Probabiliteti klasik. Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme

Ky është raporti i numrit të atyre vëzhgimeve në të cilat ka ndodhur ngjarja në fjalë me numrin e përgjithshëm të vëzhgimeve. Ky interpretim është i pranueshëm në rast të mjaftueshëm sasi e madhe vëzhgime apo eksperimente. Për shembull, nëse rreth gjysma e njerëzve që takoni në rrugë janë gra, atëherë mund të thoni se probabiliteti që personi që takoni në rrugë të jetë grua është 1/2. Me fjalë të tjera, një vlerësim i probabilitetit të një ngjarjeje mund të jetë frekuenca e shfaqjes së saj në një seri të gjatë përsëritjesh të pavarura të një eksperimenti të rastësishëm.

Probabiliteti në matematikë

Në qasjen moderne matematikore, probabiliteti klasik (d.m.th., jo kuantik) jepet nga aksiomatika Kolmogorov. Probabiliteti është një masë P, e cila përcaktohet në set X, e quajtur hapësira e probabilitetit. Kjo masë duhet të ketë karakteristikat e mëposhtme:

Nga këto kushte del se masa e probabilitetit P ka edhe pronën aditiviteti: nëse vendoset A 1 dhe A 2 nuk kryqëzohen, atëherë . Për të vërtetuar, duhet të vendosni gjithçka A 3 , A 4 , ... baraz me grupin bosh dhe zbato vetinë e aditivitetit të numërueshëm.

Masa e probabilitetit mund të mos përcaktohet për të gjitha nëngrupet e grupit X. Mjafton ta përcaktojmë atë në një algjebër sigma, të përbërë nga disa nënbashkësi të grupit X. Në këtë rast, ngjarjet e rastësishme përcaktohen si nënbashkësi të matshme të hapësirës X, pra si elemente të algjebrës sigma.

Ndjenja e probabilitetit

Kur zbulojmë se arsyet për disa fakte të mundshme që ndodhin në të vërtetë tejkalojnë arsyet e kundërta, ne e konsiderojmë atë fakt e mundshme, ndryshe - e pabesueshme. Ky mbizotërim i bazave pozitive ndaj atyre negative, dhe anasjelltas, mund të përfaqësojë një grup të pacaktuar shkallësh, si rezultat i të cilave probabiliteti(Dhe pamundësi) Ndodh më shumë ose më pak .

Faktet komplekse individuale nuk lejojnë një llogaritje të saktë të shkallëve të probabilitetit të tyre, por edhe këtu është e rëndësishme të krijohen disa nënndarje të mëdha. Kështu, për shembull, në fushën juridike, kur një fakt personal objekt gjykimi vërtetohet mbi bazën e dëshmisë, ai mbetet gjithmonë, në mënyrë rigoroze, vetëm i mundshëm dhe duhet ditur se sa e rëndësishme është kjo probabilitet; në të drejtën romake, këtu u miratua një ndarje e katërfishtë: probatio plena(ku probabiliteti praktikisht shndërrohet në besueshmëria), Me tutje - probatio minus plena, pastaj - probatio semiplena major dhe në fund probatio semiplena minor .

Përveç çështjes së mundësisë së rastit, mund të lindë pyetja, si në fushën e së drejtës ashtu edhe në atë moral (me një këndvështrim të caktuar etik), se sa e mundshme ka që një fakt i caktuar të përbëjë një shkelje e drejta e zakonshme. Kjo pyetje, e cila shërben si motivi kryesor në jurisprudencën fetare të Talmudit, gjithashtu shkaktoi ndërtime sistematike shumë komplekse dhe një literaturë të madhe, dogmatike dhe polemike, në teologjinë morale katolike romake (veçanërisht nga fundi i shekullit të 16-të) shih Probabilizëm).

Koncepti i probabilitetit lejon një shprehje të caktuar numerike kur zbatohet vetëm për fakte të tilla që janë pjesë e serive të caktuara homogjene. Pra (në shembullin më të thjeshtë), kur dikush hedh një monedhë njëqind herë radhazi, ne gjejmë këtu një seri të përgjithshme ose të madhe (shuma e të gjitha rënieve të monedhës), e përbërë nga dy private ose më të vogla, në këtë rast numerikisht. e barabartë, seri (bie " koka" dhe bie "bisht"); Probabiliteti që këtë herë monedha të zbarkojë, domethënë që ky anëtar i ri i serisë së përgjithshme t'i përkasë kësaj prej dy serive më të vogla, është i barabartë me fraksionin që shpreh marrëdhënien numerike midis kësaj serie të vogël dhe asaj më të madhe, gjegjësisht 1/2, domethënë, i njëjti probabilitet i përket njërës ose tjetrës nga dy seri të veçanta. Më pak shembuj të thjeshtë përfundimi nuk mund të nxirret drejtpërdrejt nga të dhënat e vetë problemit, por kërkon induksion paraprak. Kështu, për shembull, pyetja është: sa është probabiliteti që një i porsalindur i caktuar të jetojë deri në 80 vjeç? Këtu duhet të ketë një seri të përgjithshme, ose të madhe, të një numri të caktuar njerëzish të lindur në kushte të ngjashme dhe që vdesin në mosha të ndryshme (ky numër duhet të jetë mjaftueshëm i madh për të eliminuar devijimet e rastësishme dhe mjaftueshëm i vogël për të ruajtur homogjenitetin e serisë, për për një person, i lindur, për shembull, në Shën Petersburg në një familje të pasur, të kulturuar, e gjithë popullsia milionashe e qytetit, një pjesë e konsiderueshme e së cilës përbëhet nga njerëz nga grupe të ndryshme që mund të vdesin para kohe - ushtarë, gazetarë, punëtorët në profesione të rrezikshme - përfaqëson një grup shumë heterogjen për një përcaktim real të probabilitetit); le të përbëhet ky rresht i përgjithshëm prej dhjetë mijë jetë njerëzore; ai përfshin seri më të vogla që përfaqësojnë numrin e njerëzve që mbijetojnë në një moshë të caktuar; një nga këto seri më të vogla përfaqëson numrin e njerëzve që jetojnë deri në moshën 80 vjeç. Por është e pamundur të përcaktohet numri i kësaj serie më të vogël (si gjithë të tjerët) A priori; kjo bëhet thjesht në mënyrë induktive, nëpërmjet statistikave. Supozoni se studimet statistikore kanë vërtetuar se nga 10,000 banorë të klasës së mesme në Shën Petersburg, vetëm 45 jetojnë deri në 80 vjeç; Kështu, kjo seri më e vogël lidhet me atë më të madhe pasi 45 është me 10,000, dhe probabiliteti që një person i caktuar t'i përkasë kësaj serie më të vogël, domethënë të jetojë deri në 80 vjeç, shprehet si fraksion 0.0045. Studimi i probabilitetit nga pikëpamja matematikore përbën një disiplinë të veçantë - teorinë e probabilitetit.

Shiko gjithashtu

Shënime

Letërsia

  • Alfred Renyi. Letra mbi probabilitetin / trans. nga hungarezja D. Saas dhe A. Crumley, eds. B.V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
  • Gnedenko B.V. Kursi i teorisë së probabilitetit. M., 2007. 42 f.
  • Kuptsov V.I. Determinizmi dhe probabiliteti. M., 1976. 256 f.

Fondacioni Wikimedia. 2010.

Sinonimet:

Antonimet:

Shihni se çfarë është "Probabiliteti" në fjalorë të tjerë:

    Të përgjithshme shkencore dhe filozofike. një kategori që tregon shkallën sasiore të mundësisë së shfaqjes së ngjarjeve të rastësishme masive në kushte fikse vëzhgimi, duke karakterizuar qëndrueshmërinë e frekuencave të tyre relative. Në logjikë, shkallë semantike... ... Enciklopedi Filozofike

    PROBABILITETI, një numër në rangun nga zero deri në një përfshirës, ​​që përfaqëson mundësinë e ndodhjes së një ngjarjeje të caktuar. Probabiliteti i një ngjarjeje përcaktohet si raporti i numrit të shanseve që një ngjarje të mund të ndodhë me numrin total të të mundshmeve... ... Fjalor enciklopedik shkencor dhe teknik

    Sipas të gjitha gjasave.. Fjalor sinonimesh ruse dhe shprehje të ngjashme. nën. ed. N. Abramova, M.: Fjalorët rusë, 1999. probabiliteti mundësia, gjasat, rastësia, mundësia objektive, maza, pranueshmëria, rreziku. Ant. pamundesi...... Fjalor sinonimik

    probabiliteti- Një masë që një ngjarje ka gjasa të ndodhë. shënim Përkufizimi matematik probabiliteti: "një numër real midis 0 dhe 1 që lidhet me një ngjarje të rastësishme." Numri mund të pasqyrojë frekuencën relative në një seri vëzhgimesh... ... Udhëzues teknik i përkthyesit

    Probabiliteti- "matematikore, karakteristikë numerike shkalla e mundësisë së ndodhjes së ndonjë ngjarjeje në kushte të caktuara specifike që mund të përsëritet një numër të pakufizuar herë." Bazuar në këtë klasik... ... Fjalor ekonomik dhe matematikor

    - (probabiliteti) Mundësia e ndodhjes së një ngjarjeje ose të një rezultati të caktuar. Mund të paraqitet në formën e një shkalle me ndarje nga 0 në 1. Nëse probabiliteti i një ngjarjeje është zero, ndodhja e saj është e pamundur. Me një probabilitet të barabartë me 1, fillimi i... Fjalor i termave të biznesit

Koncepti kryesor i teorisë së probabilitetit është koncepti i një ngjarjeje të rastësishme. Ngjarje e rastësishmeështë një ngjarje që mund të ndodhë ose jo nëse plotësohen disa kushte. Për shembull, goditja e një objekti të caktuar ose humbja kur gjuan në këtë objekt nga një armë e caktuar është një ngjarje e rastësishme.

Ngjarja quhet të besueshme, nëse si rezultat i testit ndodh domosdoshmërisht. E pamundur Quhet një ngjarje që nuk mund të ndodhë si rezultat i testit.

Ngjarjet e rastësishme quhen të papajtueshme në një gjykim të caktuar nëse asnjë prej tyre nuk mund të paraqiten së bashku.

Forma e ngjarjeve të rastësishme grupi i plotë, nëse gjatë çdo prove mund të shfaqet ndonjë prej tyre dhe nuk mund të shfaqet asnjë ngjarje tjetër e papajtueshme me to.

Le të shqyrtojmë grupin e plotë të ngjarjeve të rastësishme të papajtueshme po aq të mundshme. Ne do t'i quajmë ngjarje të tilla rezultatet ose ngjarjet elementare. Rezultati quhet i favorshëm ndodhja e ngjarjes $A$, nëse shfaqja e këtij rezultati sjell ndodhjen e ngjarjes $A$.

Shembull. Urna përmban 8 topa të numëruar (çdo top ka një numër nga 1 në 8). Topat me numrat 1, 2, 3 janë të kuq, pjesa tjetër janë të zeza. Shfaqja e një topi me numrin 1 (ose numrin 2 ose numrin 3) është një ngjarje e favorshme për shfaqjen e topit të kuq. Shfaqja e një topi me numrin 4 (ose numrin 5, 6, 7, 8) është një ngjarje e favorshme për shfaqjen e një topi të zi.

Probabiliteti i ngjarjes$A$ është raporti i numrit $m$ të rezultateve të favorshme për këtë ngjarje me numrin total $n$ të të gjitha rezultateve elementare të papajtueshme po aq të mundshme që formojnë grupin e plotë $$P(A)=\frac(m)( n). \katër(1)$$

Prona 1. Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me një
Prona 2. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero.
Prona 3. Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme është një numër pozitiv midis zeros dhe një.

Pra, probabiliteti i çdo ngjarjeje plotëson pabarazinë e dyfishtë $0 \le P(A) \le 1$ .

Materiale të dobishme

Llogaritësi në internet

Një numër i madh problemesh të zgjidhura duke përdorur formulën (1) kanë të bëjnë me temën e probabilitetit hipergjeometrik. Më poshtë mund të gjeni përshkrime të problemeve të njohura dhe kalkulatorë në internet për zgjidhjet e tyre duke përdorur lidhjet:

  • Problemi me topat (ka $k$ topa të bardhë dhe $n$ të zinj në një urnë, topat $m$ janë nxjerrë jashtë...)
  • Problem me pjesët (një kuti përmban pjesë standarde $k$ dhe $n$ me defekt, pjesët $m$ janë hequr...)
  • Problemi me biletat e lotarisë (ka bileta $k$ fituese dhe $n$ jofituese në llotari, biletat $m$ janë blerë...)

Artikuj edukativë me shembuj

  • Si të gjeni probabilitetin në problemet e hedhjes së monedhës?

Shembuj zgjidhjesh për probabilitetin klasik

Shembull. Në urnë ka 10 topa të numëruar me numra nga 1 deri në 10. Një top nxirret jashtë. Sa është probabiliteti që numri i topit të tërhequr të mos kalojë 10?

Zgjidhje. Lëreni ngjarjen A= (Numri i topit të tërhequr nuk i kalon 10). Numri i rasteve që favorizojnë ndodhjen e ngjarjes A e barabartë me numrin e të gjithëve rastet e mundshme m=n=10. Prandaj, R(A)=1. Ngjarje Dhe e besueshme.

Shembull. Ka 10 topa në një urnë: 6 të bardha dhe 4 të zeza. Janë nxjerrë dy topa. Sa është probabiliteti që të dy topat të jenë të bardhë?

Zgjidhje. Ju mund të hiqni dy topa nga dhjetë në mënyrat e mëposhtme: .
Numri i herëve që do të ketë dy topa të bardhë midis këtyre dy topave është .
Probabiliteti i kërkuar
.

Shembull. Ka 15 topa në një urnë: 5 të bardha dhe 10 të zeza. Sa është probabiliteti për të nxjerrë një top blu nga urna?

Zgjidhje. Meqenëse nuk ka topa blu në urnë, atëherë m=0, n=15. Prandaj, probabiliteti i kërkuar R=0. Ngjarja e vizatimit të topit blu e pamundur.

Shembull. Një kartë nxirret nga një kuvertë me 36 letra. Sa është probabiliteti që një kartë të shfaqet në kostumin e zemrës?

Zgjidhje. Numri i rezultateve elementare (numri i letrave) n=36. Ngjarje A= (Shfaqja e një karte të kostumit të zemrës). Numri i rasteve që favorizojnë ndodhjen e ngjarjes A, m=9. Prandaj,
.

  • Probabiliteti është shkalla (masa relative, vlerësimi sasior) i mundësisë së ndodhjes së ndonjë ngjarjeje. Kur arsyet për një ngjarje të mundshme që të ndodhë në fakt tejkalojnë arsyet e kundërta, atëherë kjo ngjarje quhet e mundshme, përndryshe - e pamundur ose e pamundur. Mbizotërimi i arsyeve pozitive ndaj atyre negative, dhe anasjelltas, mund të jetë në shkallë të ndryshme, si rezultat i të cilave probabiliteti (dhe pamundësia) mund të jetë më i madh ose më i vogël. Prandaj, probabiliteti shpesh vlerësohet në nivel cilësor, veçanërisht në rastet kur një vlerësim sasior pak a shumë i saktë është i pamundur ose jashtëzakonisht i vështirë. Gradime të ndryshme të "niveleve" të probabilitetit janë të mundshme.

    Studimi i probabilitetit nga pikëpamja matematikore përbën një disiplinë të veçantë - teorinë e probabilitetit. Në teorinë e probabilitetit dhe statistika matematikore koncepti i probabilitetit zyrtarizohet si një karakteristikë numerike e një ngjarjeje - një masë probabiliteti (ose vlera e saj) - një masë në një grup ngjarjesh (nëngrupe të një grupi ngjarjesh elementare), duke marrë vlera nga

    (\displaystyle 0)

    (\displaystyle 1)

    Kuptimi

    (\displaystyle 1)

    Korrespondon me një ngjarje të besueshme. Një ngjarje e pamundur ka një probabilitet prej 0 (e kundërta në përgjithësi nuk është gjithmonë e vërtetë). Nëse probabiliteti për të ndodhur një ngjarje është

    (\displaystyle p)

    Atëherë probabiliteti i mosndodhjes së tij është i barabartë me

    (\displaystyle 1-p)

    Në veçanti, probabiliteti

    (\displaystyle 1/2)

    Do të thotë probabilitet i barabartë i ndodhjes dhe mosndodhjes së një ngjarjeje.

    Përkufizimi klasik i probabilitetit bazohet në konceptin e probabilitetit të barabartë të rezultateve. Probabiliteti është raporti i numrit të rezultateve të favorshme për një ngjarje të caktuar me numrin total të rezultateve po aq të mundshme. Për shembull, probabiliteti për të marrë kokat ose bishtat në një hedhje të rastësishme të monedhës është 1/2 nëse supozohet se ndodhin vetëm këto dy mundësi dhe se ato janë njësoj të mundshme. Ky "përkufizim" klasik i probabilitetit mund të përgjithësohet në rastin e një numri të pafund vlerash të mundshme - për shembull, nëse një ngjarje mund të ndodhë me probabilitet të barabartë në çdo pikë (numri i pikave është i pafund) i një rajoni të kufizuar të hapësirë ​​(rrafsh), atëherë probabiliteti që do të ndodhë në ndonjë pjesë të këtij rajoni të realizueshëm është i barabartë me raportin e vëllimit (sipërfaqes) të kësaj pjese me vëllimin (sipërfaqen) e rajonit të të gjitha pikave të mundshme.

    “Përkufizimi” empirik i probabilitetit lidhet me shpeshtësinë e një ngjarjeje, bazuar në faktin se me një numër mjaft të madh provash, frekuenca duhet të priret në shkallën objektive të mundësisë së kësaj ngjarjeje. Në paraqitjen moderne të teorisë së probabilitetit, probabiliteti përkufizohet në mënyrë aksiomatike si rast i veçantë teoria abstrakte e masës së caktuar. Megjithatë, lidhja lidhëse ndërmjet masës abstrakte dhe probabilitetit, që shpreh shkallën e mundësisë së ndodhjes së një ngjarjeje, është pikërisht frekuenca e vëzhgimit të saj.

    Përshkrimi probabilistik i disa fenomeneve është bërë i përhapur në shkenca moderne, veçanërisht në ekonometrinë, fizikën statistikore të sistemeve makroskopike (termodinamike), ku edhe në rastin e një përshkrimi klasik determinist të lëvizjes së grimcave, një përshkrim determinist i të gjithë sistemit të grimcave nuk duket praktikisht i mundshëm dhe i përshtatshëm. Në fizikën kuantike, proceset e përshkruara janë në vetvete probabiliste në natyrë.

Shënime të rëndësishme!
1. Nëse shihni gobbledygook në vend të formulave, pastroni cache-in tuaj. Si ta bëni këtë në shfletuesin tuaj është shkruar këtu:
2. Para se të filloni të lexoni artikullin, kushtojini më shumë vëmendje navigatorit tonë burim i dobishëm Për

Çfarë është probabiliteti?

Herën e parë që ndesha këtë term, nuk do ta kisha kuptuar se çfarë ishte. Prandaj, do të përpiqem të shpjegoj qartë.

Probabiliteti është mundësia që ngjarja që duam të ndodhë.

Për shembull, keni vendosur të shkoni në shtëpinë e një miku, ju kujtohet hyrja dhe madje edhe dyshemeja në të cilën ai jeton. Por harrova numrin dhe vendndodhjen e banesës. Dhe tani ju jeni duke qëndruar në shkallë, dhe para jush ka dyer për të zgjedhur.

Sa është mundësia (probabiliteti) që nëse i bini ziles së parë, shoku juaj do t'i përgjigjet derës për ju? Ka vetëm apartamente dhe një mik jeton vetëm pas njërit prej tyre. Me një shans të barabartë ne mund të zgjedhim çdo derë.

Por cili është ky shans?

Dera, dera e duhur. Mundësia për të marrë me mend duke rënë ziles së parë të derës: . Kjo do të thotë, një herë në tre do të merrni me mend me saktësi.

Ne duam të dimë, pasi kemi telefonuar një herë, sa shpesh do ta marrim me mend derën? Le të shohim të gjitha opsionet:

  1. Ju thirrët 1 dera
  2. Ju thirrët 2 dera
  3. Ju thirrët 3 dera

Tani le të shohim të gjitha opsionet ku mund të jetë një mik:

A. Mbrapa 1 dera
b. Mbrapa 2 dera
V. Mbrapa 3 dera

Le të krahasojmë të gjitha opsionet në formë tabele. Një pikë kontrolli tregon opsionet kur zgjedhja juaj përkon me vendndodhjen e një miku, një kryq - kur nuk përkon.

Si i sheh të gjitha Ndoshta opsione vendndodhjen e mikut tuaj dhe zgjedhjen tuaj se cilës derë duhet t'i bini ziles.

A rezultate të favorshme për gjithçka . Domethënë, do të merrni me mend një herë duke i rënë ziles një herë, d.m.th. .

Ky është probabiliteti - raporti i një rezultati të favorshëm (kur zgjedhja juaj përkon me vendndodhjen e mikut tuaj) me numrin e ngjarjeve të mundshme.

Përkufizimi është formula. Probabiliteti zakonisht shënohet me p, kështu që:

Nuk është shumë i përshtatshëm për të shkruar një formulë të tillë, kështu që le të marrim për - numrin e rezultateve të favorshme, dhe për - total rezultatet.

Probabiliteti mund të shkruhet si përqindje për ta bërë këtë, ju duhet të shumëzoni rezultatin që rezulton me:

Fjala "rezultate" ndoshta ju tërhoqi vëmendjen. Sepse matematikanët thërrasin veprime të ndryshme(në vendin tonë një veprim i tillë është një zile) eksperimente, atëherë rezultati i eksperimenteve të tilla zakonisht quhet rezultat.

Epo, ka rezultate të favorshme dhe të pafavorshme.

Le të kthehemi te shembulli ynë. Le të themi se kemi rënë në njërën nga dyert, por ajo u hap për ne i huaj. Nuk e morëm me mend si duhet. Sa është probabiliteti që nëse i biem njërës nga dyert e mbetura, shoku ynë do ta hapë atë për ne?

Nëse keni menduar kështu, atëherë ky është një gabim. Le ta kuptojmë.

Kemi dy dyer të mbetura. Pra, ne kemi hapat e mundshëm:

1) Thirrni 1 dera
2) Thirrni 2 dera

Miku, përkundër gjithë kësaj, është padyshim pas njërit prej tyre (në fund të fundit, ai nuk ishte pas atij që ne thirrëm):

a) Mik për 1 dera
b) Mik për 2 dera

Le të vizatojmë përsëri tabelën:

Siç mund ta shihni, ka vetëm opsione, nga të cilat janë të favorshme. Kjo do të thotë, probabiliteti është i barabartë.

Pse jo?

Situata që kemi shqyrtuar është shembull i ngjarjeve të varura. Ngjarja e parë është zilja e parë, ngjarja e dytë është zilja e dytë.

Dhe quhen të varur sepse ndikojnë në veprimet e mëposhtme. Në fund të fundit, nëse pas ziles së parë ziles i përgjigjej një mik, sa do të ishte probabiliteti që ai të ishte pas njërit nga dy të tjerët? E drejta,.

Por nëse ka ngjarje të varura, atëherë duhet të ketë gjithashtu të pavarur? Kjo është e drejtë, ato ndodhin.

Një shembull i tekstit shkollor është hedhja e një monedhe.

  1. Hidhe një monedhë një herë. Sa është probabiliteti për të marrë koka, për shembull? Kjo është e drejtë - sepse ka të gjitha opsionet (ose kokat ose bishtat, ne do të neglizhojmë mundësinë e uljes së monedhës në buzë), por kjo na përshtatet vetëm neve.
  2. Por doli kokat. Mirë, le ta hedhim përsëri. Sa është probabiliteti për të marrë koka tani? Asgjë nuk ka ndryshuar, gjithçka është njësoj. Sa opsione? Dy. Me sa jemi të kënaqur? Një.

Dhe le të ngrihet lart të paktën një mijë herë radhazi. Probabiliteti për të marrë kokat menjëherë do të jetë i njëjtë. Gjithmonë ka opsione, dhe ato të favorshme.

Është e lehtë të dallosh ngjarjet e varura nga ato të pavarura:

  1. Nëse eksperimenti kryhet një herë (ata hedhin një monedhë një herë, i bien ziles një herë, etj.), atëherë ngjarjet janë gjithmonë të pavarura.
  2. Nëse një eksperiment kryhet disa herë (një monedhë hidhet një herë, zilja e derës i bihet disa herë), atëherë ngjarja e parë është gjithmonë e pavarur. Dhe pastaj, nëse numri i atyre të favorshme ose numri i të gjitha rezultateve ndryshon, atëherë ngjarjet janë të varura, dhe nëse jo, ato janë të pavarura.

Le të praktikojmë pak përcaktimin e probabilitetit.

Shembulli 1.

Monedha hidhet dy herë. Sa është probabiliteti për të marrë koka dy herë radhazi?

Zgjidhja:

Le të shqyrtojmë të gjitha opsionet e mundshme:

  1. Shqiponjë-shqiponjë
  2. Koka-bisht
  3. Bishtat-Kokat
  4. Bishta-bisht

Siç mund ta shihni, ka vetëm opsione. Nga këto, ne jemi vetëm të kënaqur. Kjo është, probabiliteti:

Nëse kushti kërkon thjesht gjetjen e probabilitetit, atëherë përgjigja duhet të jepet në formë dhjetore. Nëse do të specifikohej se përgjigja duhet të jepet në përqindje, atëherë do të shumëzoheshim me.

Përgjigje:

Shembulli 2.

Në një kuti me çokollata, të gjitha çokollatat janë të paketuara në të njëjtin mbështjellës. Megjithatë, nga ëmbëlsirat - me arra, me konjak, me qershi, me karamel dhe me nuga.

Sa është probabiliteti për të marrë një karamele dhe për të marrë një karamele me arra? Jepni përgjigjen tuaj në përqindje.

Zgjidhja:

Sa rezultate të mundshme ka? .

Kjo do të thotë, nëse merrni një karamele, ajo do të jetë një nga ato të disponueshme në kuti.

Sa rezultate të favorshme?

Sepse kutia përmban vetëm çokollata me arra.

Përgjigje:

Shembulli 3.

Në një kuti me balona. prej të cilave janë të bardha dhe të zeza.

  1. Sa është probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë?
  2. Shtuam më shumë topa të zinj në kuti. Sa është tani probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë?

Zgjidhja:

a) Në kuti ka vetëm topa. Prej tyre janë të bardhë.

Probabiliteti është:

b) Tani ka më shumë topa në kuti. Dhe po aq të bardhë kanë mbetur - .

Përgjigje:

Probabiliteti total

Probabiliteti i të gjitha ngjarjeve të mundshme është i barabartë me ().

Le të themi se ka topa të kuq dhe jeshilë në një kuti. Sa është probabiliteti për të vizatuar një top të kuq? Top i gjelbër? Top i kuq apo jeshil?

Probabiliteti për të vizatuar një top të kuq

Topi jeshil:

Top i kuq ose jeshil:

Siç mund ta shihni, shuma e të gjitha ngjarjeve të mundshme është e barabartë me (). Kuptimi i kësaj pike do t'ju ndihmojë të zgjidhni shumë probleme.

Shembulli 4.

Ka shënues në kuti: jeshile, e kuqe, blu, e verdhë, e zezë.

Sa është probabiliteti për të nxjerrë NUK një shënues të kuq?

Zgjidhja:

Le të numërojmë numrin rezultate të favorshme.

JO një shënues i kuq, që do të thotë jeshile, blu, e verdhë ose e zezë.

Probabiliteti që një ngjarje të mos ndodhë është e barabartë me minus probabilitetin që ngjarja të ndodhë.

Rregulla për shumëzimin e probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura

Ju tashmë e dini se çfarë janë ngjarjet e pavarura.

Po sikur të duhet të gjesh probabilitetin që dy (ose më shumë) ngjarje të pavarura të ndodhin me radhë?

Le të themi se duam të dimë se cila është probabiliteti që nëse hedhim një monedhë një herë, do të shohim koka dy herë?

Ne kemi konsideruar tashmë - .

Po sikur të hedhim një monedhë një herë? Sa është probabiliteti për të parë një shqiponjë dy herë radhazi?

Opsionet totale të mundshme:

  1. Shqiponja-shqiponja-shqiponja
  2. Koka-kokë-bisht
  3. Koka-bisht-koka
  4. Kokë-bisht-bisht
  5. Bisht-kokë-kokë
  6. Bisht-kokë-bisht
  7. Bisht-bisht-kokë
  8. Bisht-bisht-bisht

Nuk e di për ju, por kam bërë gabime disa herë kur përpilova këtë listë. Uau! Dhe i vetmi opsion (i pari) na përshtatet.

Për 5 gjuajtje, mund të bëni vetë një listë të rezultateve të mundshme. Por matematikanët nuk janë aq punëtorë sa ju.

Prandaj, ata së pari vunë re dhe më pas vërtetuan se probabiliteti i një sekuence të caktuar ngjarjesh të pavarura çdo herë zvogëlohet me probabilitetin e një ngjarjeje.

Me fjale te tjera,

Le të shohim shembullin e së njëjtës monedhë fatkeqe.

Probabiliteti për të marrë kokat në një sfidë? . Tani e kthejmë monedhën një herë.

Sa është probabiliteti për të marrë kokat me radhë?

Ky rregull nuk funksionon vetëm nëse na kërkohet të gjejmë probabilitetin që e njëjta ngjarje të ndodhë disa herë radhazi.

Nëse do të dëshironim të gjenim sekuencën TAILS-HEADS-TAILS për hedhje të njëpasnjëshme, do të bënim të njëjtën gjë.

Probabiliteti i uljes së kokave është - , koka - .

Probabiliteti për të marrë sekuencën TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Mund ta kontrolloni vetë duke bërë një tabelë.

Rregulli për shtimin e probabiliteteve të ngjarjeve të papajtueshme.

Ndaj ndalo! Përkufizim i ri.

Le ta kuptojmë. Le të marrim monedhën tonë të konsumuar dhe ta hedhim një herë.
Opsionet e mundshme:

  1. Shqiponja-shqiponja-shqiponja
  2. Koka-kokë-bisht
  3. Koka-bisht-koka
  4. Kokë-bisht-bisht
  5. Bisht-kokë-kokë
  6. Bisht-kokë-bisht
  7. Bisht-bisht-kokë
  8. Bisht-bisht-bisht

Pra, ngjarjet e papajtueshme janë një sekuencë e caktuar ngjarjesh. - këto janë ngjarje të papajtueshme.

Nëse duam të përcaktojmë sa është probabiliteti i dy (ose më shumë) ngjarjeve të papajtueshme, atëherë shtojmë probabilitetet e këtyre ngjarjeve.

Ju duhet të kuptoni se kokat ose bishtat janë dy ngjarje të pavarura.

Nëse duam të përcaktojmë probabilitetin që të ndodhë një sekuencë (ose ndonjë tjetër), atëherë përdorim rregullin e shumëzimit të probabiliteteve.
Sa është probabiliteti për të marrë kokat në hedhjen e parë dhe bishtin në hedhjen e dytë dhe të tretë?

Por nëse duam të dimë se cila është probabiliteti për të marrë një nga disa sekuenca, për shembull, kur kokat ngrihen saktësisht një herë, d.m.th. opsionet dhe, atëherë ne duhet të mbledhim probabilitetet e këtyre sekuencave.

Opsionet totale na përshtaten.

Ne mund të marrim të njëjtën gjë duke mbledhur probabilitetet e shfaqjes së çdo sekuence:

Kështu, ne shtojmë probabilitete kur duam të përcaktojmë probabilitetin e sekuencave të caktuara, jokonsistente, të ngjarjeve.

Ekziston një rregull i shkëlqyeshëm për t'ju ndihmuar të mos hutoheni kur të shumëzoni dhe kur të shtoni:

Le të kthehemi te shembulli ku hodhëm një monedhë një herë dhe donim të dinim probabilitetin për të parë kokat një herë.
Cfare do te ndodhe?

Duhet të bjerë jashtë:
(koka AND tails AND tails) OSE (tails AND heads AND tails) OSE (thet AND tails AND heads).
Kështu rezulton:

Le të shohim disa shembuj.

Shembulli 5.

Ka lapsa në kuti. e kuqe, jeshile, portokalli dhe e verdhë dhe e zezë. Sa është probabiliteti për të vizatuar lapsa të kuq ose jeshil?

Zgjidhja:

Shembulli 6.

Nëse një kësulë hidhet dy herë, sa është probabiliteti për të marrë gjithsej 8?

Zgjidhje.

Si mund të marrim pikë?

(dhe) ose (dhe) ose (dhe) ose (dhe) ose (dhe).

Probabiliteti për të marrë një (ndonjë) fytyrë është .

Ne llogarisim probabilitetin:

Trajnimi.

Unë mendoj se tani e kuptoni kur duhet të llogaritni probabilitetet, kur t'i shtoni ato dhe kur t'i shumëzoni ato. A nuk është ajo? Le të praktikojmë pak.

Detyrat:

Le të marrim një kuvertë letrash që përmban letra duke përfshirë lopata, zemra, 13 shkopinj dhe 13 diamante. Nga tek Asi i çdo kostumi.

  1. Sa është probabiliteti i tërheqjes së shkopinjve me radhë (e vendosim kartën e parë të nxjerrë përsëri në kuvertë dhe e përziejmë)?
  2. Sa është probabiliteti për të nxjerrë një karton të zi (lopata ose shkopinj)?
  3. Sa është probabiliteti për të vizatuar një pikturë (jack, mbretëresha, mbret ose asi)?
  4. Sa është probabiliteti për të vizatuar dy piktura me radhë (ne heqim kartën e parë të tërhequr nga kuverta)?
  5. Cila është probabiliteti, duke marrë dy letra, për të mbledhur një kombinim - (jack, mbretëreshë ose mbret) dhe një ACE Sekuenca në të cilën janë tërhequr letrat nuk ka rëndësi?

Përgjigjet:

Nëse keni qenë në gjendje t'i zgjidhni të gjitha problemet vetë, atëherë jeni të mrekullueshëm! Tani do të thyeni problemet e teorisë së probabilitetit në Provimin e Bashkuar të Shtetit si arra!

TEORIA E PROBABILITETIT. NIVELI MESATAR

Le të shohim një shembull. Le të themi se hedhim një kërpudhë. Çfarë lloj kocke është kjo, a e dini? Kjo është ajo që ata e quajnë një kub me numra në faqet e tij. Sa fytyra, kaq shumë numra: nga në sa? Përpara.

Pra, hedhim zarin dhe duam që ai të dalë ose. Dhe ne e marrim atë.

Në teorinë e probabilitetit ata thonë se çfarë ka ndodhur ngjarje e mbarë(të mos ngatërrohet me të begatë).

Nëse do të ndodhte, edhe ngjarja do të ishte e favorshme. Në total, mund të ndodhin vetëm dy ngjarje të favorshme.

Sa janë të pafavorshëm? Meqenëse ka ngjarje totale të mundshme, do të thotë se ato të pafavorshmet janë ngjarje (kjo është nëse ose bie jashtë).

Përkufizimi:

Probabiliteti është raporti i numrit të ngjarjeve të favorshme me numrin e të gjitha ngjarjeve të mundshme. Kjo do të thotë, probabiliteti tregon se cila pjesë e të gjitha ngjarjeve të mundshme janë të favorshme.

Probabiliteti shënohet me një shkronjë latine (me sa duket nga fjalë angleze probabilitet - probabilitet).

Është zakon të matet probabiliteti si përqindje (shih temën,). Për ta bërë këtë, vlera e probabilitetit duhet të shumëzohet me. Në shembullin me zare probabiliteti.

Dhe në përqindje: .

Shembuj (vendosni vetë):

  1. Sa është probabiliteti për të marrë koka kur hedh një monedhë? Sa është probabiliteti i uljes së kokave?
  2. Sa është probabiliteti për të marrë një numër çift kur hedh një kësulë? Cila është e çuditshme?
  3. Në një kuti me lapsa të thjeshtë, blu dhe të kuq. Ne vizatojmë një laps rastësisht. Sa është probabiliteti për të marrë një të thjeshtë?

Zgjidhjet:

  1. Sa opsione ka? Kokat dhe bishtat - vetëm dy. Sa prej tyre janë të favorshëm? Vetëm njëra është shqiponjë. Pra probabiliteti

    Është e njëjta gjë me bishtat: .

  2. Opsionet totale: (sa anë ka kubi, kaq shumë opsione të ndryshme). Të favorshmet: (këto janë të gjithë numra çift :).
    Probabiliteti. Sigurisht, është e njëjta gjë me numrat tek.
  3. Total: . I favorshëm: . Probabiliteti: .

Probabiliteti total

Të gjithë lapsat në kuti janë jeshile. Sa është probabiliteti për të vizatuar një laps të kuq? Nuk ka shanse: probabilitet (në fund të fundit, ngjarje të favorshme -).

Një ngjarje e tillë quhet e pamundur.

Sa është probabiliteti për të vizatuar një laps jeshil? Ka saktësisht të njëjtin numër ngjarjesh të favorshme sa ka totali i ngjarjeve (të gjitha ngjarjet janë të favorshme). Pra, probabiliteti është i barabartë me ose.

Një ngjarje e tillë quhet e besueshme.

Nëse një kuti përmban lapsa të gjelbër dhe të kuq, sa është probabiliteti për të vizatuar jeshile ose të kuqe? Akoma perseri. Le të theksojmë këtë: probabiliteti i nxjerrjes së gjelbër është i barabartë, dhe i kuqja është e barabartë.

Me pak fjalë, këto probabilitete janë saktësisht të barabarta. Kjo eshte, shuma e probabiliteteve të të gjitha ngjarjeve të mundshme është e barabartë me ose.

Shembull:

Në një kuti me lapsa, midis tyre janë blu, e kuqe, jeshile, e thjeshtë, e verdhë dhe pjesa tjetër janë portokalli. Sa është probabiliteti që të mos vizatoni jeshile?

Zgjidhja:

Ne kujtojmë se të gjitha gjasat mblidhen. Dhe probabiliteti për të marrë jeshile është i barabartë. Kjo do të thotë që probabiliteti për të mos vizatuar jeshile është i barabartë.

Mbani mend këtë truk: Probabiliteti që një ngjarje të mos ndodhë është e barabartë me minus probabilitetin që ngjarja të ndodhë.

Ngjarjet e pavarura dhe rregulli i shumëzimit

Ju rrokullisni një monedhë një herë dhe dëshironi që ajo të dalë në krye të dyja herët. Sa janë gjasat për këtë?

Le të kalojmë nëpër të gjitha opsionet e mundshme dhe të përcaktojmë se sa ka:

Koka-kokë, bisht-kokë, koka-bisht, bisht-bisht. Çfarë tjetër?

Opsionet totale. Nga këto na shkon vetëm një: Shqiponja-Shqiponja. Në total, probabiliteti është i barabartë.

Mirë. Tani le të hedhim një monedhë një herë. Bëni vetë llogaritjen. Ka ndodhur? (përgjigje).

Ju mund të keni vënë re se me shtimin e çdo gjuajtjeje pasuese, probabiliteti zvogëlohet përgjysmë. Rregulli i përgjithshëm thirrur rregulli i shumëzimit:

Probabilitetet e ngjarjeve të pavarura ndryshojnë.

Cilat janë ngjarjet e pavarura? Gjithçka është logjike: këto janë ato që nuk varen nga njëri-tjetri. Për shembull, kur hedhim një monedhë disa herë, çdo herë bëhet një hedhje e re, rezultati i së cilës nuk varet nga të gjitha hedhjet e mëparshme. Po aq lehtë mund të hedhim dy monedha të ndryshme në të njëjtën kohë.

Më shumë shembuj:

  1. Zari hidhet dy herë. Sa është probabiliteti për ta marrë atë të dyja herë?
  2. Monedha hidhet një herë. Sa është probabiliteti që herën e parë të ngrihet lart dhe më pas të bjerë dy herë?
  3. Lojtari hedh dy zare. Sa është probabiliteti që shuma e numrave në to të jetë e barabartë?

Përgjigjet:

  1. Ngjarjet janë të pavarura, që do të thotë se rregulli i shumëzimit funksionon: .
  2. Probabiliteti i kokave është i barabartë. Probabiliteti i bishtave është i njëjtë. Shumëzo:
  3. 12 mund të merret vetëm nëse rrotullohen dy -ki: .

Ngjarjet e papajtueshme dhe rregulli i shtimit

Ngjarjet që plotësojnë njëra-tjetrën deri në një probabilitet të plotë quhen të papajtueshme. Siç sugjeron emri, ato nuk mund të ndodhin njëkohësisht. Për shembull, nëse hedhim një monedhë, ajo mund të dalë ose koka ose bishti.

Shembull.

Në një kuti me lapsa, midis tyre janë blu, e kuqe, jeshile, e thjeshtë, e verdhë dhe pjesa tjetër janë portokalli. Sa është probabiliteti për të vizatuar jeshile ose të kuqe?

Zgjidhje .

Probabiliteti për të vizatuar një laps jeshil është i barabartë. E kuqe -.

Ngjarje të favorshme në të gjitha: jeshile + e kuqe. Kjo do të thotë që probabiliteti i vizatimit të gjelbër ose të kuq është i barabartë.

I njëjti probabilitet mund të paraqitet në këtë formë: .

Ky është rregulli i shtimit: shtohen gjasat e ngjarjeve të papajtueshme.

Probleme të tipit të përzier

Shembull.

Monedha hidhet dy herë. Sa është probabiliteti që rezultatet e rrotullave të jenë të ndryshme?

Zgjidhje .

Kjo do të thotë që nëse rezultati i parë është koka, i dyti duhet të jetë bisht, dhe anasjelltas. Rezulton se ka dy palë ngjarje të pavarura, dhe këto çifte janë të papajtueshme me njëra-tjetrën. Si të mos hutoheni se ku të shumëzoni dhe ku të shtoni.

Ekziston një rregull i thjeshtë për situata të tilla. Mundohuni të përshkruani se çfarë do të ndodhë duke përdorur lidhëzat "DHE" ose "OR". Për shembull, në këtë rast:

Duhet të dalë lart (kokat dhe bishtat) ose (bishtet dhe kokat).

Aty ku ka një lidhje "dhe" do të ketë shumëzim, dhe ku ka "ose" do të ketë mbledhje:

Provojeni vetë:

  1. Sa është probabiliteti që nëse një monedhë hidhet dy herë, monedha të bjerë në të njëjtën anë të dyja herët?
  2. Zari hidhet dy herë. Sa është probabiliteti për të marrë një total pikësh?

Zgjidhjet:

Një shembull tjetër:

Hidhe një monedhë një herë. Sa është probabiliteti që kokat të shfaqen të paktën një herë?

Zgjidhja:

TEORIA E PROBABILITETIT. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Probabiliteti është raporti i numrit të ngjarjeve të favorshme me numrin e të gjitha ngjarjeve të mundshme.

Ngjarjet e pavarura

Dy ngjarje janë të pavarura nëse ndodhja e njërës nuk ndryshon probabilitetin që të ndodhë tjetra.

Probabiliteti total

Probabiliteti i të gjitha ngjarjeve të mundshme është i barabartë me ().

Probabiliteti që një ngjarje të mos ndodhë është e barabartë me minus probabilitetin që ngjarja të ndodhë.

Rregulla për shumëzimin e probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura

Probabiliteti i një sekuence të caktuar ngjarjesh të pavarura është i barabartë me produktin e probabiliteteve të secilës ngjarje

Ngjarje të papajtueshme

Ngjarjet e papajtueshme janë ato që nuk mund të ndodhin njëkohësisht si rezultat i një eksperimenti. Një numër ngjarjesh të papajtueshme formojnë një grup të plotë ngjarjesh.

Mundësitë e ngjarjeve të papajtueshme shtohen.

Pasi kemi përshkruar se çfarë duhet të ndodhë, duke përdorur lidhëzat "DHE" ose "OR", në vend të "DHE" vendosim një shenjë shumëzimi dhe në vend të "OR" vendosim një shenjë shtesë.

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Per cfare?

Për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit, për hyrjen në kolegj me buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që morën një edukim të mirë, fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LUMTUR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse ka shumë më të hapur para tyre më shumë mundësi dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teori gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUMË!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të doni, detyrimisht me zgjidhje, analiza të detajuara dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

  1. Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull -
  2. Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - Bleni një libër shkollor - 499 RUR

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në tekstin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.

Në përfundim...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!

Në ekonomi, si dhe në fusha të tjera veprimtaria njerëzore ose në natyrë, ne vazhdimisht duhet të përballemi me ngjarje që nuk mund të parashikohen saktë. Kështu, vëllimi i shitjeve të një produkti varet nga kërkesa, e cila mund të ndryshojë ndjeshëm, dhe nga një sërë faktorësh të tjerë që janë pothuajse të pamundur të merren parasysh. Prandaj, kur organizoni prodhimin dhe kryeni shitjet, duhet të parashikoni rezultatin e aktiviteteve të tilla në bazë të përvojës suaj të mëparshme, ose përvojës së ngjashme të njerëzve të tjerë, ose intuitës, e cila në një masë të madhe mbështetet edhe në të dhënat eksperimentale.

Për të vlerësuar disi ngjarjen në fjalë, është e nevojshme të merren parasysh ose të organizohen posaçërisht kushtet në të cilat është regjistruar kjo ngjarje.

Zbatimi i kushteve ose veprimeve të caktuara për të identifikuar ngjarjen në fjalë quhet përvojë ose eksperiment.

Ngjarja quhet e rastit, nëse si rezultat i përvojës mund të ndodhë ose jo.

Ngjarja quhet të besueshme, nëse domosdoshmërisht shfaqet si rezultat i një përvoje të caktuar, dhe e pamundur, nëse nuk mund të shfaqet në këtë përvojë.

Për shembull, reshjet e borës në Moskë më 30 nëntor janë një ngjarje e rastësishme. Lindja e përditshme e diellit mund të konsiderohet një ngjarje e besueshme. Reshjet e borës në ekuator mund të konsiderohen një ngjarje e pamundur.

Një nga detyrat kryesore në teorinë e probabilitetit është detyra e përcaktimit të një mase sasiore të mundësisë së ndodhjes së një ngjarjeje.

Algjebra e ngjarjeve

Ngjarjet quhen të papajtueshme nëse nuk mund të vëzhgohen së bashku në të njëjtën përvojë. Pra, prania e dy dhe tre makinave në një dyqan në të njëjtën kohë janë dy ngjarje të papajtueshme.

Shuma ngjarje është një ngjarje që përbëhet nga ndodhja e të paktën një prej këtyre ngjarjeve

Një shembull i shumës së ngjarjeve është prania e të paktën një prej dy produkteve në dyqan.

Puna ngjarjet është një ngjarje që përbëhet nga ndodhja e njëkohshme e të gjitha këtyre ngjarjeve

Ngjarja që përbëhet nga paraqitja e dy mallrave në një dyqan në të njëjtën kohë është produkt i ngjarjeve: - shfaqja e një produkti, - shfaqja e një produkti tjetër.

Ngjarjet formojnë një grup të plotë ngjarjesh nëse të paktën njëra prej tyre është e sigurt se do të ndodhë në përvojë.

Shembull. Porti ka dy shtretër për pranimin e anijeve. Mund të konsiderohen tre ngjarje: - mungesa e anijeve në shtrat, - prania e një anijeje në një nga shtratet, - prania e dy anijeve në dy shtretër. Këto tre ngjarje formojnë një grup të plotë ngjarjesh.

E kundërt quhen dy ngjarje unike të mundshme që formojnë një grup të plotë.

Nëse një nga ngjarjet që është e kundërt shënohet me , atëherë ngjarja e kundërt zakonisht shënohet me .

Përkufizime klasike dhe statistikore të probabilitetit të ngjarjes

Secili prej rezultateve po aq të mundshme të testeve (eksperimenteve) quhet rezultat elementar. Zakonisht ato përcaktohen me shkronja. Për shembull, hidhet një pjatë. Mund të ketë gjithsej gjashtë rezultate elementare bazuar në numrin e pikëve në anët.

Nga rezultatet elementare mund të krijoni një ngjarje më komplekse. Kështu, ngjarja e një numri çift pikash përcaktohet nga tre rezultate: 2, 4, 6.

Një masë sasiore e mundësisë së ndodhjes së ngjarjes në fjalë është probabiliteti.

Përkufizimet më të përdorura të probabilitetit të një ngjarjeje janë: klasike Dhe statistikore.

Përkufizimi klasik i probabilitetit shoqërohet me konceptin e një rezultati të favorshëm.

Rezultati quhet i favorshëm ndaj një ngjarjeje të caktuar nëse ndodhja e saj nënkupton edhe ndodhjen e kësaj ngjarjeje.

Në shembullin e mësipërm, ngjarja në fjalë - një numër çift pikash në anën e rrotulluar - ka tre rezultate të favorshme. Në këtë rast, gjenerali
numri i rezultateve të mundshme. Pra, këtu mund të përdorni përkufizim klasik probabiliteti i një ngjarjeje.

Përkufizimi klasikështë e barabartë me raportin e numrit të rezultateve të favorshme me numrin total të rezultateve të mundshme

ku është probabiliteti i ngjarjes, është numri i rezultateve të favorshme për ngjarjen, numri total rezultatet e mundshme.

Në shembullin e konsideruar

Përkufizimi statistikor i probabilitetit shoqërohet me konceptin e shpeshtësisë relative të shfaqjes së një ngjarjeje në eksperimente.

Frekuenca relative e shfaqjes së një ngjarjeje llogaritet duke përdorur formulën

ku është numri i ndodhive të një ngjarjeje në një seri eksperimentesh (testesh).

Përkufizimi statistikor. Probabiliteti i një ngjarjeje është numri rreth të cilit frekuenca relative stabilizohet (vendos) me një rritje të pakufizuar të numrit të eksperimenteve.

Në problemet praktike, probabiliteti i një ngjarjeje merret si frekuenca relative për një numër mjaft të madh provash.

Nga këto përkufizime të probabilitetit të një ngjarjeje është e qartë se pabarazia është gjithmonë e kënaqur

Për të përcaktuar probabilitetin e një ngjarjeje bazuar në formulën (1.1), shpesh përdoren formulat e kombinatorikës, të cilat përdoren për të gjetur numrin e rezultateve të favorshme dhe numrin total të rezultateve të mundshme.