Në atë të mëparshme, ne prezantuam një numër formulash që na lejojnë të gjejmë karakteristikat numerike të funksioneve kur dihen ligjet e shpërndarjes së argumenteve. Megjithatë, në shumë raste, për të gjetur karakteristikat numerike të funksioneve, nuk është e nevojshme të njihen as ligjet e shpërndarjes së argumenteve, por mjafton të njihen vetëm disa nga karakteristikat numerike të tyre; në të njëjtën kohë, ne përgjithësisht bëjmë pa ndonjë ligj të shpërndarjes. Përkufizimi karakteristikat numerike funksionet për karakteristikat e dhëna numerike të argumenteve përdoret gjerësisht në teorinë e probabilitetit dhe mund të thjeshtojë ndjeshëm zgjidhjen e një numri problemesh. Shumica e këtyre metodave të thjeshtuara lidhen me funksionet lineare; megjithatë, disa funksione elementare jolineare gjithashtu lejojnë një qasje të ngjashme.

Në këtë moment do të paraqesim një numër teoremash mbi karakteristikat numerike të funksioneve, të cilat së bashku paraqesin një aparat shumë të thjeshtë për llogaritjen e këtyre karakteristikave, të zbatueshme në një gamë të gjerë kushtesh.

1. Pritshmëria matematikore e një vlere jo të rastësishme

Vetia e formuluar është mjaft e dukshme; mund të vërtetohet duke konsideruar një variabël jo të rastësishëm si një lloj të veçantë të rastit, me një vlerë të mundshme me probabilitet një; atëherë sipas formulës së përgjithshme për pritshmërinë matematikore:

.

2. Shpërndarja e një ndryshoreje jo të rastësishme

Nese jo vlerë e rastësishme, Kjo

3. Zëvendësimi i një vlere jo të rastësishme për shenjën e pritjes matematikore

, (10.2.1)

domethënë, një vlerë jo e rastësishme mund të merret si shenjë e pritjes matematikore.

Dëshmi.

a) Për sasitë e ndërprera

b) Për sasi të vazhdueshme

.

4. Zëvendësimi i një vlere jo të rastësishme për shenjën e dispersionit dhe devijimit standard

Nëse është një sasi jo e rastësishme dhe është e rastësishme, atëherë

, (10.2.2)

dmth një vlerë jo e rastësishme mund të nxirret nga shenja e dispersionit duke e kuadruar atë.

Dëshmi. Sipas përkufizimit të variancës

Pasoja

,

domethënë, një vlerë jo e rastësishme mund të hiqet nga shenja e devijimit standard me vlerën e saj absolute. Vërtetimin e marrim duke marrë rrënjën katrore nga formula (10.2.2) dhe duke marrë parasysh se r.s.o. - një vlerë dukshëm pozitive.

5. Pritshmëria matematikore e shumës së ndryshoreve të rastit

Le të vërtetojmë se për çdo dy ndryshore të rastësishme dhe

d.m.th. vlera e pritur shuma e dy ndryshoreve të rastësishme është e barabartë me shumën e pritjeve të tyre matematikore.

Kjo veti njihet si teorema e mbledhjes së pritjeve matematikore.

Dëshmi.

a) Le të jetë një sistem variablash të rastësishëm të ndërprerë. Zbato në shumën e ndryshoreve të rastësishme formulë e përgjithshme(10.1.6) për pritshmërinë matematikore të një funksioni me dy argumente:

.

Ho nuk përfaqëson asgjë më shumë se probabilitetin total që sasia të marrë vlerën:

;

prandaj,

.

Në mënyrë të ngjashme do ta vërtetojmë këtë

,

dhe teorema vërtetohet.

b) Le të jetë një sistem variablash të rastësishëm të vazhdueshëm. Sipas formulës (10.1.7)

. (10.2.4)

Le të transformojmë të parin nga integralet (10.2.4):

;

në mënyrë të ngjashme

,

dhe teorema vërtetohet.

Duhet të theksohet posaçërisht se teorema për shtimin e pritjeve matematikore është e vlefshme për çdo ndryshore të rastësishme - të varur dhe të pavarur.

Teorema për shtimin e pritjeve matematikore përgjithësohet në një numër arbitrar termash:

, (10.2.5)

domethënë, pritshmëria matematikore e shumës së disa ndryshoreve të rastësishme është e barabartë me shumën e pritjeve të tyre matematikore.

Për ta vërtetuar atë, mjafton të përdoret metoda e induksionit të plotë.

6. Pritshmëria matematikore funksion linear

Konsideroni një funksion linear të disa argumenteve të rastit:

ku janë koeficientët jo të rastësishëm. Le ta vërtetojmë këtë

, (10.2.6)

dmth pritshmëria matematikore e një funksioni linear është e barabartë me të njëjtin funksion linear të pritjeve matematikore të argumenteve.

Dëshmi. Duke përdorur teoremën e mbledhjes së m.o. dhe rregulli i vendosjes së një sasie jo të rastësishme jashtë shenjës së m.o., marrim:

.

7. Dispepkjo shumë e variablave të rastit

Varianca e shumës së dy ndryshoreve të rastësishme është e barabartë me shumën e variancave të tyre plus dyfishin e momentit të korrelacionit:

Dëshmi. Le të shënojmë

Sipas teoremës së mbledhjes së pritjeve matematikore

Le të kalojmë nga ndryshoret e rastësishme në variablat përkatëse të qendrës. Duke zbritur barazinë (10.2.9) term pas termi nga barazia (10.2.8), kemi:

Sipas përkufizimit të variancës

Q.E.D.

Formula (10.2.7) për variancën e shumës mund të përgjithësohet në çdo numër termash:

, (10.2.10)

ku është momenti i korrelacionit të sasive, shenja nën shumë do të thotë që shuma shtrihet në të gjitha kombinimet e mundshme në çift të ndryshoreve të rastit .

Vërtetimi është i ngjashëm me atë të mëparshëm dhe rrjedh nga formula për katrorin e një polinomi.

Formula (10.2.10) mund të shkruhet në një formë tjetër:

, (10.2.11)

ku shuma e dyfishtë shtrihet në të gjithë elementët e matricës së korrelacionit të sistemit të sasive , që përmban si momente korrelacioni ashtu edhe varianca.

Nëse të gjitha variablat e rastësishme , të përfshira në sistem, janë të pakorreluara (d.m.th., kur ), formula (10.2.10) merr formën:

, (10.2.12)

pra varianca e shumës së variablave të rastësishme të pakorreluara është e barabartë me shumën e variancave të termave.

Ky pozicion njihet si teorema e shtimit të variancave.

8. Varianca e një funksioni linear

Le të shqyrtojmë një funksion linear të disa ndryshoreve të rastit.

ku janë sasitë jo të rastësishme.

Le të vërtetojmë se dispersioni i këtij funksioni linear shprehet me formulën

, (10.2.13)

ku është momenti i korrelacionit të sasive , .

Dëshmi. Le të prezantojmë shënimin:

. (10.2.14)

Duke zbatuar formulën (10.2.10) për shpërndarjen e shumës në anën e djathtë të shprehjes (10.2.14) dhe duke marrë parasysh se , marrim:

ku është momenti i korrelacionit të sasive:

.

Le të llogarisim këtë moment. Ne kemi:

;

në mënyrë të ngjashme

Duke e zëvendësuar këtë shprehje në (10.2.15), arrijmë në formulën (10.2.13).

Në rastin e veçantë kur të gjitha sasitë janë të pakorreluara, formula (10.2.13) merr formën:

, (10.2.16)

pra varianca e një funksioni linear të ndryshoreve të rastësishme të pakorreluara është e barabartë me shumën e prodhimeve të katrorëve të koeficientëve dhe variancave të argumenteve përkatëse.

9. Pritshmëria matematikore e një produkti të ndryshoreve të rastit

Pritshmëria matematikore e produktit të dy ndryshoreve të rastësishme është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore plus momentin e korrelacionit:

Dëshmi. Ne do të vazhdojmë nga përkufizimi i momentit të korrelacionit:

Le ta transformojmë këtë shprehje duke përdorur vetitë e pritjes matematikore:

e cila është padyshim ekuivalente me formulën (10.2.17).

Nëse variablat e rastësishëm janë të pakorreluara, atëherë formula (10.2.17) merr formën:

domethënë, pritshmëria matematikore e produktit të dy variablave të rastësishme të pakorreluara është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore.

Ky pozicion njihet si teorema e shumëzimit të pritjeve matematikore.

Formula (10.2.17) nuk është gjë tjetër veçse një shprehje e momentit të dytë qendror të përzier të sistemit përmes momentit të dytë fillestar të përzier dhe pritshmërive matematikore:

. (10.2.19)

Kjo shprehje përdoret shpesh në praktikë kur llogaritet momenti i korrelacionit në të njëjtën mënyrë që për një variabël të rastësishëm shpesh llogaritet varianca përmes momentit të dytë fillestar dhe pritshmërisë matematikore.

Teorema e shumëzimit të pritjeve matematikore përgjithësohet në një numër arbitrar faktorësh, vetëm në këtë rast për zbatimin e saj nuk mjafton që sasitë të jenë të pakorreluara, por kërkohet që disa momente të përziera më të larta, numri i të cilëve varet. në numrin e termave në produkt, zhduken. Këto kushte sigurisht që plotësohen nëse variablat e rastësishëm të përfshira në produkt janë të pavarura. Në këtë rast

, (10.2.20)

domethënë, pritshmëria matematikore e produktit të variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore.

Ky propozim mund të vërtetohet lehtësisht me induksion të plotë.

10. Varianca e prodhimit të ndryshoreve të pavarura të rastit

Le ta vërtetojmë këtë për sasi të pavarura

Dëshmi. Le të shënojmë. Sipas përkufizimit të variancës

Meqenëse sasitë janë të pavarura, dhe

Kur janë të pavarura, edhe sasitë janë të pavarura; prandaj,

,

Por nuk ka asgjë më shumë se momenti i dytë fillestar i madhësisë, dhe, për rrjedhojë, shprehet përmes shpërndarjes:

;

në mënyrë të ngjashme

.

Duke i zëvendësuar këto shprehje me formulën (10.2.22) dhe duke sjellë terma të ngjashëm, arrijmë në formulën (10.2.21).

Në rastin kur ndryshoret e rastësishme të përqendruara (variabla me pritje matematikore të barabarta me zero) shumëzohen, formula (10.2.21) merr formën:

, (10.2.23)

pra varianca e produktit të variablave të rastësishme me qendër të pavarur është e barabartë me produktin e variancave të tyre.

11. Momentet më të larta të shumës së ndryshoreve të rastit

Në disa raste është e nevojshme të llogariten momentet më të larta të shumës së ndryshoreve të pavarura të rastit. Le të provojmë disa marrëdhënie që lidhen këtu.

1) Nëse sasitë janë të pavarura, atëherë

Dëshmi.

prej nga, sipas teoremës së shumëzimit të pritjeve matematikore

Por momenti i parë qendror për çdo sasi e barabartë me zero; dy termat e mesëm zhduken dhe formula (10.2.24) vërtetohet.

Lidhja (10.2.24) përgjithësohet lehtësisht me induksion në një numër arbitrar termash të pavarur:

. (10.2.25)

2) Momenti i katërt qendror i shumës së dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura shprehet me formulën

ku janë variancat e sasive dhe .

Prova është plotësisht e ngjashme me atë të mëparshme.

Duke përdorur metodën e induksionit të plotë, është e lehtë të vërtetohet përgjithësimi i formulës (10.2.26) në një numër arbitrar termash të pavarur.

1.Varianca e konstantës C është e barabartë me 0,DC = 0, ME = konst.

Dëshmi.DC = M(ME– M.C.) 2 = M(ME– ME) = 0.

2.D(CX) = ME 2 DX.

Dëshmi. D(CX) = M(CX) 2 – M 2 (CX) = C 2 MX 2 – C 2 (MX) 2 = C 2 (MX 2 – M 2 X) = ME 2 DX.

3. Nëse X dhe Y – variabla të rastësishme të pavarura, Se

Dëshmi.

4. Nëse X 1 , X 2 , … atëherë nuk janë të varur .

Kjo veti mund të vërtetohet me induksion duke përdorur Vetinë 3.

Dëshmi. D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1) 2 D(Y) = DX + D(Y).

6.

Dëshmi. D(C+X) = M(X+C–M(X+C)) 2 = M(X+C–MX–MC) 2 = M(X+C–MX–C) 2 = M(X– MX) 2 = DX.

Lë të jenë variabla të rastësishme të pavarura, dhe .

Le të krijojmë një ndryshore të re të rastësishme, të gjejmë pritshmërinë dhe variancën matematikore Y.

; .

Domethënë kur n®¥ pritshmëria matematikore e mesatares aritmetike të n variablave të rastësishme të pavarura të shpërndara identike mbetet e pandryshuar, e barabartë me pritshmërinë matematikore a, ndërsa varianca priret në zero.

Kjo veti e stabilitetit statistikor të mesatares aritmetike qëndron në bazën e ligjit të numrave të mëdhenj.

Vetitë e dispersionit - koncepti dhe llojet. Klasifikimi dhe veçoritë e kategorisë "Vetitë e shpërndarjes" 2017, 2018.

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme karakterizon masën e përhapjes së një ndryshoreje të rastësishme rreth pritshmërisë së saj matematikore.

Nëse një ndryshore e rastësishme x ka një pritshmëri matematikore M x, Kjo dispersion ndryshorja e rastësishme x është sasia D x = M (x - M x) 2 .

Është e lehtë ta tregosh këtë D x = M (x - M x) 2 =M x 2 - M (x) 2.

Kjo formulë universale zbatohet njësoj mirë si për variablat diskrete të rastësishme ashtu edhe për ato të vazhdueshme. Madhësia M x 2 >për variablat e rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme, përkatësisht, llogaritet duke përdorur formulat

, .

Për të përcaktuar masën e shpërndarjes së vlerave të një ndryshoreje të rastësishme, përdoret shpesh devijimi standard, lidhur me dispersionin nga relacioni .

Karakteristikat themelore të dispersionit:

• varianca e konstantës është zero, D c=0;

• për një konstante arbitrare D (cx) = c 2 D (x);

• varianca e shumës së dy të pavarur variablat e rastësishëm të barabartë me shumën e variancave të tyre: D (x± h) = D (x) + D (h).

51) Funksioni i shpërndarjes është funksioni , e cila përcakton probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë që përshkruhet në boshtin e numrave nga një pikë që shtrihet në të majtë të pikës x, d.m.th.

Ndonjëherë në vend të termit "funksion i shpërndarjes" përdoret termi "funksion integral".

Karakteristikat e funksionit të shpërndarjes:

1. Vlerat e funksionit të shpërndarjes i përkasin segmentit: 0 F(x) 1
2. F(x) është funksion që nuk zvogëlohet, d.m.th. F(x 2) F(x 1), nëse x 2 >x 1

Përfundim 1. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë të përmbajtur në intervalin (a,b) është e barabartë me rritjen e funksionit të shpërndarjes në këtë interval:

P(a X

Shembulli 9. Ndryshorja e rastësishme X jepet nga funksioni i shpërndarjes:

Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit X të marrë një vlerë që i përket intervalit (0;2): P(0

Zgjidhje: Meqenëse në intervalin (0;2) sipas kushtit, F(x)=x/4+1/4, atëherë F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Pra P(0

Përfundim 2. Probabiliteti që një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X të marrë një vlerë specifike është zero.

Përfundim 3. Nëse vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme i përkasin intervalit (a;b), atëherë: 1) F(x)=0 për x a; 2) F(x)=1 në x b.
Marrëdhëniet kufitare të mëposhtme janë të vlefshme:

Grafiku i funksionit të shpërndarjes ndodhet në brezin e kufizuar nga drejtëzat y=0, y=1 (vetia e parë). Ndërsa x rritet në intervalin (a;b), i cili përmban të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme, grafiku "ngjitet lart". Në x a ordinatat e grafikut janë të barabarta me zero; në x b ordinatat e grafikut janë të barabarta me një:

Funksioni i shpërndarjes ndryshore e rastësishme X i quajtur funksion F(x), duke u shprehur për secilin X probabiliteti që ndryshorja e rastësishme X do të marrë një vlerë më të vogël X:

.

Funksioni F(x) thirrur funksioni kumulativ i shpërndarjes ose ligji integral i shpërndarjes.

Metoda e specifikimit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme duke përdorur funksionin e shpërndarjes nuk është e vetmja. Është e nevojshme të përcaktohet një funksion që pasqyron probabilitetet që një pikë e rastësishme të bjerë në pjesë të ndryshme të gamës së vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme. Kjo është, për të siguruar një zëvendësim për probabilitetet p i për një ndryshore të rastësishme diskrete në rastin e vazhdueshëm.

Ky funksion është funksioni i densitetit të probabilitetit. Dendësia e probabilitetit (dendësia e shpërndarjes, funksioni diferencial) ndryshore e rastësishme X i quajtur funksion f (x), që është derivati ​​i parë i funksionit të shpërndarjes kumulative.

Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme dhe vetitë e saj.

Shumë variabla të rastësishëm kanë të njëjtat pritshmëri matematikore, por vlera të ndryshme të mundshme. Prandaj, një pritshmëri matematikore nuk është e mjaftueshme për të karakterizuar një ndryshore të rastësishme.

Lërini të ardhurat X Dhe Y(në dollarë) të dy firmave jepen nga shpërndarjet:

Ndonjëherë është e përshtatshme të përdoret një formulë tjetër, e cila mund të merret nëse përdorim vetitë e pritshmërisë matematikore,

Dispersioni ekziston nëse seria (përkatësisht, integrali) konvergjon.

Numër jo negativ thirrur devijimi standard ndryshore e rastësishme X. Ka dimensionin e një ndryshoreje të rastësishme X dhe përcakton një interval standard të shpërndarjes rrënjë-mesatare katror, ​​simetrik në lidhje me pritshmërinë matematikore. Vlera nganjëherë quhet devijimi standard.

Ndryshorja e rastësishme quhet të përqendruar, Nëse . Ndryshorja e rastësishme quhet normalizuar(standarde) nëse .

Le të vazhdojmë shembullin. Le të llogarisim shpërndarjen e të ardhurave të dy firmave:

Duke krahasuar dispersionin, shohim se të ardhurat e kompanisë së dytë ndryshojnë më shumë se e para.

Vetitë e dispersionit.

1. Varianca e një vlere konstante është zero, d.m.th. , Nëse konstante. Kjo është e qartë, pasi një vlerë konstante ka një pritje matematikore të barabartë me një vlerë konstante, d.m.th. .

2. Shumëzues konstant C mund të nxirret nga shenja e dispersionit duke e kuadruar fillimisht atë.

Vërtet,

3. Varianca e shumës algjebrike të dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancës së tyre, d.m.th.

Shprehja quhet kovarianca e vlerave X dhe Y(shih temën 4, §2). Për ndryshoret e pavarura të rastësishme, kovarianca është zero, d.m.th.

Duke përdorur këtë barazi, ju mund të shtoni në listën e vetive të pritjes matematikore. Nëse variablat e rastësishëm X dhe Y janë të pavarur, atëherë pritshmëria matematikore e produktit është e barabartë me produktin e pritjeve matematikore, përkatësisht:

Nëse ndryshorja e rastësishme transformohet në mënyrë lineare, d.m.th. , Kjo

.

Shembull 1. Le të ndodhë n prova të pavarura, probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje A në secilën prej të cilave është konstante dhe e barabartë fq. Sa është varianca e numrit të ndodhive të një ngjarjeje? A në këto teste?

Zgjidhje. Le të jetë numri i ndodhjes së ngjarjes A në gjykimin e parë, është numri i dukurive të ngjarjes A në testin e dytë etj. Pastaj numri i përgjithshëm i dukurive të ngjarjes A V n testet e barabarta

Duke përdorur vetinë 3 të dispersionit, marrim

Këtu kemi përfituar nga fakti se , i= (shih shembujt 1 dhe 2, pika 3.3.1.).

Shembull 2. Le X - shuma e depozitës (në dollarë) në bankë jepet nga shpërndarja e probabilitetit

Gjeni shumën mesatare të depozitës dhe variancën.

Zgjidhje. Shuma mesatare e depozitës është e barabartë me pritshmërinë matematikore

Për të llogaritur variancën ne përdorim formulën

D(X) = 8196 – 7849,96 = 348,04.

Devijimi standard

Momente.

Për të marrë parasysh ndikimin në pritjet matematikore të atyre vlerave të mundshme të ndryshores së rastit X, të cilat janë të mëdha por kanë një probabilitet të ulët, këshillohet të merren parasysh pritshmëritë matematikore të një fuqie të plotë pozitive të një ndryshoreje të rastësishme.