КОНСПЕКТ 2
2.1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Определителем второго порядка (соответствующим данной матрице
)
называется число
Пример1 : Вычислим определитель матрицы
Пример 2. Вычислить определители второго порядка:
2(-4)
- 5(-3) = -8 + 15 = 7
=
2.2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:
А
=
Определителем (или детерминантом) третьего порядка , соответствующим данной матрице, называют число
det
A
=
=
Пример 3
Первый способ решения:
Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок». Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:
Множители,
находящиеся на «красных» диагоналях
входят в формулу со знаком «плюс».
Множители,
находящиеся на «синих» диагоналях
входят в формулу со знаком минус:
Пример 3
Второй способ решения:
Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.
Пример 4
Вычислить определитель третьего порядка:
Пример 5
Вычислить определитель третьего порядка
ПРАКТИКУМ 2
ЗАДАНИЕ N 1
,
то…
Решение:
то
По
условию
,
тогда
ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка
,
то…
Решение:
В
нашем случае имеем
По
условию
,
тогда
ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка
,
то…
Решение: Так как определитель второго порядка равен числу, которое получают по правилу:
то
По
условию
,
тогда
ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка, то…
Решение: Напоминаем, что определитель второго порядка равен числу, которое получают по правилу:
В
нашем случае имеем
По
условию
,
тогда
ЗАДАНИЕ N 5
Тема:
Определители третьего порядка
Значение
определителя третьего порядка можно
вычислить, используя
«правило
треугольников», которое схематически
указано на рисунках.
Тогда
определительравен …
Решение:
ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Определители третьего
порядка
Значение определителя
третьего порядка можно вычислить,
используя
«правило треугольников»,
которое схематически указано на
рисунках.
Тогда
определительравен …
Решение: Определитель третьего порядка равен сумме шести слагаемых, из которых три берутся со знаком «+» и три – со знаком «−». Правило вычисления слагаемых со знаком «+» схематически указано на рис. 1. Одно из слагаемых равно произведению элементов определителя, лежащих на главной диагонали. Каждое из двух других находится как произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла определителя. Слагаемые со знаком «−» получаются таким же образом, но относительно второй диагонали (рис. 2). Тогда
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 2
ЗАДАНИЕ N 1
Тема:
Определители второго порядка
Если
определитель второго порядка
,
то…
определителей
Определение. Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов :
.
(1)
Числа стоящие в матрице называются ее элементами и обозначаются буквой с двумя индексами, первый из которых равен номеру строки, а второй номеру столбца в пересечении которых находится данный элемент. Элементы матрицы обычно обозначаются малыми буквами, а сами матрицы соответствующими заглавными. Если матрица задаётся перечислением своих элементов, то таблица элементов заключается в круглые или квадратные скобки.
Например, матрица a размера 23 записывается в виде:
Эта матрица состоит из 6 элементов , гдеi =1,2 – есть номер строки, j =1,2,3 – номер столбца. Матрицы используются в технических науках и в экономике для записи табличной информации. В программировании матрицы называются двумерными массивами.
Матрица у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной , а число строк (столбцов) этой квадратной матрицы называется ее порядком . Квадратная матрица n – го порядка состоит из n 2 элементов:
.
(2)
Каждой квадратной матрице по определённому правилу сопоставляется число, которое называется определителем этой матрицы. Определитель, в отличие от матрицы обозначается вертикальными линиями:
.
Сформулируем правила вычисления определителей 1-го, 2-го, 3-го порядков.
Определителем матрицы 2-го порядка называется число
.
Например:
.
2. Определителем матрицы 3-го порядка называется число
Это правило называется правилом треугольников (Саррюса) . Для его запоминания используется следующая схематическая запись, где элементы, расположенные на месте черных точек перемножаются:
Например:
Определение: Транспонированной матрицей для матрицы A называется матрица A T , столбцами которой являются соответствующие строки матрицы A. Диагональ, исходящая из левого верхнего угла матрицы, называется её главной диагональю . Для квадратной матрицы (2) транспонированная матрица записывается так:
Рассмотрим теперь свойства определителей, справедливые для определителей любого порядка. Для определённости будем их записывать для определителей 3-го порядка.
І. Определители квадратной матрицы A и её транспонированной A T совпадают, т.е. |A|=|A T |.
Дальнейшие свойства определителей мы будем формулировать для его строк. Из первого свойства следует, что все они справедливы и для столбцов.
ІІ. При перемене местами двух строк матрицы, её определитель меняет свой знак на противоположный .
Например:
.
В определителе поменяли местами вторую и третью строки.
ІІІ . Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен 0 .
В самом деле, при перемене местами этих строк, согласно свойству 2, определитель должен удовлетворять уравнению . Отсюда,, следовательно.
І V . Если все элементы одной строки квадратной матрицы умножить на число , то её определитель умножится на это число .
Например:
.
V . Если квадратная матрица содержит нулевую строку, то её определитель равен 0 .
Это свойство получается из предыдущего при = 0.
V І . Если одна из строк определителя записывается в виде суммы двух строк, то определитель записывается в виде суммы двух определителей у которых на месте этой строки стоят соответственно первые и вторые слагаемые. Остальные соответствующие строки всех трёх определителей равны .
Например:
V ІІ. Если к одной строке матрицы прибавить другую её строку, умноженную на число , то определитель матрицы при этом не изменится .
Лекция 2. определители
Определители второго порядка
Определители третьего порядка
Алгебраические дополнения и миноры
Разложение определителя по строке или столбцу
Свойства определителей
Обратная матрица
Свойства обратной матрицы
1. Определители второго порядка
Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы .
Определитель – это число, которое считается по определенным правилам. Порядок определителя – это порядок квадратной матрицы. Если для задания матриц использовались круглые скобки, то в теории определителей используют прямые скобки.
Каждой квадратной матрице поставим в соответствие некоторое число, которое будем называть определителем матрицы, и укажем правило его вычисления. Обозначения:
.
Пример
1.
.
2. Определители третьего порядка
В каждом произведении нет чисел из одного столбца или одной строки.
Приведем схему для запоминания порядка получения слагаемых в определителе.
Произведение чисел на одной диагонали берется со знаком «+» (это главная диагональ матрицы), а на другой – с противоположным знаком.
Пример 2 .
3. Алгебраические дополнения и миноры
Для вычисления определителей порядка больше третьего применяют другие способы вычисления.
Пример
3.
Минор 
определителя
есть.
.
Полезно
запомнить, что
и
.
Пример 4. В примере 3алгебраическое дополнение
4. Разложение определителя по строке или столбцу
Вычисление
определителя
-го
порядка можно свести к вычислению
определителей порядка
,
используя следующие формулы.
Это
число равно сумме произведений элементов
любой
-й
строки на
их алгебраические
дополнения
.
Пример
5
. Вычислить
определитель третьего порядка
разложением по первой строке.
Решение
Это
число равно сумме произведений элементов
любого
-го
столбца на их алгебраические дополнения.
Независимо от способа разложения всегда получается один и тот же ответ.
5. Свойства определителей
1.
При
транспонировании квадратной матрицы
ее определитель не меняется:
.
Вывод. Свойства определителей, сформулированных для строк, справедливы и для столбцов.
2.
При
перестановке двух строк
(столбцов) определитель меняет знак на
противоположный. Например,
.
3. Определитель равен нулю , если:
а)
он имеет нулевую строку (столбец)
;
б)
он имеет пропорциональные (одинаковые)
строки (столбец)
.
4.
Общий
множитель в строке (столбце)
можно выносить за знак определителя.
Например,
.
5. Определитель не изменяется , если к элементам какой-либо строки прибавить (вычесть) соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число.
Например,
.
6. Если в определителе каждый элемент строки есть сумма двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей:
.
7. Определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц:
.
8. Определитель квадратной матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
.
6. Обратная матрица
Вместо операции деления матриц вводится понятие обратной матрицы.
Обозначается
обратная матрица
,
то
есть
.
Очевидна
аналогия с числами: для числа 2 число ½
есть обратное, так как
.
Именно поэтому матрица, обратная к А,
обозначается
.
Теорема
«Необходимое и достаточное условие
существования обратной матрицы».
Для
того чтобы квадратная матрица
имела обратную матрицу
,
необходимо и достаточно, чтобы определитель
матрицы
был не равен нулю.
Правило
нахождения обратной матрицы
0) Смотрим, является ли матрица квадратной. Если нет, то обратной матрицы не существует; если квадратная, то переходим к пункту 1.
1)
Вычисляем определитель матрицы
:
если он не равен нулю, то обратная матрица
существует:
;
если
равен нулю, то обратной матрицы нет.
2)
Для каждого элемента матрицы
вычисляем его алгебраическое дополнение
.
3)
Составляем матрицу из алгебраических
дополнений, которая затем транспонируем:
.
4)
Каждый элемент матрицы
делим на определитель
:
Получаем матрицу, обратную данной.
7. Нахождение обратной матрицы для матриц второго порядка
Пример
6.
Дана матрица
.
Найти обратную матрицу.
Решение .
Проверка.
Убедимся, что найдена действительно
обратная матрица. Найдем произведение
матриц
и
.
8. Свойства обратной матрицы
1.
,
где А и В – невырожденные квадратные матрицы одинакового порядка.
2.
.
3.
.
4.
.
Контрольные вопросы
Что называется определителем второго порядка?
Как вычислить определитель третьего порядка?
Как вычислить определитель 3 порядка по правилу треугольников?
Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя? Приведите примеры для определителей 2 и 3 порядков.
Напишите разложения определителя третьего порядка по элементам произвольной строки и произвольного столбца.
Определители и правило Крамера.
Определители 2-го и 3-го порядка. Правило Крамера. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу. Основные свойства определителей Метод элементарных преобразований.
2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ПРАВИЛО КРАМЕРА
2.1. Определители второго порядка
Понятие определителя возникло также в связи с задачей решения систем линейных уравнений. Определитель (или детерминант ) есть число, характеризующее квадратную матрицу A и обозначается обычно символами: detA , | A | или . Если матрица задана явно, в виде таблицы, то определитель обозначают, заключая таблицу в вертикальные линии.Определитель матрицы второго порядка находится следующим образом :
(2.1)
Он равен произведению элементов главной диагонали матрицы минус произведение элементов второй диагонали
.
Например, 
Следует еще раз подчеркнуть, что матрица есть таблица чисел, тогда как определитель есть число, определяемое через элементы квадратной матрицы.
Рассмотрим теперь систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Используя понятие определителя 2-го порядка, решение этой системы можно записать в виде:
(2.2)
Это есть правило Крамера решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными при условии, что 0.
Пример 2.1. Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера:
Решение . Найдем определители:
Историческая справка.
Идея понятия «определителя»
могла бы принадлежать Г. Лейбницу
(1646-1716), если бы он развил и опубликовал свои идеи относительно определителей, к которым он пришел в 1693 г. Поэтому приоритет в разработке метода определителей решения систем линейных уравнений принадлежит Г. Крамеру
(1704-1752), который опубликовал свои исследования по этой теме в 1750 г. Однако Крамер не построил полноценной теории определителей, к тому же ему не доставало удобного обозначения. Первое обширное исследование , посвященное определителям, было А. Вандермондом
(1735-1796) в 1772 г. Он дал логическое изложение теории определителей и ввел правило разложения определителя с помощью миноров. Полное изложение теории определителей было дано лишь в 1812 г.
Ж. Бине
(1786-1856) и О. Коши
(1789-1858). Термин «определитель»
(«детерминант»
) в современном его значении был введен Коши (ранее этот термин использовался К. Гауссом для обозначения дискриминанта квадратичной формы).
2.2. Определители третьего порядка
Определитель матрицы 3-го порядка находится следующим образом
(2.3)
Естественно, что запомнить эту формулу довольно трудно. Однако есть правила, которые облегчают выписывание выражения для определителя 3-го порядка.
Правило треугольников
: три слагаемых, входящих в исходное выражение со знаком плюс, есть произведения элементов главной диагонали или треугольников, основания которых параллельны этой диагонали. Остальные три слагаемых, входящих со знаком минус, находятся таким же образом, но относительно второй диагонали.
Правило Саррюса
: припишем к матрице справа первый, а затем второй столбец. Тогда "положительные" слагаемые будут находиться на линиях параллельных главной диагонали, а "отрицательные" на линиях, параллельных второй диагонали
.
2.3. Правило Крамера
Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными
Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.
(2.4)
если 0. Здесь
Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .
Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:
Решение . Находим определитель основной матрицы системы
Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:
Проверка:
Следовательно, решение найдено правильно.
Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место
Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам
(2.5)
где – определитель основной матрицы , i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .
Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.
Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.
2.4. Определители n-го порядка
Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя
Получаем
Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .
Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
(2.6)
Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:
т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.
Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.
2.5. Основные свойства определителей
Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс , можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы:
.
Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.
Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).
Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.
Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя.
Например,
Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число.
Например,
Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:
2.6.
Теорема 2.2. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали:
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: 1) умножение строки (столбца) на число, не равное нулю; 2) прибавление одной строки (столбца) к другой; 3) перестановка двух строк (столбцов).
Метод элементарных преобразований заключается в том, чтобы при помощи элементарных преобразований, учитывая свойства определителей, привести матрицу к треугольному виду.
Пример 2.5. Вычислить определитель при помощи элементарных преобразований, приведя их к треугольному виду:
Пример 2.6. Вычислить определитель:
.
Решение . Упростим данный определитель , а затем вычислим его:
.
Пример 2.7.
Вычислить определитель 
.
Решение . Способ 1 .При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, будем получать в какой-либо строке или столбце нули, а затем будем разлагать полученный определитель по этой строке или столбцу:
–6
2
-2
.
Способ 2
.При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, приведем матрицу к треугольному виду:
.
Вычисление определителей при помощи элементарных преобразований, путем приведения его к треугольному виду, является одним из самых распространенных методов. Это связано с тем, что он является основным методом при реализации вычислений определителей на ЭВМ. Точнее он является одной из модификаций метода Гаусса , который обычно используется при решении систем линейных уравнений.
Пример 2.8. Вычислить определитель методом Гаусса:
Решение. Рассмотрим первый столбец и выберем в нем ту строку, которая содержит 1. Если единиц нет, то нужно эту единицу создать при помощи элементарных преобразований: переставляя строки или столбцы, складывая или вычитая их друг с другом, умножая или деля их на какое-либо число (учитывая при этом, конечно свойства определителей). Возьмем за основу вторую строку и получим при помощи ее нули в первом столбце:
После этого на первую строку больше внимания не обращаем. Рассмотрим 2-й столбец.
В результате, получилась треугольная матрица. Для того чтобы вычислить определитель, осталось только перемножить элементы матрицы, находящиеся на главной диагонали. Таким образом, получаем ответ: –2(–1)(–1)1334 = –264.
Практическое занятие
Тема: Вычисление определителей.
Цели: закрепить понятия определителей и их свойств, сформировать и закрепить умения и навыки вычислять определители 2-го и 3-го порядков; развивать умения обобщать полученные знания, проводить анализ и сравнения, способствовать развитию логического мышления; воспитывать у обучающихся сознательное отношение к процессу обучения.
I. Общие теоретические положения
Определителем второго порядка называют число
Определителем третьего порядка называют число
Свойства определителей
Свойство 1.
Определитель не изменится, если все строки заменить соответствующими столбцами и наоборот.
Свойство 2.
При перестановке двух каких-либо строк или столбцов местами определитель изменяет знак.
Свойство 3.
Определитель равен нулю, если он имеет две равные строки (столбца).
Свойство 4.
Множитель, общий для всех элементов строки или столбца, можно выносить за знак определителя.
Свойство 5.
Если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, то определитель не изменится.
Следствие из свойств 4 и 5: Если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на некоторое число, то определитель не изменится.
Контрольные вопросы:
1.Дать определение матрицы.
2. Что означает символ 
?
3. Какая матрица называется транспонированной по отношению к матрице А?
4. Какую матрицу называют квадратной порядка n?
5. Дать определение определителя 2-го порядка.
6. Дать определение определителя 3-го порядка.
7. Чему равен определитель транспонированной матрицы?
8. Как изменится величина определителя, если в матрице поменять местами 2 строки (столбца)?
9. Можно ли вынести за знак определителя общий множитель строки или столбца?
10.Чему равен определитель, если все элементы некоторой строки (столбца) равны 0?
11.Чему равен определитель, если он имеет две одинаковых строки (столбца)?
12. Сформулируйте правило вычисления определителя 2-го порядка.
13. Сформулируйте правило вычисления определителя 3-го порядка.
II . Формирование умений и навыков.
Пример 1. Вы числить определитель: а) по правилу треугольника б) по правилу Саррюса;
в) методом разложения по элементам первой строки
Решение:
б) припишем два первых столбца и вычислим произведения из трех элементов по главной диагонали и параллельно к ней со знаком (+), а затем по побочной диагонали и параллельно к ней со знаком (-):
получаем:
Пример 2.
Вычислить определитель 
двумя способами: с помощью разложения по первой строке и по правилу треугольника.
Решение:
Пример 3 .
Вычислить определитель, используя свойства: 
III .Закрепление изученного материала.
№1. Вычислить определители:
№ 2. Решить уравнения:
№ 4. Вычислить определители, используя свойства:
1
. 
. 2. 
. 3. 
. 4
. 
.
Литература
1. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс Д. Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. 608 с.: ил. – (Высшее образование).
2. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. 576 с.: – (Высшее образование).