Le të merret një mostër nga një popullatë e përgjithshme që i nënshtrohet ligjit normale shpërndarja XN( m;  ). Ky supozim bazë i statistikave matematikore bazohet në teoremën e kufirit qendror. Le të dihet devijimi standard i përgjithshëm  , por pritshmëria matematikore e shpërndarjes teorike është e panjohur m(vlera mesatare ).

Në këtë rast, mostra mesatare , e marrë gjatë eksperimentit (seksioni 3.4.2), do të jetë gjithashtu një ndryshore e rastësishme m;
). Pastaj devijimi i "normalizuar".
N(0;1) – është një ndryshore standarde e rastësishme normale.

Detyra është të gjesh një vlerësim interval për m. Le të ndërtojmë një interval besimi të dyanshëm për m në mënyrë që pritshmëria e vërtetë matematikore t'i takojë atij me një probabilitet të caktuar (besueshmëri)  .

Vendosni një interval të tillë për vlerën
- kjo nënkupton gjetjen e vlerës maksimale të kësaj sasie
dhe minimale
, cilat janë kufijtë e rajonit kritik:
.

Sepse ky probabilitet është i barabartë
, atëherë rrënja e këtij ekuacioni
mund të gjenden duke përdorur tabelat e funksioneve Laplace (Tabela 3, Shtojca 1).

Pastaj me probabilitet  mund të argumentohet se ndryshorja e rastit
, domethënë, mesatarja e përgjithshme e dëshiruar i përket intervalit
. (3.13)

Madhësia
(3.14)

thirrur saktësi vlerësimet.

Numri
– kuantile shpërndarje normale– mund të gjendet si argument i funksionit Laplace (Tabela 3, Shtojca 1), duke marrë parasysh relacionin 2Ф( u)=, d.m.th. F( u)=
.

Prapa, nga vlera e vendosur devijimet  mund të gjendet me çfarë probabiliteti i takon intervalit mesatarja e përgjithshme e panjohur
. Për ta bërë këtë ju duhet të llogaritni

. (3.15)

Nxjerr popullatëështë nxjerrë një kampion i rastësishëm duke përdorur kampionim të përsëritur. Nga barazimi.
mund te gjendet minimale vëllimi i rimostrimit n, e nevojshme për intervalin e besimit me një besueshmëri të caktuar nuk e ka tejkaluar vlerën e paracaktuar  . Madhësia e kërkuar e mostrës vlerësohet duke përdorur formulën:

. (3.16)

Le të eksplorojmë saktësia e vlerësimit
:

1) Ndërsa madhësia e mostrës rritet n magnitudë  zvogëlohet, dhe për rrjedhojë saktësinë e vlerësimit rritet.

2) C rrit besueshmëria e vlerësimit vlera e argumentit rritet u(sepse F(u) rritet në mënyrë monotone) dhe prandaj rritet  . Në këtë rast, rritja e besueshmërisë zvogëlon saktësinë e vlerësimit të tij  .

Vlerësimi
(3.17)

thirrur klasike(ku t- një parametër i caktuar në varësi të Dhe n), sepse ai karakterizon ligjet e shpërndarjes që hasen më shpesh.

3.5.3 Intervalet e besimit për vlerësimin e pritshmërisë matematikore të një shpërndarjeje normale me një devijim standard të panjohur 

Le të dihet se popullsia i nënshtrohet ligjit të shpërndarjes normale XN( m; ), ku vlera rrënja mesatare katrore devijimet i panjohur.

Për të ndërtuar një interval besimi për vlerësimin e mesatares së përgjithshme në këtë rast, përdoren statistikat
, duke pasur një shpërndarje Studenti me k= n– 1 shkallë lirie. Kjo rrjedh nga fakti se N(0;1) (shih seksionin 3.5.2), dhe
(shih seksionin 3.5.3) dhe nga përkufizimi i shpërndarjes së studentëve (pjesa 1. seksioni 2.11.2).

Le të gjejmë saktësinë e vlerësimit klasik të shpërndarjes Studenti: d.m.th. ne do të gjejmë t nga formula (3.17). Le të jetë probabiliteti i përmbushjes së pabarazisë
dhënë nga besueshmëria  :

. (3.18)

Sepse T Shën( n-1), është e qartë se t varet nga  Dhe n, kështu që ata zakonisht shkruajnë
.

(3.19)

Ku
– Funksioni i shpërndarjes së nxënësve me n-1 shkallë lirie.

Zgjidhja e këtij ekuacioni për m, marrim intervalin
i cili në mënyrë të besueshme  mbulon parametrin e panjohur m.

Madhësia t  , n-1, përdoret për të përcaktuar intervalin e besimit ndryshore e rastësishme T(n-1), shpërndahet sipas t-testit me n-1 shkallë lirie quhet Koeficienti i nxënësit. Duhet të gjendet sipas vlerave të dhëna n dhe  nga tabelat “Pikat kritike të shpërndarjes së nxënësve”. (Tabela 6, Shtojca 1), të cilat paraqesin zgjidhje të ekuacionit (3.19).

Si rezultat, marrim shprehjen e mëposhtme saktësi intervali i besimit për vlerësimin pritje matematikore(mesatarja e përgjithshme), nëse varianca është e panjohur:

(3.20)

Kështu, ekziston një formulë e përgjithshme për ndërtimin e intervaleve të besimit për pritjet matematikore të popullsisë:

ku është saktësia e intervalit të besimit  varësisht nga dispersioni i njohur apo i panjohur gjendet sipas formulave, përkatësisht 3.16. dhe 3.20.

Problemi 10. Janë kryer disa teste, rezultatet e të cilave janë renditur në tabelë:

Dihet se ata i binden ligjit të shpërndarjes normale me
. Gjeni vlerësimin m* për pritjen matematikore m, ndërtoni një interval besimi 90% për të.

Zgjidhja:

Kështu që, m(2.53;5.47).

Problemi 11. Thellësia e detit matet me një pajisje gabimi sistematik i së cilës është 0, dhe gabimet e rastësishme shpërndahen sipas ligjit normal, me një devijim standard.  = 15 m. Sa matje të pavarura duhen bërë për të përcaktuar thellësinë me gabime jo më shumë se 5 m në një nivel besimi 90%?

Zgjidhja:

Sipas kushteve të problemit që kemi XN( m;  ), Ku  = 15 m,  = 5 m,  =0.9. Le të gjejmë volumin n.

1) Me një besueshmëri të dhënë = 0.9, gjejmë nga tabelat 3 (Shtojca 1) argumentin e funksionit Laplace. u  = 1.65.

2) Njohja e saktësisë së përcaktuar të vlerësimit  =u  =5, le të gjejmë
. Ne kemi

. Prandaj numri i testeve n25.

Problemi 12. Marrja e mostrave të temperaturës t për 6 ditët e para të janarit paraqitet në tabelë:

Gjeni intervalin e besimit për pritshmërinë matematikore m popullsi me probabilitet besimi
dhe vlerësoni gjeneralin devijimi standard s.

Zgjidhja:

Dhe
.

2) Vlerësim i paanshëm gjeni duke përdorur formulën
:

;
;

.

3) Meqenëse varianca e përgjithshme është e panjohur, por vlerësimi i saj është i njohur, atëherë të vlerësohet pritshmëria matematikore m ne përdorim shpërndarjen Studenti (Tabela 6, Shtojca 1) dhe formulën (3.20).

Sepse n 1 =n 2 = 6, pastaj ,
, s 1 =6,85 kemi:
, pra -29.2-4.1<m 1 < -29.2+4.1.

Prandaj -33.3<m 1 <-25.1.

Në mënyrë të ngjashme kemi,
, s 2 = 4.8, pra

–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33.3;-25.1) dhe m 2 (-34.9;-29.1).

Në shkencat e aplikuara, për shembull, në disiplinat e ndërtimit, për të vlerësuar saktësinë e objekteve përdoren tabela të intervalit të besimit, të cilat jepen në literaturën përkatëse të referencës.

Ekzistojnë dy lloje vlerësimesh në statistika: pika dhe intervali. Vlerësimi me pikëështë një statistikë e vetme mostre që përdoret për të vlerësuar një parametër të popullsisë. Për shembull, mesatarja e mostrës është një vlerësim pikësor i pritshmërisë matematikore të popullatës dhe variancës së mostrës S 2- vlerësimi pikësor i variancës së popullsisë σ 2. është treguar se mesatarja e mostrës është një vlerësim i paanshëm i pritshmërisë matematikore të popullatës. Mesatarja e kampionit quhet e paanshme sepse mesatarja e të gjithë kampionit do të thotë (me të njëjtën madhësi kampioni) n) është e barabartë me pritshmërinë matematikore të popullsisë së përgjithshme.

Me qëllim të variancës së mostrës S 2 u bë një vlerësim i paanshëm i variancës së popullsisë σ 2, emëruesi i variancës së mostrës duhet të vendoset i barabartë me n – 1 , por jo n. Me fjalë të tjera, varianca e popullsisë është mesatarja e të gjitha variancave të mundshme të mostrës.

Gjatë vlerësimit të parametrave të popullsisë, duhet pasur parasysh se statistikat e mostrës si p.sh , varen nga mostrat specifike. Për të marrë parasysh këtë fakt, për të marrë vlerësimi i intervalit pritjet matematikore të popullsisë së përgjithshme, analizoni shpërndarjen e mesatareve të mostrës (për më shumë detaje, shih). Intervali i ndërtuar karakterizohet nga një nivel i caktuar besimi, i cili përfaqëson probabilitetin që parametri i vërtetë i popullatës të vlerësohet saktë. Intervale të ngjashme besimi mund të përdoren për të vlerësuar proporcionin e një karakteristike R dhe masën kryesore të shpërndarë të popullsisë.

Shkarkoni shënimin në ose format, shembuj në format

Ndërtimi i një intervali besimi për pritshmërinë matematikore të popullatës me një devijim standard të njohur

Ndërtimi i një intervali besimi për pjesën e një karakteristike në popullatë

Ky seksion zgjeron konceptin e intervalit të besimit në të dhënat kategorike. Kjo na lejon të vlerësojmë pjesën e karakteristikës në popullatë R duke përdorur ndarjen e mostrës RS= X/n. Siç tregohet, nëse sasitë nR Dhe n(1 – p) tejkalon numrin 5, shpërndarja binomiale mund të përafrohet si normale. Prandaj, për të vlerësuar pjesën e një karakteristike në popullatë Rështë e mundur të ndërtohet një interval niveli i besimit të të cilit është i barabartë me (1 – α)x100%.

Ku fqS- përqindja e mostrës së karakteristikës është e barabartë me X/n, d.m.th. numri i sukseseve i ndarë sipas madhësisë së kampionit, R- pjesa e karakteristikës në popullatën e përgjithshme, Z- vlera kritike e shpërndarjes normale të standardizuar, n- Madhësia e mostrës.

Shembulli 3. Le të supozojmë se një mostër e përbërë nga 100 fatura të plotësuara gjatë muajit të fundit është nxjerrë nga sistemi i informacionit. Le të themi se 10 nga këto fatura janë përpiluar me gabime. Kështu, R= 10/100 = 0,1. Niveli 95% i besimit korrespondon me vlerën kritike Z = 1,96.

Kështu, probabiliteti që midis 4.12% dhe 15.88% të faturave të përmbajnë gabime është 95%.

Për një madhësi të caktuar kampioni, intervali i besueshmërisë që përmban proporcionin e karakteristikës në popullatë duket më i gjerë se sa për një variabël të rastësishëm të vazhdueshëm. Kjo është për shkak se matjet e një variabli të rastësishëm të vazhdueshëm përmbajnë më shumë informacion sesa matjet e të dhënave kategorike. Me fjalë të tjera, të dhënat kategorike që marrin vetëm dy vlera përmbajnë informacion të pamjaftueshëm për të vlerësuar parametrat e shpërndarjes së tyre.

NËduke llogaritur vlerësimet e nxjerra nga një popullsi e fundme

Vlerësimi i pritshmërisë matematikore. Faktori korrigjues për popullatën përfundimtare ( fpc) është përdorur për të reduktuar gabimin standard me një faktor. Kur llogariten intervalet e besueshmërisë për vlerësimet e parametrave të popullatës, zbatohet një faktor korrigjimi në situatat kur mostrat janë tërhequr pa u kthyer. Kështu, një interval besimi për pritshmërinë matematikore që ka një nivel besimi të barabartë me (1 – α)x100%, llogaritet me formulën:

Shembulli 4. Për të ilustruar përdorimin e faktorit korrigjues për një popullsi të fundme, le t'i kthehemi problemit të llogaritjes së intervalit të besueshmërisë për shumën mesatare të faturave, të diskutuar më sipër në shembullin 3. Supozoni se një kompani lëshon 5000 fatura në muaj, dhe X̅= 110.27 dollarë, S= 28,95 dollarë N = 5000, n = 100, α = 0,05, t 99 = 1,9842. Duke përdorur formulën (6) marrim:

Vlerësimi i pjesës së një veçorie. Kur zgjidhni pa kthim, intervali i besimit për proporcionin e atributit që ka një nivel besimi të barabartë me (1 – α)x100%, llogaritet me formulën:

Intervalet e besimit dhe çështjet etike

Gjatë kampionimit të një popullate dhe nxjerrjes së përfundimeve statistikore, shpesh lindin çështje etike. Kryesorja është se si bien dakord intervalet e besimit dhe vlerësimet e pikës së statistikave të mostrës. Vlerësimet e pikave të botimit pa specifikuar intervalet e besueshmërisë shoqëruese (zakonisht në nivelin 95% të besimit) dhe madhësia e kampionit nga e cila janë nxjerrë mund të krijojnë konfuzion. Kjo mund t'i japë përdoruesit përshtypjen se vlerësimi i pikës është pikërisht ajo që i nevojitet për të parashikuar pronat e të gjithë popullsisë. Kështu, është e nevojshme të kuptohet se në çdo hulumtim fokusi nuk duhet të jetë në vlerësimet e pikës, por në vlerësimet e intervalit. Përveç kësaj, vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet zgjedhjes së saktë të madhësive të mostrës.

Më shpesh, objekt i manipulimit statistikor janë rezultatet e anketave sociologjike të popullatës për çështje të caktuara politike. Në të njëjtën kohë, rezultatet e anketës publikohen në faqet e para të gazetave dhe gabimi i kampionimit dhe metodologjia e analizës statistikore publikohen diku në mes. Për të vërtetuar vlefshmërinë e vlerësimeve të pikave të marra, është e nevojshme të tregohet madhësia e kampionit në bazë të së cilës ato janë marrë, kufijtë e intervalit të besimit dhe niveli i rëndësisë së tij.

Shënimi tjetër

Përdoren materiale nga libri Levin et al. – M.: Williams, 2004. – f. 448–462

Teorema e kufirit qendror thotë se me një madhësi mjaftueshëm të madhe të kampionit, shpërndarja e kampionit të mjeteve mund të përafrohet me një shpërndarje normale. Kjo pronë nuk varet nga lloji i shpërndarjes së popullsisë.

Dhe të tjerat janë përllogaritje të analogëve të tyre teorikë, të cilët do të mund të merreshin nëse jo një mostër, por një popullsi e përgjithshme. Por mjerisht, popullsia e përgjithshme është shumë e shtrenjtë dhe shpesh e paarritshme.

Koncepti i vlerësimit të intervalit

Çdo vlerësim i mostrës ka njëfarë përhapjeje, sepse është një ndryshore e rastësishme në varësi të vlerave në një kampion të caktuar. Prandaj, për përfundime statistikore më të besueshme, duhet të dihet jo vetëm vlerësimi i pikës, por edhe intervali, i cili me një probabilitet të lartë γ (gama) mbulon treguesin e vlerësuar θ (theta).

Formalisht, këto janë dy vlera të tilla (statistika) T 1 (X) Dhe T 2 (X), Çfarë T 1< T 2 , për të cilat në një nivel të caktuar probabiliteti γ plotësohet kushti:

Me pak fjalë, ka gjasa γ ose më shumë treguesi i vërtetë është midis pikave T 1 (X) Dhe T 2 (X), të cilat quhen kufijtë e poshtëm dhe të sipërm intervali i besimit.

Një nga kushtet për ndërtimin e intervaleve të besimit është ngushtësia maksimale e tij, d.m.th. duhet të jetë sa më i shkurtër. Dëshira është krejt e natyrshme, sepse... studiuesi përpiqet të lokalizojë më saktë vendndodhjen e parametrit të dëshiruar.

Nga kjo rrjedh se intervali i besimit duhet të mbulojë probabilitetet maksimale të shpërndarjes. dhe vetë vlerësimi duhet të jetë në qendër.

Kjo do të thotë, probabiliteti i devijimit (i treguesit të vërtetë nga vlerësimi) lart është i barabartë me probabilitetin e devijimit poshtë. Duhet gjithashtu të theksohet se për shpërndarjet asimetrike, intervali në të djathtë nuk është i barabartë me intervalin në të majtë.

Figura e mësipërme tregon qartë se sa më i madh të jetë probabiliteti i besimit, aq më i gjerë është intervali - një marrëdhënie e drejtpërdrejtë.

Kjo ishte një hyrje e shkurtër në teorinë e vlerësimit të intervalit të parametrave të panjohur. Le të kalojmë në gjetjen e kufijve të besimit për pritjet matematikore.

Intervali i besimit për pritjet matematikore

Nëse të dhënat origjinale shpërndahen mbi , atëherë mesatarja do të jetë një vlerë normale. Kjo rrjedh nga rregulli që një kombinim linear i vlerave normale ka gjithashtu një shpërndarje normale. Prandaj, për të llogaritur probabilitetet mund të përdorim aparatin matematikor të ligjit të shpërndarjes normale.

Megjithatë, kjo do të kërkojë njohjen e dy parametrave - pritshmërinë dhe variancën, të cilat zakonisht janë të panjohura. Ju, sigurisht, mund të përdorni vlerësime në vend të parametrave (mesatarja aritmetike dhe ), por atëherë shpërndarja e mesatares nuk do të jetë plotësisht normale, ajo do të rrafshohet paksa poshtë. Ky fakt u vërejt me zgjuarsi nga shtetasi William Gosset nga Irlanda, duke publikuar zbulimin e tij në numrin e marsit 1908 të revistës Biometrica. Për qëllime të fshehtësisë, Gosset firmosi veten Student. Kështu u shfaq shpërndarja e Studentit.

Sidoqoftë, shpërndarja normale e të dhënave, e përdorur nga K. Gauss në analizimin e gabimeve në vëzhgimet astronomike, është jashtëzakonisht e rrallë në jetën tokësore dhe është mjaft e vështirë për t'u vendosur (për saktësi të lartë nevojiten rreth 2 mijë vëzhgime). Prandaj, është më mirë të hidhni poshtë supozimin e normalitetit dhe të përdorni metoda që nuk varen nga shpërndarja e të dhënave origjinale.

Shtrohet pyetja: cila është shpërndarja e mesatares aritmetike nëse ajo llogaritet nga të dhënat e një shpërndarjeje të panjohur? Përgjigjen e jep teoria e njohur e probabilitetit Teorema e kufirit qendror(CPT). Në matematikë, ekzistojnë disa variante të tij (formulimet janë rafinuar me kalimin e viteve), por të gjitha, përafërsisht, zbresin në pohimin se shuma e një numri të madh të ndryshoreve të rastësishme të pavarura i bindet ligjit të shpërndarjes normale.

Gjatë llogaritjes së mesatares aritmetike, përdoret shuma e ndryshoreve të rastësishme. Nga këtu rezulton se mesatarja aritmetike ka një shpërndarje normale, në të cilën pritshmëria është pritshmëria e të dhënave origjinale, dhe varianca është .

Njerëzit e zgjuar dinë të vërtetojnë CLT, por ne do ta verifikojmë këtë me ndihmën e një eksperimenti të kryer në Excel. Le të simulojmë një mostër prej 50 ndryshoresh të rastësishme të shpërndara në mënyrë uniforme (duke përdorur funksionin Excel RANDBETWEEN). Më pas do të bëjmë 1000 mostra të tilla dhe do të llogarisim mesataren aritmetike për secilën. Le të shohim shpërndarjen e tyre.

Mund të shihet se shpërndarja e mesatares është afër ligjit normal. Nëse madhësia dhe numri i kampionit bëhen edhe më të mëdha, ngjashmëria do të jetë edhe më e mirë.

Tani që kemi parë me sytë tanë vlefshmërinë e CLT, ne mund, duke përdorur , të llogarisim intervalet e besueshmërisë për mesataren aritmetike, të cilat mbulojnë mesataren e vërtetë ose pritshmërinë matematikore me një probabilitet të caktuar.

Për të vendosur kufijtë e sipërm dhe të poshtëm, duhet të dini parametrat e shpërndarjes normale. Si rregull, nuk ka asnjë, kështu që përdoren vlerësimet: mesatare aritmetike Dhe varianca e mostrës. E përsëris, kjo metodë jep një përafrim të mirë vetëm me mostra të mëdha. Kur mostrat janë të vogla, shpesh rekomandohet të përdoret shpërndarja Student. Mos e besoni! Shpërndarja Student për mesataren ndodh vetëm kur të dhënat origjinale shpërndahen normalisht, domethënë pothuajse kurrë. Prandaj, është më mirë që menjëherë të vendosni një shirit minimal për sasinë e të dhënave të kërkuara dhe të përdorni metoda asimptotike të sakta. Ata thonë se mjaftojnë 30 vëzhgime. Merrni 50 - nuk do të gaboni.

T 1.2– kufijtë e poshtëm dhe të sipërm të intervalit të besimit

– mostra e mesatares aritmetike

s 0- devijimi standard i kampionit (i paanshëm)

n - Madhësia e mostrës

γ - probabiliteti i besimit (zakonisht i barabartë me 0.9, 0.95 ose 0.99)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2)– vlera e anasjelltë e funksionit standard të shpërndarjes normale. E thënë thjesht, ky është numri i gabimeve standarde nga mesatarja aritmetike në kufirin e poshtëm ose të sipërm (këto tre probabilitete korrespondojnë me vlerat 1.64, 1.96 dhe 2.58).

Thelbi i formulës është se merret mesatarja aritmetike dhe më pas një sasi e caktuar ( me γ) gabimet standarde ( s 0 /√n). Gjithçka dihet, merreni dhe konsideroni.

Para përdorimit të gjerë të kompjuterëve personalë, ata përdorën për të marrë vlerat e funksionit të shpërndarjes normale dhe të anasjelltë të tij. Ato përdoren edhe sot, por është më efektive të përdoren formula të gatshme Excel. Të gjithë elementët nga formula e mësipërme ( , dhe ) mund të llogariten lehtësisht në Excel. Por ekziston një formulë e gatshme për llogaritjen e intervalit të besimit - BESIMI.NORMË. Sintaksa e saj është si më poshtë.

KONFIDENCE.NORM(alfa;standard_off;madhësia)

alfa– niveli i rëndësisë ose niveli i besimit, i cili në shënimin e miratuar më sipër është i barabartë me 1- γ, d.m.th. probabiliteti që matematikorepritshmëria do të jetë jashtë intervalit të besimit. Me një nivel besimi prej 0.95, alfa është 0.05, etj.

standard_off– devijimi standard i të dhënave të mostrës. Nuk ka nevojë të llogaritet gabimi standard në vetvete do të ndajë me rrënjën e n.

madhësia– madhësia e mostrës (n).

Rezultati i funksionit NORM I BESIMIT është termi i dytë nga formula për llogaritjen e intervalit të besimit, d.m.th. gjysmë-interval Prandaj, pikat e poshtme dhe të sipërme janë mesatarja ± vlera e fituar.

Kështu, është e mundur të ndërtohet një algoritëm universal për llogaritjen e intervaleve të besimit për mesataren aritmetike, i cili nuk varet nga shpërndarja e të dhënave origjinale. Çmimi për universalitetin është natyra e tij asimptotike, d.m.th. nevoja për të përdorur mostra relativisht të mëdha. Megjithatë, në epokën e teknologjisë moderne, mbledhja e sasisë së kërkuar të të dhënave zakonisht nuk është e vështirë.

Testimi i hipotezave statistikore duke përdorur intervale besimi

(moduli 111)

Një nga problemet kryesore të zgjidhura në statistikë është. Thelbi i tij është shkurtimisht si më poshtë. Bëhet një supozim, për shembull, se pritshmëria e popullsisë së përgjithshme është e barabartë me një vlerë. Pastaj ndërtohet shpërndarja e mjeteve të mostrës që mund të vëzhgohen për një pritshmëri të caktuar. Më pas, ata shikojnë se ku në këtë shpërndarje të kushtëzuar ndodhet mesatarja reale. Nëse shkon përtej kufijve të pranueshëm, atëherë shfaqja e një mesatareje të tillë ka shumë pak gjasa, dhe nëse eksperimenti përsëritet një herë, është pothuajse e pamundur, gjë që bie ndesh me hipotezën e paraqitur, e cila refuzohet me sukses. Nëse mesatarja nuk shkon përtej nivelit kritik, atëherë hipoteza nuk hidhet poshtë (por as nuk vërtetohet!).

Pra, me ndihmën e intervaleve të besimit, në rastin tonë për pritshmëri, mund të testoni edhe disa hipoteza. Është shumë e lehtë për t'u bërë. Le të themi se mesatarja aritmetike për një kampion të caktuar është e barabartë me 100. Testohet hipoteza se vlera e pritur është, le të themi, 90. Kjo do të thotë, nëse e shtrojmë pyetjen në mënyrë primitive, tingëllon kështu: a mund të jetë kështu me të vërtetën vlera e mesatares e barabartë me 90, mesatarja e vëzhguar doli të jetë 100?

Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, do t'ju duhet gjithashtu informacion në lidhje me devijimin standard dhe madhësinë e mostrës. Le të supozojmë se devijimi standard është 30 dhe numri i vëzhgimeve është 64 (për të nxjerrë me lehtësi rrënjën). Atëherë gabimi standard i mesatares është 30/8 ose 3,75. Për të llogaritur një interval besimi prej 95%, do t'ju duhet të shtoni dy gabime standarde në secilën anë të mesatares (më saktë, 1.96). Intervali i besimit do të jetë afërsisht 100±7.5 ose nga 92.5 në 107.5.

Arsyetimi i mëtejshëm është si më poshtë. Nëse vlera që testohet bie brenda intervalit të besimit, atëherë ajo nuk bie në kundërshtim me hipotezën, sepse bie në kufijtë e luhatjeve të rastësishme (me një probabilitet prej 95%). Nëse pika që kontrollohet bie jashtë intervalit të besimit, atëherë probabiliteti i një ngjarjeje të tillë është shumë i vogël, në çdo rast nën nivelin e pranueshëm. Kjo do të thotë se hipoteza refuzohet si kundërshtuese me të dhënat e vëzhguara. Në rastin tonë, hipoteza për vlerën e pritshme është jashtë intervalit të besueshmërisë (vlera e testuar prej 90 nuk përfshihet në intervalin 100±7.5), ndaj duhet hedhur poshtë. Duke iu përgjigjur pyetjes primitive të mësipërme, duhet thënë: jo, nuk mundet, në asnjë rast, kjo ndodh jashtëzakonisht rrallë. Shpesh, ato tregojnë probabilitetin specifik për të refuzuar gabimisht hipotezën (niveli p), dhe jo nivelin e specifikuar në të cilin është ndërtuar intervali i besimit, por më shumë për këtë një herë tjetër.

Siç mund ta shihni, ndërtimi i një intervali besimi për mesataren (ose pritjet matematikore) nuk është i vështirë. Gjëja kryesore është të kuptojmë thelbin, dhe më pas gjërat do të vazhdojnë. Në praktikë, shumica e rasteve përdorin një interval besimi 95%, që është afërsisht dy gabime standarde të gjera në të dyja anët e mesatares.

Kjo është e gjitha për tani. Gjithe te mirat!

Ju mund të përdorni këtë formular kërkimi për të gjetur detyrën që ju nevojitet. Futni një fjalë, frazë nga detyra ose numrin e saj, nëse e dini.

Kërkoni vetëm në këtë seksion

Intervalet e besimit: lista e zgjidhjeve të problemeve

Intervalet e besimit: teoria dhe problemet

Kuptimi i intervaleve të besimit

Le të prezantojmë shkurtimisht konceptin e një intervali besimi, i cili
1) vlerëson disa parametra të një kampioni numerik drejtpërdrejt nga të dhënat e vetë kampionit,
2) mbulon vlerën e këtij parametri me probabilitet γ.

Intervali i besimit për parametrin X(me probabilitet γ) quhet një interval i formës , i tillë që , dhe vlerat llogariten në një farë mënyre nga kampioni.

Zakonisht në problemet e aplikuara probabiliteti i besimit merret i barabartë me γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Le të shqyrtojmë një mostër të madhësisë n, të bërë nga popullata e përgjithshme, e shpërndarë me sa duket sipas ligjit të shpërndarjes normale. Le të tregojmë se cilat formula përdoren për të gjetur intervalet e besimit për parametrat e shpërndarjes- pritja dhe dispersioni matematikor (devijimi standard).

Intervali i besimit për pritjet matematikore

Rasti 1. Varianca e shpërndarjes është e njohur dhe e barabartë me . Pastaj intervali i besimit për parametrin a ka formën:
t të përcaktuar nga tabela e shpërndarjes së Laplasit sipas relacionit

Rasti 2. Varianca e shpërndarjes është e panjohur; Pastaj intervali i besimit për parametrin a ka formën:
, ku llogaritet mesatarja e kampionit nga mostra, parametri t përcaktohet nga tabela e shpërndarjes së Studentit

Shembull. Bazuar në 7 matje të një sasie të caktuar, mesatarja e rezultateve të matjes rezultoi 30 dhe varianca e mostrës 36. Gjeni kufijtë brenda të cilëve përmbahet vlera e vërtetë e sasisë së matur me besueshmëri 0,99.

Zgjidhje. Ne do të gjejmë . Pastaj kufijtë e besimit për intervalin që përmban vlerën e vërtetë të vlerës së matur mund të gjenden duke përdorur formulën:
, ku është mesatarja e mostrës, është varianca e mostrës. Ne zëvendësojmë të gjitha vlerat dhe marrim:

Intervali i besimit për variancën

Ne besojmë se, në përgjithësi, pritshmëria matematikore është e panjohur dhe dihet vetëm vlerësimi i paanshëm në pikë i variancës. Atëherë intervali i besimit ka formën:
, Ku - kuantilet e shpërndarjes të përcaktuara nga tabelat.

Shembull. Bazuar në të dhënat e 7 testeve, u gjet vlera e vlerësimit për devijimin standard s=12. Gjeni, me probabilitet 0.9, gjerësinë e intervalit të besimit të ndërtuar për të vlerësuar shpërndarjen.

Zgjidhje. Intervali i besimit për variancën e panjohur të popullsisë mund të gjendet duke përdorur formulën:

Ne zëvendësojmë dhe marrim:


Atëherë gjerësia e intervalit të besimit është 465.589-71.708=393.881.

Intervali i besimit për probabilitetin (proporcioni)

Rasti 1. Le të dihet madhësia e kampionit dhe fraksioni i kampionit (frekuenca relative) në problem. Atëherë intervali i besimit për pjesën e përgjithshme (probabiliteti i vërtetë) ka formën:
, ku parametri t përcaktohet nga tabela e shpërndarjes Laplace duke përdorur relacionin.

Rasti 2. Nëse në problem dihet gjithashtu madhësia totale e popullatës nga e cila është marrë kampioni, intervali i besimit për pjesën e përgjithshme (probabiliteti i vërtetë) mund të gjendet duke përdorur formulën e rregulluar:
.

Shembull. Dihet se Gjeni kufijtë brenda të cilëve ka të ngjarë të përmbahet pjesa e përgjithshme.

Zgjidhje. Ne përdorim formulën:

Le të gjejmë parametrin nga kushti , marrim Zëvendësimin në formulën:

Në faqe do të gjeni shembuj të tjerë të problemeve në statistikat matematikore

Lëreni një ndryshore të rastësishme (mund të flasim për një popullsi të përgjithshme) të shpërndahet sipas një ligji normal, për të cilin dihet varianca D = 2 (> 0). Nga popullata e përgjithshme (mbi grupin e objekteve nga të cilat përcaktohet një ndryshore e rastësishme), bëhet një mostër me madhësi n. Mostra x 1 , x 2 ,..., x n konsiderohet si një grup prej n ndryshoresh të pavarura të rastësishme të shpërndara në të njëjtën mënyrë si (qasja e shpjeguar më sipër në tekst).

Barazitë e mëposhtme u diskutuan dhe u vërtetuan gjithashtu më herët:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

Mjafton thjesht të vërtetohet (e lëmë provën) se ndryshorja e rastësishme në këtë rast shpërndahet gjithashtu sipas ligjit normal.

Le të shënojmë sasinë e panjohur M me a dhe të zgjedhim, bazuar në besueshmërinë e dhënë, numrin d > 0 në mënyrë që kushti të plotësohet:

P(- a< d) = (1)

Meqenëse ndryshorja e rastësishme shpërndahet sipas ligjit normal me pritshmëri matematikore M = M = a dhe variancë D = D /n = 2 /n, marrim:

P(- a< d) =P(a - d < < a + d) =

Mbetet për të zgjedhur d të tillë që barazia të mbahet

Për cilindo, mund të përdorni tabelën për të gjetur një numër t të tillë që (t)= / 2. Ky numër t quhet ndonjëherë kuantile.

Tani nga barazia

le të përcaktojmë vlerën e d:

Ne marrim rezultatin përfundimtar duke paraqitur formulën (1) në formën:

Kuptimi i formulës së fundit është si më poshtë: me besueshmëri, intervali i besimit

mbulon parametrin e panjohur a = M të popullatës. Mund të themi ndryshe: vlerësimi i pikës përcakton vlerën e parametrit M me saktësi d= t / dhe besueshmëri.

Detyrë. Le të ketë një popullsi të përgjithshme me një karakteristikë të caktuar të shpërndarë sipas një ligji normal me një variancë të barabartë me 6.25. Është marrë një madhësi kampion prej n = 27 dhe është marrë vlera mesatare e mostrës së karakteristikës = 12. Gjeni një interval besimi që mbulon pritshmërinë e panjohur matematikore të karakteristikës së studiuar të popullatës së përgjithshme me besueshmëri = 0.99.

Zgjidhje. Së pari, duke përdorur tabelën për funksionin Laplace, gjejmë vlerën e t nga barazia (t) = / 2 = 0,495. Bazuar në vlerën e fituar t = 2.58, ne përcaktojmë saktësinë e vlerësimit (ose gjysmën e gjatësisë së intervalit të besimit) d: d = 2.52.58 / 1.24. Nga këtu marrim intervalin e dëshiruar të besimit: (10.76; 13.24).

hipoteza statistikore variacionale e përgjithshme

Intervali i besimit për pritshmërinë matematikore të një shpërndarjeje normale me variancë të panjohur

Le të jetë një ndryshore e rastësishme e shpërndarë sipas një ligji normal me një pritje të panjohur matematikore M, të cilën e shënojmë me shkronjën a. Le të bëjmë një mostër të vëllimit n. Le të përcaktojmë mostrën mesatare dhe variancën e mostrës së korrigjuar s 2 duke përdorur formula të njohura.

Vlera e rastësishme

shpërndahet sipas ligjit të Studentit me n - 1 shkallë lirie.

Detyra është të gjesh një numër t për një besueshmëri të caktuar dhe numrin e shkallëve të lirisë n - 1 të tillë që barazia

ose barazi ekuivalente

Këtu në kllapa shkruhet kushti që vlera e parametrit të panjohur a i përket një intervali të caktuar, që është intervali i besueshmërisë. Kufijtë e tij varen nga besueshmëria, si dhe nga parametrat e kampionimit dhe s.

Për të përcaktuar vlerën e t sipas madhësisë, ne e transformojmë barazinë (2) në formën:

Tani, duke përdorur tabelën për një ndryshore të rastësishme t të shpërndarë sipas ligjit të Studentit, duke përdorur probabilitetin 1 - dhe numrin e shkallëve të lirisë n - 1, gjejmë t. Formula (3) i jep përgjigje problemit të shtruar.

Detyrë. Në testet e kontrollit të 20 llambave elektrike, kohëzgjatja mesatare e funksionimit të tyre ishte e barabartë me 2000 orë me një mesatare devijimi katror(llogaritet si rrënja katrore e variancës së mostrës së korrigjuar) e barabartë me 11 orë. Dihet se koha e funksionimit të një llambë është një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht. Përcaktoni me një besueshmëri prej 0.95 një interval besimi për pritshmërinë matematikore të kësaj ndryshoreje të rastësishme.

Zgjidhje. Vlera 1 - në këtë rast është e barabartë me 0.05. Sipas tabelës së shpërndarjes Studenti, me numrin e shkallëve të lirisë të barabartë me 19, gjejmë: t = 2.093. Tani le të llogarisim saktësinë e vlerësimit: 2.093121/ = 56.6. Prej këtu marrim intervalin e kërkuar të besimit: (1943.4; 2056.6).