TEKSTI TRANSKRIPT I MËSIMIT:

Nëse tre vija pingule në çift vizatohen përmes një pike në hapësirë, në secilën prej të cilave zgjidhet një drejtim dhe një segment njësi, atëherë ata thonë se është specifikuar një sistem koordinativ drejtkëndor në hapësirë.

Vijat e drejta me drejtime të zgjedhura mbi to quhen boshte koordinative dhe caktohen si më poshtë: Ox, Oy, Oz, kanë emrat e tyre: boshti i abshisës, boshti i ordinatave dhe boshti aplikativ, përkatësisht dhe i tyre pikë e përbashkët- origjina e koordinatave. Zakonisht shënohet me shkronjën O.

I gjithë sistemi i koordinatave emërtohet Oxyz.

Nëse aeroplanët vizatohen përmes boshteve koordinative Ox dhe Oy, Oy dhe Oz, Oz dhe Ox, atëherë plane të tilla do të quhen plane koordinative dhe shënohet përkatësisht: Оху, Оуз, Оzх.

Pika O e ndan secilin prej boshteve të koordinatave në dy rreze. Rrezja drejtimi i së cilës përkon me drejtimin e boshtit quhet gjysmëbosht pozitiv, kurse rrezja tjetër quhet gjysmëbosht negativ.

Në një sistem koordinativ drejtkëndor, çdo pikë M në hapësirë ​​shoqërohet me një treshe numrash, të cilët quhen koordinatat e saj. Ato përcaktohen në mënyrë të ngjashme me koordinatat e pikave në aeroplan.

Le të shohim se si është bërë.

Le të vizatojmë tre rrafshe përmes pikës M, pingul me boshtet e koordinatave, dhe të shënojmë me M1, M2 dhe M3 pikat e kryqëzimit të këtyre planeve me boshtet e abshisës, të ordinatave dhe përkatësisht të aplikuara.

Koordinata e parë e pikës M (quhet abshisa dhe zakonisht shënohet me shkronjën x) përcaktohet si më poshtë: x = OM1, nëse M1 është pika e gjysmëboshtit pozitiv;

x= - OM1, nëse M1 është pika e gjysmëboshtit negativ; x =0 nëse M1 përkon me pikën O.

Në mënyrë të ngjashme, duke përdorur pikën M2, përcaktohet koordinata e dytë (ordinata) në pikën M.

dhe duke përdorur pikën M3 - koordinata e tretë (aplikoni) z të pikës M.

Koordinatat e pikës M shkruhen në kllapa pas përcaktimit të pikës M (x; y; z).

Mos harroni se abshisa tregohet e para, ordinata është e dyta dhe aplikimi është i treti.

Le të gjejmë koordinatat e pikave A, B, C, D, E, F, të paraqitura në figurë.

Le të vizatojmë tre plane përmes pikës A, pingul me boshtet e koordinatave, atëherë pikat e prerjes së këtyre planeve me boshtet e abshisës, ordinatave dhe boshteve të aplikuara, përkatësisht, do të jenë koordinatat e pikës A. Pika A ka koordinatat: abshisa = 9, ordinata = 5, zbatohet = 10 dhe shkruhet kështu: A (9; 5; 10).

Koordinatat e pikave të mëposhtme shkruhen në mënyrë të ngjashme:

Pika B ka koordinata: abshisa = 4, ordinata = -3, aplikative = 6

Pika C ka koordinata: abshisa = 9, ordinata = 0, aplikative = 0

Pika ka koordinatat D: abshisa = 4, ordinata = 0, zbatohet = 5

Pika E ka koordinata: abshisa = 0, ordinata = 8, zbatohet = 0

Pika F ka koordinata: abshisa = 0, ordinata = 0, aplikative = -3

Nëse një pikë M (x; y; z) shtrihet në planin koordinativ në boshtin koordinativ, atëherë disa nga koordinatat e saj janë të barabarta me zero.

Nëse MЄОху (pika M i përket rrafshit Oxy), atëherë aplikimi i pikës M është i barabartë me zero: z=0.

Në mënyrë të ngjashme, nëse МЄОхz (pika M i përket rrafshit Oxz), atëherë y = 0, dhe nëse МЄОуз (pika M i përket rrafshit Oyz), atëherë x = 0.

Nëse МЄОх (pika M shtrihet në boshtin e abshisave), ordinata dhe aplikimi i pikës M janë të barabarta me zero: y=o dhe z=0. Në shembullin tonë, kjo është pika C.

Nëse МЄОу (pika M shtrihet në ordinatë), atëherë x=0 dhe z=0. Në shembullin tonë, kjo është pika E.

Nëse МЄОz (pika M shtrihet në boshtin e aplikuar), atëherë x = 0 dhe y = 0. Në shembullin tonë, kjo është pika F.

Nëse të tre koordinatat e pikës M janë të barabarta me zero, atëherë kjo do të thotë se M=O (0; 0; 0) është origjina e koordinatave.

Jepen koordinatat e katër kulmeve të kubit ABCDA 1 B 1 C 1 D 1: A(0; 0; 0); B(0; 0; 1); D(0; 1; 0); A 1 (1; 0; 0). Gjeni koordinatat e kulmeve të mbetura të kubit.

Meqenëse figura është një kub, të gjitha anët janë të barabarta me një, të gjitha fytyrat janë katrore.

Pika C i përket rrafshit Oxy, domethënë koordinata e saj z është e barabartë me zero, koordinata x është e barabartë me anën CD dhe është e barabartë me AB, që do të thotë se është e barabartë me një, koordinata Y është e barabartë me anën i kubit CB, që do të thotë se është i barabartë me AD dhe është i barabartë me një.

Në mënyrë të ngjashme, pika B 1 i përket rrafshit Oxz, domethënë, koordinata e saj y është e barabartë me zero, koordinata x është e barabartë me anën, koordinata x është e barabartë me anën A1B1 dhe është e barabartë me AB, që do të thotë e barabartë me një, koordinata z është e barabartë me anën e kubit B B1, që do të thotë e barabartë me AA1 dhe e barabartë me një.

Pika D 1 i përket rrafshit Oyz, domethënë koordinata x e saj është e barabartë me zero, koordinata y është e barabartë me anën A 1 D 1 dhe është e barabartë me AD, që do të thotë se është e barabartë me një, koordinata z është e barabartë në anën e kubit A 1 B 1, që do të thotë se është i barabartë me AB dhe është i barabartë me një.

Pika C 1 nuk i përket asnjë rrafshi, domethënë të gjitha koordinatat janë të ndryshme nga zero, koordinata x është e barabartë me anën C 1 D 1 dhe është e barabartë me AB, që do të thotë se është e barabartë me një, koordinata y është e barabartë me anën e kubit B 1 C 1, që do të thotë se është e barabartë me AD dhe është e barabartë me një, dhe koordinata z është e barabartë me anën CC 1, domethënë AA 1 dhe është gjithashtu e barabartë me një.

Gjeni koordinatat e projeksioneve të pikës C(; ;) në rrafshet koordinative Oxy, Oxz, Oyz dhe boshtet koordinative Ox, Oy, Oz.

1) le të hedhim pingulet në rrafshin Oxy - kjo është CN, në rrafshin Oxz - CL dhe në rrafshin Oyz - linja CR.

Kështu, projeksioni i pikës C në rrafshin Oxy është pika N dhe ka koordinata x të barabarta me minus rrënjën e tre, y të barabartë me minus rrënjën e dy nga dy, z të barabartë me zero.

Projeksioni i pikës C në rrafshin Oxz është pika L dhe ka koordinata x të barabarta minus rrënjën e tre, i e barabartë me zero, z është e barabartë me rrënjën e pesë minus rrënjën e tre.

Projeksioni i pikës C në rrafshin Oyz është pika R dhe ka koordinata x është e barabartë me zero, y është e barabartë me minus rrënjën e dy nga dy, z është e barabartë me rrënjën e pesë minus rrënjën e tre.

2) Nga pika N vizatojmë pingul në boshtin Ox - drejtëz NK, dhe në Oy - drejtëz NG, dhe te boshti Oz vizatojmë një pingul nga pika R - kjo është drejtëza RP.

Projeksioni i pikës C në boshtin Ox - pika K ka koordinata x të barabarta me minus rrënjën e tre, dhe y dhe z të barabarta me zero.

Projeksioni i pikës C në boshtin Oy - pika G ka koordinata x dhe z të barabarta me zero, i është e barabartë me minus rrënjën dy nga dy.

Projeksioni i pikës C në boshtin Oz - pika P ka koordinata x dhe y të barabarta me zero, z të barabartë me rrënjën e pesë minus rrënjën e tre.

Për të përcaktuar pozicionin e një pike në hapësirë, do të përdorim koordinatat drejtkëndore karteziane (Fig. 2).

Sistemi i koordinatave drejtkëndore karteziane në hapësirë ​​është i formuar nga tre boshte koordinative reciproke pingul OX, OY, OZ. Boshtet e koordinatave kryqëzohen në pikën O, e cila quhet origjina, në secilin aks zgjidhet një drejtim pozitiv, i treguar me shigjeta dhe një njësi matëse për segmentet në akset. Njësitë e matjes janë zakonisht (jo domosdoshmërisht) të njëjta për të gjitha akset. Boshti OX quhet bosht i abshisës (ose thjesht abshisa), boshti OY është boshti i ordinatave dhe boshti OZ është boshti aplikativ.

Pozicioni i pikës A në hapësirë ​​përcaktohet nga tre koordinata x, y dhe z. Koordinata x është e barabartë me gjatësinë e segmentit OB, koordinata y është gjatësia e segmentit OC, koordinata z është gjatësia e segmentit OD në njësitë e zgjedhura të matjes. Segmentet OB, OC dhe OD përcaktohen me rrafshe të tërhequra nga një pikë paralele me rrafshet YOZ, XOZ dhe XOY, respektivisht.

Koordinata x quhet abshisa e pikës A, koordinata y quhet ordinata e pikës A dhe koordinata z quhet aplikues i pikës A.

Në mënyrë simbolike shkruhet kështu:

ose lidhni një rekord koordinativ me një pikë specifike duke përdorur një indeks:

x A, y A, z A,

Çdo bosht konsiderohet si një linjë numerike, d.m.th., ka një drejtim pozitiv dhe pikat që shtrihen në rrezen negative janë caktuar vlerat negative koordinatat (distanca merret me shenjën minus). Kjo do të thotë, nëse, për shembull, pika B nuk shtrihet si në figurë - në rreze OX, por në vazhdimin e saj në drejtim të kundërt nga pika O (në pjesën negative të boshtit OX), atëherë abshisa x e pikës A do të ishte negative (minus distancën OB ). Po kështu edhe për dy akset e tjera.

Boshtet e koordinatave OX, OY, OZ, të paraqitura në Fig. 2, formoni një sistem koordinativ të djathtë. Kjo do të thotë që nëse shikoni rrafshin YOZ përgjatë drejtimit pozitiv të boshtit OX, atëherë lëvizja e boshtit OY drejt boshtit OZ do të jetë në drejtim të akrepave të orës. Kjo situatë mund të përshkruhet duke përdorur rregullin gimlet: nëse gimlet (vida me një fije të djathtë) rrotullohet në drejtim nga boshti OY në boshtin OZ, atëherë ai do të lëvizë përgjatë drejtimit pozitiv të boshtit OX.

Vektorët me gjatësi njësi të drejtuar përgjatë boshteve të koordinatave quhen vektorë njësi koordinative. Zakonisht caktohen si (Fig. 3). Ekziston edhe emërtimi Vektorët njësi përbëjnë bazën e sistemit të koordinatave.

Në rastin e një sistemi koordinativ të djathtë, i vlefshëm formulat e mëposhtme me produkte vektoriale të vektorëve:

Në një hapësirë ​​në të cilën pozicioni i një pike mund të përkufizohet si projeksioni i saj në vija fikse që kryqëzohen në një pikë të vetme, të quajtur origjinë. Këto projeksione quhen koordinata pikësore, dhe drejtëzat quhen boshte koordinative.

Në përgjithësi, në një aeroplan, sistemi i koordinatave karteziane ( sistemi afin koordinatat) jepet nga pika O (origjina e koordinatave) dhe një çift i renditur vektorësh e 1 dhe e 2 (vektorë bazë) të bashkangjitur në të që nuk shtrihen në të njëjtën vijë. Vijat e drejta që kalojnë përmes origjinës në drejtim të vektorëve bazë quhen boshtet koordinative të një sistemi të caktuar koordinativ kartezian. E para, e përcaktuar nga vektori e 1, quhet bosht i abshisës (ose boshti Ox), i dyti është boshti i ordinatave (ose boshti Oy). Vetë sistemi i koordinatave karteziane shënohet Oe 1 e 2 ose Oxy. Koordinatat karteziane të pikës M (Figura 1) në sistemin koordinativ kartezian Oe 1 e 2 quhen një çift i renditur numrash (x, y), të cilët janë koeficientët e zgjerimit të vektorit OM përgjatë bazës (e 1, e 2), domethënë x dhe y janë të tillë që OM = xe 1 + ue 2. Numri x, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).

Nëse dy sisteme koordinative karteziane Oe 1 e 2 dhe 0'e' 1 e' 2 futen në rrafsh në mënyrë që vektorët bazë (e' 1, e' 2) të shprehen përmes vektorëve bazë (e 1, e 2) nga formulat

e' 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2, e' 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2

dhe pika O' ka koordinata (x 0, y 0) në sistemin koordinativ kartezian Oe 1 e 2, pastaj koordinatat (x, y) të pikës M në sistemin e koordinatave kartezian Oe 1 e2 dhe koordinatat (x' , y') të së njëjtës pikë në sistemin koordinativ kartezian O'e 1 e' 2 janë të lidhura nga relacionet

x = a 11 x' + a 21 y' + x 0, y = a 12 x'+ a 22 y'+ y 0.

Një sistem koordinativ kartezian quhet drejtkëndor nëse baza (e 1, e 2) është ortonormale, domethënë vektorët e 1 dhe e 2 janë reciprokisht pingul dhe kanë gjatësi të barabartë me një (vektorët e 1 dhe e 2 quhen orts në këtë rast). Në një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor, koordinatat x dhe y të pikës M janë vlerat e projeksioneve ortogonale të pikës M në boshtet Ox dhe Oy, përkatësisht. Në sistemin koordinativ kartezian drejtkëndor Oxy, distanca midis pikave M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2) është e barabartë me √(x 2 - x 1) 2 + (y 2 -y 1 ) 2

Formulat për kalimin nga një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor Oxy në një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor O'x'y', fillimi i të cilit O' i sistemit koordinativ kartezian Oxy është O'(x0, y0), kanë formën

x = x’cosα - y’sinα + x 0, y = x’sin α + y’cosα + y 0

x = x'cosα + y'sinα + x 0, y = x'sinα - y'cosα + y 0.

Në rastin e parë, sistemi O'x'y' formohet duke rrotulluar vektorët bazë e 1 ; e 2 nga këndi α dhe transferimi pasues i origjinës së koordinatave O në pikën O' (Figura 2),

dhe në rastin e dytë - duke rrotulluar vektorët bazë e 1, e 2 me një kënd α, reflektimi pasues i boshtit që përmban vektorin e 2 në lidhje me vijën e drejtë që mban vektorin e 1, dhe duke transferuar origjinën O në pikën O ' (Figura 3).

Ndonjëherë përdoren sisteme koordinative të zhdrejtë karteziane, të cilat ndryshojnë nga ai drejtkëndor në atë që këndi midis vektorëve bazë të njësisë nuk është i drejtë.

Sistemi i përgjithshëm i koordinatave kartezian (sistemi i koordinatave afine) në hapësirë ​​përcaktohet në mënyrë të ngjashme: specifikohet një pikë O - origjina e koordinatave dhe një treshe e renditur e vektorëve е 1, е 2, е 3 (vektorë bazë) të lidhur me të dhe jo të shtrirë. në të njëjtin rrafsh. Ashtu si në rastin e një plani, përcaktohen boshtet e koordinatave - boshti i abshisave (boshti Ox), boshti i ordinatave (boshti Oy) dhe boshti aplikativ (boshti Oz) (Figura 4).

Sistemi i koordinatave karteziane në hapësirë ​​shënohet Oe 1 e 2 e 3 (ose Oxyz). Planet që kalojnë nëpër çifte boshtesh koordinative quhen plane koordinative. Një sistem koordinativ kartezian në hapësirë ​​quhet i djathtë nëse rrotullimi nga boshti Ox në boshtin Oy bëhet në drejtim të kundërt me lëvizjen në drejtim të akrepave të orës kur shikohet rrafshi i Oxy nga një pikë në gjysmë-boshtin pozitiv Oz; , sistemi i koordinatave karteziane quhet i majtë. Nëse vektorët bazë e 1, e 2, e 3 kanë gjatësi të barabartë me një dhe janë pingul në çift, atëherë sistemi i koordinatave karteziane quhet drejtkëndor. Pozicioni i një sistemi koordinativ kartezian drejtkëndor në hapësirë ​​në raport me një sistem tjetër koordinativ kartezian drejtkëndor me të njëjtin orientim përcaktohet nga tre kënde të Euler-it.

Sistemi i koordinatave karteziane mban emrin e R. Descartes, megjithëse në veprën e tij "Geometria" (1637) u konsiderua një sistem koordinativ i zhdrejtë, në të cilin koordinatat e pikave mund të ishin vetëm pozitive. Në botimin e viteve 1659-61, vepra e matematikanit holandez I. Gudde iu bashkua Gjeometrisë, në të cilën për herë të parë u lejuan vlerat e koordinatave pozitive dhe negative. Sistemi i koordinatave hapësinore Karteziane u prezantua nga matematikani francez F. Lahire (1679). Në fillim të shekullit të 18-të u vendosën shënimet x, y, z për koordinatat karteziane.

Një sistem koordinativ drejtkëndor në një rrafsh formohet nga dy boshte koordinative reciproke pingule X"X Dhe Y"Y O, që quhet origjina, në çdo bosht zgjidhet drejtimi pozitiv. NË me anën e djathtë sistemi i koordinatave, drejtimi pozitiv i boshteve zgjidhet në mënyrë që kur boshti të drejtohet Y"Y lart, bosht X"X shikonte djathtas.

Katër qoshe (I, II, III, IV) të formuara nga boshtet koordinative X"X Dhe Y"Y, quhen kënde koordinative ose kuadrante (shih Fig. 1).

Pozicioni i pikës A në aeroplan përcaktohet nga dy koordinata x Dhe y. Koordinoni x e barabartë me gjatësinë e segmentit O.B., koordinoj y- gjatësia e segmentit O.C. O.B. Dhe O.C. përcaktohen me vija të nxjerra nga pika A paralel me boshtet Y"Y Dhe X"X përkatësisht.

Koordinoni x quhet abshisa e pikës A, koordinoj y- ordinata e pikës A. Shkruajeni kështu: .

Nëse pika A shtrihet në këndin koordinativ I, pastaj pika A ka abshisë dhe ordinatë pozitive. Nëse pika A shtrihet në këndin koordinativ II, pastaj pika A ka një abshisë negative dhe një ordinatë pozitive. Nëse pika A shtrihet në këndin koordinativ III, pastaj pika A ka abshisë dhe ordinatë negative. Nëse pika A shtrihet në këndin koordinativ IV, pastaj pika A ka një abshisë pozitive dhe një ordinatë negative.

Oriz. 2: Aeroplani kartezian

Koordinatat drejtkëndore karteziane të pikës P në sipërfaqe quhen distanca të marra me një shenjë të caktuar (të shprehur në njësi shkallë) të kësaj pike deri dy vija reciproke pingule - boshtet koordinative ose, çfarë është e njëjta, projeksionet e vektorit të rrezes r pika P në dy boshtet koordinative reciproke pingule.

Sistemi i koordinatave drejtkëndëshe në hapësirë të formuara nga tre boshte koordinative pingul reciprokisht OK, OY Dhe OZ. Boshtet e koordinatave kryqëzohen në pikë O, e cila quhet origjina e koordinatave, në çdo bosht zgjidhet një drejtim pozitiv, i treguar me shigjeta dhe një njësi matëse për segmentet në boshte. Njësitë janë zakonisht të njëjta për të gjitha akset (gjë që nuk është e detyrueshme). OK- boshti i abshisave, OY- boshti i ordinatave, OZ- boshti i aplikuesit.

Nëse gishtin e madh dora e djathtë marrë për drejtim X, duke treguar drejtimin Y, dhe mesatarja për drejtimin Z, pastaj formohet drejtë sistemi i koordinatave.

Gishtat e ngjashëm të dorës së majtë formojnë sistemin e koordinatave të majta.

Me fjalë të tjera, drejtimi pozitiv i boshteve zgjidhet në mënyrë që kur boshti të rrotullohet OK në drejtim të kundërt të akrepave të orës me 90° drejtimi i tij pozitiv përkon me drejtimin pozitiv të boshtit OY, nëse ky rrotullim vërehet nga drejtimi pozitiv i boshtit OZ. Është e pamundur të kombinohen sistemet e koordinatave të djathta dhe të majta në mënyrë që boshtet përkatëse të përkojnë.

Pozicioni i pikës A në hapësirë ​​përcaktohet nga tre koordinata x, y Dhe z. Koordinoni x e barabartë me gjatësinë e segmentit O.B., koordinoj y- gjatësia e segmentit O.C., koordinoj z- gjatësia e segmentit O.D. në njësi matëse të zgjedhura. Segmentet O.B., O.C. Dhe O.D. përcaktohen nga rrafshet e tërhequra nga pika A paralel me aeroplanët YOZ, XOZ Dhe XOY përkatësisht. Koordinoni x quhet abshisa e pikës A, koordinoj y- ordinata e pikës A, koordinoj z- pika e aplikimit A. Shkruajeni kështu: .

Nëse përmes pikës O në hapësirë ​​vizatojmë tre vija të drejta pingule, ne i quajmë ato, ju i merrni ato në të djathtë Nëse caktojmë prerje individuale, atëherë marrim sistem drejtkëndor co-or-di-nat në hapësirë. Akset co-or-di-nat emërtohen kështu: boshti Ox - ab-ciss, boshti Oy - or-di-nat dhe Oz - boshti lart-pli-cat. I gjithë sistemi i co-or-di-nat do të thotë Oxyz. Kështu, shfaqen tre bashkë-or-di-nat-plane: Oxy, Oxz, Oyz.

Këtu është një shembull i ndërtimit të pikës B(4;3;5) në një sistem drejtkëndor të co-or-di-nat (shih Fig. 1).

Oriz. 1. Ndërtimi i pikës B në hapësirë

Pika e parë co-or-di-to-ta B është 4, prandaj nga-kla-dy-va-em në Ox 4, le të shkojmë drejt e në pa-ral-lel-por boshti Oy derisa të kryqëzohet me të drejtën vijë që kalon përmes y = 3. Kështu, marrim pikën K. Kjo pikë shtrihet në rrafshin Oxy dhe ka koordinata K(4;3;0). Tani ju duhet të bëni një paralele të drejtpërdrejtë me boshtin Oz. Dhe drejtëza, e cila kalon nëpër pikën me up-pli-ka-lodër 5 dhe pa-ral-lel-na dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram -ma në rrafshin Oxy. Në ri-se-se-che-nii e tyre marrim pikën e kërkuar B.

Merrni parasysh vendndodhjen e pikave për të cilat një ose dy koeficientë janë të barabartë me 0 (shih Fig. 2).

Për shembull, pika A(3;-1;0). Ju duhet të vazhdoni boshtin Oy në të majtë në vlerën -1, të gjeni pikën 3 në boshtin Ox dhe në kryqëzimin e vijave që kalojnë nëpër këto vlera Le të gjejmë pikën A. Kjo pikë ka një vlerë të përafërt 0, që do të thotë se shtrihet në rrafshin Oxy.

Pika C(0;2;0) ka abs-cis-su dhe up-pli-ka-tu 0 - jo nga-me-cha-em. Or-di-na-ta është e barabartë me 2, që do të thotë se pika C shtrihet vetëm në boshtin Oy, i cili nuk është i sheshtë Oxy dhe Oyz.

Për të lëvizur pikën D(-4;0;3) ne e zgjerojmë boshtin Ox përtej fillimit në pikën -4. Tani ne rivendosim nga kjo pikë per-pen-di-ku-lyar - boshtin e drejtë, paralel Oz në per-re-se-che-niy me një bosht të drejtë, paralel Ox dhe duke kaluar përmes vlerës 3 në Oz boshti. Marrim rrymën D(-4;0;3). Meqenëse rendi i pikës është i barabartë me 0, kjo do të thotë se pika D shtrihet në rrafshin Oxz.

Pika tjetër E(0;5;-3). Or-di-na-ta pikat 5, a-pli-ka-ta -3, linjat e drejta pro-vo-dim që kalojnë nëpër këto vlera në boshtet e korrespondencës -të, dhe në kryqëzimin e tyre marrim pikën E(0 ;5;-3). Kjo pikë ka një koordinim të parë prej 0, që do të thotë se shtrihet në rrafshin Oyz.

2. Koordinatat vektoriale

Le të shohim sistemin drejtkëndor të co-or-di-nat në hapësirën Oxyz. Le të krijojmë një sistem drejtkëndor në hapësirën co-or-di-nat Oxyz. Në secilin prej boshteve lineare ka një vektor të vetëm, d.m.th., vektor, gjatësia e diçkaje është e barabartë me një. Ne shënojmë vektorin njësi të boshtit ab-ciss, vektorin njësi të boshtit or-di-nat dhe vektorin njësi të boshtit up-pl-cat (shih. Fig. 1). Këto qepalla janë të lidhura me sëpata të dorës së djathtë, kanë një gjatësi të vetme dhe janë or-to-go-nal-ny - në çifte - por per-pen-di-ku-lyar-ny. Shekuj të tillë quhen ko-or-di-nat-ny-mi shekull-to-ra-mi ose ba-zi-som.

Oriz. 1. Ndarja e qepallave në tre qepalla co-or-di-nat

Merrni një vektor meme, vendoseni në na-cha-lo co-or-di-nat dhe zbërthejeni këtë vektor në tre vektorë të caktuar të shtrirë -chim në plane të ndryshme - shekull-në-korniza. Për ta bërë këtë, le të ulim projeksionin e pikës M në rrafshin Oxy dhe të gjejmë bashkërendimin e vektorëve dhe. Le të hamë: . Ne shikojmë secilin prej këtyre shekujve veç e veç. Vektori shtrihet në boshtin Ox, që do të thotë, sipas vetive të shumëzimit të vektorit me një numër, ai mund të përfaqësohet si një numër x grua-to-ko-or-di-nat-ny vektor-tor. , dhe gjatësia e qepallës është saktësisht x herë më e madhe se gjatësia . Ne bëjmë të njëjtën gjë me qepallat dhe, dhe i ndajmë qepallat në tre qepalla co-or-di-nat -to-ram:

Kërkohen koeficientët e kësaj shpërndarjeje të x, y dhe z ko-or-di-na-ta-mi shekull-ra në hapësirë.

Merrni parasysh parimet fillestare, të cilat paraqesin-in-la-yut sipas co-or-di-aty të shekujve të dhënë-hendek për të gjetur co-or-di-na- ju jeni shumat dhe dallimet e tyre, si si dhe co-or-di-na-you pro-iz-ve-de-niya të shekullit të dhënë për një numër të caktuar.

1) Shtesa:

2) You-chi-ta-nie:

3) Shumëzimi me një numër: ,

Vektori, na-cha-lo ko-ro-go përkon me na-cha-lom ko-or-di-nat, na-zy-va-et-sya rreze-shekull-rum.(Fig. 2). Vektor - ra-di-us-vektor, ku x, y dhe z janë koeficientët e shpërndarjes së këtij vektori sipas bashkë-ose -di-nat-nym shekull-në-ram , , . Në këtë rast, x është ko-op i parë i pikës A në boshtin Ox, y është bashkë-or i pikës B në boshtin Oy, z është ko-op -di-na-ta pika C në boshtin Oz. . Është e qartë nga fotografia se ko-or-di-na-ju ra-di-us-vek-to-ra një herë-por-ende-sya ko-or-di -on-that-mi tregon M.

Merrni pikën A(x1;y1;z1) dhe pikën B(x2;y2;z2) (shih Fig. 3). Ne imagjinojmë një vektor si një ndryshim midis një shekulli dhe një shekulli. Për më tepër, dhe - ra-di-us-ve-ry-ry, dhe bashkë-or-di-na-you co-operate me co-or-di-na-ta-mi con-tsov të këtyre shekujve. Atëherë mund të paraqesim shekullin co-or-di-na-you si ndryshim midis shekujve co-or-di-nat dhe : . Në këtë mënyrë, co-or-di-na-you shekull-to-ra, ne mund të zhvillojmë përmes co-or-di-na-you fund dhe na-cha-la shekull-to-ra .

Le të shohim shembuj, duke ilustruar vetitë e shekujve dhe shprehjen e tyre përmes co-or-di-na-you. Merr një meme shekullore, , . Na kërkohet një shekull. Në këtë rast, të gjesh këtë do të thotë të gjesh bashkë-or-di-na-you të shekullit, që e përcakton plotësisht atë. Duke e vënë në të njëjtin vend në vend të njëqind shekullore të bashkëpërgjegjësisë së tyre bashkë-or-di-na-you. Le të hamë:

Tani shumëzojmë numrin 3 me secilën bashkë-or-di-në-atë në kllapa dhe bëjmë të njëjtën gjë me 2:

Ne kemi marrë shumën e tre shekujve, i ruajmë sipas pronës së studiuar më sipër:

Përgjigje:

Shembulli nr. 2.

Jepet: AOBC trekëndore pi-ra-mi-da (shih Fig. 4). Avionët AOB, AOC dhe OCB janë në çifte, por për-pen-di-ku-lyar-ny. OA=3, OB=7, OC=4; M - ser.AC; N - ser.OC; P - gri C.B.

Gjej: ,,,,,,,.

Zgjidhja: Le të prezantojmë një sistem drejtkëndor të co-or-di-nat Oxyz me një pikë fillimi në pikën O. Sipas kushtit, ne i njohim pikat A, B dhe C në boshtet dhe skajet se-re-di-ny të pi-ra-mi-dy - M, P dhe N. Sipas figurës -di-na-you vert-shin pi-ra-mi-dy: A(3;0;0), B(0;7; 0), C(0;0;4).