अक्सर, लघुगणकीय असमानताओं को हल करते समय, परिवर्तनीय लघुगणक आधार के साथ समस्याएं उत्पन्न होती हैं। इस प्रकार, रूप की असमानता

यह एक मानक स्कूल असमानता है। एक नियम के रूप में, इसे हल करने के लिए, सिस्टम के समतुल्य सेट में संक्रमण का उपयोग किया जाता है:

हानि यह विधिदो प्रणालियों और एक समुच्चय की गिनती नहीं, बल्कि सात असमानताओं को हल करने की आवश्यकता है। पहले से ही इन द्विघात कार्यों के साथ, जनसंख्या को हल करने में बहुत समय लग सकता है।

इस मानक असमानता को हल करने के लिए एक वैकल्पिक, कम समय लेने वाला तरीका प्रस्तावित करना संभव है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित प्रमेय को ध्यान में रखते हैं।

प्रमेय 1. मान लीजिए कि एक सेट , कहाँ .

ध्यान दें: यदि किसी समुच्चय X पर निरंतर घटता हुआ फलन है, तो।

आइए असमानता की ओर लौटें। आइए दशमलव लघुगणक पर आगे बढ़ें (आप एक से अधिक स्थिर आधार वाले किसी भी लघुगणक पर आगे बढ़ सकते हैं)।

अब आप अंश में कार्यों की वृद्धि को ध्यान में रखते हुए प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं और हर में. तो यह सच है

परिणामस्वरूप, उत्तर तक पहुंचने वाली गणनाओं की संख्या लगभग आधी हो जाती है, जिससे न केवल समय की बचत होती है, बल्कि आपको संभावित रूप से कम अंकगणितीय और लापरवाह त्रुटियां करने की भी अनुमति मिलती है।

उदाहरण 1।

(1) से तुलना करने पर हम पाते हैं , , .

(2) पर आगे बढ़ते हुए हमारे पास होगा:

उदाहरण 2.

(1) से तुलना करने पर हम पाते हैं , , .

(2) पर आगे बढ़ते हुए हमारे पास होगा:

उदाहरण 3.

चूँकि असमानता का बायाँ भाग और के रूप में एक बढ़ता हुआ फलन है , तो उत्तर अनेक होंगे।

ऐसे कई उदाहरण जिनमें थीम 1 को लागू किया जा सकता है, उन्हें थीम 2 को ध्यान में रखकर आसानी से विस्तारित किया जा सकता है।

चलो सेट पर एक्सफ़ंक्शन , , , परिभाषित हैं, और इस सेट पर संकेत और संयोग हैं, यानी। , तो यह उचित होगा।

उदाहरण 4.

उदाहरण 5.

मानक दृष्टिकोण में, उदाहरण को निम्नलिखित योजना के अनुसार हल किया जाता है: उत्पाद शून्य से भी कम, जब कारक अलग-अलग चिन्हों के हों। वे। असमानताओं की दो प्रणालियों का एक सेट माना जाता है, जिसमें, जैसा कि शुरुआत में संकेत दिया गया है, प्रत्येक असमानता सात और में टूट जाती है।

यदि हम प्रमेय 2 को ध्यान में रखते हैं, तो प्रत्येक कारक, (2) को ध्यान में रखते हुए, किसी अन्य फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसका इस उदाहरण O.D.Z. में समान चिह्न है।

प्रमेय 2 को ध्यान में रखते हुए, किसी फ़ंक्शन की वृद्धि को तर्क की वृद्धि के साथ बदलने की विधि, हल करते समय बहुत सुविधाजनक हो जाती है विशिष्ट कार्य C3 एकीकृत राज्य परीक्षा।

उदाहरण 6.

उदाहरण 7.

. चलो निरूपित करें. हम पाते हैं

. ध्यान दें कि प्रतिस्थापन का तात्पर्य है: . समीकरण पर लौटने पर, हमें मिलता है .

उदाहरण 8.

हम जिन प्रमेयों का उपयोग करते हैं उनमें कार्यों के वर्गों पर कोई प्रतिबंध नहीं है। इस आलेख में, उदाहरण के तौर पर, प्रमेयों को लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए लागू किया गया था। निम्नलिखित कई उदाहरण अन्य प्रकार की असमानताओं को हल करने की विधि की संभावना को प्रदर्शित करेंगे।

लघुगणकीय असमानताओं की संपूर्ण विविधता के बीच, चर आधार वाली असमानताओं का अलग से अध्ययन किया जाता है। उन्हें एक विशेष सूत्र का उपयोग करके हल किया जाता है, जो किसी कारण से स्कूल में शायद ही कभी पढ़ाया जाता है:

लॉग के (एक्स) एफ (एक्स) ∨ लॉग के (एक्स) जी (एक्स) ⇒ (एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1) ∨ 0

"∨" चेकबॉक्स के बजाय, आप कोई भी असमानता चिह्न लगा सकते हैं: अधिक या कम। मुख्य बात यह है कि दोनों असमानताओं में संकेत समान हैं।

इस तरह हम लघुगणक से छुटकारा पा लेते हैं और समस्या को तर्कसंगत असमानता तक कम कर देते हैं। उत्तरार्द्ध को हल करना बहुत आसान है, लेकिन लघुगणक को त्यागने पर अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं। उन्हें काटने के लिए क्षेत्र का पता लगाना ही काफी है स्वीकार्य मूल्य. यदि आप लघुगणक का ODZ भूल गए हैं, तो मैं दृढ़तापूर्वक इसे दोहराने की सलाह देता हूं - "लघुगणक क्या है" देखें।

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा से संबंधित हर चीज़ को अलग से लिखा और हल किया जाना चाहिए:

एफ(एक्स) > 0; जी(एक्स) > 0; के(एक्स) > 0; के(एक्स) ≠ 1.

ये चार असमानताएँ एक प्रणाली का निर्माण करती हैं और इन्हें एक साथ संतुष्ट किया जाना चाहिए। जब स्वीकार्य मूल्यों की सीमा मिल जाती है, तो जो कुछ बचता है उसे समाधान के साथ जोड़ना है तर्कसंगत असमानता- और उत्तर तैयार है.

काम। असमानता का समाधान करें:

सबसे पहले, आइए लघुगणक का ODZ लिखें:

पहली दो असमानताएँ स्वतः संतुष्ट हो जाती हैं, लेकिन अंतिम को लिखना होगा। चूंकि संख्या का वर्ग शून्य के बराबरयदि और केवल यदि संख्या स्वयं शून्य है, तो हमारे पास है:

एक्स 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
एक्स ≠ 0.

यह पता चलता है कि लघुगणक का ODZ शून्य को छोड़कर सभी संख्याएँ हैं: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞)। अब हम मुख्य असमानता को हल करते हैं:

हम से परिवर्तन करते हैं लघुगणकीय असमानतातर्कसंगत के लिए. मूल असमानता में "इससे कम" चिन्ह होता है, जिसका अर्थ है कि परिणामी असमानता में "इससे कम" चिन्ह भी होना चाहिए। हमारे पास है:

(10 - (एक्स 2 + 1)) · (एक्स 2 + 1 - 1)< 0;
(9 − एक्स 2) एक्स 2< 0;
(3 − एक्स) · (3 + एक्स) · एक्स 2< 0.

इस अभिव्यक्ति के शून्य हैं: x = 3; एक्स = −3; x = 0. इसके अलावा, x = 0 दूसरी बहुलता का मूल है, जिसका अर्थ है कि इससे गुजरने पर फ़ंक्शन का चिह्न नहीं बदलता है। हमारे पास है:

हमें x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) मिलता है। यह सेट पूरी तरह से लघुगणक के ODZ में समाहित है, जिसका अर्थ है कि यह उत्तर है।

लघुगणकीय असमानताओं को परिवर्तित करना

अक्सर मूल असमानता उपरोक्त से भिन्न होती है। लघुगणक के साथ काम करने के मानक नियमों का उपयोग करके इसे आसानी से ठीक किया जा सकता है - "लघुगणक के मूल गुण" देखें। अर्थात्:

1. किसी भी संख्या को किसी दिए गए आधार के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है;
2. समान आधार वाले लघुगणक के योग और अंतर को एक लघुगणक से बदला जा सकता है।

अलग से, मैं आपको स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के बारे में याद दिलाना चाहूंगा। चूँकि मूल असमानता में कई लघुगणक हो सकते हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक का VA ज्ञात करना आवश्यक है। इस प्रकार, लघुगणकीय असमानताओं को हल करने की सामान्य योजना इस प्रकार है:

1. असमानता में शामिल प्रत्येक लघुगणक का VA ज्ञात करें;
2. लघुगणक जोड़ने और घटाने के सूत्रों का उपयोग करके असमानता को एक मानक स्तर तक कम करें;
3. ऊपर दी गई योजना का उपयोग करके परिणामी असमानता को हल करें।

काम। असमानता का समाधान करें:

आइए पहले लघुगणक की परिभाषा का क्षेत्र (डीओ) खोजें:

हम अंतराल विधि का उपयोग करके हल करते हैं। अंश के शून्य ज्ञात करना:

3x − 2 = 0;
एक्स = 2/3.

तब - हर के शून्य:

एक्स - 1 = 0;
एक्स = 1.

हम निर्देशांक तीर पर शून्य और चिह्न अंकित करते हैं:

हमें x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) मिलता है। दूसरे लघुगणक में समान VA होगा। अगर आपको यकीन नहीं है तो आप इसे चेक कर सकते हैं. अब हम दूसरे लघुगणक को इस प्रकार परिवर्तित करते हैं कि आधार दो है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, आधार पर और लघुगणक के सामने तीन को कम कर दिया गया है। हमें समान आधार वाले दो लघुगणक मिले। आइए उन्हें जोड़ें:

लॉग 2 (x − 1) 2< 2;
लॉग 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

हमने मानक लघुगणकीय असमानता प्राप्त की। हम सूत्र का उपयोग करके लघुगणक से छुटकारा पाते हैं। चूंकि मूल असमानता में "इससे कम" चिह्न शामिल है, परिणामी तर्कसंगत अभिव्यक्ति भी शून्य से कम होनी चाहिए। हमारे पास है:

(एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
एक्स 2 − 2एक्स − 3< 0;
(एक्स − 3)(एक्स + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

हमें दो सेट मिले:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. उम्मीदवार का उत्तर: x ∈ (−1; 3).

इन समुच्चयों को प्रतिच्छेद करना बाकी है - हमें वास्तविक उत्तर मिलता है:

हम सेटों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं, इसलिए हम उन अंतरालों का चयन करते हैं जो दोनों तीरों पर छायांकित हैं। हमें x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) मिलता है - सभी बिंदु छिद्रित हैं।

पाठ मकसद:

उपदेशात्मक:

• स्तर 1 - लघुगणक की परिभाषा और लघुगणक के गुणों का उपयोग करके सरलतम लघुगणकीय असमानताओं को हल करना सिखाएं;
• स्तर 2 - अपनी स्वयं की समाधान विधि चुनकर लघुगणकीय असमानताओं को हल करें;
• स्तर 3 - गैर-मानक स्थितियों में ज्ञान और कौशल को लागू करने में सक्षम होना।

शैक्षिक:स्मृति, ध्यान विकसित करें, तर्कसम्मत सोच, तुलना कौशल, सामान्यीकरण करने और निष्कर्ष निकालने की क्षमता

शैक्षिक:निष्पादित कार्य के लिए सटीकता, जिम्मेदारी और पारस्परिक सहायता विकसित करें।

शिक्षण विधियों: मौखिक , तस्वीर , व्यावहारिक , आंशिक खोज , स्वयं सरकार , नियंत्रण।

संगठन के स्वरूप संज्ञानात्मक गतिविधिछात्र: ललाट , व्यक्ति , जोड़े में काम।

उपकरण: किट परीक्षण कार्य, सहायक नोट्स, समाधान के लिए खाली शीट।

पाठ का प्रकार:नई सामग्री सीखना.

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण.पाठ के विषय और लक्ष्य, पाठ योजना की घोषणा की जाती है: प्रत्येक छात्र को एक मूल्यांकन पत्रक दिया जाता है, जिसे छात्र पाठ के दौरान भरता है; छात्रों की प्रत्येक जोड़ी के लिए - कार्यों के साथ मुद्रित सामग्री जोड़ियों में पूरी की जानी चाहिए; खाली चादरेंसमाधान के लिए; समर्थन पत्रक: लघुगणक की परिभाषा; एक लघुगणकीय फ़ंक्शन का ग्राफ़, उसके गुण; लघुगणक के गुण; लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम।

स्व-मूल्यांकन के बाद सभी निर्णय शिक्षक को सौंपे जाते हैं।

विद्यार्थी की अंक तालिका

2. ज्ञान को अद्यतन करना।

शिक्षक के निर्देश. लघुगणक की परिभाषा, लघुगणकीय फ़ंक्शन का ग्राफ़ और उसके गुणों को याद करें। ऐसा करने के लिए, श्री ए अलीमोव, यू.एम कोल्यागिन और अन्य द्वारा संपादित पाठ्यपुस्तक "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत 10-11" के पृष्ठ 88-90, 98-101 पर पाठ पढ़ें।

छात्रों को शीट दी जाती हैं जिन पर लिखा होता है: लघुगणक की परिभाषा; एक लघुगणकीय फ़ंक्शन और उसके गुणों का ग्राफ़ दिखाता है; लघुगणक के गुण; लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम, एक लघुगणकीय असमानता को हल करने का एक उदाहरण जो द्विघात असमानता को कम करता है।

3. नई सामग्री का अध्ययन.

लघुगणकीय असमानताओं को हल करना लघुगणकीय फलन की एकरसता पर आधारित है।

लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

ए) असमानता की परिभाषा का क्षेत्र खोजें (उपलघुगणकीय अभिव्यक्ति शून्य से अधिक है)।
बी) असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को एक ही आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करें (यदि संभव हो)।
सी) निर्धारित करें कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन बढ़ रहा है या घट रहा है: यदि t>1, तो बढ़ रहा है; यदि 0 1, फिर घट रहा है।
डी) एक सरल असमानता (सबलॉगरिदमिक अभिव्यक्ति) पर जाएं, यह ध्यान में रखते हुए कि फ़ंक्शन बढ़ने पर असमानता का संकेत वही रहेगा और घटने पर बदल जाएगा।

सीखने का तत्व #1.

लक्ष्य: सरलतम लघुगणकीय असमानताओं के समाधान को समेकित करना

छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि के संगठन का रूप: व्यक्तिगत कार्य।

के लिए कार्य स्वतंत्र काम 10 मिनट के लिए। प्रत्येक असमानता के लिए कई संभावित उत्तर हैं; आपको सही उत्तर चुनना होगा और कुंजी का उपयोग करके इसकी जांच करनी होगी।

कुंजी: 13321, अधिकतम अंक - 6 अंक।

सीखने का तत्व #2.

लक्ष्य: लघुगणक के गुणों का उपयोग करके लघुगणकीय असमानताओं के समाधान को समेकित करना।

शिक्षक के निर्देश. लघुगणक के मूल गुण याद रखें। ऐसा करने के लिए, पाठ्यपुस्तक का पाठ पृष्ठ 92, 103-104 पर पढ़ें।

10 मिनट के लिए स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य।

कुंजी: 2113, अधिकतम अंक - 8 अंक।

सीखने का तत्व #3.

उद्देश्य: द्विघात में कमी की विधि द्वारा लघुगणकीय असमानताओं के समाधान का अध्ययन करना।

शिक्षक के निर्देश: किसी असमानता को द्विघात में कम करने की विधि में असमानता को ऐसे रूप में बदलना है कि एक निश्चित लघुगणकीय फ़ंक्शन को एक नए चर द्वारा दर्शाया जाए, जिससे इस चर के संबंध में एक द्विघात असमानता प्राप्त हो।

आइए अंतराल विधि का उपयोग करें।

आपने सामग्री में महारत हासिल करने का पहला स्तर पार कर लिया है। अब आपको अपना स्वयं का समाधान तरीका चुनना होगा लघुगणकीय समीकरणअपने सभी ज्ञान और क्षमताओं का उपयोग करते हुए।

सीखने का तत्व #4.

लक्ष्य: स्वतंत्र रूप से एक तर्कसंगत समाधान विधि चुनकर लघुगणकीय असमानताओं के समाधान को समेकित करें।

10 मिनट के लिए स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य

सीखने का तत्व #5.

शिक्षक के निर्देश. बहुत अच्छा! आपको जटिलता के दूसरे स्तर के समीकरणों को हल करने में महारत हासिल है। आपके आगे के काम का लक्ष्य अपने ज्ञान और कौशल को अधिक जटिल और गैर-मानक स्थितियों में लागू करना है।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

शिक्षक के निर्देश. यदि आपने पूरा कार्य पूरा कर लिया तो यह बहुत अच्छा है। बहुत अच्छा!

पूरे पाठ का ग्रेड सभी शैक्षिक तत्वों के लिए प्राप्त अंकों की संख्या पर निर्भर करता है:

• यदि एन ≥ 20, तो आपको "5" रेटिंग मिलती है,
• 16 ≤ एन ≤ 19 के लिए - स्कोर "4",
• 8 ≤ एन ≤ 15 के लिए - स्कोर "3",
• एन पर< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

शिक्षक को मूल्यांकन पत्र जमा करें।

5. गृहकार्य: यदि आपने 15 से अधिक अंक प्राप्त नहीं किए हैं, तो अपनी गलतियों पर काम करें (शिक्षक से समाधान लिया जा सकता है), यदि आपने 15 से अधिक अंक प्राप्त किए हैं, तो "लघुगणक असमानताएं" विषय पर एक रचनात्मक कार्य पूरा करें।

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किसी असमानता को लघुगणकीय कहा जाता है यदि उसमें कोई लघुगणकीय फलन हो।

दो चीजों को छोड़कर, लघुगणकीय असमानताओं को हल करने की विधियाँ किसी से भिन्न नहीं हैं।

सबसे पहले, लघुगणकीय असमानता से असमानता की ओर बढ़ते समय लघुगणकीय कार्यचाहिए परिणामी असमानता के संकेत का पालन करें. यह निम्नलिखित नियम का पालन करता है.

यदि लघुगणकीय फ़ंक्शन का आधार $1$ से अधिक है, तो लघुगणकीय असमानता से सबलॉगरिदमिक कार्यों की असमानता की ओर बढ़ने पर, असमानता का संकेत संरक्षित रहता है, लेकिन यदि यह $1$ से कम है, तो यह विपरीत में बदल जाता है .

दूसरे, किसी भी असमानता का समाधान एक अंतराल है, और इसलिए, उप-लघुगणकीय कार्यों की असमानता को हल करने के अंत में, दो असमानताओं की एक प्रणाली बनाना आवश्यक है: इस प्रणाली की पहली असमानता उप-लघुगणकीय कार्यों की असमानता होगी, और दूसरा लघुगणकीय असमानता में शामिल लघुगणकीय कार्यों की परिभाषा के क्षेत्र का अंतराल होगा।

अभ्यास।

आइए असमानताओं को हल करें:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

लघुगणक का आधार $2>1$ है, इसलिए चिह्न नहीं बदलता है। लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x\in )