Le të ketë një ndryshore të rastësishme X, dhe parametrat e saj janë pritshmëria matematikore A dhe varianca janë të panjohura. Në vlerën X u kryen N eksperimente të pavarura, të cilat dhanë rezultatet x 1, x 2, x n.
Pa e zvogëluar përgjithësinë e arsyetimit, ne do t'i konsiderojmë këto vlera ndryshore e rastësishme të ndryshme. Ne do t'i konsiderojmë vlerat x 1, x 2, x n si variabla të rastësishme të pavarura, të shpërndara identike X 1, X 2, X n.
Metoda më e thjeshtë vlerësimi statistikor - metoda e zëvendësimit dhe analogjisë - konsiston në faktin se si një vlerësim i një ose një tjetër karakteristike numerike (mesatarja, varianca, etj.) popullatë merrni karakteristikën përkatëse të shpërndarjes së mostrës - karakteristikën e mostrës.
Përdorimi i metodës së zëvendësimit si një vlerësim pritje matematikore A duhet të marrim pritshmërinë matematikore të shpërndarjes së mostrës - mesataren e mostrës. Kështu, marrim
Për të kontrolluar paanshmërinë dhe konsistencën e kampionit do të thotë si një vlerësim A, konsiderojeni këtë statistikë si funksion të vektorit të zgjedhur (X 1, X 2, X n). Duke marrë parasysh se secila nga madhësitë X 1, X 2, X n ka të njëjtin ligj shpërndarjeje me vlerën X, arrijmë në përfundimin se karakteristikat numerike të këtyre madhësive dhe vlera X janë të njëjta: M(X i) = M(X) = a, D(X i) = D(X) = , i = 1, 2, n , ku X i janë variabla të rastit kolektivisht të pavarura.
Prandaj,
Nga këtu, sipas përkufizimit, marrim se është një vlerësim i paanshëm A, dhe meqenëse D()®0 për n®¥, atëherë nga teorema e paragrafit të mëparshëm është një vlerësim konsistent i pritshmërisë matematikore A popullata e përgjithshme.
Efektiviteti ose joefektiviteti i vlerësimit varet nga lloji i ligjit të shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X. Mund të vërtetohet se nëse vlera X shpërndahet sipas një ligji normal, atëherë vlerësimi është efektiv. Për ligjet e tjera të shpërndarjes ky mund të mos jetë rasti.
Vlerësim i paanshëm variancë e përgjithshme shërben si variancë e korrigjuar e mostrës
,
Sepse 
, ku është varianca e përgjithshme. Vërtet, 
Vlerësimi s -- 2 për variancën e përgjithshme është gjithashtu i vlefshëm, por nuk është efikas. Megjithatë, në rast shpërndarje normale ai është "asimptotikisht efikas", domethënë, me rritjen e n-së, raporti i shpërndarjes së tij me minimumin e mundshëm i afrohet në mënyrë të pacaktuar unitetit.
Pra, nëse jepet një mostër nga shpërndarja F( x) ndryshorja e rastësishme X me pritshmëri të panjohur matematikore A dhe dispersion, atëherë për të llogaritur vlerat e këtyre parametrave kemi të drejtë të përdorim formulat e përafërta të mëposhtme:
a 
,
.
Këtu x-i - -
opsioni i kampionimit, n- i - - opsionet e frekuencës x i, -
- Madhësia e mostrës.
Për të llogaritur variancën e mostrës së korrigjuar, formula është më e përshtatshme
.
Për të thjeshtuar llogaritjen, këshillohet të kaloni në opsionet e kushtëzuara 
(sikurse është e dobishme të merret versioni origjinal, i vendosur në mes të intervalit seri variacionesh). Pastaj
, .
Vlerësimi i intervalit
Më sipër kemi shqyrtuar çështjen e vlerësimit të një parametri të panjohur A një numër. Ne i quajmë vlerësime të tilla vlerësime pikë. Ata kanë disavantazhin se me një madhësi të vogël kampioni mund të ndryshojnë ndjeshëm nga parametrat e vlerësuar. Prandaj, për të marrë një ide të afërsisë midis një parametri dhe vlerësimit të tij, në statistika matematikore futen të ashtuquajturat vlerësime të intervalit.
Le të gjendet një vlerësim pikësor q * në mostrën për parametrin q. Në mënyrë tipike, studiuesve u jepen disa informacione të mjaftueshme paraprakisht. probabilitet të lartë g (për shembull, 0,95; 0,99 ose 0,999) e tillë që një ngjarje me probabilitet g mund të konsiderohet praktikisht e besueshme dhe shtrohet pyetja për gjetjen e një vlere e > 0 për të cilën
.
Duke modifikuar këtë barazi, marrim:
dhe në këtë rast do të themi se intervali ]q * - e; q * + e[ mbulon parametrin e vlerësuar q me probabilitet g.
Intervali ]q * -e; q * +e [ quhet intervali i besimit .
Probabiliteti g quhet besueshmëria (probabiliteti i besimit) i vlerësimit të intervalit.
përfundon intervali i besimit, d.m.th. quhen pikat q * -e dhe q * +e kufijtë e besimit .
Numri e thirret saktësia e vlerësimit .
Si shembull i problemit të përcaktimit të kufijve të besimit, merrni parasysh çështjen e vlerësimit të pritshmërisë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme X, e cila ka një ligj të shpërndarjes normale me parametra A dhe s, d.m.th. X = N( a, s). Pritshmëria matematikore në këtë rast është e barabartë me A. Bazuar në vëzhgimet X 1, X 2, X n, llogarisim mesataren 
dhe vlerësimi 
dispersion s 2.
Rezulton se nga të dhënat e mostrës është e mundur të ndërtohet një ndryshore e rastësishme
e cila ka një shpërndarje Studenti (ose shpërndarje t) me n = n -1 shkallë lirie.
Le të përdorim tabelën A.1.3 dhe të gjejmë për një probabilitet të dhënë g dhe numrin n numrin t g të tillë që probabiliteti
P(|t(n)|< t g) = g,
.
Pasi kemi bërë transformime të dukshme marrim,
Procedura për aplikimin e F-testit është si më poshtë:
1. Supozohet se shpërndarja e popullsisë është normale. Në një nivel të caktuar rëndësie a, hipoteza zero H 0: s x 2 = s y 2 formulohet në lidhje me barazinë e variancave të përgjithshme të popullatave normale sipas hipotezës konkurruese H 1: s x 2 > s y 2.
2. Dy mostra të pavarura janë marrë nga popullatat X dhe Y të vëllimit n x dhe n y, përkatësisht.
3. Llogaritni vlerat e variancave të mostrës së korrigjuar s x 2 dhe s y 2 (metodat e llogaritjes janë diskutuar në §13.4). Sa më e madhe nga variancat (s x 2 ose s y 2) përcaktohet s 1 2, aq më e vogla - s 2 2.
4. Vlera e kriterit F llogaritet duke përdorur formulën F obs = s 1 2 / s 2 2.
5. Duke përdorur tabelën e pikave kritike të shpërndarjes Fisher-Snedecor, në një nivel të caktuar rëndësie a dhe numrin e shkallëve të lirisë n 1 = n 1 - 1, n 2 = n 2 - 1 (n 1 është numri i shkallët e lirisë së variancës më të madhe të korrigjuar), pika kritike gjendet F cr (a, n 1, n 2).
Vini re se Tabela A.1.7 tregon vlerat kritike F-test i njëanshëm. Prandaj, nëse zbatohet një kriter i dyanshëm (H 1: s x 2 ¹ s y 2), atëherë pika kritike e krahut të djathtë F cr (a/2, n 1, n 2) kërkohet nga niveli i rëndësisë a/ 2 (gjysma e vlerës së specifikuar) dhe numri i fuqive liria n 1 dhe n 2 (n 1 është numri i shkallëve të lirisë së shpërndarjes më të madhe). Pika kritike e majtë mund të mos gjendet.
6. Nxirret përfundimi: nëse vlera e llogaritur e kriterit F është më e madhe ose e barabartë me vlerën kritike (F obs ³ F cr), atëherë variancat ndryshojnë ndjeshëm në një nivel të caktuar rëndësie. Përndryshe (F obs.< F кр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.
Problemi 15.1. Konsumi i lëndëve të para për njësi prodhimi duke përdorur teknologjinë e vjetër ishte:
Përdorimi i teknologjisë së re:
Duke supozuar se popullatat e përgjithshme përkatëse X dhe Y kanë shpërndarje normale, kontrolloni që përsa i përket ndryshueshmërisë, konsumi i lëndëve të para për teknologjitë e reja dhe të vjetra të mos ndryshojë, nëse marrim nivelin e rëndësisë a = 0,1.
Zgjidhje. Ne vazhdojmë në rendin e treguar më sipër.
1. Ne do të gjykojmë ndryshueshmërinë e konsumit të lëndës së parë nga teknologjitë e reja dhe të vjetra bazuar në vlerat e dispersionit. Kështu, hipoteza zero ka formën H 0: s x 2 = s y 2. Si hipotezë konkurruese, ne pranojmë hipotezën H 1: s x 2 ¹ s y 2, pasi nuk jemi të sigurt paraprakisht se ndonjë nga variancat e përgjithshme është më i madh se tjetri.
2-3. Le të gjejmë variancat e mostrës. Për të thjeshtuar llogaritjet, le të kalojmë te opsionet e kushtëzuara:
u i = x i - 307, v i = y i - 304.
Ne do t'i rregullojmë të gjitha llogaritjet në formën e tabelave të mëposhtme:
| u i | m i | jam unë u i | jam unë u 2 | m i (u i +1) 2 | v i | n i | n i v i | n i v i 2 | n i (v i +1) 2 | |
| -3 | -3 | -1 | -2 | |||||||
| å | - | |||||||||
| å | - |
Kontrolli: å m i u i 2 + 2å m i u i + m i = Kontrolli: å n i v i 2 + 2å n i v i + n i = 13 + 2 + 9 = 24 = 34 + 20 + 13 = 67
Le të gjejmë variancat e korrigjuara të mostrës:
4. Le të krahasojmë variancat. Le të gjejmë raportin e variancës më të madhe të korrigjuar me atë më të vogël:
.
5. Sipas kushtit, hipoteza konkurruese ka formën s x 2 ¹ s y 2, prandaj rajoni kritik është i dyanshëm dhe gjatë gjetjes së pikës kritike duhet të merren nivele të rëndësisë që janë gjysma e vlerës së specifikuar.
Sipas tabelës A.1.7, duke përdorur nivelin e rëndësisë a/2 = 0,1/2 = 0,05 dhe numrin e shkallëve të lirisë n 1 = n 1 - 1 = 12, n 2 = n 2 - 1 = 8, gjejmë pika kritike F cr (0,05; 8) = 3,28.
6. Meqenëse F obs.< F кр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и teknologjive të reja ne pranojmë.
Më sipër, gjatë testimit të hipotezave, ne supozuam shpërndarjen normale të variablave të rastësishëm në studim. Megjithatë, studime të veçanta kanë treguar se algoritmet e propozuara janë shumë të qëndrueshme (veçanërisht me madhësi të mëdha të mostrës) në lidhje me devijimet nga shpërndarja normale.
Nevoja për të vlerësuar pritshmërinë matematikore në bazë të rezultateve të testit shfaqet në problemet kur rezultati i një eksperimenti përshkruhet nga një ndryshore e rastësishme dhe pritshmëria matematikore e kësaj ndryshoreje të rastësishme merret si tregues i cilësisë së objektit në studim. Për shembull, si tregues i besueshmërisë, mund të merret pritshmëria matematikore e kohës së funksionimit pa dështim të një sistemi, dhe kur vlerësohet efikasiteti i prodhimit të produktit, pritshmëria matematikore e numrit të produkteve të përdorshme, etj.
Problemi i vlerësimit të pritshmërisë matematikore është formuluar si më poshtë. Le të supozojmë se për të përcaktuar vlerë e panjohur variabli i rastësishëm X supozohet të jetë bërë n matje të pavarura dhe pa gabime sistematike X v X 2 ,..., X f. Ju duhet të zgjidhni vlerësimin më të mirë të pritshmërisë matematikore.
Vlerësimi më i mirë dhe më i zakonshëm i pritshmërisë matematikore në praktikë është mesatarja aritmetike e rezultateve të testit
quajtur edhe statistikore ose mesatare e mostrës.
Le të tregojmë se vlerësimi t x plotëson të gjitha kërkesat për vlerësimin e çdo parametri.
1. Nga shprehja (5.10) del se
dmth vlerësimi t" x- vlerësim i paanshëm.
2. Sipas teoremës së Chebyshev, mesatarja aritmetike e rezultateve të testit konvergon në probabilitet me pritshmërinë matematikore, d.m.th.
Rrjedhimisht, vlerësimi (5.10) është një vlerësim konsistent i pritshmërisë matematikore.
3. Varianca e vlerësimit t x, të barabartë
Ndërsa madhësia e kampionit rritet, n zvogëlohet pa kufi. Është vërtetuar se nëse një ndryshore e rastësishme X i nënshtrohet ligjit të shpërndarjes normale, atëherë për cilindo P dispersioni (5.11) do të jetë minimal, dhe vlerësimi t x- vlerësimi efektiv i pritshmërisë matematikore. Njohja e variancës së një vlerësimi lejon që dikush të bëjë një gjykim në lidhje me saktësinë e përcaktimit të vlerës së panjohur të pritjes matematikore duke përdorur këtë vlerësim.
Mesatarja aritmetike përdoret si një vlerësim i pritshmërisë matematikore nëse rezultatet e matjes janë po aq të sakta (variacione D, i = 1, 2, ..., P e njëjta në çdo dimension). Megjithatë, në praktikë duhet të përballemi me probleme në të cilat rezultatet e matjes janë të pabarabarta (për shembull, gjatë testimit, matjet bëhen nga instrumente të ndryshme). Në këtë rast, vlerësimi për pritshmërinë matematikore ka formën
Ku 
- pesha e dimensionit z.
Në formulën (5.12), rezultati i secilës matje përfshihet me peshën e vet ME.. Prandaj, vlerësimi i rezultateve të matjes t x thirrur mesatare e ponderuar.
Mund të tregohet se vlerësimi (5.12) është një vlerësim i paanshëm, i qëndrueshëm dhe efikas i pritshmërisë matematikore. Varianca minimale e vlerësimit jepet nga
Kur kryeni eksperimente me modele në një kompjuter, probleme të ngjashme lindin kur vlerësimet gjenden nga rezultatet e disa serive testesh dhe numri i testeve në secilën seri është i ndryshëm. Për shembull, u kryen dy seri testesh me një vëllim n 1 dhe p 2, bazuar në rezultatet e të cilave janë marrë vlerësimet T xi dhe t x_. Për të rritur saktësinë dhe besueshmërinë e përcaktimit të pritshmërisë matematikore, rezultatet e këtyre serive testesh kombinohen. Për ta bërë këtë, përdorni shprehjen (5.12)
Gjatë llogaritjes së koeficientëve C, në vend të variancave D, zëvendësohen vlerësimet e tyre të marra nga rezultatet e testimit në secilën seri.
Një qasje e ngjashme përdoret kur përcaktohet probabiliteti i ndodhjes ngjarje e rastësishme bazuar në rezultatet e një sërë testesh.
Për të vlerësuar pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme X, përveç mesatares së mostrës, mund të përdoren statistika të tjera. Më shpesh, për këto qëllime, përdoren anëtarët e serisë së variacioneve, d.m.th., statistikat rendore, në bazë të të cilave ndërtohen vlerësimet,
plotësimi i kërkesave kryesore, përkatësisht qëndrueshmëria dhe paanshmëria.
Le të supozojmë se seria e variacionit përmban n = 2k anëtarët. Atëherë ndonjë nga mesataret mund të merret si një vlerësim i pritshmërisë matematikore:
ku k-e mesatare
nuk është asgjë më shumë se mesatarja statistikore e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X, pasi ekziston një barazi e dukshme
Avantazhi i medianës statistikore është se është i lirë nga ndikimi i rezultateve anormale të vëzhgimit, gjë që është e pashmangshme kur përdoret mesatarja e parë, pra mesatarja e numrit më të vogël dhe më të madh të serive të variacioneve.
Për një madhësi të rastësishme të mostrës P = 2k- 1 mediana statistikore është elementi i mesëm i saj, d.m.th. te anëtari i serisë së variacioneve Unë = x k.
Ka shpërndarje për të cilat mesatarja aritmetike nuk është një vlerësim efektiv i pritshmërisë matematikore, për shembull, shpërndarja Laplace. Mund të tregohet se për shpërndarjen Laplace, një vlerësim efektiv i pritshmërisë matematikore është mesatarja e mostrës.
Është vërtetuar se nëse ndryshorja e rastësishme X ka një shpërndarje normale, atëherë me një madhësi mjaftueshëm të madhe të mostrës, ligji i shpërndarjes së medianës statistikore është afër normales me karakteristika numerike.
Nga krahasimi i formulave (5.11) dhe (5.14) rezulton se shpërndarja e mesatares statistikore është 1.57 herë më e madhe se shpërndarja e mesatares aritmetike. Rrjedhimisht, mesatarja aritmetike si një vlerësim i pritshmërisë matematikore është po aq herë më efektive se mesatarja statistikore. Megjithatë, për shkak të thjeshtësisë së llogaritjeve dhe pandjeshmërisë ndaj rezultateve anormale të matjes ("ndotje" e kampionit), në praktikë, mesatarja statistikore megjithatë përdoret si një vlerësim i pritshmërisë matematikore.
Duhet të theksohet se për shpërndarjet simetrike të vazhdueshme pritja dhe mediana matematikore janë të njëjta. Prandaj, mediana statistikore mund të shërbejë si një vlerësim i mirë i pritshmërisë matematikore vetëm nëse shpërndarja e ndryshores së rastit është simetrike.
Për shpërndarjet asimetrike, mesatarja statistikore Unë ka një paragjykim të rëndësishëm në lidhje me pritshmërinë matematikore, prandaj është i papërshtatshëm për vlerësimin e tij.
TEMA: Vlerësimet pikësore të pritjeve matematikore. Vlerësimet pikësore të variancës. Vlerësimi pikësor i probabilitetit të një ngjarjeje. Vlerësimi pikësor i parametrave të shpërndarjes uniforme.
klauzola 1.Vlerësimet pikësore të pritjeve matematikore.
Le të supozojmë se funksioni i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme ξ varet nga parametri i panjohur θ : P (ξ θ;).
Nëse x 1 , x 2 …., x nështë një mostër nga popullata e përgjithshme e një ndryshoreje të rastësishme ξ, më pas duke vlerësuar parametrin θ është një funksion arbitrar i vlerave të mostrës
Vlera e vlerësimit ndryshon nga mostra në kampion dhe, për rrjedhojë, është një variabël rastësor. Në shumicën e eksperimenteve, vlera e kësaj ndryshoreje të rastësishme është afër vlerës së parametrit të vlerësuar nëse për çdo vlerë n pritshmëria matematikore e vlerës është e barabartë me vlerën e vërtetë të parametrit, atëherë quhen vlerësime që plotësojnë kushtin; i paanshëm. Një vlerësim i paanshëm do të thotë që vlerësimi nuk i nënshtrohet gabimeve sistematike.
Vlerësimi quhet një vlerësim i qëndrueshëm i parametrave θ , nëse për ndonjë ξ>0 është e vërtetë
Kështu, me rritjen e madhësisë së mostrës, rritet saktësia e rezultatit.
Le x 1
,
x 2
…
x n
– një kampion nga popullata e përgjithshme që i korrespondon një ndryshoreje të rastësishme ξ me një pritshmëri matematikore të panjohur dhe variancë të njohur Dξ=σ 2 . Le të ndërtojmë disa vlerësime të parametrit të panjohur. Nese atehere 
, d.m.th. vlerësuesi në fjalë është një vlerësues i paanshëm. Por, meqenëse vlera nuk varet fare nga madhësia e mostrës n, vlerësimi nuk është i vlefshëm.
Një vlerësim efektiv i pritshmërisë matematikore të një variabli të rastësishëm të shpërndarë normalisht është vlerësimi
Që tani e tutje, për të vlerësuar pritshmërinë e panjohur matematikore të një ndryshoreje të rastësishme, do të përdorim mesataren e mostrës, d.m.th.
Ekzistojnë metoda standarde (të rregullta) për marrjen e vlerësimeve të parametrave të panjohur të shpërndarjes. Më të famshmit prej tyre: metoda e momenteve, metoda e gjasave maksimale Dhe metoda me katrorin më të vogël.
f.2 Vlerësimet pikësore të variancës.
Për variancën σ 2 të një ndryshoreje të rastësishme ξ Mund të propozohet vlerësimi i mëposhtëm:
ku është mesatarja e mostrës.
Është vërtetuar se ky vlerësim është i vlefshëm, por të zhvendosur.
Si një vlerësim konsistent i paanshëm i variancës, përdorni vlerën
Është pikërisht paanshmëria e vlerësimit s 2 shpjegon përdorimin më të shpeshtë të tij si një vlerësim i vlerës Dξ.
Vini re se Mathcad ofron si një vlerësim të variancës vlerën , jo s 2: funksion var(x) llogarit vlerën
Ku mesatare (x) -mesatarja e mostrës.
DETYRA 6.5
Μξ dhe variancë Dξ ndryshore e rastësishme ξ bazuar në vlerat e mostrës të dhëna në detyrë.
Procedura për përfundimin e detyrës
Lexoni një skedar që përmban vlera të mostrës nga disku ose futni një mostër të specifikuar nga tastiera.
Llogaritni vlerësimet e pikëve Μξ Dhe Dξ.
Shembull i përfundimit të një detyre
Gjeni vlerësime të qëndrueshme të paanshme të pritjeve matematikore Μξ dhe variancë Dξ ndryshore e rastësishme ξ sipas vlerave të mostrës të dhëna nga tabela e mëposhtme.
Për një kampion të përcaktuar nga një tabelë e këtij lloji (e dhënë është vlera e kampionit dhe një numër që tregon sa herë kjo vlerë ndodh në kampion), formulat për vlerësime të qëndrueshme të paanshme të pritshmërisë dhe variancës janë:
,
,
Ku k - numri i vlerave në tabelë; n i - numri i vlerave x i në mostër; n- Madhësia e mostrës.
Një fragment i një letre pune Mathcad me llogaritjet e vlerësimeve të pikëve është dhënë më poshtë.
Nga llogaritjet e mësipërme është e qartë se vlerësimi i njëanshëm jep një nënvlerësim të vlerësimit të variancës.
klauzola 3. Vlerësimi pikësor i probabilitetit të ngjarjes
Supozoni se në disa eksperimente ngjarja A(rezultati i favorshëm i testit) ndodh me probabilitet fq dhe nuk ndodh me probabilitet q = 1 - R. Detyra është të merret një vlerësim i parametrit të panjohur të shpërndarjes fq bazuar në rezultatet e serisë n eksperimente të rastësishme. Për një numër të caktuar testesh n numri i rezultateve të favorshme m në një seri testesh - një ndryshore e rastësishme që ka një shpërndarje Bernoulli. Le ta shënojmë me shkronjë μ.
Nëse ngjarja A në një seri të n u bënë teste të pavarura
m herë, pastaj vlerësimi i vlerës fq propozohet të llogaritet duke përdorur formulën
Le të zbulojmë vetitë e vlerësimit të propozuar. Meqenëse ndryshorja e rastit μ atëherë ka një shpërndarje Bernoulli Μμ= n.p. DheM = M = fq, d.m.th. ka një vlerësim të paanshëm.
Për testet e Bernulit vlen teorema e Bernulit, sipas së cilës 
, d.m.th. gradë fq
i pasur.
Është vërtetuar se ky vlerësim është efektiv sepse, duke qenë të tjera të barabarta, ka variancë minimale.
Në Mathcad, për të simuluar një mostër vlerash të një ndryshoreje të rastësishme me një shpërndarje Bernoulli, synohet funksioni rbinom(fc,η,ρ), i cili gjeneron një vektor nga te numra të rastësishëm, κα ι secila prej të cilave është e barabartë me numrin e sukseseve në një seri provash η të pavarura me një probabilitet të suksesit ρ në secilën.
DETYRA 6.6
Simuloni mostra të shumta vlerash të një ndryshoreje të rastësishme që ka një shpërndarje Bernoulli me vlera e dhënë parametri R. Llogaritni për çdo mostër vlerësimin e parametrave fq dhe krahasoni me vlerën e specifikuar. Paraqisni rezultatet e llogaritjes në mënyrë grafike.
Procedura për përfundimin e detyrës
1. Duke përdorur funksionin rbinom(1, n, fq), përshkruani dhe gjeneroni një sekuencë vlerash të një ndryshoreje të rastësishme që ka një shpërndarje Bernoulli me të dhëna fq Dhe n Për n = 10, 20, ..., Ν, në funksion të madhësisë së kampionit P.
2. Llogaritni për secilën vlerë n vlerësimet e probabilitetit në pikë R.
Shembull i përfundimit të një detyre
Një shembull i marrjes së vlerësimeve në pikë të mostrave të vëllimit n= 10, 20,..., 200 vlera të një ndryshoreje të rastësishme μ që ka një shpërndarje Bernoulli me parametër fq= 0.3, dhënë më poshtë.
Shënim. Meqenëse vlera e funksionit është vektoriale, numri i sukseseve në një seri n prova të pavarura me probabilitet suksesi fq në çdo provë përmbahet në komponentin e parë të vektorit rbinom(1, n, fq), d.m.th. numri i sukseseve është rbinom(1, n, fq). Në fragmentin e mësipërm k- I komponenti vektor Ρ përmban numrin e sukseseve në serinë 10 k teste të pavarura për k = 1,2,..., 200.
pika 4. Vlerësimi pikësor i parametrave të shpërndarjes uniforme
Le të shohim një shembull tjetër udhëzues. Le të jetë një mostër nga popullata e përgjithshme që i korrespondon një ndryshoreje të rastësishme ξ që ka një shpërndarje uniforme në një segment me një parametër të panjohur θ . Detyra jonë është të vlerësojmë këtë parametër të panjohur.
Le të shqyrtojmë një nga mënyrat e mundshme duke ndërtuar vlerësimin e kërkuar. Nëse ξ është një ndryshore e rastësishme që ka një shpërndarje uniforme në segment, atëherë Μ ξ = . Që nga vlerësimi i madhësisë Mξ i njohur Μξ =, pastaj për vlerësimin e parametrave θ ju mund të bëni një vlerësim
Paanshmëria e vlerësimit është e qartë:
Pasi kemi llogaritur dispersionin dhe kufirin D si n →∞, ne verifikojmë vlefshmërinë e vlerësimit:
Për të marrë një vlerësim të ndryshëm të parametrave θ Le të shohim statistika të tjera. Le = max). Le të gjejmë shpërndarjen e ndryshores së rastësishme:
Pastaj pritshmëria matematikore dhe varianca e ndryshores së rastit
me shpërndarje 
janë të barabartë përkatësisht:
;
ato. vlerësimi është konsistent, por i njëanshëm. Megjithatë, nëse në vend të = max) marrim parasysh = max), atëherë të dyja, dhe, për rrjedhojë, vlerësimi është konsistent dhe i paanshëm.
Në të njëjtën kohë, që nga
dukshëm më efektive se vlerësimi
Për shembull, me n = 97, përhapja e vlerësimit θ^ është 33 rala më pak se përhapja e vlerësimit
Shembulli i fundit tregon edhe një herë se zgjedhja e një vlerësimi statistikor për një parametër të panjohur të shpërndarjes është një detyrë e rëndësishme dhe jo e parëndësishme.
Në Mathcad, për të simuluar një mostër vlerash të një ndryshoreje të rastësishme që ka një shpërndarje uniforme në intervalin [a, b], synohet funksioni runif(fc,o,b), i cili gjeneron një vektor nga te numra të rastit, secili prej të cilëve është vlera e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme në intervalin [a, 6].
Lëreni kampionin e rastësishëm të gjenerohet nga ndryshorja e rastit e vëzhguar ξ, pritshmëria dhe varianca matematikore 
të cilat janë të panjohura. Është propozuar që të përdoret mesatarja e mostrës si vlerësime për këto karakteristika
dhe variancën e mostrës
. (3.14)
Le të shqyrtojmë disa veti të vlerësimeve të pritjes dhe shpërndarjes matematikore.
1. Llogaritni pritshmërinë matematikore të mesatares së mostrës:
Prandaj, mesatarja e mostrës është një vlerësues i paanshëm për .
2. Kujtojmë se rezultatet 
vëzhgimet janë variabla të rastësishme të pavarura, secila prej të cilave ka të njëjtin ligj shpërndarjeje si vlera, që do të thotë 
, 
, . Do të supozojmë se varianca është e fundme. Pastaj, sipas teoremës së Chebyshev mbi ligjin e numrave të mëdhenj, për çdo ε > 0 vlen barazia 
,
që mund të shkruhet kështu: 
. (3.16) Duke krahasuar (3.16) me përkufizimin e vetive të konsistencës (3.11), shohim se vlerësimi është një vlerësim konsistent i pritshmërisë matematikore.
3. Gjeni variancën e mesatares së mostrës:
. (3.17)
Kështu, varianca e vlerësimit të pritjeve matematikore zvogëlohet në përpjesëtim të zhdrejtë me madhësinë e kampionit.
Mund të vërtetohet se nëse ndryshorja e rastësishme ξ shpërndahet normalisht, atëherë mesatarja e mostrës është një vlerësim efektiv i pritshmërisë matematikore, domethënë varianca merr vlera më e vogël krahasuar me çdo vlerësim tjetër të pritshmërisë matematikore. Për ligjet e tjera të shpërndarjes ξ ky mund të mos jetë rasti.
Varianca e mostrës është një vlerësim i njëanshëm i variancës sepse 
. (3.18)
Në të vërtetë, duke përdorur vetitë e pritshmërisë dhe formulës matematikore (3.17), gjejmë
.
Për të marrë një vlerësim të paanshëm të variancës, vlerësimi (3.14) duhet të korrigjohet, domethënë të shumëzohet me . Pastaj marrim variancën e mostrës së paanshme
. (3.19)
Vini re se formulat (3.14) dhe (3.19) ndryshojnë vetëm në emërues, dhe kur vlera të mëdha mostra dhe variancat e paanshme ndryshojnë pak. Megjithatë, me një madhësi të vogël kampioni, duhet të përdoret lidhja (3.19).
Për të vlerësuar mesataren devijimi katror variabli i rastësishëm përdor të ashtuquajturin devijim standard të "korrigjuar", i cili është i barabartë me rrenja katrore nga varianca e paanshme: .
Vlerësimet e intervalit
Në statistika, ekzistojnë dy qasje për të vlerësuar parametrat e panjohur të shpërndarjeve: pika dhe intervali. Në përputhje me vlerësimin e pikës, i cili u diskutua në seksionin e mëparshëm, tregohet vetëm pika rreth së cilës ndodhet parametri i vlerësuar. Megjithatë, është e dëshirueshme të dihet se sa larg mund të jetë ky parametër nga realizimet e mundshme të vlerësimeve në seri të ndryshme vëzhgimesh.
Përgjigja për këtë pyetje - gjithashtu e përafërt - jepet nga një metodë tjetër e vlerësimit të parametrave - intervali. Në përputhje me këtë metodë të vlerësimit, gjendet një interval që, me një probabilitet afër një, mbulon vlerën e panjohur numerike të parametrit.
Koncepti i vlerësimit të intervalit
Vlerësimi me pikë 
është një ndryshore e rastësishme dhe për zbatime të mundshme të mostrave merr vlera vetëm afërsisht të barabarta me vlerën e vërtetë të parametrit. Sa më i vogël të jetë diferenca, aq më i saktë është vlerësimi. Kështu, një numër pozitiv për të cilin 
, karakterizon saktësinë e vlerësimit dhe quhet gabim në vlerësim (ose gabim margjinal).
Probabiliteti i besimit(ose besueshmëria) quhet probabilitet β
, me të cilin realizohet pabarazia , d.m.th.
. (3.20)
Zëvendësimi i pabarazisë pabarazi e dyfishtë ekuivalente 
, ose 
, marrim
Intervali 
, duke mbuluar me probabilitet β
, , parametër i panjohur, quhet intervali i besimit
(ose vlerësimi i intervalit), probabiliteti përkatës i besimit β
.
Një ndryshore e rastësishme nuk është vetëm një vlerësim, por edhe një gabim: vlera e saj varet nga probabiliteti β dhe, si rregull, nga mostra. Prandaj, intervali i besimit është i rastësishëm dhe shprehja (3.21) duhet të lexohet si më poshtë: “Intervali do të mbulojë parametrin me probabilitet β ", dhe jo si kjo: "Parametri do të bjerë në intervalin me probabilitet β ”.
Kuptimi i intervalit të besimit është se kur përsëritet një vëllim mostër shumë herë në një proporcion relativ të rasteve të barabartë me β , intervali i besimit që korrespondon me probabilitetin e besimit β , mbulon vlerën e vërtetë të parametrit të vlerësuar. Kështu, probabiliteti i besimit β karakterizon besueshmëria vlerësimi i besimit: aq më shumë β , aq më e mundshme është që zbatimi i intervalit të besimit të përmbajë një parametër të panjohur.
Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme (shpërndarja e popullsisë) zakonisht karakterizohet nga një numër karakteristikash numerike:
- për një shpërndarje normale N(a, σ) është pritshmëria matematikore a dhe devijimi standard σ;
- për një shpërndarje uniforme, R(a,b) janë kufijtë e intervalit në të cilin vërehen vlerat e kësaj ndryshoreje të rastësishme.
Kur një rezultat përcaktohet nga një numër i vetëm, ai quhet vlerësim pikë. Vlerësimi i pikës, si funksion i kampionit, është një variabël i rastësishëm dhe ndryshon nga kampioni në kampion me eksperimente të përsëritura.
Vlerësimet me pikë kanë kërkesa që ato duhet të plotësojnë në mënyrë që të jenë "të mirë" në çdo kuptim. Kjo i pazhvendosur, efikasiteti Dhe pasurinë.
Vlerësimet e intervalit përcaktohen nga dy numra - skajet e intervalit që mbulon parametrin e vlerësuar. Ndryshe nga vlerësimet e pikës, të cilat nuk japin një ide se sa larg mund të jetë parametri i vlerësuar prej tyre, vlerësimet e intervalit na lejojnë të përcaktojmë saktësinë dhe besueshmërinë e vlerësimeve.
Si vlerësime pikësore të pritjes matematikore, dispersionit dhe devijimit standard, përdoren karakteristikat e mostrës, përkatësisht mesatarja e mostrës, shpërndarja e mostrës dhe devijimi standard i mostrës.
Vetia e vlerësimit të paanshëm.
Një kërkesë e dëshirueshme për vlerësim është mungesa e gabimit sistematik, d.m.th. kur përdorni në mënyrë të përsëritur në vend të parametrit θ vlerësimin e tij, vlera mesatare e gabimit të përafrimit është zero - kjo është pronë e vlerësimit të paanshëm.
Përkufizimi. Një vlerësim quhet i paanshëm nëse pritshmëria e tij matematikore është e barabartë me vlerën e vërtetë të parametrit të vlerësuar:
Mesatarja aritmetike e mostrës është një vlerësim i paanshëm i pritshmërisë matematikore dhe variancës së mostrës 
- vlerësim i njëanshëm i variancës së përgjithshme D. Një vlerësim i paanshëm i variancës së përgjithshme është vlerësimi
Vetia e konsistencës së vlerësimit.
Kërkesa e dytë për një vlerësim - qëndrueshmëria e tij - do të thotë që vlerësimi përmirësohet me rritjen e madhësisë së mostrës.
Përkufizimi. Gradë 
quhet konsistent nëse konvergjon sipas probabilitetit me parametrin e vlerësuar θ si n→∞.
Konvergjenca në probabilitet do të thotë që me një madhësi të madhe kampioni, probabiliteti i devijimeve të mëdha të vlerësimit nga vlera e vërtetë është i vogël.
Vetia e vlerësimit efektiv.
Kërkesa e tretë ju lejon të zgjidhni vlerësimin më të mirë nga disa vlerësime të të njëjtit parametër.
Përkufizimi. Një vlerësues i paanshëm është efikas nëse ka variancën më të vogël midis të gjithë vlerësuesve të paanshëm.
Kjo do të thotë që vlerësimi efektiv ka shpërndarje minimale në lidhje me vlerën e vërtetë të parametrit. Vini re se një vlerësim efektiv nuk ekziston gjithmonë, por nga dy vlerësime zakonisht është e mundur të zgjidhet ai më efektiv, d.m.th. me më pak variancë. Për shembull, për një parametër të panjohur a të një popullate normale N(a,σ), si mesatarja aritmetike e mostrës ashtu edhe mediana e mostrës mund të merren si një vlerësim i paanshëm. Por varianca e mesatares së mostrës është afërsisht 1.6 herë më e madhe se varianca e mesatares aritmetike. Prandaj, një vlerësim më efektiv është mesatarja aritmetike e mostrës.
Shembulli nr. 1. Gjeni një vlerësim të paanshëm të variancës së matjeve të disa ndryshoreve të rastësishme duke përdorur një pajisje (pa gabime sistematike), rezultatet e matjes së së cilës (në mm): 13,15,17.
Zgjidhje. Tabela për llogaritjen e treguesve.
| x | |x - x av | | (x - x mesatarisht) 2 |
| 13 | 2 | 4 |
| 15 | 0 | 0 |
| 17 | 2 | 4 |
| 45 | 4 | 8 |
Mesatarja e thjeshtë aritmetike(vlerësimi i paanshëm i pritshmërisë matematikore)
Dispersion- karakterizon masën e shpërndarjes rreth vlerës së saj mesatare (një masë e dispersionit, d.m.th. devijimi nga vlerësimi mesatar - i njëanshëm).
Vlerësues i paanshëm i variancës- vlerësimi konsistent i variancës (varianca e korrigjuar).
Shembulli nr. 2. Gjeni një vlerësim të paanshëm të pritjes matematikore të matjeve të një ndryshoreje të caktuar të rastësishme nga një pajisje (pa gabime sistematike), rezultatet e matjes së së cilës (në mm): 4,5,8,9,11.
Zgjidhje. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7.4
Shembulli nr. 3. Gjeni variancën e korrigjuar S2 për një madhësi kampion prej n=10 nëse varianca e mostrës është D = 180.
Zgjidhje. S 2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200