पाठ का पाठ प्रतिलेख:

यदि अंतरिक्ष में एक बिंदु के माध्यम से तीन जोड़ीदार लंबवत रेखाएं खींची जाती हैं, जिनमें से प्रत्येक पर एक दिशा और एक इकाई खंड चुना जाता है, तो वे कहते हैं कि अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली निर्दिष्ट है।

उन पर चुनी गई दिशाओं वाली सीधी रेखाओं को समन्वय अक्ष कहा जाता है और उन्हें निम्नानुसार नामित किया जाता है: ऑक्स, ओए, ओज़, के अपने नाम हैं: एब्सिस्सा अक्ष, ऑर्डिनेट अक्ष और एप्लिकेट अक्ष, क्रमशः, और उनके आम बात- निर्देशांक की उत्पत्ति. इसे आमतौर पर O अक्षर से दर्शाया जाता है।

संपूर्ण समन्वय प्रणाली को ऑक्सीज़ नामित किया गया है।

यदि निर्देशांक अक्षों Ox और Oy, Oy और Oz, Oz और Ox के माध्यम से विमान खींचे जाते हैं, तो ऐसे विमानों को कहा जाएगा विमानों का समन्वय करेंऔर निरूपित: क्रमशः Оху, Оуz, Оzх।

बिंदु O प्रत्येक निर्देशांक अक्ष को दो किरणों में विभाजित करता है। वह किरण जिसकी दिशा अक्ष की दिशा से मेल खाती है, धनात्मक अर्ध-अक्ष कहलाती है, और दूसरी किरण ऋणात्मक अर्ध-अक्ष कहलाती है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु M संख्याओं के त्रिगुण से जुड़ा होता है, जिन्हें इसके निर्देशांक कहा जाता है। वे समतल पर बिंदुओं के निर्देशांक के समान ही निर्धारित होते हैं।

आइए देखें कि यह कैसे किया जाता है।

आइए हम बिंदु M के माध्यम से निर्देशांक अक्षों के लंबवत तीन तल बनाएं और इन तलों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को क्रमशः भुज, कोटि और अनुप्रयुक्त अक्षों के साथ M₁, M₂ और M₃ द्वारा निरूपित करें।

बिंदु M का पहला निर्देशांक (इसे भुज कहा जाता है और आमतौर पर अक्षर x द्वारा दर्शाया जाता है) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: x = OM₁, यदि M₁ सकारात्मक अर्ध-अक्ष का बिंदु है;

x= - OM₁, यदि M₁ ऋणात्मक अर्ध-अक्ष का बिंदु है; x =0 यदि M₁ बिंदु O के साथ संपाती है।

इसी प्रकार, बिंदु M₂ का उपयोग करके, बिंदु M पर दूसरा निर्देशांक (ऑर्डिनेट) निर्धारित किया जाता है,

और बिंदु M₃ का उपयोग करना - बिंदु M का तीसरा निर्देशांक (अनुप्रयोग) z।

बिंदु M के निर्देशांक बिंदु M (x; y; z) के पदनाम के बाद कोष्ठक में लिखे गए हैं।

याद रखें कि भुज को पहले, कोटि को दूसरे और आवेदक को तीसरे स्थान पर दर्शाया गया है।

आइए चित्र में दिखाए गए बिंदु A, B, C, D, E, F के निर्देशांक ज्ञात करें।

आइए बिंदु A से होकर निर्देशांक अक्षों के लंबवत तीन तल बनाएं, फिर क्रमशः भुज, कोटि और अनुप्रयुक्त अक्षों के साथ इन विमानों के प्रतिच्छेदन बिंदु, बिंदु A के निर्देशांक होंगे। बिंदु A के निर्देशांक हैं: भुज = 9, कोटि = 5, आवेदन = 10 और इसे इस प्रकार लिखा जाता है: ए (9; 5; 10)।

निम्नलिखित बिंदुओं के निर्देशांक इसी प्रकार लिखे गए हैं:

बिंदु बी के निर्देशांक हैं: भुज = 4, कोटि = -3, अनुप्रयुक्त = 6

बिंदु C के निर्देशांक हैं: भुज = 9, कोटि = 0, अनुप्रयुक्त = 0

बिंदु में D निर्देशांक हैं: भुज = 4, कोटि = 0, अनुप्रयुक्त = 5

बिंदु E के निर्देशांक हैं: भुज = 0, कोटि = 8, अनुप्रयुक्त = 0

बिंदु F के निर्देशांक हैं: भुज = 0, कोटि = 0, अनुप्रयुक्त = -3

यदि कोई बिंदु M (x; y; z) निर्देशांक अक्ष पर निर्देशांक तल पर स्थित है, तो इसके कुछ निर्देशांक शून्य के बराबर हैं।

यदि MЄОху (बिंदु M ऑक्सी तल से संबंधित है), तो बिंदु M का अनुप्रयोग शून्य के बराबर है: z=0।

इसी प्रकार, यदि МЄОхz (बिंदु M, Oxz तल से संबंधित है), तो y = 0, और यदि МЄОуz (बिंदु M, Oyz तल से संबंधित है), तो x = 0.

यदि МЄОх (बिंदु M भुज अक्ष पर स्थित है), तो बिंदु M की कोटि और अनुप्रयोग शून्य के बराबर हैं: y=o और z=0। हमारे उदाहरण में, यह बिंदु C है।

यदि МЄОу (बिंदु M कोटि पर स्थित है), तो x=0 और z=0. हमारे उदाहरण में, यह बिंदु E है।

यदि МЄОz (बिंदु M अनुप्रयुक्त अक्ष पर स्थित है), तो x = 0 और y = 0. हमारे उदाहरण में, यह बिंदु F है।

यदि बिंदु M के तीनों निर्देशांक शून्य के बराबर हैं, तो इसका अर्थ है कि M=O (0; 0; 0) निर्देशांक का मूल है।

घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 के चारों शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं: A(0; 0; 0); बी(0; 0; 1); डी(0; 1; 0); ए 1 (1; 0; 0). घन के शेष शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

चूँकि आकृति एक घन है, सभी भुजाएँ एक के बराबर हैं, सभी फलक वर्ग हैं।

बिंदु C ऑक्सी तल से संबंधित है, अर्थात इसका z निर्देशांक शून्य के बराबर है, x निर्देशांक भुजा CD के बराबर है और AB के बराबर है, जिसका अर्थ है कि यह एक के बराबर है, निर्देशांक Y भुजा के बराबर है घन सीबी का, जिसका अर्थ है कि यह एडी के बराबर है और एक के बराबर है।

इसी प्रकार, बिंदु B 1 Oxz समतल से संबंधित है, अर्थात इसका y निर्देशांक शून्य के बराबर है, x निर्देशांक भुजा के बराबर है, x निर्देशांक भुजा A1B1 के बराबर है और AB के बराबर है, जिसका अर्थ है बराबर एक, z निर्देशांक घन B B1 की भुजा के बराबर है, जिसका अर्थ है AA1 के बराबर और एक के बराबर।

बिंदु D 1 ओयज़ तल से संबंधित है, अर्थात इसका x निर्देशांक शून्य के बराबर है, y निर्देशांक पक्ष A 1 D 1 के बराबर है और AD के बराबर है, जिसका अर्थ है कि यह एक के बराबर है, z निर्देशांक बराबर है घन के किनारे A 1 B 1, जिसका अर्थ है कि यह AB के बराबर है और एक के बराबर है।

बिंदु C 1 किसी समतल से संबंधित नहीं है, अर्थात सभी निर्देशांक शून्य से भिन्न हैं, x निर्देशांक पक्ष C 1 D 1 के बराबर है और AB के बराबर है, जिसका अर्थ है कि यह एक के बराबर है, निर्देशांक y है घन B 1 C 1 की भुजा के बराबर है, जिसका अर्थ है कि यह AD के बराबर है और एक के बराबर है, और z निर्देशांक भुजा CC 1 के बराबर है, अर्थात AA 1 और एक के बराबर भी है।

निर्देशांक तलों ऑक्सी, ऑक्सज़, ओयज़ और निर्देशांक अक्षों ऑक्स, ओय, ओज़ पर बिंदु C(; ;) के प्रक्षेपणों के निर्देशांक ज्ञात करें।

1) ऑक्सी तल पर लंब गिराएं - यह CN है, Oxz तल पर - CL, और Oyz समतल पर - रेखा CR।

इस प्रकार, ऑक्सी तल पर बिंदु C का प्रक्षेपण बिंदु N है और इसके निर्देशांक x तीन के शून्य मूल के बराबर, y दो बटे दो के शून्य मूल के बराबर, z शून्य के बराबर है।

ऑक्सज़ विमान पर बिंदु C का प्रक्षेपण बिंदु L है और इसमें निर्देशांक x तीन के शून्य मूल के बराबर है, i शून्य के बराबर, z पाँच के मूल को घटाकर तीन के मूल के बराबर है।

विमान Oyz पर बिंदु C का प्रक्षेपण बिंदु R है और इसके निर्देशांक x शून्य के बराबर है, y दो बटा दो के शून्य मूल के बराबर है, z पांच के मूल के शून्य शून्य मूल के बराबर है।

2) बिंदु N से हम ऑक्स अक्ष पर लंब खींचते हैं - सीधी रेखा NK, और Oy पर - सीधी रेखा NG, और Oz अक्ष पर हम बिंदु R से एक लंब खींचते हैं - यह सीधी रेखा RP है।

ऑक्स अक्ष - बिंदु K पर बिंदु C के प्रक्षेपण में निर्देशांक x तीन के मूल को घटाने के बराबर है, और y और z शून्य के बराबर हैं।

ओए अक्ष पर बिंदु सी का प्रक्षेपण - बिंदु जी में निर्देशांक x और z शून्य के बराबर हैं, i दो बटा दो के मूल को घटाकर बराबर है।

ओज़ अक्ष पर बिंदु सी का प्रक्षेपण - बिंदु पी में निर्देशांक x और y शून्य के बराबर हैं, z पांच के मूल के बराबर शून्य तीन के मूल के बराबर है।

अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति निर्धारित करने के लिए, हम कार्टेशियन आयताकार निर्देशांक (चित्र 2) का उपयोग करेंगे।

अंतरिक्ष में कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली तीन परस्पर लंबवत समन्वय अक्षों OX, OY, OZ द्वारा बनाई गई है। निर्देशांक अक्ष बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे मूल बिंदु कहा जाता है, प्रत्येक अक्ष पर एक सकारात्मक दिशा चुनी जाती है, जो तीरों द्वारा इंगित की जाती है, और अक्षों पर खंडों के लिए माप की एक इकाई होती है। माप की इकाइयाँ आमतौर पर (जरूरी नहीं) सभी अक्षों के लिए समान होती हैं। OX अक्ष को एब्सिस्सा अक्ष (या बस एब्सिस्सा) कहा जाता है, OY अक्ष कोर्डिनेट अक्ष है, और OZ अक्ष एप्लिकेट अक्ष है।

अंतरिक्ष में बिंदु A की स्थिति तीन निर्देशांक x, y और z द्वारा निर्धारित की जाती है। x निर्देशांक खंड OB की लंबाई के बराबर है, y निर्देशांक खंड OC की लंबाई है, z निर्देशांक माप की चयनित इकाइयों में खंड OD की लंबाई है। खंड OB, OC और OD को क्रमशः समतल YOZ, XOZ और XOY के समानांतर एक बिंदु से खींचे गए समतलों द्वारा परिभाषित किया गया है।

x निर्देशांक को बिंदु A का भुज कहा जाता है, y निर्देशांक को बिंदु A का कोटि कहा जाता है, और z निर्देशांक को बिंदु A का अनुप्रयोग कहा जाता है।

प्रतीकात्मक रूप से इसे इस प्रकार लिखा गया है:

या एक सूचकांक का उपयोग करके एक समन्वय रिकॉर्ड को एक विशिष्ट बिंदु से लिंक करें:

एक्स ए , वाई ए , जेड ए ,

प्रत्येक अक्ष को एक संख्या रेखा माना जाता है, यानी उसकी एक सकारात्मक दिशा होती है, और नकारात्मक किरण पर स्थित बिंदु निर्दिष्ट किए जाते हैं नकारात्मक माननिर्देशांक (दूरी ऋण चिह्न के साथ ली जाती है)। अर्थात्, यदि, उदाहरण के लिए, बिंदु B चित्र में जैसा नहीं है - किरण OX पर, लेकिन बिंदु O से विपरीत दिशा में इसकी निरंतरता पर (OX अक्ष के नकारात्मक भाग पर), तो बिंदु का भुज x A ऋणात्मक होगा (दूरी OB घटाकर)। इसी प्रकार अन्य दो अक्षों के लिए भी।

निर्देशांक अक्ष OX, OY, OZ, चित्र में दिखाए गए हैं। 2, दाएं हाथ की समन्वय प्रणाली बनाएं। इसका मतलब यह है कि यदि आप OX अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ YOZ विमान को देखते हैं, तो OZ अक्ष की ओर OY अक्ष की गति दक्षिणावर्त होगी। इस स्थिति को गिम्लेट नियम का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है: यदि गिम्लेट (दाहिने हाथ के धागे वाला पेंच) को ओए अक्ष से ओजेड अक्ष की दिशा में घुमाया जाता है, तो यह ओएक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ आगे बढ़ेगा।

निर्देशांक अक्षों के अनुदिश निर्देशित इकाई लंबाई के सदिशों को निर्देशांक इकाई सदिश कहा जाता है। उन्हें आमतौर पर इस रूप में नामित किया जाता है (चित्र 3)। पदनाम भी है इकाई सदिश समन्वय प्रणाली का आधार बनाते हैं।

दाएँ हाथ की समन्वय प्रणाली के मामले में, मान्य निम्नलिखित सूत्रवैक्टर के वेक्टर उत्पादों के साथ:

किसी स्थान में किसी बिंदु की स्थिति को एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली निश्चित रेखाओं पर उसके प्रक्षेपण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसे मूल बिंदु कहा जाता है। इन प्रक्षेपणों को बिंदु निर्देशांक कहा जाता है, और सीधी रेखाओं को समन्वय अक्ष कहा जाता है।

सामान्य तौर पर, एक समतल पर, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ( एफ़िन सिस्टमनिर्देशांक) बिंदु O (निर्देशांक की उत्पत्ति) और उससे जुड़े सदिश e 1 और e 2 (आधार सदिश) की एक क्रमित जोड़ी द्वारा दिया जाता है जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं। आधार सदिशों की दिशा में मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाओं को किसी दिए गए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के समन्वय अक्ष कहा जाता है। पहला, वेक्टर ई 1 द्वारा निर्धारित, एब्सिस्सा अक्ष (या ऑक्स अक्ष) कहा जाता है, दूसरा कोर्डिनेट अक्ष (या ओए अक्ष) है। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को ही Oe 1 e 2 या ऑक्सी द्वारा दर्शाया जाता है। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली Oe 1 e 2 में बिंदु M (चित्र 1) के कार्टेशियन निर्देशांक को संख्याओं (x, y) की एक क्रमबद्ध जोड़ी कहा जाता है, जो आधार (e 1,) के साथ वेक्टर OM के विस्तार के गुणांक हैं। e 2), अर्थात, x और y ऐसे हैं कि OM = xe 1 + ue 2. संख्या x, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).

यदि दो कार्टेशियन समन्वय प्रणालियाँ Oe 1 e 2 और 0'e' 1 e' 2 को समतल पर पेश किया जाता है ताकि आधार वैक्टर (e' 1, e' 2) आधार वैक्टर (e 1, e 2) के माध्यम से व्यक्त किए जा सकें। सूत्रों द्वारा

ई' 1 = ए 11 ई 1 + ए 12 ई 2, ई' 2 = ए 21 ई 1 + ए 22 ई 2

और कार्टेशियन समन्वय प्रणाली Oe 1 e 2 में बिंदु O' के निर्देशांक (x 0, y 0) हैं, तो कार्टेशियन समन्वय प्रणाली Oe 1 e2 में बिंदु M के निर्देशांक (x, y) और निर्देशांक (x') हैं। , y') कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक ही बिंदु के O'e 1 e' 2 संबंधों से संबंधित हैं

x = a 11 x' + a 21 y' + x 0, y = a 12 x'+ a 22 y'+ y 0.

एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को आयताकार कहा जाता है यदि आधार (ई 1, ई 2) ऑर्थोनॉर्मल है, अर्थात, वेक्टर ई 1 और ई 2 परस्पर लंबवत हैं और उनकी लंबाई एक के बराबर है (वेक्टर ई 1 और ई 2 को ओर्ट्स कहा जाता है) इस मामले में)। एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, बिंदु M के x और y निर्देशांक क्रमशः Ox और Oy अक्षों पर बिंदु M के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के मान हैं। आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्सी में, बिंदु M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) के बीच की दूरी √(x 2 - x 1) 2 + (y 2 -y 1) के बराबर है ) 2

एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्सी से दूसरे आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली O'x'y' में संक्रमण के लिए सूत्र, जिसकी शुरुआत कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्सी का O' O'(x0, y0) है, का रूप है

x = x'cosα - y'sinα + x 0, y = x'sin α + y'cosα + y 0

x = x'cosα + y'sinα + x 0, y = x'sinα - y'cosα + y 0.

पहले मामले में, O'x'y' प्रणाली आधार वैक्टर e 1 को घुमाकर बनाई जाती है; ई 2 कोण α द्वारा और बाद में निर्देशांक O की उत्पत्ति का बिंदु O' पर स्थानांतरण (चित्र 2),

और दूसरे मामले में - आधार वैक्टर ई 1, ई 2 को कोण α द्वारा घुमाकर, वेक्टर ई 1 को ले जाने वाली सीधी रेखा के सापेक्ष वेक्टर ई 2 युक्त अक्ष का बाद का प्रतिबिंब, और मूल ओ को बिंदु ओ पर स्थानांतरित करना ' (चित्र तीन)।

कभी-कभी तिरछी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग किया जाता है, जो आयताकार से भिन्न होती है जिसमें इकाई आधार वैक्टर के बीच का कोण सही नहीं होता है।

अंतरिक्ष में सामान्य कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (एफ़िन समन्वय प्रणाली) को समान रूप से परिभाषित किया गया है: एक बिंदु O निर्दिष्ट किया गया है - निर्देशांक की उत्पत्ति और वैक्टरों का एक क्रमबद्ध ट्रिपल е 1 , е 2 , е 3 (आधार वैक्टर) इससे जुड़ा हुआ है और झूठ नहीं बोल रहा है एक ही विमान में. जैसा कि एक विमान के मामले में, समन्वय अक्ष निर्धारित होते हैं - एब्सिस्सा अक्ष (ऑक्स अक्ष), ऑर्डिनेट अक्ष (ओए अक्ष) और एप्लिकेट अक्ष (ओज़ अक्ष) (चित्रा 4)।

अंतरिक्ष में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को Oe 1 e 2 e 3 (या ऑक्सीज़) द्वारा दर्शाया गया है। निर्देशांक अक्षों के युग्मों से गुजरने वाले तलों को निर्देशांक तल कहा जाता है। अंतरिक्ष में एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को दाएं हाथ कहा जाता है यदि सकारात्मक अर्ध-अक्ष ओज़ पर किसी बिंदु से ऑक्सी विमान को देखते समय ऑक्स अक्ष से ओए अक्ष तक घूर्णन दक्षिणावर्त गति के विपरीत दिशा में किया जाता है; , कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को बाएं हाथ कहा जाता है। यदि आधार सदिश ई 1, ई 2, ई 3 की लंबाई एक के बराबर है और जोड़ीदार लंबवत हैं, तो कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को आयताकार कहा जाता है। समान अभिविन्यास वाले दूसरे आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के सापेक्ष अंतरिक्ष में एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की स्थिति तीन यूलर कोणों द्वारा निर्धारित की जाती है।

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का नाम आर डेसकार्टेस के नाम पर रखा गया है, हालांकि उनके काम "ज्यामिति" (1637) में एक तिरछी समन्वय प्रणाली पर विचार किया गया था, जिसमें बिंदुओं के निर्देशांक केवल सकारात्मक हो सकते थे। 1659-61 के संस्करण में, डच गणितज्ञ आई. गुड्डे के काम को ज्यामिति में जोड़ा गया था, जिसमें पहली बार सकारात्मक और नकारात्मक दोनों समन्वय मूल्यों की अनुमति दी गई थी। स्थानिक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की शुरुआत फ्रांसीसी गणितज्ञ एफ. लाहिरे (1679) द्वारा की गई थी। 18वीं शताब्दी की शुरुआत में, कार्टेशियन निर्देशांक के लिए अंकन x, y, z स्थापित किए गए थे।

एक समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली दो परस्पर लंबवत समन्वय अक्षों द्वारा बनाई जाती है एक्स"एक्सऔर वाई"वाई हे, जिसे मूल बिन्दु कहा जाता है, प्रत्येक अक्ष पर सकारात्मक दिशा चुनी जाती है। में सही तरफासमन्वय प्रणाली में, अक्षों की सकारात्मक दिशा चुनी जाती है ताकि जब अक्ष निर्देशित हो वाई"वाईऊपर, अक्ष एक्स"एक्सदाईं ओर देखा.

निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित चार कोने (I, II, III, IV)। एक्स"एक्सऔर वाई"वाई, निर्देशांक कोण या चतुर्थांश कहलाते हैं (चित्र 1 देखें)।

बिंदु स्थिति एसमतल पर दो निर्देशांकों द्वारा निर्धारित किया जाता है एक्सऔर य. कोआर्डिनेट एक्सखंड की लंबाई के बराबर ओ.बी., समन्वय करें य- खंड की लंबाई ओ.सी. ओ.बी.और ओ.सी.बिंदु से खींची गई रेखाओं द्वारा निर्धारित होते हैं एअक्षों के समानांतर वाई"वाईऔर एक्स"एक्सक्रमश।

कोआर्डिनेट एक्सबिंदु का भुज कहा जाता है ए, समन्वय करें य- बिंदु की कोटि ए. इसे इस प्रकार लिखें: .

अगर बात एनिर्देशांक कोण I में स्थित है, फिर बिंदु एएक सकारात्मक भुज और समन्वय है। अगर बात एनिर्देशांक कोण II में स्थित है, फिर बिंदु एइसमें एक नकारात्मक भुज और एक सकारात्मक समन्वय है। अगर बात एनिर्देशांक कोण III में स्थित है, फिर बिंदु एनकारात्मक भुज और समन्वय है। अगर बात एनिर्देशांक कोण IV में स्थित है, फिर बिंदु एइसमें एक सकारात्मक भुज और एक नकारात्मक कोटि है।

चावल। 2: कार्तीय तल

बिंदु P के कार्तीय आयताकार निर्देशांक सतह परइस बिंदु के एक निश्चित चिह्न (स्केल इकाइयों में व्यक्त) के साथ ली गई दूरियां कहलाती हैं दोपरस्पर लंबवत रेखाएँ - समन्वय अक्ष या, जो समान है, त्रिज्या वेक्टर के प्रक्षेपण आरबिंदु P पर दोपरस्पर लंबवत समन्वय अक्ष।

अंतरिक्ष में आयताकार समन्वय प्रणालीतीन परस्पर लंबवत समन्वय अक्षों द्वारा निर्मित बैल, ओएऔर आउंस. निर्देशांक अक्ष बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं हे, जिसे निर्देशांक की उत्पत्ति कहा जाता है, प्रत्येक अक्ष पर एक सकारात्मक दिशा का चयन किया जाता है, जो तीरों द्वारा इंगित किया जाता है, और अक्षों पर खंडों के लिए माप की एक इकाई होती है। इकाइयाँ आमतौर पर सभी अक्षों के लिए समान होती हैं (जो अनिवार्य नहीं है)। बैल- भुज अक्ष, ओए- कोर्डिनेट अक्ष, आउंस- एप्लिकेटर अक्ष।

अगर अँगूठा दांया हाथदिशा के लिए ले लो एक्स, दिशा की ओर इशारा करते हुए वाई, और दिशा के लिए औसत जेड, तो यह बनता है सहीनिर्देशांक तरीका।

बाएं हाथ की समान उंगलियां बाएं समन्वय प्रणाली बनाती हैं।

दूसरे शब्दों में, अक्षों की सकारात्मक दिशा इसलिए चुनी जाती है ताकि जब अक्ष घूमे बैलवामावर्त 90° तक इसकी धनात्मक दिशा अक्ष की धनात्मक दिशा से मेल खाती है ओए, यदि यह घूर्णन अक्ष की धनात्मक दिशा से देखा जाए आउंस. दाएं और बाएं समन्वय प्रणालियों को संयोजित करना असंभव है ताकि संबंधित अक्ष मेल खाएं।

बिंदु स्थिति एअंतरिक्ष में तीन निर्देशांकों द्वारा निर्धारित किया जाता है एक्स, यऔर जेड. कोआर्डिनेट एक्सखंड की लंबाई के बराबर ओ.बी., समन्वय करें य- खंड की लंबाई ओ.सी., समन्वय करें जेड- खंड की लंबाई ओ.डी.माप की चयनित इकाइयों में. सेगमेंट ओ.बी., ओ.सी.और ओ.डी.बिंदु से खींचे गए विमानों द्वारा निर्धारित किया जाता है एविमानों के समानांतर योज, एक्सओजेडऔर XOYक्रमश। कोआर्डिनेट एक्सबिंदु का भुज कहा जाता है ए, समन्वय करें य- बिंदु की कोटि ए, समन्वय करें जेड- आवेदन बिंदु ए. इसे इस प्रकार लिखें: .

यदि अंतरिक्ष में बिंदु O के माध्यम से हम तीन लंबवत सीधी रेखाएँ खींचते हैं, तो हम उन्हें कहते हैं, आप उन्हें दाईं ओर ले जाते हैं, यदि हम अलग-अलग कटों को नामित करते हैं, तो हमें मिलता है अंतरिक्ष में आयताकार प्रणाली सह-या-दी-नट. सह-या-दी-नैट अक्षों को इस प्रकार नाम दिया गया है: ऑक्स - एब-सीस अक्ष, ओय - या-दी-नैट अक्ष और ओज़ - अप-पीएलआई-कैट अक्ष. को-ऑर-डी-नैट की पूरी व्यवस्था का मतलब ऑक्सीज़ है। इस प्रकार, वहाँ तीन दिखाई देते हैं सह-या-दी-नट-विमान: ऑक्सी, ऑक्सज़, ओयज़।

यहां सह-या-दी-नाट की एक आयताकार प्रणाली में बिंदु बी (4; 3; 5) के निर्माण का एक उदाहरण दिया गया है (चित्र 1 देखें)।

चावल। 1. अंतरिक्ष में बिंदु B का निर्माण

उस बिंदु B का पहला सह-या-दी-टू-बिंदु 4 है, इसीलिए Ox 4 पर-kla-dy-va-em से, हम सीधे pa-ral-lel-but अक्ष Oy पर जाते हैं जब तक कि यह इसके साथ प्रतिच्छेद न हो जाए y से गुजरने वाली सीधी रेखा = 3. इस प्रकार, हमें बिंदु K प्राप्त होता है। यह बिंदु ऑक्सी तल में स्थित है और इसके निर्देशांक K(4;3;0) हैं। अब आपको ओज़ अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा बनाने की आवश्यकता है। और सीधी रेखा, जो ऑक्सी तल में up-pli-ka-toy 5 और pa-ral-lel-na dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram -ma के साथ बिंदु से होकर गुजरती है। उनके री-से-से-चे-एनआईआई पर हमें आवश्यक बिंदु बी मिलता है।

उन बिंदुओं के स्थान पर विचार करें जिनके लिए एक या दो गुणांक 0 के बराबर हैं (चित्र 2 देखें)।

उदाहरण के लिए, बिंदु A(3;-1;0). आपको Oy अक्ष को बाईं ओर मान -1 तक जारी रखना होगा, Ox अक्ष पर बिंदु 3 ढूंढें, और इन मानों से गुजरने वाली रेखाओं के चौराहे पर बिंदु A ढूंढें। इस बिंदु का अनुमानित मान 0 है, जिसका अर्थ है कि यह ऑक्सी तल में स्थित है।

बिंदु C(0;2;0) में एब्स-सीआईएस-सु और अप-प्ली-का-टू 0 है - फ्रॉम-मी-चा-एम नहीं। Or-di-na-ta 2 के बराबर है, जिसका अर्थ है कि बिंदु C केवल Oy-अक्ष पर स्थित है, जो कि फ्लैट स्टे ऑक्सी और Oyz नहीं है।

बिंदु D(-4;0;3) को स्थानांतरित करने के लिए हम ऑक्स अक्ष को शुरुआत से आगे बिंदु -4 तक बढ़ाते हैं। अब हम इस बिंदु से प्रति-पेन-दी-कु-लियार - सीधी, समानांतर-अक्ष ओज़ को एक सीधी, समानांतर अक्ष ऑक्स के साथ प्रति-रे-से-चे-नी तक पुनर्स्थापित करते हैं और ओज़ पर मान 3 से गुजरते हैं। एक्सिस। हमें वर्तमान D(-4;0;3) मिलता है। चूँकि बिंदु का क्रम 0 के बराबर है, इसका मतलब है कि बिंदु D, ऑक्सज़ विमान में स्थित है।

अगला बिंदु E(0;5;-3). Or-di-na-ta अंक 5, a-pli-ka-ta -3, प्रो-वो-डिम सीधी रेखाएं पत्राचार -वें अक्षों पर इन मानों से गुजरती हैं, और उनके चौराहे पर हम बिंदु E(0) प्राप्त करते हैं ;5;-3). इस बिंदु का पहला समन्वय 0 है, जिसका अर्थ है कि यह ओयज़ विमान में स्थित है।

2. वेक्टर निर्देशांक

आइए ऑक्सीज़ अंतरिक्ष में सह-या-दी-नैट की आयताकार प्रणाली को देखें। आइए अंतरिक्ष सह-या-दी-नैट ऑक्सीज़ में एक आयताकार प्रणाली बनाएं। प्रत्येक रैखिक अक्ष पर एक सदिश अर्थात सदिश होता है, किसी वस्तु की लंबाई एक के बराबर होती है। हम एब-सीस अक्ष के इकाई वेक्टर, ऑर-डी-नैट अक्ष के इकाई वेक्टर और अप-पीएल-कैट अक्ष के इकाई वेक्टर को दर्शाते हैं (देखें। चित्र 1)। ये पलकें दाएं हाथ की कुल्हाड़ियों के साथ संरेखित होती हैं, इनकी लंबाई एक ही होती है और ये जोड़े में या-टू-गो-नाल-नी होती हैं - लेकिन प्रति-पेन-दी-कु-लियार-नी। ऐसे ही शतक कहलाते हैं ko-or-di-nat-ny-mi सेंचुरी-टू-रा-मीलया बा-ज़ी-सोम.

चावल। 1. पलकों को तीन सह-या-दी-नाट पलकों में विभाजित करना

एक मेम वेक्टर लें, इसे ना-चा-लो सह-या-दी-नैट में रखें, और इस वेक्टर को तीन निश्चित-प्लानर-झूठे लोगों में विघटित करें - अलग-अलग विमानों में - सेंचुरी-टू-फ्रेम में। ऐसा करने के लिए, आइए बिंदु M के प्रक्षेपण को ऑक्सी तल पर नीचे करें, और सदिशों का समन्वय ज्ञात करें, और। चलो खाते हैं: । हम इनमें से प्रत्येक शताब्दी को अलग-अलग देखते हैं। वेक्टर ऑक्स अक्ष पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि वेक्टर को किसी संख्या से गुणा करने की संपत्ति के अनुसार, इसे कुछ संख्या x पत्नी-से-को-या-दी-नैट-नी वेक्टर-टोर के रूप में दर्शाया जा सकता है। , और पलक की लंबाई लंबाई से ठीक x गुना अधिक है . हम पलकों के साथ भी ऐसा ही करते हैं और, हम पलकों को तीन सह-या-दी-नट पलकों में विभाजित करते हैं -टू-राम:

x, y और z के इस वितरण के गुणांक मांगे गए हैं अंतरिक्ष में को-या-दी-ना-ता-मी शताब्दी-रा।

मौलिक सिद्धांतों पर विचार करें, जो सह-या-दी-ना को खोजने के लिए दिए गए सदियों-खाइयों के सह-या-दी-ऑन के अनुसार प्रस्तुत करते हैं- आप उनके योग और अंतर हैं, जैसे साथ ही किसी दिए गए नंबर के लिए दी गई सदी के सह-या-दी-ना-यू प्रो-इज़-वे-दे-निया।

1) जोड़:

2) यू-ची-ता-नी:

3) किसी संख्या से गुणा: ,

वेक्टर, ना-चा-लो को-रो-गो ना-चा-लोम को-या-दी-नट, ना-ज़ी-वा-एट-स्या के साथ मेल खाता है RADIUS-सेंचुरी-रम।(अंक 2)। वेक्टर - ra-di-us-वेक्टर, जहां x, y और z सह-या -di-nat-nym सेंचुरी-टू-राम के अनुसार इस वेक्टर के वितरण के गुणांक हैं, , । इस मामले में, x, Ox अक्ष पर बिंदु A का पहला सह-ऑप है, y, Oy अक्ष पर बिंदु B का सह-या है, z, Oz अक्ष पर बिंदु C का सह-op -di-na-ta है। . चित्र से यह स्पष्ट है कि ko-or-di-na-you ra-di-us-vek-to-ra one-time-but-yet-sya ko-or-di -on-that-mi अंक एम।

बिंदु A(x1;y1;z1) और बिंदु B(x2;y2;z2) लें (चित्र 3 देखें)। हम एक वेक्टर की कल्पना एक सदी और एक सदी के बीच के अंतर के रूप में करते हैं। इसके अलावा, और - ra-di-us-vek-ry, और उनके सह-या-दी-ना-यू इन सदियों के सह-या-दी-ना-ता-मी कॉन्टसोव के साथ सहयोग करते हैं। तब हम सह-या-दी-ना-यू शताब्दी को सह-या-दी-ना-यू सदी और : के बीच अंतर के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं। इस तरह, को-ऑर-दी-ना-यू सेंचुरी-टू-रा, हम को-ऑर-दी-ना-यू एंड और ना-चा-ला सेंचुरी-टू-रा के माध्यम से विकसित हो सकते हैं।

आइए उदाहरणों पर नजर डालें, जो सदियों के गुणों और सह-या-दी-ना-यू के माध्यम से उनकी अभिव्यक्ति को दर्शाते हैं। एक सदी मेम ले लो, , . हमसे एक शतक मांगा जाता है. इस मामले में, इसे खोजने का मतलब सदी के सह-या-दी-ना-यू को ढूंढना है, जो इसे पूरी तरह से निर्धारित करता है। उनके सह-या-दी-ना-आप की सह-जिम्मेदारी की सौ शताब्दियों के बजाय इसे उसी स्थान पर रखना। चलो खाते हैं:

अब हम संख्या 3 को कोष्ठक में प्रत्येक सह-या-डी-ऑन-दैट से गुणा करते हैं, और 2 के साथ भी ऐसा ही करते हैं:

हमने तीन शताब्दियों का योग प्राप्त किया है, हम उन्हें ऊपर अध्ययन की गई संपत्ति के अनुसार संग्रहीत करते हैं:

उत्तर:

उदाहरण क्रमांक 2.

दिया गया: त्रिकोणीय pi-ra-mi-da AOBC (चित्र 4 देखें)। विमान AOB, AOC और OCB जोड़े में हैं, लेकिन per-pen-di-ku-lyar-ny। OA=3, OB=7, OC=4; एम - सेर.एसी; एन - सेवा ओसी; पी - ग्रे सी.बी.

खोजो: ,,,,,,,।

समाधान: आइए बिंदु O पर एक प्रारंभिक बिंदु के साथ सह-या-दी-नाट ऑक्सीज़ की एक आयताकार प्रणाली का परिचय दें। शर्त के अनुसार, हम अक्षों और से-रे-दी-नी किनारों पर बिंदु ए, बी और सी जानते हैं pi-ra-mi-dy - M, P और N. चित्र के अनुसार -di-na-you vert-shin pi-ra-mi-dy: A(3;0;0), B(0;7; 0), सी(0;0;4).