
3. पूँछ-सिर
4. पूँछ-पूँछ

जैसा कि आप देख सकते हैं, केवल विकल्प हैं। इनमें से हम केवल संतुष्ट हैं। अर्थात्, संभावना:

यदि शर्त केवल संभाव्यता ज्ञात करने के लिए कहती है, तो उत्तर प्रपत्र में दिया जाना चाहिए दशमलव. यदि यह निर्दिष्ट किया जाता कि उत्तर प्रतिशत के रूप में दिया जाना चाहिए, तो हम इससे गुणा करेंगे।

उत्तर:

उदाहरण 2.

चॉकलेट के एक डिब्बे में सभी चॉकलेट एक ही रैपर में पैक की जाती हैं। हालाँकि, मिठाइयों से - नट्स के साथ, कॉन्यैक के साथ, चेरी के साथ, कारमेल के साथ और नूगाट के साथ।

एक कैंडी लेने और मेवों वाली एक कैंडी प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? प्रतिशत के रूप में अपना जवाब दें।

समाधान:

कितने संभावित परिणाम हैं? .

अर्थात्, यदि आप एक कैंडी लेते हैं, तो वह डिब्बे में उपलब्ध कैंडी में से एक होगी।

कितने अनुकूल परिणाम?

क्योंकि डिब्बे में सिर्फ नट्स वाली चॉकलेट हैं.

उत्तर:

उदाहरण 3.

गुब्बारों के एक डिब्बे में. जिनमें से सफेद और काले हैं।

1. एक सफेद गेंद निकलने की प्रायिकता क्या है?
2. हमने बॉक्स में और अधिक काली गेंदें जोड़ीं। अब सफेद गेंद निकलने की प्रायिकता क्या है?

समाधान:

a) बॉक्स में केवल गेंदें हैं। उनमें से सफेद हैं.

संभावना यह है:

ख) अब डिब्बे में और भी गेंदें हैं। और उतने ही गोरे बचे हैं - .

उत्तर:

कुल संभावना

सभी संभावित घटनाओं की प्रायिकता () के बराबर है।

मान लीजिए कि एक डिब्बे में लाल और हरी गेंदें हैं। लाल गेंद निकलने की प्रायिकता क्या है? हरी गेंद? लाल या हरी गेंद?

लाल गेंद निकालने की प्रायिकता

हरी गेंद:

लाल या हरी गेंद:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी संभावित घटनाओं का योग () के बराबर है। इस बात को समझने से आपको कई समस्याओं को सुलझाने में मदद मिलेगी।

उदाहरण 4.

बॉक्स में मार्कर हैं: हरा, लाल, नीला, पीला, काला।

लाल मार्कर नहीं निकलने की प्रायिकता क्या है?

समाधान:

आइए संख्या गिनें अनुकूल परिणाम.

लाल मार्कर नहीं, इसका मतलब हरा, नीला, पीला या काला है।

किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता उस घटना के घटित होने की प्रायिकता को घटाने के बराबर होती है।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने का नियम

आप पहले से ही जानते हैं कि स्वतंत्र घटनाएँ क्या होती हैं।

यदि आपको दो (या अधिक) स्वतंत्र घटनाओं के एक पंक्ति में घटित होने की प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता हो तो क्या होगा?

मान लीजिए कि हम जानना चाहते हैं कि इसकी क्या संभावना है कि यदि हम एक सिक्का उछालेंगे तो हमें दो बार चित दिखाई देगा?

हम पहले ही विचार कर चुके हैं - .

यदि हम एक सिक्का एक बार उछालें तो क्या होगा? एक बाज को लगातार दो बार देखने की प्रायिकता क्या है?

कुल संभावित विकल्प:

1. ईगल-ईगल-ईगल
2. हेड्स-हेड्स-टेल्स
3. हेड्स-टेल्स-हेड्स
4. चित- पट- पट
5. पूँछ-सिर-सिर
6. पूँछ-सिर-पूँछ
7. पूँछ-पूँछ-सिर
8. पूँछ-पूँछ-पूँछ

मैं आपके बारे में नहीं जानता, लेकिन इस सूची को संकलित करते समय मैंने कई बार गलतियाँ कीं। बहुत खूब! और एकमात्र विकल्प (पहला) ही हमारे लिए उपयुक्त है।

5 थ्रो के लिए, आप स्वयं संभावित परिणामों की एक सूची बना सकते हैं। लेकिन गणितज्ञ आपके जैसे मेहनती नहीं हैं।

इसलिए, उन्होंने पहले देखा और फिर साबित किया कि स्वतंत्र घटनाओं के एक निश्चित अनुक्रम की संभावना हर बार एक घटना की संभावना से कम हो जाती है।

दूसरे शब्दों में,

आइए उसी मनहूस सिक्के का उदाहरण देखें।

किसी चुनौती में सिर मिलने की संभावना? . अब हम सिक्के को एक बार उछालते हैं.

एक पंक्ति में चित आने की प्रायिकता क्या है?

यह नियम केवल तभी काम नहीं करता जब हमें एक ही घटना के लगातार कई बार घटित होने की प्रायिकता खोजने के लिए कहा जाए।

यदि हम लगातार उछाल के लिए TAILS-HEADS-TAILS अनुक्रम खोजना चाहते हैं, तो हम वही करेंगे।

चित उतरने की प्रायिकता - , चित - है।

TAILS-HEADS-TAILS-TAILS अनुक्रम प्राप्त करने की प्रायिकता:

आप एक तालिका बनाकर स्वयं इसकी जांच कर सकते हैं।

असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने का नियम।

इसलिए रोका! नई परिभाषा.

आइए इसका पता लगाएं। आइए अपना घिसा-पिटा सिक्का लें और उसे एक बार उछालें।
संभावित विकल्प:

1. ईगल-ईगल-ईगल
2. हेड्स-हेड्स-टेल्स
3. हेड्स-टेल्स-हेड्स
4. चित- पट- पट
5. पूँछ-सिर-सिर
6. पूँछ-सिर-पूँछ
7. पूँछ-पूँछ-सिर
8. पूँछ-पूँछ-पूँछ

तो, असंगत घटनाएँ घटनाओं का एक निश्चित, दिया गया क्रम है। - ये असंगत घटनाएँ हैं।

यदि हम यह निर्धारित करना चाहते हैं कि दो (या अधिक) असंगत घटनाओं की संभावना क्या है, तो हम इन घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ते हैं।

आपको यह समझने की आवश्यकता है कि चित या पट दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

यदि हम किसी अनुक्रम (या किसी अन्य) के घटित होने की संभावना निर्धारित करना चाहते हैं, तो हम संभावनाओं को गुणा करने के नियम का उपयोग करते हैं।
पहली उछाल पर चित तथा दूसरी और तीसरी उछाल पर पट आने की प्रायिकता क्या है?

लेकिन अगर हम जानना चाहते हैं कि कई अनुक्रमों में से किसी एक को प्राप्त करने की संभावना क्या है, उदाहरण के लिए, जब सिर बिल्कुल एक बार आता है, यानी। विकल्प और, फिर हमें इन अनुक्रमों की संभावनाओं को जोड़ना होगा।

कुल मिलाकर विकल्प हमारे अनुकूल हैं।

हम प्रत्येक अनुक्रम के घटित होने की संभावनाओं को जोड़कर एक ही चीज़ प्राप्त कर सकते हैं:

इस प्रकार, जब हम घटनाओं के कुछ, असंगत, अनुक्रमों की संभावना निर्धारित करना चाहते हैं तो हम संभावनाएं जोड़ते हैं।

कब गुणा करना है और कब जोड़ना है, इस उलझन से बचने में आपकी मदद करने के लिए एक बढ़िया नियम है:

आइए उस उदाहरण पर वापस जाएं जहां हमने एक बार एक सिक्का उछाला था और एक बार हेड देखने की संभावना जानना चाहते थे।
क्या होने जा रहा है?

बाहर गिरना चाहिए:
(चित और पट और पट) या (पूंछ और चित्त और पट) या (पूंछ और पट और पट)।
यह इस प्रकार निकलता है:

आइए कुछ उदाहरण देखें.

उदाहरण 5.

बॉक्स में पेंसिलें हैं. लाल, हरा, नारंगी और पीला और काला। लाल या हरी पेंसिल से चित्र बनाने की प्रायिकता क्या है?

समाधान:

उदाहरण 6.

यदि एक पासे को दो बार फेंका जाता है, तो कुल 8 आने की प्रायिकता क्या है?

समाधान।

हम अंक कैसे प्राप्त कर सकते हैं?

(और) या (और) या (और) या (और) या (और)।

एक (कोई भी) चेहरा मिलने की प्रायिकता है।

हम संभाव्यता की गणना करते हैं:

प्रशिक्षण।

मुझे लगता है कि अब आप समझ गए हैं कि आपको कब संभावनाओं की गणना करनी है, कब उन्हें जोड़ना है और कब उन्हें गुणा करना है। क्या यह नहीं? आइए थोड़ा अभ्यास करें.

कार्य:

आइए एक कार्ड डेक लें जिसमें हुकुम, दिल, 13 क्लब और 13 हीरे शामिल हैं। प्रत्येक सूट के ऐस से.

1. एक पंक्ति में क्लब निकालने की प्रायिकता क्या है (हम निकाले गए पहले कार्ड को वापस डेक में डालते हैं और उसे फेरबदल करते हैं)?
2. काला कार्ड (हुकुम या क्लब) निकलने की प्रायिकता क्या है?
3. चित्र (जैक, रानी, ​​राजा या इक्का) बनाने की प्रायिकता क्या है?
4. एक पंक्ति में दो चित्र बनाने की प्रायिकता क्या है (हम डेक से निकाला गया पहला कार्ड हटा देते हैं)?
5. दो कार्ड लेने पर, एक संयोजन - (जैक, क्वीन या किंग) और एक इक्का इकट्ठा करने की क्या संभावना है? जिस क्रम में कार्ड निकाले गए हैं, उससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

उत्तर:

यदि आप सभी समस्याओं को स्वयं हल करने में सक्षम हैं, तो आप महान हैं! अब आप एकीकृत राज्य परीक्षा में संभाव्यता सिद्धांत की समस्याओं को पागलों की तरह हल कर देंगे!

सिद्धांत संभावना। औसत स्तर

आइए एक उदाहरण देखें. मान लीजिए हम एक पासा फेंकते हैं। यह किस प्रकार की हड्डी है, क्या आप जानते हैं? इसे वे एक घन कहते हैं जिसके चेहरों पर संख्याएँ होती हैं। कितने चेहरे, कितनी संख्याएँ: से लेकर कितने तक? पहले।

तो हम पासा पलटते हैं और चाहते हैं कि वह ऊपर आए या। और हम इसे प्राप्त करते हैं.

संभाव्यता सिद्धांत में वे कहते हैं कि क्या हुआ शुभ घटना(समृद्धि से भ्रमित न हों)।

यदि ऐसा हुआ तो आयोजन भी अनुकूल होगा। कुल मिलाकर केवल दो ही अनुकूल घटनाएँ घटित हो सकती हैं।

कितने प्रतिकूल हैं? चूँकि कुल संभावित घटनाएँ हैं, इसका मतलब है कि प्रतिकूल घटनाएँ हैं (यह यदि या घटती है)।

परिभाषा:

संभाव्यता अनुकूल घटनाओं की संख्या और सभी संभावित घटनाओं की संख्या का अनुपात है. अर्थात्, संभाव्यता दर्शाती है कि सभी संभावित घटनाओं का कितना अनुपात अनुकूल है।

संभाव्यता को लैटिन अक्षर (स्पष्ट रूप से से) द्वारा दर्शाया जाता है अंग्रेज़ी शब्दसंभाव्यता - संभाव्यता)।

संभाव्यता को प्रतिशत के रूप में मापने की प्रथा है (विषय देखें)। ऐसा करने के लिए, संभाव्यता मान को गुणा करना होगा। पासे के उदाहरण में, संभाव्यता।

और प्रतिशत में: .

उदाहरण (स्वयं निर्णय लें):

1. सिक्का उछालने पर चित आने की प्रायिकता क्या है? सिर उतरने की प्रायिकता क्या है?
2. पासा फेंकने पर सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है? कौन सा अजीब है?
3. साधारण, नीले और लाल पेंसिलों के एक डिब्बे में। हम यादृच्छिक रूप से एक पेंसिल निकालते हैं। एक साधारण प्राप्त करने की संभावना क्या है?

समाधान:

1. कितने विकल्प हैं? चित और पट - केवल दो। उनमें से कितने अनुकूल हैं? केवल एक ही उकाब है. तो संभावना

   पूँछ के साथ भी ऐसा ही है: .

2. कुल विकल्प: (घन की कितनी भुजाएँ हैं, कितने भिन्न विकल्प हैं)। अनुकूल वाले: (ये सभी सम संख्याएँ हैं:)।
   संभावना। बेशक, विषम संख्याओं के साथ भी ऐसा ही है।
3. कुल: । अनुकूल: . संभावना: ।

कुल संभावना

डिब्बे में सभी पेंसिलें हरी हैं। लाल पेंसिल से चित्र बनाने की प्रायिकता क्या है? कोई संभावना नहीं है: संभावना (आखिरकार, अनुकूल घटनाएं -)।

ऐसी घटना को असंभव कहा जाता है।

हरी पेंसिल से चित्र बनाने की प्रायिकता क्या है? अनुकूल घटनाओं की संख्या बिल्कुल उतनी ही है जितनी कुल घटनाओं की है (सभी घटनाएँ अनुकूल हैं)। अतः प्रायिकता या के बराबर है।

ऐसी घटना को विश्वसनीय कहा जाता है।

यदि एक डिब्बे में हरी और लाल पेंसिल हैं, तो हरी या लाल पेंसिल निकलने की प्रायिकता क्या है? एक बार फिर। आइए इस पर ध्यान दें: हरे रंग को बाहर निकालने की संभावना बराबर है, और लाल को बाहर निकालने की संभावना बराबर है।

कुल मिलाकर, ये संभावनाएँ बिल्कुल बराबर हैं। वह है, सभी संभावित घटनाओं की संभावनाओं का योग या के बराबर है।

उदाहरण:

पेंसिल के एक डिब्बे में, उनमें से नीले, लाल, हरे, सादे, पीले और बाकी नारंगी हैं। हरा रंग न आने की प्रायिकता क्या है?

समाधान:

हमें याद है कि सभी संभावनाएँ जुड़ती हैं। और हरा होने की संभावना बराबर है. इसका मतलब यह है कि हरा न निकलने की संभावना बराबर है।

इस ट्रिक को याद रखें:किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता उस घटना के घटित होने की प्रायिकता को घटाने के बराबर होती है।

स्वतंत्र घटनाएँ और गुणन नियम

आप एक सिक्के को एक बार उछालते हैं और चाहते हैं कि वह दोनों बार सिर ऊपर आये। इसकी सम्भावना क्या है?

आइए सभी संभावित विकल्पों पर गौर करें और निर्धारित करें कि कितने हैं:

हेड्स-हेड्स, टेल्स-हेड्स, हेड्स-टेल्स, टेल्स-टेल्स। और क्या?

कुल विकल्प. इनमें से केवल एक ही हमारे लिए उपयुक्त है: ईगल-ईगल। कुल मिलाकर, संभावना बराबर है.

अच्छा। अब चलो एक बार सिक्का उछालें. गणित स्वयं करो. घटित? (उत्तर)।

आपने देखा होगा कि प्रत्येक अगले थ्रो को जोड़ने पर संभावना आधी हो जाती है। सामान्य नियमबुलाया गुणन नियम:

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाएँ बदल जाती हैं।

स्वतंत्र घटनाएँ क्या हैं? सब कुछ तार्किक है: ये वे हैं जो एक दूसरे पर निर्भर नहीं हैं। उदाहरण के लिए, जब हम एक सिक्के को कई बार उछालते हैं, तो हर बार एक नया फेंक दिया जाता है, जिसका परिणाम पिछले सभी उछालों पर निर्भर नहीं करता है। हम एक ही समय में दो अलग-अलग सिक्के आसानी से फेंक सकते हैं।

और ज्यादा उदाहरण:

1. पासे दो बार फेंके जाते हैं। इसे दोनों बार प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
2. सिक्का एक बार उछाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पहली बार शीर्ष पर आएगा और फिर दो बार पट पर आएगा?
3. खिलाड़ी दो पासे फेंकता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि उन पर संख्याओं का योग बराबर होगा?

उत्तर:

1. घटनाएँ स्वतंत्र हैं, जिसका अर्थ है कि गुणन नियम काम करता है:।
2. चित आने की प्रायिकता बराबर है। पूँछ की सम्भावना समान है। गुणा करें:
3. 12 केवल तभी प्राप्त किया जा सकता है जब दो -की को रोल किया जाए:।

असंगत घटनाएँ और जोड़ नियम

वे घटनाएँ जो पूर्ण संभावना के बिंदु पर एक दूसरे की पूरक होती हैं, असंगत कहलाती हैं। जैसा कि नाम से पता चलता है, ये एक साथ नहीं हो सकते। उदाहरण के लिए, यदि हम एक सिक्का उछालते हैं, तो वह या तो चित या पट पर आ सकता है।

उदाहरण।

पेंसिल के एक डिब्बे में, उनमें से नीले, लाल, हरे, सादे, पीले और बाकी नारंगी हैं। हरा या लाल निकलने की प्रायिकता क्या है?

समाधान ।

हरी पेंसिल से चित्र बनाने की प्रायिकता बराबर है। लाल - ।

सभी में अनुकूल घटनाएँ: हरा + लाल। इसका मतलब यह है कि हरा या लाल निकलने की संभावना बराबर है।

उसी संभाव्यता को इस रूप में दर्शाया जा सकता है: .

यह अतिरिक्त नियम है:असंगत घटनाओं की संभावनाएँ बढ़ जाती हैं।

मिश्रित प्रकार की समस्याएँ

उदाहरण।

सिक्के को दो बार उछाला जाता है. इसकी क्या प्रायिकता है कि रोल के परिणाम भिन्न होंगे?

समाधान ।

इसका मतलब यह है कि यदि पहला परिणाम हेड है, तो दूसरा टेल होना चाहिए, और इसके विपरीत। इससे पता चलता है कि स्वतंत्र घटनाओं के दो जोड़े हैं, और ये जोड़े एक दूसरे के साथ असंगत हैं। कहां गुणा करना है और कहां जोड़ना है, इस उलझन में कैसे न पड़ें।

ऐसी स्थितियों के लिए एक सरल नियम है. "और" या "ओआर" संयोजनों का उपयोग करके यह वर्णन करने का प्रयास करें कि क्या होने वाला है। उदाहरण के लिए, इस मामले में:

इसे (चित और पट) या (पट और पट) ऊपर आना चाहिए।

जहां "और" का संयोजन है वहां गुणा होगा, और जहां "या" है वहां जोड़ होगा:

खुद कोशिश करना:

1. इसकी क्या प्रायिकता है कि यदि एक सिक्के को दो बार उछाला जाए तो सिक्का दोनों बार एक ही तरफ गिरेगा?
2. पासे दो बार फेंके जाते हैं। कुल अंक प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

समाधान:

एक और उदाहरण:

एक बार सिक्का उछालो. इसकी क्या प्रायिकता है कि सिर कम से कम एक बार दिखाई देंगे?

समाधान:

सिद्धांत संभावना। संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

संभाव्यता अनुकूल घटनाओं की संख्या और सभी संभावित घटनाओं की संख्या का अनुपात है।

स्वतंत्र घटनाएँ

दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं यदि एक के घटित होने से दूसरे के घटित होने की संभावना नहीं बदलती है।

कुल संभावना

सभी संभावित घटनाओं की प्रायिकता () के बराबर है।

किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता उस घटना के घटित होने की प्रायिकता को घटाने के बराबर होती है।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने का नियम

स्वतंत्र घटनाओं के एक निश्चित अनुक्रम की संभावना प्रत्येक घटना की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर होती है

असंगत घटनाएँ

असंगत घटनाएँ वे होती हैं जो किसी प्रयोग के परिणामस्वरूप संभवतः एक साथ घटित नहीं हो सकतीं। कई असंगत घटनाएँ घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं।

असंगत घटनाओं की संभावनाएँ बढ़ जाती हैं।

यह वर्णन करने के बाद कि क्या होना चाहिए, "और" या "ओआर" संयोजनों का उपयोग करते हुए, "और" के बजाय हम गुणन चिह्न लगाते हैं, और "ओआर" के बजाय हम एक अतिरिक्त चिह्न लगाते हैं।

खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इस 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात.

आप इस विषय पर सिद्धांत को समझ चुके हैं। और, मैं दोहराता हूं, यह... यह बिल्कुल सुपर है! आप पहले से ही अपने अधिकांश साथियों से बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता...

किस लिए?

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मैं तुम्हें किसी भी बात के लिए राजी नहीं करूंगा, मैं बस एक बात कहूंगा...

जिन लोगों को प्राप्त हुआ एक अच्छी शिक्षा, उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक कमाएं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया। ये आँकड़े हैं.

लेकिन ये मुख्य बात नहीं है.

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संभावनाघटना किसी दिए गए घटना के अनुकूल प्रारंभिक परिणामों की संख्या और उस अनुभव के सभी समान रूप से संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात है जिसमें यह घटना प्रकट हो सकती है। घटना A की प्रायिकता को P(A) द्वारा दर्शाया जाता है (यहाँ P फ्रेंच शब्द प्रोबेबिलिटी - प्रायिकता का पहला अक्षर है)। परिभाषा के अनुसार
(1.2.1)
घटना ए के अनुकूल प्रारंभिक परिणामों की संख्या कहां है; - प्रयोग के सभी समान रूप से संभव प्राथमिक परिणामों की संख्या, जो घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती है।
संभाव्यता की इस परिभाषा को शास्त्रीय कहा जाता है। यह संभाव्यता सिद्धांत के विकास के प्रारंभिक चरण में उत्पन्न हुआ।

किसी घटना की प्रायिकता में निम्नलिखित गुण होते हैं:
1. किसी विश्वसनीय घटना की प्रायिकता एक के बराबर होती है। आइए हम किसी विश्वसनीय घटना को अक्षर से निरूपित करें। इसलिए, एक निश्चित घटना के लिए
(1.2.2)
2. किसी असंभव घटना की प्रायिकता शून्य है। आइए एक असंभव घटना को अक्षर से निरूपित करें। इसलिए, एक असंभव घटना के लिए
(1.2.3)
3. किसी यादृच्छिक घटना की प्रायिकता को एक से कम धनात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है। चूँकि एक यादृच्छिक घटना के लिए असमानताएँ, या, संतुष्ट होती हैं
(1.2.4)
4. किसी भी घटना की प्रायिकता असमानताओं को संतुष्ट करती है
(1.2.5)
यह संबंध (1.2.2) - (1.2.4) से निम्नानुसार है।

उदाहरण 1।एक कलश में समान आकार और वजन की 10 गेंदें हैं, जिनमें से 4 लाल और 6 नीली हैं। कलश से एक गेंद निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई गेंद नीली होगी?

समाधान. हम घटना "निकाली गई गेंद नीली निकली" को अक्षर A से निरूपित करते हैं। इस परीक्षण में 10 समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणाम हैं, जिनमें से 6 घटना A के पक्ष में हैं। सूत्र (1.2.1) के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

उदाहरण 2. 1 से 30 तक की सभी प्राकृतिक संख्याएँ समान कार्डों पर लिखी जाती हैं और एक कलश में रखी जाती हैं। कार्डों को अच्छी तरह से फेंटने के बाद, कलश से एक कार्ड निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि लिए गए कार्ड पर अंकित संख्या 5 का गुणज है?

समाधान।आइए हम इस घटना को ए से निरूपित करें "लिए गए कार्ड पर संख्या 5 का गुणज है।" इस परीक्षण में 30 समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणाम हैं, जिनमें से घटना ए को 6 परिणामों (संख्या 5, 10, 15, 20, 25, 30) द्वारा पसंद किया जाता है। इस तरह,

उदाहरण 3.दो पासों को उछाला जाता है और शीर्ष फलक पर अंकों के योग की गणना की जाती है। घटना B की प्रायिकता इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि पासे के शीर्ष फलक पर कुल 9 अंक हों।

समाधान।इस परीक्षण में केवल 6 2 = 36 समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणाम हैं। घटना बी को 4 परिणामों द्वारा समर्थन दिया गया है: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), इसलिए

उदाहरण 4. यादृच्छिक रूप से चयनित प्राकृतिक संख्या, 10 से अधिक नहीं। क्या प्रायिकता है कि यह संख्या अभाज्य है?

समाधान।आइए हम घटना "चयनित संख्या अभाज्य है" को अक्षर C से निरूपित करें। इस स्थिति में, n = 10, m = 4 (अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7)। इसलिए, आवश्यक संभाव्यता

उदाहरण 5.दो सममित सिक्के उछाले जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों सिक्कों के ऊपरी भाग पर संख्याएँ हैं?

समाधान।आइए हम घटना को अक्षर D से निरूपित करें "प्रत्येक सिक्के के शीर्ष पर एक संख्या है।" इस परीक्षण में 4 समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणाम हैं: (जी, जी), (जी, सी), (सी, जी), (सी, सी)। (नोटेशन (जी, सी) का मतलब है कि पहले सिक्के पर हथियारों का एक कोट है, दूसरे पर एक नंबर है)। इवेंट डी को एक प्रारंभिक परिणाम (सी, सी) का समर्थन प्राप्त है। चूँकि m = 1, n = 4, तो

उदाहरण 6.इसकी क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई दो अंकों की संख्या में समान अंक हों?

समाधान।दो अंकों वाली संख्याएँ 10 से 99 तक की संख्याएँ हैं; ऐसी कुल 90 संख्याएँ हैं। वही संख्याएँ 9 संख्याएँ हैं (ये संख्याएँ 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 हैं)। चूँकि इस मामले में m = 9, n = 90, तो
,
जहां A "समान अंकों वाली संख्या" घटना है।

उदाहरण 7.शब्द के अक्षरों से अंतरएक अक्षर यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह अक्षर होगा: a) एक स्वर, b) एक व्यंजन, c) एक अक्षर एच?

समाधान. अंतर शब्द में 12 अक्षर हैं, जिनमें 5 स्वर और 7 व्यंजन हैं। पत्र एचइस शब्द में कोई नहीं है. आइए घटनाओं को निरूपित करें: ए - "स्वर अक्षर", बी - "व्यंजन अक्षर", सी - "अक्षर"। एच"। अनुकूल प्रारंभिक परिणामों की संख्या: - घटना ए के लिए, - घटना बी के लिए, - घटना सी के लिए। चूंकि एन = 12, तो
, और ।

उदाहरण 8.दो पासे उछाले जाते हैं और प्रत्येक पासे के शीर्ष पर अंकों की संख्या नोट की जाती है। दोनों पासों पर समान अंक दर्शाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए इस घटना को अक्षर ए से निरूपित करें। घटना ए को 6 प्राथमिक परिणाम पसंद हैं: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). समान रूप से संभावित प्राथमिक परिणामों की कुल संख्या जो घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती है, इस मामले में n=6 2 =36। इसका मतलब है कि आवश्यक संभावना

उदाहरण 9.किताब में 300 पेज हैं. इसकी क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से पेज खोलेंक्या कोई क्रमांक 5 से विभाज्य होगा?

समाधान।समस्या की स्थितियों से यह पता चलता है कि सभी समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणाम जो घटनाओं का एक पूरा समूह बनाते हैं, n = 300 होंगे। इनमें से, m = 60 निर्दिष्ट घटना के घटित होने का पक्ष लेते हैं। दरअसल, एक संख्या जो 5 का गुणज है, उसका रूप 5k है, जहां k एक प्राकृतिक संख्या है, और, जहां से . इस तरह,
, जहां A - "पेज" ईवेंट की अनुक्रम संख्या है जो 5" का गुणज है।

उदाहरण 10. दो पासों को उछाला जाता है और शीर्ष फलक पर अंकों के योग की गणना की जाती है। अधिक संभावना क्या है - कुल 7 या 8 प्राप्त करने की?

समाधान. आइए घटनाओं को निरूपित करें: ए - "7 अंक लुढ़के", बी - "8 अंक लुढ़के"। घटना A को 6 प्रारंभिक परिणामों द्वारा समर्थन दिया गया है: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), और घटना B को समर्थन दिया गया है 5 परिणामों से: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)। सभी समान रूप से संभव प्रारंभिक परिणाम n = 6 2 = 36 हैं। इसलिए, और ।

तो, P(A)>P(B), यानी, कुल 7 अंक प्राप्त करना कुल 8 अंक प्राप्त करने की तुलना में अधिक संभावित घटना है।

कार्य

1. 30 से अधिक नहीं होने वाली एक प्राकृतिक संख्या को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, इसकी क्या संभावना है कि यह संख्या 3 का गुणज है?
2. कलश में एलाल और बीनीली गेंदें, आकार और वजन में समान। इसकी क्या प्रायिकता है कि इस कलश से यादृच्छिक रूप से निकाली गई गेंद नीली होगी?
3. 30 से अधिक नहीं होने वाली एक संख्या को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, इसकी क्या संभावना है कि यह संख्या 30 का भाजक है?
4. कलश में एनीला और बीलाल गेंदें, आकार और वजन में समान। इस कलश से एक गेंद निकालकर अलग रख दी जाती है। यह गेंद लाल निकली. इसके बाद कलश से एक और गेंद निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दूसरी गेंद भी लाल है।
5. 50 से अधिक न होने वाली एक राष्ट्रीय संख्या को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह संख्या अभाज्य है?
6. तीन पासों को उछाला जाता है और शीर्ष फलक पर अंकों के योग की गणना की जाती है। कुल 9 या 10 अंक प्राप्त करने की अधिक संभावना क्या है?
7. तीन पासे उछाले जाते हैं और फेंके गए अंकों का योग निकाला जाता है। कुल 11 (इवेंट ए) या 12 अंक (इवेंट बी) प्राप्त करने की अधिक संभावना क्या है?

जवाब

1. 1/3. 2 . बी/(ए+बी). 3 . 0,2. 4 . (बी-1)/(ए+बी-1). 5 .0,3.6 . पी 1 = 25/216 - कुल 9 अंक प्राप्त करने की संभावना; पी 2 = 27/216 - कुल 10 अंक प्राप्त करने की संभावना; पी 2 > पी 1 7 . पी(ए) = 27/216, पी(बी) = 25/216, पी(ए) > पी(बी)।

प्रशन

1. किसी घटना की प्रायिकता क्या कहलाती है?
2. किसी विश्वसनीय घटना की प्रायिकता क्या है?
3. किसी असंभव घटना की प्रायिकता क्या है?
4. किसी यादृच्छिक घटना की संभावना की सीमाएँ क्या हैं?
5. किसी घटना की प्रायिकता की सीमाएँ क्या हैं?
6. संभाव्यता की किस परिभाषा को शास्त्रीय कहा जाता है?

अर्थशास्त्र में, साथ ही अन्य क्षेत्रों में भी मानवीय गतिविधिया प्रकृति में, हमें लगातार ऐसी घटनाओं से जूझना पड़ता है जिनकी सटीक भविष्यवाणी नहीं की जा सकती। इस प्रकार, किसी उत्पाद की बिक्री की मात्रा मांग पर निर्भर करती है, जो काफी भिन्न हो सकती है, और कई अन्य कारकों पर भी निर्भर करती है जिन्हें ध्यान में रखना लगभग असंभव है। इसलिए, उत्पादन का आयोजन करते समय और बिक्री करते समय, आपको ऐसी गतिविधियों के परिणाम की भविष्यवाणी या तो अपने पिछले अनुभव, या अन्य लोगों के समान अनुभव, या अंतर्ज्ञान के आधार पर करनी होगी, जो काफी हद तक प्रयोगात्मक डेटा पर भी निर्भर करता है।

किसी भी तरह से विचाराधीन घटना का मूल्यांकन करने के लिए, उन स्थितियों को ध्यान में रखना या विशेष रूप से व्यवस्थित करना आवश्यक है जिनमें यह घटना दर्ज की गई है।

प्रश्नगत घटना की पहचान करने के लिए कुछ शर्तों या कार्यों के कार्यान्वयन को कहा जाता है अनुभवया प्रयोग.

इवेंट कहा जाता है यादृच्छिक, यदि अनुभव के परिणामस्वरूप यह घटित हो भी सकता है और नहीं भी।

इवेंट कहा जाता है भरोसेमंद, यदि यह आवश्यक रूप से किसी दिए गए अनुभव के परिणामस्वरूप प्रकट होता है, और असंभव, यदि यह इस अनुभव में प्रकट नहीं हो सकता है।

उदाहरण के लिए, 30 नवंबर को मॉस्को में बर्फबारी एक यादृच्छिक घटना है। दैनिक सूर्योदय को एक विश्वसनीय घटना माना जा सकता है। भूमध्य रेखा पर बर्फबारी एक असंभव घटना मानी जा सकती है।

संभाव्यता सिद्धांत में मुख्य कार्यों में से एक किसी घटना के घटित होने की संभावना का मात्रात्मक माप निर्धारित करने का कार्य है।

घटनाओं का बीजगणित

घटनाओं को असंगत कहा जाता है यदि उन्हें एक ही अनुभव में एक साथ नहीं देखा जा सकता है। इस प्रकार, एक ही समय में बिक्री के लिए एक दुकान में दो और तीन कारों की उपस्थिति दो असंगत घटनाएं हैं।

मात्राइवेंट एक ऐसी घटना है जिसमें इनमें से कम से कम एक घटना घटित होती है

घटनाओं के योग का एक उदाहरण स्टोर में दो उत्पादों में से कम से कम एक की उपस्थिति है।

कामघटनाएँ एक ऐसी घटना है जिसमें इन सभी घटनाओं का एक साथ घटित होना शामिल है

एक घटना जिसमें एक ही समय में एक स्टोर में दो वस्तुओं की उपस्थिति होती है, घटनाओं का एक उत्पाद है: - एक उत्पाद की उपस्थिति, - दूसरे उत्पाद की उपस्थिति।

घटनाएँ घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं यदि उनमें से कम से कम एक का अनुभव में घटित होना निश्चित है।

उदाहरण।जहाजों को प्राप्त करने के लिए बंदरगाह में दो बर्थ हैं। तीन घटनाओं पर विचार किया जा सकता है: - बर्थ पर जहाजों की अनुपस्थिति, - एक बर्थ पर एक जहाज की उपस्थिति, - दो बर्थ पर दो जहाजों की उपस्थिति। ये तीन घटनाएँ घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं।

विलोमदो अद्वितीय संभावित घटनाएँ जो एक संपूर्ण समूह बनाती हैं, कहलाती हैं।

यदि विपरीत घटनाओं में से एक को द्वारा निरूपित किया जाता है, तो विपरीत घटना को आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है।

घटना संभाव्यता की शास्त्रीय और सांख्यिकीय परिभाषाएँ

परीक्षणों (प्रयोगों) के प्रत्येक समान रूप से संभावित परिणाम को प्रारंभिक परिणाम कहा जाता है। इन्हें आमतौर पर अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए, दौड़ता है पासा. पक्षों पर अंकों की संख्या के आधार पर कुल छह प्राथमिक परिणाम हो सकते हैं।

प्रारंभिक परिणामों से आप एक अधिक जटिल घटना बना सकते हैं। इस प्रकार, सम संख्या में अंकों की घटना तीन परिणामों द्वारा निर्धारित होती है: 2, 4, 6।

प्रश्नगत घटना के घटित होने की संभावना का एक मात्रात्मक माप संभाव्यता है।

किसी घटना की संभाव्यता की सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली परिभाषाएँ हैं: क्लासिकऔर सांख्यिकीय.

संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा अनुकूल परिणाम की अवधारणा से जुड़ी है।

परिणाम कहा जाता है अनुकूलकिसी दी गई घटना के घटित होने में इस घटना का घटित होना शामिल है।

उपरोक्त उदाहरण में, विचाराधीन घटना - लुढ़के पक्ष पर सम संख्या में अंक - के तीन अनुकूल परिणाम हैं। इस मामले में, जनरल
संभावित परिणामों की संख्या. तो यहां आप उपयोग कर सकते हैं क्लासिक परिभाषाकिसी घटना की संभावना.

क्लासिक परिभाषाअनुकूल परिणामों की संख्या और संभावित परिणामों की कुल संख्या के अनुपात के बराबर है

घटना की संभावना कहां है, घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या क्या है, कुल गणनासंभावित नतीजे।

सुविचारित उदाहरण में

संभाव्यता की सांख्यिकीय परिभाषा प्रयोगों में किसी घटना के घटित होने की सापेक्ष आवृत्ति की अवधारणा से जुड़ी है।

किसी घटना के घटित होने की सापेक्ष आवृत्ति की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है

प्रयोगों (परीक्षणों) की श्रृंखला में किसी घटना के घटित होने की संख्या कहाँ है?

सांख्यिकीय परिभाषा. किसी घटना की संभावना वह संख्या है जिसके चारों ओर सापेक्ष आवृत्ति प्रयोगों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ स्थिर (सेट) हो जाती है।

व्यावहारिक समस्याओं में, किसी घटना की संभावना को पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षणों के लिए सापेक्ष आवृत्ति के रूप में लिया जाता है।

किसी घटना की संभाव्यता की इन परिभाषाओं से यह स्पष्ट है कि असमानता हमेशा संतुष्ट होती है

सूत्र (1.1) के आधार पर किसी घटना की संभावना निर्धारित करने के लिए, कॉम्बिनेटरिक्स सूत्रों का अक्सर उपयोग किया जाता है, जिनका उपयोग अनुकूल परिणामों की संख्या और संभावित परिणामों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए किया जाता है।