स्कूल में गणित के पाठों में, आप पहले से ही किसी फ़ंक्शन के सबसे सरल गुणों और ग्राफ़ से परिचित हो चुके हैं y = x 2. आइए अपने ज्ञान का विस्तार करें द्विघात फंक्शन.
अभ्यास 1।
फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं y = x 2. स्केल: 1 = 2 सेमी. ओय अक्ष पर एक बिंदु अंकित करें एफ(0; 1/4). कम्पास या कागज की एक पट्टी का उपयोग करके, बिंदु से दूरी मापें एफकिसी बिंदु पर एमपरवलय. फिर पट्टी को बिंदु M पर पिन करें और इसे उस बिंदु के चारों ओर तब तक घुमाएँ जब तक कि यह लंबवत न हो जाए। पट्टी का सिरा x-अक्ष से थोड़ा नीचे गिरेगा (चित्र .1). पट्टी पर अंकित करें कि यह x-अक्ष से कितनी दूर तक फैली हुई है। अब परवलय पर एक और बिंदु लें और माप दोबारा दोहराएं। पट्टी का किनारा x-अक्ष से कितनी नीचे गिर गया है?
परिणाम:इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप परवलय y = x 2 पर कौन सा बिंदु लेते हैं, इस बिंदु से बिंदु F(0; 1/4) की दूरी उसी बिंदु से भुज अक्ष की दूरी से हमेशा एक ही संख्या से अधिक होगी - 1/4.
हम इसे अलग ढंग से कह सकते हैं: परवलय के किसी भी बिंदु से बिंदु (0; 1/4) की दूरी परवलय के उसी बिंदु से सीधी रेखा y = -1/4 की दूरी के बराबर है। यह अद्भुत बिंदु F(0; 1/4) कहा जाता है केंद्रपरवलय y = x 2, और सीधी रेखा y = -1/4 – स्कूल की संचालिकायह परवलय. प्रत्येक परवलय की एक दिशा और एक फोकस होता है।
परवलय के दिलचस्प गुण:
1. परवलय का कोई भी बिंदु किसी बिंदु से समान दूरी पर होता है, जिसे परवलय का फोकस कहा जाता है, और कुछ सीधी रेखा, जिसे इसकी नियता कहा जाता है।
2. यदि आप समरूपता के अक्ष के चारों ओर एक परवलय को घुमाते हैं (उदाहरण के लिए, ओए अक्ष के चारों ओर परवलय y = x 2), तो आपको एक बहुत ही दिलचस्प सतह मिलेगी जिसे क्रांति का परवलय कहा जाता है।
घूमते बर्तन में तरल की सतह परिक्रमण के परवलयज के आकार की होती है। आप इस सतह को तब देख सकते हैं जब आप चाय के अधूरे गिलास में चम्मच से जोर-जोर से हिलाते हैं और फिर चम्मच को हटा देते हैं।
3. यदि आप क्षितिज के एक निश्चित कोण पर शून्य में एक पत्थर फेंकते हैं, तो वह एक परवलय में उड़ जाएगा (अंक 2)।
4. यदि आप किसी शंकु की सतह को उसके किसी जेनरेटर के समानांतर समतल से काटते हैं, तो क्रॉस सेक्शन के परिणामस्वरूप एक परवलय प्राप्त होगा (चित्र 3).
5. मनोरंजन पार्क में कभी-कभी एक मज़ेदार सवारी होती है जिसे पैराबोलॉइड ऑफ़ वंडर्स कहा जाता है। घूमते हुए परवलय के अंदर खड़े हर व्यक्ति को ऐसा लगता है कि वह फर्श पर खड़ा है, जबकि बाकी लोग किसी तरह चमत्कारिक ढंग से दीवारों को पकड़े हुए हैं।
6. परावर्तक दूरबीनों में, परवलयिक दर्पणों का भी उपयोग किया जाता है: एक दूर के तारे का प्रकाश, एक समानांतर किरण में, दूरबीन दर्पण पर पड़ता हुआ, फोकस में एकत्रित हो जाता है।
7. स्पॉटलाइट में आमतौर पर पैराबोलॉइड के आकार का दर्पण होता है। यदि आप प्रकाश स्रोत को परवलयिक के फोकस पर रखते हैं, तो परवलयिक दर्पण से परावर्तित किरणें एक समानांतर किरण बनाती हैं।
एक द्विघात फलन का रेखांकन
गणित के पाठों में, आपने अध्ययन किया कि फ़ंक्शन y = x 2 के ग्राफ़ से फॉर्म के फ़ंक्शन के ग्राफ़ कैसे प्राप्त करें:
1) y = कुल्हाड़ी 2- ग्राफ y = x 2 को |a| में ओए अक्ष के अनुदिश खींचना टाइम्स (|ए| के साथ)।< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, चावल। 4).
2) वाई = एक्स 2 + एन- ओए अक्ष के अनुदिश n इकाइयों द्वारा ग्राफ़ का बदलाव, और यदि n > 0, तो बदलाव ऊपर की ओर है, और यदि n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) y = (x + m) 2- ऑक्स अक्ष के अनुदिश m इकाइयों द्वारा ग्राफ़ का स्थानांतरण: यदि m< 0, то вправо, а если m >0, फिर बाएँ, (चित्र 5).
4) y = -x 2- ग्राफ़ y = x 2 के ऑक्स अक्ष के सापेक्ष सममित प्रदर्शन।
आइए फ़ंक्शन की साजिश रचने पर करीब से नज़र डालें y = a(x – m) 2 + n.
y = ax 2 + bx + c के रूप का एक द्विघात फलन हमेशा इस रूप में घटाया जा सकता है
y = a(x – m) 2 + n, जहां m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).
आइए इसे साबित करें.
वास्तव में,
y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =
ए(एक्स 2 + 2एक्स · (बी/ए) + बी 2 /(4ए 2) – बी 2 /(4ए 2) + सी/ए) =
A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).
आइए हम नए नोटेशन पेश करें।
होने देना एम = -बी/(2ए), ए एन = -(बी 2 – 4एसी)/(4ए),
तब हमें y = a(x – m) 2 + n या y – n = a(x – m) 2 मिलता है।
आइए कुछ और प्रतिस्थापन करें: मान लीजिए y - n = Y, x - m = X (*)।
तब हमें फलन Y = aX 2 प्राप्त होता है, जिसका ग्राफ एक परवलय है।
परवलय का शीर्ष मूल में है। एक्स = 0; वाई = 0.
शीर्ष के निर्देशांकों को (*) में प्रतिस्थापित करने पर, हम ग्राफ़ के शीर्ष के निर्देशांक y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n प्राप्त करते हैं।
इस प्रकार, एक द्विघात फलन को आलेखित करने के लिए इस प्रकार दर्शाया गया है
y = a(x – m) 2 + n
परिवर्तनों के माध्यम से, आप निम्नानुसार आगे बढ़ सकते हैं:
ए)फ़ंक्शन y = x 2 प्लॉट करें;
बी)ऑक्स अक्ष के अनुदिश m इकाइयों द्वारा और ओय अक्ष के अनुदिश n इकाइयों द्वारा समानांतर अनुवाद द्वारा - परवलय के शीर्ष को मूल से बिंदु तक निर्देशांक (m; n) के साथ स्थानांतरित करें (चित्र 6).
रिकॉर्डिंग परिवर्तन:
y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.
उदाहरण।
परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में फ़ंक्शन y = 2(x – 3) 2 का एक ग्राफ़ बनाएं – 2.
समाधान।
परिवर्तनों की शृंखला:
y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .
इसमें प्लॉटिंग दिखाई गई है चावल। 7.
आप स्वयं द्विघात फलनों को रेखांकन करने का अभ्यास कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, ट्रांसफ़ॉर्मेशन का उपयोग करके एक समन्वय प्रणाली में फ़ंक्शन y = 2(x + 3) 2 + 2 का एक ग्राफ बनाएं। यदि आपके पास कोई प्रश्न है या आप किसी शिक्षक से सलाह लेना चाहते हैं, तो आपके पास आचरण करने का अवसर है ऑनलाइन ट्यूटर के साथ 25 मिनट का निःशुल्क पाठपंजीकरण के बाद. शिक्षक के साथ आगे के काम के लिए, आप वह टैरिफ योजना चुन सकते हैं जो आपके लिए उपयुक्त हो।
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