Kur është mjaft e madhe, formula e Bernulit prodhon llogaritje të rënda. Prandaj, në raste të tilla, përdoret teorema lokale e Laplace.
Teorema(teorema lokale e Laplasit). Nëse probabiliteti p i ndodhjes së ngjarjes A në çdo provë është konstante dhe i ndryshëm nga 0 dhe 1, atëherë probabiliteti 
Fakti që ngjarja A do të shfaqet saktësisht k herë në n prova të pavarura është afërsisht e barabartë me vlerën e funksionit:
,
.
Ka tabela në të cilat ndodhen vlerat e funksionit 
, për vlerat pozitive x.
Vini re se funksioni 
madje
Pra, probabiliteti që ngjarja A të shfaqet në n prova është saktësisht k herë afërsisht e barabartë me
, Ku 
.
Shembull. Në fushën eksperimentale u mbollën 1500 fara. Gjeni probabilitetin që fidanët të prodhojnë 1200 fara nëse probabiliteti që kokrra të mbijë është 0,9.
Zgjidhje. 
Teorema integrale e Laplasit
Probabiliteti që në prova të nëntë të pavarura ngjarja A të shfaqet të paktën k1 herë dhe maksimumi k2 herë llogaritet nga teorema integrale Laplace.
Teorema(Teorema integrale e Laplace). Nëse probabiliteti p i ndodhjes së ngjarjes a në çdo provë është konstante dhe i ndryshëm nga 0 dhe 1, atëherë probabiliteti që ngjarja A të shfaqet të paktën k 1 herë dhe jo më shumë se k 2 herë në n prova është afërsisht e barabartë me vlera e një integrali të caktuar:
.
Funksioni 
i quajtur funksioni integral Laplace, ai është tek dhe vlera e tij gjendet në tabelën për vlerat pozitive x.
Shembull. Në laborator, nga një grumbull farërash me mbirje 90%, u mbollën 600 fara, të cilat mbinë, jo më pak se 520 dhe jo më shumë se 570.
Zgjidhje.
formula e Poisson-it
Le të kryhen n prova të pavarura, probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A në çdo provë është konstante dhe i barabartë me p. Siç kemi thënë tashmë, probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A në prova të pavarura mund të gjendet saktësisht k herë duke përdorur formulën e Bernoulli-t. Kur n është mjaftueshëm i madh, përdoret teorema lokale e Laplace. Megjithatë, kjo formulë është e papërshtatshme kur probabiliteti që një ngjarje të ndodhë në çdo provë është i vogël ose afër 1. Dhe kur p=0 ose p=1 nuk është fare i zbatueshëm. Në raste të tilla, përdoret teorema e Poisson-it.
Teorema(teorema e Poisson-it). Nëse probabiliteti p i ndodhjes së ngjarjes A në çdo provë është konstante dhe afër 0 ose 1, dhe numri i provave është mjaftueshëm i madh, atëherë probabiliteti që në n prova të pavarura ngjarja A të shfaqet saktësisht k herë gjendet nga formula:
.
Shembull. Dorëshkrimi është një mijë faqe tekst i shtypur me makinë dhe përmban një mijë gabime shtypi. Gjeni probabilitetin që një faqe e marrë në mënyrë të rastësishme të përmbajë të paktën një gabim shtypi.
Zgjidhje.
Pyetje Për vetë-teste
Formuloj përkufizim klasik probabiliteti i një ngjarjeje.
Gjeni teorema për mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve.
Përcaktoni një grup të plotë ngjarjesh.
Shkruani formulën për probabilitetin total.
Shkruani formulën e Bayes.
Shkruani formulën e Bernulit.
Shkruani formulën e Poisson-it.
Shkruani formulën lokale të Laplace.
Shkruani formulën integrale të Laplasit.
Tema 13. Ndryshorja e rastit dhe karakteristikat e saj numerike
Literatura: ,,,,,.
Një nga konceptet kryesore në teorinë e probabilitetit është koncepti i një ndryshoreje të rastësishme. Ky është emri i zakonshëm për një sasi të ndryshueshme që merr vlerat e saj në varësi të rastit. Ekzistojnë dy lloje të ndryshoreve të rastësishme: diskrete dhe të vazhdueshme. Ndryshoret e rastësishme zakonisht shënohen si X,Y,Z.
Një ndryshore e rastësishme X quhet e vazhdueshme (diskrete) nëse mund të marrë vetëm një numër të fundëm ose të numërueshëm vlerash. Një ndryshore diskrete e rastësishme X përcaktohet nëse të gjitha vlerat e saj të mundshme x 1 , x 2 , x 3 , ... x n (numri i të cilave mund të jetë ose i fundëm ose i pafund) dhe probabilitetet përkatëse p 1 , p 2 , p 3 , ... p janë dhënë n.
Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X zakonisht jepet nga tabela:
Rreshti i parë përbëhet nga vlerat e mundshme ndryshore e rastësishme X, dhe rreshti i dytë tregon probabilitetet e këtyre vlerave. Shuma e probabiliteteve me të cilat ndryshorja e rastësishme X merr të gjitha vlerat e saj është e barabartë me një, d.m.th.
р 1 +р 2 + р 3 +…+р n =1.
Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X mund të përshkruhet grafikisht. Për ta bërë këtë, në një sistem koordinativ drejtkëndor, ndërtoni pikat M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) dhe i lidhim me segmente drejt Shifra që rezulton quhet shumëkëndëshi i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X.
Shembull. Vlera diskrete X jepet nga ligji i mëposhtëm i shpërndarjes:
Kërkohet të llogaritet: a) pritshmëria matematikore M(X), b) varianca D(X), c) devijimi standard σ.
Zgjidhje . a) Pritshmëria matematikore M(X) e një ndryshoreje të rastësishme diskrete X është shuma e produkteve në çift të të gjitha vlerave të mundshme të ndryshores së rastësishme nga probabilitetet përkatëse të këtyre vlerave të mundshme. Nëse një ndryshore diskrete e rastësishme X është specifikuar duke përdorur tabelën (1), atëherë pritshmëria matematikore M(X) llogaritet duke përdorur formulën
M(X)=x 1 ∙p 1 +x 2 ∙p 2 +x 3 ∙p 3 +…+x n ∙p n. (2)
Pritshmëria matematikore M(X) quhet edhe vlera mesatare e ndryshores së rastësishme X. Duke zbatuar (2), marrim:
M(X)=48∙0,2+53∙0,4+57∙0,3 +61∙0,1=54.
b) Nëse M(X) është pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme X, atëherë diferenca X-M(X) quhet devijimi ndryshorja e rastësishme X nga vlera mesatare. Ky ndryshim karakterizon shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme.
Varianca(shpërndarja) e një ndryshoreje të rastësishme diskrete X është pritshmëria matematikore (vlera mesatare) e devijimit në katror të ndryshores së rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore. Pra, sipas përkufizimit kemi:
D(X)=M 2 . (3)
Le të llogarisim të gjitha vlerat e mundshme të devijimit në katror.
2 =(48-54) 2 =36
2 =(53-54) 2 =1
2 =(57-54) 2 =9
2 =(61-54) 2 =49
Për të llogaritur dispersionin D(X), ne hartojmë ligjin e shpërndarjes së devijimit në katror dhe më pas zbatojmë formulën (2).
D(X)= 36∙0,2+1∙0,4+9∙0,3 +49∙0,1=15,2.
Duhet të theksohet se për llogaritjen e variancës shpesh përdoret vetia e mëposhtme: varianca D(X) është e barabartë me diferencën midis pritjes matematikore të katrorit të ndryshores së rastësishme X dhe katrorit të pritjes së saj matematikore, d.m.th.
D(X)-M(X 2)- 2. (4)
Për të llogaritur shpërndarjen duke përdorur formulën (4), ne hartojmë ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X 2:
Tani le të gjejmë pritshmërinë matematikore M(X 2).
M(X 2)= (48) 2 ∙0.2+(53) 2 ∙0.4+(57) 2 ∙0.3 +(61) 2 ∙0.1=
460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.
Duke aplikuar (4), marrim:
D(X)=2931.2-(54) 2 =2931.2-2916=15.2.
Siç mund ta shihni, ne morëm të njëjtin rezultat.
c) Dimensioni i variancës është i barabartë me katrorin e dimensionit të ndryshores së rastit. Prandaj, për të karakterizuar shpërndarjen e vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme rreth vlerës së saj mesatare, është më e përshtatshme të merret parasysh një vlerë që është e barabartë me vlerën aritmetike të rrënjës katrore të variancës, d.m.th. 
. Kjo vlerë quhet devijimi standard i ndryshores së rastësishme X dhe shënohet me σ. Kështu
σ= 
. (5)
Duke aplikuar (5), kemi: σ= 
.
Shembull. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet sipas ligjit normal. Pritshmëria matematikore M(X)=5; variancëD(X)=0.64. Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit X të marrë një vlerë në intervalin (4;7).
Zgjidhje Dihet që nëse një ndryshore e rastësishme X specifikohet nga një funksion diferencial f(x), atëherë probabiliteti që X të marrë një vlerë që i përket intervalit (α, β) llogaritet me formulën
. (1)
Nëse vlera X shpërndahet sipas ligjit normal, atëherë funksioni diferencial
,
Ku A=M(X) dhe σ= 
. Në këtë rast, marrim nga (1)
. (2)
Formula (2) mund të transformohet duke përdorur funksionin Laplace.
Le të bëjmë një zëvendësim. Le 
. Pastaj 
ose dx=σ∙
dt.
Prandaj 
, ku t 1 dhe t 2 janë kufijtë përkatës për ndryshoren t.
Duke reduktuar me σ, kemi
Nga zëvendësimi i futur 
vijon se 
Dhe 
.
Kështu,
(3)
Sipas kushteve të problemës kemi: a=5; σ= 
=0,8; α=4; β=7. Duke zëvendësuar këto të dhëna në (3), marrim:
=Ф(2.5)-Ф(-1.25)=
=F(2.5)+F(1.25)=0.4938+0.3944=0.8882.
Shembull. Besohet se devijimi i gjatësisë së pjesëve të prodhuara nga standardi është një ndryshore e rastësishme e shpërndarë sipas një ligji normal. Gjatësia standarde (pritshmëria matematikore) a=40 cm, devijimi standard σ=0,4 cm Gjeni probabilitetin që devijimi i gjatësisë nga standardi të jetë vlere absolute jo më shumë se 0.6 cm.
Zgjidhje.Nëse X është gjatësia e pjesës, atëherë sipas kushteve të problemit kjo vlerë duhet të jetë në intervalin (a-δ,a+δ), ku a=40 dhe δ=0,6.
Duke vendosur α= a-δ dhe β= a+δ në formulën (3), marrim
. (4)
Duke zëvendësuar të dhënat e disponueshme në (4), marrim:
Prandaj, probabiliteti që gjatësia e pjesëve të prodhuara të jetë në rangun nga 39.4 në 40.6 cm është 0.8664.
Shembull. Diametri i pjesëve të prodhuara nga një fabrikë është një ndryshore e rastësishme e shpërndarë sipas një ligji normal. Gjatësia standarde e diametrit a=2.5 cm, devijimi standard σ=0.01. Brenda çfarë kufijsh mund të garantohet praktikisht gjatësia e diametrit të kësaj pjese nëse një ngjarje me probabilitet 0,9973 merret si e besueshme?
Zgjidhje. Sipas kushteve të problemit kemi:
a=2,5; σ=0,01; .
Duke aplikuar formulën (4), marrim barazinë:
ose 
.
Nga tabela 2 gjejmë se funksioni Laplace e ka këtë vlerë x=3. Prandaj, 
; prej nga σ=0.03.
Në këtë mënyrë, mund të garantohet se gjatësia e diametrit do të ndryshojë midis 2,47 dhe 2,53 cm.
Në këtë kapitull do të studiojmë dukuritë që ndodhin pranë ndërfaqes midis dy mediave të vazhdueshme (në realitet, natyrisht, trupat kontaktues ndahen nga një shtresë e ngushtë kalimi, e cila, për shkak të trashësisë së saj shumë të vogël, mund të konsiderohet si një sipërfaqe ).
Nëse ndërfaqja ndërmjet dy mediave është e lakuar, atëherë pranë saj presionet në të dy mediat janë të ndryshme. Për të përcaktuar këtë ndryshim presioni (i quajtur presion sipërfaqësor), do të shkruajmë kushtin për ekuilibrin termodinamik të të dy trupave me njëri-tjetrin, duke marrë parasysh vetitë e ndërfaqes së tyre.
Lëreni ndërfaqen t'i nënshtrohet një zhvendosjeje pafundësisht të vogël. Në çdo pikë të sipërfaqes së pazhvendosur ne tërheqim një normale në të. Segmenti normal i mbyllur midis kryqëzimeve të tij me sipërfaqet e pazhvendosura dhe të zhvendosura shënohet me Pastaj vëllimi i secilit element të hapësirës së mbyllur midis sipërfaqeve është vendi ku elementi i sipërfaqes. Le të jetë presioni në median e parë dhe të dytë dhe ne do ta konsiderojmë atë pozitiv nëse ndërfaqja zhvendoset, le të themi, drejt mediumit të dytë. Atëherë puna që duhet bërë për ndryshimin e përshkruar në vëllim është e barabartë me
Puna e plotë e zhvendosjes së sipërfaqes do të merret duke shtuar këtu më shumë punë që lidhen me një ndryshim në zonën e vetë kësaj sipërfaqeje. Kjo pjesë e punës është proporcionale, siç dihet, me ndryshimin e sipërfaqes dhe është e barabartë me , ku a është tensioni sipërfaqësor. Kështu, puna totale është e barabartë me
Gjendja e ekuilibrit termodinamik përcaktohet, siç dihet, duke u zhdukur.
Më pas, elementët e gjatësisë në sipërfaqe, të vizatuar në rrafshet e seksioneve kryesore të saj, marrin rritje me një zhvendosje infiniteminale të sipërfaqes, të cilat janë të barabarta, përkatësisht, për t'u konsideruar si elementë të një harku rrathësh me rreze . Prandaj, elementi i sipërfaqes do të jetë i barabartë pas zhvendosjes
dmth do të ndryshojë nga shuma
Nga kjo mund të shihet se ndryshimi total në zonën e ndërfaqes është
Duke zëvendësuar shprehjet rezultuese në (61.1) dhe duke i barazuar ato me zero, marrim kushtin e ekuilibrit në formën
Ky kusht duhet të plotësohet për një zhvendosje arbitrare infiniteminale të sipërfaqes, d.m.th., për një arbitrare Prandaj, është e nevojshme që shprehja nën integralin në kllapa të zhduket në mënyrë identike, d.m.th.
Kjo është formula (formula e Lapplace) që përcakton presionin në sipërfaqe. Ne shohim se nëse ato janë pozitive, atëherë . Kjo do të thotë se nga të dy trupat, presioni është më i madh në atë, sipërfaqja e të cilit është konveks. Nëse, domethënë, ndërfaqja është e sheshtë, atëherë presionet në të dy trupat, siç duhet të jenë, janë të njëjta.
Le të zbatojmë formulën (61.3) për të studiuar ekuilibrin mekanik të trupave kontaktues. Le të supozojmë se as ndërfaqja dhe as vetë trupat nuk ndikohen nga ndonjë forcë e jashtme. Pastaj përgjatë secilit prej trupave presioni është konstant. Duke pasur parasysh formulën (61.3), ne mund të shkruajmë gjendjen e ekuilibrit në formë
(61,4)
Kështu, shuma e rrezeve të anasjellta të lakimit duhet të jetë konstante përgjatë gjithë ndërfaqes së lirë. Nëse e gjithë sipërfaqja është e lirë, atëherë kushti (60.4) do të thotë që sipërfaqja duhet të ketë një formë sferike (për shembull, sipërfaqja e një rënieje të vogël, ndikimi i gravitetit në të cilin mund të neglizhohet). Nëse sipërfaqja është e fiksuar përgjatë një linje (për shembull, një film i lëngshëm në një kornizë të fortë), atëherë forma e saj është më komplekse.
Kur aplikohet në ekuilibrin e filmave të hollë të lëngut të ngjitur në një kornizë të fortë, kushti (61.4) duhet të ketë një zero në të djathtë. Në të vërtetë, shuma duhet të jetë e njëjtë përgjatë gjithë sipërfaqes së lirë të filmit dhe në të njëjtën kohë në të dy anët e tij duhet të ketë shenjën e kundërt, pasi nëse njëra anë është konveks, atëherë tjetra është konkave me të njëjtat rreze lakimi. , e cila, megjithatë, tani duhet të konsiderohet negative. Nga kjo rrjedh se kushti i ekuilibrit për një shtresë të hollë është
Le të shqyrtojmë tani gjendjen e ekuilibrit në sipërfaqen e një trupi të vendosur në një fushë gravitacionale. Le të supozojmë për thjeshtësi se mediumi i dytë është thjesht atmosfera, presioni i së cilës mund të konsiderohet konstant mbi madhësinë e trupit. Le të konsiderojmë një lëng të papërshtatshëm si vetë trupi. Pastaj kemi , dhe presioni në lëng është i barabartë sipas (koordinata z matet vertikalisht lart). Kështu, gjendja e ekuilibrit merr formën
(61,6)
Sidoqoftë, duhet theksuar se për të përcaktuar formën e ekuilibrit të sipërfaqes së lëngshme në raste specifike, zakonisht është e përshtatshme të përdoret kushti i ekuilibrit jo në formën (61.6), por duke zgjidhur drejtpërdrejt problemin e variacionit të minimumit. energji e lirë. Energjia e brendshme e lirë e një lëngu varet vetëm nga vëllimi, por jo nga forma e sipërfaqes. Së pari, energjia pa sipërfaqe varet nga forma
dhe, së dyti, energjia në fushën e jashtme (fusha e gravitetit), e barabartë me
Kështu, kushti i ekuilibrit mund të shkruhet si
Përcaktimi i minimumit duhet të bëhet nën kushtin shtesë
(61,8)
duke shprehur qëndrueshmërinë e vëllimit të përgjithshëm të lëngut.
Konstantet hyjnë në kushte ekuilibri (61.6-7) vetëm në formën e një raporti. Ky raport ka dimensionin e katrorit të gjatësisë. Gjatësia
quhet konstante kapilare. Forma e sipërfaqes së lëngshme përcaktohet vetëm nga kjo sasi. Nëse konstanta kapilar është e madhe (në krahasim me madhësinë e trupit), atëherë fusha gravitacionale mund të neglizhohet kur përcaktohet forma e sipërfaqes.
Për të përcaktuar formën e sipërfaqes nga gjendja (61.4) ose (61.6), është e nevojshme të kemi formula që përcaktojnë rrezet e lakimit në bazë të formës së sipërfaqes. Këto formula njihen nga gjeometria diferenciale, por në rastin e përgjithshëm janë mjaft pamje komplekse. Ato thjeshtohen shumë kur forma e sipërfaqes vetëm pak devijon nga e sheshta. Këtu do të nxjerrim formulën e përafërt përkatëse drejtpërdrejt, pa përdorur formulë e përgjithshme gjeometri diferenciale.
Le të jetë ekuacioni i sipërfaqes; supozojmë se kudo është e vogël, d.m.th se sipërfaqja devijon pak nga rrafshi Siç dihet sipërfaqja f e sipërfaqes përcaktohet nga integrali
ose afërsisht në të vogla
Le të përcaktojmë variacionin
Duke u integruar sipas pjesëve, gjejmë:
Duke e krahasuar këtë shprehje me (61.2), marrim:
Kjo është formula e kërkuar që përcakton shumën e rrezeve të anasjellta të lakimit të një sipërfaqeje të lakuar dobët.
Kur tre faza në kontakt me njëra-tjetrën janë në ekuilibër, ndërfaqet e tyre vendosen në atë mënyrë që rezultanta e tre forcave të tensionit sipërfaqësor që veprojnë në vijë e përbashkët kontakti i tre mjediseve. Kjo gjendje çon në faktin se ndërfaqet duhet të kryqëzohen me njëra-tjetrën në kënde (të ashtuquajturat kënde kontakti) të përcaktuara nga vlerat e tensionit sipërfaqësor.
Së fundi, le të ndalemi në çështjen e kushteve kufitare që duhet të respektohen në kufirin e dy lëngjeve lëvizëse kur merren parasysh forcat e tensionit sipërfaqësor. Nëse tensioni sipërfaqësor nuk merret parasysh, atëherë në kufirin e dy lëngjeve kemi:
që shpreh barazinë e forcave të fërkimit që veprojnë në sipërfaqen e të dy lëngjeve. Kur merret parasysh tensioni sipërfaqësor, është e nevojshme të shkruhet në anën e djathtë të kësaj gjendjeje një forcë shtesë, e përcaktuar në madhësi nga formula e Laplace dhe e drejtuar normalisht në sipërfaqe:
Përndryshe, ju mund ta shkruani këtë ekuacion në formë
Gjendja (61.13), megjithatë, nuk është ende më e përgjithshme. Fakti është se koeficienti i tensionit sipërfaqësor a mund të mos jetë konstant përgjatë sipërfaqes (për shembull, si rezultat i ndryshueshmërisë së temperaturës). Më pas, së bashku me forcën normale (duke zhdukur në rastin e një sipërfaqeje të sheshtë), shfaqet një forcë shtesë, e drejtuar në mënyrë tangjenciale në sipërfaqe. Ngjashëm me mënyrën se si me presion të pabarabartë një forcë vëllimore shfaqet e barabartë me (për njësi vëllimi) - këtu kemi për forcën tangjenciale që vepron për njësinë e sipërfaqes së ndërfaqes, .
Ne e shkruajmë gradientin këtu me një shenjë plus përpara, dhe jo me një shenjë minus, si në fuqi - për faktin se forcat e tensionit sipërfaqësor priren të zvogëlojnë sipërfaqen, ndërsa forcat e presionit priren të rrisin vëllimin e trupi. Duke shtuar këtë forcë në anën e djathtë të barazisë (61.13), marrim kushtin kufitar
(vektori normal i njësisë drejtohet në lëngun e parë). Vini re se kjo gjendje mund të plotësohet vetëm për një lëng viskoz. Në të vërtetë, për një lëng ideal, atëherë ana e majtë e barazisë (61.14) do të jetë një vektor i drejtuar përgjatë normales, dhe ana e djathtë do të jetë një vektor i drejtuar tangjencialisht në sipërfaqe. Por një barazi e tillë është e pamundur (përveç, natyrisht, për rastin e parëndësishëm kur këto sasi janë secila e barabartë me zero individualisht).
Vetitë e lëngjeve.
Veçoritë e gjendjes së lëngshme të materies. Molekulat e një lënde në gjendje të lëngët ndodhen afër njëra-tjetrës, si në gjendjen e ngurtë. Prandaj, vëllimi i lëngut varet pak nga presioni. Qëndrueshmëria e vëllimit të zënë është një veti e përbashkët për lëngjet dhe trupat e ngurtë dhe i dallon ato nga gazrat, të cilët janë në gjendje të zënë çdo vëllim që u jepet.
Mundësia e lëvizjes së lirë të molekulave në lidhje me njëra-tjetrën përcakton vetinë e rrjedhshmërisë së një lëngu. Trupi në gjendje të lëngët, si dhe në gjendje të gaztë, nuk ka formë konstante. Forma e një trupi të lëngshëm përcaktohet nga forma e enës në të cilën ndodhet lëngu, veprimi i forcave të jashtme dhe forcave të tensionit sipërfaqësor. Liria më e madhe e lëvizjes së molekulave në një lëng çon në një shkallë më të madhe të difuzionit në lëngje në krahasim me trupat e ngurtë, duke siguruar mundësinë e tretjes trupat e ngurtë në lëngje.
Tensioni sipërfaqësor.
Tensioni sipërfaqësor. Shfaqja e forcave shoqërohet me forcat e tërheqjes midis molekulave dhe lëvizshmërinë e molekulave në lëngje tensioni sipërfaqësor.
Brenda një lëngu, forcat tërheqëse që veprojnë në një molekulë nga molekulat e saj fqinje kompensohen reciprokisht. Çdo molekulë e vendosur pranë sipërfaqes së një lëngu tërhiqet nga molekulat e vendosura brenda lëngut. Nën ndikimin e këtyre forcave, molekulat nga sipërfaqja e lëngut lëvizin në lëng dhe numri i molekulave në sipërfaqe zvogëlohet derisa sipërfaqja e lirë e lëngut të arrijë vlerën minimale të mundshme në kushtet e dhëna. Një sferë ka sipërfaqen minimale midis trupave të një vëllimi të caktuar, prandaj, në mungesë ose veprim të papërfillshëm të forcave të tjera, lëngu, nën ndikimin e forcave të tensionit sipërfaqësor, merr formën e një sfere.
Vetia e tkurrjes së sipërfaqes së lirë të një lëngu në shumë dukuri duket sikur lëngu është i mbuluar me një shtresë të hollë elastike të shtrirë që tenton të tkurret.
Forca e tensionit sipërfaqësor është forca që vepron përgjatë sipërfaqes së një lëngu pingul me vijën që kufizon këtë sipërfaqe dhe tenton ta reduktojë atë në minimum.
Varni një tel në formë U në grepin e një dinamometri susta. Gjatësia anësore AB e barabartë me l. Shtrirja fillestare e sustës së dinamometrit nën veprimin e gravitetit të telit mund të përjashtohet nga shqyrtimi duke vendosur ndarjen e shkallës zero përballë treguesit të forcës vepruese.
Le ta ulim telin në ujë, pastaj ngadalë ulim enën me ujë poshtë (Fig. 92). Përvoja tregon se në këtë rast një film lëngu formohet përgjatë telit dhe susta e dinamometrit shtrihet. Duke përdorur leximet e dinamometrit, mund të përcaktoni forcën e tensionit sipërfaqësor. Duhet të kihet parasysh se filmi i lëngshëm ka dy sipërfaqe (Fig. 93) dhe forca elastike është e barabartë në modul me dyfishin e forcës së tensionit sipërfaqësor:
Nëse merrni një tel me një anë AB, dyfishuar gjatësi më të gjatë, atëherë vlera e forcës së tensionit sipërfaqësor rezulton të jetë dy herë më e madhe. Eksperimentet me tela me gjatësi të ndryshme tregojnë se raporti i modulit të forcës së tensionit sipërfaqësor që vepron në kufirin e një shtrese sipërfaqësore me gjatësi l, për këtë gjatësi ka një vlerë konstante që nuk varet nga gjatësia l. Kjo sasi quhet koeficienti i tensionit sipërfaqësor dhe shënohet me shkronjën greke "sigma":
. (27.1)
Koeficienti i tensionit sipërfaqësor shprehet në njuton për metër(N/m). Tensioni sipërfaqësor ndryshon ndërmjet lëngjeve.
Nëse forcat e tërheqjes ndërmjet molekulave të lëngshme janë më të vogla se forcat e tërheqjes ndërmjet molekulave të lëngëta dhe sipërfaqes së një trupi të ngurtë, atëherë lëngu lag sipërfaqen e lëndës së ngurtë. Nëse forcat e bashkëveprimit ndërmjet molekulave të lëngëta dhe molekulave të ngurta janë më të vogla se forcat e bashkëveprimit ndërmjet molekulave të lëngëta, atëherë lëngu nuk e lag sipërfaqen e lëndës së ngurtë.
Dukuritë kapilare.
Dukuritë kapilare. Veçoritë e bashkëveprimit të lëngjeve me sipërfaqet e lagura dhe jo të lagura të trupave të ngurtë janë shkaktar i dukurive kapilare.
Kapilare quhet tub me diametër të vogël të brendshëm. Merrni një tub qelqi kapilar dhe zhytni njërin skaj të tij në ujë. Përvoja tregon se niveli i ujit brenda tubit kapilar është më i lartë se niveli i sipërfaqes së ujit të hapur.
Kur sipërfaqja e një trupi të ngurtë laget plotësisht nga një lëng, forca e tensionit sipërfaqësor mund të konsiderohet e drejtuar përgjatë sipërfaqes së trupit të ngurtë pingul me kufirin e kontaktit midis trupit të ngurtë dhe lëngut. Në këtë rast, ngritja e lëngut përgjatë sipërfaqes së lagur vazhdon derisa forca e gravitetit që vepron në kolonën e lëngut në kapilar dhe e drejtuar poshtë bëhet e barabartë në madhësi me forcën e tensionit sipërfaqësor që vepron përgjatë kufirit të kontaktit të lëngut. me sipërfaqen e kapilarit (Fig. 94):
,
.
Nga këtu zbulojmë se lartësia e ngritjes së kolonës së lëngshme në kapilar është në përpjesëtim të zhdrejtë me rrezen e kapilarit:
(27.2)
formula e Laplace.
Dihet se sipërfaqja e një lëngu pranë mureve të një ene është e lakuar. Sipërfaqe e lirë lëngu, i lakuar pranë mureve të enës quhet menisk(Fig. 145).
Le të shqyrtojmë një film të hollë të lëngshëm, trashësia e të cilit mund të neglizhohet. Në përpjekje për të minimizuar energjinë e tij të lirë, filmi krijon një ndryshim presioni nga anë të ndryshme. Për shkak të veprimit të forcave të tensionit sipërfaqësor në pika të lëngshme dhe brenda flluskave të sapunit, presion shtesë(filmi është i ngjeshur derisa presioni brenda flluskës tejkalon presionin atmosferik me sasinë e presionit shtesë të filmit).
 Oriz. 146. |
Le të shqyrtojmë sipërfaqen e një lëngu që mbështetet në një kontur të sheshtë (Fig. 146, A). Nëse sipërfaqja e lëngut nuk është e rrafshët, atëherë tendenca e tij për t'u tkurrur do të çojë në shfaqjen e presionit, shtesë ndaj asaj që përjeton një lëng me sipërfaqe të sheshtë. Në rastin e një sipërfaqeje konvekse, ky presion shtesë është pozitiv (Fig. 146, b), në rastin e një sipërfaqe konkave - negative (Fig. 146, V). Në rastin e fundit, shtresa sipërfaqësore, duke u përpjekur të tkurret, shtrin lëngun.
Sasia e presionit shtesë, natyrisht, duhet të rritet me rritjen e koeficientit të tensionit sipërfaqësor dhe lakimit të sipërfaqes.
 Oriz. 147. |
.
Kjo forcë shtyp të dy hemisferat kundër njëra-tjetrës përgjatë sipërfaqes dhe, për rrjedhojë, shkakton presion shtesë: 
Lakimi i një sipërfaqe sferike është i njëjtë kudo dhe përcaktohet nga rrezja e sferës. Natyrisht, sa më e vogël, aq më e madhe është lakimi i sipërfaqes sferike.
Presioni i tepërt brenda flluskës së sapunit është dy herë më i lartë, pasi filmi ka dy sipërfaqe:
Presioni shtesë shkakton një ndryshim në nivelin e lëngut në tubat e ngushtë (kapilarët), si rezultat i të cilit ndonjëherë quhet presioni kapilar.
Lakimi i një sipërfaqeje arbitrare zakonisht karakterizohet nga e ashtuquajtura lakim mesatar, i cili mund të jetë i ndryshëm për pika të ndryshme të sipërfaqes.
Vlera jep lakimin e sferës. Në gjeometri është vërtetuar se gjysma e shumës së rrezeve reciproke të lakimit për çdo çift seksionesh normale reciproke pingule ka të njëjtën vlerë:
. (1)
Kjo vlerë është lakimi mesatar i sipërfaqes në një pikë të caktuar. Në këtë formulë, rrezet janë madhësi algjebrike. Nëse qendra e lakimit të një seksioni normal është nën një sipërfaqe të caktuar, rrezja përkatëse e lakimit është pozitive; nëse qendra e lakimit shtrihet mbi sipërfaqe, rrezja e lakimit është negative (Fig. 148).
 Oriz. 148. |
Për shembull, për një sferë, qendrat e lakimit në çdo pikë të sipërfaqes përkojnë me qendrën e sferës, prandaj . Për rastin e sipërfaqes së një cilindri rrethor me rreze kemi: , dhe .
Mund të vërtetohet se për një sipërfaqe të çdo forme relacioni është i vlefshëm:
Duke zëvendësuar shprehjen (1) në formulën (2), marrim formulën për presion shtesë nën një sipërfaqe arbitrare, të quajtur formula e Laplace(Fig. 148):
. (3)
Rrezet dhe në formulën (3) janë madhësi algjebrike. Nëse qendra e lakimit të një seksioni normal është nën një sipërfaqe të caktuar, rrezja përkatëse e lakimit është pozitive; nëse qendra e lakimit shtrihet mbi sipërfaqe, rrezja e lakimit është negative.
Shembull. Nëse ka një flluskë gazi në lëng, atëherë sipërfaqja e flluskës, që tenton të tkurret, do të ushtrojë presion shtesë mbi gazin. .
Le të gjejmë rrezen e një flluskë në ujë në të cilën presioni shtesë është i barabartë me 1 atm. .Koeficienti i tensionit sipërfaqësor të ujit është i barabartë me 
. Prandaj, për vlerën e mëposhtme fitohet: .
Në kontakt me një medium tjetër, është në kushte të veçanta në krahasim me pjesën tjetër të masës së lëngshme. Forcat që veprojnë në secilën molekulë të shtresës sipërfaqësore të lëngut që kufizohet me avullin drejtohen drejt vëllimit të lëngut, domethënë në lëng. Si rezultat, kërkohet punë për të lëvizur një molekulë nga thellësia e lëngut në sipërfaqe. Nëse në një temperaturë konstante sipërfaqja rritet me një sasi infinite të vogël dS, atëherë puna e kërkuar për këtë do të jetë e barabartë me. Puna për rritjen e sipërfaqes kryhet kundër forcave të tensionit sipërfaqësor, të cilat tentojnë të zvogëlojnë sipërfaqen. Prandaj, puna e tensionit sipërfaqësor e detyron veten të rrisë sipërfaqen e lëngut do të jetë e barabartë me:
Këtu quhet koeficienti i proporcionalitetit σ koeficienti i tensionit sipërfaqësor dhe përcaktohet nga sasia e punës së bërë nga forcat e tensionit sipërfaqësor bazuar në ndryshimin e sipërfaqes për njësi. Në SI, koeficienti i tensionit sipërfaqësor matet në J/m2.
Molekulat e shtresës sipërfaqësore të një lëngu kanë energji të tepërt potenciale në krahasim me molekulat e thella, e cila është drejtpërdrejt proporcionale me sipërfaqen e lëngut:
Rritja e energjisë potenciale të shtresës sipërfaqësore shoqërohet vetëm me rritjen e sipërfaqes: . Forcat e tensionit sipërfaqësor janë forca konservatore, prandaj barazia vlen: . Forcat e tensionit sipërfaqësor priren të zvogëlojnë energjinë potenciale të sipërfaqes së lëngshme. Në mënyrë tipike, energjia që mund të shndërrohet në punë quhet energji e lirë U S. Prandaj, ne mund ta shkruajmë atë. Duke përdorur konceptin e energjisë së lirë, mund të shkruajmë formulën (6.36) si më poshtë: . Duke përdorur barazinë e fundit mund të përcaktojmë koeficienti i tensionit sipërfaqësor si një sasi fizike numerikisht e barabartë me energjinë e lirë të një njësie të sipërfaqes së një lëngu.
Efekti i forcave të tensionit sipërfaqësor mund të vërehet duke përdorur një eksperiment të thjeshtë në një shtresë të hollë lëngu (për shembull, zgjidhje sapuni) që mbështjell një kornizë teli drejtkëndëshe, njëra anë e së cilës mund të përzihet (Fig. 6.11). Le të supozojmë se në anën e lëvizshme, gjatësia l, vepron një forcë e jashtme F B, duke lëvizur anën e lëvizshme të kornizës në mënyrë të njëtrajtshme në një distancë shumë të vogël dh. Puna elementare e kësaj force do të jetë e barabartë me , pasi forca dhe zhvendosja janë të bashkëdrejtuara. Meqenëse filmi ka dy sipërfaqe dhe forcat e tensionit sipërfaqësor F drejtohen përgjatë secilës prej tyre, shuma vektoriale e të cilave është e barabartë me forcën e jashtme. Moduli forcë e jashtme e barabartë me dyfishin e modulit të njërës prej forcave të tensionit sipërfaqësor: . Puna minimale e kryer forcë e jashtme, është e barabartë në madhësi me shumën e punës së bërë nga forcat e tensionit sipërfaqësor: . Sasia e punës së bërë nga forca e tensionit sipërfaqësor do të përcaktohet si më poshtë:
, Ku. Nga këtu. Kjo eshte koeficienti i tensionit sipërfaqësor
mund të përkufizohet si një vlerë e barabartë me forcën e tensionit sipërfaqësor që vepron në mënyrë tangjenciale me sipërfaqen e lëngut për njësi të gjatësisë së vijës ndarëse. Forcat e tensionit sipërfaqësor priren të zvogëlojnë sipërfaqen e një lëngu. Kjo vërehet për vëllime të vogla lëngu, kur merr formën e pikave-topave. Siç dihet, është sipërfaqja sferike që ka sipërfaqen minimale për një vëllim të caktuar. Lëngu i marrë sasi të mëdha, nën ndikimin e gravitetit, përhapet mbi sipërfaqen në të cilën ndodhet. Siç dihet, forca e gravitetit varet nga masa e trupit, prandaj edhe vlera e saj zvogëlohet me zvogëlimin e masës dhe në një masë të caktuar bëhet e krahasueshme ose edhe shumë më e vogël se vlera e forcës së tensionit sipërfaqësor. Në këtë rast, forca e gravitetit mund të neglizhohet. Nëse një lëng është në gjendje pa peshë, atëherë edhe me një vëllim të madh sipërfaqja e tij priret të jetë sferike. Këtë e vërteton përvoja e famshme e Plateau. Nëse zgjidhni dy lëngje me të njëjtën densitet, atëherë efekti i gravitetit në njërin prej tyre (i marrë në një sasi më të vogël) do të kompensohet nga forca e Arkimedit dhe do të marrë formën e një topi. Në këtë gjendje, ai do të notojë brenda një lëngu tjetër.
Le të shqyrtojmë se çfarë ndodh me një pikë lëngu 1, që kufizohet nga njëra anë me avullin 3, nga ana tjetër me lëngun 2 (Fig. 6.12). Le të zgjedhim një element shumë të vogël të ndërfaqes midis të tre substancave dl. Atëherë forcat e tensionit sipërfaqësor në ndërfaqet ndërmjet mediave do të drejtohen në mënyrë tangjenciale në konturin e ndërfaqeve dhe janë të barabarta me:
Ne e neglizhojmë efektin e gravitetit. Pika e lëngshme 1 është në ekuilibër nëse plotësohen kushtet e mëposhtme:
(6.38)
Duke zëvendësuar (6.37) në (6.38), duke reduktuar të dyja anët e barazive (6.38) me dl, duke vendosur në katror të dy anët e barazive (6.38) dhe duke i shtuar ato, marrim:
ku quhet këndi ndërmjet tangjenteve me vijat ndarëse të medias këndi i skajit.
Analiza e ekuacionit (6.39) tregon se kur marrim 
dhe lëngu 1 lag plotësisht sipërfaqen e lëngut 2, duke u përhapur mbi të në një shtresë të hollë ( fenomeni i plotë i lagështimit
).
Një fenomen i ngjashëm mund të vërehet kur një shtresë e hollë e lëngut 1 përhapet mbi sipërfaqe të ngurta 2. Ndonjëherë, përkundrazi, lëngu nuk përhapet mbi sipërfaqen e një trupi të ngurtë. Nëse 
, Kjo 
dhe lëngu 1 nuk e lag plotësisht trupin e ngurtë 2 ( fenomeni i mos lagjes së plotë
). Në këtë rast, ekziston vetëm një pikë kontakti ndërmjet lëngut 1 dhe të ngurtë 2. Lagja e plotë ose jo lagja janë raste kufizuese. Mund të shikoni vërtet lagja e pjesshme
, kur këndi i kontaktit është akut () dhe pjesërisht jo lagësht
, kur këndi i kontaktit është i mpirë ( 
).
Në figurën 6.13 A janë paraqitur rastet e lagështimit të pjesshëm dhe në figurën 6.13 b jepen shembuj të mosnjohjes së pjesshme. Rastet e shqyrtuara tregojnë se prania e forcave të tensionit sipërfaqësor të lëngjeve ose lëngjeve ngjitur në sipërfaqen e një trupi të ngurtë çon në lakimin e sipërfaqeve të lëngjeve.
Le të shqyrtojmë forcat që veprojnë në një sipërfaqe të lakuar. Lakimi i një sipërfaqe të lëngshme rezulton në forca që veprojnë në lëngun nën atë sipërfaqe. Nëse sipërfaqja është sferike, atëherë forcat e tensionit sipërfaqësor zbatohen në çdo element të perimetrit (shih Fig. 6.14), të drejtuara në mënyrë tangjenciale në sipërfaqe dhe me tendencë për ta shkurtuar atë. Rezultantja e këtyre forcave drejtohet drejt qendrës së sferës.
Për njësi sipërfaqeje, kjo forcë rezultante ushtron presion shtesë, i cili përjetohet nga lëngu nën sipërfaqen e lakuar. Ky presion shtesë quhet Presioni Laplace
. Gjithmonë drejtohet drejt qendrës së lakimit të sipërfaqes. Figura 6.15 tregon shembuj të sipërfaqeve sferike konkave dhe konvekse dhe tregon respektivisht presionet Laplace.
Le të përcaktojmë vlerën e presionit Laplace për një sipërfaqe sferike, cilindrike dhe çdo sipërfaqe.
Sipërfaqja sferike. Pika lëngu.
Me zvogëlimin e rrezes së sferës (Fig. 6.16), energjia sipërfaqësore zvogëlohet dhe puna kryhet nga forcat që veprojnë në rënie. Rrjedhimisht, vëllimi i lëngut nën një sipërfaqe sferike është gjithmonë disi i ngjeshur, domethënë, ai përjeton presionin Laplace, të drejtuar në mënyrë radiale në qendrën e lakimit. Nëse, nën ndikimin e këtij presioni, topi zvogëlon vëllimin e tij me dV, atëherë sasia e punës së kompresimit do të përcaktohet me formulën:
Ulja e energjisë sipërfaqësore ndodhi me një sasi të përcaktuar nga formula: (6.41)
Ulja e energjisë sipërfaqësore ndodhi për shkak të punës së kompresimit, prandaj, dA=dU S. Duke barazuar anët e djathta të barazive (6.40) dhe (6.41), dhe gjithashtu duke marrë parasysh atë dhe , marrim presionin e Laplace: (6.42)
Vëllimi i lëngut nën një sipërfaqe cilindrike, si dhe nën një sipërfaqe sferike, është gjithmonë disi i ngjeshur, domethënë, ai përjeton presionin Laplace të drejtuar në mënyrë radiale në qendrën e lakimit. Nëse, nën ndikimin e këtij presioni, cilindri zvogëlon vëllimin e tij me dV, atëherë madhësia e punës së ngjeshjes do të përcaktohet me formulën (6.40), vetëm madhësia e presionit të Laplasit dhe rritja e vëllimit do të jenë të ndryshme. Ulja e energjisë sipërfaqësore ndodhi nga sasia e përcaktuar nga formula (6.41). Ulja e energjisë sipërfaqësore ndodhi për shkak të punës së kompresimit, prandaj, dA=dU S. Duke barazuar anët e djathta të barazimeve (6.40) dhe (6.41), dhe gjithashtu duke marrë parasysh se për një sipërfaqe cilindrike dhe , marrim presionin e Laplace:
Duke përdorur formulën (6.45), mund të shkojmë te formula (6.42) dhe (6.44). Pra, për një sipërfaqe sferike, formula (6.45) do të thjeshtohet në formulën (6.42); për sipërfaqe cilindrike r 1 = r, a , atëherë formula (6.45) do të thjeshtohet në formulën (6.44). Për të dalluar një sipërfaqe konvekse nga një konkave, është e zakonshme të supozohet se presioni Laplace është pozitiv për një sipërfaqe konvekse, dhe në përputhje me rrethanat, rrezja e lakimit të sipërfaqes konvekse do të jetë gjithashtu pozitive. Për një sipërfaqe konkave, rrezja e lakimit dhe presioni Laplace konsiderohen negative.