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समाधान तर्कहीन समीकरण.
इस लेख में हम समाधान के बारे में बात करेंगे सरलतम अपरिमेय समीकरण.
अपरिमेय समीकरणएक समीकरण है जिसमें मूल चिन्ह के नीचे एक अज्ञात होता है।
आइए दो प्रकार देखें तर्कहीन समीकरण, जो पहली नज़र में बहुत समान हैं, लेकिन संक्षेप में एक दूसरे से बहुत अलग हैं।
(1)
(2)
पहले समीकरण में हम देखते हैं कि अज्ञात तीसरी डिग्री की जड़ के संकेत के अंतर्गत है। हम किसी ऋणात्मक संख्या का विषम मूल ले सकते हैं, इसलिए इस समीकरण में मूल चिह्न के नीचे के भाव या समीकरण के दाईं ओर के भाव पर कोई प्रतिबंध नहीं है। मूल से छुटकारा पाने के लिए हम समीकरण के दोनों पक्षों को तीसरी घात तक बढ़ा सकते हैं। हमें एक समतुल्य समीकरण मिलता है:
समीकरण के दाएँ और बाएँ पक्षों को एक विषम घात तक बढ़ाने पर, हम बाहरी जड़ें प्राप्त करने से नहीं डर सकते।
उदाहरण 1. आइए समीकरण हल करें 
आइए समीकरण के दोनों पक्षों को तीसरी घात तक बढ़ाएं। हमें एक समतुल्य समीकरण मिलता है:
आइए सभी पदों को एक तरफ ले जाएं और x को कोष्ठक से बाहर रखें:
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है:
उत्तर: (0;1;2)
आइए दूसरे समीकरण को करीब से देखें: . समीकरण के बाईं ओर वर्गमूल है, जो केवल गैर-नकारात्मक मान लेता है। इसलिए, समीकरण के समाधान के लिए दाहिना पक्ष भी गैर-नकारात्मक होना चाहिए। इसलिए आगे दाहिनी ओरसमीकरण में निम्नलिखित शर्त लगाई गई है:
शीर्षक='g(x)>=0"> - это !} जड़ों के अस्तित्व के लिए शर्त.
इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए, आपको समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करना होगा:
(3)
वर्ग करने से बाहरी जड़ें प्रकट हो सकती हैं, इसलिए हमें समीकरणों की आवश्यकता है:
शीर्षक='f(x)>=0"> (4)!}
हालाँकि, असमानता (4) शर्त (3) से अनुसरण करती है: यदि समानता के दाहिने पक्ष में कुछ अभिव्यक्ति का वर्ग होता है, और किसी भी अभिव्यक्ति का वर्ग केवल गैर-नकारात्मक मान ले सकता है, इसलिए बाईं ओर भी गैर- होना चाहिए नकारात्मक। इसलिए, स्थिति (4) स्वचालित रूप से स्थिति (3) और हमारे से अनुसरण करती है समीकरण सिस्टम के बराबर है:
शीर्षक='delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}
उदाहरण 2.आइए समीकरण हल करें:
.
आइए समतुल्य प्रणाली पर चलते हैं:
शीर्षक='delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}
आइए सिस्टम के पहले समीकरण को हल करें और जांचें कि कौन से मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं।
असमानता शीर्षक='1-x>=0">удовлетворяет только корень !}
उत्तर: x=1
ध्यान!यदि हल करने की प्रक्रिया में हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं, तो हमें याद रखना चाहिए कि बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं। इसलिए, आपको या तो एक समतुल्य प्रणाली पर आगे बढ़ना होगा, या समाधान के अंत में, एक जांच करें: जड़ों को ढूंढें और उन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
उदाहरण 3. आइए समीकरण हल करें:
इस समीकरण को हल करने के लिए हमें दोनों पक्षों का वर्ग करना भी आवश्यक है। आइए इस समीकरण में ODZ और जड़ों के अस्तित्व की स्थिति के बारे में चिंता न करें, बल्कि समाधान के अंत में जाँच करें।
आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:
वे समीकरण जिनमें मूल चिन्ह के नीचे एक चर समाहित होता है, अपरिमेय कहलाते हैं।
अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधियाँ आमतौर पर एक अपरिमेय समीकरण को (कुछ परिवर्तनों की सहायता से) एक तर्कसंगत समीकरण से बदलने की संभावना पर आधारित होती हैं जो या तो मूल अपरिमेय समीकरण के बराबर होता है या उसका परिणाम होता है। प्रायः, समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ा दिया जाता है। इससे एक समीकरण उत्पन्न होता है जो मूल समीकरण का परिणाम है।
अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, निम्नलिखित को ध्यान में रखा जाना चाहिए:
1) यदि मूल घातांक एक सम संख्या है, तो मूल अभिव्यक्ति गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए; इस मामले में, मूल का मान भी गैर-नकारात्मक है (सम घातांक वाले मूल की परिभाषा);
2) यदि मूलांक घातांक एक विषम संख्या है, तो मूलांक अभिव्यक्ति कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है; इस मामले में, मूल का चिह्न मूल अभिव्यक्ति के चिह्न से मेल खाता है।
उदाहरण 1।प्रश्न हल करें
आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें।
एक्स 2 - 3 = 1;
आइए -3 को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर ले जाएं और समान पदों की कमी करें।
एक्स 2 = 4;
अपूर्ण प्राप्त हुआ द्विघात समीकरणइसकी दो जड़ें हैं -2 और 2.
आइए मूल समीकरण में चर x के मानों को प्रतिस्थापित करके प्राप्त जड़ों की जाँच करें।
इंतिहान।
जब x 1 = -2 - सत्य:
जब x 2 = -2- सत्य.
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि मूल अपरिमेय समीकरण के दो मूल हैं -2 और 2।
उदाहरण 2.प्रश्न हल करें 
.
इस समीकरण को पहले उदाहरण की तरह उसी विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है, लेकिन हम इसे अलग तरीके से करेंगे।
आइए इस समीकरण का ODZ ज्ञात करें। परिभाषा से वर्गमूलइससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस समीकरण में दो शर्तें एक साथ पूरी होनी चाहिए:
इस स्तर का ODZ: x.
उत्तर: कोई जड़ नहीं.
उदाहरण 3.प्रश्न हल करें 
=+ 2.
इस समीकरण में ODZ ढूँढना एक कठिन कार्य है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:
एक्स 3 + 4एक्स - 1 - 8= एक्स 3 - 1 + 4+ 4एक्स;
=0;
एक्स 1 =1; एक्स 2 =0.
जाँच करने के बाद, हम स्थापित करते हैं कि x 2 =0 एक अतिरिक्त मूल है।
उत्तर: x 1 =1.
उदाहरण 4.समीकरण x = हल करें.
इस उदाहरण में, ODZ को ढूंढना आसान है। इस समीकरण का ODZ: x[-1;).
आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें, और परिणामस्वरूप हमें समीकरण x 2 = x + 1 प्राप्त होता है। इस समीकरण के मूल हैं:
पाई गई जड़ों को सत्यापित करना कठिन है। लेकिन, इस तथ्य के बावजूद कि दोनों जड़ें ODZ से संबंधित हैं, यह दावा करना असंभव है कि दोनों जड़ें मूल समीकरण की जड़ें हैं। इसके परिणामस्वरूप त्रुटि होगी. इस मामले में, अपरिमेय समीकरण दो असमानताओं और एक समीकरण के संयोजन के बराबर है:
x+10 और X 0 और x 2 = x + 1, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है नकारात्मक जड़क्योंकि एक अपरिमेय समीकरण अप्रासंगिक है और इसे त्याग दिया जाना चाहिए।
उदाहरण 5.समीकरण += 7 हल करें.
आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें और समान पदों को घटाएँ, पदों को समीकरण के एक पक्ष से दूसरे पक्ष में स्थानांतरित करें और दोनों पक्षों को 0.5 से गुणा करें। परिणामस्वरूप, हमें समीकरण प्राप्त होता है
= 12, (*) जो मूल का परिणाम है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का फिर से वर्ग करें। हमें समीकरण (x + 5)(20 - x) = 144 प्राप्त होता है, जो मूल समीकरण का परिणाम है। परिणामी समीकरण को x 2 - 15x + 44 =0 के रूप में घटाया जाता है।
इस समीकरण (मूल समीकरण का परिणाम भी) के मूल x 1 = 4, x 2 = 11 हैं। जैसा कि सत्यापन से पता चलता है, दोनों मूल मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
प्रतिनिधि. एक्स 1 = 4, एक्स 2 = 11.
टिप्पणी. समीकरणों का वर्ग करते समय, छात्र अक्सर (*) जैसे समीकरणों में मूल अभिव्यक्तियों को गुणा करते हैं, यानी, समीकरण = 12 के बजाय, वे समीकरण लिखते हैं 
= 12. इससे त्रुटियाँ नहीं होती हैं, क्योंकि समीकरण, समीकरणों के परिणाम हैं। हालाँकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सामान्य स्थिति में, मूल अभिव्यक्तियों का ऐसा गुणन असमान समीकरण देता है।
ऊपर चर्चा किए गए उदाहरणों में, कोई पहले मूलांकों में से किसी एक को समीकरण के दाईं ओर ले जा सकता है। तब समीकरण के बायीं ओर एक मूलांक बचेगा और समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर समीकरण के बायीं ओर एक परिमेय फलन प्राप्त होगा। अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय इस तकनीक (रेडिकल का अलगाव) का उपयोग अक्सर किया जाता है।
उदाहरण 6. समीकरण हल करें-=3.
पहले रेडिकल को अलग करने पर, हमें समीकरण प्राप्त होता है
=+3, मूल के बराबर।
इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है
x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, समीकरण के बराबर
4x - 5 = 3(*). यह समीकरण मूल समीकरण का परिणाम है. समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके, हम समीकरण पर पहुंचते हैं
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - 3x + 3), या
7x 2 - 13x - 2 = 0.
यह समीकरण समीकरण (*) (और इसलिए मूल समीकरण) का परिणाम है और इसकी जड़ें हैं। पहला मूल x 1 = 2 मूल समीकरण को संतुष्ट करता है, लेकिन दूसरा मूल x 2 = नहीं।
उत्तर: एक्स = 2.
ध्यान दें कि यदि हम तुरंत, मूलांकों में से किसी एक को अलग किए बिना, मूल समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गित करते हैं, तो हमें बल्कि बोझिल परिवर्तन करने होंगे।
अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, मूलांकों को अलग करने के अलावा, अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है। आइए अज्ञात को प्रतिस्थापित करने की विधि (सहायक चर पेश करने की विधि) का उपयोग करने के एक उदाहरण पर विचार करें।
अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधियाँ।
प्रारंभिक तैयारीपाठ के लिए: छात्रों को विभिन्न तरीकों से अपरिमेय समीकरणों को हल करने में सक्षम होना चाहिए।
इस पाठ से तीन सप्ताह पहले, छात्रों को होमवर्क नंबर 1 मिलता है: विभिन्न अपरिमेय समीकरणों को हल करें। (छात्र स्वतंत्र रूप से 6 अलग-अलग अपरिमेय समीकरण ढूंढते हैं और उन्हें जोड़े में हल करते हैं।)
इस पाठ से एक सप्ताह पहले, छात्रों को होमवर्क नंबर 2 मिलता है, जिसे वे व्यक्तिगत रूप से पूरा करते हैं।
1. समीकरण हल करेंविभिन्न तरीके।
2. प्रत्येक विधि के फायदे और नुकसान का मूल्यांकन करें।
3. निष्कर्षों को एक तालिका के रूप में रिकॉर्ड करें।
| № पी/पी | रास्ता | लाभ | कमियां |
पाठ मकसद:
शैक्षिक:इस विषय पर छात्रों के ज्ञान का सामान्यीकरण, अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों का प्रदर्शन, छात्रों की शोध परिप्रेक्ष्य से समीकरणों को हल करने की क्षमता।
शैक्षिक:स्वतंत्रता को बढ़ावा देना, दूसरों को सुनने और समूहों में संवाद करने की क्षमता, विषय में रुचि बढ़ाना।
विकासात्मक:तार्किक सोच का विकास, एल्गोरिथम संस्कृति, स्व-शिक्षा कौशल, स्व-संगठन, होमवर्क करते समय जोड़े में काम करना, विश्लेषण करने, तुलना करने, सामान्यीकरण करने और निष्कर्ष निकालने का कौशल।
उपकरण: कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, स्क्रीन, टेबल "अतार्किक समीकरणों को हल करने के नियम", एम.वी. के उद्धरण वाला पोस्टर। लोमोनोसोव "गणित तभी पढ़ाया जाना चाहिए क्योंकि यह दिमाग को व्यवस्थित करता है," कार्ड।
अपरिमेय समीकरणों को हल करने के नियम.
पाठ का प्रकार: पाठ-संगोष्ठी (5-6 लोगों के समूह में काम करें, प्रत्येक समूह में मजबूत छात्र होने चाहिए)।
कक्षाओं के दौरान
मैं . आयोजन का समय
(पाठ के विषय और उद्देश्यों का संचार)
द्वितीय . प्रस्तुति अनुसंधान कार्य"अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधियाँ"
(कार्य उस छात्र द्वारा प्रस्तुत किया गया है जिसने इसे किया है।)
तृतीय . गृहकार्य हल करने की विधियों का विश्लेषण
(प्रत्येक समूह से एक छात्र अपनी प्रस्तावित समाधान विधियों को बोर्ड पर लिखता है। प्रत्येक समूह समाधान विधियों में से एक का विश्लेषण करता है, फायदे और नुकसान का मूल्यांकन करता है, और निष्कर्ष निकालता है। समूहों में छात्र यदि आवश्यक हो तो जोड़ते हैं। समूह का विश्लेषण और निष्कर्ष मूल्यांकन किया जाता है। उत्तर स्पष्ट और पूर्ण होने चाहिए।)
पहली विधि: समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक उठाना और फिर जाँच करना।
समाधान।
आइए समीकरण के दोनों पक्षों का फिर से वर्ग करें:
यहाँ से
इंतिहान:
1. यदिएक्स=42 तो, जिसका अर्थ है संख्या42 समीकरण का मूल नहीं है.
2. यदिएक्स=2, फिर, जिसका अर्थ है संख्या2 समीकरण का मूल है.
उत्तर:2.
| № पी/पी | रास्ता | लाभ | कमियां |
| किसी समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाना | 1. मैं देखता हूँ. दो उपलब्ध हैं। | 1. मौखिक रिकॉर्डिंग. 2. कठिन सत्यापन. |
निष्कर्ष। समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाकर अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, मौखिक रिकॉर्ड रखना आवश्यक है, जो समाधान को समझने योग्य और सुलभ बनाता है। हालाँकि, अनिवार्य सत्यापन कभी-कभी जटिल और समय लेने वाला होता है। इस विधि का उपयोग 1-2 मूलांक वाले सरल अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है।
दूसरी विधि: समतुल्य परिवर्तन।
समाधान:आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:
उत्तर:2.
| № पी/पी | रास्ता | लाभ | कमियां |
| समतुल्य परिवर्तन | 1. मौखिक विवरण का अभाव. 2. कोई सत्यापन नहीं. 3. स्पष्ट तार्किक संकेतन. 4. समतुल्य संक्रमणों का क्रम। | 1. बोझिल रिकॉर्डिंग. 2. किसी सिस्टम और सेट के संकेतों को मिलाते समय आप गलती कर सकते हैं। |
निष्कर्ष। समतुल्य संक्रमणों की विधि का उपयोग करके अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, आपको यह स्पष्ट रूप से जानना होगा कि सिस्टम का चिह्न कब लगाना है और समुच्चय का चिह्न कब लगाना है। रिकॉर्डिंग की बोझिलता और सिस्टम और संयोजन प्रतीकों के विभिन्न संयोजन अक्सर त्रुटियों का कारण बनते हैं। हालाँकि, समतुल्य संक्रमणों का क्रम, मौखिक विवरण के बिना एक स्पष्ट तार्किक संकेतन, जिसे सत्यापन की आवश्यकता नहीं है, इस पद्धति के निर्विवाद फायदे हैं।
तीसरी विधि: कार्यात्मक-ग्राफिकल।
समाधान।
आइए कार्यों पर नजर डालेंऔर.
1. कार्यबेहोश करना; बढ़ रहा है, क्योंकि घातांक एक धनात्मक (पूर्णांक नहीं) संख्या है।
डी(एफ).
आइए मूल्यों की एक तालिका बनाएंएक्सऔरएफ( एक्स).
| 1,5 | 3,5 | |||
| एफ(एक्स) |
2. कार्यबेहोश करना; गिरते हुए।
आइए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजेंडी( जी).
आइए मूल्यों की एक तालिका बनाएंएक्सऔरजी( एक्स).
| जी(एक्स) |
आइए इन फ़ंक्शन ग्राफ़ को एक समन्वय प्रणाली में बनाएं।
फ़ंक्शंस के ग्राफ़ भुज बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैंक्योंकि समारोहएफ( एक्स) बढ़ता है, और कार्यजी( एक्स) घटता है, तो समीकरण का केवल एक ही हल होगा।
उत्तर: 2.
| №पी/पी | रास्ता | लाभ | कमियां |
| कार्यात्मक-ग्राफिक | 1. दृश्यता. 2. जटिल बीजगणितीय परिवर्तन करने और ODZ की निगरानी करने की कोई आवश्यकता नहीं है। 3. आपको समाधानों की संख्या खोजने की अनुमति देता है। | 1. मौखिक रिकॉर्डिंग. 2. सटीक उत्तर पाना हमेशा संभव नहीं होता है, और यदि उत्तर सटीक है, तो सत्यापन की आवश्यकता होती है। |
निष्कर्ष। कार्यात्मक-ग्राफ़िकल विधि दृश्य है और आपको समाधानों की संख्या खोजने की अनुमति देती है, लेकिन इसका उपयोग करना बेहतर होता है जब आप आसानी से विचाराधीन कार्यों के ग्राफ़ बना सकते हैं और सटीक उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। यदि उत्तर अनुमानित है, तो किसी अन्य विधि का उपयोग करना बेहतर है।
चौथी विधि: एक नया वेरिएबल प्रस्तुत करना।
समाधान।आइए हम निरूपित करते हुए नए वेरिएबल्स का परिचय देंहमें सिस्टम का पहला समीकरण प्राप्त होता है
आइए सिस्टम का दूसरा समीकरण बनाएं।
एक चर के लिए:
एक चर के लिए
इसीलिए
हमें इसके संबंध में दो तर्कसंगत समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती हैऔर
वेरिएबल पर लौटना, हम पाते हैं
एक नए वेरिएबल का परिचयसरलीकरण - समीकरणों की एक ऐसी प्रणाली प्राप्त करना जिसमें मूलांक न हों
1. नए वेरिएबल्स के DID को ट्रैक करने की आवश्यकता
2. मूल चर पर लौटने की आवश्यकता
निष्कर्ष। इस पद्धति का उपयोग उन अपरिमेय समीकरणों के लिए सबसे अच्छा किया जाता है जिनमें विभिन्न डिग्री के मूलांक, या मूल चिह्न के नीचे और मूल चिह्न के पीछे समान बहुपद, या मूल चिह्न के नीचे पारस्परिक अभिव्यक्तियाँ शामिल होती हैं।
- तो, दोस्तों, प्रत्येक अतार्किक समीकरण के लिए आपको इसे हल करने का सबसे सुविधाजनक तरीका चुनना होगा: समझने योग्य। सुलभ, तार्किक और सक्षम रूप से डिज़ाइन किया गया। अपना हाथ उठाएँ कि आप में से कौन पसंद करेगा:
1) सत्यापन के साथ समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाने की विधि;
2) समतुल्य परिवर्तनों की विधि;
3) कार्यात्मक-ग्राफिक विधि;
4) एक नया वेरिएबल पेश करने की विधि।
चतुर्थ . व्यावहारिक भाग
(समूहों में कार्य करें। छात्रों के प्रत्येक समूह को एक समीकरण वाला एक कार्ड मिलता है और वे उसे अपनी नोटबुक में हल करते हैं। इस समय, समूह का एक प्रतिनिधि बोर्ड पर एक उदाहरण को हल करता है। प्रत्येक समूह के छात्र उसी उदाहरण को हल करते हैं जैसा कि किसी सदस्य के उनका समूह और बोर्ड पर कार्यों के सही निष्पादन की निगरानी करता है यदि बोर्ड पर उत्तर देने वाला व्यक्ति गलतियाँ करता है, तो जो उन्हें नोटिस करता है वह अपना हाथ उठाता है और पाठ के दौरान, प्रत्येक छात्र को हल करने में मदद करता है अपने समूह द्वारा प्रस्तावित अन्य प्रश्नों को एक नोटबुक में अवश्य लिखें और उन्हें घर पर ही हल करें।)
समूह 1।
समूह 2।
समूह 3.
वी . स्वतंत्र काम
(समूहों में पहले चर्चा होती है और फिर छात्र कार्य पूरा करना शुरू करते हैं। सही समाधानशिक्षक द्वारा तैयार किया गया चित्र स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है।)
छठी . पाठ का सारांश
अब आप जानते हैं कि अतार्किक समीकरणों को हल करने के लिए आपके पास अच्छा सैद्धांतिक ज्ञान, उन्हें अभ्यास में लागू करने की क्षमता, ध्यान, कड़ी मेहनत और बुद्धिमत्ता की आवश्यकता होती है।
पाठ के दौरान समूहों को दिए गए समीकरणों को हल करें।
वैकल्पिक पाठ्यक्रम के लिए पद्धतिगत विकास
"अपरिमेय समीकरणों को हल करने की विधियाँ"
परिचय
प्रस्तावित वैकल्पिक पाठ्यक्रम "तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के तरीके" एक सामान्य शिक्षा स्कूल के 11वीं कक्षा के छात्रों के लिए है और यह विषय-उन्मुख है, जिसका उद्देश्य छात्रों के सैद्धांतिक और व्यावहारिक ज्ञान का विस्तार करना है। वैकल्पिक पाठ्यक्रममाध्यमिक विद्यालय में गणित का अध्ययन करते समय छात्रों द्वारा अर्जित ज्ञान और कौशल पर आधारित।
विशिष्ट तथ्य ये कोर्सयह है कि यह मुख्य रूप से उन छात्रों के लिए है जो अपने गणितीय ज्ञान का विस्तार, गहनता, व्यवस्थितकरण, सामान्यीकरण करना चाहते हैं, और तर्कहीन समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य तरीकों और तकनीकों को सीखना चाहते हैं। कार्यक्रम में ऐसे प्रश्न शामिल हैं जो आंशिक रूप से वर्तमान गणित कार्यक्रमों और गैर-मानक तरीकों से परे हैं जो आपको विभिन्न समस्याओं को अधिक प्रभावी ढंग से हल करने की अनुमति देते हैं।
अधिकांश यूएसई कार्यों के लिए स्नातकों को विभिन्न प्रकार के समीकरणों और उनकी प्रणालियों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों में महारत हासिल करने की आवश्यकता होती है।समीकरणों और समीकरणों की प्रणालियों से संबंधित सामग्री स्कूली गणित पाठ्यक्रम का एक महत्वपूर्ण हिस्सा बनती है। वैकल्पिक पाठ्यक्रम के विषय को चुनने की प्रासंगिकता स्कूल के गणित पाठ्यक्रम में "तर्कहीन समीकरण" विषय के महत्व से निर्धारित होती है और साथ ही, तर्कहीन को हल करने के लिए गैर-मानक तरीकों और दृष्टिकोणों पर विचार करने के लिए समय की कमी से निर्धारित होती है। समीकरण, जो एकीकृत राज्य परीक्षा के समूह "सी" के कार्यों में पाए जाते हैं।
गणित पढ़ाने के मूल कार्य के साथ-साथ, छात्रों की प्रणाली में मजबूत और जागरूक महारत सुनिश्चित करना भी है गणितीय ज्ञानऔर कौशल - यह वैकल्पिक पाठ्यक्रम विषय, विकास में स्थायी रुचि के निर्माण के लिए प्रदान करता है गणितीय क्षमताएँ, छात्रों की गणितीय संस्कृति के स्तर में वृद्धि, एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने और विश्वविद्यालयों में अपनी पढ़ाई जारी रखने का आधार बनाती है।
पाठ्यक्रम का उद्देश्य:
अतार्किक समीकरणों को हल करने में समझ और व्यावहारिक प्रशिक्षण का स्तर बढ़ाएँ;
अपरिमेय समीकरणों को हल करने की तकनीकों और विधियों का अध्ययन करें;
विश्लेषण करने, मुख्य चीज़ को उजागर करने, सामान्यीकरण तकनीकों के आधार पर रचनात्मक खोज के तत्वों को बनाने की क्षमता विकसित करना;
इस विषय पर छात्रों के ज्ञान का विस्तार करें, एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए विभिन्न समस्याओं को हल करने में उनके कौशल में सुधार करें।
पाठ्यक्रम के उद्देश्य:
बीजीय समीकरणों को हल करने की विधियों और तकनीकों के बारे में ज्ञान का विस्तार करना;
कक्षा 10-11 में पढ़ते समय और एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी करते समय ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण;
स्वतंत्र रूप से ज्ञान प्राप्त करने और लागू करने की क्षमता का विकास;
विद्यार्थियों को गणितीय साहित्य से परिचित कराना;
छात्रों की तार्किक सोच, उनकी एल्गोरिथम संस्कृति और गणितीय अंतर्ज्ञान का विकास;
विद्यार्थी की गणितीय संस्कृति में सुधार करना।
वैकल्पिक पाठ्यक्रम कार्यक्रम में तर्कहीन समीकरणों को हल करने और विचाराधीन मुद्दों पर व्यावहारिक कौशल विकसित करने के लिए विभिन्न तरीकों और दृष्टिकोणों का अध्ययन करना शामिल है। कोर्स 17 घंटे तक चलता है।
कार्यक्रम जटिल है, अध्ययन के सामान्य पाठ्यक्रम से आगे निकल जाता है, अमूर्त सोच के विकास को बढ़ावा देता है, और छात्र के संज्ञान के क्षेत्र का विस्तार करता है। साथ ही, यह मौजूदा कार्यक्रमों के साथ उनकी तार्किक निरंतरता बनाए रखता है।
शैक्षिक और विषयगत योजना
№पी/पी
पाठ विषय
घंटों की संख्या
स्वीकार्य मानों की सीमा को ध्यान में रखते हुए समीकरणों को हल करना
को बढ़ाकर अपरिमेय समीकरणों को हल करना प्राकृतिक डिग्री
सहायक चर प्रस्तुत करके समीकरणों को हल करना (प्रतिस्थापन विधि)
तीसरी डिग्री के मूलांक के साथ एक समीकरण को हल करना।
अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय समान परिवर्तन
अपरंपरागत कार्य. एकीकृत राज्य परीक्षा के समूह "सी" की समस्याएं
नियंत्रण के रूप:घरेलू परीक्षण, स्वतंत्र कार्य, निबंध और शोध पत्र।
इस वैकल्पिक पाठ्यक्रम के अध्ययन के परिणामस्वरूप, छात्रों को मानक और गैर-मानक तरीकों और तकनीकों का उपयोग करके विभिन्न अपरिमेय समीकरणों को हल करने में सक्षम होना चाहिए;
मानक अपरिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम में महारत हासिल करें;
गैर-मानक समस्याओं को हल करने के लिए समीकरणों के गुणों का उपयोग करने में सक्षम हो;
समीकरणों को हल करते समय पहचान परिवर्तन करने में सक्षम हो;
किसी एक के विषयों की स्पष्ट समझ हो राज्य परीक्षा, उन्हें हल करने की मुख्य विधियों के बारे में;
गैर-मानक समस्याओं को हल करने के तरीके चुनने में अनुभव प्राप्त करें।
मुख्य हिस्सा।
वे समीकरण जिनमें अज्ञात मात्रा मूल चिह्न के अंतर्गत होती है, कहलाते हैं तर्कहीन.
सबसे सरल अपरिमेय समीकरणों में निम्न प्रकार के समीकरण शामिल होते हैं:
समाधान का मुख्य विचारअपरिमेय समीकरण को परिमेय समीकरण में बदलना शामिल है बीजगणितीय समीकरण, जो या तो मूल अपरिमेय समीकरण के समतुल्य है या उसका परिणाम है। अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, हम हमेशा वास्तविक मूल खोजने की बात करते हैं।
आइए अपरिमेय समीकरणों को हल करने के कुछ तरीकों पर नजर डालें।
1. अनुमेय मानों की सीमा (एपीवी) को ध्यान में रखते हुए अपरिमेय समीकरणों को हल करना।
एक अपरिमेय समीकरण के अनुमेय मूल्यों के क्षेत्र में अज्ञात के वे मूल्य शामिल होते हैं जिनके लिए सम डिग्री के मूलांक के चिह्न के तहत सभी अभिव्यक्तियाँ गैर-नकारात्मक होती हैं।
कभी-कभी ओडीजेड का ज्ञान आपको यह साबित करने की अनुमति देता है कि समीकरण का कोई समाधान नहीं है, और कभी-कभी आपको ओडीजेड से सीधे संख्याओं को प्रतिस्थापित करके समीकरण का समाधान ढूंढने की अनुमति मिलती है।.
उदाहरण 1 . प्रश्न हल करें.
समाधान . इस समीकरण का ODZ ज्ञात करने के बाद, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि मूल समीकरण का ODZ एक एकल-तत्व सेट है. स्थानापन्नएक्स=2वी दिया गया समीकरण, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे किएक्स=2मूल समीकरण का मूल है.
उत्तर : 2 .
उदाहरण 2.
समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि प्रत्येक पर स्वीकार्य मूल्यवेरिएबल दो नहीं का योग है नकारात्मक संख्याएँनकारात्मक नहीं हो सकता.
उदाहरण 3. 
+ 3 = 
.
ओडीजेड:
ODZ समीकरण एक रिक्त समुच्चय है।
उत्तर: समीकरण की कोई जड़ नहीं है।
उदाहरण 4. 3
−4
−
=−(2+
).
ओडीजेड:
ओडीजेड: 
. जाँच करके हम आश्वस्त हैं कि x=1 समीकरण का मूल है।
उत्तर 1।
सिद्ध कीजिए कि समीकरण नहीं है
जड़ें.
1. 
= 0.
2. 
=1.
3. 5
.
4.
+ 
=2.
5.=
.
प्रश्न हल करें।
1. .
2. = 0.
3. 
= 92.
4. = 0.
5. 
+
+(x+3)(2005−x)=0.
2. बी समीकरण के दोनों पक्षों को प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाना , अर्थात्, समीकरण से संक्रमण
(1)
समीकरण के लिए
. (2)
निम्नलिखित कथन सत्य हैं:
1) किसी भी समीकरण के लिए (2) समीकरण (1) का परिणाम है;
2) यदि ( एनएक विषम संख्या है), तो समीकरण (1) और (2)। ) समतुल्य हैं;
3) यदि ( एनएक सम संख्या है), तो समीकरण (2) समीकरण के समतुल्य है
, (3)
और समीकरण (3) समीकरणों के समुच्चय के समतुल्य है
. (4)
विशेष रूप से, समीकरण
(5)
समीकरणों के सेट (4) के बराबर है।
उदाहरण 1. प्रश्न हल करें
.
समीकरण प्रणाली के समतुल्य है
जहाँ से यह इस प्रकार है कि x=1, और मूल दूसरी असमानता को संतुष्ट नहीं करता है। साथ ही, एक सक्षम समाधान के लिए सत्यापन की आवश्यकता नहीं होती है।
उत्तर:एक्स=1.
उदाहरण 2. प्रश्न हल करें।
इस प्रणाली के पहले समीकरण को हल करना, जो समीकरण के समतुल्य है 
, हमें जड़ें मिलती हैं और . हालाँकि, इन मूल्यों पर एक्सअसमानता कायम नहीं है, और इसलिए इस समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।
उत्तर: कोई जड़ नहीं.
उदाहरण 3. प्रश्न हल करें
पहले रेडिकल को अलग करने पर, हमें समीकरण प्राप्त होता है
मूल के समतुल्य.
इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, चूँकि वे दोनों सकारात्मक हैं, हमें समीकरण प्राप्त होता है
,
जो मूल समीकरण का परिणाम है। इस शर्त के तहत इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम समीकरण पर पहुंचते हैं
.
इस समीकरण की जड़ें हैं। पहली जड़ प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करती है, लेकिन दूसरी नहीं।
उत्तर: x=2.
यदि समीकरण में दो या दो से अधिक रेडिकल हैं, तो उन्हें पहले अलग किया जाता है और फिर वर्गित किया जाता है।
उदाहरण 1।
पहले मूलांक को अलग करने पर, हमें दिए गए मूलांक के समतुल्य एक समीकरण प्राप्त होता है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:
आवश्यक परिवर्तन करने के बाद, हम परिणामी समीकरण को वर्गित करते हैं 
जाँच करने के बाद, हम उस पर ध्यान देते हैं
स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के भीतर नहीं है.
उत्तर: 8.
उत्तर: 2
उत्तर: 3; 1.4.
3. कई अपरिमेय समीकरणों को सहायक चर प्रस्तुत करके हल किया जाता है।
अपरिमेय समीकरणों को हल करने का एक सुविधाजनक साधन कभी-कभी एक नया चर पेश करने की विधि है, या "प्रतिस्थापन विधि"यह विधि आमतौर पर तब लागू की जाती है जब समीकरण में। कुछ अभिव्यक्ति बार-बार प्रकट होती है, अज्ञात मात्रा पर निर्भर करता है। तब इस अभिव्यक्ति को किसी नए अक्षर से निरूपित करना और पहले प्रस्तुत अज्ञात के संबंध में समीकरण को हल करने का प्रयास करना और फिर मूल अज्ञात को ढूंढना समझ में आता है।
नए चर का सफल चयन समीकरण की संरचना को अधिक पारदर्शी बनाता है। नया परिवर्तन कभी-कभी स्पष्ट होता है, कभी-कभी कुछ हद तक छिपा हुआ होता है, लेकिन "महसूस" होता है, और कभी-कभी केवल परिवर्तन की प्रक्रिया में "प्रकट" होता है।
उदाहरण 1। 
होने देना 
t>0, फिर
टी = 
,
टी 2 +5टी-14=0,
टी 1 =-7, टी 2 =2. तब t=-7 शर्त t>0 को संतुष्ट नहीं करता है
,
x 2 -2x-5=0,
एक्स 1 =1- 
, एक्स 2 =1+ .
उत्तर 1- ; 1+.
उदाहरण 2.एक अपरिमेय समीकरण हल करें 
प्रतिस्थापन:
उलटा प्रतिस्थापन: /
उत्तर:
उदाहरण 3.प्रश्न हल करें 
.
आइए प्रतिस्थापन करें: , . मूल समीकरण को उस रूप में पुनः लिखा जाएगा, जिससे हम उसे पाते हैं ए = 4बीऔर । इसके बाद, समीकरण के दोनों पक्षों को ऊपर उठाना 
वर्गित करने पर हमें प्राप्त होता है: यहाँ से एक्स= 15. जो कुछ बचा है वह जाँचना है:
- सही!
उत्तर: 15.
उदाहरण 4. प्रश्न हल करें
रखने पर, हमें एक अत्यंत सरल अपरिमेय समीकरण प्राप्त होता है। आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें: .
; 
;
; 
; , .
पाए गए मानों की जाँच करने और उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने से पता चलता है कि यह समीकरण का मूल है, और एक बाहरी मूल है।
मूल चर पर लौटना एक्स, हम एक समीकरण प्राप्त करते हैं, अर्थात, एक द्विघात समीकरण, जिसे हल करने पर हमें दो मूल मिलते हैं:,। दोनों मूल मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
उत्तर: , .
प्रतिस्थापन विशेष रूप से उपयोगी होता है यदि परिणाम के रूप में एक नई गुणवत्ता प्राप्त होती है, उदाहरण के लिए, एक अपरिमेय समीकरण तर्कसंगत में बदल जाता है।
उदाहरण 6. प्रश्न हल करें।
आइए समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें:।
यह देखा जा सकता है कि यदि हम एक नया वेरिएबल पेश करते हैं 
, तो समीकरण रूप ले लेता है 
, बाह्य जड़ कहां है और .
समीकरण से हमें प्राप्त होता है।
उत्तर: , .
उदाहरण 7. प्रश्न हल करें 
.
आइए एक नया वेरिएबल प्रस्तुत करें।
परिणामस्वरूप, मूल अपरिमेय समीकरण द्विघात का रूप ले लेता है
,
जहां से, सीमा को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं। समीकरण को हल करने पर हमें मूल प्राप्त होता है। उत्तर: 2,5.
स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।
1. 
+
=
.
2. 
+
=.
3.
.
5. 
.
4. दो सहायक चर प्रस्तुत करने की विधि।
प्रपत्र के समीकरण 
(यहाँ ए
,
बी
,
सी
,
डी
–
कुछ संख्याएँ एम
,
एन
–
प्राकृतिक संख्याएँ) और कई अन्य समीकरण अक्सर हल किए जा सकते हैं दो सहायक अज्ञातों का परिचय देकर:और, कहां और बाद में संक्रमण तर्कसंगत समीकरणों की समतुल्य प्रणाली.
उदाहरण 1. प्रश्न हल करें।
इस समीकरण के दोनों पक्षों को चौथी शक्ति तक बढ़ाना कुछ भी अच्छा होने का वादा नहीं करता है। यदि हम डालते हैं, तो मूल समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाता है:। चूँकि हमने दो नए अज्ञात प्रस्तुत किए हैं, इसलिए हमें संबंधित एक और समीकरण खोजने की आवश्यकता है यऔर जेड. ऐसा करने के लिए, हम समानताओं को चौथी घात तक बढ़ाते हैं और उस पर ध्यान देते हैं। इसलिए, हमें समीकरणों की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है
वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है:
प्रतिस्थापन के बाद हमारे पास है: या। तब सिस्टम के पास दो समाधान हैं: , ; , , और सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।
यह एक अज्ञात के साथ दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए बना हुआ है
और प्रणाली उनमें से पहला देता है, दूसरा देता है।
उत्तर: , .
उदाहरण 2.
होने देना 
उत्तर: 
5.
तीसरी डिग्री के मूलांक वाले समीकरण।
तीसरी डिग्री के रेडिकल वाले समीकरणों को हल करते समय, सर्वसमिकाओं द्वारा जोड़ का उपयोग करना उपयोगी हो सकता है:
उदाहरण 1।
.
आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों को तीसरी घात तक बढ़ाएं और उपरोक्त पहचान का उपयोग करें:
ध्यान दें कि कोष्ठक में व्यंजक 1 के बराबर है, जो मूल समीकरण से अनुसरण करता है। इसे ध्यान में रखते हुए और समान शर्तें लाते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
आइए कोष्ठक खोलें, समान पद जोड़ें और द्विघात समीकरण को हल करें। इसकी जड़ेंऔर. यदि हम (परिभाषा के अनुसार) मान लें कि ऋणात्मक संख्याओं से विषम मूल भी निकाले जा सकते हैं, तो दोनों प्राप्त संख्याएँ मूल समीकरण का समाधान हैं।
उत्तर:.
6.समीकरण के दोनों पक्षों को उनमें से किसी एक के संयुग्मी व्यंजक से गुणा करना।
कभी-कभी एक अपरिमेय समीकरण को बहुत जल्दी हल किया जा सकता है यदि दोनों पक्षों को एक अच्छी तरह से चुने गए फ़ंक्शन से गुणा किया जाए। बेशक, जब समीकरण के दोनों पक्षों को एक निश्चित फ़ंक्शन से गुणा किया जाता है, तो बाहरी समाधान प्रकट हो सकते हैं, वे स्वयं इस फ़ंक्शन के शून्य बन सकते हैं; इसलिए, प्रस्तावित विधि के लिए परिणामी मूल्यों के अनिवार्य शोध की आवश्यकता है।
उदाहरण 1।प्रश्न हल करें
समाधान:आइए एक फ़ंक्शन चुनें
आइए समीकरण के दोनों पक्षों को चयनित फ़ंक्शन से गुणा करें:
आइए हम समान पद लाएँ और एक तुल्य समीकरण प्राप्त करें
आइए मूल समीकरण जोड़ें और अंतिम समीकरण हमें प्राप्त होता है
उत्तर: .
7. अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय समान परिवर्तन
अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, उपयोग से जुड़े समान परिवर्तनों को लागू करना अक्सर आवश्यक होता है ज्ञात सूत्र. दुर्भाग्य से, ये कार्रवाइयां कभी-कभी समान शक्ति तक बढ़ाने जितनी ही असुरक्षित होती हैं - समाधान प्राप्त या खोए जा सकते हैं।
आइए कई स्थितियों पर नजर डालें जिनमें ये समस्याएं उत्पन्न होती हैं, और जानें कि उन्हें कैसे पहचाना जाए और कैसे रोका जाए।
मैं। उदाहरण 1. प्रश्न हल करें।
समाधान।यह फार्मूला यहां लागू होता है 
.
आपको बस इसके उपयोग की सुरक्षा के बारे में सोचने की जरूरत है। यह देखना आसान है कि इसके बाएँ और दाएँ पक्षों की परिभाषा के अलग-अलग क्षेत्र हैं और यह समानता केवल शर्त के तहत ही सत्य है। इसलिए, मूल समीकरण प्रणाली के समतुल्य है
इस प्रणाली के समीकरण को हल करने पर, हम मूल प्राप्त करते हैं और। दूसरा मूल प्रणाली की असमानताओं के समुच्चय को संतुष्ट नहीं करता है और इसलिए, मूल समीकरण का एक बाहरी मूल है।
उत्तर: -1 .
द्वितीय.अतर्कसंगत समीकरणों को हल करते समय अगला खतरनाक परिवर्तन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है।
यदि आप इस सूत्र का उपयोग बाएँ से दाएँ करते हैं, तो ODZ का विस्तार होता है और आप तृतीय-पक्ष समाधान प्राप्त कर सकते हैं। दरअसल, बाईं ओर दोनों कार्य गैर-नकारात्मक होने चाहिए; और दाईं ओर, उनका उत्पाद गैर-नकारात्मक होना चाहिए।
आइए एक उदाहरण देखें जहां किसी समस्या को सूत्र का उपयोग करके कार्यान्वित किया जाता है।
उदाहरण 2. प्रश्न हल करें।
समाधान।आइए इस समीकरण को गुणनखंड द्वारा हल करने का प्रयास करें
ध्यान दें कि इस क्रिया से समाधान खो गया है, क्योंकि यह मूल समीकरण में फिट बैठता है और अब परिणामी समीकरण में फिट नहीं बैठता है: इसका कोई मतलब नहीं है। इसलिए, इस समीकरण को साधारण वर्ग द्वारा हल करना बेहतर है
इस प्रणाली के समीकरण को हल करने पर, हम मूल प्राप्त करते हैं और। दोनों जड़ें सिस्टम असमानता को संतुष्ट करती हैं।
उत्तर: , .
तृतीय.और भी बहुत कुछ है खतरनाक कार्रवाई- एक सामान्य कारक द्वारा कमी।
उदाहरण 3. प्रश्न हल करें 
.
ग़लत तर्क: समीकरण के दोनों पक्षों को इससे कम करें, हमें मिलता है 
.
इस कृत्य से अधिक खतरनाक और गलत कुछ भी नहीं है। सबसे पहले, मूल समीकरण का उपयुक्त समाधान खो गया था; दूसरे, दो तृतीय-पक्ष समाधान खरीदे गए। इससे पता चलता है कि नए समीकरण का मूल समीकरण से कोई लेना-देना नहीं है! चलिए सही समाधान बताते हैं.
समाधान. आइए सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएं और इसे कारकों में विभाजित करें
.
यह समीकरण सिस्टम के समतुल्य है
जिसका एक अनोखा समाधान है।
उत्तर: 3 .
निष्कर्ष।
वैकल्पिक पाठ्यक्रम के अध्ययन के भाग के रूप में, गैर-मानक समाधान दिखाए जाते हैं जटिल कार्यजो सफलतापूर्वक विकसित होते हैं तर्कसम्मत सोच, कई समाधानों में से वह समाधान ढूंढने की क्षमता जो छात्र के लिए आरामदायक और तर्कसंगत हो। इस पाठ्यक्रम के लिए छात्रों की आवश्यकता है स्वतंत्र काम, छात्रों को अपनी शिक्षा जारी रखने और गणितीय संस्कृति के स्तर में सुधार करने के लिए तैयार करने में मदद करता है।
कार्य में अपरिमेय समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियों, समीकरणों को हल करने के कुछ तरीकों पर चर्चा की गई उच्च डिग्री, जिसका उपयोग एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों को हल करते समय, साथ ही विश्वविद्यालयों में प्रवेश और गणितीय शिक्षा जारी रखते समय अपेक्षित है। अपरिमेय समीकरणों को हल करने के सिद्धांत से संबंधित बुनियादी अवधारणाओं और कथनों की सामग्री भी सामने आई। समीकरणों को हल करने की सबसे सामान्य विधि निर्धारित करने के बाद, हमने मानक और गैर-मानक स्थितियों में इसके उपयोग की पहचान की। इसके अलावा उन पर विचार किया गया सामान्य गलतियाँसमान परिवर्तन करते समय और उन पर काबू पाने के तरीके।
पाठ्यक्रम पूरा करते समय, छात्रों को समीकरणों को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों और तकनीकों में महारत हासिल करने का अवसर मिलेगा, जबकि सैद्धांतिक जानकारी को व्यवस्थित और सामान्य बनाना सीखना, स्वतंत्र रूप से कुछ समस्याओं के समाधान की खोज करना और इसके संबंध में, कई कार्यों और अभ्यासों की रचना करना होगा। इन विषयों पर. जटिल सामग्री के चयन से स्कूली बच्चों को अनुसंधान गतिविधियों में खुद को अभिव्यक्त करने में मदद मिलेगी।
पाठ्यक्रम का सकारात्मक पक्ष एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करने और विश्वविद्यालयों में प्रवेश करते समय अध्ययन की गई सामग्री के छात्रों द्वारा आगे आवेदन की संभावना है।
नकारात्मक पक्षबात यह है कि प्रत्येक छात्र इस पाठ्यक्रम की सभी तकनीकों में महारत हासिल करने में सक्षम नहीं है, भले ही उनमें ऐसा करने की इच्छा हो, क्योंकि अधिकांश समस्याओं को हल करने में कठिनाई होती है।
साहित्य:
शैरगिन आई.एफ. "विश्वविद्यालयों में प्रवेश करने वालों के लिए गणित।" - तीसरा संस्करण, - एम.: बस्टर्ड, 2000।
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चेरकासोव ओ.यू., याकुशेव ए.जी. "अंक शास्त्र: गहन पाठ्यक्रमपरीक्षा की तैयारी।" - 8वां संस्करण, रेव. और अतिरिक्त - एम.:आइरिस, 2003. - (होम ट्यूटर)
बालयान ई.एन. जटिल अभ्यास और विविधताएँ प्रशिक्षण कार्यगणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए। रोस्तोव-ऑन-डॉन: फीनिक्स पब्लिशिंग हाउस, 2004।
स्केनवी एम.आई. "विश्वविद्यालयों में प्रवेश करने वालों के लिए गणित में समस्याओं का संग्रह।" - एम., "हायर स्कूल", 1998।
इगसमैन ओ.एस. "मौखिक परीक्षा में गणित।" - एम., आइरिस, 1999।
एकीकृत राज्य परीक्षा - 2008 - 2012 की तैयारी के लिए परीक्षा सामग्री।
वी.वी. कोचागिन, एम.एन. कोचागिना "एकीकृत राज्य परीक्षा - 2010। गणित।" ट्यूटर" मॉस्को "एनलाइटनमेंट" 2010
वी.ए.गुसेव, ए.जी.मोर्डकोविच “गणित। संदर्भ सामग्री" मॉस्को "ज्ञानोदय" 1988