Ekuacionet kuadratike studiohen në klasën e 8-të, kështu që nuk ka asgjë të komplikuar këtu. Aftësia për t'i zgjidhur ato është absolutisht e nevojshme.

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c janë numra arbitrarë dhe a ≠ 0.

Para se të studioni metoda specifike të zgjidhjes, vini re se të gjitha ekuacionet kuadratike mund të ndahen në tre klasa:

1. Nuk kanë rrënjë;
2. Të ketë saktësisht një rrënjë;
3. Ata kanë dy rrënjë të ndryshme.

Ky është një ndryshim i rëndësishëm ekuacionet kuadratike nga ato lineare, ku rrënja ekziston gjithmonë dhe është unike. Si të përcaktohet se sa rrënjë ka një ekuacion? Ka një gjë të mrekullueshme për këtë - diskriminuese.

Diskriminues

Le të jepet ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0 Atëherë diskriminuesi është thjesht numri D = b 2 − 4ac.

Ju duhet ta dini këtë formulë përmendësh. Nga vjen nuk ka rëndësi tani. Një gjë tjetër është e rëndësishme: me shenjën e diskriminuesit mund të përcaktoni se sa rrënjë ka një ekuacion kuadratik. Gjegjësisht:

1. Nëse D< 0, корней нет;
2. Nëse D = 0, ka saktësisht një rrënjë;
3. Nëse D > 0, do të ketë dy rrënjë.

Ju lutemi vini re: diskriminuesi tregon numrin e rrënjëve, dhe aspak shenjat e tyre, siç besojnë shumë njerëz për disa arsye. Hidhini një sy shembujve dhe do të kuptoni gjithçka vetë:

Detyrë. Sa rrënjë kanë ekuacionet kuadratike:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Le të shkruajmë koeficientët për ekuacionin e parë dhe të gjejmë diskriminuesin:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Pra, diskriminuesi është pozitiv, pra ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme. Ne analizojmë ekuacionin e dytë në mënyrë të ngjashme:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminuesi është negativ, nuk ka rrënjë. Ekuacioni i fundit i mbetur është:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminuesi është zero - rrënja do të jetë një.

Ju lutemi vini re se koeficientët janë shkruar për çdo ekuacion. Po, është e gjatë, po, është e lodhshme, por nuk do të ngatërroni shanset dhe nuk do të bëni gabime të trashë. Zgjidhni vetë: shpejtësinë ose cilësinë.

Nga rruga, nëse e kuptoni, pas një kohe nuk do të keni nevojë të shkruani të gjithë koeficientët. Ju do të kryeni operacione të tilla në kokën tuaj. Shumica e njerëzve fillojnë ta bëjnë këtë diku pas 50-70 ekuacioneve të zgjidhura - në përgjithësi, jo aq shumë.

Rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Tani le të kalojmë në vetë zgjidhjen. Nëse diskriminuesi D > 0, rrënjët mund të gjenden duke përdorur formulat:

Formula bazë për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Kur D = 0, mund të përdorni ndonjë nga këto formula - do të merrni të njëjtin numër, i cili do të jetë përgjigja. Së fundi, nëse D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Ekuacioni i parë:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato:

Ekuacioni i dytë:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka përsëri dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato

\[\fillo(rreshtoj) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=3. \\ \fund (radhis)\]

Së fundi, ekuacioni i tretë:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ekuacioni ka një rrënjë. Mund të përdoret çdo formulë. Për shembull, i pari:

Siç mund ta shihni nga shembujt, gjithçka është shumë e thjeshtë. Nëse i dini formulat dhe mund të numëroni, nuk do të ketë probleme. Më shpesh, gabimet ndodhin kur zëvendësohen koeficientët negativë në formulë. Këtu përsëri, teknika e përshkruar më sipër do të ndihmojë: shikoni formulën fjalë për fjalë, shkruani çdo hap - dhe shumë shpejt do të shpëtoni nga gabimet.

Ekuacionet kuadratike jo të plota

Ndodh që një ekuacion kuadratik është paksa i ndryshëm nga ai që jepet në përkufizim. Për shembull:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Është e lehtë të vërehet se këtyre ekuacioneve u mungon një nga termat. Ekuacione të tilla kuadratike janë edhe më të lehta për t'u zgjidhur se ato standarde: ato as nuk kërkojnë llogaritjen e diskriminuesit. Pra, le të prezantojmë një koncept të ri:

Ekuacioni ax 2 + bx + c = 0 quhet ekuacion kuadratik jo i plotë nëse b = 0 ose c = 0, d.m.th. koeficienti i ndryshores x ose i elementit të lirë është i barabartë me zero.

Natyrisht, një rast shumë i vështirë është i mundur kur të dy këta koeficientë janë të barabartë me zero: b = c = 0. Në këtë rast, ekuacioni merr formën ax 2 = 0. Natyrisht, një ekuacion i tillë ka një rrënjë të vetme: x = 0.

Le të shqyrtojmë rastet e mbetura. Le të b = 0, atëherë marrim një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + c = 0. Le ta transformojmë pak:

Që nga aritmetika Rrenja katrore ekziston vetëm nga numër negativ, barazia e fundit ka kuptim vetëm për (−c /a) ≥ 0. Përfundim:

1. Nëse në një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + c = 0 plotësohet pabarazia (−c /a) ≥ 0, do të ketë dy rrënjë. Formula është dhënë më sipër;
2. Nëse (−c /a)< 0, корней нет.

Siç mund ta shihni, nuk kërkohej një diskriminues - nuk ka fare llogaritje komplekse në ekuacionet kuadratike jo të plota. Në fakt, as nuk është e nevojshme të mbani mend pabarazinë (−c /a) ≥ 0. Mjafton të shprehni vlerën x 2 dhe të shihni se çfarë është në anën tjetër të shenjës së barazimit. Nëse ka një numër pozitiv, do të ketë dy rrënjë. Nëse është negative, nuk do të ketë rrënjë fare.

Tani le të shohim ekuacionet e formës ax 2 + bx = 0, në të cilat elementi i lirë është i barabartë me zero. Gjithçka është e thjeshtë këtu: gjithmonë do të ketë dy rrënjë. Mjafton të faktorizohet polinomi:

Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave

Produkti është zero kur të paktën një nga faktorët është zero. Nga këtu vijnë rrënjët. Si përfundim, le të shohim disa nga këto ekuacione:

Detyrë. Zgjidh ekuacionet kuadratike:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nuk ka rrënjë, sepse një katror nuk mund të jetë i barabartë me një numër negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Ekuacionet kuadratike shfaqen shpesh kur zgjidhen probleme të ndryshme në fizikë dhe matematikë. Në këtë artikull do të shikojmë se si t'i zgjidhim këto barazi në një mënyrë universale "përmes një diskriminuesi". Në artikull jepen edhe shembuj të përdorimit të njohurive të marra.

Për cilat ekuacione do të flasim?

Figura më poshtë tregon një formulë në të cilën x është një ndryshore e panjohur dhe simbolet latine a, b, c përfaqësojnë disa numra të njohur.

Secili prej këtyre simboleve quhet koeficient. Siç mund ta shihni, numri "a" shfaqet para ndryshores x në katror. Kjo është fuqia maksimale e shprehjes së paraqitur, prandaj quhet ekuacion kuadratik. Emri tjetër i tij përdoret shpesh: ekuacion i rendit të dytë. Vetë vlera a është një koeficient katror (që qëndron kur ndryshorja është në katror), b është koeficienti linear(ai ndodhet pranë ndryshores së ngritur në fuqinë e parë), më në fund, numri c është termi i lirë.

Vini re se lloji i ekuacionit të paraqitur në figurën e mësipërme është një shprehje e përgjithshme klasike kuadratike. Përveç tij, ekzistojnë ekuacione të tjera të rendit të dytë në të cilat koeficientët b dhe c mund të jenë zero.

Kur vendoset detyra për të zgjidhur barazinë në fjalë, kjo do të thotë që duhet të gjenden vlera të tilla të ndryshores x që do ta kënaqin atë. Këtu, gjëja e parë që duhet të mbani mend është gjëja e mëposhtme: meqenëse shkalla maksimale e X është 2, atëherë ky lloj shprehjet nuk mund të kenë më shumë se 2 zgjidhje. Kjo do të thotë që nëse, gjatë zgjidhjes së një ekuacioni, janë gjetur 2 vlera të x që e plotësojnë atë, atëherë mund të jeni të sigurt se nuk ka numër të tretë, duke e zëvendësuar atë me x, barazia do të ishte gjithashtu e vërtetë. Zgjidhjet e një ekuacioni në matematikë quhen rrënjët e tij.

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të rendit të dytë

Zgjidhja e ekuacioneve të këtij lloji kërkon njohuri të disa teorive rreth tyre. Në kursin e algjebrës shkollore merren parasysh 4 metoda të ndryshme zgjidhjeje. Le t'i rendisim ato:

• duke përdorur faktorizimin;
• duke përdorur formulën për një katror të përsosur;
• duke zbatuar grafikun e funksionit kuadratik përkatës;
• duke përdorur ekuacionin diskriminues.

Avantazhi i metodës së parë është thjeshtësia e saj, megjithatë, ajo nuk mund të përdoret për të gjitha ekuacionet. Metoda e dytë është universale, por disi e rëndë. Metoda e tretë dallohet nga qartësia e saj, por nuk është gjithmonë e përshtatshme dhe e zbatueshme. Dhe së fundi, përdorimi i ekuacionit diskriminues është një mënyrë universale dhe mjaft e thjeshtë për të gjetur rrënjët e absolutisht çdo ekuacioni të rendit të dytë. Prandaj, në artikull do ta shqyrtojmë vetëm atë.

Formula për marrjen e rrënjëve të ekuacionit

Le të kthehemi tek pamjen e përgjithshme ekuacioni kuadratik. Le ta shkruajmë: a*x²+ b*x + c =0. Përpara se të përdorni metodën e zgjidhjes së tij "përmes një diskriminuesi", duhet të sillni gjithmonë barazinë në formën e tij të shkruar. Kjo do të thotë, duhet të përbëhet nga tre terma (ose më pak nëse b ose c është 0).

Për shembull, nëse ka një shprehje: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², atëherë së pari duhet të zhvendosni të gjithë termat e saj në njërën anë të barazisë dhe të shtoni termat që përmbajnë ndryshoren x në të njëjtat fuqi.

Në këtë rast, ky operacion do të çojë në shprehjen e mëposhtme: -6*x²-4*x+8=0, që është ekuivalente me ekuacionin 6*x²+4*x-8=0 (këtu kemi shumëzuar majtas dhe anët e djathta të barazisë me -1) .

Në shembullin e mësipërm, a = 6, b=4, c=-8. Vini re se të gjithë termat e barazisë në shqyrtim mblidhen gjithmonë së bashku, kështu që nëse shfaqet shenja "-", kjo do të thotë se koeficienti përkatës është negativ, si numri c në këtë rast.

Duke shqyrtuar këtë pikë, le të kalojmë tani në vetë formulën, e cila bën të mundur marrjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik. Duket si ajo e treguar në foton më poshtë.

Siç shihet nga kjo shprehje, ju lejon të merrni dy rrënjë (i kushtoni vëmendje shenjës "±"). Për ta bërë këtë, mjafton të zëvendësoni koeficientët b, c dhe a në të.

Koncepti i një diskriminuesi

Në paragrafin e mëparshëm, u dha një formulë që ju lejon të zgjidhni shpejt çdo ekuacion të rendit të dytë. Në të, shprehja radikale quhet diskriminuese, domethënë D = b²-4*a*c.

Pse është theksuar kjo pjesë e formulës dhe madje ka emri i duhur? Fakti është se diskriminuesi lidh të tre koeficientët e ekuacionit në një shprehje të vetme. Fakti i fundit do të thotë që mbart plotësisht informacione për rrënjët, të cilat mund të shprehen në listën e mëposhtme:

1. D>0: Barazia ka 2 zgjidhje të ndryshme, që të dyja janë numra realë.
2. D=0: Ekuacioni ka vetëm një rrënjë, dhe ai është një numër real.

Detyrë për përcaktimin e diskriminimit

Le të japim një shembull të thjeshtë se si të gjesh një diskriminues. Le të jepet barazia e mëposhtme: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Le ta sjellim në pamje standarde, marrim: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, nga ku vijmë te barazia: -2*x²+ 2*x- 11 = 0. Këtu a=-2, b=2, c=-11.

Tani mund të përdorni formulën e mësipërme për diskriminuesin: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Numri që rezulton është përgjigja e detyrës. Meqenëse në shembullin diskriminues më pak se zero, atëherë mund të themi se ky ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë reale. Zgjidhja e tij do të jetë vetëm numra të tipit kompleks.

Një shembull i pabarazisë përmes një diskriminuesi

Le të zgjidhim probleme të një lloji paksa të ndryshëm: duke pasur parasysh barazinë -3*x²-6*x+c = 0. Është e nevojshme të gjejmë vlerat e c për të cilat D>0.

Në këtë rast njihen vetëm 2 nga 3 koeficientët, pra nuk mund të llogaritet saktësisht vlera e diskriminuesit, por dihet se është pozitiv. Ne përdorim faktin e fundit kur kompozojmë pabarazinë: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Zgjidhja e pabarazisë që rezulton çon në rezultatin: c>-3.

Le të kontrollojmë numrin që rezulton. Për ta bërë këtë, ne llogarisim D për 2 raste: c=-2 dhe c=-4. Numri -2 plotëson rezultatin e marrë (-2>-3), diskriminuesi përkatës do të ketë vlerën: D = 12>0. Nga ana tjetër, numri -4 nuk plotëson pabarazinë (-4. Kështu, çdo numër c që është më i madh se -3 do të plotësojë kushtin.

Një shembull i zgjidhjes së një ekuacioni

Le të paraqesim një problem që përfshin jo vetëm gjetjen e diskriminuesit, por edhe zgjidhjen e ekuacionit. Është e nevojshme të gjenden rrënjët për barazinë -2*x²+7-9*x = 0.

Në këtë shembull, diskriminuesi është i barabartë me vlerën e mëposhtme: D = 81-4*(-2)*7= 137. Pastaj rrënjët e ekuacionit përcaktohen si më poshtë: x = (9±√137)/(- 4). Këto janë vlerat e sakta të rrënjëve nëse llogaritni rrënjën përafërsisht, atëherë merrni numrat: x = -5.176 dhe x = 0.676.

Problemi gjeometrik

Le të zgjidhim një problem që do të kërkojë jo vetëm aftësinë për të llogaritur diskriminuesin, por edhe përdorimin e aftësive të të menduarit abstrakt dhe njohuri për mënyrën e shkrimit të ekuacioneve kuadratike.

Bob kishte një jorgan 5 x 4 metra. Djali donte t'i qepte një rrip të vazhdueshëm pëlhure të bukur rreth të gjithë perimetrit. Sa i trashë do të jetë ky rrip nëse e dimë se Bob ka 10 m² pëlhurë.

Lëreni shiritin të ketë një trashësi prej x m, atëherë sipërfaqja e pëlhurës përgjatë anës së gjatë të batanijes do të jetë (5+2*x)*x, dhe duke qenë se ka 2 anë të gjata, kemi: 2*x *(5+2*x). Në anën e shkurtër, sipërfaqja e pëlhurës së qepur do të jetë 4*x, pasi ka 2 nga këto anë, marrim vlerën 8*x. Vini re se vlera 2*x iu shtua anës së gjatë sepse gjatësia e batanijes u rrit me atë numër. Sipërfaqja e përgjithshme e pëlhurës së qepur në batanije është 10 m². Prandaj, marrim barazinë: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Për këtë shembull, diskriminuesi është i barabartë me: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Rrënja e tij është 22. Duke përdorur formulën, gjejmë rrënjët e kërkuara: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Natyrisht, nga dy rrënjët, vetëm numri 0.5 është i përshtatshëm sipas kushteve të problemit.

Kështu, brezi i pëlhurës që Bob qep në batanijen e tij do të jetë 50 cm i gjerë.

Për shembull, për trinomin \(3x^2+2x-7\), diskriminuesi do të jetë i barabartë me \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Dhe për trinomin \(x^2-5x+11\), do të jetë i barabartë me \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminuesi shënohet me \(D\) dhe përdoret shpesh në zgjidhje. Gjithashtu, nga vlera e diskriminuesit, mund të kuptoni se si duket përafërsisht grafiku (shih më poshtë).

Diskriminues dhe rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Vlera diskriminuese tregon numrin e ekuacioneve kuadratike:
- nëse \(D\) është pozitive, ekuacioni do të ketë dy rrënjë;
- nëse \(D\) është e barabartë me zero - ka vetëm një rrënjë;
- nëse \(D\) është negative, nuk ka rrënjë.

Kjo nuk ka nevojë të mësohet, nuk është e vështirë të arrish në një përfundim të tillë, thjesht duke ditur se nga diskriminuesi (d.m.th., \(\sqrt(D)\) përfshihet në formulën për llogaritjen e rrënjëve të një kuadratik. ekuacioni: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dhe \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) Le të shohim më shumë detaje.

Nëse diskriminuesi është pozitiv

Në këtë rast, rrënja e tij është një numër pozitiv, që do të thotë \(x_(1)\) dhe \(x_(2)\) do të kenë kuptime të ndryshme, sepse në formulën e parë \(\sqrt(D)\ ) shtohet , dhe në të dytën zbritet. Dhe ne kemi dy rrënjë të ndryshme.

Shembull : Gjeni rrënjët e ekuacionit \(x^2+2x-3=0\)
Zgjidhje :

Përgjigju : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Nëse diskriminuesi është zero

Sa rrënjë do të ketë nëse diskriminuesi është zero? Le të arsyetojmë.

Formulat rrënjësore duken kështu: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dhe \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Dhe nëse diskriminuesi është zero, atëherë rrënja e tij është gjithashtu zero. Pastaj rezulton:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Kjo do të thotë, vlerat e rrënjëve të ekuacionit do të jenë të njëjta, sepse shtimi ose zbritja e zeros nuk ndryshon asgjë.

Shembull : Gjeni rrënjët e ekuacionit \(x^2-4x+4=0\)
Zgjidhje :

\(x^2-4x+4=0\)		Ne shkruajmë koeficientët:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Ne llogarisim diskriminuesin duke përdorur formulën \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Gjetja e rrënjëve të ekuacionit
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Ne morëm dy rrënjë identike, kështu që nuk ka kuptim t'i shkruajmë veçmas - i shkruajmë si një.

Përgjigju : \(x=2\)

NË shoqëri moderne aftësia për të kryer operacione me ekuacione që përmbajnë një ndryshore në katror mund të jetë e dobishme në shumë fusha të veprimtarisë dhe përdoret gjerësisht në praktikë në shkencë dhe zhvillimet teknike. Dëshmi për këtë mund të gjenden në projektimin e anijeve detare dhe lumore, avionëve dhe raketave. Duke përdorur llogaritjet e tilla, trajektoret e lëvizjes së më trupa të ndryshëm, duke përfshirë objektet hapësinore. Shembujt me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike përdoren jo vetëm në parashikimin ekonomik, në projektimin dhe ndërtimin e ndërtesave, por edhe në rrethanat më të zakonshme të përditshme. Ato mund të nevojiten në udhëtimet e ecjes, në ngjarje sportive, në dyqane kur bëni blerje dhe në situata të tjera shumë të zakonshme.

Le ta ndajmë shprehjen në faktorët përbërës të saj

Shkalla e një ekuacioni përcaktohet nga vlera maksimale e shkallës së ndryshores që përmban shprehja. Nëse është e barabartë me 2, atëherë një ekuacion i tillë quhet kuadratik.

Nëse flasim në gjuhën e formulave, atëherë shprehjet e treguara, pavarësisht se si duken, gjithmonë mund të sillen në formën kur ana e majtë e shprehjes përbëhet nga tre terma. Midis tyre: boshti 2 (d.m.th., një ndryshore në katror me koeficientin e saj), bx (një e panjohur pa katror me koeficientin e saj) dhe c (një përbërës i lirë, domethënë një numër i zakonshëm). E gjithë kjo në anën e djathtë është e barabartë me 0. Në rastin kur një polinomi të tillë i mungon një nga termat përbërës, me përjashtim të sëpatës 2, quhet ekuacion kuadratik jo i plotë. Shembujt me zgjidhjen e problemeve të tilla, vlerat e variablave në të cilat gjenden lehtësisht, duhet të merren parasysh së pari.

Nëse shprehja duket sikur ka dy terma në anën e djathtë, më saktë ax 2 dhe bx, mënyra më e lehtë për të gjetur x është duke e vendosur variablin jashtë kllapave. Tani ekuacioni ynë do të duket kështu: x(ax+b). Më pas, bëhet e qartë se ose x=0, ose problemi zbret në gjetjen e një ndryshoreje nga shprehja e mëposhtme: ax+b=0. Kjo diktohet nga një nga vetitë e shumëzimit. Rregulli thotë se prodhimi i dy faktorëve rezulton në 0 vetëm nëse njëri prej tyre është zero.

Shembull

x=0 ose 8x - 3 = 0

Si rezultat, marrim dy rrënjë të ekuacionit: 0 dhe 0.375.

Ekuacionet e këtij lloji mund të përshkruajnë lëvizjen e trupave nën ndikimin e gravitetit, të cilët filluan të lëviznin nga një pikë e caktuar e marrë si origjinë e koordinatave. Këtu shënimi matematik merr formën e mëposhtme: y = v 0 t + gt 2 /2. Zëvendësimi i vlerave të nevojshme, barazimi anën e djathtë 0 dhe pasi të keni gjetur të panjohura të mundshme, mund të zbuloni kohën që kalon nga momenti kur trupi ngrihet deri në momentin kur ai bie, si dhe shumë sasi të tjera. Por ne do të flasim për këtë më vonë.

Faktorizimi i një shprehjeje

Rregulli i përshkruar më sipër bën të mundur zgjidhjen e këtyre problemeve në më shumë raste të vështira. Le të shohim shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike të këtij lloji.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ky trinom kuadratik është i plotë. Së pari, le të transformojmë shprehjen dhe ta faktorizojmë atë. Janë dy prej tyre: (x-8) dhe (x-25) = 0. Si rezultat, kemi dy rrënjë 8 dhe 25.

Shembujt me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike në klasën 9 lejojnë që kjo metodë të gjejë një ndryshore në shprehjet jo vetëm të rendit të dytë, por edhe të rendit të tretë dhe të katërt.

Për shembull: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kur faktorizon anën e djathtë në faktorë me një ndryshore, janë tre prej tyre, domethënë (x+1), (x-3) dhe (x+ 3).

Si rezultat, bëhet e qartë se ekuacioni i dhënë ka tre rrënjë: -3; -1; 3.

Rrenja katrore

Një rast tjetër i një ekuacioni jo të plotë të rendit të dytë është një shprehje e paraqitur në gjuhën e shkronjave në një mënyrë të tillë që ana e djathtë të ndërtohet nga përbërësit ax 2 dhe c. Këtu, për të marrë vlerën e ndryshores, termi i lirë transferohet në anën e djathtë, dhe pas kësaj rrënja katrore nxirret nga të dy anët e barazisë. Duhet të theksohet se në këtë rast zakonisht ekzistojnë dy rrënjë të ekuacionit. Përjashtimet e vetme mund të jenë barazitë që nuk përmbajnë fare term me, ku ndryshorja është e barabartë me zero, si dhe variantet e shprehjeve kur ana e djathtë është negative. Në rastin e fundit, nuk ka zgjidhje fare, pasi veprimet e mësipërme nuk mund të kryhen me rrënjë. Duhet të merren parasysh shembuj të zgjidhjeve të ekuacioneve kuadratike të këtij lloji.

Në këtë rast, rrënjët e ekuacionit do të jenë numrat -4 dhe 4.

Llogaritja e sipërfaqes së tokës

Nevoja për këtë lloj llogaritjeje u shfaq në kohët e lashta, sepse zhvillimi i matematikës në ato kohë të largëta ishte përcaktuar kryesisht nga nevoja për të përcaktuar me saktësinë më të madhe sipërfaqet dhe perimetrat e parcelave të tokës.

Duhet të shqyrtojmë edhe shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike bazuar në probleme të këtij lloji.

Pra, le të themi se ekziston një truall drejtkëndor, gjatësia e së cilës është 16 metra më e madhe se gjerësia. Ju duhet të gjeni gjatësinë, gjerësinë dhe perimetrin e truallit nëse e dini se sipërfaqja e tij është 612 m2.

Për të filluar, le të krijojmë së pari ekuacionin e nevojshëm. Le të shënojmë me x gjerësinë e zonës, atëherë gjatësia e saj do të jetë (x+16). Nga ajo që është shkruar del se sipërfaqja përcaktohet me shprehjen x(x+16), e cila sipas kushteve të problemit tonë është 612. Kjo do të thotë se x(x+16) = 612.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike, dhe kjo shprehje është pikërisht ajo, nuk mund të bëhet në të njëjtën mënyrë. Pse? Edhe pse ana e majtë ende përmban dy faktorë, produkti i tyre nuk është aspak i barabartë me 0, kështu që këtu përdoren metoda të ndryshme.

Diskriminues

Së pari, le të bëjmë transformimet e nevojshme, pastaj pamjen e kësaj shprehjeje do të duket kështu: x 2 + 16x - 612 = 0. Kjo do të thotë se ne kemi marrë një shprehje në një formë që korrespondon me standardin e specifikuar më parë, ku a=1, b=16, c=-612.

Ky mund të jetë një shembull i zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike duke përdorur një diskriminues. Këtu llogaritjet e nevojshme prodhohen sipas skemës: D = b 2 - 4ac. Kjo sasi ndihmëse jo vetëm që bën të mundur gjetjen e sasive të kërkuara në një ekuacion të rendit të dytë, por përcakton numrin e opsioneve të mundshme. Nëse D>0, janë dy prej tyre; për D=0 ka një rrënjë. Në rastin D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Rreth rrënjëve dhe formulës së tyre

Në rastin tonë, diskriminuesi është i barabartë me: 256 - 4(-612) = 2704. Kjo sugjeron që problemi ynë ka një përgjigje. Nëse e dini k, zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duhet të vazhdohet duke përdorur formulën e mëposhtme. Kjo ju lejon të llogaritni rrënjët.

Kjo do të thotë se në rastin e paraqitur: x 1 =18, x 2 =-34. Opsioni i dytë në këtë dilemë nuk mund të jetë zgjidhje, sepse përmasat e truallit nuk mund të maten në sasi negative, që do të thotë se x (pra gjerësia e parcelës) është 18 m Nga këtu llogarisim gjatësinë: 18 +16=34, dhe perimetri 2(34+ 18)=104(m2).

Shembuj dhe detyra

Ne vazhdojmë studimin tonë të ekuacioneve kuadratike. Shembuj dhe zgjidhje të detajuara të disa prej tyre do të jepen më poshtë.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Le të zhvendosim gjithçka në anën e majtë të barazisë, të bëjmë një transformim, domethënë, do të marrim llojin e ekuacionit që zakonisht quhet standard dhe do ta barazojmë atë me zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Duke shtuar të ngjashme, ne përcaktojmë diskriminuesin: D = 49 - 48 = 1. Kjo do të thotë se ekuacioni ynë do të ketë dy rrënjë. Le t'i llogarisim ato sipas formulës së mësipërme, që do të thotë se e para prej tyre do të jetë e barabartë me 4/3 dhe e dyta me 1.

2) Tani le të zgjidhim misteret e një lloji tjetër.

Le të zbulojmë nëse ka ndonjë rrënjë këtu x 2 - 4x + 5 = 1? Për të marrë një përgjigje gjithëpërfshirëse, le të reduktojmë polinomin në formën e zakonshme përkatëse dhe të llogarisim diskriminuesin. Në shembullin e mësipërm, nuk është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni kuadratik, sepse ky nuk është fare thelbi i problemit. Në këtë rast, D = 16 - 20 = -4, që do të thotë se me të vërtetë nuk ka rrënjë.

Teorema e Vietës

Është i përshtatshëm për të zgjidhur ekuacionet kuadratike duke përdorur formulat e mësipërme dhe diskriminuesin, kur rrënja katrore merret nga vlera e kësaj të fundit. Por kjo nuk ndodh gjithmonë. Megjithatë, ka shumë mënyra për të marrë vlerat e variablave në këtë rast. Shembull: zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës. Ajo është emëruar pas asaj që jetoi në shekullin e 16-të në Francë dhe bëri një karrierë të shkëlqyer falë talentit të tij matematikor dhe lidhjeve në gjykatë. Portreti i tij mund të shihet në artikull.

Modeli që vuri re francezi i famshëm ishte si më poshtë. Ai vërtetoi se rrënjët e ekuacionit mblidhen numerikisht në -p=b/a, dhe produkti i tyre korrespondon me q=c/a.

Tani le të shohim detyrat specifike.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Për thjeshtësi, le të transformojmë shprehjen:

x 2 + 7x - 18 = 0

Le të përdorim teoremën e Vietës, kjo do të na japë si vijon: shuma e rrënjëve është -7, dhe prodhimi i tyre është -18. Nga këtu marrim se rrënjët e ekuacionit janë numrat -9 dhe 2. Pas kontrollit, do të sigurohemi që këto vlera të ndryshueshme përshtaten me të vërtetë në shprehje.

Grafiku i parabolës dhe ekuacioni

Konceptet e funksionit kuadratik dhe ekuacioneve kuadratike janë të lidhura ngushtë. Shembuj të kësaj tashmë janë dhënë më herët. Tani le të shohim disa gjëegjëza matematikore në pak më shumë detaje. Çdo ekuacion i tipit të përshkruar mund të paraqitet vizualisht. Një marrëdhënie e tillë, e vizatuar si grafik, quhet parabolë. Llojet e tij të ndryshme janë paraqitur në figurën më poshtë.

Çdo parabolë ka një kulm, domethënë një pikë nga e cila dalin degët e saj. Nëse a>0, ato shkojnë lart në pafundësi, dhe kur a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Paraqitjet vizuale të funksioneve ndihmojnë në zgjidhjen e çdo ekuacioni, duke përfshirë edhe ato kuadratike. Kjo metodë quhet grafike. Dhe vlera e ndryshores x është koordinata e abshisës në pikat ku vija e grafikut kryqëzohet me 0x. Koordinatat e kulmit mund të gjenden duke përdorur formulën e sapo dhënë x 0 = -b/2a. Dhe duke zëvendësuar vlerën që rezulton në ekuacionin origjinal të funksionit, mund të zbuloni y 0, domethënë koordinatën e dytë të kulmit të parabolës, e cila i përket boshtit të ordinatave.

Prerja e degëve të një parabole me boshtin e abshisës

Ka shumë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, por ka edhe modele të përgjithshme. Le t'i shikojmë ato. Është e qartë se kryqëzimi i grafikut me boshtin 0x për a>0 është i mundur vetëm nëse y 0 merr vlerat negative. Dhe për një<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Përndryshe D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Nga grafiku i parabolës mund të përcaktoni edhe rrënjët. E kundërta është gjithashtu e vërtetë. Kjo do të thotë, nëse nuk është e lehtë për të marrë një paraqitje vizuale të një funksioni kuadratik, mund të barazoni anën e djathtë të shprehjes me 0 dhe të zgjidhni ekuacionin që rezulton. Dhe duke ditur pikat e kryqëzimit me boshtin 0x, është më e lehtë të ndërtohet një grafik.

Nga historia

Duke përdorur ekuacione që përmbajnë një ndryshore në katror, ​​në kohët e vjetra ata jo vetëm që bënin llogaritjet matematikore dhe përcaktonin sipërfaqet e figurave gjeometrike. Të lashtët kishin nevojë për llogaritje të tilla për zbulime madhështore në fushën e fizikës dhe astronomisë, si dhe për të bërë parashikime astrologjike.

Siç sugjerojnë shkencëtarët modernë, banorët e Babilonisë ishin ndër të parët që zgjidhën ekuacionet kuadratike. Kjo ndodhi katër shekuj para erës sonë. Sigurisht, llogaritjet e tyre ishin rrënjësisht të ndryshme nga ato të pranuara aktualisht dhe doli të ishin shumë më primitive. Për shembull, matematikanët e Mesopotamisë nuk kishin asnjë ide për ekzistencën e numrave negativë. Ata gjithashtu nuk ishin të njohur me hollësitë e tjera që i njeh çdo nxënës i shkollës moderne.

Ndoshta edhe më herët se shkencëtarët e Babilonisë, i urti nga India Baudhayama filloi të zgjidhte ekuacionet kuadratike. Kjo ndodhi rreth tetë shekuj para epokës së Krishtit. Vërtetë, ekuacionet e rendit të dytë, metodat për zgjidhjen e të cilave ai dha, ishin më të thjeshtat. Përveç tij, matematikanët kinezë ishin gjithashtu të interesuar për pyetje të ngjashme në kohët e vjetra. Në Evropë, ekuacionet kuadratike filluan të zgjidheshin vetëm në fillim të shekullit të 13-të, por më vonë ato u përdorën në veprat e tyre nga shkencëtarë të tillë të mëdhenj si Njutoni, Dekarti dhe shumë të tjerë.

Duke vazhduar temën "Zgjidhja e ekuacioneve", materiali në këtë artikull do t'ju prezantojë me ekuacionet kuadratike.

Le të shohim gjithçka në detaje: thelbin dhe shënimin e një ekuacioni kuadratik, të përcaktojmë termat shoqërues, të analizojmë skemën e zgjidhjes së ekuacioneve jo të plota dhe të plota, të njihemi me formulën e rrënjëve dhe diskriminuesin, të vendosim lidhje midis rrënjëve dhe koeficientëve, dhe sigurisht do t'u japim një zgjidhje vizuale shembujve praktikë.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ekuacioni kuadratik, llojet e tij

Përkufizimi 1

Ekuacioni kuadratikështë një ekuacion i shkruar si a x 2 + b x + c = 0, Ku x– ndryshorja, a , b dhe c– disa numra, ndërsa a nuk është zero.

Shpesh, ekuacionet kuadratike quhen edhe ekuacione të shkallës së dytë, pasi në thelb një ekuacion kuadratik është një ekuacion algjebrik i shkallës së dytë.

Le të japim një shembull për të ilustruar përkufizimin e dhënë: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etj. Këto janë ekuacione kuadratike.

Përkufizimi 2

Numrat a, b dhe c janë koeficientët e ekuacionit kuadratik a x 2 + b x + c = 0, ndërsa koeficienti a quhet i pari, ose i lartë, ose koeficienti në x 2, b - koeficienti i dytë, ose koeficienti në x, A c quhet anëtar i lirë.

Për shembull, në ekuacionin kuadratik 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 koeficienti kryesor është 6, koeficienti i dytë është − 2 , dhe termi i lirë është i barabartë me − 11 . Le t'i kushtojmë vëmendje faktit se kur koeficientët b dhe/ose c janë negative, pastaj përdoret një formë e shkurtër e formës 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, por jo 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Le të sqarojmë edhe këtë aspekt: ​​nëse koeficientët a dhe/ose b të barabartë 1 ose − 1 , atëherë ata mund të mos marrin pjesë eksplicite në shkrimin e ekuacionit kuadratik, gjë që shpjegohet me veçoritë e shkrimit të koeficientëve numerikë të treguar. Për shembull, në ekuacionin kuadratik y 2 − y + 7 = 0 koeficienti kryesor është 1, dhe koeficienti i dytë është − 1 .

Ekuacionet kuadratike të reduktuara dhe të pareduktuara

Në bazë të vlerës së koeficientit të parë, ekuacionet kuadratike ndahen në të reduktuara dhe të pareduktuara.

Përkufizimi 3

Ekuacioni kuadratik i reduktuarështë një ekuacion kuadratik ku koeficienti kryesor është 1. Për vlerat e tjera të koeficientit kryesor, ekuacioni kuadratik nuk është i reduktuar.

Le të japim shembuj: reduktohen ekuacionet kuadratike x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, në secilën prej të cilave koeficienti kryesor është 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- ekuacioni kuadratik i pareduktuar, ku koeficienti i parë është i ndryshëm nga 1 .

Çdo ekuacion kuadratik i pareduktuar mund të shndërrohet në një ekuacion të reduktuar duke pjesëtuar të dyja anët me koeficientin e parë (transformim ekuivalent). Ekuacioni i transformuar do të ketë të njëjtat rrënjë si ekuacioni i dhënë i pareduktuar ose gjithashtu nuk do të ketë rrënjë fare.

Shqyrtimi i një shembulli specifik do të na lejojë të demonstrojmë qartë kalimin nga një ekuacion kuadratik i pareduktuar në një të reduktuar.

Shembulli 1

Jepet ekuacioni 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Është e nevojshme të konvertohet ekuacioni origjinal në formën e reduktuar.

Zgjidhje

Sipas skemës së mësipërme, ne ndajmë të dy anët e ekuacionit origjinal me koeficientin kryesor 6. Pastaj marrim: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, dhe kjo është e njëjtë si: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 dhe më tej: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Nga këtu: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Kështu, fitohet një ekuacion i barabartë me atë të dhënë.

Përgjigje: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Ekuacionet kuadratike të plota dhe jo të plota

Le të kthehemi te përkufizimi i një ekuacioni kuadratik. Në të kemi specifikuar se a ≠ 0. Një kusht i ngjashëm është i nevojshëm për ekuacionin a x 2 + b x + c = 0 ishte pikërisht katror, ​​që në a = 0 në thelb shndërrohet në ekuacioni linear b x + c = 0.

Në rastin kur koeficientët b Dhe c janë të barabarta me zero (që është e mundur, individualisht dhe së bashku), ekuacioni kuadratik quhet i paplotë.

Përkufizimi 4

Ekuacioni kuadratik jo i plotë- një ekuacion i tillë kuadratik a x 2 + b x + c = 0, ku të paktën një nga koeficientët b Dhe c(ose të dyja) është zero.

Ekuacioni i plotë kuadratik– një ekuacion kuadratik në të cilin të gjithë koeficientët numerikë nuk janë të barabartë me zero.

Le të diskutojmë pse llojeve të ekuacioneve kuadratike u jepen pikërisht këta emra.

Kur b = 0, ekuacioni kuadratik merr formën a x 2 + 0 x + c = 0, e cila është e njëjtë si a x 2 + c = 0. Në c = 0 ekuacioni kuadratik shkruhet si a x 2 + b x + 0 = 0, që është ekuivalente a x 2 + b x = 0. Në b = 0 Dhe c = 0 ekuacioni do të marrë formën a x 2 = 0. Ekuacionet që përftuam ndryshojnë nga ekuacioni i plotë kuadratik në atë që anët e tyre në të majtë nuk përmbajnë as një term me ndryshoren x, as një term të lirë ose të dyja. Në fakt, ky fakt i dha emrin këtij lloj ekuacioni - i paplotë.

Për shembull, x 2 + 3 x + 4 = 0 dhe − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 janë ekuacione të plota kuadratike; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – ekuacione kuadratike jo të plota.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota

Përkufizimi i dhënë më sipër bën të mundur dallimin e llojeve të mëposhtme të ekuacioneve kuadratike jo të plota:

• a x 2 = 0, ky ekuacion korrespondon me koeficientët b = 0 dhe c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 në b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 në c = 0.

Le të shqyrtojmë në mënyrë sekuenciale zgjidhjen e secilit lloj ekuacioni kuadratik jo të plotë.

Zgjidhja e ekuacionit a x 2 =0

Siç u përmend më lart, ky ekuacion korrespondon me koeficientët b Dhe c, e barabartë me zero. Ekuacioni a x 2 = 0 mund të shndërrohet në një ekuacion ekuivalent x 2 = 0, të cilin e marrim duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit origjinal me numrin a, jo e barabartë me zero. Fakti i dukshëm është se rrënja e ekuacionit x 2 = 0 kjo është zero sepse 0 2 = 0 . Ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera, gjë që mund të shpjegohet me vetitë e shkallës: për çdo numër p, jo e barabartë me zero, pabarazia është e vërtetë p 2 > 0, nga ku rrjedh se kur p ≠ 0 barazisë p 2 = 0 nuk do të arrihet kurrë.

Përkufizimi 5

Kështu, për ekuacionin kuadratik jo të plotë a x 2 = 0 ka një rrënjë unike x = 0.

Shembulli 2

Për shembull, le të zgjidhim një ekuacion kuadratik jo të plotë − 3 x 2 = 0. Është ekuivalente me ekuacionin x 2 = 0, rrënja e vetme e saj është x = 0, atëherë ekuacioni origjinal ka një rrënjë të vetme - zero.

Shkurtimisht, zgjidhja shkruhet si më poshtë:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Zgjidhja e ekuacionit a x 2 + c = 0

Në radhë është zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota, ku b = 0, c ≠ 0, pra ekuacionet e formës a x 2 + c = 0. Le ta transformojmë këtë ekuacion duke lëvizur një term nga njëra anë e ekuacionit në tjetrën, duke ndryshuar shenjën në anën e kundërt dhe duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit me një numër që nuk është i barabartë me zero:

• transferimi c në anën e djathtë, e cila jep ekuacionin a x 2 = − c;
• pjesëtoni të dyja anët e ekuacionit me a, përfundojmë me x = - c a .

Transformimet tona janë ekuivalente, në përputhje me rrethanat, ekuacioni që rezulton është gjithashtu i barabartë me atë origjinal, dhe ky fakt bën të mundur nxjerrjen e përfundimeve në lidhje me rrënjët e ekuacionit. Nga ato që janë vlerat a Dhe c vlera e shprehjes - c a varet: mund të ketë një shenjë minus (për shembull, nëse a = 1 Dhe c = 2, atëherë - c a = - 2 1 = - 2) ose një shenjë plus (për shembull, nëse a = - 2 Dhe c = 6, atëherë - c a = - 6 - 2 = 3); nuk është zero sepse c ≠ 0. Le të ndalemi më gjerësisht në situatat kur - c a< 0 и - c a > 0 .

Në rastin kur - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа fq barazia p 2 = - c a nuk mund të jetë e vërtetë.

Gjithçka është ndryshe kur - c a > 0: mbani mend rrënjën katrore dhe do të bëhet e qartë se rrënja e ekuacionit x 2 = - c a do të jetë numri - c a, pasi - c a 2 = - c a. Nuk është e vështirë të kuptohet se numri - - c a është gjithashtu rrënja e ekuacionit x 2 = - c a: në të vërtetë, - - c a 2 = - c a.

Ekuacioni nuk do të ketë rrënjë të tjera. Këtë mund ta demonstrojmë duke përdorur metodën e kontradiktës. Për të filluar, le të përcaktojmë shënimet për rrënjët e gjetura më sipër si x 1 Dhe − x 1. Le të supozojmë se ekuacioni x 2 = - c a ka gjithashtu një rrënjë x 2, e cila është e ndryshme nga rrënjët x 1 Dhe − x 1. Ne e dimë se duke e zëvendësuar në ekuacion x rrënjët e tij, ne e transformojmë ekuacionin në një barazi të drejtë numerike.

Për x 1 Dhe − x 1 shkruajmë: x 1 2 = - c a , dhe për x 2- x 2 2 = - c a . Bazuar në vetitë e barazive numerike, ne zbresim një term të saktë të barazisë për term nga një tjetër, i cili do të na japë: x 1 2 − x 2 2 = 0. Ne përdorim vetitë e veprimeve me numra për të rishkruar barazinë e fundit si (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Dihet se prodhimi i dy numrave është zero nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri nga numrat është zero. Nga sa më sipër rezulton se x 1 − x 2 = 0 dhe/ose x 1 + x 2 = 0, e cila është e njëjtë x 2 = x 1 dhe/ose x 2 = − x 1. U ngrit një kontradiktë e dukshme, sepse në fillim u ra dakord që rrënja e ekuacionit x 2 ndryshon nga x 1 Dhe − x 1. Pra, kemi vërtetuar se ekuacioni nuk ka rrënjë të tjera përveç x = - c a dhe x = - - c a.

Le të përmbledhim të gjitha argumentet e mësipërme.

Përkufizimi 6

Ekuacion kuadratik jo i plotë a x 2 + c = 0është ekuivalente me ekuacionin x 2 = - c a, i cili:

• nuk do të ketë rrënjë në - c a< 0 ;
• do të ketë dy rrënjë x = - c a dhe x = - - c a për - c a > 0.

Le të japim shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve a x 2 + c = 0.

Shembulli 3

Jepet një ekuacion kuadratik 9 x 2 + 7 = 0.Është e nevojshme të gjendet një zgjidhje.

Zgjidhje

Le ta zhvendosim termin e lirë në anën e djathtë të ekuacionit, atëherë ekuacioni do të marrë formën 9 x 2 = − 7.
Le të ndajmë të dyja anët e ekuacionit që rezulton me 9 , arrijmë në x 2 = - 7 9 . Në anën e djathtë shohim një numër me shenjën minus, që do të thotë: ekuacioni i dhënë nuk ka rrënjë. Pastaj ekuacioni origjinal jo i plotë kuadratik 9 x 2 + 7 = 0 nuk do të ketë rrënjë.

Përgjigje: ekuacionin 9 x 2 + 7 = 0 nuk ka rrënjë.

Shembulli 4

Ekuacioni duhet të zgjidhet − x 2 + 36 = 0.

Zgjidhje

Le të lëvizim 36 në anën e djathtë: − x 2 = − 36.
Le t'i ndajmë të dyja pjesët me − 1 , marrim x 2 = 36. Në anën e djathtë është një numër pozitiv, nga i cili mund të konkludojmë se x = 36 ose x = - 36 .
Le të nxjerrim rrënjën dhe të shkruajmë rezultatin përfundimtar: ekuacioni kuadratik jo i plotë − x 2 + 36 = 0 ka dy rrënjë x = 6 ose x = - 6.

Përgjigje: x = 6 ose x = - 6.

Zgjidhja e ekuacionit a x 2 +b x=0

Le të analizojmë llojin e tretë të ekuacioneve kuadratike jo të plota, kur c = 0. Për të gjetur një zgjidhje për një ekuacion kuadratik jo të plotë a x 2 + b x = 0, do të përdorim metodën e faktorizimit. Le të faktorizojmë polinomin që është në anën e majtë të ekuacionit, duke hequr faktorin e përbashkët nga kllapat x. Ky hap do të bëjë të mundur transformimin e ekuacionit kuadratik jo të plotë origjinal në ekuivalentin e tij x (a x + b) = 0. Dhe ky ekuacion, nga ana tjetër, është i barabartë me një grup ekuacionesh x = 0 Dhe a x + b = 0. Ekuacioni a x + b = 0 lineare dhe rrënja e saj: x = − b a.

Përkufizimi 7

Kështu, ekuacioni i paplotë kuadratik a x 2 + b x = 0 do të ketë dy rrënjë x = 0 Dhe x = − b a.

Le ta përforcojmë materialin me një shembull.

Shembulli 5

Është e nevojshme të gjendet një zgjidhje për ekuacionin 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Zgjidhje

Do ta nxjerrim x jashtë kllapave marrim ekuacionin x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ky ekuacion është i barabartë me ekuacionet x = 0 dhe 2 3 x - 2 2 7 = 0. Tani duhet të zgjidhni ekuacionin linear që rezulton: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Shkruani shkurtimisht zgjidhjen e ekuacionit si më poshtë:

2 3 x 2 - 2 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ose 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ose x = 3 3 7

Përgjigje: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminuese, formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Për të gjetur zgjidhje për ekuacionet kuadratike, ekziston një formulë rrënjësore:

Përkufizimi 8

x = - b ± D 2 · a, ku D = b 2 − 4 a c– i ashtuquajturi diskriminues i një ekuacioni kuadratik.

Shkrimi x = - b ± D 2 · a në thelb do të thotë se x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Do të ishte e dobishme të kuptonim se si është nxjerrë kjo formulë dhe si të zbatohet.

Nxjerrja e formulës për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Le të përballemi me detyrën e zgjidhjes së një ekuacioni kuadratik a x 2 + b x + c = 0. Le të kryejmë një numër transformimesh ekuivalente:

• pjesëtoni të dyja anët e ekuacionit me një numër a, ndryshe nga zero, marrim ekuacionin kuadratik të mëposhtëm: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Le të zgjedhim katrorin e plotë në anën e majtë të ekuacionit që rezulton:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Pas kësaj, ekuacioni do të marrë formën: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Tani është e mundur të transferohen dy termat e fundit në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën në të kundërtën, pas së cilës marrim: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Së fundi, ne transformojmë shprehjen e shkruar në anën e djathtë të barazisë së fundit:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Kështu, arrijmë në ekuacionin x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ekuivalent me ekuacionin origjinal a x 2 + b x + c = 0.

Zgjidhjen e ekuacioneve të tilla e shqyrtuam në paragrafët e mëparshëm (zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota). Përvoja e fituar tashmë bën të mundur nxjerrjen e një përfundimi në lidhje me rrënjët e ekuacionit x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• me b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kur b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, ekuacioni është x + b 2 · a 2 = 0, atëherë x + b 2 · a = 0.

Prej këtu e vetmja rrënjë x = - b 2 · a është e dukshme;

• për b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, do të jetë e vërtetë: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ose x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , e cila është e njëjtë me x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ose x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , d.m.th. ekuacioni ka dy rrënjë.

Mund të konkludohet se prania ose mungesa e rrënjëve të ekuacionit x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (dhe për rrjedhojë ekuacioni origjinal) varet nga shenja e shprehjes b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 i shkruar në anën e djathtë. Dhe shenja e kësaj shprehjeje jepet me shenjën e numëruesit, (emëruesi 4 a 2 do të jetë gjithmonë pozitive), domethënë shenja e shprehjes b 2 − 4 a c. Kjo shprehje b 2 − 4 a c jepet emri - diskriminuesi i ekuacionit kuadratik dhe si emërtim i tij përcaktohet shkronja D. Këtu mund të shkruani thelbin e diskriminuesit - bazuar në vlerën dhe shenjën e tij, ata mund të konkludojnë nëse ekuacioni kuadratik do të ketë rrënjë reale, dhe, nëse po, cili është numri i rrënjëve - një ose dy.

Le të kthehemi te ekuacioni x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Le ta rishkruajmë duke përdorur shënimin diskriminues: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Le të formulojmë përsëri përfundimet tona:

Përkufizimi 9

• në D< 0 ekuacioni nuk ka rrënjë reale;
• në D=0 ekuacioni ka një rrënjë të vetme x = - b 2 · a ;
• në D > 0 ekuacioni ka dy rrënjë: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ose x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Në bazë të vetive të radikaleve, këto rrënjë mund të shkruhen në formën: x = - b 2 · a + D 2 · a ose - b 2 · a - D 2 · a. Dhe, kur hapim modulet dhe i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët, marrim: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Pra, rezultati i arsyetimit tonë ishte derivimi i formulës për rrënjët e një ekuacioni kuadratik:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminues D llogaritur me formulë D = b 2 − 4 a c.

Këto formula bëjnë të mundur përcaktimin e të dy rrënjëve reale kur diskriminuesi është më i madh se zero. Kur diskriminuesi është zero, aplikimi i të dyja formulave do të japë të njëjtën rrënjë si zgjidhjen e vetme të ekuacionit kuadratik. Në rastin kur diskriminuesi është negativ, nëse përpiqemi të përdorim formulën e rrënjës kuadratike, do të përballemi me nevojën për të marrë rrënjën katrore të një numri negativ, gjë që do të na çojë përtej fushëveprimit të numrave realë. Me një diskriminues negativ, ekuacioni kuadratik nuk do të ketë rrënjë reale, por është i mundur një çift rrënjësh komplekse të konjuguara, të përcaktuara nga të njëjtat formula rrënjë që kemi marrë.

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulat rrënjë

Është e mundur të zgjidhet një ekuacion kuadratik duke përdorur menjëherë formulën e rrënjës, por kjo zakonisht bëhet kur është e nevojshme të gjenden rrënjë komplekse.

Në shumicën e rasteve, zakonisht nënkupton kërkimin jo të kompleksit, por të rrënjëve reale të një ekuacioni kuadratik. Më pas është optimale, përpara se të përdorni formulat për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, që fillimisht të përcaktohet diskriminuesi dhe të sigurohemi që ai të mos jetë negativ (përndryshe do të konkludojmë se ekuacioni nuk ka rrënjë reale), dhe më pas të vazhdojmë të llogarisim vlera e rrënjëve.

Arsyetimi i mësipërm bën të mundur formulimin e një algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik.

Përkufizimi 10

Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik a x 2 + b x + c = 0, e nevojshme:

• sipas formulës D = b 2 − 4 a c gjeni vlerën diskriminuese;
• në D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• për D = 0, gjeni rrënjën e vetme të ekuacionit duke përdorur formulën x = - b 2 · a ;
• për D > 0, përcaktoni dy rrënjë reale të ekuacionit kuadratik duke përdorur formulën x = - b ± D 2 · a.

Vini re se kur diskriminuesi është zero, mund të përdorni formulën x = - b ± D 2 · a, ajo do të japë të njëjtin rezultat si formula x = - b 2 · a.

Le të shohim shembuj.

Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike

Le të japim një zgjidhje për shembujt për kuptime të ndryshme diskriminuese.

Shembulli 6

Duhet të gjejmë rrënjët e ekuacionit x 2 + 2 x − 6 = 0.

Zgjidhje

Le të shkruajmë koeficientët numerikë të ekuacionit kuadratik: a = 1, b = 2 dhe c = - 6. Më pas vazhdojmë sipas algoritmit, d.m.th. Le të fillojmë llogaritjen e diskriminuesit, për të cilin do të zëvendësojmë koeficientët a, b. Dhe c në formulën diskriminuese: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Pra marrim D > 0, që do të thotë se ekuacioni origjinal do të ketë dy rrënjë reale.
Për t'i gjetur ato, ne përdorim formulën rrënjë x = - b ± D 2 · a dhe, duke zëvendësuar vlerat përkatëse, marrim: x = - 2 ± 28 2 · 1. Le të thjeshtojmë shprehjen që rezulton duke hequr faktorin nga shenja e rrënjës dhe më pas duke zvogëluar thyesën:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ose x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ose x = - 1 - 7

Përgjigje: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Shembulli 7

Nevoja për të zgjidhur një ekuacion kuadratik − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Zgjidhje

Le të përcaktojmë diskriminuesin: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Me këtë vlerë të diskriminuesit, ekuacioni origjinal do të ketë vetëm një rrënjë, e përcaktuar me formulën x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Përgjigje: x = 3,5.

Shembulli 8

Ekuacioni duhet të zgjidhet 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Zgjidhje

Koeficientët numerikë të këtij ekuacioni do të jenë: a = 5, b = 6 dhe c = 2. Ne përdorim këto vlera për të gjetur diskriminuesin: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Diskriminuesi i llogaritur është negativ, kështu që ekuacioni kuadratik origjinal nuk ka rrënjë reale.

Në rastin kur detyra është të tregojmë rrënjë komplekse, ne aplikojmë formulën rrënjësore, duke kryer veprime me numra komplekse:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 ose x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ose x = - 3 5 - 1 5 · i.

Përgjigje: nuk ka rrënjë të vërteta; rrënjët komplekse janë si më poshtë: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

NË kurrikula shkollore Nuk ka asnjë kërkesë standarde për të kërkuar rrënjë komplekse, prandaj, nëse gjatë zgjidhjes përcaktohet se diskriminuesi është negativ, menjëherë shkruhet përgjigjja se nuk ka rrënjë të vërteta.

Formula rrënjësore për koeficientët edhe të dytë

Formula e rrënjës x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) bën të mundur marrjen e një formule tjetër, më kompakte, duke lejuar që dikush të gjejë zgjidhje për ekuacionet kuadratike me një koeficient çift për x ( ose me një koeficient të formës 2 · n, për shembull, 2 3 ose 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Le të tregojmë se si rrjedh kjo formulë.

Le të përballemi me detyrën për të gjetur një zgjidhje për ekuacionin kuadratik a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Ne vazhdojmë sipas algoritmit: përcaktojmë diskriminuesin D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), dhe më pas përdorim formulën rrënjësore:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Shprehja n 2 − a · c le të shënohet si D 1 (nganjëherë shënohet D "). Atëherë formula për rrënjët e ekuacionit kuadratik në shqyrtim me koeficientin e dytë 2 · n do të marrë formën:

x = - n ± D 1 a, ku D 1 = n 2 − a · c.

Është e lehtë të shihet se D = 4 · D 1, ose D 1 = D 4. Me fjalë të tjera, D 1 është një e katërta e diskriminuesit. Natyrisht, shenja e D 1 është e njëjtë me shenjën e D, që do të thotë se shenja e D 1 mund të shërbejë gjithashtu si një tregues i pranisë ose mungesës së rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Përkufizimi 11

Kështu, për të gjetur një zgjidhje për një ekuacion kuadratik me një koeficient të dytë prej 2 n, është e nevojshme:

• gjeni D 1 = n 2 − a · c ;
• në D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kur D 1 = 0, përcaktoni rrënjën e vetme të ekuacionit duke përdorur formulën x = - n a;
• për D 1 > 0, përcaktoni dy rrënjë reale duke përdorur formulën x = - n ± D 1 a.

Shembulli 9

Është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni kuadratik 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Zgjidhje

Koeficientin e dytë të ekuacionit të dhënë mund ta paraqesim si 2 · (− 3) . Pastaj e rishkruajmë ekuacionin e dhënë kuadratik si 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, ku a = 5, n = − 3 dhe c = − 32.

Le të llogarisim pjesën e katërt të diskriminuesit: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Vlera që rezulton është pozitive, që do të thotë se ekuacioni ka dy rrënjë reale. Le t'i përcaktojmë ato duke përdorur formulën përkatëse të rrënjës:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ose x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ose x = - 2

Do të ishte e mundur të kryheshin llogaritjet duke përdorur formulën e zakonshme për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, por në këtë rast zgjidhja do të ishte më e rëndë.

Përgjigje: x = 3 1 5 ose x = - 2 .

Thjeshtimi i formës së ekuacioneve kuadratike

Ndonjëherë është e mundur të optimizohet forma e ekuacionit origjinal, gjë që do të thjeshtojë procesin e llogaritjes së rrënjëve.

Për shembull, ekuacioni kuadratik 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 është qartësisht më i përshtatshëm për t'u zgjidhur se 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Më shpesh, thjeshtimi i formës së një ekuacioni kuadratik kryhet duke shumëzuar ose pjesëtuar të dy anët e tij me një numër të caktuar. Për shembull, më lart treguam një paraqitje të thjeshtuar të ekuacionit 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, të marrë duke pjesëtuar të dyja anët me 100.

Një transformim i tillë është i mundur kur koeficientët e ekuacionit kuadratik nuk janë numra koprim. Atëherë ne zakonisht i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me pjesëtuesin më të madh të përbashkët vlerat absolute koeficientët e tij.

Si shembull, ne përdorim ekuacionin kuadratik 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Le të përcaktojmë GCD të vlerave absolute të koeficientëve të tij: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Le të ndajmë të dyja anët e ekuacionit kuadratik origjinal me 6 dhe të marrim ekuacionin kuadratik ekuivalent 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Duke shumëzuar të dyja anët e një ekuacioni kuadratik, zakonisht shpëtoni nga koeficientët thyesorë. Në këtë rast, ata shumëzohen me shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të koeficientëve të tij. Për shembull, nëse secila pjesë e ekuacionit kuadratik 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 shumëzohet me LCM (6, 3, 1) = 6, atëherë do të shkruhet në më shumë në formë të thjeshtë x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Së fundi, vërejmë se pothuajse gjithmonë heqim qafe minusin në koeficientin e parë të një ekuacioni kuadratik duke ndryshuar shenjat e secilit term të ekuacionit, i cili arrihet duke shumëzuar (ose pjesëtuar) të dyja anët me - 1. Për shembull, nga ekuacioni kuadratik − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, mund të shkoni në versionin e tij të thjeshtuar 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Marrëdhënia midis rrënjëve dhe koeficientëve

Formula për rrënjët e ekuacioneve kuadratike, tashmë e njohur për ne, x = - b ± D 2 · a, shpreh rrënjët e ekuacionit nëpërmjet koeficientëve të tij numerikë. Duke u mbështetur në këtë formulë, kemi mundësinë të specifikojmë varësi të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve.

Formulat më të famshme dhe më të zbatueshme janë teorema e Vieta:

x 1 + x 2 = - b a dhe x 2 = c a.

Në veçanti, për ekuacionin e dhënë kuadratik, shuma e rrënjëve është koeficienti i dytë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. Për shembull, duke parë formën e ekuacionit kuadratik 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, është e mundur që menjëherë të përcaktohet se shuma e rrënjëve të tij është 7 3 dhe prodhimi i rrënjëve është 22 3.

Ju gjithashtu mund të gjeni një sërë lidhjesh të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik. Për shembull, shuma e katrorëve të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik mund të shprehet në terma të koeficientëve:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter