यदि आपको अचानक एहसास हुआ कि आप क्वांटम यांत्रिकी की मूल बातें और अभिधारणाओं को भूल गए हैं या यह भी नहीं जानते कि यह किस प्रकार की यांत्रिकी है, तो इस जानकारी की अपनी स्मृति को ताज़ा करने का समय आ गया है। आख़िरकार, कोई नहीं जानता कि क्वांटम यांत्रिकी जीवन में कब उपयोगी हो सकती है।

यह व्यर्थ है कि आप यह सोचकर मुस्कुराते और उपहास करते हैं कि आपको अपने जीवन में इस विषय से कभी नहीं जूझना पड़ेगा। आख़िरकार, क्वांटम यांत्रिकी लगभग हर व्यक्ति के लिए उपयोगी हो सकती है, यहां तक ​​कि उन लोगों के लिए भी जो इससे असीम रूप से दूर हैं। उदाहरण के लिए, आपको अनिद्रा है। क्वांटम यांत्रिकी के लिए यह कोई समस्या नहीं है! बिस्तर पर जाने से पहले पाठ्यपुस्तक पढ़ें - और आप तीसरे पृष्ठ पर गहरी नींद में सो जायेंगे। या आप अपने शानदार रॉक बैंड को कॉल कर सकते हैं। क्यों नहीं?

चुटकुलों को छोड़कर, आइए एक गंभीर क्वांटम बातचीत शुरू करें।

कहाँ से शुरू करें? निःसंदेह, क्वांटम क्या है उससे शुरू करना।

मात्रा

क्वांटम (लैटिन क्वांटम से - "कितना") कुछ भौतिक मात्रा का एक अविभाज्य भाग है। उदाहरण के लिए, वे कहते हैं - प्रकाश की मात्रा, ऊर्जा की मात्रा या क्षेत्र की मात्रा।

इसका मतलब क्या है? इसका मतलब यह है कि यह कम नहीं हो सकता। जब वे कहते हैं कि कुछ मात्रा परिमाणित है, तो वे इसे समझते हैं दिया गया मूल्यअनेक विशिष्ट, पृथक मूल्यों को ग्रहण करता है। इस प्रकार, एक परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा को परिमाणित किया जाता है, प्रकाश को "भागों" में, यानी क्वांटा में वितरित किया जाता है।

"क्वांटम" शब्द के अपने आप में कई उपयोग हैं। प्रकाश की मात्रा ( विद्युत चुम्बकीय) एक फोटॉन है. सादृश्य से, क्वांटा अन्य अंतःक्रिया क्षेत्रों के अनुरूप कण या क्वासिपार्टिकल्स हैं। यहां हम प्रसिद्ध हिग्स बोसोन को याद कर सकते हैं, जो हिग्स क्षेत्र की एक मात्रा है। लेकिन हम अभी इन जंगलों में नहीं जा रहे हैं.

नौसिखियों के लिए क्वांटम यांत्रिकी

यांत्रिकी क्वांटम कैसे हो सकती है?

जैसा कि आप पहले ही देख चुके हैं, हमारी बातचीत में हमने कई बार कणों का उल्लेख किया है। आप इस तथ्य के आदी हो सकते हैं कि प्रकाश एक तरंग है जो बस गति से फैलती है साथ . लेकिन अगर आप हर चीज़ को क्वांटम दुनिया, यानी कणों की दुनिया के नज़रिए से देखें, तो सब कुछ पहचान से परे बदल जाता है।

क्वांटम यांत्रिकी सैद्धांतिक भौतिकी की एक शाखा है, जो क्वांटम सिद्धांत का एक घटक है जो वर्णन करता है भौतिक घटनाएंसबसे प्राथमिक स्तर पर - कणों का स्तर।

ऐसी घटनाओं का प्रभाव प्लैंक स्थिरांक के परिमाण में तुलनीय है, और न्यूटन के शास्त्रीय यांत्रिकी और इलेक्ट्रोडायनामिक्स उनका वर्णन करने के लिए पूरी तरह से अनुपयुक्त साबित हुए। उदाहरण के लिए, शास्त्रीय सिद्धांत के अनुसार, एक इलेक्ट्रॉन, एक नाभिक के चारों ओर उच्च गति से घूमते हुए, ऊर्जा उत्सर्जित करना चाहिए और अंततः नाभिक पर गिरना चाहिए। जैसा कि हम जानते हैं, ऐसा नहीं होता है। इसीलिए क्वांटम यांत्रिकी का आविष्कार किया गया - खुली घटनाइसे किसी तरह समझाना आवश्यक था, और यह बिल्कुल वही सिद्धांत निकला जिसके भीतर स्पष्टीकरण सबसे स्वीकार्य था, और सभी प्रयोगात्मक डेटा "अभिसरण" हुए।

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थोड़ा इतिहास

क्वांटम सिद्धांत का जन्म 1900 में हुआ, जब मैक्स प्लैंक ने जर्मन फिजिकल सोसाइटी की एक बैठक में बात की थी। तब प्लैंक ने क्या कहा? और तथ्य यह है कि परमाणुओं का विकिरण असतत है, और इस विकिरण की ऊर्जा का सबसे छोटा हिस्सा बराबर है

जहाँ h प्लैंक स्थिरांक है, nu आवृत्ति है।

तब अल्बर्ट आइंस्टीन ने "प्रकाश की मात्रा" की अवधारणा का परिचय देते हुए फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव को समझाने के लिए प्लैंक की परिकल्पना का उपयोग किया। नील्स बोह्र ने परमाणु में स्थिर ऊर्जा स्तरों के अस्तित्व को प्रतिपादित किया और लुई डी ब्रोगली ने तरंग-कण द्वैत का विचार विकसित किया, अर्थात एक कण (कोशिका) में तरंग गुण भी होते हैं। श्रोडिंगर और हाइजेनबर्ग इस कार्य में शामिल हुए और 1925 में क्वांटम यांत्रिकी का पहला सूत्रीकरण प्रकाशित हुआ। दरअसल, क्वांटम यांत्रिकी एक पूर्ण सिद्धांत से बहुत दूर है, यह वर्तमान समय में सक्रिय रूप से विकसित हो रहा है। यह भी माना जाना चाहिए कि क्वांटम यांत्रिकी, अपनी मान्यताओं के साथ, अपने सामने आने वाले सभी प्रश्नों को समझाने की क्षमता नहीं रखती है। यह बहुत संभव है कि इसका स्थान एक अधिक उन्नत सिद्धांत ले लेगा।

क्वांटम दुनिया से हमारे परिचित चीजों की दुनिया में संक्रमण के दौरान, क्वांटम यांत्रिकी के नियम स्वाभाविक रूप से शास्त्रीय यांत्रिकी के नियमों में बदल जाते हैं। हम कह सकते हैं कि शास्त्रीय यांत्रिकी है विशेष मामलाक्वांटम यांत्रिकी, जब कार्रवाई हमारे परिचित और परिचित मैक्रोवर्ल्ड में होती है। यहां पिंड प्रकाश की गति से बहुत कम गति पर संदर्भ के गैर-जड़त्वीय फ्रेम में शांति से चलते हैं, और सामान्य तौर पर चारों ओर सब कुछ शांत और स्पष्ट होता है। यदि आप किसी समन्वय प्रणाली में किसी पिंड की स्थिति जानना चाहते हैं, तो कोई समस्या नहीं, यदि आप आवेग को मापना चाहते हैं, तो आपका स्वागत है;

क्वांटम यांत्रिकी का इस मुद्दे पर एक बिल्कुल अलग दृष्टिकोण है। इसमें भौतिक राशियों के मापन के परिणाम प्रकृति में संभाव्य होते हैं। इसका मतलब यह है कि जब एक निश्चित मूल्य बदलता है, तो कई परिणाम संभव होते हैं, जिनमें से प्रत्येक की एक निश्चित संभावना होती है। आइए एक उदाहरण दें: एक सिक्का मेज पर घूम रहा है। जबकि यह घूम रहा है, यह किसी विशिष्ट अवस्था (हेड्स-टेल्स) में नहीं है, बल्कि केवल इनमें से किसी एक अवस्था में समाप्त होने की संभावना है।

हम धीरे-धीरे यहां पहुंच रहे हैं श्रोडिंगर समीकरणऔर हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत.

किंवदंती के अनुसार, इरविन श्रोडिंगर, 1926 में, तरंग-कण द्वंद्व के विषय पर एक वैज्ञानिक संगोष्ठी में बोलते हुए, एक वरिष्ठ वैज्ञानिक द्वारा आलोचना की गई थी। अपने बड़ों की बात मानने से इनकार करते हुए, इस घटना के बाद श्रोडिंगर ने सक्रिय रूप से क्वांटम यांत्रिकी के ढांचे के भीतर कणों का वर्णन करने के लिए तरंग समीकरण विकसित करना शुरू कर दिया। और उसने इसे शानदार ढंग से किया! श्रोडिंगर समीकरण (क्वांटम यांत्रिकी का मूल समीकरण) है:

इस प्रकारसमीकरण - एक आयामी स्थिर श्रोडिंगर समीकरण - सबसे सरल।

यहां x कण की दूरी या निर्देशांक है, m कण का द्रव्यमान है, E और U क्रमशः इसकी कुल और संभावित ऊर्जा हैं। इस समीकरण का समाधान तरंग फलन (psi) है

तरंग फ़ंक्शन दूसरा है आधारभूत अवधारणाक्वांटम यांत्रिकी में. तो, कोई भी क्वांटम प्रणाली जो किसी अवस्था में होती है, उसमें एक तरंग फ़ंक्शन होता है जो इस अवस्था का वर्णन करता है।

उदाहरण के लिए, एक-आयामी स्थिर श्रोडिंगर समीकरण को हल करते समय, तरंग फ़ंक्शन अंतरिक्ष में कण की स्थिति का वर्णन करता है। अधिक सटीक रूप से, अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु पर एक कण मिलने की संभावना।दूसरे शब्दों में, श्रोडिंगर ने दिखाया कि संभाव्यता को तरंग समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है! सहमत हूँ, हमें इस बारे में पहले सोचना चाहिए था!

लेकिन क्यों? हमें इन समझ से परे संभावनाओं और तरंग कार्यों से क्यों निपटना पड़ता है, जबकि ऐसा प्रतीत होता है कि किसी कण या उसकी गति की दूरी लेने और मापने से ज्यादा आसान कुछ भी नहीं है।

सब कुछ बहुत सरल है! वास्तव में, स्थूल जगत में यह वास्तव में मामला है - हम एक टेप माप के साथ एक निश्चित सटीकता के साथ दूरियों को मापते हैं, और माप त्रुटि डिवाइस की विशेषताओं द्वारा निर्धारित की जाती है। दूसरी ओर, हम आँख से किसी वस्तु, उदाहरण के लिए, किसी मेज से दूरी को लगभग सटीक रूप से निर्धारित कर सकते हैं। किसी भी स्थिति में, हम अपने और अन्य वस्तुओं के सापेक्ष कमरे में इसकी स्थिति को सटीक रूप से अलग करते हैं। कणों की दुनिया में, स्थिति मौलिक रूप से भिन्न है - हमारे पास भौतिक रूप से आवश्यक मात्राओं को सटीक रूप से मापने के लिए माप उपकरण नहीं हैं। आख़िरकार, मापने वाला उपकरण मापी जा रही वस्तु के सीधे संपर्क में आता है, और हमारे मामले में, वस्तु और उपकरण दोनों कण हैं। यह अपूर्णता है, कण पर कार्य करने वाले सभी कारकों को ध्यान में रखने की मौलिक असंभवता, साथ ही माप के प्रभाव में सिस्टम की स्थिति को बदलने का तथ्य, जो हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत को रेखांकित करता है।

आइए हम इसका सरलतम सूत्रीकरण दें। आइए कल्पना करें कि एक निश्चित कण है, और हम उसकी गति और समन्वय जानना चाहते हैं।

इस संदर्भ में, हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत कहता है कि एक ही समय में किसी कण की स्थिति और वेग को सटीक रूप से मापना असंभव है। . गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

यहां डेल्टा x निर्देशांक निर्धारित करने में त्रुटि है, डेल्टा v गति निर्धारित करने में त्रुटि है। आइए हम इस बात पर जोर दें कि यह सिद्धांत कहता है कि हम जितना अधिक सटीकता से निर्देशांक निर्धारित करेंगे, उतनी ही कम सटीकता से हमें गति का पता चलेगा। और यदि हम गति निर्धारित कर लें तो हमें जरा भी अंदाजा नहीं होगा कि कण कहां है।

अनिश्चितता सिद्धांत के विषय पर कई चुटकुले और उपाख्यान हैं। उनमें से एक यहां पर है:

एक पुलिसकर्मी एक क्वांटम भौतिक विज्ञानी को रोकता है।
- सर, क्या आप जानते हैं कि आप कितनी तेजी से आगे बढ़ रहे थे?
- नहीं, लेकिन मुझे ठीक-ठीक पता है कि मैं कहां हूं।

और, निःसंदेह, हम आपको याद दिलाते हैं! यदि अचानक, किसी कारण से, किसी संभावित कुएं में एक कण के लिए श्रोडिंगर समीकरण को हल करने से आप जागते रहते हैं, तो उन पेशेवरों की ओर रुख करें, जो अपने होंठों पर क्वांटम यांत्रिकी के साथ बड़े हुए थे!

परिचय

यह ज्ञात है कि क्वांटम यांत्रिकी का पाठ्यक्रम समझना सबसे कठिन है। यह नए और "असामान्य" गणितीय तंत्र के कारण नहीं है, बल्कि मुख्य रूप से शास्त्रीय भौतिकी के दृष्टिकोण से क्रांतिकारी को समझने की कठिनाई, क्वांटम यांत्रिकी के अंतर्निहित विचारों और परिणामों की व्याख्या करने की जटिलता के कारण है।

बहुमत में शिक्षण में मददगार सामग्रीक्वांटम यांत्रिकी में, सामग्री की प्रस्तुति, एक नियम के रूप में, समाधानों के विश्लेषण पर आधारित होती है स्थिर समीकरणश्रोडिंगर. हालाँकि, स्थिर दृष्टिकोण किसी को क्वांटम यांत्रिक समस्या को हल करने के परिणामों की समान शास्त्रीय परिणामों के साथ सीधे तुलना करने की अनुमति नहीं देता है। इसके अलावा, क्वांटम यांत्रिकी के दौरान अध्ययन की गई कई प्रक्रियाएं (जैसे कि संभावित अवरोध के माध्यम से एक कण का गुजरना, अर्ध-स्थिर अवस्था का क्षय, आदि) सिद्धांत रूप से गैर-स्थिर प्रकृति की हैं और इसलिए, हो सकती हैं गैर-स्थिर समीकरण श्रोडिंगर के समाधान के आधार पर ही पूर्ण रूप से समझा जा सकता है। चूँकि विश्लेषणात्मक रूप से हल करने योग्य समस्याओं की संख्या कम है, क्वांटम यांत्रिकी के अध्ययन की प्रक्रिया में कंप्यूटर का उपयोग विशेष रूप से प्रासंगिक है।

श्रोडिंगर समीकरण और इसके समाधान का भौतिक अर्थ

श्रोडिंगर तरंग समीकरण

क्वांटम यांत्रिकी के मूल समीकरणों में से एक श्रोडिंगर समीकरण है, जो समय के साथ क्वांटम प्रणालियों की स्थिति में परिवर्तन को निर्धारित करता है। यह फॉर्म में लिखा है

जहां एच सिस्टम का हैमिल्टनियन ऑपरेटर है, यदि यह समय पर निर्भर नहीं है तो ऊर्जा ऑपरेटर के साथ मेल खाता है। ऑपरेटर का प्रकार सिस्टम के गुणों द्वारा निर्धारित होता है। संभावित क्षेत्र U(r) में एक द्रव्यमान कण की गैर-सापेक्षिक गति के लिए, ऑपरेटर वास्तविक है और कण की गतिज और संभावित ऊर्जा के ऑपरेटरों के योग द्वारा दर्शाया जाता है।

यदि कोई कण विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में गति करता है, तो हैमिल्टनियन ऑपरेटर जटिल होगा।

यद्यपि समीकरण (1.1) समय में प्रथम-क्रम समीकरण है, एक काल्पनिक इकाई की उपस्थिति के कारण, इसमें आवधिक समाधान भी हैं। इसलिए, श्रोडिंगर समीकरण (1.1) को अक्सर श्रोडिंगर तरंग समीकरण कहा जाता है, और इसके समाधान को समय-निर्भर तरंग फ़ंक्शन कहा जाता है। समीकरण (1.1) पर ज्ञात रूपऑपरेटर एच आपको किसी भी बाद के समय में तरंग फ़ंक्शन का मान निर्धारित करने की अनुमति देता है, यदि यह मान प्रारंभिक समय में ज्ञात हो। इस प्रकार, श्रोडिंगर तरंग समीकरण क्वांटम यांत्रिकी में कार्य-कारण के सिद्धांत को व्यक्त करता है।

श्रोडिंगर तरंग समीकरण निम्नलिखित औपचारिक विचारों के आधार पर प्राप्त किया जा सकता है। शास्त्रीय यांत्रिकी में यह ज्ञात है कि यदि ऊर्जा को निर्देशांक और गति के एक फलन के रूप में दिया जाता है

फिर एक्शन फ़ंक्शन एस के लिए शास्त्रीय हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण में संक्रमण

औपचारिक परिवर्तन द्वारा (1.3) से प्राप्त किया जा सकता है

उसी प्रकार, औपचारिक परिवर्तन द्वारा (1.3) से संचालिका समीकरण में जाने पर (1.3) से समीकरण (1.1) प्राप्त होता है

यदि (1.3) में निर्देशांक और संवेग के उत्पाद शामिल नहीं हैं, या उनके उत्पाद शामिल हैं, जो ऑपरेटरों (1.4) के पास जाने के बाद, एक दूसरे के साथ आवागमन करते हैं। इस परिवर्तन के बाद परिणामी ऑपरेटर समानता के दाएं और बाएं पक्षों के ऑपरेटरों के फ़ंक्शन पर कार्रवाई के परिणामों को बराबर करते हुए, हम तरंग समीकरण (1.1) पर पहुंचते हैं। हालाँकि, इन औपचारिक परिवर्तनों को श्रोडिंगर समीकरण की व्युत्पत्ति के रूप में नहीं लिया जाना चाहिए। श्रोडिंगर समीकरण प्रयोगात्मक डेटा का एक सामान्यीकरण है। यह क्वांटम यांत्रिकी में व्युत्पन्न नहीं है, जैसे मैक्सवेल के समीकरण इलेक्ट्रोडायनामिक्स, सिद्धांत में व्युत्पन्न नहीं हैं सबसे कम कार्रवाई(या न्यूटन के समीकरण) शास्त्रीय यांत्रिकी में।

यह सत्यापित करना आसान है कि समीकरण (1.1) तरंग फ़ंक्शन के लिए संतुष्ट है

एक निश्चित संवेग मान वाले कण की मुक्त गति का वर्णन करना। सामान्य स्थिति में, समीकरण (1.1) की वैधता इस समीकरण का उपयोग करके प्राप्त सभी निष्कर्षों के अनुभव के साथ सहमति से सिद्ध होती है।

आइए हम दिखाते हैं कि समीकरण (1.1) महत्वपूर्ण समानता को दर्शाता है

यह दर्शाता है कि तरंग फ़ंक्शन का सामान्यीकरण समय के साथ बना रहता है। आइए बाईं ओर (1.1) को फ़ंक्शन * से गुणा करें, एक समीकरण कॉम्प्लेक्स को फ़ंक्शन द्वारा (1.1) से संयुग्मित करें और पहले परिणामी समीकरण से दूसरे को घटाएं; तब हम पाते हैं

इस संबंध को चर के सभी मूल्यों पर एकीकृत करने और ऑपरेटर की स्व-संयुक्तता को ध्यान में रखते हुए, हम (1.5) प्राप्त करते हैं।

यदि हम किसी संभावित क्षेत्र में एक कण की गति के लिए हैमिल्टनियन ऑपरेटर (1.2) की स्पष्ट अभिव्यक्ति को संबंध (1.6) में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम पहुंचते हैं अंतर समीकरण(सातत्य समीकरण)

संभाव्यता घनत्व और वेक्टर कहां है

संभाव्यता वर्तमान घनत्व वेक्टर कहा जा सकता है।

जटिल तरंग फ़ंक्शन को हमेशा इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

समय और निर्देशांक के वास्तविक कार्य कहां और कहां हैं। इस प्रकार, संभाव्यता घनत्व

और संभाव्यता वर्तमान घनत्व

(1.9) से यह पता चलता है कि उन सभी कार्यों के लिए j = 0 जिनके लिए फ़ंक्शन Φ निर्देशांक पर निर्भर नहीं करता है। विशेष रूप से, सभी वास्तविक कार्यों के लिए j= 0।

सामान्य स्थिति में श्रोडिंगर समीकरण (1.1) के समाधान जटिल कार्यों द्वारा दर्शाए जाते हैं। जटिल फ़ंक्शंस का उपयोग करना काफी सुविधाजनक है, हालाँकि आवश्यक नहीं है। एक जटिल फ़ंक्शन के बजाय, सिस्टम की स्थिति को दो वास्तविक फ़ंक्शंस द्वारा और दो संबंधित समीकरणों को संतुष्ट करके वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि ऑपरेटर एच वास्तविक है, तो फ़ंक्शन को (1.1) में प्रतिस्थापित करके और वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करके, हम दो समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं

इस मामले में, संभाव्यता घनत्व और संभाव्यता वर्तमान घनत्व रूप लेगा

तरंग आवेग निरूपण में कार्य करती है।

तरंग फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण क्वांटम अवस्था में गति के वितरण की विशेषता बताता है। कर्नेल के रूप में फूरियर रूपांतरण के साथ क्षमता के लिए एक अभिन्न समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है।

समाधान। कार्यों और के बीच दो परस्पर विपरीत संबंध हैं।

यदि संबंध (2.1) का उपयोग परिभाषा के रूप में किया जाता है और उस पर एक ऑपरेशन लागू किया जाता है, तो 3-आयामी-फ़ंक्शन की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए,

परिणामस्वरूप, जैसा कि देखना आसान है, हमें व्युत्क्रम संबंध (2.2) मिलता है। इसी तरह के विचारों का उपयोग नीचे संबंध (2.8) निकालने में किया जाता है।

फिर हमारे पास मौजूद क्षमता के फूरियर रूपांतरण के लिए

यह मानते हुए कि तरंग फलन श्रोडिंगर समीकरण को संतुष्ट करता है

यहां क्रमशः और के स्थान पर व्यंजक (2.1) और (2.3) रखने पर हमें प्राप्त होता है

दोहरे समाकलन में, हम एक चर पर एकीकरण से एक चर पर एकीकरण की ओर बढ़ते हैं, और फिर हम इस नए चर को फिर से निरूपित करते हैं। इंटीग्रल ओवर किसी भी मूल्य के लिए केवल उस स्थिति में गायब हो जाता है जब इंटीग्रैंड स्वयं शून्य के बराबर होता है, लेकिन तब

यह कर्नेल के रूप में क्षमता के फूरियर रूपांतरण के साथ वांछित अभिन्न समीकरण है। बेशक, अभिन्न समीकरण (2.6) केवल इस शर्त के तहत प्राप्त किया जा सकता है कि क्षमता का फूरियर रूपांतरण (2.4) मौजूद है; इसके लिए, उदाहरण के लिए, बड़ी दूरी पर क्षमता कम से कम कम होनी चाहिए।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सामान्यीकरण की स्थिति से

समानता आती है

इसे फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति (2.1) को (2.7) में प्रतिस्थापित करके दिखाया जा सकता है:

यदि हम पहले यहां एकीकरण करते हैं, तो हम आसानी से संबंध (2.8) प्राप्त कर सकते हैं।

पदार्थ के तरंग गुणों के बारे में डी ब्रोगली के विचार के विकास में, ई. श्रोडिंगर ने 1926 में अपना प्रसिद्ध समीकरण प्राप्त किया। श्रोडिंगर ने एक माइक्रोपार्टिकल की गति को निर्देशांक और समय के एक जटिल कार्य के साथ जोड़ा, जिसे उन्होंने तरंग फ़ंक्शन कहा और ग्रीक अक्षर "साई" () द्वारा दर्शाया गया। हम इसे psi फ़ंक्शन कहेंगे.

पीएसआई फ़ंक्शन माइक्रोपार्टिकल की स्थिति को दर्शाता है। फ़ंक्शन का रूप श्रोडिंगर समीकरण के समाधान से प्राप्त होता है, जो इस तरह दिखता है:

यहां कण का द्रव्यमान है, i काल्पनिक इकाई है, लाप्लास ऑपरेटर है, जिसकी एक निश्चित फ़ंक्शन पर कार्रवाई का परिणाम निर्देशांक के संबंध में दूसरे आंशिक व्युत्पन्न का योग है:

समीकरण (21.1) में अक्षर यू निर्देशांक और समय के कार्य को दर्शाता है, जिसका ढाल, विपरीत चिह्न के साथ लिया गया, कण पर कार्य करने वाले बल को निर्धारित करता है। ऐसे मामले में जब फ़ंक्शन यू स्पष्ट रूप से समय पर निर्भर नहीं करता है, तो इसका अर्थ कण की संभावित ऊर्जा है।

समीकरण (21.1) से यह पता चलता है कि पीएसआई फ़ंक्शन का रूप फ़ंक्शन यू द्वारा निर्धारित होता है, अर्थात, अंततः, कण पर कार्य करने वाले बलों की प्रकृति से।

श्रोडिंगर समीकरण गैर-सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी का मूलभूत समीकरण है। इसे अन्य संबंधों से प्राप्त नहीं किया जा सकता. इसे प्रारंभिक बुनियादी धारणा के रूप में माना जाना चाहिए, जिसकी वैधता इस तथ्य से साबित होती है कि इससे उत्पन्न होने वाले सभी परिणाम प्रयोगात्मक तथ्यों के साथ सबसे सटीक रूप से सुसंगत हैं।

श्रोडिंगर ने ऑप्टिकल-मैकेनिकल सादृश्य के आधार पर अपना समीकरण स्थापित किया। यह सादृश्य उन समीकरणों की समानता में निहित है जो विश्लेषणात्मक यांत्रिकी में कणों के प्रक्षेप पथ को निर्धारित करने वाले समीकरणों के साथ प्रकाश किरणों के पथ का वर्णन करते हैं। प्रकाशिकी में, किरणों का पथ फ़र्मेट के सिद्धांत को संतुष्ट करता है (द्वितीय खंड के § 115 देखें); यांत्रिकी में, प्रक्षेपवक्र का प्रकार कम से कम कार्रवाई के तथाकथित सिद्धांत को संतुष्ट करता है।

यदि बल क्षेत्र जिसमें कण चलता है स्थिर है, तो फ़ंक्शन V स्पष्ट रूप से समय पर निर्भर नहीं करता है और, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, संभावित ऊर्जा का अर्थ है। इस मामले में, श्रोडिंगर समीकरण का समाधान दो कारकों में विभाजित होता है, जिनमें से एक केवल निर्देशांक पर निर्भर करता है, दूसरा - केवल समय पर:

यहाँ E कण की कुल ऊर्जा है, जो स्थिर क्षेत्र की स्थिति में स्थिर रहती है। अभिव्यक्ति (21.3) की वैधता को सत्यापित करने के लिए, आइए इसे समीकरण (21.1) में प्रतिस्थापित करें। परिणामस्वरूप, हमें संबंध प्राप्त होता है

एक सामान्य कारक द्वारा घटाने पर हम फ़ंक्शन को परिभाषित करने वाले एक अंतर समीकरण पर पहुंचते हैं

समीकरण (21.4) को स्थिर अवस्थाओं के लिए श्रोडिंगर समीकरण कहा जाता है। आगे हम केवल इस समीकरण से निपटेंगे और संक्षिप्तता के लिए हम इसे केवल श्रोडिंगर समीकरण कहेंगे। समीकरण (21.4) को अक्सर इस रूप में लिखा जाता है

आइए हम बताएं कि कोई श्रोडिंगर समीकरण तक कैसे पहुंच सकता है। सरलता के लिए, हम स्वयं को एक-आयामी मामले तक ही सीमित रखते हैं। आइए एक स्वतंत्र रूप से घूमने वाले कण पर विचार करें।

डी ब्रॉगली के विचार के अनुसार, इसे एक समतल तरंग के साथ संबद्ध करने की आवश्यकता है

(क्वांटम यांत्रिकी में घातांक को ऋण चिह्न के साथ लेने की प्रथा है)। (18.1) और (18.2) के अनुसार ई और के माध्यम से प्रतिस्थापित करने पर, हम अभिव्यक्ति पर पहुंचते हैं

इस अभिव्यक्ति को t के संबंध में एक बार और x के संबंध में दूसरी बार दो बार विभेदित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

गैर-सापेक्षवादी शास्त्रीय यांत्रिकी में, ऊर्जा ई और एक मुक्त कण की गति संबंध से संबंधित होती है

इस संबंध में E के लिए व्यंजक (21.7) को प्रतिस्थापित करने और फिर इसे कम करने पर, हमें समीकरण प्राप्त होता है

जो समीकरण (21.1) से मेल खाता है, यदि हम बाद वाले में डालते हैं

संभावित ऊर्जा यू द्वारा विशेषता वाले बल क्षेत्र में घूमने वाले कण के मामले में, ऊर्जा ई और गति संबंध से संबंधित हैं

इस मामले में ई के लिए अभिव्यक्ति (21.7) का विस्तार करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

इस अनुपात को गुणा करने और पद को बाईं ओर ले जाने पर, हम समीकरण पर पहुंचते हैं

समीकरण (21.1) के साथ मेल खाता है।

बताए गए तर्क में कोई साक्ष्यात्मक शक्ति नहीं है और इसे श्रोडिंगर समीकरण की व्युत्पत्ति के रूप में नहीं माना जा सकता है। उनका उद्देश्य यह बताना है कि इस समीकरण तक कैसे पहुंचा जा सकता है।

क्वांटम यांत्रिकी में, अवधारणा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। एक ऑपरेटर एक नियम है जिसके द्वारा एक फ़ंक्शन (आइए इसे निरूपित करें) दूसरे फ़ंक्शन के साथ जुड़ा हुआ है (आइए इसे निरूपित करें)। इसे प्रतीकात्मक रूप से इस प्रकार लिखा जाता है:

यहां ऑपरेटर का एक प्रतीकात्मक पदनाम है (उसी सफलता के साथ कोई भी इसके ऊपर "कैप" के साथ कोई अन्य अक्षर ले सकता है, उदाहरण के लिए, आदि)। सूत्र (21.2) में, Q की भूमिका फ़ंक्शन F द्वारा निभाई जाती है, और f की भूमिका है दाहिना भागसूत्र.

आइए एक चित्र बनाएं

हमारी समस्या में, फ़ंक्शन U(x) का एक विशेष, असंतत रूप है: यह दीवारों के बीच शून्य के बराबर है, और कुएं के किनारों पर (दीवारों पर) यह अनंत में बदल जाता है:

आइए हम दीवारों के बीच स्थित बिंदुओं पर कणों की स्थिर अवस्था के लिए श्रोडिंगर समीकरण लिखें:

या, यदि हम सूत्र (1.1) को ध्यान में रखते हैं

समीकरण (1.3) में गड्ढे की दीवारों पर सीमा शर्तों को जोड़ना आवश्यक है। आइए इस बात को ध्यान में रखें कि तरंग फ़ंक्शन कणों को खोजने की संभावना से संबंधित है। इसके अलावा, समस्या की स्थितियों के अनुसार, कण का दीवारों के बाहर पता नहीं लगाया जा सकता है। तब दीवारों पर और उनसे परे तरंग कार्य लुप्त हो जाना चाहिए, और समस्या की सीमा स्थितियाँ सरल रूप ले लेती हैं:

अब आइए समीकरण (1.3) को हल करना शुरू करें। विशेष रूप से, हम इस बात को ध्यान में रख सकते हैं कि इसका समाधान डी ब्रोगली तरंगें हैं। लेकिन समाधान के रूप में एक डी ब्रोगली तरंग स्पष्ट रूप से हमारी समस्या पर लागू नहीं होती है, क्योंकि यह स्पष्ट रूप से एक दिशा में एक मुक्त कण "चलने" का वर्णन करती है। हमारे मामले में, कण दीवारों के बीच "आगे और पीछे" चलता है। इस मामले में, सुपरपोजिशन के सिद्धांत के आधार पर, हम वांछित समाधान को दो डी ब्रोगली तरंगों के रूप में प्रस्तुत करने का प्रयास कर सकते हैं जो आवेगों पी और -पी के साथ एक दूसरे की ओर चल रही हैं, अर्थात इस रूप में:

स्थिरांक और सीमा स्थितियों और सामान्यीकरण स्थितियों में से एक से पाया जा सकता है। उत्तरार्द्ध कहता है कि यदि आप सभी संभावनाओं को जोड़ते हैं, यानी, सामान्य रूप से (किसी भी स्थान पर) दीवारों के बीच एक इलेक्ट्रॉन खोजने की संभावना पाते हैं, तो आपको एक मिलता है (एक विश्वसनीय घटना की संभावना 1 है), यानी:

पहली सीमा शर्त के अनुसार हमारे पास:

इस प्रकार, हमें अपनी समस्या का समाधान मिलता है:

जैसा कि ज्ञात है, . इसलिए, पाया गया समाधान इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

स्थिरांक A सामान्यीकरण स्थिति से निर्धारित होता है। लेकिन यहां उसकी कोई खास दिलचस्पी नहीं है. दूसरी सीमा शर्त अप्रयुक्त रही. यह आपको क्या परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है? पाए गए समाधान (1.5) पर लागू करने पर, यह समीकरण की ओर ले जाता है:

इससे हम देखते हैं कि हमारी समस्या में आवेग p कोई मान नहीं, बल्कि केवल मान ले सकता है

वैसे, n शून्य के बराबर नहीं हो सकता, क्योंकि तब तरंग फलन अंतराल (0...l) में हर जगह शून्य के बराबर होगा! इसका मतलब यह है कि दीवारों के बीच का कण आराम की स्थिति में नहीं हो सकता! उसे तो हिलना ही होगा. धातु में चालन इलेक्ट्रॉन समान परिस्थितियों में होते हैं। प्राप्त निष्कर्ष उन पर भी लागू होता है: किसी धातु में इलेक्ट्रॉन स्थिर नहीं हो सकते।

किसी गतिमान इलेक्ट्रॉन का न्यूनतम संभव संवेग है

हमने संकेत दिया कि दीवारों से परावर्तित होने पर इलेक्ट्रॉन की गति का संकेत बदल जाता है। इसलिए, दीवारों के बीच बंद होने पर इलेक्ट्रॉन की गति क्या है, इस सवाल का निश्चित रूप से उत्तर नहीं दिया जा सकता है: या तो +p या -p। आवेग अनिश्चित है. इसकी अनिश्चितता की डिग्री स्पष्ट रूप से निम्नानुसार निर्धारित की जाती है: =p-(-p)=2p. निर्देशांक की अनिश्चितता l के बराबर है; यदि आप एक इलेक्ट्रॉन को "पकड़ने" का प्रयास करते हैं, तो यह दीवारों के बीच पाया जाएगा, लेकिन वास्तव में कहां अज्ञात है। चूँकि p का सबसे छोटा मान है, हमें मिलता है:

हमने अपनी समस्या की शर्तों के तहत, यानी अस्तित्व की शर्तों के तहत हाइजेनबर्ग संबंध की पुष्टि की सबसे कम मूल्यपी। यदि हम संवेग के मनमाने संभावित मान को ध्यान में रखें, तो अनिश्चितता संबंध निम्नलिखित रूप लेता है:

इसका मतलब यह है कि अनिश्चितता का मूल हाइजेनबर्ग-बोह्र अभिधारणा माप के दौरान संभव अनिश्चितताओं की केवल निचली सीमा निर्धारित करता है। यदि आंदोलन की शुरुआत में सिस्टम न्यूनतम अनिश्चितताओं से संपन्न था, तो समय के साथ वे बढ़ सकते हैं।

हालाँकि, सूत्र (1.6) एक और बेहद दिलचस्प निष्कर्ष की ओर भी इशारा करता है: यह पता चलता है कि क्वांटम यांत्रिकी में एक प्रणाली की गति हमेशा लगातार बदलने में सक्षम नहीं होती है (जैसा कि शास्त्रीय यांत्रिकी में हमेशा होता है)। हमारे उदाहरण में कण गति स्पेक्ट्रम अलग है; दीवारों के बीच कण गति केवल छलांग (क्वांटा) में बदल सकती है। विचाराधीन समस्या में उछाल का परिमाण स्थिर और बराबर है।

चित्र में. 2. कण गति के संभावित मूल्यों का स्पेक्ट्रम स्पष्ट रूप से दर्शाया गया है। इस प्रकार, क्वांटम यांत्रिकी में यांत्रिक मात्राओं में परिवर्तन की विसंगति, शास्त्रीय यांत्रिकी से पूरी तरह से अलग, इसके गणितीय तंत्र से उत्पन्न होती है। इस सवाल का कि आवेग छलांग में क्यों बदलता है, इसका स्पष्ट उत्तर पाना असंभव है। ये क्वांटम यांत्रिकी के नियम हैं; हमारा निष्कर्ष तार्किक रूप से उनसे अनुसरण करता है - यही पूरी व्याख्या है।

आइए अब हम कण की ऊर्जा की ओर मुड़ें। सूत्र (1) द्वारा ऊर्जा संवेग से संबंधित है। यदि पल्स स्पेक्ट्रम असतत है, तो यह स्वचालित रूप से पता चलता है कि दीवारों के बीच कण ऊर्जा मूल्यों का स्पेक्ट्रम असतत है। और यह प्राथमिक रूप से पाया जाता है। यदि सूत्र (1.6) के अनुसार संभावित मानों को सूत्र (1.1) में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हम प्राप्त करते हैं:

जहाँ n = 1, 2,…, और क्वांटम संख्या कहलाती है।

तो हमें ऊर्जा का स्तर मिल गया।

चावल। 3 हमारी समस्या की स्थितियों के अनुरूप ऊर्जा स्तरों की व्यवस्था को दर्शाता है। यह स्पष्ट है कि किसी अन्य समस्या के लिए ऊर्जा स्तरों की व्यवस्था भिन्न होगी। यदि कण आवेशित है (उदाहरण के लिए, यह एक इलेक्ट्रॉन है), तो, न्यूनतम ऊर्जा स्तर पर न होते हुए भी, यह अनायास प्रकाश उत्सर्जित करने में सक्षम होगा (फोटॉन के रूप में)। साथ ही, यह स्थिति के अनुसार निम्न ऊर्जा स्तर पर चला जाएगा:

हमारी समस्या में प्रत्येक स्थिर अवस्था के लिए तरंग कार्य साइनसॉइड हैं, जिनका शून्य मान आवश्यक रूप से दीवारों पर पड़ता है। n = 1.2 के लिए ऐसे दो तरंग फलन चित्र में दिखाए गए हैं। 1.

सामान्य श्रोडिंगर समीकरण. स्थिर अवस्थाओं के लिए श्रोडिंगर समीकरण

डी ब्रोगली तरंगों (§ 216 देखें) और हाइजेनबर्ग अनिश्चितता संबंध (5 215 देखें) की सांख्यिकीय व्याख्या से यह निष्कर्ष निकला कि क्वांटम यांत्रिकी में गति का समीकरण, जो विभिन्न बल क्षेत्रों में सूक्ष्म कणों की गति का वर्णन करता है, एक समीकरण होना चाहिए जिससे कणों के प्रायोगिक तरंग गुणों का अवलोकन किया जा सके। मुख्य समीकरण तरंग फ़ंक्शन Ψ (x, y, z, t) के संबंध में एक समीकरण होना चाहिए, क्योंकि यह बिल्कुल यही है, या, अधिक सटीक रूप से, मात्रा |Ψ| 2, किसी कण के समय t पर आयतन dV में होने की संभावना निर्धारित करता है, यानी निर्देशांक x और x+dx, y और y+dy, z और z+dz वाले क्षेत्र में। चूँकि आवश्यक समीकरण में कणों के तरंग गुणों को ध्यान में रखना चाहिए, यह विद्युत चुम्बकीय तरंगों का वर्णन करने वाले समीकरण के समान एक तरंग समीकरण होना चाहिए।

गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी का मूल समीकरण 1926 में ई. श्रोडिंगर द्वारा तैयार किया गया था। श्रोडिंगर समीकरण, भौतिकी के सभी बुनियादी समीकरणों की तरह (उदाहरण के लिए, शास्त्रीय यांत्रिकी में न्यूटन के समीकरण और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के लिए मैक्सवेल के समीकरण), व्युत्पन्न नहीं है, बल्कि प्रतिपादित है। इस समीकरण की सत्यता की पुष्टि इसकी सहायता से प्राप्त परिणामों के अनुभव के साथ समझौते से होती है, जो बदले में इसे प्रकृति के नियम का चरित्र प्रदान करती है। श्रोडिंगर समीकरण का रूप है

जहां h=h/(2π), m कण का द्रव्यमान है, ∆ लाप्लास ऑपरेटर है ( ),

मैं - काल्पनिक इकाई, यू (एक्स, वाई, जेड, टी) - बल क्षेत्र में एक कण का संभावित कार्य जिसमें यह चलता है, Ψ (x, y, z, t ) - कण का वांछित तरंग कार्य।

समीकरण (217.1) किसी भी कण के लिए मान्य है (0 के बराबर स्पिन के साथ; देखें § 225) कम गति से (प्रकाश की गति की तुलना में), यानी गति υ पर<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

निरंतर होना चाहिए; 3) फ़ंक्शन |Ψ| 2 पूर्णांक होना चाहिए; सरलतम मामलों में यह स्थिति संभावनाओं को सामान्य करने की स्थिति (216.3) तक कम हो जाती है।

श्रोडिंगर समीकरण पर पहुंचने के लिए, एक स्वतंत्र रूप से घूमने वाले कण पर विचार करें, जो डी ब्रोगली के विचार के अनुसार, एक समतल तरंग से जुड़ा है। सरलता के लिए, हम एक-आयामी मामले पर विचार करते हैं। x अक्ष के अनुदिश प्रसारित होने वाली समतल तरंग के समीकरण का रूप होता है (§ 154 देखें)

या एक जटिल रिकॉर्डिंग में . इसलिए, समतल डी ब्रोगली तरंग का रूप है

(217.2)

(यह ध्यान में रखा जाता है कि ω = ई/एच, के=पी/एच)। क्वांटम यांत्रिकी में, घातांक को ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है, लेकिन चूँकि केवल |Ψ| का भौतिक अर्थ होता है। 2, तो यह (देखें (217.2)) महत्वहीन है। तब

,

; (217.3)

ऊर्जा E और संवेग p (E = p 2 /(2m)) के बीच संबंध का उपयोग करके और अभिव्यक्ति (217.3) को प्रतिस्थापित करके, हम अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं

जो मामले यू = 0 के लिए समीकरण (217.1) से मेल खाता है (हमने एक मुक्त कण माना है)।

यदि कोई कण संभावित ऊर्जा यू द्वारा विशेषता वाले बल क्षेत्र में चलता है, तो कुल ऊर्जा ई गतिज और संभावित ऊर्जा का योग है। E और p (इस मामले के लिए p 2 /(2m)=E -U) के बीच संबंध का उपयोग करके समान तर्क को आगे बढ़ाते हुए, हम (217.1) के साथ मेल खाने वाले एक अंतर समीकरण पर पहुंचते हैं।

उपरोक्त तर्क को श्रोडिंगर समीकरण की व्युत्पत्ति के रूप में नहीं लिया जाना चाहिए। वे केवल यह बताते हैं कि कोई इस समीकरण तक कैसे पहुंच सकता है। श्रोडिंगर समीकरण की सत्यता का प्रमाण उन निष्कर्षों के अनुभव के साथ सहमति है जिनसे यह निष्कर्ष निकलता है।

समीकरण (217.1) सामान्य श्रोडिंगर समीकरण है। इसे समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण भी कहा जाता है। माइक्रोवर्ल्ड में होने वाली कई भौतिक घटनाओं के लिए, समय पर Ψ की निर्भरता को समाप्त करके समीकरण (217.1) को सरल बनाया जा सकता है, दूसरे शब्दों में, स्थिर राज्यों के लिए श्रोडिंगर समीकरण खोजें - निश्चित ऊर्जा मूल्यों वाले राज्य। यह तभी संभव है जब बल क्षेत्र जिसमें कण चलता है, स्थिर है, अर्थात फ़ंक्शन U = U(x, y, z) ) यह स्पष्ट रूप से समय पर निर्भर नहीं करता है और संभावित ऊर्जा का अर्थ रखता है। इस मामले में, श्रोडिंगर समीकरण के समाधान को दो कार्यों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनमें से एक केवल निर्देशांक का एक कार्य है, दूसरा - केवल समय, और समय पर निर्भरता गुणक द्वारा व्यक्त की जाती है

,

जहां ई - कण की कुल ऊर्जा, स्थिर क्षेत्र के मामले में स्थिर। (217.4) को (217.1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

जहां से, एक सामान्य कारक ई - आई (ई/ एच) टी और संबंधित परिवर्तनों से विभाजित करने के बाद, हम फ़ंक्शन को परिभाषित करने वाले समीकरण पर पहुंचते हैं:

(217.5)

समीकरण (217.5) को स्थिर अवस्थाओं के लिए श्रोडिंगर समीकरण कहा जाता है।

इस समीकरण में एक पैरामीटर के रूप में कण की कुल ऊर्जा E शामिल है। विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में, यह सिद्ध किया गया है कि ऐसे समीकरणों में अनंत संख्या में समाधान होते हैं, जिनमें से सीमा शर्तों को लागू करके भौतिक अर्थ वाले समाधानों का चयन किया जाता है। श्रोडिंगर समीकरण के लिए, ऐसी स्थितियाँ तरंग कार्यों की नियमितता की शर्तें हैं: तरंग कार्यों को उनके पहले व्युत्पन्न के साथ परिमित, एकल-मूल्यवान और निरंतर होना चाहिए। इस प्रकार, केवल वे समाधान जो नियमित कार्यों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं ψ का वास्तविक भौतिक अर्थ होता है . लेकिन नियमित समाधान पैरामीटर ई के किसी भी मान के लिए नहीं होते हैं, बल्कि उनमें से केवल एक निश्चित सेट के लिए होते हैं, जो किसी दी गई समस्या की विशेषता है। इन ऊर्जा मूल्यों को eigenvalues ​​​​कहा जाता है। वे समाधान जो ऊर्जा के eigenvalues ​​​​के अनुरूप होते हैं, eigenfunctions कहलाते हैं। Eigenvalues ​​​​E या तो एक सतत या असतत श्रृंखला बना सकता है। पहले मामले में, वे एक सतत, या ठोस, स्पेक्ट्रम की बात करते हैं, दूसरे में - एक असतत स्पेक्ट्रम की।