समस्या 19 ( ओजीई - 2015, यशचेंको आई.वी.)
ओलेया, डेनिस, वाइटा, आर्थर और रीटा ने इस बात पर विचार-विमर्श किया कि खेल किसे शुरू करना चाहिए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि रीटा को खेल शुरू करना चाहिए।
समाधान
कुल 5 लोग गेम शुरू कर सकते हैं।
उत्तर: 0.2.
समस्या 19 ( ओजीई - 2015, यशचेंको आई.वी.)
मीशा की जेब में चार मिठाइयाँ थीं - "ग्रिलेज", "मास्क", "स्क्विरल" और "लिटिल रेड राइडिंग हूड", साथ ही अपार्टमेंट की चाबियाँ भी थीं। चाबी निकालते समय मिशा से गलती से कैंडी का एक टुकड़ा गिर गया। मास्क कैंडी खो जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
समाधान
कुल मिलाकर 4 विकल्प हैं.
मिशा द्वारा मास्क कैंडी गिराने की प्रायिकता बराबर है
उत्तर: 0.25.
समस्या 19 ( ओजीई - 2015, यशचेंको आई.वी.)
पासे (पासे) एक बार फेंके जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि अंकित संख्या 3 से कम नहीं है?
समाधान
एक पासे पर अंक अर्जित करने के लिए कुल 6 अलग-अलग विकल्प हैं।
अंकों की संख्या, 3 से कम नहीं, हो सकती है: 3,4,5,6 - यानी 4 विकल्प।
इसका मतलब है कि संभावना P = 4/6 = 2/3 है।
उत्तर: 2/3.
समस्या 19 ( ओजीई - 2015, यशचेंको आई.वी.)
दादी ने यात्रा के लिए अपने पोते इलुशा को कुछ बेतरतीब ढंग से चुने गए फल देने का फैसला किया। उसके पास 3 हरे सेब, 3 हरे नाशपाती और 2 पीले केले थे। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इल्या को अपनी दादी से हरा फल मिलेगा।
समाधान
3+3+2 = 8 - कुल फल। इनमें से 6 हरे (3 सेब और 3 नाशपाती) हैं।
तब इल्या को अपनी दादी से हरा फल मिलने की प्रायिकता बराबर है
पी = 6/8 = 3/4 = 0.75.
उत्तर: 0.75.
समस्या 19 ( ओजीई - 2015, यशचेंको आई.वी.)
पासे दो बार फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 3 से बड़ी संख्या दोनों बार लुढ़की है।
समाधान
6*6 = 36 - दो पासे फेंकने पर संभावित संख्याओं की कुल संख्या।
जो विकल्प हमारे लिए उपयुक्त हैं वे हैं:
ऐसे कुल 9 विकल्प हैं।
इसका मतलब यह है कि 3 से बड़ी संख्या को दोनों बार रोल करने की संभावना बराबर है
पी = 9/36 = 1/4 = 0.25.
उत्तर: 0.25.
समस्या 19 ( ओजीई - 2015, यशचेंको आई.वी.)
पासे (पासे) 2 बार फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक बार 3 से बड़ी संख्या को रोल किया जाता है, और दूसरी बार 3 से कम संख्या को रोल किया जाता है।
समाधान
कुल विकल्प: 6*6 = 36.
निम्नलिखित परिणाम हमारे अनुकूल हैं:
समस्या के समाधान का सिद्धांत समझाइये। पासे एक बार फेंके गये। 4 अंक से कम लुढ़कने की प्रायिकता क्या है? और सबसे अच्छा उत्तर मिला
उत्तर से भिन्न[गुरु]
50 प्रतिशत
सिद्धांत अत्यंत सरल है. कुल परिणाम 6: 1,2,3,4,5,6
इनमें से तीन शर्त को पूरा करते हैं: 1,2,3, और तीन नहीं: 4,5,6। इसलिए प्रायिकता 3/6=1/2=0.5=50% है
उत्तर से मैं सुपरमैन हूँ[गुरु]
कुल मिलाकर छह विकल्प हो सकते हैं (1,2,3,4,5,6)
और इनमें से विकल्प 1, 2, और 3 चार से कम हैं
तो 6 में से 3 उत्तर
संभाव्यता की गणना करने के लिए, हम अनुकूल वितरण को हर चीज़ से विभाजित करते हैं, यानी 3 से 6 = 0.5 या 50%
उत्तर से ओरी डोवबीश[सक्रिय]
50%
पासे पर संख्याओं की संख्या से 100% भाग दें,
और फिर प्राप्त प्रतिशत को उस राशि से गुणा करें जिसे आपको पता लगाना है, यानी 3 से)
उत्तर से इवान पैनिन[गुरु]
मैं निश्चित रूप से नहीं जानता, मैं जीआईए के लिए तैयारी कर रहा हूं, लेकिन शिक्षक ने आज मुझे केवल कारों की संभावना के बारे में कुछ बताया, क्योंकि मैं समझ गया कि अनुपात को अंश के रूप में दिखाया गया है, शीर्ष पर संख्या अनुकूल है , और नीचे, मेरी राय में, यह आम तौर पर सामान्य है, ठीक है, हमारे पास कारों के बारे में था: एक टैक्सी कंपनी में इस पलनिःशुल्क 3 काली, 3 पीली और 14 हरी कारें। कारों में से एक ग्राहक के पास चली गई। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक पीली टैक्सी उसके पास आएगी। तो, 3 पीली टैक्सियाँ हैं और कारों की कुल संख्या में से 3 हैं, यह पता चलता है कि हम भिन्न के शीर्ष पर 3 लिखते हैं, क्योंकि यह शुभ अंककारें, और नीचे हम 20 लिखते हैं, क्योंकि टैक्सी बेड़े में कुल 20 कारें हैं, इसलिए संभावना 20 में 3 या एक अंश के रूप में 3/20 है, ठीक है, मैंने इसे इसी तरह समझा.... मुझे नहीं पता ठीक से पता है कि हड्डियों से कैसे निपटना है, लेकिन शायद इससे किसी तरह मदद मिली...
उत्तर से 3 उत्तर[गुरु]
नमस्ते! यहां आपके प्रश्न के उत्तर के साथ विषयों का चयन दिया गया है: समस्या को हल करने के सिद्धांत की व्याख्या करें। पासे एक बार फेंके गये। 4 अंक से कम लुढ़कने की प्रायिकता क्या है?
पाठ मकसद:
छात्रों को पता होना चाहिए:
- संभाव्यता का निर्धारण यादृच्छिक घटना;
- किसी यादृच्छिक घटना की संभाव्यता ज्ञात करने के लिए समस्याओं को हल करने में सक्षम हो;
- सैद्धांतिक ज्ञान को व्यवहार में लागू करने में सक्षम हो।
पाठ मकसद:
शैक्षिक: किसी घटना की संभाव्यता की अवधारणाओं के साथ ज्ञान, कौशल और क्षमताओं की एक प्रणाली में महारत हासिल करने के लिए छात्रों के लिए परिस्थितियाँ बनाएँ।
शैक्षिक: छात्रों में वैज्ञानिक विश्वदृष्टि का निर्माण करना
विकासात्मक: छात्रों की संज्ञानात्मक रुचि, रचनात्मकता, इच्छाशक्ति, स्मृति, भाषण, ध्यान, कल्पना, धारणा विकसित करना।
शैक्षिक और संज्ञानात्मक गतिविधियों के आयोजन के तरीके:
- तस्वीर,
- व्यावहारिक,
- मानसिक गतिविधि द्वारा: आगमनात्मक,
- सामग्री को आत्मसात करने के अनुसार: आंशिक रूप से खोज, प्रजनन,
- स्वतंत्रता की डिग्री के अनुसार: स्वतंत्र कार्य,
- प्रेरक: प्रोत्साहन,
- नियंत्रण के प्रकार: स्वतंत्र रूप से हल की गई समस्याओं की जाँच करना।
शिक्षण योजना
- मौखिक व्यायाम
- नई सामग्री सीखना
- कार्यों का समाधान.
- स्वतंत्र काम।
- पाठ का सारांश.
- होमवर्क पर टिप्पणी करना.
उपकरण: मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर (प्रस्तुति), कार्ड ( स्वतंत्र काम)
कक्षाओं के दौरान
I. संगठनात्मक क्षण।
पूरे पाठ के दौरान कक्षा का संगठन, पाठ के लिए विद्यार्थियों की तत्परता, व्यवस्था और अनुशासन।
पूरे पाठ और उसके व्यक्तिगत चरणों दोनों के लिए छात्रों के लिए सीखने के लक्ष्य निर्धारित करना।
इस विषय और संपूर्ण पाठ्यक्रम दोनों में अध्ययन की जा रही सामग्री का महत्व निर्धारित करें।
द्वितीय. दुहराव
1. संभाव्यता क्या है?
संभाव्यता किसी चीज़ के घटित होने या संभव होने की संभावना है।
2. आधुनिक संभाव्यता सिद्धांत के संस्थापक ए.एन. ने क्या परिभाषा दी है? कोलमोगोरोव?
गणितीय संभाव्यता कुछ निश्चित परिस्थितियों में किसी निश्चित घटना के घटित होने की संभावना की डिग्री की एक संख्यात्मक विशेषता है जिसे असीमित संख्या में दोहराया जा सकता है।
3. जो क्लासिक परिभाषाक्या स्कूली पाठ्यपुस्तकों के लेखक संभावनाएँ देते हैं?
समान रूप से संभावित प्राथमिक परिणामों वाले परीक्षण में घटना ए की संभावना पी (ए) परीक्षण के सभी परिणामों की संख्या एन के लिए घटना ए के अनुकूल परिणामों की संख्या का अनुपात है।
निष्कर्ष: गणित में संभाव्यता को संख्या से मापा जाता है।
आज हम "पासा" के गणितीय मॉडल पर विचार करना जारी रखेंगे।
संभाव्यता सिद्धांत में शोध का विषय वे घटनाएँ हैं जो कुछ शर्तों के तहत प्रकट होती हैं और जिन्हें असीमित संख्या में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है। इन स्थितियों की प्रत्येक घटना को परीक्षण कहा जाता है।
परीक्षण एक पासा फेंक रहा है.
घटना - छक्का लगाना याअंकों की सम संख्या को रोल करना।
एक पासे को कई बार घुमाने पर, प्रत्येक पक्ष के सामने आने की संभावना समान होती है (पासा उचित है)।
तृतीय. मौखिक समस्या का समाधान.
1. पासे (पासे) एक बार फेंके गये। इसकी क्या प्रायिकता है कि 4 लुढ़का है?
समाधान। एक यादृच्छिक प्रयोग एक पासा फेंक रहा है। घटना - नीचे की तरफ एक संख्या। केवल छह चेहरे हैं. आइए सभी घटनाओं को सूचीबद्ध करें: 1, 2, 3, 4, 5, 6 पी= 6. घटना ए = (4 अंक लुढ़के) एक घटना द्वारा समर्थित है: 4. इसलिए टी= 1. घटनाएँ समान रूप से संभव हैं, क्योंकि यह माना जाता है कि पासा उचित है। इसलिए पी(ए) = टी/एन= 1/6 = 0,17.
2. पासा (पासा) एक बार फेंका गया। इसकी क्या प्रायिकता है कि 4 से अधिक अंक नहीं लुढ़के?
पी= 6. घटना ए = (4 से अधिक अंक नहीं) 4 घटनाओं द्वारा समर्थित है: 1, 2, 3, 4। इसलिए टी= 4. इसलिए पी(ए) = टी/एन= 4/6 = 0,67.
3. पासा (पासा) एक बार फेंका गया। 4 अंक से कम लुढ़कने की प्रायिकता क्या है?
समाधान। एक यादृच्छिक प्रयोग एक पासा फेंक रहा है। घटना - नीचे की ओर एक संख्या। मतलब पी= 6. घटना ए = (4 अंक से कम) को 3 घटनाओं का समर्थन प्राप्त है: 1, 2, 3। इसलिए टी= 3. पी(ए) = टी/एन= 3/6 = 0,5.
4. पासा (पासा) एक बार फेंका गया। इसकी क्या प्रायिकता है कि विषम संख्या में अंक प्राप्त किये जायेंगे?
समाधान। एक यादृच्छिक प्रयोग एक पासा फेंक रहा है। घटना - नीचे की ओर एक संख्या। मतलब पी= 6. घटना ए = (विषम संख्या में अंक लुढ़का हुआ है) 3 घटनाओं द्वारा समर्थित है: 1,3,5। इसीलिए टी= 3. पी(ए) = टी/एन= 3/6 = 0,5.
चतुर्थ. नई चीजें सीखें
आज हम उन समस्याओं पर विचार करेंगे जब एक यादृच्छिक प्रयोग में दो पासों का उपयोग किया जाता है या दो या तीन फेंके जाते हैं।
1. एक यादृच्छिक प्रयोग में, दो पासे फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए अंकों का योग 6 है। उत्तर को निकटतम सौवें भाग तक पूर्णांकित कीजिए .
समाधान। इस प्रयोग का परिणाम संख्याओं का एक क्रमित युग्म है। पहला नंबर पहले पासे पर दिखाई देगा, दूसरा दूसरे पर। परिणामों का एक सेट एक तालिका में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है।
पंक्तियाँ पहले पासे पर अंकों की संख्या के अनुरूप हैं, कॉलम - दूसरे पासे पर। कुल प्राथमिक घटनाएँ पी= 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
आइए प्रत्येक कक्ष में लुढ़के हुए बिंदुओं का योग लिखें और उन कक्षों में रंग डालें जहां योग 6 है।
ऐसे 5 सेल हैं इसका मतलब है कि घटना ए = (अंकों का योग 6 है) 5 परिणामों के पक्ष में है। इस तरह, टी= 5. इसलिए, पी(ए) = 5/36 = 0.14.
2. एक यादृच्छिक प्रयोग में, दो पासे फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कुल 3 अंक होंगे। परिणाम को सौवें तक पूर्णांकित करें .
पी= 36.
घटना ए = (योग 3 के बराबर) 2 परिणामों द्वारा समर्थित है। इस तरह, टी= 2.
इसलिए, पी(ए) = 2/36 = 0.06।
3. एक यादृच्छिक प्रयोग में, दो पासे फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कुल 10 अंक से अधिक होगा। परिणाम को सौवें तक पूर्णांकित करें .
समाधान। इस प्रयोग का परिणाम संख्याओं का एक क्रमित युग्म है। कुल घटनाएँ पी= 36.
घटना ए = (कुल 10 से अधिक अंक प्राप्त होंगे) 3 परिणामों द्वारा समर्थित है।
इस तरह, टी
4. ल्यूबा ने दो बार पासा फेंका। कुल मिलाकर, उसने 9 अंक बनाए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक थ्रो का परिणाम 5 अंक होगा .
समाधान इस प्रयोग का परिणाम संख्याओं का एक क्रमित युग्म है। पहला नंबर पहले थ्रो पर दिखाई देगा, दूसरा दूसरे पर। परिणामों का एक सेट एक तालिका में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है।
पंक्तियाँ पहले थ्रो के परिणाम के अनुरूप हैं, कॉलम - दूसरे थ्रो के परिणाम के अनुरूप हैं।
कुल घटनाएँ जिनका कुल स्कोर 9 है पी= 4. घटना ए = (एक थ्रो के परिणामस्वरूप 5 अंक प्राप्त हुए) 2 परिणामों के पक्ष में है। इस तरह, टी= 2.
इसलिए, पी(ए) = 2/4 = 0.5.
5. स्वेता ने दो बार पासा फेंका। कुल मिलाकर, उसने 6 अंक बनाए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि किसी एक थ्रो का परिणाम 1 अंक हो।
पहला थ्रो |
दूसरा टॉस |
अंकों का योग |
||
5 समान रूप से संभावित परिणाम हैं।
घटना की प्रायिकता p = 2/5 = 0.4 है।
6. ओला ने दो बार पासा फेंका। उसे कुल 5 अंक मिले. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहले रोल का परिणाम 3 अंक है।
पहला थ्रो |
दूसरा टॉस |
अंकों का योग |
||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = |
4 समान रूप से संभावित परिणाम हैं।
अनुकूल परिणाम - 1.
घटना की संभावना आर= 1/4 = 0,25.
7. नताशा और वाइटा पासा खेल रहे हैं। वे एक बार पासा पलटते हैं।
जो अधिक अंक फेंकता है वह जीतता है। यदि अंक बराबर हों तो ड्रा हो जाता है। कुल 8 अंक हैं. नताशा के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
अंकों का योग |
||||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = |
5 समान रूप से संभावित परिणाम हैं।
अनुकूल परिणाम-2.
घटना की संभावना आर= 2/5 = 0,4.
8. तान्या और नताशा पासा खेल रहे हैं। वे एक बार पासा पलटते हैं। जो अधिक अंक फेंकता है वह जीतता है। यदि अंक बराबर हों तो ड्रा हो जाता है। कुल 6 अंक रोल किए गए। तान्या के हारने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
| तान्या | नताशा | अंकों का योग | ||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = |
5 समान रूप से संभावित परिणाम हैं।
अनुकूल परिणाम-2.
घटना की संभावना आर= 2/5 = 0,4.
9. कोल्या और लीना पासा खेल रहे हैं। वे एक बार पासा पलटते हैं। जो अधिक अंक फेंकता है वह जीतता है। यदि अंक बराबर हों तो ड्रा हो जाता है। कोल्या ने सबसे पहले थ्रो किया और उसे 3 अंक मिले। लीना के न जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
कोल्या को 3 अंक मिले.
लीना के 6 समान रूप से संभावित परिणाम हैं।
हारने के 3 अनुकूल परिणाम हैं (1 पर और 2 पर और 3 पर)।
घटना की संभावना आर= 3/6 = 0,5.
10. माशा ने तीन बार पासा फेंका। तीनों बार सम संख्याएँ प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
माशा के 6 6 6 = 216 समान रूप से संभावित परिणाम हैं।
हारने के 3 · 3 · 3 = 27 अनुकूल परिणाम हैं।
घटना की संभावना आर= 27/216 = 1/8 = 0,125.
11. एक यादृच्छिक प्रयोग में, तीन पासे फेंके जाते हैं। कुल 16 अंक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। परिणाम को निकटतम सौवें तक पूर्णांकित करें।
समाधान।
| दूसरा | तीसरा | अंकों का योग | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = |
समान रूप से संभावित परिणाम - 6 · 6 · 6 = 216.
अनुकूल परिणाम- 6.
घटना की संभावना आर= 6/216 = 1/36 = 0.277... = 0.28. इस तरह, टी= 3. इसलिए, पी (ए) = 3/36 = 0.08.
वी. स्वतंत्र कार्य.
विकल्प 1।
- पासे (पासे) एक बार फेंके जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि आपने कम से कम 4 अंक प्राप्त किये? (उत्तर:0.5)
- एक यादृच्छिक प्रयोग में, दो पासे फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कुल 5 अंक होंगे। परिणाम को निकटतम सौवें तक पूर्णांकित करें। (उत्तर: 0.11)
- आन्या ने पासा दो बार घुमाया। उसे कुल 3 अंक मिले. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहले रोल पर आपको 1 अंक मिलेगा। (उत्तर:0.5)
- कात्या और इरा पासा खेल रहे हैं। वे एक बार पासा पलटते हैं। जो अधिक अंक फेंकता है वह जीतता है। यदि अंक बराबर हों तो ड्रा हो जाता है। कुल 9 अंक हैं. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इरा हार गई। (उत्तर:0.5)
- एक यादृच्छिक प्रयोग में, तीन पासे फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कुल 15 अंक होंगे। परिणाम को निकटतम सौवें तक पूर्णांकित करें। (उत्तरः0.05)
विकल्प 2।
- पासे (पासे) एक बार फेंके जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि 3 से अधिक अंक नहीं लुढ़के? (उत्तर:0.5)
- एक यादृच्छिक प्रयोग में, दो पासे फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कुल 10 अंक होंगे। परिणाम को निकटतम सौवें तक पूर्णांकित करें। (उत्तरः0.08)
- झुनिया ने दो बार पासा फेंका। उसे कुल 5 अंक मिले. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहले रोल पर आपको 2 अंक मिलेंगे। (उत्तरः0.25)
- माशा और दशा पासे खेल रहे हैं। वे एक बार पासा पलटते हैं। जो अधिक अंक फेंकता है वह जीतता है। यदि अंक बराबर हों तो ड्रा हो जाता है। कुल 11 अंक थे. माशा के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (उत्तर:0.5)
- एक यादृच्छिक प्रयोग में, तीन पासे फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कुल 17 अंक होंगे। परिणाम को गोल करें
VI. गृहकार्य
- एक यादृच्छिक प्रयोग में, तीन पासे फेंके जाते हैं। कुल 12 अंक हैं. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहले रोल पर आपको 5 अंक प्राप्त होंगे। परिणाम को निकटतम सौवें भाग तक पूर्णांकित करें।
- कात्या ने तीन बार पासा फेंका। इसकी क्या प्रायिकता है कि तीनों बार समान संख्याएँ आएंगी?
सातवीं. पाठ सारांश
किसी यादृच्छिक घटना की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए आपको क्या जानने की आवश्यकता है?
शास्त्रीय संभाव्यता की गणना करने के लिए, आपको किसी घटना के सभी संभावित परिणामों और अनुकूल परिणामों को जानना होगा।
संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा केवल समान रूप से संभावित परिणामों वाली घटनाओं पर लागू होती है, जो इसके दायरे को सीमित करती है।
हम स्कूल में संभाव्यता सिद्धांत का अध्ययन क्यों करते हैं?
हमारे आसपास की दुनिया में कई घटनाओं का वर्णन केवल संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग करके किया जा सकता है।
साहित्य
- बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत: पाठ्यपुस्तक। शैक्षणिक संस्थानों के लिए: का एक बुनियादी स्तर/ [श्री ए अलीमोव, यू.एम. कोल्यागिन, एम.वी. - 16वाँ संस्करण, संशोधित। - एम.: शिक्षा, 2010. - 464 पी.
- सेमेनोव ए.एल. एकीकृत राज्य परीक्षा: गणित में उत्तर के साथ 3000 समस्याएं। ग्रुप बी/- तृतीय संस्करण के सभी कार्य, संशोधित। और अतिरिक्त - एम.: प्रकाशन गृह "परीक्षा", 2012. - 543 पी।
- वायसोस्की आई.आर., यशचेंको आई.वी. एकीकृत राज्य परीक्षा 2012। गणित। समस्या बी10. सिद्धांत संभावना। वर्कबुक/ईडी। ए.एल. सेमेनोव और आई.वी. - एम.: एमसीएसएचएमओ, 2012. - 48 पी।
के लिए कार्य पासे की संभावनासिक्का उछालने की समस्या से कम लोकप्रिय नहीं। ऐसी समस्या की स्थिति आमतौर पर इस तरह लगती है: एक या अधिक पासे (2 या 3) फेंकने पर, क्या संभावना है कि अंकों का योग 10 के बराबर होगा, या अंकों की संख्या 4 होगी, या अंकों की संख्या का गुणनफल, या अंकों की संख्या को 2 से विभाजित करने का गुणनफल आदि।
इस प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए शास्त्रीय संभाव्यता सूत्र का अनुप्रयोग मुख्य तरीका है।
एक मरना, संभावना.
एक पासे के साथ स्थिति काफी सरल है। सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: P=m/n, जहां m घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या है, और n एक हड्डी या घन फेंकने के प्रयोग के सभी प्रारंभिक समान रूप से संभव परिणामों की संख्या है।
समस्या 1. पासे एक बार फेंके जाते हैं। सम संख्या में अंक प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
चूँकि पासा एक घन है (या इसे नियमित पासा भी कहा जाता है, पासा सभी तरफ समान संभावना के साथ गिरेगा, क्योंकि यह संतुलित है), पासे की 6 भुजाएँ हैं (1 से 6 तक अंकों की संख्या, जो हैं) आमतौर पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है), इसका मतलब है कि समस्या क्या है कुल गणनापरिणाम: n=6. घटना केवल उन परिणामों से अनुकूल होती है जिनमें सम बिंदु 2,4 और 6 वाला पक्ष दिखाई देता है: पासे में निम्नलिखित पक्ष होते हैं: m=3। अब हम पासे की वांछित संभावना निर्धारित कर सकते हैं: P=3/6=1/2=0.5.
कार्य 2. पासे एक बार फेंके जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि आपको कम से कम 5 अंक मिलेंगे?
इस समस्या को ऊपर दिए गए उदाहरण के अनुरूप हल किया गया है। एक पासा फेंकते समय, समान रूप से संभावित परिणामों की कुल संख्या है: n=6, और केवल 2 परिणाम समस्या की स्थिति को संतुष्ट करते हैं (कम से कम 5 अंक लुढ़के, यानी 5 या 6 अंक लुढ़के), जिसका अर्थ है m =2. इसके बाद, हम आवश्यक संभाव्यता पाते हैं: P=2/6=1/3=0.333।
दो पासे, संभाव्यता.
2 पासे फेंकने से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, एक विशेष स्कोरिंग तालिका का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है। इस पर, पहले पासे पर गिरे अंकों की संख्या क्षैतिज रूप से प्रदर्शित होती है, और दूसरे पासे पर गिरे अंकों की संख्या लंबवत रूप से प्रदर्शित होती है। वर्कपीस इस तरह दिखता है:
लेकिन सवाल यह उठता है कि टेबल के खाली सेल में क्या होगा? यह उस समस्या पर निर्भर करता है जिसे हल करने की आवश्यकता है। यदि समस्या अंकों के योग के बारे में है, तो योग वहाँ लिखा जाता है, और यदि यह अंतर के बारे में है, तो अंतर लिखा जाता है, इत्यादि।
समस्या 3. 2 पासे एक ही समय में फेंके जाते हैं। 5 अंक से कम मिलने की प्रायिकता क्या है?
सबसे पहले, आपको यह पता लगाना होगा कि प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या क्या होगी। एक पासा फेंकने पर सब कुछ स्पष्ट था, पासे की 6 भुजाएँ - प्रयोग के 6 परिणाम। लेकिन जब पहले से ही दो पासे हों, तो संभावित परिणामों को फॉर्म (x, y) की संख्याओं के क्रमित जोड़े के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां x दिखाता है कि पहले पासे (1 से 6 तक) पर कितने अंक फेंके गए थे, और y - दूसरे पासे पर कितने अंक फेंके गए (1 से 6 तक)। ऐसे कुल संख्या जोड़े होंगे: n=6*6=36 (परिणामों की तालिका में वे बिल्कुल 36 कोशिकाओं के अनुरूप हैं)।
अब आप तालिका भर सकते हैं; ऐसा करने के लिए, प्रत्येक कक्ष में पहले और दूसरे पासे पर गिरे अंकों की संख्या दर्ज की जाती है। पूर्ण तालिका इस प्रकार दिखती है:
तालिका का उपयोग करके, हम उन परिणामों की संख्या निर्धारित करेंगे जो घटना के पक्ष में होंगे "कुल मिलाकर 5 से कम अंक दिखाई देंगे।" आइए कोशिकाओं की संख्या गिनें, जिसमें योग का मान होगा कम संख्या 5 (ये 2, 3 और 4 हैं)। सुविधा के लिए, हम ऐसी कोशिकाओं पर पेंट करते हैं; उनमें से m=6 होंगे:
तालिका डेटा को ध्यान में रखते हुए, पासे की संभावनाबराबर: P=6/36=1/6.
समस्या 4. दो पासे फेंके गए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अंकों की संख्या का गुणनफल 3 से विभाज्य होगा।
समस्या को हल करने के लिए, आइए पहले और दूसरे पासे पर गिरे अंकों के गुणनफल की एक तालिका बनाएं। इसमें, हम तुरंत उन संख्याओं को उजागर करते हैं जो 3 के गुणज हैं:
हम प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या n=36 (तर्क पिछली समस्या के समान है) और अनुकूल परिणामों की संख्या (तालिका में छायांकित कोशिकाओं की संख्या) m=20 लिखते हैं। घटना की प्रायिकता है: P=20/36=5/9.
समस्या 5. पासे दो बार फेंके जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि पहले और दूसरे पासे पर अंकों की संख्या में अंतर 2 से 5 तक होगा?
इरादा करना पासे की संभावनाआइए बिंदु अंतरों की एक तालिका लिखें और उसमें उन कक्षों का चयन करें जिनका अंतर मान 2 और 5 के बीच होगा:
अनुकूल परिणामों की संख्या (तालिका में छायांकित कोशिकाओं की संख्या) m=10 है, समान रूप से संभावित प्रारंभिक परिणामों की कुल संख्या n=36 होगी। घटना की संभावना निर्धारित करता है: P=10/36=5/18.
एक साधारण घटना के मामले में और 2 पासे फेंकते समय, आपको एक तालिका बनाने की आवश्यकता है, फिर उसमें आवश्यक कोशिकाओं का चयन करें और उनकी संख्या को 36 से विभाजित करें, इसे एक संभावना माना जाएगा।