Moda- vlera në një grup vëzhgimesh që ndodhin më shpesh
Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),
këtu X Mo është kufiri i majtë i intervalit modal, h Mo është gjatësia e intervalit modal, f Mo-1 është frekuenca e intervalit premodal, f Mo është frekuenca e intervalit modal, f Mo+1 është frekuenca e intervalit post-modal.
Mënyra e një shpërndarjeje absolutisht të vazhdueshme është çdo pikë maksimale lokale dendësia e shpërndarjes. Për shpërndarje diskrete një mënyrë konsiderohet të jetë çdo vlerë a i, probabiliteti i së cilës p i është më i madh se probabiliteti i vlerave fqinje
mesatare ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X thirret vlera e saj Me, për të cilën është po aq e mundshme që ndryshorja e rastësishme të jetë më e vogël ose më e madhe Meh, d.m.th.
M e =(n+1)/2 P(X < Unë) = P(X > Meh)
NSV e shpërndarë në mënyrë uniforme
Shpërndarja uniforme. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme quhet e shpërndarë në mënyrë uniforme në segmentin () nëse funksioni i densitetit të shpërndarjes së saj (Fig. 1.6, A) ka formën:
Emërtimi: – SW shpërndahet në mënyrë uniforme mbi .
Prandaj, funksioni i shpërndarjes në segment (Fig. 1.6, b):
Oriz. 1.6. Funksionet e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme në [ a,b]: A– dendësia e probabilitetit f(x); b– shpërndarjet F(x)
Pritshmëria dhe shpërndarja matematikore e një SV të caktuar përcaktohen nga shprehjet:
Për shkak të simetrisë së funksionit të densitetit, ai përkon me mesataren. Mënyrat nuk kanë shpërndarje uniforme
Shembulli 4. Koha e pritjes për një përgjigje në një telefonatë është një ndryshore e rastësishme që i bindet një ligji uniform të shpërndarjes në intervalin nga 0 deri në 2 minuta. Gjeni funksionet e shpërndarjes integrale dhe diferenciale të kësaj ndryshoreje të rastësishme.
27.Ligji normal i shpërndarjes së probabilitetit
Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme x ka një shpërndarje normale me parametra: m,s > 0, nëse densiteti i shpërndarjes së probabilitetit ka formën:
ku: m – pritshmëria matematikore, s – mesatare devijimi standard.
Shpërndarja normale quhet edhe Gaussian sipas matematikanit gjerman Gauss. Fakti që një ndryshore e rastësishme ka një shpërndarje normale me parametra: m, shënohet si më poshtë: N (m,s), ku: m=a=M[X];
Shumë shpesh në formula, pritshmëria matematikore shënohet me A . Nëse një ndryshore e rastësishme shpërndahet sipas ligjit N(0,1), atëherë quhet ndryshore normale e normalizuar ose e standardizuar. Funksioni i shpërndarjes për të ka formën:
Grafiku i dendësisë shpërndarje normale, e cila quhet kurba normale ose kurba Gaussian, është paraqitur në figurën 5.4.
Oriz. 5.4. Dendësia normale e shpërndarjes
Vetitë variabla e rastësishme që ka një ligj të shpërndarjes normale.
1. Nëse , atëherë për të gjetur probabilitetin që kjo vlerë të bjerë në një interval të caktuar ( x 1 x 2) përdoret formula:
2. Probabiliteti që devijimi i një variabli të rastësishëm nga pritshmëria e tij matematikore të mos e kalojë vlerën (në vlerë absolute) është i barabartë.
Përveç pritjes dhe shpërndarjes matematikore, teoria e probabilitetit përdor gjithashtu një numër karakteristikash numerike që pasqyrojnë veçori të caktuara të shpërndarjes.
Përkufizimi. Modaliteti Mo(X) i një ndryshoreje të rastësishme X është vlera më e mundshme e tij(për të cilën probabiliteti r g ose dendësia e probabilitetit
Nëse probabiliteti ose densiteti i probabilitetit arrin një maksimum jo në një, por në disa pika, shpërndarja quhet multimodale(Fig. 3.13).
Moda myshk), me të cilën probabilitet R ( ose dendësia e probabilitetit (p(x) të arrijë një maksimum global quhet kuptimi më i mundshëm ndryshore e rastësishme (në Fig. 3.13 kjo është Mo (X) 2).
Përkufizimi. Mesatarja Ме(Х) e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X është vlera e saj, per cilin
ato. probabiliteti që ndryshorja e rastësishme X do të marrë një vlerë më të vogël se mesatarja Gëzof) ose më e madhe se ajo, është e njëjtë dhe e barabartë me 1/2. Vijë e drejtë gjeometrikisht vertikale X = Gëzof), duke kaluar nëpër një pikë me një abshisë të barabartë me Gëzof), ndan sipërfaqen e figurës së jodit të kurbës së shpërndarjes në dy pjesë të barabarta (Fig. 3.14). Natyrisht, në pikën X = Gëzof) funksioni i shpërndarjes është i barabartë me 1/2, d.m.th. P (Unë (X))= 1/2 (Fig. 3.15).
Le të vërejmë një veti të rëndësishme të medianës së një ndryshoreje të rastësishme: vlera e pritur vlere absolute devijimi i ndryshores së rastësishme X nga vlera konstante C është minimale atëherë, kur kjo konstante C është e barabartë me mesataren Me(X) = m, d.m.th. 
(vetia është e ngjashme me vetinë (3.10") të katrorit minimal të devijimit të një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore).
O Shembulli 3.15. Gjeni modalitetin, mesataren dhe pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme X s dendësia e probabilitetit f(x) = 3x 2 për xx.
Zgjidhje. Kurba e shpërndarjes është paraqitur në Fig. 3.16. Natyrisht, densiteti i probabilitetit φ(x) është maksimal në X= Mo(X) = 1.
mesatare Gëzof) = b gjejmë nga kushti (3.28):
ku 
Le të llogarisim pritshmërinë matematikore duke përdorur formulën (3.25):
Rregullimi i ndërsjellë i pikave M(X)>Unë(X) Dhe myshk) në rend rritës të abshisës është paraqitur në Fig. 3.16. ?
Së bashku me karakteristikat numerike të përmendura më sipër, koncepti i kuantileve dhe pikëve të përqindjes përdoret për të përshkruar një ndryshore të rastësishme.
Përkufizimi. Niveli kuantil y-kuantile )
quhet kjo vlerë x q e një ndryshoreje të rastësishme , në të cilën funksioni i tij i shpërndarjes merr një vlerë të barabartë me d, d.m.th.
Disa kuantile kanë marrë një emër të veçantë. Natyrisht, sa më sipër u prezantua mesatare ndryshorja e rastësishme është një kuantile e nivelit 0.5, d.m.th. Me(X) = x 05. Kuantilat dg 0 2 5 dhe x 075 u emëruan përkatësisht më të ulëta Dhe kuartil i sipërmK
I lidhur ngushtë me konceptin kuantile është koncepti pikë përqindjeje. Nën Pika YuOuHo-noy
nënkuptohet kuantili x x (( ,
ato. është vlera e ndryshores së rastësishme X,
në të cilën 
0 Shembulli 3.16. Bazuar në të dhënat në shembullin 3.15, gjeni kuantilin x 03 dhe pikën 30% të ndryshores së rastësishme X.
Zgjidhje. Sipas formulës (3.23), funksioni i shpërndarjes
Kuantilin 0 s e gjejmë nga ekuacioni (3.29), d.m.th. x 3 dollarë =0.3, prej nga L "oz -0.67. Le të gjejmë pikën 30% të ndryshores së rastit X, ose kuantili x 0 7, nga barazimi. x $ 7 = 0,7, nga ku x 0 7 «0,89. ?
Ndër karakteristikat numerike të një ndryshoreje të rastësishme, momentet - fillestare dhe qendrore - kanë një rëndësi të veçantë.
Përkufizimi. Momenti i fillimitRendi i k-të i një ndryshoreje të rastësishme X quhet pritshmëri matematikore shkalla e th këtë vlerë :
Përkufizimi. Momenti qendrorrendi k-të i një ndryshoreje të rastësishme X është pritshmëria matematikore e shkallës k-të të devijimit të një ndryshoreje të rastësishme X nga pritshmëria e saj matematikore:
Formulat për llogaritjen e momenteve për diskrete variablat e rastësishëm(duke marrë vlera x 1 me probabilitete p,) dhe të vazhdueshme (me densitet probabiliteti cp(x)) janë dhënë në tabelë. 3.1.
Tabela 3.1
Është e lehtë të vërehet se kur k = 1 momenti i parë fillestar i një ndryshoreje të rastësishme Xështë pritshmëria e tij matematikore, d.m.th. h x = M[X) = a, në te= 2 moment qendror të dytë - dispersion, d.m.th. p 2 = T) (X).
Momentet qendrore p A mund të shprehen përmes momenteve fillestare, por me formula:
etj. 
Për shembull, ts 3 = M(X-a)* = M(X*-ZaX 2 +Za 2 X-a->) = M(X*)~ -ZaM(X 2)+Za 2 M(X)~ a3 = y 3 -Зу^ + Зу(у, -у^ = y 3 - Зу^ + 2у^ (gjatë derivimit kemi marrë parasysh që A = M(X)= V, është një vlerë jo e rastësishme). ?
Më sipër u vu re se pritshmëria matematikore M(X), ose momenti i parë fillestar, karakterizon vlerën ose pozicionin mesatar, qendrën e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X në boshtin e numrave; dispersion OH), ose momenti i dytë qendror p 2, - s t s - trungu i shpërndarjes së shpërndarjes X relativisht M(X). Për më shumë pershkrim i detajuar shpërndarjet shërbejnë si momente të rendit më të lartë.
Pika e tretë qendrore p 3 shërben për të karakterizuar asimetrinë (shtjellimin) e shpërndarjes. Ka dimensionin e një kubi të rastësishëm. Për të marrë një sasi pa dimension, ajo ndahet me o 3, ku a është devijimi standard i ndryshores së rastit X. Vlera që rezulton A thirrur koeficienti i asimetrisë së një ndryshoreje të rastësishme.
Nëse shpërndarja është simetrike në raport me pritshmërinë matematikore, atëherë koeficienti i asimetrisë A = 0.
Në Fig. Figura 3.17 tregon dy kurba të shpërndarjes: I dhe II. Kurba I ka një asimetri pozitive (në anën e djathtë) (L > 0), dhe kurba II ka një asimetri negative (në anën e majtë) (L 
Pika e katërt qendrore p 4 shërben për të karakterizuar pjerrësinë (mprehtësinë ose rrafshimin) e shpërndarjes.
Vlera e pritshme. Pritshmëria matematikore ndryshore diskrete e rastësishme X, duke marrë një numër të kufizuar vlerash Xi me probabilitete Ri, shuma quhet:
Pritshmëria matematikore ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X quhet integrali i prodhimit të vlerave të tij X mbi densitetin e shpërndarjes së probabilitetit f(x):
(6b)
Integrali jo i duhur (6 b) supozohet të jetë absolutisht konvergjent (përndryshe ata thonë se pritshmëria matematikore M(X) nuk ekziston). Pritshmëria matematikore karakterizon vlera mesatare ndryshore e rastësishme X. Dimensioni i tij përkon me dimensionin e ndryshores së rastit.
Vetitë e pritjes matematikore:
Dispersion. Varianca ndryshore e rastësishme X numri quhet:
Varianca është karakteristikë e shpërndarjes vlerat e ndryshoreve të rastësishme X në raport me vlerën mesatare të tij M(X). Dimensioni i variancës është i barabartë me dimensionin e ndryshores së rastësishme në katror. Bazuar në përkufizimet e variancës (8) dhe pritshmërisë matematikore (5) për një ndryshore të rastësishme diskrete dhe (6) për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, marrim shprehje të ngjashme për variancën:
(9)
Këtu m = M(X).
Karakteristikat e shpërndarjes:
Devijimi standard:
(11)
Meqenëse devijimi standard ka të njëjtin dimension me një variabël të rastësishëm, ai përdoret më shpesh si masë e shpërndarjes sesa variancës.
Momentet e shpërndarjes. Konceptet e pritjes dhe dispersionit matematikor janë raste të veçanta të më shumë koncept i përgjithshëm për karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastësishme - momentet e shpërndarjes. Momentet e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme prezantohen si pritje matematikore të disa funksioneve të thjeshta të një ndryshoreje të rastit. Pra, momenti i porosisë k në lidhje me pikën X 0 quhet pritshmëri matematikore M(X–X 0 )k. Momente rreth origjinës X= 0 thirren momentet fillestare dhe janë caktuar:
(12)
Momenti fillestar i rendit të parë është qendra e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme në shqyrtim:
(13)
Momente rreth qendrës së shpërndarjes X= m quhen pika qendrore dhe janë caktuar:
(14)
Nga (7) rrjedh se momenti qendror i rendit të parë është gjithmonë e barabartë me zero:
Momentet qendrore nuk varen nga origjina e vlerave të ndryshores së rastësishme, pasi kur zhvendosen nga vlerë konstante ME qendra e saj e shpërndarjes zhvendoset me të njëjtën vlerë ME, dhe devijimi nga qendra nuk ndryshon: X – m = (X – ME) – (m – ME).
Tani është e qartë se dispersion- Kjo momenti qendror i rendit të dytë:
Asimetria. Momenti qendror i rendit të tretë:
(17)
shërben për vlerësim asimetritë e shpërndarjes. Nëse shpërndarja është simetrike për pikën X= m, atëherë momenti qendror i rendit të tretë do të jetë i barabartë me zero (si të gjitha momentet qendrore të renditjeve tek). Prandaj, nëse momenti qendror i rendit të tretë është i ndryshëm nga zero, atëherë shpërndarja nuk mund të jetë simetrike. Madhësia e asimetrisë vlerësohet duke përdorur një padimensionale koeficienti i asimetrisë:
(18)
Shenja e koeficientit të asimetrisë (18) tregon asimetrinë e anës së djathtë ose të majtë (Fig. 2).
Oriz. 2. Llojet e asimetrisë së shpërndarjes.
Teprica. Momenti qendror i rendit të katërt:
(19)
shërben për të vlerësuar të ashtuquajturat teprica, e cila përcakton shkallën e pjerrësisë (pikësimit) të kurbës së shpërndarjes pranë qendrës së shpërndarjes në raport me kurbën e shpërndarjes normale. Meqenëse për një shpërndarje normale, vlera e marrë si kurtozë është:
(20)
Në Fig. 3 tregon shembuj të kurbave të shpërndarjes me kuptime të ndryshme teprica. Për shpërndarje normale E= 0. Lakoret që janë më të theksuara se normalja kanë një kurtozë pozitive, ato që janë më të sheshta kanë një kurtozë negative.
Oriz. 3. Lakoret e shpërndarjes me shkallë të ndryshme pjerrësie (kurtozë).
Momentet e rendit më të lartë zakonisht nuk përdoren në aplikimet inxhinierike të statistikave matematikore.
Moda
diskrete një ndryshore e rastësishme është vlera e saj më e mundshme. Moda të vazhdueshme një ndryshore e rastësishme është vlera e saj në të cilën densiteti i probabilitetit është maksimal (Fig. 2). Nëse kurba e shpërndarjes ka një maksimum, atëherë thirret shpërndarja njëmodale. Nëse një kurbë e shpërndarjes ka më shumë se një maksimum, atëherë shpërndarja quhet multimodale. Ndonjëherë ka shpërndarje, kurbat e të cilave kanë një minimum dhe jo një maksimum. Shpërndarjet e tilla quhen anti-modale. Në rastin e përgjithshëm, mënyra dhe pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme nuk përkojnë. Në rastin e veçantë, për modale, d.m.th. duke pasur një mënyrë, shpërndarje simetrike dhe me kusht që të ketë një pritje matematikore, kjo e fundit përkon me mënyrën dhe qendrën e simetrisë së shpërndarjes.
mesatare ndryshore e rastësishme X- ky është kuptimi i tij Meh, për të cilën vlen barazia: d.m.th. është po aq e mundshme që ndryshorja e rastit X do të jetë më pak ose më shumë Meh. Gjeometrikisht mesatareështë abshisa e pikës në të cilën sipërfaqja nën kurbën e shpërndarjes ndahet në gjysmë (Fig. 2). Në rastin e një shpërndarjeje modale simetrike, mesatarja, mënyra dhe pritshmëria matematikore janë të njëjta.
Ndër karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit, para së gjithash, është e nevojshme të theksohen ato që karakterizojnë pozicionin e ndryshores së rastit në boshtin numerik, d.m.th. tregoni një vlerë mesatare, të përafërt rreth së cilës grupohen të gjitha vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme.
Vlera mesatare e një ndryshoreje të rastësishme është një numër i caktuar që është, si të thuash, "përfaqësuesi" i tij dhe e zëvendëson atë në llogaritjet afërsisht të përafërta. Kur themi: "koha mesatare e funksionimit të llambës është 100 orë" ose "pika mesatare e ndikimit zhvendoset në lidhje me objektivin me 2 m djathtas", ne po tregojmë një karakteristikë të caktuar numerike të një ndryshoreje të rastësishme që përshkruan vendndodhjen e saj. në boshtin numerik, d.m.th. "karakteristikat e pozicionit".
Nga karakteristikat e pozicionit në teorinë e probabilitetit rol jetësor luan pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme, e cila nganjëherë quhet thjesht vlera mesatare e ndryshores së rastit.
Le të shqyrtojmë një ndryshore të rastësishme diskrete që ka vlera të mundshme me probabilitete. Duhet të karakterizojmë me një numër pozicionin e vlerave të një ndryshoreje të rastësishme në boshtin x, duke marrë parasysh faktin që këto vlera kanë probabilitete të ndryshme. Për këtë është e natyrshme të përdoret e ashtuquajtura “mesatare e ponderuar” e vlerave dhe çdo vlerë gjatë mesatares duhet të merret parasysh me një “peshë” në përpjesëtim me probabilitetin e kësaj vlere. Kështu, ne do të llogarisim mesataren e ndryshores së rastësishme, të cilën do ta shënojmë me:
ose, duke pasur parasysh se,
. (5.6.1)
Kjo mesatare e ponderuar quhet pritje matematikore ndryshore e rastësishme. Kështu, ne prezantuam në konsideratë një nga konceptet më të rëndësishme të teorisë së probabilitetit - konceptin e pritjes matematikore.
Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve të këtyre vlerave.
Vini re se në formulimin e mësipërm përkufizimi i pritshmërisë matematikore është i vlefshëm, në mënyrë rigoroze, vetëm për variabla të rastësishme diskrete; Më poshtë do ta përgjithësojmë këtë koncept në rastin e sasive të vazhdueshme.
Për ta bërë më të qartë konceptin e pritjes matematikore, le t'i drejtohemi interpretimit mekanik të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Le të ketë pika me abshisa në boshtin e abshisave, në të cilat masat janë të përqendruara, përkatësisht, dhe . Atëherë, padyshim, pritshmëria matematikore e përcaktuar nga formula (5.6.1) nuk është gjë tjetër veçse abshisa e qendrës së gravitetit të një sistemi të caktuar pikash materiale.
Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme është e lidhur nga një varësi e veçantë me mesataren aritmetike të vlerave të vëzhguara të ndryshores së rastësishme në një numër të madh eksperimentesh. Kjo varësi është e të njëjtit lloj si varësia midis frekuencës dhe probabilitetit, përkatësisht: me një numër të madh eksperimentesh, mesatarja aritmetike e vlerave të vëzhguara të një ndryshoreje të rastësishme i afrohet (konvergon në probabilitet) pritjes së saj matematikore. Nga prania e një lidhjeje midis frekuencës dhe probabilitetit, mund të konkludohet si pasojë prania e një lidhjeje të ngjashme midis mesatares aritmetike dhe pritshmërisë matematikore.
Në të vërtetë, merrni parasysh një ndryshore të rastësishme diskrete të karakterizuar nga një seri shpërndarjeje:
Ku 
.
Le të kryhen eksperimente të pavarura, në secilën prej të cilave sasia merr një vlerë të caktuar. Le të supozojmë se vlera u shfaq një herë, vlera u shfaq një herë dhe vlera u shfaq një herë. Natyrisht,
Le të llogarisim mesataren aritmetike të vlerave të vëzhguara të sasisë, të cilën, në ndryshim nga pritshmëria matematikore, shënojmë:
Por nuk ka asgjë më shumë se frekuenca (ose probabiliteti statistikor) i një ngjarjeje; kjo frekuencë mund të caktohet. Pastaj
,
ato. mesatarja aritmetike e vlerave të vëzhguara të një ndryshoreje të rastësishme është e barabartë me shumën e produkteve të të gjitha vlerave të mundshme të ndryshores së rastësishme dhe frekuencave të këtyre vlerave.
Me rritjen e numrit të eksperimenteve, frekuencat do të afrohen (konvergojnë në probabilitet) me probabilitetet përkatëse. Rrjedhimisht, mesatarja aritmetike e vlerave të vëzhguara të një ndryshoreje të rastësishme do t'i afrohet (konvergojnë në probabilitet) pritjes së saj matematikore me rritjen e numrit të eksperimenteve.
Lidhja midis mesatares aritmetike dhe pritjes matematikore të formuluar më sipër përbën përmbajtjen e një prej formave të ligjit të numrave të mëdhenj. Ne do të japim një provë rigoroze të këtij ligji në Kapitullin 13.
Ne tashmë e dimë se të gjitha format e ligjit të numrave të mëdhenj tregojnë faktin se disa mesatare janë të qëndrueshme gjatë një numri të madh eksperimentesh. Këtu bëhet fjalë për qëndrueshmërinë e mesatares aritmetike nga një sërë vëzhgimesh të së njëjtës sasi. Me një numër të vogël eksperimentesh, mesatarja aritmetike e rezultateve të tyre është e rastësishme; me një rritje të mjaftueshme të numrit të eksperimenteve, ai bëhet "pothuajse jo i rastësishëm" dhe, duke u stabilizuar, i afrohet një vlere konstante - pritjes matematikore.
Stabiliteti i mesatareve mbi një numër të madh eksperimentesh mund të verifikohet lehtësisht eksperimentalisht. Për shembull, kur peshojmë një trup në një laborator në peshore të sakta, si rezultat i peshimit marrim çdo herë një vlerë të re; Për të reduktuar gabimin e vëzhgimit, peshojmë trupin disa herë dhe përdorim mesataren aritmetike të vlerave të marra. Është e lehtë të shihet se me një rritje të mëtejshme të numrit të eksperimenteve (peshimeve), mesatarja aritmetike reagon ndaj kësaj rritjeje gjithnjë e më pak dhe, me një numër mjaft të madh eksperimentesh, praktikisht pushon së ndryshuari.
Formula (5.6.1) për pritshmërinë matematikore korrespondon me rastin e një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Për vlerë e vazhdueshme pritshmëria matematikore, natyrisht, shprehet jo si një shumë, por si një integral:
, (5.6.2)
ku është dendësia e shpërndarjes së sasisë .
Formula (5.6.2) merret nga formula (5.6.1) nëse vlerat individuale në të zëvendësohen nga një parametër që ndryshon vazhdimisht x, probabilitetet përkatëse - nga elementi i probabilitetit, dhe shuma përfundimtare - nga integrali. Në të ardhmen, ne shpesh do të përdorim këtë metodë të zgjerimit të formulave të nxjerra për sasitë e ndërprera në rastin e sasive të vazhdueshme.
Në interpretimin mekanik, pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme ruan të njëjtin kuptim - abshisa e qendrës së gravitetit në rastin kur masa shpërndahet përgjatë abshisës vazhdimisht, me densitet . Ky interpretim shpesh lejon që dikush të gjejë pritshmërinë matematikore pa llogaritur integralin (5.6.2), nga konsiderata të thjeshta mekanike.
Më sipër kemi prezantuar një shënim për pritshmërinë matematikore të sasisë. Në një numër rastesh, kur një sasi përfshihet në formula si një numër specifik, është më e përshtatshme ta shënoni atë me një shkronjë. Në këto raste, ne do të shënojmë pritshmërinë matematikore të një vlere me:
Shënimi dhe për pritshmërinë matematikore do të përdoren paralelisht në të ardhmen, në varësi të komoditetit të një regjistrimi të veçantë të formulave. Le të biem dakord, nëse është e nevojshme, që fjalët “pritshmëri matematikore” të shkurtohen me shkronjat m.o.
Duhet theksuar se karakteristika më e rëndësishme provizionet - pritshmëria matematikore - nuk ekziston për të gjitha variablat e rastit. Është e mundur të përpilohen shembuj të ndryshoreve të tilla të rastësishme për të cilat pritshmëria matematikore nuk ekziston, pasi shuma ose integrali përkatës divergjent.
Konsideroni, për shembull, një ndryshore të rastësishme të ndërprerë me një seri shpërndarjeje:
Është e lehtë të verifikohet kjo, d.m.th. seria e shpërndarjes ka kuptim; megjithatë, shuma në këtë rast ndryshon dhe, për rrjedhojë, nuk ka pritshmëri matematikore të vlerës. Megjithatë, raste të tilla nuk janë me interes të rëndësishëm për praktikë. Në mënyrë tipike, variablat e rastësishëm me të cilët trajtojmë kanë një gamë të kufizuar vlerash të mundshme dhe, natyrisht, kanë një pritshmëri matematikore.
Më sipër dhamë formulat (5.6.1) dhe (5.6.2), duke shprehur respektivisht pritshmërinë matematikore për një ndryshore të rastësishme të ndërprerë dhe të vazhdueshme.
Nëse sasia u përket sasive lloj i përzier, atëherë pritshmëria e tij matematikore shprehet me një formulë të formës:
, (5.6.3)
ku shuma shtrihet në të gjitha pikat në të cilat funksioni i shpërndarjes është i ndërprerë, dhe integrali shtrihet në të gjitha zonat në të cilat funksioni i shpërndarjes është i vazhdueshëm.
Përveç karakteristikave më të rëndësishme të një pozicioni - pritshmëria matematikore - në praktikë, ndonjëherë përdoren karakteristika të tjera të pozicionit, në veçanti, mënyra dhe mediana e një ndryshoreje të rastësishme.
Mënyra e një ndryshoreje të rastësishme është vlera më e mundshme e saj. Termi "vlera më e mundshme" në mënyrë rigoroze zbatohet vetëm për sasitë e ndërprera; për një sasi të vazhdueshme, modaliteti është vlera në të cilën densiteti i probabilitetit është maksimal. Le të biem dakord që të shënojmë modalitetin me shkronjën. Në Fig. 5.6.1 dhe 5.6.2 tregojnë modalitetin për variablat e rastit të ndërprerë dhe të vazhdueshëm, respektivisht.
Nëse poligoni i shpërndarjes (kurba e shpërndarjes) ka më shumë se një maksimum, shpërndarja quhet "multimodale" (Fig. 5.6.3 dhe 5.6.4).
Ndonjëherë ka shpërndarje që kanë një minimum në mes dhe jo në maksimum (Fig. 5.6.5 dhe 5.6.6). Shpërndarje të tilla quhen "anti-modale". Një shembull i një shpërndarjeje antimodale është shpërndarja e marrë në Shembullin 5, nr. 5.1.
Në rastin e përgjithshëm, mënyra dhe pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme nuk përkojnë. Në rastin e veçantë, kur shpërndarja është simetrike dhe modale (d.m.th. ka një modalitet) dhe ka një pritje matematikore, atëherë ajo përkon me mënyrën dhe qendrën e simetrisë së shpërndarjes.
Një karakteristikë tjetër e pozicionit përdoret shpesh - e ashtuquajtura mediana e një ndryshoreje të rastësishme. Kjo karakteristikë zakonisht përdoret vetëm për variabla të rastësishme të vazhdueshme, megjithëse mund të përcaktohet zyrtarisht për një ndryshore të ndërprerë.
Mediana e një ndryshoreje të rastësishme është vlera e saj për të cilën
ato. është po aq e mundshme që ndryshorja e rastësishme të jetë më e vogël ose më e madhe se . Gjeometrikisht, mediana është abshisa e pikës në të cilën zona e kufizuar nga kurba e shpërndarjes ndahet në gjysmë (Fig. 5.6.7).
Moda () e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është vlera e saj që korrespondon me vlerën maksimale të densitetit të probabilitetit të saj.
Mesatarja () Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme është vlera e saj që përcaktohet nga barazia:
B15. Ligji binomial shpërndarjet dhe karakteristikat e tyre numerike. Shpërndarja binomiale përshkruan eksperimente të pavarura të përsëritura. Ky ligj përcakton një herë ndodhjen e një ngjarjeje teste të pavarura, nëse probabiliteti që një ngjarje të ndodhë në secilin prej këtyre eksperimenteve nuk ndryshon nga eksperimenti në eksperiment. Probabiliteti:
,
ku: është probabiliteti i njohur i ndodhjes së një ngjarjeje në një eksperiment, i cili nuk ndryshon nga eksperimenti në eksperiment;
– probabiliteti për të mos ndodhur një ngjarje në eksperiment;
– numrin e specifikuar të ndodhive të ngjarjes në eksperimente;
– numri i kombinimeve të elementeve nga .
B15. Ligji i shpërndarjes uniforme, grafikët e funksionit dhe densitetit të shpërndarjes, karakteristikat numerike. Konsiderohet një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme të shpërndara në mënyrë të barabartë, nëse densiteti i probabilitetit të tij ka formën:
Vlera e pritshme variabla e rastësishme që ka një shpërndarje uniforme:
Dispersion mund të llogaritet si më poshtë:
Devijimi standard do të duket si:
.
B17. Ligji i shpërndarjes eksponenciale, grafikët e funksionit dhe densitetit të shpërndarjes, karakteristikat numerike. Shpërndarja eksponenciale Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme është një shpërndarje që përshkruhet nga shprehja e mëposhtme për densitetin e probabilitetit:
,
ku është një vlerë konstante pozitive.
Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit në këtë rast ka formën:
Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme që ka një shpërndarje eksponenciale është marrë bazuar në formulë e përgjithshme duke marrë parasysh se kur:
.
Duke e integruar këtë shprehje sipas pjesëve, gjejmë: .
Varianca për shpërndarjen eksponenciale mund të merret duke përdorur shprehjen:
.
Duke zëvendësuar shprehjen për densitetin e probabilitetit, gjejmë:
Duke llogaritur integralin sipas pjesëve, fitojmë: .
B16. Ligji i shpërndarjes normale, grafikët e funksionit të shpërndarjes dhe dendësisë. Shpërndarja normale standarde. Funksioni i shpërndarjes normale të reflektuar. Normale quhet një shpërndarje e tillë e një ndryshoreje të rastësishme, densiteti i probabilitetit të së cilës përshkruhet nga funksioni Gaussian:
ku është devijimi standard;
– pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme.
 |
Grafiku i densitetit të një shpërndarjeje normale quhet kurbë normale Gaussian.
B18. Pabarazia e Markovit. Pabarazia e përgjithësuar e Chebyshev. Nëse për një ndryshore të rastësishme X ekziston, atëherë është e vërtetë për këdo pabarazia Markov 
.
Kjo rrjedh nga pabarazia e përgjithësuar e Chebyshev: Le të jetë funksioni monoton në rritje dhe jo negativ në . Nëse për një ndryshore të rastësishme X ekziston, atëherë pabarazia vlen për këdo 
.
B19. Ligji i numrave të mëdhenj në formën e Chebyshev. Kuptimi i saj. Përfundim i ligjit të numrave të mëdhenj në formën Chebyshev. Ligji i numrave të mëdhenj në formën e Bernulit. Nën ligji i numrave të mëdhenj Në teorinë e probabilitetit, kuptohen një numër teoremash, secila prej të cilave përcakton faktin e përafrimit asimptotik të vlerës mesatare të një numri të madh të dhënash eksperimentale me pritjen matematikore të një ndryshoreje të rastësishme. Vërtetimet e këtyre teoremave bazohen në pabarazinë e Chebyshev. Kjo pabarazi mund të merret duke marrë parasysh një ndryshore diskrete të rastësishme që ka vlera të mundshme.
Teorema. Le të ketë një sekuencë të kufizuar 
variabla të rastësishme të pavarura, me të njëjtat pritshmëri dhe varianca matematikore, të kufizuara nga e njëjta konstante:
Pastaj, cilido qoftë numri, probabiliteti i ngjarjes
tenton për unitet në .
Teorema e Chebyshev vendos një lidhje midis teorisë së probabilitetit, e cila merr në konsideratë karakteristikat mesatare të të gjithë grupit të vlerave të një ndryshoreje të rastësishme, dhe statistika matematikore, duke operuar me një grup të kufizuar vlerash të kësaj sasie. Tregon se me një numër mjaft të madh të matjeve të një ndryshoreje të caktuar të rastësishme, mesatarja aritmetike e vlerave të këtyre matjeve i afrohet pritshmërisë matematikore.
NË 20. Lënda dhe detyrat e statistikës matematikore. Popullatat e përgjithshme dhe të mostrës. Metoda e përzgjedhjes. Statistikat e matematikës– shkenca e metodat matematikore sistemimi dhe përdorimi i të dhënave statistikore për përfundime shkencore dhe praktike, bazuar në teorinë e probabilitetit.
Objektet e studimit të statistikave matematikore janë ngjarje të rastësishme, sasitë dhe funksionet që karakterizojnë dukurinë e rastësishme në shqyrtim. Ngjarjet e mëposhtme janë të rastësishme: fitimi i llotarisë me një para, përputhja e produktit të kontrolluar me kërkesat e përcaktuara, funksionimi pa probleme i mjetit gjatë muajit të parë të funksionimit të tij, përmbushja e orarit ditor të punës nga kontraktori.
Mostra e popullsisë quhet një koleksion objektesh të zgjedhura rastësisht.
Popullsia e përgjithshme emërtoni grupin e objekteve nga të cilat është bërë kampioni.
NË 21. Metodat e përzgjedhjes.
Metodat e përzgjedhjes: 1 Përzgjedhje që nuk kërkon copëtim popullatë në pjesë. Këto përfshijnë a) kampionimin e thjeshtë të rastësishëm pa përsëritje dhe b) kampionimin e thjeshtë të rastësishëm të përsëritur. 2) Përzgjedhja, në të cilën popullsia ndahet në pjesë. Këto përfshijnë a) përzgjedhjen tipike, b) përzgjedhjen mekanike dhe c) përzgjedhjen serike.
E thjeshtë e rastësishme quhet përzgjedhje, në të cilën objektet nxirren një nga një nga popullata.
Tipike quhet përzgjedhje, në të cilën objektet zgjidhen jo nga e gjithë popullata, por nga secila pjesë "tipike" e saj.
Mekanike quhet përzgjedhje, në të cilën popullsia ndahet mekanikisht në aq grupe sa ka objekte për t'u përfshirë në mostër dhe nga secili grup zgjidhet një objekt.
Seriali quhet përzgjedhje në të cilën objektet zgjidhen nga popullata e përgjithshme jo një nga një, por në "seri" që i nënshtrohen një vrojtimi të vazhdueshëm.
B22. Seritë statistikore dhe variacionale. Funksioni empirik i shpërndarjes dhe vetitë e tij. Seritë e variacioneve për variabla të rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme. Le të nxirret një mostër nga popullata e përgjithshme, dhe vlera e parametrit që studiohet është vërejtur një herë, - një herë, etj. Për më tepër, madhësia e mostrës. Vlerat e vëzhguara quhen opsione, dhe sekuenca e opsioneve të shkruara në rend rritës është seri variacionesh . Numrat e vëzhgimeve quhen frekuencave, dhe lidhjen e tyre me madhësinë e kampionit - frekuenca relative.Seritë e variacioneve mund të përfaqësohet nga një tabelë si:
| X | ….. | |||
| n | …. |
Shpërndarja statistikore e mostrës emërtoni një listë opsionesh dhe frekuencat e tyre përkatëse. Shpërndarja statistikore mund të përfaqësohet si:
| X | ….. | |||
| w | …. |
ku janë frekuencat relative.
Funksioni empirik i shpërndarjes thirrni një funksion që përcakton për secilën vlerë x frekuencën relative të ngjarjes X