Nëse ndërtojmë dy boshte numerike pingul në një rrafsh: OK Dhe OY, atëherë ata do të thirren boshtet e koordinatave. Boshti horizontal OK thirrur boshti x(bosht x), boshti vertikal OY - boshti y(bosht y).
Pika O, duke qëndruar në kryqëzimin e akseve, quhet origjinën. Është pika zero për të dy akset. Numrat pozitivë përshkruhen në boshtin x me pika në të djathtë, dhe në boshtin y me pika lart nga pika zero. Numrat negativë përshkruhen me pika majtas dhe poshtë nga origjina e koordinatave (pikat O). Rrafshi në të cilin shtrihen boshtet e koordinatave quhet plan koordinativ.
Boshtet e koordinatave e ndajnë rrafshin në katër pjesë, të quajtura në lagje ose kuadrantet. Është zakon që këto katërshe të numërohen me numra romakë në rendin në të cilin janë numëruar në vizatim.
Koordinatat e një pike në aeroplan
Nëse marrim një pikë arbitrare në planin koordinativ A dhe vizatoni pingule prej saj në boshtet koordinative, atëherë bazat e pinguleve do të bien në dy numra. Numri me të cilin thirren pikat pingule vertikale pika e abshisë A. Numri me të cilin janë pikat pingule horizontale - ordinata e një pike A.
Në vizatim, abshisa e pikës Aështë e barabartë me 3, dhe ordinata është 5.
Abshisa dhe ordinata quhen koordinata të një pike të caktuar në rrafsh.
Koordinatat e një pike shkruhen në kllapa në të djathtë të përcaktimit të pikës. Fillimisht shkruhet abshisa, e ndjekur nga ordinata. Pra regjistroni A(3; 5) do të thotë se abshisa e pikës Aështë e barabartë me tre, dhe ordinata është pesë.
Koordinatat e një pike janë numra që përcaktojnë pozicionin e saj në rrafsh.
Nëse një pikë shtrihet në boshtin x, atëherë ordinata e saj është zero (për shembull, një pikë B me koordinatat -2 dhe 0). Nëse një pikë shtrihet në boshtin e ordinatave, atëherë abshisa e saj është e barabartë me zero (për shembull, një pikë C me koordinatat 0 dhe -4).
Origjina - pika O- ka edhe abshiste edhe ordinate e barabartë me zero: O (0; 0).
Ky sistem koordinatat quhet drejtkëndëshe ose karteziane.
Një sistem koordinativ drejtkëndor është një palë vijash koordinative pingule, të quajtura boshte koordinative, të cilat vendosen në mënyrë që ato të kryqëzohen në origjinën e tyre.
Përcaktimi i boshteve të koordinatave me shkronjat x dhe y është përgjithësisht i pranuar, por shkronjat mund të jenë çdo. Nëse përdoren shkronjat x dhe y, atëherë thirret rrafshi xy-rrafsh. Aplikacione të ndryshme mund të përdorin shkronja të ndryshme nga x dhe y, dhe siç tregohet në figurat e mëposhtme, ka avion UV Dhe ts-avioni.
Çifti i porositur
Me çift të renditur numrash realë nënkuptojmë dy numra realë në një renditje të caktuar. Çdo pikë P në planin koordinativ mund të shoqërohet me një çift unik të renditur numrash realë duke tërhequr dy drejtëza përmes P: njëra pingul me boshtin x dhe tjetra pingul me boshtin y.
Për shembull, nëse marrim (a,b)=(4,3), atëherë në shiritin koordinativ
Të ndërtosh një pikë P(a,b) do të thotë të përcaktosh një pikë me koordinatat (a,b) në planin koordinativ. Për shembull, pika të ndryshme janë paraqitur në figurën më poshtë.
Në një sistem koordinativ drejtkëndor, boshtet e koordinatave e ndajnë rrafshin në katër rajone të quajtura kuadrante. Ato numërohen në drejtim të kundërt të akrepave të orës me numra romakë, siç tregohet në figurë.
Përkufizimi i një grafiku
Orari ekuacioni me dy ndryshore x dhe y, është bashkësia e pikave në planin xy, koordinatat e të cilave janë anëtarë të grupit të zgjidhjeve të këtij ekuacioni
Shembull: vizatoni një grafik y = x 2
Për shkak se 1/x është e papërcaktuar kur x=0, ne mund të vizatojmë vetëm pikat për të cilat x ≠0
Shembull: Gjeni të gjitha kryqëzimet me boshte
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1/x
Le të jetë y = 0, pastaj 3x = 6 ose x = 2
është intercepti x i dëshiruar.
Pasi konstatojmë se x=0, gjejmë se pika e prerjes së boshtit y është pika y=3.
Në këtë mënyrë ju mund të zgjidhni ekuacionin (b) dhe zgjidhja për (c) është dhënë më poshtë
x-prerje
Le të jetë y = 0
1/x = 0 => x nuk mund të përcaktohet, d.m.th. nuk ka kryqëzim me boshtin y
Le të jetë x = 0
y = 1/0 => y është gjithashtu i papërcaktuar, => nuk ka kryqëzim me boshtin y
Në figurën e mëposhtme, pikat (x,y), (-x,y), (x,-y) dhe (-x,-y) paraqesin këndet e drejtkëndëshit.
Një grafik është simetrik në lidhje me boshtin x nëse për çdo pikë (x,y) në grafik, pika (x,-y) është gjithashtu një pikë në grafik.
Grafiku është simetrik në lidhje me boshtin y nëse për secilën pikë të grafikut (x,y), edhe pika (-x,y) i përket grafikut.
Grafiku është simetrik në lidhje me qendrën e koordinatave nëse për secilën pikë (x,y) në grafik, pika (-x,-y) gjithashtu i përket këtij grafiku.
Përkufizimi:
Orari funksione në planin koordinativ përcaktohet si grafiku i ekuacionit y = f(x)
Vizatoni f(x) = x + 2
Shembulli 2. Paraqitni një grafik të f(x) = |x|
Grafiku përkon me drejtëzën y = x për x > 0 dhe me drejtëzën y = -x
për x< 0 .
grafiku i f(x) = -x
Duke kombinuar këto dy grafikë marrim
grafiku f(x) = |x|
Shembulli 3: Paraqitni një grafik
t(x) = (x 2 - 4)/(x - 2) =
= ((x - 2) (x + 2)/(x - 2)) =
= (x + 2) x ≠ 2
Prandaj, ky funksion mund të shkruhet si
y = x + 2 x ≠ 2
Grafiku h(x)= x 2 - 4 Ose x - 2
grafiku y = x + 2 x ≠ 2
Shembulli 4: Paraqitni një grafik
Grafikët e funksioneve me zhvendosje
Supozojmë se dihet grafiku i funksionit f(x).
Pastaj mund të gjejmë grafikët
y = f(x) + c - grafiku i funksionit f(x), i zhvendosur
vlerat UP c
y = f(x) - c - grafiku i funksionit f(x), i zhvendosur
DOWN me vlerat c
y = f(x + c) - grafiku i funksionit f(x), i zhvendosur
LEFT sipas vlerave c
y = f(x - c) - grafiku i funksionit f(x), i zhvendosur
Djathtas sipas vlerave c
Shembulli 5: Ndërtoni
grafiku y = f(x) = |x - 3| + 2
Le të lëvizim grafikun y = |x| 3 vlera në të Djathtas për të marrë grafikun
Le të lëvizim grafikun y = |x - 3| UP 2 vlera për të marrë grafikun y = |x - 3| + 2
Hartoni një grafik
y = x 2 - 4x + 5
Le ta transformojmë ekuacionin e dhënë si më poshtë, duke shtuar 4 në të dyja anët:
y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4
y = (x - 2) 2 + 1
Këtu shohim se ky grafik mund të merret duke lëvizur grafikun e y = x 2 djathtas me 2 vlera, sepse x - 2, dhe lart me 1 vlerë, sepse +1.
y = x 2 - 4x + 5
Reflektime
(-x, y) është një pasqyrim i (x, y) rreth boshtit y
(x, -y) është një pasqyrim i (x, y) rreth boshtit x
Grafikët y = f(x) dhe y = f(-x) janë reflektime të njëri-tjetrit në lidhje me boshtin y
Grafikët y = f(x) dhe y = -f(x) janë reflektime të njëri-tjetrit në lidhje me boshtin x
Grafiku mund të merret duke reflektuar dhe lëvizur:
Vizatoni një grafik
Le të gjejmë pasqyrimin e tij në lidhje me boshtin y dhe të marrim një grafik
Le ta zhvendosim këtë grafik drejtë me 2 vlera dhe marrim një grafik
Këtu është grafiku që po kërkoni
Nëse f(x) shumëzohet me një konstante pozitive c, atëherë
grafiku f(x) kompresohet vertikalisht nëse 0< c < 1
grafiku f(x) shtrihet vertikalisht nëse c > 1
Kurba nuk është një grafik i y = f(x) për asnjë funksion f
pikat janë "të regjistruara" - "banorë", secila pikë ka "numrin e shtëpisë" të saj - koordinatat e saj. Nëse pika merret në një aeroplan, atëherë për ta "regjistruar" atë duhet të tregoni jo vetëm "numrin e shtëpisë", por edhe "numrin e banesës". Le t'ju kujtojmë se si bëhet kjo.
Le të vizatojmë dy vija koordinative reciproke pingule dhe të konsiderojmë origjinën e referencës në të dyja vijat si pikën e kryqëzimit të tyre - pika O. Kështu, një sistem koordinativ drejtkëndor është specifikuar në plan (Fig. 20), i cili kthen të zakonshmen aeroplan për të koordinuar. Pika O quhet origjina e koordinatave, vijat e koordinatave (boshti x dhe boshti y) quhen boshte koordinative dhe këndet e drejta të formuara nga boshtet e koordinatave quhen kënde koordinative. Këndet drejtkëndore të koordinatave numërohen siç tregohet në figurën 20.
Tani le të kthehemi te Figura 21, ku është paraqitur një sistem koordinativ drejtkëndor dhe pika M është shënuar përmes saj një vijë të drejtë paralele me boshtin y. Vija e drejtë kryqëzon boshtin x në një pikë të caktuar, kjo pikë ka një koordinatë - në boshtin x. Për pikën e paraqitur në figurën 21, kjo koordinatë është e barabartë me -1.5, quhet abshisa e pikës M. Më pas, vizatojmë një vijë të drejtë përmes pikës M, paralele me boshtin x. Vija e drejtë kryqëzon boshtin y në një pikë të caktuar, kjo pikë ka një koordinatë - në boshtin y.
Për pikën M, të paraqitur në figurën 21, kjo koordinatë është e barabartë me 2, quhet ordinata e pikës M. Shkurtimisht shkruhet si më poshtë: M (-1.5; 2). Abshisa shkruhet në vend të parë, ordinata në të dytën. Nëse është e nevojshme, përdorni një formë tjetër shënimi: x = -1,5; y = 2.
Shënim 1 . Në praktikë, për të gjetur koordinatat e pikës M, zakonisht në vend të drejtëzave paralele me boshtet koordinative dhe që kalojnë nëpër pikën M, ndërtohen segmente të këtyre drejtëzave nga pika M në boshtet koordinative (Fig. 22).
Shënim 2. Në paragrafin e mëparshëm kemi prezantuar emërtime të ndryshme për intervale numerike. Në veçanti, siç ramë dakord, shënimi (3, 5) do të thotë se në vijën e koordinatave konsiderojmë një interval me skajet në pikat 3 dhe 5. Në këtë seksion, ne konsiderojmë një çift numrash si koordinatat e një pike; për shembull, (3; 5) është një pikë në plan koordinativ me abshisë 3 dhe me ordinatë 5. Si mund të përcaktohet saktë nga shënimi simbolik se për çfarë po flasim: një interval apo koordinatat e një pike? Më shpesh kjo është e qartë nga teksti. Po sikur të mos jetë e qartë? Kushtojini vëmendje një detaji: kemi përdorur një presje për të treguar intervalin dhe një pikëpresje për të treguar koordinatat. Kjo, natyrisht, nuk është shumë domethënëse, por megjithatë një ndryshim; ne do ta përdorim atë.
Duke marrë parasysh termat dhe shënimet e paraqitura, vija e koordinatave horizontale quhet abshisa, ose boshti x, dhe vija vertikale e koordinatave quhet boshti i ordinatave ose boshti y. Shënimi x, y zakonisht përdoret kur specifikohet një sistem koordinativ drejtkëndor në një plan (shih Fig. 20) dhe shpesh thuhet kështu: jepet një sistem koordinativ xOy. Megjithatë, ka shënime të tjera: për shembull, në figurën 23 është specifikuar sistemi i koordinatave tOs.
Algoritmi për gjetjen e koordinatave të pikës M të specifikuara në sistemin e koordinatave drejtkëndëshe xOy
Kjo është pikërisht ajo që bëmë kur gjetëm koordinatat e pikës M në figurën 21. Nëse pika M 1 (x; y) i përket këndit të parë të koordinatave, atëherë x > 0, y > 0; nëse pika M 2 (x; y) i përket këndit të dytë koordinativ, atëherë x< 0, у >0; nëse pika M 3 (x; y) i përket këndit të tretë koordinativ, atëherë x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >OU< 0 (рис. 24).
Çfarë ndodh nëse pika, koordinatat e së cilës duhet të gjenden, shtrihet në një nga boshtet e koordinatave? Le të shtrihet pika A në boshtin x dhe pika B në boshtin y (Fig. 25). Vizatimi i një drejteje paralele me boshtin y përmes pikës A dhe gjetja e pikës së kryqëzimit të kësaj drejtëze me boshtin x nuk ka kuptim, pasi një pikë e tillë kryqëzimi tashmë ekziston - kjo është pika A, koordinata e saj (abshisa) është 3. Në të njëjtën mënyrë, nuk ka nevojë të vizatohet përmes pikës Dhe drejtëza paralele me boshtin x është vetë boshti x, i cili e pret boshtin y në pikën O me koordinatën (ordinata) 0. si rezultat, për pikën A marrim A(3; 0). Në mënyrë të ngjashme, për pikën B marrim B(0; - 1.5). Dhe për pikën O kemi O(0; 0).
Në përgjithësi, çdo pikë në boshtin x ka koordinata (x; 0), dhe çdo pikë në boshtin y ka koordinata (0; y)
Pra, diskutuam se si të gjejmë koordinatat e një pike në planin koordinativ. Si të zgjidhet problemi i anasjelltë, d.m.th., si, duke dhënë koordinatat, të ndërtohet pika përkatëse? Për të zhvilluar një algoritëm, ne do të kryejmë dy arsyetime ndihmëse, por në të njëjtën kohë të rëndësishme.
Arsyetimi i parë. Le të vizatohem në sistemin e koordinatave xOy, paralel me boshtin y dhe duke e prerë boshtin x në një pikë me koordinatë (abshisë) 4
(Fig. 26). Çdo pikë që shtrihet në këtë vijë ka një abshisë 4. Pra, për pikat M 1, M 2, M 3 kemi M 1 (4; 3), M 2 (4; 6), M 3 (4; - 2). Me fjalë të tjera, abshisa e çdo pike M në drejtëz plotëson kushtin x = 4. Ata thonë se x = 4 - ekuacionin rreshti l ose ai rresht I plotëson ekuacionin x = 4.
Figura 27 tregon linjat e drejta që plotësojnë ekuacionet x = - 4 (rreshti I 1), x = - 1
(drejt I 2) x = 3,5 (drejt I 3). Cila drejtëz plotëson ekuacionin x = 0? E morët me mend? boshti Y
Arsyetimi i dytë. Le të vizatohet një drejtëz I në sistemin e koordinatave xOy, paralel me boshtin x dhe duke e prerë boshtin y në një pikë me koordinatën (ordinata) 3 (Fig. 28). Çdo pikë e shtrirë në këtë drejtëz ka një ordinatë 3. Pra, për pikat M 1, M 2, M 3 kemi: M 1 (0; 3), M 2 (4; 3), M 3 (- 2; 3 ) . Me fjalë të tjera, ordinata e çdo pike M të drejtëzës I plotëson kushtin y = 3. Ata thonë se y = 3 është ekuacioni i drejtëzës I ose se drejtëza I plotëson ekuacionin y = 3.
Figura 29 tregon drejtëza që plotësojnë ekuacionet y = - 4 (drejtëza l 1), y = - 1 (drejtëza I 2), y = 3,5 (drejtëza I 3) - Dhe cila drejtëz plotëson ekuacionin y = 01 E keni marrë me mend? boshti x
Vini re se matematikanët, duke u përpjekur për shkurtësi, thonë "rreshti x = 4", dhe jo "vija që plotëson ekuacionin x = 4". Po kështu, ata thonë "rreshti y = 3" në vend të "vija që plotëson ekuacionin y = 3". Ne do të bëjmë të njëjtën gjë. Le të kthehemi tani në Figurën 21. Ju lutemi vini re se pika M (- 1.5; 2), e cila është paraqitur atje, është pika e kryqëzimit të drejtëzës x = -1.5 dhe drejtëzës y = 2. Tani, me sa duket, algoritmi për ndërtimin e pikës do të jetë i qartë sipas koordinatave të dhëna të saj.
Algoritmi për ndërtimin e pikës M (a; b) në një sistem koordinativ drejtkëndor xOy
SHEMBULL Në sistemin e koordinatave xOy ndërtoni pikat: A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3).
Zgjidhje. Pika A është pika e kryqëzimit të drejtëzave x = 1 dhe y = 3 (shih Fig. 30).
Pika B është pika e kryqëzimit të drejtëzave x = - 2 dhe y = 1 (Fig. 30). Pika C i përket boshtit x, dhe pika D i përket boshtit y (shih Fig. 30).
Në fund të seksionit, vërejmë se për herë të parë, sistemi i koordinatave drejtkëndëshe në një aeroplan filloi të përdoret në mënyrë aktive për të zëvendësuar algjebrikë modele filozofi gjeometrik francez René Descartes (1596-1650). Prandaj, ndonjëherë ata thonë "Sistemi i koordinatave Karteziane", "Koordinatat Karteziane".
Lista e plotë temat sipas klasës, kalendar sipas kurrikula shkollore në matematikë në internet, video materiale në matematikë për klasën e 7-të shkarko
A. V. Pogorelov, Gjeometria për klasat 7-11, Libër mësuesi për institucionet arsimore
Përmbajtja e mësimit shënimet e mësimit Mbështetja e prezantimit të mësimit në kuadër të metodave të përshpejtimit teknologjitë interaktive Praktikoni detyra dhe ushtrime punëtori për vetëtestim, trajnime, raste, kërkime pyetje diskutimi për detyra shtëpie pyetje retorike nga nxënësit Ilustrime audio, videoklipe dhe multimedia fotografi, foto, grafika, tabela, diagrame, humor, anekdota, shaka, komike, shëmbëlltyra, thënie, fjalëkryqe, citate Shtesa abstrakte artikuj truke për krevat kureshtarë tekste mësimore fjalor termash bazë dhe plotësues të tjera Përmirësimi i teksteve dhe mësimevekorrigjimi i gabimeve në tekstin shkollor përditësimi i një fragmenti në një tekst shkollor, elemente të inovacionit në mësim, zëvendësimi i njohurive të vjetruara me të reja Vetëm për mësuesit leksione perfekte plani kalendar për vitin udhëzime programet e diskutimit Mësime të integruara§ 1 Sistemi i koordinatave: përcaktimi dhe mënyra e ndërtimit
Në këtë mësim do të njihemi me konceptet "sistemi i koordinatave", "rrafshi i koordinatave", "boshtet e koordinatave" dhe do të mësojmë se si të ndërtojmë pika në një plan duke përdorur koordinatat.
Le të marrim një vijë koordinative x me pikën e origjinës O, një drejtim pozitiv dhe një segment njësi.
Nëpërmjet origjinës së koordinatave, pika O e drejtëzës së koordinatave x, vizatojmë një vijë tjetër koordinative y, pingul me x, vendosim drejtimin pozitiv lart, segmenti i njësisë është i njëjtë. Kështu, ne kemi ndërtuar një sistem koordinativ.
Le të japim një përkufizim:
Dy linja koordinative reciproke pingule që kryqëzohen në një pikë, e cila është origjina e koordinatave të secilës prej tyre, formojnë një sistem koordinativ.
§ 2 Boshti i koordinatave dhe plani koordinativ
Vijat e drejta që formojnë një sistem koordinativ quhen boshtet e koordinatave, secila prej të cilave ka emrin e vet: vija e koordinatave x është boshti i abshisës, vija e koordinatave y është boshti i ordinatave.
Rrafshi në të cilin zgjidhet sistemi i koordinatave quhet plan koordinativ.
Sistemi i koordinatave i përshkruar quhet drejtkëndor. Shpesh quhet sistemi i koordinatave karteziane për nder të filozofit dhe matematikanit francez René Descartes.
Çdo pikë në planin koordinativ ka dy koordinata, të cilat mund të përcaktohen duke hedhur pingulet nga pika në boshtin koordinativ. Koordinatat e një pike në një plan janë një çift numrash, nga të cilët numri i parë është abshisa, numri i dytë është ordinata. Abshisa është pingul me boshtin x, ordinata është pingul me boshtin y.
Të shënojmë pikën A në planin koordinativ dhe të vizatojmë pingule prej saj në boshtet e sistemit të koordinatave.
Përgjatë pingulit me boshtin e abshisave (boshti x), përcaktojmë abshisën e pikës A, është e barabartë me 4, ordinata e pikës A - përgjatë pingulit me boshtin e ordinatave (boshti y) është 3. Koordinatat e pikës sonë janë 4 dhe 3. A (4;3). Kështu, koordinatat mund të gjenden për çdo pikë në planin koordinativ.
§ 3 Ndërtimi i një pike në një rrafsh
Si të ndërtohet një pikë në një plan me koordinata të dhëna, d.m.th. Duke përdorur koordinatat e një pike në aeroplan, përcaktoni pozicionin e saj? Në këtë rast, ne kryejmë hapat në rend të kundërt. Në boshtet e koordinatave gjejmë pikat përkatëse koordinatat e dhëna, nëpër të cilat vizatojmë drejtëza pingul me boshtet x dhe y. Pika e prerjes së pinguleve do të jetë ajo e dëshiruara, d.m.th. një pikë me koordinata të dhëna.
Përfundojmë detyrën: ndërtojmë pikën M (2;-3) në rrafshin koordinativ.
Për ta bërë këtë, gjeni një pikë me koordinatë 2 në boshtin x dhe vizatoni një vijë të drejtë pingul me boshtin x përmes kësaj pike. Në boshtin e ordinatave gjejmë një pikë me koordinatë -3, përmes saj vizatojmë një drejtëz pingul me boshtin y. Pika e prerjes së drejtëzave pingule do të jetë pikë e dhënë M.
Tani le të shohim disa raste të veçanta.
Le të shënojmë pikat A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4) në planin koordinativ.
Abshisat e këtyre pikave janë të barabarta me 0. Figura tregon se të gjitha pikat janë në boshtin e ordinatave.
Rrjedhimisht, pikat, abshisat e të cilave janë të barabarta me zero, shtrihen në boshtin e ordinatave.
Le të shkëmbejmë koordinatat e këtyre pikave.
Rezultati do të jetë A (2;0), B (-3;0) C (4; 0). Në këtë rast, të gjitha ordinatat janë të barabarta me 0 dhe pikat janë në boshtin x.
Kjo do të thotë se pikat, ordinatat e të cilave janë të barabarta me zero, shtrihen në boshtin e abshisave.
Le të shohim edhe dy raste të tjera.
Në planin koordinativ shënoni pikat M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4).
Është e lehtë të vërehet se të gjitha abshisat e pikave janë të njëjta. Nëse këto pika janë të lidhura, ju merrni një vijë të drejtë paralele me boshtin e ordinatave dhe pingul me boshtin e abshisave.
Përfundimi sugjeron vetë: pikat që kanë të njëjtën abshisë shtrihen në të njëjtën drejtëz, e cila është paralele me boshtin e ordinatave dhe pingul me boshtin e abshisës.
Nëse ndërroni koordinatat e pikave M, N, P, merrni M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3). Ordinatat e pikave do të jenë të njëjta. Në këtë rast, nëse i lidhni këto pika, fitohet një vijë e drejtë paralele me boshtin e abshisës dhe pingul me boshtin e ordinatave.
Kështu, pikat që kanë të njëjtën ordinatë shtrihen në të njëjtën drejtëz paralele me boshtin e abshisës dhe pingul me boshtin e ordinatës.
Në këtë mësim ju u njohët me konceptet “sistemi i koordinatave”, “rrafshi i koordinatave”, “boshtet e koordinatave – boshti i abshisës dhe boshti i ordinatave”. Mësuam se si të gjejmë koordinatat e një pike në një plan koordinativ dhe mësuam se si të ndërtojmë pika në plan duke përdorur koordinatat e tij.
Lista e literaturës së përdorur:
- Matematika. Klasa 6: plane mësimore për tekstin shkollor të I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-përpilues L.A. Topilina. - Mnemosyne, 2009.
- Matematika. Klasa e 6-të: tekst shkollor për nxënësit e institucioneve të arsimit të përgjithshëm. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
- Matematika. Klasa e 6-të: tekst shkollor për institucionet e arsimit të përgjithshëm/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov dhe të tjerët / redaktuar nga G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Akademia Ruse e Shkencave, Akademia Ruse e Arsimit. - M.: "Iluminizmi", 2010
- Manuali i matematikës - http://lyudmilanik.com.ua
- Udhëzues për nxënësit për gjimnaz http://shkolo.ru
Teksti i veprës është postuar pa imazhe dhe formula.
Versioni i plotë puna është e disponueshme në skedën "Work Files" në format PDF
Prezantimi
Në fjalimin e të rriturve, mund të keni dëgjuar frazën e mëposhtme: "Më lini koordinatat tuaja". Kjo shprehje do të thotë se bashkëbiseduesi duhet të lërë adresën ose numrin e telefonit ku mund të gjendet. Ata prej jush që luajtën "betejën e detit" përdornin sistemin përkatës të koordinatave. Një sistem i ngjashëm koordinativ përdoret në shah. Vendet në një auditor kinemaje përcaktohen me dy numra: numri i parë tregon numrin e rreshtit dhe numri i dytë tregon numrin e sediljeve në këtë rresht. Ideja për të përcaktuar pozicionin e një pike në një aeroplan duke përdorur numra e ka origjinën në kohët e lashta. Sistemi i koordinatave përshkon gjithçka jetën praktike njerëzore dhe ka një të madhe përdorim praktik. Prandaj vendosëm të krijojmë këtë projekt për të zgjeruar njohuritë tuaja në temën "Rafshi i koordinatave"
Objektivat e projektit:
të njihen me historinë e shfaqjes së një sistemi koordinativ drejtkëndor në një aeroplan;
figura të shquara të përfshira në këtë temë;
gjeni interesante fakte historike;
perceptojnë mirë koordinatat me vesh; të kryejë ndërtimet në mënyrë të qartë dhe të saktë;
përgatit një prezantim.
Kapitulli I. Aeroplani koordinativ
Ideja e përcaktimit të pozicionit të një pike në një aeroplan duke përdorur numra e ka origjinën në kohët e lashta - kryesisht nga astronomët dhe gjeografët kur përpilonin harta dhe kalendarë yje dhe gjeografikë.
§1. Origjina e koordinatave. Sistemi i koordinatave në gjeografi
200 vjet para Krishtit, shkencëtari grek Hipparchus prezantoi koordinatat gjeografike. Ai sugjeroi të vizatohej harta gjeografike paralelet dhe meridianët dhe tregojnë gjerësinë dhe gjatësinë gjeografike me numra. Duke përdorur këto dy numra, ju mund të përcaktoni me saktësi pozicionin e një ishulli, fshati, mali ose pusi në shkretëtirë dhe t'i vizatoni ato në një hartë ose glob, pasi keni mësuar të përcaktoni në botë e hapur gjerësia dhe gjatësia e vendndodhjes së anijes, marinarët ishin në gjendje të zgjidhnin drejtimin e nevojshëm.
Gjatësia gjeografike lindore dhe gjerësia veriore tregohen me numra me shenjë plus, dhe gjatësia gjeografike perëndimore dhe gjerësia gjeografike jugore tregohen me numra me shenjën minus. Kështu, një palë numrash të nënshkruar identifikon në mënyrë unike një pikë në glob.
Gjerësia gjeografike? - këndi ndërmjet vijës së plumbit në një pikë të caktuar dhe rrafshit të ekuatorit, i matur nga 0 në 90 në të dy anët e ekuatorit. Gjatësia gjeografike? - këndi ndërmjet rrafshit të meridianit që kalon nëpër një pikë të caktuar dhe rrafshit të origjinës së meridianit (shih meridianin e Grinuiçit). Gjatësia nga 0 deri në 180 në lindje të fillimit të meridianit quhen lindore, dhe në perëndim - perëndimore.
Për të gjetur një objekt të caktuar në një qytet, në shumicën e rasteve mjafton të dihet adresa e tij. Vështirësitë lindin nëse duhet të shpjegoni se ku, për shembull, zona vilë e vendit, vend në pyll. Një ilaç universal Koordinatat gjeografike shërbejnë si tregues të vendndodhjes.
Kur përballet me një situatë emergjente, gjëja e parë që një person duhet të bëjë është të jetë në gjendje të lundrojë në zonë. Ndonjëherë është e nevojshme të përcaktohen koordinatat gjeografike të vendndodhjes tuaj, për shembull, për t'u transmetuar në shërbimin e shpëtimit ose për qëllime të tjera.
Navigimi modern përdor si standard sistemin e koordinatave botërore WGS-84. Të gjithë navigatorët GPS dhe projektet kryesore hartografike në internet funksionojnë në këtë sistem koordinativ. Koordinatat në sistemin WGS-84 përdoren dhe kuptohen zakonisht nga të gjithë si koha universale. Saktësia përgjithësisht e disponueshme kur punoni me koordinatat gjeografikeështë 5 - 10 metra në tokë.
Koordinatat gjeografike janë numra me shenjë (gjerësia gjeografike nga -90° në +90°, gjatësia nga -180° në +180°) dhe mund të shkruhen në forma të ndryshme: në gradë (ddd.ddddd°); gradë dhe minuta (ddd° mm.mmm"); gradë, minuta dhe sekonda (ddd° mm" ss.s"). Format e regjistrimit mund të konvertohen lehtësisht në njëri-tjetrin (1 shkallë = 60 minuta, 1 minutë = 60 sekonda ) Për të treguar shenjën e koordinatave, shpesh përdoren shkronja, bazuar në emrat e pikave kryesore: N dhe E -. gjerësia veriore dhe gjatësia gjeografike lindore janë numra pozitivë, S dhe W janë gjerësia gjeografike jugore dhe gjatësia perëndimore janë numra negativë.
Forma e regjistrimit të koordinatave në DEGREES është më e përshtatshme për hyrje manuale dhe përkon me shënimi matematik numrat. Forma e koordinatave të regjistrimit në DEGREES DHE MINUTES preferohet në shumë raste ky format është vendosur si parazgjedhje në shumicën e navigatorëve GPS dhe përdoret standardisht në aviacion dhe në det. Forma klasike e regjistrimit të koordinatave në DEGREES, MINUTES DHE SEKONDA në fakt nuk gjen shumë përdorim praktik.
§2. Sistemi i koordinatave në astronomi. Mitet për yjësitë
Siç u përmend më lart, ideja e përcaktimit të pozicionit të një pike në një aeroplan duke përdorur numra filloi në kohët e lashta midis astronomëve kur hartonin hartat e yjeve. Njerëzit duhej të numëronin kohën, të parashikonin dukuritë sezonale(batica e lartë, baticat e ulëta, shirat sezonalë, përmbytjet), ishte e nevojshme të lundrohej në terren gjatë udhëtimit.
Astronomia është shkenca e yjeve, planetëve, trupat qiellorë, struktura dhe zhvillimi i tyre.
Kanë kaluar mijëra vjet, shkenca ka ecur shumë përpara, por njerëzit ende nuk mund t'i heqin sytë nga bukuria e qiellit të natës.
Konstelacione - zona qielli me yje, figura karakteristike të formuara nga yje të shndritshëm. I gjithë qielli është i ndarë në 88 yjësi, të cilat e bëjnë më të lehtë lundrimin mes yjeve. Shumica e emrave të yjësive vijnë nga lashtësia.
Konstelacioni më i famshëm është Ursa Major. NË Egjipti i lashte u quajt "Hipopotam", dhe kazakët e quajtën "Kali në zinxhir", megjithëse nga jashtë plejada nuk i ngjan as njërës dhe as tjetrës kafshë. Si është ajo?
Grekët e lashtë kishin një legjendë për yjësitë Arusha e Madhe dhe Arusha e Vogël. Zoti i plotfuqishëm Zeus vendosi të martohej me nimfën e bukur Calisto, një nga shërbëtorët e perëndeshës Afërditë, kundër dëshirës së kësaj të fundit. Për të shpëtuar Kalisto nga persekutimi i perëndeshës, Zeusi e ktheu Kalisto në Arushën e Madhe, qenin e saj të dashur në Arushën e Vogël dhe i çoi në parajsë. Transferoni yjësitë Arusha e Madhe dhe Ursa e Vogël nga qielli me yje në rrafshin koordinativ. . Secili prej yjeve në Big Dipper ka emrin e vet.
URSA E MADHE
E njoh nga KOVA!
Shtatë yje shkëlqejnë këtu
Ja si janë emrat e tyre:
DUBHE ndriçon errësirën,
MERAK po digjet pranë tij,
Në krah është FEKDA me MEGRETZ,
Një shok i guximshëm.
Nga MEGRETZ për nisje
ALIOT ndodhet
Dhe pas tij - MITZAR me ALCOR
(Këto të dy shkëlqejnë në unison.)
Kuti ynë mbyllet
BENETNASH i pakrahasueshëm.
Ai tregon syrin
Rruga për në yjësinë BOOTES,
Aty ku shkëlqen ARKTURI i bukur,
Të gjithë do ta vënë re atë tani!
Një legjendë po aq e bukur për yjësitë Cepheus, Cassiopeia dhe Andromeda.
Etiopia dikur drejtohej nga mbreti Cepheus. Një ditë, gruaja e tij, Mbretëresha Cassiopeia, pati pakujdesi për të treguar bukurinë e saj para banorëve të detit - Nereidëve. Ky i fundit, i ofenduar, iu ankua zotit të detit Poseidon dhe sundimtari i deteve, i tërbuar nga pafytyrësia e Kasiopisë, i dërgoi në brigjet e Etiopisë. përbindësh deti- Kita. Për të shpëtuar mbretërinë e tij nga shkatërrimi, Cepheus, me këshillën e orakullit, vendosi t'i sakrifikonte përbindëshit dhe t'i jepte vajzën e tij të dashur Andromeda për t'u gllabëruar. Ai e lidhi Andromedën në një shkëmb bregdetar dhe e la në pritje të vendimit të fatit të saj.
Dhe në këtë kohë, në anën tjetër të botës, heroi mitik Perseus kreu një vepër të guximshme. Ai hyri në një ishull të izoluar ku jetonin gorgonat - monstra të mahnitshme në formën e grave, kokat e të cilave ishin të mbushura me gjarpërinj në vend të flokëve. Vështrimi i gorgonave ishte aq i tmerrshëm sa të gjithë ata që shikonin u shndërruan menjëherë në gurë.
Duke përfituar nga gjumi i këtyre përbindëshave, Perseus ia preu kokën njërit prej tyre, Gorgon Medusa. Në atë moment, kali Pegasus fluturoi nga trupi i prerë i Medusës. Perseus kapi kokën e kandilit të detit, u hodh mbi Pegasus dhe nxitoi përmes ajrit në atdheun e tij. Kur fluturoi mbi Etiopi, pa Andromedën të lidhur me zinxhirë në një shkëmb. Në këtë moment, balena kishte dalë tashmë nga thellësia e detit, duke u përgatitur për të gëlltitur viktimën e saj. Por Perseus, duke nxituar në një betejë vdekjeprurëse me Keith, mundi përbindëshin. Ai i tregoi Keith kokën e kandilit të detit, e cila ende nuk e kishte humbur forcën e saj dhe përbindëshi u ngurtësua, duke u kthyer në një ishull. Sa për Perseun, pasi e zgjidhi Andromedën, ai ia ktheu babait të saj dhe Cepheus, i emocionuar nga lumturia, i dha Andromedën për grua Perseut. Kështu përfundoi i lumtur kjo histori, personazhet kryesore të së cilës u vendosën në parajsë nga grekët e lashtë.
Aktiv harta e yjeve Ju mund të gjeni jo vetëm Andromedën me babanë, nënën dhe burrin e saj, por edhe kalin magjik Pegasus dhe fajtorin e të gjitha telasheve - përbindëshin Keith.
Konstelacioni Cetus ndodhet nën Pegasus dhe Andromeda. Fatkeqësisht, ajo nuk shënohet nga ndonjë karakteristikë yje të ndritshëm dhe prandaj i përket numrit të yjësive të vogla.
§3. Duke përdorur një ide koordinatat drejtkëndore në pikturë.
Gjurmët e zbatimit të idesë së koordinatave drejtkëndore në formën e një rrjeti katror (paletë) përshkruhen në murin e njërës prej dhomave të varrimit të Egjiptit të Lashtë. Në dhomën e varrimit të piramidës së At Ramesses, ka një rrjet katrorësh në mur. Me ndihmën e tyre, imazhi transferohet në një formë të zmadhuar. Artistët e Rilindjes përdorën gjithashtu një rrjet drejtkëndor.
Fjala "perspektivë" është latinisht për "të parë qartë". NË Arte të bukura perspektiva lineare është imazhi i objekteve në një plan në përputhje me ndryshimet e dukshme në madhësinë e tyre. Baza e teorisë moderne të perspektivës u hodh nga artistët e mëdhenj të Rilindjes - Leonardo da Vinci, Albrecht Durer dhe të tjerët. Një nga gdhendjet e Durer-it (Fig. 3) përshkruan një metodë të tërheqjes nga jeta përmes xhamit me një rrjet katror të aplikuar në të. Ky proces mund të përshkruhet si më poshtë: nëse qëndroni përpara një dritareje dhe, pa ndryshuar këndvështrimin tuaj, rrethoni në xhami gjithçka që është e dukshme pas saj, atëherë vizatimi që rezulton do të jetë një imazh perspektiv i hapësirës.
Metodat e projektimit egjiptian që duket se janë bazuar në modelet e rrjetit katror. Ka shembuj të shumtë në artin egjiptian që tregojnë se artistët dhe skulptorët fillimisht vizatuan një rrjet në mur, i cili duhej pikturuar ose gdhendur në mënyrë që të ruheshin përmasat e vendosura. Marrëdhëniet e thjeshta numerike të këtyre rrjeteve janë në thelb të të gjitha të mëdhave vepra arti Egjiptianët
E njëjta metodë u përdor nga shumë artistë të Rilindjes, duke përfshirë Leonardo da Vinci. Në Egjiptin e Lashtë, kjo u mishërua në Piramidën e Madhe, e cila përforcohet nga lidhja e saj e ngushtë me modelin në Marlborough Down.
Kur filloi punën, artisti egjiptian rreshtoi murin me një rrjet vijash të drejta dhe më pas i transferoi me kujdes figurat mbi të. Por rregullsia gjeometrike nuk e pengoi atë të rikrijonte natyrën me saktësi të detajuar. Pamja e çdo peshku, çdo zogu përcillet me një vërtetësi të tillë që zoologët modernë llojet e tyre mund të përcaktohen lehtësisht. Figura 4 tregon një detaj të përbërjes nga ilustrimi - një pemë me zogj të kapur në rrjetën e Khnumhotep. Lëvizja e dorës së artistit udhëhiqej jo vetëm nga rezervat e aftësive të tij, por edhe nga syri, i ndjeshëm ndaj skicave të natyrës.
Fig.4 Zogjtë mbi akacie
Kapitulli II. Metoda e koordinatave në matematikë
§1. Zbatimi i koordinatave në matematikë. Meritat
Matematikani francez René Descartes
Për një kohë të gjatë, vetëm "përshkrimi i tokës" i gjeografisë përdori këtë shpikje të mrekullueshme, dhe vetëm në shekullin e 14-të, matematikani francez Nicolas Oresme (1323-1382) u përpoq ta zbatonte atë në "matjen e tokës" - gjeometrinë. Ai propozoi të mbulohej avioni me një rrjet drejtkëndor dhe të quhej gjerësia dhe gjatësia gjeografike atë që ne tani e quajmë abscissa dhe ordinate.
Bazuar në këtë risi të suksesshme, u ngrit metoda e koordinatave, duke lidhur gjeometrinë me algjebrën. Merita kryesore për krijimin e kësaj metode i përket matematikanit të madh francez Rene Descartes (1596 - 1650). Për nder të tij, një sistem i tillë koordinativ quhet Kartezian, duke treguar vendndodhjen e çdo pike në aeroplan nga distancat nga kjo pikë në "gjerësi gjeografike zero" - boshti i abscisës dhe "meridiani zero" - boshti i ordinatave.
Sidoqoftë, ky shkencëtar dhe mendimtar i shkëlqyer francez i shekullit të 17-të (1596 - 1650) nuk e gjeti menjëherë vendin e tij në jetë. Lindur në një familje fisnike, Dekarti mori një edukim të mirë. Në vitin 1606, babai i tij e dërgoi atë në kolegjin jezuit të La Flèche. Duke marrë parasysh jo shumë Shendet i mire Dekartit, atij iu dhanë disa relaksime në regjimin e rreptë të kësaj institucion arsimor, për shembull, u lejuan të ngriheshin më vonë se të tjerët. Duke marrë shumë njohuri në kolegj, Dekarti në të njëjtën kohë u zhyt në antipati ndaj filozofisë skolastike, të cilën ai e ruajti gjatë gjithë jetës së tij.
Pas mbarimit të kolegjit, Dekarti vazhdoi shkollimin. Në vitin 1616, në Universitetin e Poitiers, ai mori një diplomë bachelor në drejtësi. Në 1617, Dekarti u regjistrua në ushtri dhe udhëtoi gjerësisht në të gjithë Evropën.
Viti 1619 doli të ishte një vit kyç për Dekartin shkencërisht.
Ishte në këtë kohë, siç shkroi ai vetë në ditarin e tij, që atij iu zbuluan themelet e një "shkence më të mahnitshme" të re. Me shumë mundësi, Dekarti kishte në mendje zbulimin e një metode shkencore universale, të cilën ai më pas e zbatoi frytshëm në një sërë disiplinash.
Në vitet 1620, Dekarti u takua me matematikanin M. Mersenne, nëpërmjet të cilit ai vite të gjata"mbahej në kontakt" me të gjithë komunitetin shkencor evropian.
Në 1628, Descartes u vendos në Holandë për më shumë se 15 vjet, por nuk u vendos në asnjë vend, por ndryshoi vendbanimin e tij rreth dy duzina herë.
Në 1633, pasi mësoi për dënimin e Galileos nga kisha, Dekarti refuzoi të botonte veprën e tij natyrore filozofike "Bota", e cila përshkruante idetë e origjinës natyrore të universit sipas ligjeve mekanike të materies.
Në 1637 më frëngjisht Botohet vepra e Dekartit “Diskursi mbi metodën”, me të cilën, siç besojnë shumë, filloi filozofia moderne evropiane.
Vepra e fundit filozofike e Dekartit, Pasionet e shpirtit, botuar në vitin 1649, pati gjithashtu një ndikim të madh në mendimin evropian. Në të njëjtin vit, me ftesë të mbretëreshës suedeze Kristina, Dekarti shkoi në Suedi. Klima e ashpër dhe regjimi i pazakontë (mbretëresha e detyroi Dekartin të ngrihej në orën 5 të mëngjesit për t'i dhënë mësimet e saj dhe për të kryer detyra të tjera) minuan shëndetin e Dekartit dhe, pasi u ftoh, ai
vdiq nga pneumonia.
Sipas traditës së paraqitur nga Descartes, "gjerësia" e një pike shënohet me shkronjën x, "gjatësia" me shkronjën y.
Shumë mënyra për të treguar një vend bazohen në këtë sistem.
Për shembull, në një biletë kinemaje ka dy numra: rreshti dhe sedilja - ato mund të konsiderohen si koordinatat e sediljes në teatër.
Koordinata të ngjashme pranohen në shah. Në vend të njërit prej numrave, merret një shkronjë: rreshtave vertikale qelizat përcaktohen me shkronja të alfabetit latin, dhe ato horizontale me numra. Kështu, çdo katror të tabelës së shahut i caktohen një palë shkronja dhe numra, dhe shahistët janë në gjendje të regjistrojnë lojërat e tyre. Konstantin Simonov shkruan për përdorimin e koordinatave në poezinë e tij "Djali i Artilerisë".
Gjithë natën, duke ecur si një lavjerrës,
Majori nuk i mbylli sytë,
Mirupafshim në radio në mëngjes
Sinjali i parë erdhi:
"Është në rregull, arrita atje,
Gjermanët janë në të majtën time,
Koordinatat (3;10),
Le të ndezim së shpejti!
Armët janë të mbushura
Majori llogariti gjithçka vetë.
Dhe me një zhurmë breshëritë e para
Ata goditën malet.
Dhe përsëri sinjali në radio:
“Gjermanët kanë më shumë të drejtë se unë,
Koordinatat (5; 10),
Më shumë zjarr së shpejti!
Toka dhe shkëmbinjtë fluturuan,
Tymi u ngrit në një kolonë.
Dukej se tani prej andej
Askush nuk do të largohet i gjallë.
Sinjali i tretë i radios:
“Gjermanët janë rreth meje,
Koordinatat (4; 10),
Mos kurseni zjarrin.
Majori u zbeh kur dëgjoi:
(4;10) - vetëm
Vendi ku Lyonka e tij
Duhet ulur tani.
Konstantin Simonov "Djali i një artileri"
§2. Legjenda për shpikjen e sistemit të koordinatave
Ekzistojnë disa legjenda për shpikjen e sistemit të koordinatave, i cili mban emrin e Dekartit.
Legjenda 1
Kjo histori ka mbërritur në kohët tona.
Duke vizituar teatrot pariziane, Dekarti nuk u lodh kurrë duke u befasuar nga konfuzioni, grindjet dhe ndonjëherë edhe sfidat e një dueli të shkaktuar nga mungesa e një rendi elementar të shpërndarjes së publikut në auditor. Sistemi i numërimit që ai propozoi, në të cilin çdo vend merrte një numër rreshti dhe një numër serial nga skaji, hoqi menjëherë të gjitha arsyet për grindje dhe krijoi një ndjesi të vërtetë në shoqërinë e lartë pariziane.
Legjenda 2. Një ditë, Rene Descartes shtrihej në shtrat gjatë gjithë ditës, duke menduar për diçka, dhe një mizë gumëzhinte përreth dhe nuk e lejonte të përqendrohej. Ai filloi të mendojë se si të përshkruajë matematikisht pozicionin e një mize në çdo kohë, në mënyrë që të jetë në gjendje ta kapërcejë atë pa humbur. Dhe...kam ardhur me koordinatat karteziane, një nga shpikjet më të mëdha në historinë e njerëzimit.
Markovtsev Yu.
Njëherë e një kohë në një qytet të panjohur
Erdhi Dekarti i ri.
E mundonte tmerrësisht uria.
Ishte një muaj mars i ftohtë.
Vendosa të pyes një kalimtar
Dekarti, duke u përpjekur të qetësojë dridhjen:
Ku është hoteli, më thuaj?
Dhe zonja filloi të shpjegonte:
- Shkoni në dyqanin e qumështit
Pastaj në furrë buke, pas saj
Gruaja cigane shet kunja
Dhe helm për minjtë dhe minjtë,
Me siguri do t'i gjeni
Djathëra, biskota, fruta
Dhe mëndafsh shumëngjyrësh...
I dëgjova të gjitha këto shpjegime
Dekarti, duke u dridhur nga i ftohti.
Ai me të vërtetë donte të hante
- Pas dyqaneve është një farmaci
(farmacisti atje është një suedez me mustaqe),
Dhe kisha ku në fillim të shek
Me sa duket gjyshi im u martua...
Kur zonja heshti për një moment,
Papritur shërbëtori i saj tha:
- Ecni drejt tre blloqe
Dhe dy në të djathtë. Hyrja nga këndi.
Kjo është përralla e tretë për incidentin që i dha Dekartit idenë e koordinatave.
konkluzioni
Gjatë krijimit të projektit tonë, mësuam për përdorimin e planit koordinativ në fusha të ndryshme të shkencës dhe Jeta e përditshme, disa informacione nga historia e origjinës së rrafshit koordinativ dhe matematikanët që bënë kontribut të madh në këtë shpikje. Materiali që kemi mbledhur gjatë shkrimit të veprës mund të përdoret në klasat e klubeve shkollore, si material shtesë për mësime. E gjithë kjo mund të interesojë nxënësit e shkollës dhe të ndriçojë procesin e të mësuarit.
Dhe ne do të donim ta mbyllnim me këto fjalë:
“Imagjinoni jetën tuaj si një plan koordinativ. Boshti y është pozicioni juaj në shoqëri. Boshti x është duke ecur përpara, drejt qëllimit, drejt ëndrrës suaj. Dhe siç e dimë, është e pafund... mund të rrëzohemi, duke shkuar gjithnjë e më tej në minus, mund të qëndrojmë në zero dhe të mos bëjmë asgjë, absolutisht asgjë. Ne mund të ngrihemi, mund të biem, mund të shkojmë përpara ose të kthehemi prapa, dhe gjithçka sepse e gjithë jeta jonë është një plan koordinativ dhe gjëja më e rëndësishme këtu është se cila është koordinata juaj...”
Bibliografi
Glazer G.I. Historia e matematikës në shkollë: - M.: Prosveshchenie, 1981. - 239 f., ill.
Lyatker Ya. M.: Mysl, 1975. - (Mendimtarët e së kaluarës)
Matvievskaya G. P. Rene Descartes, 1596-1650. M.: Nauka, 1976.
A. Savin. Koordinatat Kuantike. 1977. nr 9
Matematika - suplement i gazetës “I Shtatori i Parë”, Nr.7, Nr.20, Nr.17, 2003, Nr.11, 2000.
Siegel F.Yu. Alfabeti i yjeve: Një manual për studentët. - M.: Edukimi, 1981. - 191 f., ilus.
Steve Parker, Nicholas Harris. Enciklopedi e ilustruar për fëmijë. Sekretet e universit. Kharkov Belgorod. 2008
Materialet nga faqja http://istina.rin.ru/