W tym artykule omówimy macierzową metodę rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych, znajdziemy jej definicję i podamy przykłady rozwiązania.

Definicja 1

Metoda odwrotnej macierzy jest metodą stosowaną do rozwiązywania SLAE, gdy liczba niewiadomych jest równa liczbie równań.

Przykład 1

Znajdź rozwiązanie układu n równań liniowych z n niewiadomymi:

za 11 x 1 + za 12 x 2 + . . . + za 1 n x n = b 1 za n 1 x 1 + za n 2 x 2 + . . . + za n n x n = b n

Widok rekordu macierzy : A × X = B

gdzie A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 za 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n jest macierzą układu.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - kolumna niewiadomych,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - kolumna wolnych współczynników.

Z równania, które otrzymaliśmy, musimy wyrazić X. Aby to zrobić, pomnóż obie strony równania macierzowego po lewej stronie przez A - 1:

ZA - 1 × ZA × X = ZA - 1 × b .

Ponieważ A - 1 × A = E, to E × X = A - 1 × B lub X = A - 1 × B.

Komentarz

Macierz odwrotna do macierzy A ma prawo istnieć tylko wtedy, gdy warunek d e t A nie jest równy zeru. Dlatego przy rozwiązywaniu SLAE metodą odwrotnej macierzy przede wszystkim znajduje się d e t A.

W przypadku, gdy d e t A nie jest równe zeru, układ ma tylko jedno rozwiązanie: metodą macierzy odwrotnej. Jeżeli d e t A = 0, to układu nie da się rozwiązać tą metodą.

Przykład rozwiązania układu równań liniowych metodą macierzy odwrotnych

Przykład 2

Rozwiązujemy SLAE metodą odwrotnej macierzy:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Jak zdecydować?

• Zapisujemy system w postaci równania macierzowego А X = B , gdzie

A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2.

• Wyrażamy z tego równania X:

• Znajdujemy wyznacznik macierzy A:

d e t ZA = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t € nie jest równe 0, dlatego dla tego układu odpowiednia jest metoda rozwiązywania macierzy odwrotnych.

• Znajdujemy macierz odwrotną A - 1 za pomocą macierzy sumy. Obliczamy dodatki algebraiczne A i j do odpowiednich elementów macierzy A:

ZA 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

ZA 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,

ZA 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

A 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

ZA 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

ZA 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

A 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

ZA 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,

ZA 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.

• Zapisujemy macierz sumy A * , która składa się z algebraicznych uzupełnień macierzy A:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Piszemy macierz odwrotną zgodnie ze wzorem:

A - 1 \u003d 1 d e t ZA (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• Mnożymy odwrotną macierz A - 1 przez kolumnę wolnych wyrazów B i otrzymujemy rozwiązanie układu:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Odpowiadać : x 1 = - 1; x 2 \u003d 0; x 3 = 1

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Ten kalkulator online rozwiązuje układ równań liniowych metodą macierzową. Podano bardzo szczegółowe rozwiązanie. Aby rozwiązać układ równań liniowych, wybierz liczbę zmiennych. Wybierz metodę obliczania macierzy odwrotnej. Następnie wprowadź dane w komórkach i kliknij przycisk „Oblicz”.

×

Ostrzeżenie

Wyczyścić wszystkie komórki?

Zamknij Wyczyść

Instrukcja wprowadzania danych. Liczby wprowadza się jako liczby całkowite (przykłady: 487, 5, -7623 itd.), dziesiętne (np. 67., 102,54 itd.) lub ułamki zwykłe. Ułamek należy wpisać jako a/b, gdzie aib to liczby całkowite lub dziesiętne. Przykłady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.

Macierzowa metoda rozwiązywania układów równań liniowych

Rozważ następujący układ równań liniowych:

Biorąc pod uwagę definicję macierzy odwrotnej, mamy A −1 A=mi, gdzie mi jest macierzą tożsamości. Zatem (4) można zapisać w następujący sposób:

Zatem, aby rozwiązać układ równań liniowych (1) (lub (2)), wystarczy pomnożyć odwrotność do A macierz na wektor ograniczeń b.

Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych metodą macierzową

Przykład 1. Rozwiąż następujący układ równań liniowych metodą macierzową:

Znajdźmy odwrotność macierzy A metodą Jordana-Gaussa. Po prawej stronie matrycy A napisz macierz tożsamości:

Wykluczmy elementy pierwszej kolumny macierzy poniżej głównej przekątnej. Aby to zrobić, dodaj wiersze 2,3 z wierszem 1, pomnożone odpowiednio przez -1/3, -1/3:

Wykluczmy elementy drugiej kolumny macierzy poniżej głównej przekątnej. Aby to zrobić, dodaj linię 3 z linią 2 pomnożoną przez -24/51:

Wykluczmy elementy drugiej kolumny macierzy powyżej głównej przekątnej. Aby to zrobić, dodaj wiersz 1 z wierszem 2 pomnożony przez -3/17:

Oddziel prawą stronę matrycy. Otrzymana macierz jest odwrotnością A :

Macierzowa postać zapisu układu równań liniowych: topór=b, gdzie

Oblicz wszystkie dopełnienia algebraiczne macierzy A:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Macierz odwrotna jest obliczana z następującego wyrażenia.

Rozważać układ liniowych równań algebraicznych(WOLNO) odnośnie n nieznany x 1 , x 2 , ..., x n :

System ten w „składanej” formie można zapisać w następujący sposób:

S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.

Zgodnie z zasadą mnożenia macierzy, rozważany układ równań liniowych można zapisać forma macierzowa topór=b, gdzie

Matryca A, którego kolumny to współczynniki dla odpowiednich niewiadomych, a wiersze to współczynniki dla niewiadomych w odpowiednim równaniu nazywa się matryca systemowa. macierz kolumnowa b, której elementami są prawe części równań układu, nazywana jest macierzą prawej części lub po prostu prawej stronie systemu. macierz kolumnowa x , którego elementami są nieznane niewiadome, nazywa się rozwiązanie systemowe.

Układ liniowych równań algebraicznych zapisanych jako topór=b, jest równanie macierzowe.

Jeśli macierz systemu niezdegenerowany, to ma macierz odwrotną, a następnie rozwiązanie układu topór=b jest dana wzorem:

x=A -1 b.

Przykład Rozwiąż system metoda macierzowa.

Rozwiązanie znajdź macierz odwrotną dla macierzy współczynników układu

Oblicz wyznacznik, rozszerzając pierwszy wiersz:

Ponieważ Δ ≠ 0 , następnie A -1 istnieje.

Odwrotna macierz została znaleziona poprawnie.

Znajdźmy rozwiązanie systemowe

W konsekwencji, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Badanie:

7. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego o zgodności układu liniowych równań algebraicznych.

Układ równań liniowych wygląda jak:

za 21 x 1 + za 22 x 2 +... + za 2n x n = b 2 , (5.1)

za m1 x 1 + za m1 x 2 +... + za mn x n = b m .

Tutaj dane są a i j oraz b i (i = ; j = ), a x j są nieznanymi liczbami rzeczywistymi. Korzystając z pojęcia iloczynu macierzy, możemy przepisać układ (5.1) w postaci:

gdzie A = (a i j) jest macierzą składającą się ze współczynników niewiadomych układu (5.1), która nazywa się matryca systemowa, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - wektory kolumnowe złożone odpowiednio z nieznanych x j i wyrazów wolnych b i .

Kolekcja zamówiona n nazywamy liczbami rzeczywistymi (c 1 , c 2 ,..., c n). rozwiązanie systemowe(5.1) jeśli w wyniku podstawienia tych liczb zamiast odpowiednich zmiennych x 1 , x 2 ,..., x n każde równanie układu zamienia się w tożsamość arytmetyczną; innymi słowy, jeśli istnieje wektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T taki, że AC  B.

System (5.1) jest wywoływany wspólny, lub rozpuszczalny jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie. System nazywa się niekompatybilny, lub nierozpuszczalny jeśli nie ma rozwiązań.

,

utworzony przez przypisanie kolumny wyrazów wolnych do macierzy A po prawej stronie, nazywa się rozszerzony system macierzowy.

Kwestię zgodności układu (5.1) rozwiązuje następujące twierdzenie.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego . Układ równań liniowych jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy szeregi macierzy A i A pokrywają się, tj. r(A) = r(A) = r.

Dla zbioru M rozwiązań układu (5.1) istnieją trzy możliwości:

1) M =  (w tym przypadku układ jest niespójny);

2) M składa się z jednego elementu, tj. system ma unikalne rozwiązanie (w tym przypadku system nazywa się pewny);

3) M składa się z więcej niż jednego elementu (wtedy system nazywa się niepewny). W trzecim przypadku układ (5.1) ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Układ ma unikalne rozwiązanie tylko wtedy, gdy r(A) = n. W tym przypadku liczba równań jest nie mniejsza niż liczba niewiadomych (mn); jeśli m>n, to równania m-n są konsekwencjami reszty. jeśli 0

Aby rozwiązać dowolny układ równań liniowych, trzeba umieć rozwiązywać układy, w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, tzw. Systemy typu Cramer:

za 11 x 1 + za 12 x 2 +... + za 1n x n = b 1 ,

za 21 x 1 + za 22 x 2 +... + za 2n x n = b 2 , (5.3)

... ... ... ... ... ...

za n1 x 1 + za n1 x 2 +... + za nn x n = b n .

Układy (5.3) rozwiązuje się na jeden z następujących sposobów: 1) metodą Gaussa lub metodą eliminacji niewiadomych; 2) według wzorów Cramera; 3) metodą macierzową.

Przykład 2.12. Zbadaj układ równań i rozwiąż go, jeśli jest zgodny:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Rozwiązanie. Piszemy rozszerzoną macierz systemu:

 .

Obliczmy rząd macierzy głównej układu. Oczywiste jest, że np. drugorzędna drugorzędna w lewym górnym rogu = 7  0; zawierające go drugorzędne trzeciego rzędu są równe zeru:

Dlatego ranga głównej macierzy systemu wynosi 2, tj. r(A) = 2. Aby obliczyć rangę rozszerzonej macierzy A, rozważmy graniczną mniejszą

stąd rząd rozszerzonej macierzy wynosi r(A) = 3. Ponieważ r(A)  r(A), układ jest niespójny.

Niech będzie macierz kwadratowa n-tego rzędu

Wywoływana jest macierz A -1 macierz odwrotna względem macierzy A, jeśli A * A -1 = E, gdzie E jest macierzą tożsamości n-tego rzędu.

Macierz jednostkowa- taka macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy wzdłuż głównej przekątnej, przechodzące od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu, są jedynkami, a reszta to zera, na przykład:

macierz odwrotna może istnieć tylko dla macierzy kwadratowych tych. dla tych macierzy, które mają taką samą liczbę wierszy i kolumn.

Twierdzenie o warunku istnienia odwrotnej macierzy

Aby macierz miała macierz odwrotną, konieczne i wystarczające jest, aby była niezdegenerowana.

Macierz A = (A1, A2,...A n) jest wywoływana niezdegenerowany jeśli wektory kolumnowe są liniowo niezależne. Liczba liniowo niezależnych wektorów kolumnowych macierzy nazywana jest rzędem macierzy. Dlatego możemy powiedzieć, że aby istniała macierz odwrotna, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy był równy jej wymiarowi, tj. r = n.

Algorytm znajdowania macierzy odwrotnej

1. Wpisz macierz A do tablicy do rozwiązywania układów równań metodą Gaussa i po prawej stronie (w miejsce właściwych części równań) przypisz do niej macierz E.
2. Korzystając z przekształceń Jordana, sprowadź macierz A do macierzy składającej się z pojedynczych kolumn; w takim przypadku konieczne jest jednoczesne przekształcenie macierzy E.
3. Jeśli to konieczne, przestaw wiersze (równania) ostatniej tabeli, tak aby macierz tożsamości E została uzyskana pod macierzą A oryginalnej tabeli.
4. Zapisz macierz odwrotną A -1, która znajduje się w ostatniej tabeli pod macierzą E oryginalnej tabeli.

Przykład 1

Dla macierzy A znajdź macierz odwrotną A -1

Rozwiązanie: Zapisujemy macierz A i po prawej stronie przypisujemy macierz tożsamości E. Korzystając z przekształceń Jordana, redukujemy macierz A do macierzy tożsamości E. Obliczenia przedstawiono w tabeli 31.1.

Sprawdźmy poprawność obliczeń mnożąc pierwotną macierz A i macierz odwrotną A -1.

W wyniku mnożenia macierzy otrzymuje się macierz tożsamości. Obliczenia są więc prawidłowe.

Odpowiadać:

Rozwiązywanie równań macierzowych

Równania macierzowe mogą wyglądać następująco:

AX = B, XA = B, AXB = C,

gdzie A, B, C są danymi macierzami, X jest pożądaną macierzą.

Równania macierzowe są rozwiązywane przez pomnożenie równania przez macierze odwrotne.

Na przykład, aby znaleźć macierz z równania, musisz pomnożyć to równanie przez po lewej stronie.

Dlatego, aby znaleźć rozwiązanie równania, należy znaleźć macierz odwrotną i pomnożyć ją przez macierz po prawej stronie równania.

Inne równania rozwiązuje się podobnie.

Przykład 2

Rozwiąż równanie AX = B, jeśli

Rozwiązanie: Ponieważ odwrotność macierzy jest równa (patrz przykład 1)

Metoda macierzowa w analizie ekonomicznej

Wraz z innymi znajdują również zastosowanie metody macierzowe. Metody te oparte są na algebrze liniowej i wektorowo-macierzowej. Metody te wykorzystywane są do analizy złożonych i wielowymiarowych zjawisk ekonomicznych. Najczęściej metody te są stosowane, gdy konieczne jest porównanie funkcjonowania organizacji i ich podziałów strukturalnych.

W procesie stosowania macierzowych metod analizy można wyróżnić kilka etapów.

Na pierwszym etapie przeprowadza się tworzenie systemu wskaźników ekonomicznych i na jego podstawie zestawia się macierz danych początkowych, czyli tabelę, w której w poszczególnych jej wierszach pokazane są numery systemowe (i = 1,2,...,n), a wzdłuż wykresów pionowych - numery wskaźników (j = 1,2,...,m).

Na drugim etapie dla każdej kolumny pionowej ujawniana jest największa z dostępnych wartości wskaźników, która jest traktowana jako jednostka.

Następnie wszystkie kwoty odzwierciedlone w tej kolumnie są dzielone przez największą wartość i tworzona jest macierz standaryzowanych współczynników.

Na trzecim etapie wszystkie składowe macierzy są kwadratowe. Jeśli mają różne znaczenie, to każdemu wskaźnikowi macierzy przypisuje się określony współczynnik wagi k. Wartość tego ostatniego określa biegły.

Na ostatnim czwarty etap znalezione wartości ocen Rj pogrupowane w kolejności rosnącej lub malejącej.

Powyższe metody macierzowe powinny być wykorzystywane np. w analizie porównawczej różnych projektów inwestycyjnych, a także w ocenie innych wskaźników efektywności ekonomicznej organizacji.

Według wzorów Cramera;

metoda Gaussa;

Rozwiązanie: Twierdzenie Kroneckera-Capelliego. System jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy tego systemu jest równy rządowi jego macierzy rozszerzonej, tj. r(A)= r(1), gdzie

Rozbudowana macierz układu ma postać:

Pomnóż pierwszy wiersz przez ( –3 ), a drugi na ( 2 ); następnie dodaj elementy pierwszego rzędu do odpowiednich elementów drugiego rzędu; Odejmij trzecią linię od drugiej linii. W wynikowej macierzy pierwszy wiersz pozostaje niezmieniony.

6 ) i zamień drugą i trzecią linię:

Pomnóż drugi wiersz przez ( –11 ) i dodaj do odpowiednich elementów trzeciego rzędu.

Podziel elementy trzeciego rzędu przez ( 10 ).

Znajdźmy wyznacznik macierzowy ALE.

W konsekwencji, r(A)=3 . Rozszerzony ranking macierzy r(1) jest również równe 3 , tj.

r(A)= r(1)=3 Þ system jest kompatybilny.

1) Badając układ pod kątem kompatybilności, rozszerzoną macierz przekształcono metodą Gaussa.

Metoda Gaussa jest następująca:

1. Doprowadzenie macierzy do postaci trójkąta, tzn. zera muszą znajdować się poniżej głównej przekątnej (ruch do przodu).

2. Z ostatniego równania, które znajdujemy x 3 i podstawiamy go do drugiego, znajdujemy x2 i wiedząc x 3, x2 podłączając je do pierwszego równania, znajdujemy x 1(ruch odwrotny).

Napiszmy rozszerzoną macierz, przekształconą metodą Gaussa

jako układ trzech równań:

Þ x 3 \u003d 1

x 2 = x 3Þ x 3 \u003d 1

2x 1 \u003d 4 + x 2 + x 3Þ 2x 1 =4+1+1Þ

Þ 2x 1 = 6 Þ x 1 \u003d 3

.

2) Układ rozwiązujemy za pomocą wzorów Cramera: jeżeli wyznacznik układu równań Δ jest różny od zera, to układ ma jedno rozwiązanie, które można znaleźć za pomocą wzorów

Obliczmy wyznacznik układu Δ:

Dlatego wyznacznik układu jest niezerowy, to zgodnie z regułą Cramera układ ma jednoznaczne rozwiązanie. Obliczamy wyznaczniki Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . Uzyskuje się je z wyznacznika układu Δ, zastępując odpowiednią kolumnę kolumną wolnych współczynników.

Niewiadome znajdujemy za pomocą wzorów:

Odpowiedź: x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 1 .

3) Układ rozwiązujemy za pomocą rachunku macierzowego, czyli stosując macierz odwrotną.

A×X=B Þ X \u003d A-1 × B, gdzie A-1 jest macierzą odwrotną do ALE,

kolumna bezpłatnych członków,

Macierz-kolumna niewiadomych.

Macierz odwrotną oblicza się według wzoru:

gdzie D- wyznacznik macierzowy ALE, I ij są algebraicznymi uzupełnieniami elementu a ij macierze ALE. D= 60 (z poprzedniego akapitu). Wyznacznik jest niezerowy, zatem macierz A jest odwracalna, a macierz odwrotną do niej można znaleźć ze wzoru (*). Znajdźmy dodatki algebraiczne dla wszystkich elementów macierzy A według wzoru:

I ij =(-1 )i+j M ij .

x 1, x 2, x 3 zamieniły każde równanie w tożsamość, a następnie zostały znalezione poprawnie.

Przykład 6. Rozwiąż układ metodą Gaussa i znajdź dwa podstawowe rozwiązania układu.