9 llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat. Llogaritësi në internet Llogarit integralin e caktuar (sipërfaqja e një trapezi të lakuar)

19.10.2019

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë aplikimet e llogaritjes integrale. Në këtë mësim do të shikojmë problemin tipik dhe më të zakonshëm të llogaritjes së sipërfaqes së një figure të rrafshët duke përdorur një integral të caktuar. Më në fund, le ta gjejnë të gjithë ata që kërkojnë kuptim në matematikën e lartë. Ju kurrë nuk e dini. Ne do të duhet ta afrojmë atë në jetë zona vilë e vendit funksionet elementare dhe gjeni sipërfaqen e saj duke përdorur një integral të caktuar.

Për të zotëruar me sukses materialin, duhet:

1) Kuptoni integral i pacaktuar të paktën në një nivel mesatar. Kështu, bedelet duhet së pari të familjarizohen me mësimin e Tij.

2) Të jetë në gjendje të zbatojë formulën e Newton-Leibniz dhe të llogarisë integral i caktuar. Vendoseni të ngrohtë marrëdhënie miqësore me integrale të përcaktuara mund të gjenden në faqen Integral të caktuar. Shembuj zgjidhjesh. Prandaj, detyra "llogaritja e zonës duke përdorur një integral të caktuar" përfshin gjithmonë ndërtimin e një vizatimi çështje aktuale Njohuritë dhe aftësitë tuaja në vizatim do të jenë gjithashtu aty. Së paku, duhet të jeni në gjendje të ndërtoni një vijë të drejtë, parabolë dhe hiperbolë.

Le të fillojmë me trapezoid i lakuar. Një trapez i lakuar është një figurë e sheshtë e kufizuar nga grafiku i një funksioni y = f(x), boshti OK dhe linjat x = a; x = b.

Zona e një trapezi lakor është numerikisht e barabartë me një integral të caktuar

Çdo integral i caktuar (që ekziston) ka një kuptim shumë të mirë gjeometrik. Në mësimin Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh thamë se një integral i caktuar është një numër. Dhe tani është koha për të thënë një tjetër fakt i dobishëm. Nga pikëpamja e gjeometrisë, integrali i caktuar është SIPËRMARRJA. Kjo do të thotë, një integral i caktuar (nëse ekziston) korrespondon gjeometrikisht me sipërfaqen e një figure të caktuar. Konsideroni integralin e caktuar

Integrand

përcakton një kurbë në aeroplan (mund të vizatohet nëse dëshironi), dhe vetë integrali i caktuar është numerikisht i barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor përkatës.

Shembulli 1

, , , .

Kjo është një deklaratë tipike e detyrës. Pika më e rëndësishme në vendim është ndërtimi i vizatimit. Për më tepër, vizatimi duhet të ndërtohet SAKT.

Kur ndërtoni një vizatim, unë rekomandoj rendin e mëposhtëm: së pari, është më mirë të ndërtoni të gjitha linjat e drejta (nëse ka) dhe vetëm atëherë - parabolat, hiperbolat dhe grafikët e funksioneve të tjera. Teknika e ndërtimit pikë për pikë mund të gjendet në materialin referues Grafikët dhe Vetitë funksionet elementare. Aty mund të gjeni gjithashtu material shumë të dobishëm për mësimin tonë - si të ndërtoni shpejt një parabolë.

Në këtë problem, zgjidhja mund të duket kështu.

Le të bëjmë vizatimin (vini re se ekuacioni y= 0 specifikon boshtin OK):

Ne nuk do të hijeshojmë trapezin e lakuar këtu është e qartë se për cilën zonë po flasim. Zgjidhja vazhdon kështu:

Në segmentin [-2; 1] grafiku i funksionit y = x 2 + 2 të vendosura mbi bosht OK, Kjo është arsyeja pse:

Përgjigje:.

Kush ka vështirësi në llogaritjen e integralit të caktuar dhe zbatimin e formulës Njuton-Leibniz

Referojuni leksionit Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh. Pas përfundimit të detyrës, është gjithmonë e dobishme të shikoni vizatimin dhe të kuptoni nëse përgjigja është e vërtetë. Në këtë rast, ne numërojmë numrin e qelizave në vizatim "me sy" - mirë, do të jenë rreth 9, duket të jetë e vërtetë. Është plotësisht e qartë se nëse marrim, le të themi, përgjigjen: 20 njësi katrore, atëherë është e qartë se diku është bërë një gabim - 20 qeliza nuk përshtaten qartë në figurën në fjalë, më së shumti një duzinë. Nëse përgjigja është negative, atëherë edhe detyra është zgjidhur gabimisht.

Shembulli 2

Llogaritni sipërfaqen e figurës, e kufizuar me linja xy = 4, x = 2, x= 4 dhe boshti OK.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.

Çfarë duhet të bëni nëse një trapez i lakuar ndodhet nën bosht OK?

Shembulli 3

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija y = e-x, x= 1 dhe boshtet e koordinatave.

Zgjidhja: Le të bëjmë një vizatim:

Nëse një trapez i lakuar është plotësisht i vendosur nën bosht OK, atëherë zona e saj mund të gjendet duke përdorur formulën:

Në këtë rast:

Kujdes! Dy llojet e detyrave nuk duhet të ngatërrohen:

1) Nëse ju kërkohet të zgjidhni thjesht një integral të caktuar pa ndonjë kuptim gjeometrik, atëherë ai mund të jetë negativ.

2) Nëse ju kërkohet të gjeni sipërfaqen e një figure duke përdorur një integral të caktuar, atëherë zona është gjithmonë pozitive! Kjo është arsyeja pse minus shfaqet në formulën e sapo diskutuar.

Në praktikë, më shpesh figura është e vendosur në gjysmë rrafshin e sipërm dhe të poshtëm, dhe për këtë arsye, nga problemet më të thjeshta të shkollës kalojmë në shembuj më kuptimplotë.

Shembulli 4

Gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar me vija y = 2x – x 2 , y = -x.

Zgjidhja: Së pari ju duhet të bëni një vizatim. Kur ndërtojmë një vizatim në problemet e zonës, ne jemi më të interesuar në pikat e kryqëzimit të vijave. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës y = 2x – x 2 dhe drejt y = -x. Kjo mund të bëhet në dy mënyra. Metoda e parë është analitike. Ne zgjidhim ekuacionin:

Kjo do të thotë se kufiri i poshtëm i integrimit a= 0, kufiri i sipërm i integrimit b= 3. Shpesh është më fitimprurëse dhe më e shpejtë të ndërtosh linja pikë për pikë dhe kufijtë e integrimit bëhen të qarta “vetëvetiu”. Sidoqoftë, metoda analitike e gjetjes së kufijve nganjëherë duhet të përdoret ende nëse, për shembull, grafiku është mjaft i madh, ose ndërtimi i detajuar nuk zbulon kufijtë e integrimit (ato mund të jenë të pjesshëm ose të paarsyeshëm). Le t'i kthehemi detyrës sonë: është më racionale të ndërtojmë fillimisht një vijë të drejtë dhe vetëm më pas një parabolë. Le të bëjmë vizatimin:

Le të përsërisim se kur ndërtohet në drejtim të pikës, kufijtë e integrimit më së shpeshti përcaktohen "automatikisht".

Dhe tani formula e punës:

Nëse në segmentin [ a; b] disa funksione të vazhdueshme f(x) është më i madh ose i barabartë me disa funksion të vazhdueshëm g(x), atëherë zona e figurës përkatëse mund të gjendet duke përdorur formulën:

Këtu nuk keni më nevojë të mendoni se ku ndodhet figura - mbi bosht apo nën bosht, por ajo që është e rëndësishme është se cili grafik është MË I LARTË (në raport me një grafik tjetër) dhe cili është MËPOSHT.

Në shembullin në shqyrtim, është e qartë se në segment parabola ndodhet mbi vijën e drejtë, dhe për këtë arsye nga 2 x – x 2 duhet të zbritet - x.

Zgjidhja e përfunduar mund të duket si kjo:

Shifra e dëshiruar është e kufizuar nga një parabolë y = 2x – x 2 sipër dhe drejt y = -x më poshtë.

Në segmentin 2 x – x 2 ≥ -x. Sipas formulës përkatëse:

Përgjigje:.

Në fakt, formula e shkollës për sipërfaqen e një trapezi lakor në gjysmëplanin e poshtëm (shih shembullin nr. 3) është rast i veçantë formulat

Sepse boshti OK dhënë nga ekuacioni y= 0, dhe grafiku i funksionit g(x) ndodhet poshtë boshtit OK, Kjo

Dhe tani disa shembuj për zgjidhjen tuaj

Shembulli 5

Shembulli 6

Gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Kur zgjidhni probleme që përfshijnë llogaritjen e sipërfaqes duke përdorur një integral të caktuar, ndonjëherë ndodh një incident qesharak. Vizatimi u krye saktë, llogaritjet ishin të sakta, por nga pakujdesia... u gjet zona e figurës së gabuar.

Shembulli 7

Së pari le të bëjmë një vizatim:

Figura, zona e së cilës duhet të gjejmë është e hijezuar në blu (shikoni me kujdes gjendjen - si është e kufizuar shifra!). Por në praktikë, për shkak të pavëmendjes, njerëzit shpesh vendosin që duhet të gjejnë zonën e figurës që është e hijezuar në jeshile!

Ky shembull është gjithashtu i dobishëm sepse llogarit sipërfaqen e një figure duke përdorur dy integrale të përcaktuara. Vërtet:

1) Në segmentin [-1; 1] mbi bosht OK grafiku ndodhet drejt y = x+1;

2) Në një segment mbi bosht OK gjendet grafiku i hiperbolës y = (2/x).

Është mjaft e qartë se zonat mund (dhe duhet) të shtohen, prandaj:

Përgjigje:

Shembulli 8

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Le t'i paraqesim ekuacionet në formën "shkollë".

dhe bëni një vizatim pikë për pikë:

Nga vizatimi është e qartë se kufiri ynë i sipërm është "i mirë": b = 1.

Por cili është kufiri i poshtëm?! Është e qartë se ky nuk është një numër i plotë, por çfarë është?

Ndoshta, a=(-1/3)? Por ku është garancia që vizatimi është bërë me saktësi të përsosur, mund të rezultojë se kjo a= (-1/4). Po sikur ta ndërtojmë grafikun gabimisht?

Në raste të tilla, duhet të shpenzoni kohë shtesë dhe të sqaroni kufijtë e integrimit në mënyrë analitike.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve

Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin:

Prandaj, a=(-1/3).

Zgjidhja e mëtejshme është e parëndësishme. Gjëja kryesore është të mos ngatërroheni në zëvendësime dhe shenja. Llogaritjet këtu nuk janë më të thjeshtat. Në segmentin

, ,

sipas formulës përkatëse:

Përgjigje:

Për të përfunduar mësimin, le të shohim dy detyra më të vështira.

Shembulli 9

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Zgjidhja: Le ta përshkruajmë këtë figurë në vizatim.

Për të nxjerrë një vizatim pikë për pikë duhet të dini pamjen sinusoidet. Në përgjithësi, është e dobishme të njihen grafikët e të gjitha funksioneve elementare, si dhe disa vlera të sinusit. Ato mund të gjenden në tabelën e vlerave funksionet trigonometrike. Në disa raste (për shembull, në këtë rast), është e mundur të ndërtohet një vizatim skematik, mbi të cilin grafikët dhe kufijtë e integrimit duhet të shfaqen thelbësisht saktë.

Nuk ka probleme me kufijtë e integrimit këtu, ato rrjedhin drejtpërdrejt nga kushti:

– “x” ndryshon nga zero në “pi”. Le të marrim një vendim të mëtejshëm:

Në një segment, grafiku i një funksioni y= mëkat 3 x ndodhet mbi bosht OK, Kjo është arsyeja pse:

(1) Mund të shihni se si sinuset dhe kosinuset integrohen në fuqi teke në mësimin Integralet e funksioneve trigonometrike. Ne heqim njërin sinus.

(2) Ne përdorim identitetin kryesor trigonometrik në formë

(3) Le të ndryshojmë variablin t=cos x, atëherë: ndodhet mbi bosht, pra:

Shënim: vini re se si merret integrali i tangjentës kub është përdorur këtu një rrjedhojë e identitetit bazë trigonometrik

Detyra nr. 3. Bëni një vizatim dhe llogaritni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat

Zbatimi i integralit në zgjidhjen e problemeve të aplikuara

Llogaritja e sipërfaqes

Integrali i caktuar i një funksioni të vazhdueshëm jo negativ f(x) është numerikisht i barabartë me sipërfaqen e një trapezi lakor të kufizuar nga kurba y = f (x), boshti O x dhe drejtëza x = a dhe x = b. Në përputhje me këtë, formula e zonës shkruhet si më poshtë:

Le të shohim disa shembuj të llogaritjes së sipërfaqeve të figurave të rrafshët.

Detyra nr 1. Llogaritni sipërfaqen e kufizuar nga drejtëzat y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Zgjidhje. Le të ndërtojmë një figurë sipërfaqen e së cilës do të duhet ta llogarisim.

y = x 2 + 1 është një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara lart, dhe parabola zhvendoset lart me një njësi në lidhje me boshtin O y (Figura 1).

Figura 1. Grafiku i funksionit y = x 2 + 1

Detyra nr. 2. Llogaritni sipërfaqen e kufizuar nga drejtëzat y = x 2 – 1, y = 0 në intervalin nga 0 në 1.

Zgjidhje. Grafiku i këtij funksioni është një parabolë e degëve që janë të drejtuara lart, dhe parabola zhvendoset në lidhje me boshtin O y poshtë me një njësi (Figura 2).

Figura 2. Grafiku i funksionit y = x 2 – 1

Detyra nr. 3. Bëni një vizatim dhe llogaritni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat

y = 8 + 2x – x 2 dhe y = 2x – 4.

Zgjidhje. E para nga këto dy drejtëza është një parabolë me degët e saj të drejtuara poshtë, pasi koeficienti x 2 është negativ, dhe vija e dytë është një vijë e drejtë që kryqëzon të dy boshtet koordinative.

Për të ndërtuar një parabolë gjejmë koordinatat e kulmit të saj: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abshisa e kulmit; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 është ordinata e saj, N(1;9) është kulmi.

Tani le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës dhe vijës së drejtë duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve:

Barazimi i anëve të djathta të një ekuacioni, anët e majta të të cilit janë të barabarta.

Ne marrim 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ose x 2 – 12 = 0, prej nga .

Pra, pikat janë pikat e kryqëzimit të një parabole dhe një vijë të drejtë (Figura 1).

Figura 3 Grafikët e funksioneve y = 8 + 2x – x 2 dhe y = 2x – 4

Të ndërtojmë një drejtëz y = 2x – 4. Ajo kalon nëpër pikat (0;-4), (2;0) në boshtet koordinative.

Për të ndërtuar një parabolë, mund të përdorni edhe pikat e saj të kryqëzimit me boshtin 0x, domethënë rrënjët e ekuacionit 8 + 2x – x 2 = 0 ose x 2 – 2x – 8 = 0. Duke përdorur teoremën e Vietës, është e lehtë. për të gjetur rrënjët e tij: x 1 = 2, x 2 = 4.

Figura 3 tregon një figurë (segment parabolik M 1 N M 2) të kufizuar nga këto vija.

Pjesa e dytë e problemit është gjetja e zonës së kësaj figure. Zona e saj mund të gjendet duke përdorur një integral të caktuar sipas formulës .

Në lidhje me këtë kusht, marrim integralin:

2 Llogaritja e vëllimit të një trupi rrotullues

Vëllimi i trupit i marrë nga rrotullimi i lakores y = f(x) rreth boshtit O x llogaritet me formulën:

Kur rrotullohet rreth boshtit O y, formula duket si kjo:

Detyra nr. 4. Përcaktoni vëllimin e trupit të përftuar nga rrotullimi i një trapezi të lakuar të kufizuar nga drejtëza x = 0 x = 3 dhe kurba y = rreth boshtit O x.

Zgjidhje. Le të vizatojmë një figurë (Figura 4).

Figura 4. Grafiku i funksionit y =

Vëllimi i kërkuar është

Detyra nr 5. Njehsoni vëllimin e trupit të përftuar nga rrotullimi i një trapezi të lakuar të kufizuar nga kurba y = x 2 dhe drejtëza y = 0 dhe y = 4 rreth boshtit O y.

Zgjidhje. Ne kemi:

Rishikoni pyetjet

Zgjidhje.

Pika e parë dhe më e rëndësishme në vendim është vizatimi.

Le të bëjmë vizatimin:

Ekuacioni y=0 vendos boshtin “x”;

- x=-2 Dhe x=1- drejt, paralel me boshtin OU;

- y=x 2 +2 - një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara lart, me kulmin në pikën (0;2).

Komentoni. Për të ndërtuar një parabolë, mjafton të gjejmë pikat e kryqëzimit të saj me boshtet koordinative, d.m.th. duke vënë x=0 gjeni kryqëzimin me boshtin OU dhe duke vendosur në përputhje me rrethanat ekuacioni kuadratik, gjeni kryqëzimin me boshtin Oh .

Kulmi i një parabole mund të gjendet duke përdorur formulat:

Ju gjithashtu mund të ndërtoni linja pikë për pikë.

Në intervalin [-2;1] grafiku i funksionit y=x 2 +2 ndodhet mbi bosht kau, Kjo është arsyeja pse:

Përgjigje: S=9 njësi katrore

Pas përfundimit të detyrës, është gjithmonë e dobishme të shikoni vizatimin dhe të kuptoni nëse përgjigja është e vërtetë. Në këtë rast, "me sy" ne numërojmë numrin e qelizave në vizatim - mirë, do të jenë rreth 9, duket të jetë e vërtetë. Është absolutisht e qartë se nëse marrim, të themi, përgjigjen: 20 njësi katrore, atëherë është e qartë se diku është bërë një gabim - 20 qeliza padyshim nuk përshtaten në figurën në fjalë, më së shumti një duzinë. Nëse përgjigja është negative, atëherë edhe detyra është zgjidhur gabimisht.

Çfarë duhet të bëni nëse një trapez i lakuar ndodhet nën bosht Oh?

b) Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat y=-e x , x=1 dhe boshtet koordinative.

Zgjidhje.

Le të bëjmë një vizatim.

Nëse një trapez i lakuar është plotësisht i vendosur nën bosht Oh , atëherë zona e saj mund të gjendet duke përdorur formulën:

Përgjigje: S=(e-1) njësi katrore" 1.72 njësi katrore

Kujdes! Dy llojet e detyrave nuk duhet të ngatërrohen:

1) Nëse ju kërkohet të zgjidhni thjesht një integral të caktuar pa ndonjë kuptim gjeometrik, atëherë ai mund të jetë negativ.

Në praktikë, më shpesh figura është e vendosur në gjysmën e sipërme dhe të poshtme.

c) Gjeni sipërfaqen e një figure të sheshtë të kufizuar me vija y=2x-x 2, y=-x.

Zgjidhje.

Së pari ju duhet të plotësoni vizatimin. Në përgjithësi, kur ndërtojmë një vizatim në problemet e zonës, ne jemi më të interesuar në pikat e kryqëzimit të vijave. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës dhe drejt Kjo mund të bëhet në dy mënyra. Metoda e parë është analitike.

Ne zgjidhim ekuacionin:

Kjo do të thotë se kufiri i poshtëm i integrimit a=0, kufiri i sipërm i integrimit b=3 .

Ne po ndërtojmë linjat e dhëna: 1. Parabola - kulmi në pikën (1;1); kryqëzimi i akseve Oh - pikë (0;0) dhe (0;2). 2. Drejtëza - përgjysmues i këndit të koordinatave 2 dhe 4. Dhe tani Kujdes! Nëse në segmentin [ a;b] disa funksione të vazhdueshme f(x) më i madh ose i barabartë me ndonjë funksion të vazhdueshëm g(x), atëherë zona e figurës përkatëse mund të gjendet duke përdorur formulën: .

Dhe nuk ka rëndësi se ku ndodhet figura - mbi bosht ose nën bosht, por ajo që ka rëndësi është se cili grafik është më i LARTË (në raport me një grafik tjetër), dhe cili është MËPOSHT. Në shembullin në shqyrtim, është e qartë se në segment parabola ndodhet mbi vijën e drejtë, dhe për këtë arsye është e nevojshme të zbritet nga

Ju mund të ndërtoni linja pikë për pikë dhe kufijtë e integrimit bëhen të qartë "vetëvetiu". Sidoqoftë, metoda analitike e gjetjes së kufijve nganjëherë duhet të përdoret ende nëse, për shembull, grafiku është mjaft i madh, ose ndërtimi i detajuar nuk zbulon kufijtë e integrimit (ato mund të jenë të pjesshëm ose të paarsyeshëm).

Shifra e dëshiruar kufizohet nga një parabolë sipër dhe një vijë e drejtë poshtë.

Në segmentin , sipas formulës përkatëse:

Përgjigje: S=4.5 njësi katrore

Si të futni formulat matematikore në faqen e internetit?

Nëse ndonjëherë ju duhet të shtoni një ose dy formula matematikore në një faqe interneti, atëherë mënyra më e lehtë për ta bërë këtë është siç përshkruhet në artikull: formulat matematikore futen lehtësisht në faqe në formën e fotografive që gjenerohen automatikisht nga Wolfram Alpha . Përveç thjeshtësisë, kjo metodë universale do të ndihmojë në përmirësimin e dukshmërisë së faqes në motorët e kërkimit. Ajo ka funksionuar për një kohë të gjatë (dhe, mendoj, do të funksionojë përgjithmonë), por tashmë është e vjetëruar moralisht.

Nëse përdorni rregullisht formula matematikore në faqen tuaj, atëherë ju rekomandoj të përdorni MathJax - një bibliotekë e veçantë JavaScript që shfaq shënimet matematikore në shfletuesit e internetit duke përdorur shënimin MathML, LaTeX ose ASCIIMathML.

Ka dy mënyra për të filluar përdorimin e MathJax: (1) duke përdorur një kod të thjeshtë, mund të lidhni shpejt një skript MathJax me faqen tuaj të internetit, i cili do të ngarkohet automatikisht nga një server në distancë në kohën e duhur (lista e serverëve); (2) shkarkoni skriptin MathJax nga një server në distancë në serverin tuaj dhe lidheni atë me të gjitha faqet e faqes tuaj. Metoda e dytë - më komplekse dhe kërkon kohë - do të përshpejtojë ngarkimin e faqeve të faqes suaj, dhe nëse serveri prind MathJax bëhet përkohësisht i padisponueshëm për ndonjë arsye, kjo nuk do të ndikojë në faqen tuaj në asnjë mënyrë. Pavarësisht këtyre avantazheve, unë zgjodha metodën e parë pasi është më e thjeshtë, më e shpejtë dhe nuk kërkon aftësi teknike. Ndiqni shembullin tim dhe në vetëm 5 minuta do të jeni në gjendje të përdorni të gjitha veçoritë e MathJax në faqen tuaj.

Ju mund të lidhni skriptin e bibliotekës MathJax nga një server në distancë duke përdorur dy opsione kodi të marra nga faqja kryesore e internetit e MathJax ose në faqen e dokumentacionit:

Një nga këto opsione kodi duhet të kopjohet dhe ngjitet në kodin e faqes tuaj të internetit, mundësisht midis etiketave dhe ose menjëherë pas etiketës. Sipas opsionit të parë, MathJax ngarkon më shpejt dhe ngadalëson faqen më pak. Por opsioni i dytë monitoron dhe ngarkon automatikisht versionet më të fundit të MathJax. Nëse futni kodin e parë, ai do të duhet të përditësohet periodikisht. Nëse futni kodin e dytë, faqet do të ngarkohen më ngadalë, por nuk do t'ju duhet të monitoroni vazhdimisht përditësimet e MathJax.

Mënyra më e lehtë për të lidhur MathJax është në Blogger ose WordPress: në panelin e kontrollit të faqes, shtoni një miniaplikacion të krijuar për të futur kodin JavaScript të palës së tretë, kopjoni në të versionin e parë ose të dytë të kodit të shkarkimit të paraqitur më sipër dhe vendoseni miniaplikacionin më afër. në fillim të shabllonit (nga rruga, kjo nuk është aspak e nevojshme, pasi skripti MathJax ngarkohet në mënyrë asinkrone). Kjo eshte e gjitha. Tani mësoni sintaksën e shënimit të MathML, LaTeX dhe ASCIIMathML dhe jeni gati të futni formula matematikore në faqet e internetit të faqes suaj.

Çdo fraktal ndërtohet sipas një rregull të caktuar, i cili aplikohet në mënyrë sekuenciale një numër të pakufizuar herë. Çdo kohë e tillë quhet përsëritje.

Algoritmi përsëritës për ndërtimin e një sfungjeri Menger është mjaft i thjeshtë: kubi origjinal me anën 1 ndahet me plane paralele me faqet e tij në 27 kube të barabartë. Një kub qendror dhe 6 kube ngjitur me të përgjatë fytyrave hiqen prej tij. Rezultati është një grup i përbërë nga 20 kube më të vegjël të mbetur. Duke bërë të njëjtën gjë me secilin prej këtyre kubeve, marrim një grup të përbërë nga 400 kube më të vegjël. Duke e vazhduar këtë proces pafundësisht, marrim një sfungjer Menger.

Në këtë artikull do të mësoni se si të gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar nga vija duke përdorur llogaritjet integrale. Për herë të parë formulimin e një problemi të tillë e hasim në shkollën e mesme, kur sapo kemi përfunduar studimin e integraleve të përcaktuara dhe është koha që të fillojmë interpretimin gjeometrik të njohurive të marra në praktikë.

Pra, çfarë kërkohet për të zgjidhur me sukses problemin e gjetjes së sipërfaqes së një figure duke përdorur integrale:

Aftësia për të bërë vizatime kompetente;
Aftësia për të zgjidhur një integral të caktuar duke përdorur formula e famshme Njuton-Leibniz;
Aftësia për të "shikuar" një opsion zgjidhjeje më fitimprurëse - d.m.th. kuptoni se si do të jetë më i përshtatshëm për të kryer integrimin në një rast apo në një tjetër? Përgjatë boshtit x (OX) apo boshtit y (OY)?
Epo, ku do të ishim pa llogaritjet e sakta?) Kjo përfshin të kuptuarit se si të zgjidhni atë lloj tjetër të integraleve dhe llogaritjet e sakta numerike.

Algoritmi për zgjidhjen e problemit të llogaritjes së sipërfaqes së një figure të kufizuar me vija:

1. Ne ndërtojmë një vizatim. Këshillohet që ta bëni këtë në një copë letre me kuadrate, në shkallë të gjerë. Ne nënshkruajmë emrin e këtij funksioni me një laps mbi çdo grafik. Nënshkrimi i grafikëve bëhet vetëm për lehtësinë e llogaritjeve të mëtejshme. Pasi të keni marrë një grafik të figurës së dëshiruar, në shumicën e rasteve do të jetë menjëherë e qartë se cilat kufij të integrimit do të përdoren. Kështu e zgjidhim problemin metodë grafike. Sidoqoftë, ndodh që vlerat e kufijve të jenë të pjesshme ose të paarsyeshme. Prandaj, mund të bëni llogaritje shtesë, shkoni në hapin e dytë.

2. Nëse kufijtë e integrimit nuk janë specifikuar në mënyrë eksplicite, atëherë gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve me njëri-tjetrin dhe shohim nëse zgjidhje grafike me analitike.

3. Tjetra, ju duhet të analizoni vizatimin. Në varësi të mënyrës se si janë rregulluar grafikët e funksionit, ekzistojnë qasje të ndryshme për të gjetur sipërfaqen e një figure. Le të shqyrtojmë shembuj të ndryshëm për gjetjen e sipërfaqes së një figure duke përdorur integrale.

3.1. Versioni më klasik dhe më i thjeshtë i problemit është kur ju duhet të gjeni zonën e një trapezi të lakuar. Çfarë është një trapez i lakuar? Kjo është një figurë e sheshtë e kufizuar nga boshti x (y = 0), drejtëzat x = a, x = b dhe çdo kurbë e vazhdueshme në intervalin nga a në b. Për më tepër, kjo shifër është jo negative dhe ndodhet jo nën boshtin x. Në këtë rast, zona e trapezit lakor është numerikisht e barabartë me një integral të caktuar, të llogaritur duke përdorur formulën Newton-Leibniz:

Shembulli 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Me cilat vija kufizohet figura? Kemi një parabolë y = x2 - 3x + 3, e cila ndodhet mbi boshtin OX, është jo negative, sepse të gjitha pikat e kësaj parabole kanë vlerat pozitive. Më pas jepen drejtëzat x = 1 dhe x = 3, të cilat shkojnë paralelisht me boshtin e op-amp dhe janë vijat kufitare të figurës majtas dhe djathtas. Epo, y = 0, që është edhe boshti x, i cili kufizon figurën nga poshtë. Figura që rezulton është e hijezuar, siç mund të shihet nga figura në të majtë. Në këtë rast, ju mund të filloni menjëherë zgjidhjen e problemit. Para nesh është një shembull i thjeshtë i një trapezi të lakuar, të cilin më pas e zgjidhim duke përdorur formulën Newton-Leibniz.

3.2. Në paragrafin e mëparshëm 3.1, ne shqyrtuam rastin kur një trapez i lakuar ndodhet mbi boshtin x. Tani merrni parasysh rastin kur kushtet e problemit janë të njëjta, përveç se funksioni shtrihet nën boshtin x. Një minus i shtohet formulës standarde të Newton-Leibniz. Ne do të shqyrtojmë se si ta zgjidhim një problem të tillë më poshtë.

Shembulli 2. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

NË në këtë shembull kemi një parabolë y = x2 + 6x + 2, e cila buron nga nën boshtin OX, drejtëza x = -4, x = -1, y = 0. Këtu y = 0 kufizon figurën e dëshiruar nga lart. Drejtëzat x = -4 dhe x = -1 janë kufijtë brenda të cilëve do të llogaritet integrali i caktuar. Parimi i zgjidhjes së problemit të gjetjes së sipërfaqes së një figure pothuajse plotësisht përkon me shembullin numër 1. Dallimi i vetëm është se funksioni i dhënë jo pozitiv, dhe ende i vazhdueshëm në intervalin [-4; -1]. Çfarë do të thotë jo pozitive? Siç shihet nga figura, figura që shtrihet brenda x-ve të dhëna ka ekskluzivisht koordinata "negative", gjë që duhet të shohim dhe të mbajmë mend kur zgjidhim problemin. Ne kërkojmë zonën e figurës duke përdorur formulën Newton-Leibniz, vetëm me një shenjë minus në fillim.

Artikulli nuk është i plotësuar.

temple-bal.ru