आइए एक बार फिर से इस डेटा को ग्राफिक रूप से प्रस्तुत करने के लिए पैमाने की पसंद पर चर्चा करें (चित्र 30 देखें)। तापमान अक्ष आपको कितने अतिरिक्त जोखिमों की आवश्यकता है? इस मामले में, मैं उन्हें 2 कोशिकाओं में रखने का प्रस्ताव करता हूं, जिससे निर्देशांक निर्धारित करना आसान हो जाएगा, क्योंकि ऐसे जोखिमों के बीच का अंतराल 10 डिग्री सेल्सियस के अनुरूप होगा, जो बहुत सुविधाजनक है।

लेकिन Y अक्ष पर मैंने प्रत्येक 500 ओम प्रतिरोध के लिए प्रत्येक 5 कोशिकाओं पर निशान लगाए, जिसके कारण कागज क्षेत्र का अधूरा उपयोग हुआ। लेकिन, स्वयं निर्णय करें, यदि आप अक्ष को 6 या 7 कोशिकाओं में विभाजित करते हैं, तो निर्देशांक ढूंढना असुविधाजनक होगा, और यदि 8 कोशिकाएं हैं, तो 2000 ओम के अनुरूप अधिकतम जोखिम अक्ष पर फिट नहीं होगा।

अब हमें सैद्धांतिक वक्र के आकार पर चर्चा करने की आवश्यकता है। आइए पृष्ठ 28 पर प्रयोगशाला कार्य करने के लिए दिशानिर्देश खोलें और सूत्र 3 खोजें, जो तापमान पर अर्धचालक प्रतिरोध की निर्भरता का वर्णन करता है,

बैंड गैप कहां है, बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, एक निश्चित स्थिरांक है जिसमें प्रतिरोध का आयाम है, और अंत में, तापमान है, जिसे केल्विन में व्यक्त किया गया है। आइए एक नई तालिका बनाना शुरू करें। सबसे पहले, आइए तापमान को केल्विन में बदलें। दूसरे, आइए हम न केवल एक नया ग्राफ़ बनाने का कार्य निर्धारित करें, बल्कि बैंड गैप की चौड़ाई खोजने के लिए ग्राफ़ का उपयोग भी करें। ऐसा करने के लिए, हम घातीय निर्भरता का लघुगणक लेते हैं और प्राप्त करते हैं

आइए निरूपित करें , , और . तब हमें एक रैखिक निर्भरता प्राप्त होती है,

जिसे हम ग्राफ पर दर्शाएंगे। हम तालिका 9 में और के मानों के अनुरूप डेटा लिखते हैं।

तालिका 9. तालिका 8 से डेटा की पुनर्गणना।

बिंदु संख्या
टी, के
1/टी, 10 –3 के –1	3,34	3,19	3,00	2,83	2,68	2,54	2,42	2,31	2,21	2,11
एल.एन आर, ओम	7,62	7,51	7,25	7,06	6,99	6,74	6,61	6,56	6,36	6,34

यदि, तालिका 9 के आंकड़ों के अनुसार, हम चित्र 31 में निर्भरता को चित्रित करते हैं, तो सभी प्रयोगात्मक बिंदु एक बड़े खाली स्थान के साथ शीट पर बहुत कम जगह लेंगे। ऐसा क्यों हुआ? क्योंकि X और Y अक्षों के साथ लेबल 0 से शुरू करके रखे गए हैं, हालांकि मान, उदाहरण के लिए, केवल मान से शुरू होते हैं। क्या स्टार्ट लेबल को 0 के बराबर बनाना आवश्यक है? इस प्रश्न का उत्तर वर्तमान कार्यों पर निर्भर करता है। ओबेरबेक पेंडुलम (चित्र 28 देखें) वाले उदाहरण में, निर्देशांक Y=0 वाले बिंदु पर सैद्धांतिक सीधी रेखा के साथ X अक्ष के प्रतिच्छेदन को खोजना बहुत महत्वपूर्ण था, जो मान के अनुरूप था। और इस समस्या में, आपको केवल बैंड गैप की चौड़ाई ज्ञात करने की आवश्यकता है, जो चित्र 31 में सीधी रेखा के ढलान गुणांक के अनुरूप स्थिरांक से संबंधित है, इसलिए लेबल लगाना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है। अक्ष, 0 से प्रारंभ.

तालिका 9 से डेटा का अध्ययन करके और एक सुविधाजनक पैमाने का चयन करके, हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि ग्राफ पेपर के अभिविन्यास को बदलने की जरूरत है, जैसा कि चित्र 32 में दिखाया गया है। चयनित पैमाने का स्वयं अध्ययन करें और सुनिश्चित करें कि यह ग्राफ़ के साथ काम करने के लिए बहुत सुविधाजनक है। एक सैद्धांतिक सीधी रेखा पर (आंख से खींची गई) सर्वोत्तम संभव तरीके सेप्रयोगात्मक बिंदुओं के बीच) हम निर्देशांक और के साथ दो बिंदु A और B रखते हैं। आइए हम सूत्र का उपयोग करके इन बिंदुओं के निर्देशांक के माध्यम से ढलान गुणांक को व्यक्त करें

और अंत में, हम बैंड गैप की गणना करते हैं

युग्मित बिंदु विधि का उपयोग करके, हम समान गुणांक और उसकी त्रुटि की गणना करते हैं, इसके लिए हम तालिका 9 से बिंदुओं के जोड़े पर विचार करते हैं:

1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9 और 7-10।

आइए हम बिंदुओं के इन युग्मों के लिए उनसे गुजरने वाली सीधी रेखाओं के ढलान गुणांक की गणना करें

औसत मूल्य

,

आइए अब बैंड गैप और उसकी त्रुटि की गणना करें।

इस प्रकार हम उत्तर पर पहुंचे

ई.वी

स्वतंत्र काम।

मेरा सुझाव है कि आप अगले वर्चुअल में ग्राफ़ की अपनी गणना, निर्माण और प्रसंस्करण स्वयं करें प्रयोगशाला कार्यकोडनाम "स्प्रिंग कठोरता निर्धारित करें"। लेकिन आइए प्रयोग के स्तर को और अधिक बढ़ाएं उच्च स्तर: आपको न केवल एक संख्या प्राप्त करने की आवश्यकता है, बल्कि स्प्रिंग कठोरता को मापने के दो तरीकों की तुलना करने की भी आवश्यकता है - स्थिर और गतिशील।

आइए संक्षेप में इन तरीकों पर नजर डालें।

स्थैतिक विधि.

यदि आप एक निश्चित ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग से द्रव्यमान κ का भार लटकाते हैं, तो हुक के नियम के अनुसार स्प्रिंग खिंचेगा, जहां खिंचे हुए स्प्रिंग की लंबाई है, और बिना खींचे गए स्प्रिंग की लंबाई है (प्रारंभिक लंबाई)।

नोट: हुक का नियम कहता है कि स्प्रिंग का लोचदार बल पूर्ण बढ़ाव के समानुपाती होता है, अर्थात। , स्प्रिंग का लोच गुणांक (या कठोरता) कहां है।

संतुलन की स्थिति में, भार का गुरुत्वाकर्षण बल लोच के बल द्वारा संतुलित होता है और हम लिख सकते हैं। आइए कोष्ठक खोलें और भार के द्रव्यमान पर स्प्रिंग की लंबाई की निर्भरता देखें

यदि आप चरों में परिवर्तन करते हैं, तो आपको एक सीधी रेखा का समीकरण मिलता है। रैखिककरण करने की कोई आवश्यकता नहीं!

तो, आपके सामने तालिका 10 से डेटा को संसाधित करने का कार्य है, जिसे युवा प्रयोगकर्ता ने वहां दर्ज किया था (वह नौ मंजिला इमारत की छत से ईंटें फेंकते-फेंकते थक गया था)। प्रयोगों के लिए, उन्होंने वज़न का एक सेट इकट्ठा किया, एक दर्जन या दो अलग-अलग स्प्रिंग्स पाए और, विभिन्न द्रव्यमानों के वज़न लटकाकर, एक मिलीमीटर शासक का उपयोग करके खींचे गए स्प्रिंग की लंबाई मापी।

अभ्यास 1।

1. तालिका 10 से स्प्रिंग संख्या का चयन करें।

2. दो कॉलम वाली अपनी तालिका बनाएं। पहले कॉलम में, गुरुत्वाकर्षण बल दर्ज करें, जहां भार का द्रव्यमान (किलो में), मी/से 2 है। दूसरे कॉलम में, चयनित स्प्रिंग की लंबाई (मीटर में) स्थानांतरित करें। औसत और के लिए सेल प्रदान करें।

तालिका 10.

एम, जी	एल, सेमी	एल, सेमी	एल, सेमी	एल, सेमी	एल, सेमी	एल, सेमी	एल, सेमी	एल, सेमी	एल, सेमी
	11,8	15,4	17,6	19,4	13,2	15,4	19,6	21,4	11,2
	12,3	16,5	18,3	21,5	14,3	16,5	21,3	22,4	11,7
	13,6	17,6	19,3	21,6	14,8	16,5	22,1	22,6	12,7
	14,1	18,2	21,5	22,1	15,6	17,3	21,5	23,7	13,1
	16,6	22,3	22,5	24,9	17,6	19,9	23,9	25,5	15,4
	21,6	25,6	27,4	29,5	21,4	23,8	27,7	29,9	18,3
	22,5	26,4	28,8	31,4	22,6	24,2	28,8	32,1	19,6
	23,3	27,9	29,4	31,7	23,8	25,6	29,5	31,7	22,1
	26,2	32,1	32,0	34,3	25,5	27,9	31,9	33,6	22,2
	27,8	31,4	33,7	35,3	27,6	29,1	33,2	35,3	23,1

तालिका 10 (जारी)

एम, जी	एल, सेमी	एल, सेमी	एल, सेमी	एल, सेमी	एल, सेमी	एल, सेमी	एल, सेमी	एल, सेमी	एल, सेमी
	15,1	17,1	19,3	11,4	15,3	19,0	10,8	15,2	19,1
	15,6	17,7	19,7	11,6	15,6	19,6	11,5	15,3	19,3
	16,7	18,5	21,2	12,0	16,1	20,4	12,3	16,3	20,2
	17,3	19,3	21,4	12,5	16,5	20,7	12,4	16,7	20,4
	19,4	21,1	23,5	14,9	18,9	22,4	14,2	18,0	21,8
	22,3	24,6	26,3	17,4	21,4	25,8	16,5	20,7	24,4
	23,5	25,6	27,0	18,2	22,3	26,1	17,2	21,6	25,7
	24,4	26,1	28,5	19,4	23,3	27,0	18,4	22,0	26,4
	26,4	28,5	31,1	20,3	24,5	28,6	19,3	23,5	27,3
	27,0	29,0	31,4	21,9	25,8	29,9	20,7	24,7	28,5

3. ग्राफ़ पेपर की एक शीट लें और उस पर निर्देशांक अक्षों को चिह्नित करें। डेटा के अनुसार चयन करें इष्टतमस्प्रिंग की लंबाई पर गुरुत्वाकर्षण की निर्भरता को मापें और प्लॉट करें, एक्स-अक्ष के साथ मानों को और वाई-अक्ष के साथ मानों को प्लॉट करें।

4. बिंदुओं के 7 जोड़े बनाएं: 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9, 7-10. युग्मित बिंदु विधि का उपयोग करके, सूत्र का उपयोग करके 7 ढलान गुणांक की गणना करें

वगैरह।

5. औसत मान ज्ञात करें, जो स्प्रिंग लोच गुणांक के औसत मान से मेल खाता है।

6. खोजें मानक विचलन , विश्वास अंतराल , (चूंकि 7 मान प्राप्त हुए थे)। परिणाम को इस रूप में प्रस्तुत करें

अतिरिक्त कार्य(वैकल्पिक)

7. स्प्रिंग की प्रारंभिक लंबाई की गणना करें। ऐसा करने के लिए, संतुलन समीकरण से गुणांक के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करें और उसमें औसत मान प्रतिस्थापित करें

8. गुणांक के लिए विश्वास अंतराल की गणना करें

9. इसे ध्यान में रखते हुए, स्प्रिंग की प्रारंभिक लंबाई और इसके लिए कॉन्फिडेंस अंतराल की गणना करें

,

गतिशील विधि

आइए एक बड़े भार को एक निश्चित ऊर्ध्वाधर सख्त स्प्रिंग पर लटकाएं और इसे हल्के से नीचे धकेलें। हार्मोनिक दोलन शुरू हो जाएंगे, जिनकी अवधि बराबर होगी (देखें, पृष्ठ 76)। आइए हम भार के द्रव्यमान को दोलन की अवधि के माध्यम से व्यक्त करें

25. अरेखीय स्वचालित नियंत्रण प्रणालियों के रैखिककरण के तरीके।

एनएल सिग्नल के प्रसारण और रूपांतरण के मामले में यह उत्कृष्ट है। रैखिक प्रणालियों से जिसमें तात्कालिक संचरण गुणांक इनपुट सिग्नल के मूल्य पर निर्भर करता है। एसीएस में लिंक शामिल हैं, जिनकी गतिशीलता एनएल अंतर द्वारा वर्णित है। समीकरणों का उल्लेख हैएनएल सिस्टम।

किसी प्रणाली की एनएस-गतिकी का वर्णन गैर-रेखीय विभेदक समीकरणों द्वारा किया जाता है; ये ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें एक गैर-रेखीय विशेषता होती है।

सिस्टम को 2 तत्वों के संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

इसे कम किया जा सकता है:

चैंपियंस लीग

चैंपियंस लीग का वर्णन पोस्ट गुणांक के साथ सामान्य अंतर स्तरों द्वारा किया जाता है।

एनई जड़ता-मुक्त है और इसका आउटपुट मूल्य और इनपुट है। मात्राएँ बीजगणितीय समीकरण से जुड़ी होती हैं। गैर-रैखिकता सिस्टम तत्वों में से किसी एक की स्थिर विशेषताओं की गैर-रैखिकता के कारण होती है।

अरेखीय स्वचालित नियंत्रण प्रणालियों के रैखिककरण के तरीके।

हार्मोनिक रैखिकरण विधि

स्थैतिक रैखिकरण

संयुक्त स्टेट और हार्मोन रैखिककरण

vibrolinearization

हार्मोनिक रैखिककरण विधि.

हार्मोनिक रैखिककरण विधि का सार एक गैर-रेखीय तत्व के इनपुट पर एक आवधिक समाधान ढूंढना है, गैर-रेखीय तत्व के आउटपुट पर सिग्नल को फूरियर श्रृंखला में विघटित करना और आउटपुट सिग्नल को उसके पहले हार्मोनिक से बदलना है। यह प्रतिस्थापन मान्य है यदि सिस्टम या एलसी एक कम-पास फ़िल्टर है, यानी। उच्च हार्मोनिक्स को दबा देता है।

रैखिककरण के परिणामस्वरूप, गैर-रेखीय सांख्यिकी विशेषता को गुणांक के साथ एक समतुल्य रैखिक लिंक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है

और हिस्टैरिसीस विशेषताओं (लूप) के लिए मूल्यकिलोग्राम हमेशा नकारात्मक हो जाता है, अर्थात्। एक नकारात्मक चिह्न वाला व्युत्पन्न समीकरण में पेश किया जाता है और यह व्युत्पन्न लिंक के संचालन में देरी देता है। इस प्रकार की रैखिकता को हार्मोनिक कहा जाता है क्योंकि यह हार्मोनिक घटकों में गैर-रैखिक कंपन के अपघटन से जुड़ा है।

के / जी और के जी नॉनलाइन लिंक के हार्मोनिक लाभ गुणांक।

हार्मोनिक रैखिकता और पारंपरिक रैखिकता के बीच अंतर:

हार्मोनिक रैखिककरण के साथ, गैर-रेखीय विशेषता को एक सीधी रेखा से बदल दिया जाता है, जिसका ढलान इनपुट सिग्नल के आयाम पर निर्भर करता है।

हानि रैखिककरण एक गैर-रैखिक के बजाय एक रैखिक लिंक प्राप्त करना संभव बनाता है, प्रवर्धन किटजो एक पर निर्भर करता है.

हानि रैखिकता स्वचालित प्रणालियों के रैखिक सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करके स्वचालित स्व-चालित बंदूकों के गुणों को निर्धारित करना संभव बनाती है।

स्थैतिक रैखिककरण।

यह विधि स्थिर मामलों में नॉनलाइन सिस्टम की सटीकता का एक अनुमानित अध्ययन है।

उदाहरण के तौर पर, आइए संतृप्ति प्रकार के आंकड़ों के साथ एक नॉनलाइन लिंक लें।

मान लीजिए कि इनपुट एक स्थिर मामला है। संकेत.

एक्स (टी )= एम एक्स + एक्स 0 (टी )

Y(t)=m y +y 0 (t)

स्टेट लाइन का कार्य एक रैखिक लिंक ढूंढना है जो समान इनपुट सिग्नल उत्पन्न करता हैएक्स(टी ) आउटपुट सिग्नल = गैर-रेखीय लिंक का समतुल्य आउटपुट सिग्नल, इस मामले में यह आवश्यक है कि समतुल्य सिग्नल जितना संभव हो उतना करीब होआप(टी).

रैखिककरण की सटीकता इस बात पर निर्भर करती है कि तुलना के लिए कौन सा मानदंड चुना गया है y eq और y .

2 तुलना मानदंड हैं y eq और y :

1. पहली विधि के अनुसार निम्नलिखित स्थितियों के आधार पर रैखिककरण किया जाता है

यदि पहली शर्त पूरी हो जाती है, तो इनपुट सिग्नल के दिए गए नियतात्मक घटक को प्रसारित करने के मामले में रैखिक लिंक पूरी तरह से मूल गैर-रेखीय लिंक के बराबर होगा। दूसरी शर्त का अर्थ इनपुट सिग्नल के किरण-केंद्रित घटक के संचरण के संबंध में तुल्यता है। इस तथ्य के कारण कि फैलाव मामले की मात्राओं के वितरण के कानून को पूरी तरह से निर्धारित नहीं करता है, समतुल्य रैखिक लिंक के स्तर की पसंद केवल फैलाव के आधार पर दिए गए सांख्यिकीय रैखिककरण की त्रुटि निर्धारित करती है।

2. अंतर के रैखिककरण पर आधारित

के-स्टेट रैखिकता:

संयुक्त स्थैतिक और हार्मोनिक रैखिककरण।

वह स्थिति जब सिस्टम में स्व-दोलन मौजूद होते हैं और सिस्टम के इनपुट पर प्रभाव का मामला लागू होता है:

f(t)=m f +f 0 (t)

x(t)=m x +x 0 (t)+a*sin w a t

सुपरपोज़िशन सिद्धांत की अनुपयुक्तता के कारण, सभी 3 घटकों की उपस्थिति को ध्यान में रखना आवश्यक है, इसके लिए एक संयुक्त स्टेट और हार्मोनिक लाइन को लागू करना आवश्यक है, जिसके परिणामस्वरूप आउटपुट सिग्नल है:

संरचना के बाद सममित नॉनलिन स्टेट विशेषताओं के मामले में

m y = y 0 = k сг0 mx

ये 4 इकाइयाँ हार्मोनिक्स और स्टेट लीनियरिटी के आकार के अनुसार निर्धारित की जाती हैं। ये घटक पहले से ही 4 घटकों पर निर्भर होंगे (एम एक्स, एस एक्स, ए, डब्ल्यू ए)

सिस्टम का अध्ययन करते समयएम एक्स, एस एक्स, ए, डब्ल्यू ए - दोलन घटक और रचनाओं के मामले के लिए समीकरणों के संयुक्त समाधान द्वारा निर्धारित किया जाता है।

स्टेट और हार्मोनिक लीनियराइजेशन का एक साथ उपयोग करके, आप दो समस्याओं को हल कर सकते हैं:

संभावित आत्म-दोलनों के मापदंडों पर बाहरी प्रभावों के प्रभाव का अध्ययन करना संभव है।

sys हार्मोनिक दोलनों की उपस्थिति में मोड के मामले में sys की सटीकता का अध्ययन करना संभव है।

कंपनरेखीकरण।

गैर-रेखीय विशेषताओं (बैकलैश और डेड जोन) की उपस्थिति के प्रभाव को खत्म करने के लिए उपयोग किया जाता है।

जब एक कंपन लाइन को नॉनलाइन लिंक के इनपुट पर लागू किया जाता है, तो एक उच्च-आवृत्ति घटक को निरंतर या धीरे-धीरे बदलते सिग्नल पर लगाया जाता है और इसके परिणामस्वरूप, नॉनलाइन लिंक पोस्ट-घटक को आनुपातिक लिंक के रूप में पास करता है।

आइए रिले सिस्टम के उदाहरण का उपयोग करके कंपन लाइन विधि पर विचार करें:

निर्भरता y 0 = f (x 0), जहां y 0 x 0 पर निर्भर करता है और गैर-रेखीय सांख्यिकी विशेषताओं के रूप से, अर्थात्। परिवर्तनशील प्रभाव की उपस्थिति में, यह तत्व पोस्ट प्रभाव को छोड़ देता हैएक्स 0 सतत क्रिया की एक कड़ी के रूप में।

कंपन रेखा प्रक्रिया को स्वयं एक मॉड्यूलेशन प्रक्रिया के रूप में व्याख्या किया जा सकता है इस उदाहरण मेंरिले एक मॉड्यूलेटर है; उच्च-आवृत्ति प्रभाव एक वाहक आवृत्ति संकेत है, और कम-आवृत्ति इनपुट सिग्नल हैएक्स 0 एक मॉड्यूलेटिंग सिग्नल है. इस मामले में, पीडब्लूएम किया जाता है और मॉड्यूलेटेड सिग्नल का कार्य आउटपुट पल्स की चौड़ाई है और कम-आवृत्ति घटक के विकृत संचरण की स्थिति हैएफ एचएफ / एफ एलएफ >=3

जब एक रिले एक स्वचालित नियंत्रण प्रणाली के भाग के रूप में संचालित होता है, तो आमतौर पर एक कम आवृत्ति वाला सिग्नल होता हैएक्स 0 एक नियंत्रण संकेत का प्रतिनिधित्व करता है और समय के साथ बदलता रहता हैएक्स 0 और सिस्टम में एक संक्रमण प्रक्रिया चल रही है।

एचएफ प्रभाव कंपन लाइन एम.बी. द्वारा किया गया। 3 तरीकों से प्राप्त:

एक बाहरी जनरेटर की मदद से जो गैर-रेखीय तत्व के इनपुट पर मजबूर दोलन बनाता है।

स्व-चालित बंदूकों में स्व-दोलन उत्पन्न करके।

एक स्लाइडिंग मोड बनाकर.

विभेदक समीकरणों को निम्नलिखित विधियों का उपयोग करके रैखिककृत किया जा सकता है:

1. कार्य क्षेत्र के अरेखीय कार्य को टेलर श्रृंखला में विस्तारित किया गया है।

2. ग्राफ़ के रूप में निर्दिष्ट अरेखीय कार्यों को कार्यशील तल में सीधी रेखाओं द्वारा रैखिककृत किया जाता है।

3. आंशिक व्युत्पन्नों को सीधे निर्धारित करने के बजाय, चर को मूल अरेखीय समीकरणों में पेश किया जाता है।

,

. (33)

4. यह विधि न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके गुणांक निर्धारित करने पर आधारित है।

, (34)

कहाँ - वायवीय ड्राइव का समय स्थिरांक;

- वायवीय ड्राइव का संचरण गुणांक;

- वायवीय ड्राइव का अवमंदन गुणांक।

एसीएस तत्वों की आंतरिक संरचना ग्राफ़ के संरचनात्मक आरेखों का उपयोग करके सबसे सरलता से निर्धारित की जाती है। ग्राफ़ में जाने-माने संरचनात्मक आरेखों के विपरीत, चर को समय के रूप में दर्शाया जाता है, और आर्क या तो विशिष्ट लिंक के मापदंडों या स्थानांतरण कार्यों को दर्शाते हैं। उनके बीच एक सम अनुपात है.

मिमी अरेखीय तत्व

पहले अध्याय में चर्चा की गई रैखिककरण विधियाँ तब लागू होती हैं जब एलएसए ऑब्जेक्ट में शामिल गैर-रैखिकता कम से कम एक बार भिन्न होती है या ऑपरेटिंग बिंदु के करीब कुछ पड़ोस की एक छोटी सी त्रुटि के साथ स्पर्शरेखा द्वारा अनुमानित होती है। गैर-रैखिकताओं का एक पूरा वर्ग है जिसके लिए दोनों स्थितियाँ संतुष्ट नहीं हैं। आमतौर पर ये महत्वपूर्ण गैर-रैखिकताएं हैं। इनमें शामिल हैं: पहली तरह के असंततता बिंदुओं के साथ चरणबद्ध, टुकड़े-टुकड़े रैखिक और बहुमूल्यवान कार्य, साथ ही शक्ति और ट्रान्सटेंडेंट कार्य। सिस्टम में तार्किक-बीजगणितीय संचालन के निष्पादन को सुनिश्चित करने वाले कंप्यूटरों के उपयोग ने नई प्रकार की रैखिकताओं को जन्म दिया है, जिन्हें विशेष तर्क का उपयोग करके निरंतर चर के माध्यम से दर्शाया जाता है।

गणितीय रूप से ऐसी गैर-रैखिकताओं का वर्णन करने के लिए, रैखिककरण गुणांक के आधार पर समतुल्य स्थानांतरण फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है, जो किसी दिए गए इनपुट सिग्नल को पुन: उत्पन्न करने की माध्य वर्ग त्रुटि को कम करके प्राप्त किया जाता है। गैर-रैखिकता इनपुट पर आने वाले इनपुट संकेतों का आकार मनमाना हो सकता है। व्यवहार में, हार्मोनिक और यादृच्छिक प्रकार के इनपुट सिग्नल और उनके समय संयोजन सबसे व्यापक हैं। तदनुसार, रैखिककरण विधियों को हार्मोनिक और स्थिर कहा जाता है।

समतुल्य स्थानांतरण कार्यों का वर्णन करने की सामान्य विधि

महत्वपूर्ण गैर-रैखिकताओं का पूरा वर्ग दो समूहों में विभाजित है। पहले समूह में असंदिग्ध गैर-रैखिकताएँ शामिल हैं जिनमें इनपुट के बीच संबंध है और सप्ताहांत वेक्टर सिग्नल केवल स्थैतिक गैर-रैखिकता विशेषता के आकार पर निर्भर करते हैं
.

.

इस मामले में, इनपुट सिग्नल के एक निश्चित रूप के साथ:

.

रैखिकरण मैट्रिक्स का उपयोग करना
आप आउटपुट सिग्नल का अनुमानित मूल्य पा सकते हैं:

.

(42) से यह पता चलता है कि एकल-मूल्यवान गैर-रैखिकता के रैखिककरण गुणांक का मैट्रिक्स वास्तविक मात्रा और उनके समकक्ष स्थानांतरण कार्य हैं:

.

दूसरे समूह में दो-मूल्यवान (बहु-मूल्यवान) गैर-रैखिकताएं शामिल हैं, जिसमें इनपुट और आउटपुट सिग्नल के बीच संबंध न केवल स्थैतिक विशेषता के आकार पर निर्भर करता है, बल्कि इनपुट सिग्नल के इतिहास से भी निर्धारित होता है। इस मामले में, अभिव्यक्ति (42) इस प्रकार लिखी जाएगी:

.

इनपुट आवधिक सिग्नल के इतिहास के प्रभाव को ध्यान में रखने के लिए, हम न केवल सिग्नल को ध्यान में रखेंगे , लेकिन इसके परिवर्तन की दर, अंतर भी .

इनपुट सिग्नल के लिए:

इनपुट सिग्नल का अनुमानित मूल्य होगा:

कहाँ
और
- दो-मूल्यवान गैर-रैखिकताओं के हार्मोनिक रैखिककरण के गुणांक;

- सही हार्मोनिक के साथ दोलन की अवधि;

- हार्मोनिक फ़ंक्शन.

समतुल्य स्थानांतरण फ़ंक्शन:

अधिक सामान्य रूप की गैर-रैखिकताएँ हैं:

,

,

कहाँ
और
- हार्मोनिक रैखिककरण गुणांक;

- हार्मोनिक संख्या.

अवधि के साथ आवधिक रैखिककरण गुणांक के मैट्रिक्स . इसे ध्यान में रखते हुए, दो दो-मूल्यवान गैर-रैखिकताओं के स्थानांतरण फ़ंक्शन को स्थानांतरण फ़ंक्शन के अनुरूप दर्शाया जा सकता है

इसका उपयोग करते हुए, हम एकल-मूल्यवान और दो-मूल्यवान गैर-रैखिकताओं के स्थानांतरण फ़ंक्शन की गणना के लिए एक सामान्यीकृत सूत्र को परिभाषित करेंगे।

असंदिग्ध गैर-रैखिकता के मामले में, रैखिककरण गुणांक का मैट्रिक्स , वेक्टर मापदंडों पर निर्भर करता है
, हम इस तरह से चुनते हैं कि सटीक के बीच वर्ग अंतर के औसत मूल्य को रैखिक बनाया जा सके और बंद करो
इनपुट सिग्नल:

परिवर्तनों, सरलीकरणों, तरकीबों और बढ़ी हुई सतर्कता के बाद, हम मैट्रिक्स की एक प्रणाली के रूप में एक समतुल्य स्थानांतरण फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं:
,
.

,

पर
,
.

.

एकल-मूल्यवान गैर-रैखिकता के लिए रैखिककरण गुणांक निर्धारित करें। जब एक साइनसॉइडल सिग्नल का पहला हार्मोनिक उसके इनपुट पर आता है:

कहाँ
.

.

समीकरण (56) एकल-मूल्यवान गैर-रैखिकता के लिए पहला हार्मोनिक रैखिककरण गुणांक है, यह समतुल्य स्थानांतरण फ़ंक्शन निर्धारित करता है
.

भविष्य में, हम सबसे सरल गैर-रैखिकता के रैखिककरण गुणांक को निर्धारित करने के लिए सूत्र की तुलना करेंगे जब आवधिक संकेतों को उनके इनपुट पर लागू किया जाता है: साइनसॉइडल, त्रिकोणीय, हम परिणामी समकक्ष का उपयोग करने की व्यवहार्यता दिखाएंगे स्थानांतरण कार्य.

आइए हम रैखिकरण गुणांक निर्धारित करें
,
.

,

.

उदाहरण। जब साइनसॉइडल सिग्नल का पहला हार्मोनिक इसके इनपुट पर आता है और इसमें एक इनपुट होता है, तो दो-मूल्य वाली गैर-रैखिकता का रैखिककरण गुणांक निर्धारित करें। मैट्रिक्स सिस्टम (60) से, हम प्राप्त करते हैं:

,

.

इस उदाहरण में, हम इनपुट सिग्नल को इस रूप में लिखते हैं:

,

.

जब दो-मूल्य वाली गैर-रैखिकता के लिए सामान्य समकक्ष फ़ंक्शन है:

. .

हार्मोनिक रैखिककरण (हार्मोनिक संतुलन) की विधि आपको गैर-रेखीय स्वचालित नियंत्रण प्रणालियों में अस्तित्व की स्थितियों और संभावित आत्म-दोलन के मापदंडों को निर्धारित करने की अनुमति देती है। स्व-दोलन सिस्टम के चरण स्थान में सीमा चक्रों द्वारा निर्धारित होते हैं। सीमा चक्र अंतरिक्ष को विभाजित करते हैं (सामान्य तौर पर - बहुआयामी) क्षय और अपसारी प्रक्रियाओं के क्षेत्र में। स्व-दोलन के मापदंडों की गणना के परिणामस्वरूप, किसी दिए गए सिस्टम के लिए उनकी स्वीकार्यता या सिस्टम मापदंडों को बदलने की आवश्यकता के बारे में निष्कर्ष निकाला जा सकता है।

विधि अनुमति देती है:

स्थिरता की स्थितियाँ निर्धारित करना संभव नहीं है रैखिक प्रणाली;

सिस्टम के मुक्त दोलनों की आवृत्ति और आयाम ज्ञात करें;

स्व-दोलन के आवश्यक मापदंडों को सुनिश्चित करने के लिए सुधार सर्किट को संश्लेषित करें;

मजबूर दोलनों की जांच करें और गैर-रेखीय स्वचालित नियंत्रण प्रणालियों में क्षणिक प्रक्रियाओं की गुणवत्ता का मूल्यांकन करें।

हार्मोनिक रैखिककरण विधि की प्रयोज्यता के लिए शर्तें।

1) विधि का उपयोग करते समय यह माना जाता है रेखीयसिस्टम का हिस्सा स्थिर या तटस्थ है।

2) नॉनलीनियर लिंक के इनपुट पर सिग्नल हार्मोनिक सिग्नल के आकार के करीब होता है। इस प्रावधान को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है.

चित्र 1 एक अरेखीय स्वचालित नियंत्रण प्रणाली के ब्लॉक आरेख दिखाता है। सर्किट में श्रृंखला-जुड़े लिंक होते हैं: एक नॉनलाइनियर लिंक y=F(x) और एक रैखिक

जाओ, जिसका वर्णन किया गया है अंतर समीकरण

जब y = F(g - x) = g - x हम रैखिक प्रणाली की गति का समीकरण प्राप्त करते हैं।

आइए मुक्त आवागमन पर विचार करें, अर्थात्। g(t) के लिए º 0. फिर,

ऐसे मामले में जब सिस्टम में स्व-दोलन मौजूद होते हैं, सिस्टम की मुक्त गति आवधिक होती है। समय के साथ गैर-आवधिक गति प्रणाली के एक निश्चित अंतिम स्थिति (आमतौर पर एक विशेष रूप से प्रदान किए गए सीमक पर) पर रुकने के साथ समाप्त होती है।

किसी अरेखीय तत्व के इनपुट पर किसी भी प्रकार के आवधिक सिग्नल के लिए, इसके आउटपुट पर सिग्नल में मौलिक आवृत्ति के अलावा उच्च हार्मोनिक्स शामिल होंगे। यह धारणा कि सिस्टम के नॉनलाइनियर भाग के इनपुट पर सिग्नल को हार्मोनिक माना जा सकता है, यानी,

x(t)@a×sin(wt),

जहां w=1/T, T सिस्टम के मुक्त दोलनों की अवधि है, यह इस धारणा के बराबर है कि सिस्टम का रैखिक भाग प्रभावी रूप से है फिल्टरसिग्नल के उच्च हार्मोनिक्स y(t) = F(x (t)).

सामान्य स्थिति में, जब एक हार्मोनिक सिग्नल x(t) का एक अरेखीय तत्व इनपुट पर कार्य करता है, तो आउटपुट सिग्नल को फूरियर रूपांतरित किया जा सकता है:

फूरियर श्रृंखला गुणांक

.

गणनाओं को सरल बनाने के लिए, हम मानते हैं कि C 0 =0, यानी, फ़ंक्शन F(x) मूल के संबंध में सममित है। ऐसी सीमा आवश्यक नहीं है और यह विश्लेषण द्वारा किया जाता है। गुणांक सी के ¹ 0 की उपस्थिति का मतलब है कि, सामान्य स्थिति में, गैर-रेखीय सिग्नल रूपांतरण परिवर्तित सिग्नल के चरण बदलाव के साथ होता है। विशेष रूप से, यह अस्पष्ट विशेषताओं (विभिन्न प्रकार के हिस्टैरिसीस लूप के साथ) के साथ गैर-रैखिकता में होता है, दोनों देरी और, कुछ मामलों में, चरण अग्रिम.

प्रभावी फ़िल्टरिंग की धारणा का अर्थ है कि सिस्टम के रैखिक भाग के आउटपुट पर उच्च हार्मोनिक्स के आयाम छोटे हैं, अर्थात

इस स्थिति की पूर्ति इस तथ्य से सुगम होती है कि कई मामलों में गैर-रैखिकता आउटपुट पर सीधे हार्मोनिक्स के आयाम पहले हार्मोनिक के आयाम से काफी कम हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, इनपुट पर एक हार्मोनिक सिग्नल के साथ एक आदर्श रिले के आउटपुट पर

y(t)=F(с×sin(wt))=a×sign(sin(wt))

कोई भी हार्मोनिक्स नहीं हैं, और तीसरे हार्मोनिक का आयाम है तीन बारपहले हार्मोनिक के आयाम से कम

चलो यह करते हैं दमन की डिग्री का आकलनएसीएस के रैखिक भाग में सिग्नल के उच्च हार्मोनिक्स। ऐसा करने के लिए, हम कई धारणाएँ बनाएंगे।

1) एसीएस के मुक्त दोलनों की आवृत्ति कटऑफ़ आवृत्ति के लगभग बराबरइसका रैखिक भाग. ध्यान दें कि एक अरेखीय एसीएस के मुक्त दोलनों की आवृत्ति एक रैखिक प्रणाली के मुक्त दोलनों की आवृत्ति से काफी भिन्न हो सकती है, इसलिए यह धारणा हमेशा सही नहीं होती है।

2) आइए हम ACS दोलन सूचकांक को M=1.1 के बराबर लें।

3) कटऑफ फ्रीक्वेंसी (wc) के आसपास के क्षेत्र में LAC का ढलान -20 dB/dec है। एलएसी के इस खंड की सीमाएं संबंधों द्वारा दोलन सूचकांक से संबंधित हैं

4) आवृत्ति w अधिकतम LFC अनुभाग के साथ संयुग्मित है, ताकि w > w अधिकतम पर LAC ढलान शून्य से 40 dB/dec से कम न हो।

5) अरैखिकता - विशेषता y = चिह्न(x) के साथ एक आदर्श रिले ताकि इसके अरैखिकता आउटपुट पर केवल विषम हार्मोनिक्स मौजूद रहें।

तीसरे हार्मोनिक की आवृत्तियाँ w 3 = 3w c, पाँचवीं w 5 = 5w c,

लॉगडब्ल्यू 3 = 0.48+लॉगडब्ल्यू सी,

लॉगडब्ल्यू 5 = 0.7+लॉगडब्ल्यू सी।

आवृत्ति w अधिकतम = 1.91w s, लॉगw अधिकतम = 0.28+lgw s. कोने की आवृत्ति कटऑफ़ आवृत्ति से 0.28 दशक दूर है।

सिस्टम के रैखिक भाग से गुजरने पर सिग्नल के उच्च हार्मोनिक्स के आयाम में कमी तीसरे हार्मोनिक के लिए होगी

एल 3 = -0.28×20-(0.48-0.28)×40 = -13.6 डीबी, यानी 4.8 गुना,

पांचवें के लिए - L 5 = -0.28×20-(0.7-0.28)×40 = -22.4 dB, यानी 13 गुना।

नतीजतन, रैखिक भाग के आउटपुट पर सिग्नल हार्मोनिक के करीब होगा

यह यह मानने के बराबर है कि सिस्टम एक कम-पास फ़िल्टर है।

एमएम की जटिलता के स्तर को कम करने के लिए रैखिककरण सबसे आम तरीका है और यह रैखिक सिद्धांत के अनुप्रयोग के आधार के रूप में कार्य करता है।

किसी भी रैखिकरण का सार है अनुमानितमूल अरैखिक निर्भरता (अरैखिकता) को कुछ से प्रतिस्थापित करना रैखिक निर्भरतासमतुल्यता की एक निश्चित शर्त (मानदंड) के अनुसार। के बीच संभावित तरीकेसबसे अधिक प्रयोग किया जाता है स्पर्शरेखा विधि(एक छोटे से पड़ोस में रैखिककरण दिया गया बिंदु). यह विधि परिवर्तित किए जा रहे संकेतों के प्रकार पर निर्भर नहीं करती है और इसका समान रूप से सफलतापूर्वक उपयोग किया जा सकता है अलगगैर-रैखिकता के प्रकार, जो एक-आयामी और बहु-आयामी हो सकते हैं; जड़ता-मुक्त (स्थिर) और गतिशील।

जड़ता-मुक्त अरेखीयताएँइनपुट मानों के बीच कार्यात्मक संबंध स्थापित करें यू(टी) और बाहर निकलें य(टी) समय के उसी वर्तमान क्षण में टीऔर निर्दिष्ट भी किया जा सकता है ज़ाहिर तौर से(सूत्र, ग्राफ़, टेबल), या उलझाव से(बीजगणितीय समीकरण). पर संरचनात्मक आरेखवे मेल खाते हैं जड़त्वहीन(स्मृति के बिना) अरेखीय कड़ियाँ.

गतिशील गैर-रैखिकताएँगैर-रेखीय अंतर समीकरणों द्वारा गणितीय रूप से वर्णित किया गया है और ब्लॉक आरेखों में उनके अनुरूप है अरेखीय गतिशील लिंक. इस मामले में, आउटपुट मान य(टी) वर्तमान समय में टीएक ही समय में न केवल इनपुट मूल्यों पर निर्भर करते हैं, बल्कि डेरिवेटिव, इंटीग्रल या किसी अन्य मान पर भी निर्भर करते हैं।

स्पर्शरेखा विधि का गणितीय आधार एक निश्चित "रैखिकीकरण बिंदु" के एक छोटे से पड़ोस में टेलर श्रृंखला में एक गैर-रेखीय फ़ंक्शन का विस्तार है, जिसके बाद पहले से ऊपर चर (वृद्धि) के विचलन की डिग्री वाले गैर-रेखीय शब्दों को त्यागना होता है।

हम बाद के सामान्यीकरणों के साथ विशेष मामलों में विधि के सार पर विचार करेंगे।

1) चलो य= एफ(यू) - स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट एक आयामीएक निश्चित बिंदु के आसपास जड़ता-मुक्त गैर-रैखिकता, चिकनी और निरंतर यू=यू*. विश्वास यू=यू*+डी यू;य=य*+डी य, कहाँ य*=एफ(यू*), हम इस फ़ंक्शन के लिए टेलर श्रृंखला को इस रूप में लिखते हैं:

शर्तों को ख़ारिज करना ख़त्म उच्च स्तरलघुता, और केवल D युक्त पदों को छोड़ना यूपहली शक्ति के लिए, हम अनुमानित समानता प्राप्त करते हैं

. (2)

यह अभिव्यक्ति मोटे तौर पर रिश्ते का वर्णन करती है छोटावेतन वृद्धि डी यऔर डी यूजैसा रेखीयनिर्भरता और विचाराधीन मामले में रैखिकरण का परिणाम है। यहाँ कोसमन्वय के साथ बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के कोणीय गुणांक का ज्यामितीय अर्थ है यू=यू*.

कब बहुआयामी nonlinearity य=एफ(यू), कब य={यी}, एफ={एफ मैं) और यू={यू जे) सदिश हैं, इसी प्रकार हमें वह D प्राप्त होता है य=कडी यू. यहाँ क={के आईजे) एक मैट्रिक्स गुणांक है जिसके तत्व के आईजेकार्यों के आंशिक व्युत्पन्न के मूल्यों के रूप में परिभाषित किया गया है एफ मैंचर द्वारा यू जे, "बिंदु" पर गणना की गई यू=तुम*.

2. जड़त्व रहित अरैखिकता दी जाए उलझाव सेका उपयोग करके बीजगणितीय समीकरण एफ(य,यू)=0 . किसी ज्ञात विशेष समाधान के एक छोटे से पड़ोस में इस गैर-रैखिकता को रैखिक बनाना आवश्यक है ( यू*, य*) इस धारणा के तहत कि सभी अरेखीय कार्य एफ मैंके हिस्से के रूप में एफइस पड़ोस में निरंतर और भिन्न हैं। इस वेक्टर फ़ंक्शन को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने और छोटेपन के दूसरे और उच्च क्रम के शब्दों को त्यागने पर, हम प्राप्त करते हैं रेखीयपहला सन्निकटन समीकरण:

, (3)

जहां घ य=य–य*; डी यू=यू–यू*; - आंशिक व्युत्पन्न के मैट्रिक्स की गणना रैखिककरण बिंदु पर की जाती है।

3. चलो एक आयामी गतिशीलगैर-रैखिकता को अंतर समीकरण "इनपुट-आउटपुट" द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है एन-वां क्रम:

एफ(य, य (1) , …, य (एन) , यू, यू (1) , …यू (एम))=0. (4)

आइए हम ज्ञात के एक छोटे से पड़ोस में स्पर्शरेखा विधि द्वारा इस गैर-रैखिकता को रैखिक बनाएं निजीइस समीकरण का समाधान य*(टी), संगत दिया गयाप्रवेश द्वार यू*(टी). के संगत आदेशों का समय व्युत्पन्न य*(टी) और यू*(टी) भी ज्ञात माना जाता है।

एक फ़ंक्शन मान लेना एफअपने सभी तर्कों के संबंध में लगातार भिन्न और ऊपर चर्चा की गई सामान्य विधि का पालन करते हुए (एक श्रृंखला में विस्तार और तर्कों की वृद्धि के संबंध में केवल रैखिक शब्दों को ध्यान में रखते हुए), हम लिखते हैं रेखीयएक अरेखीय समीकरण के लिए पहला सन्निकटन समीकरण:

(5)

यहां प्रतीक (*) का अर्थ है कि आंशिक व्युत्पन्न को विशेष समाधान के अनुरूप चर और उनके व्युत्पन्न के मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है ( य*(टी), यू*(टी)). सामान्य तौर पर, उनके मान (समीकरण गुणांक) समय पर निर्भर होंगे और रैखिक मॉडल होगा गैर स्थिर. लेकिन यदि विशेष समाधान मेल खाता है स्थैतिक मोड, तो ये गुणांक होंगे स्थायी.

अंकन की सुविधा और संक्षिप्तता के लिए, हम निम्नलिखित अंकन प्रस्तुत करते हैं:

= एक मैं; = -बी मैं; डी य (मैं) =डी मैंडी य; डी यू (मैं) =डी मैंडी यू; डी=डी/डीटी.

तब रैखिककृतसमीकरण (5) को संक्षिप्त संकारक रूप में लिखा जाएगा:

ए(डी)डी य(टी)=बी(डी)डी यू(टी),

कहाँ ए(डी) - डिग्री बहुपद एनविभेदीकरण ऑपरेटर के संबंध में डी;

बी(डी) - एक समान संकारक बहुपद एम-वीं डिग्री.

4. चलो बहुआयामी गतिशीलअरैखिकता निर्दिष्ट है अरेखीय समीकरणदेखने की अवस्था

(6)

पिछले मामलों की तरह, हम ज्ञात के एक छोटे से पड़ोस में स्पर्शरेखा विधि द्वारा इस गैर-रैखिकता को रैखिक बनाते हैं निजीसमाधान ( एक्स*, आप*), संगत दिया गयाप्रवेश द्वार तुम*(टी). इस मामले में, पहले सन्निकटन समीकरण होंगे अगला दृश्य:

(7)

कहाँ - उपयुक्त आकार के मैट्रिक्स। सामान्य स्थिति में उनके तत्व समय के फलन होंगे, लेकिन यदि कोई विशेष समाधान मेल खाता है स्थिरशासन, तब वे स्थिर रहेंगे।

आइए हम संपूर्ण एसीएस के एमएम को रैखिक बनाने में स्पर्शरेखा पद्धति के उपयोग पर अंतिम टिप्पणी करें, जो परस्पर क्रिया करने वाले संरचनात्मक ब्लॉकों के विवरणों का एक सेट है।

1) "संदर्भ मोड" (*), जिसके सापेक्ष रैखिककरण किया जाता है, की गणना पूरे सिस्टम के लिए उसके पूर्ण (नॉनलाइनर) एमएम के अनुसार की जाती है। गणना के लिए ग्राफिकल और संख्यात्मक (कंप्यूटर) दोनों तरीकों का उपयोग किया जा सकता है। इस मामले में, सभी रैखिक समीकरणों और कार्यात्मक निर्भरताओं के गुणांक चयनित रैखिककरण बिंदुओं पर निर्भर होंगे;

2) एमएम की सभी गैर-रेखीय निर्भरताएं मोड (*) के एक छोटे से क्षेत्र में निरंतर और लगातार भिन्न (सुचारू) होनी चाहिए;

3) संदर्भ मोड में उनके मूल्यों से चर का विचलन पर्याप्त रूप से छोटा होना चाहिए; एसीएस और यू के लिए, यह आवश्यकता पूरी तरह से नियंत्रण के उद्देश्य के अनुरूप है - नियंत्रित चर के मूल्यों को उनके परिवर्तन के निर्धारित कानूनों के अनुसार विनियमित करना;

4) के लिए रेखीय समीकरणएमएम के भाग के रूप में, रैखिककरण में सभी चर को उनके विचलन (वृद्धि) के साथ औपचारिक रूप से प्रतिस्थापित करना शामिल है;

5) पूरे सिस्टम का रेखीयकृत एमएम प्राप्त करने के लिए आदर्श फॉर्मउदाहरण के लिए, राज्य के समीकरणों के रूप में, आपको पहले एमएम में प्रत्येक समीकरण को रैखिक बनाना चाहिए। यह एक गैर-रेखीय एमएम प्रणाली को मानक रूप में प्राप्त करने और फिर इसे रैखिक बनाने की कोशिश से कहीं अधिक सरल और तेज़ होगा;

6) स्पर्शरेखा विधि को लागू करने के लिए सभी शर्तों के अधीन, रैखिक एमएम के गुण गैर-रेखीय एमएम के स्थानीय गुणों का एक उद्देश्यपूर्ण विचार देते हैं छोटा पड़ोससंदर्भ मोड. इस तथ्य का ल्यपुनोव के प्रमेयों (पहली विधि) के रूप में एक सख्त गणितीय औचित्य है और यह इसका सैद्धांतिक आधार है व्यावहारिक अनुप्रयोगरैखिक नियंत्रण सिद्धांत.