Faqe 2

Grafikisht ligji i shpërndarjes vlerë diskrete jepet në formën e të ashtuquajturit shumëkëndësh të shpërndarjes.  

Paraqitja grafike e një serie shpërndarjeje (shih Fig. 5) quhet poligon i shpërndarjes.  

Për të karakterizuar ligjin e shpërndarjes, i ndërprerë ndryshore e rastësishme Shpesh përdoret një rresht (tabela) dhe një poligon i shpërndarjes.  

Për imazhin e tij në sistem drejtkëndor koordinatat, ndërtoni pika (Y Pi) (x - i Pa) dhe lidhni ato me segmente të drejtë. Shumëkëndëshi i shpërndarjes jep një paraqitje vizuale të përafërt të natyrës së shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme.  

Për qartësi, ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme mund të përshkruhet edhe grafikisht, për të cilën pikat (x/, p) ndërtohen në një sistem koordinativ drejtkëndor, dhe më pas lidhen me segmente vijash.  

M (xn; pn) (ps - - vlerat e mundshme Xt pi - probabilitetet përkatëse) dhe lidhini ato me segmente të drejta. Shifra që rezulton quhet poligon i shpërndarjes.  

Merrni parasysh shpërndarjen e probabilitetit të shumës së pikëve në zare. Shifrat e mëposhtme tregojnë poligonet e shpërndarjes për rastin e një, dy dhe tre kockave.  

Në këtë rast, në vend të një shumëkëndëshi të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme, ndërtohet një funksion i densitetit të shpërndarjes, i cili quhet funksioni i shpërndarjes diferenciale dhe paraqet ligjin e shpërndarjes diferenciale. Në teorinë e probabilitetit, dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme x (x Xr) kuptohet si kufiri i raportit të probabilitetit që vlera x të bjerë në intervalin (x, x - Ax) me Ax, kur Al; priret në zero. Përveç funksionit diferencial, funksioni i shpërndarjes integrale përdoret për të karakterizuar shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme, e cila shpesh quhet thjesht funksioni i shpërndarjes ose ligji integral shpërndarjet.  

Me këtë ndërtim, frekuencat relative të rënies në intervale do të jenë të barabarta me sipërfaqet e shiritave përkatës të histogramit, ashtu si probabilitetet janë të barabarta me sipërfaqet e atyre përkatëse. trapezoide lakuar Nëse shpërndarja teorike e pritur përputhet mirë me përvojën, atëherë me një n mjaftueshëm të madh dhe një zgjedhje të suksesshme intervalesh (YJ-I, y. Ndonjëherë, për hir të qartësisë së krahasimit, ndërtohet një poligon i shpërndarjes, i cili lidh në mënyrë sekuenciale pikat e mesit të bazat e sipërme të shiritave të histogramit.  

Dhënia e t kuptime të ndryshme nga 0 në i fitohen probabilitetet PQ, P RF - Pn, të cilat paraqiten në grafik. Jepet p; z11, ndërtoni një poligon të shpërndarjes së probabilitetit.  

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është çdo korrespondencë midis vlerave të tij të mundshme dhe probabiliteteve të tyre. Ligji mund të specifikohet në mënyrë tabelare (seritë e shpërndarjes), grafikisht (poligoni i shpërndarjes, etj.) dhe analitikisht.  

Gjetja e kurbës së shpërndarjes, me fjalë të tjera, vendosja e shpërndarjes së vetë ndryshores së rastësishme, bën të mundur studimin më të thellë të një fenomeni që nuk është plotësisht i shprehur nga një seri e caktuar e shpërndarjes. Duke vizatuar si lakoren e gjetur të shpërndarjes së nivelimit ashtu edhe poligonin e shpërndarjes të ndërtuar nga popullata e pjesshme, studiuesi mund të shohë qartë karakteristikat të qenësishme për fenomenin që studiohet. Në këtë mënyrë Analiza statistikore ndalon vëmendjen e studiuesit ndaj devijimeve të të dhënave të vëzhguara nga ndonjë ndryshim natyror i fenomenit, dhe studiuesi përballet me detyrën për të gjetur arsyet e këtyre devijimeve.  

Më pas, abshisat (në një shkallë) janë tërhequr nga mesi i intervaleve, që korrespondojnë me numrin e muajve me konsum në këtë interval. Skajet e këtyre abshisave janë të lidhura dhe kështu fitohet një shumëkëndësh, ose poligon i shpërndarjes.  

Pikat që japin një paraqitje grafike të ligjit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete mbi plan koordinativ vlerat e një sasie - probabiliteti i vlerave, të lidhura zakonisht me segmente të drejta dhe rezultati që rezulton quhet figura gjeometrike poligonin e shpërndarjes. Në Fig. 3 në tabelën 46 (si dhe në figurat 4 dhe 5) janë paraqitur poligonet e shpërndarjes.  

Përvoja është çdo zbatim i kushteve dhe veprimeve të caktuara në të cilat vërehet dukuria e rastësishme që studiohet. Eksperimentet mund të karakterizohen në mënyrë cilësore dhe sasiore. Një sasi e rastësishme është një sasi që, si rezultat i eksperimentit, mund të marrë një ose një vlerë tjetër dhe nuk dihet paraprakisht se cila.

Ndryshoret e rastësishme zakonisht shënohen (X,Y,Z) dhe vlerat përkatëse (x,y,z)

Diskrete janë variablat e rastësishëm që marrin vlera individuale të izoluara nga njëra-tjetra që mund të mbivlerësohen. Sasi të vazhdueshme vlerat e mundshme të të cilave mbushin vazhdimisht një diapazon të caktuar. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme është çdo lidhje që vendos një lidhje midis vlerave të mundshme të ndryshoreve të rastit dhe probabiliteteve përkatëse. Rreshti i shpërndarjes dhe shumëkëndëshi. Forma më e thjeshtë Ligji i shpërndarjes së një sasie diskrete është një seri shpërndarjeje. Interpretimi grafik i serisë së shpërndarjes është shumëkëndëshi i shpërndarjes.

Ju gjithashtu mund të gjeni informacionin për të cilin jeni të interesuar në motorin e kërkimit shkencor Otvety.Online. Përdorni formularin e kërkimit:

Më shumë për temën 13. Ndryshore diskrete e rastësishme. Shumëkëndëshi i shpërndarjes. Operacionet me ndryshore të rastësishme, shembull:

1. 13. Ndryshorja e rastësishme diskrete dhe ligji i shpërndarjes së saj. Shumëkëndëshi i shpërndarjes. Operacione me variabla të rastit. Shembull.
2. Koncepti i "ndryshores së rastësishme" dhe përshkrimi i tij. Ndryshorja e rastësishme diskrete dhe ligji (seri) i shpërndarjes së saj. Variabla të rastësishme të pavarura. Shembuj.
3. 14. Variablat e rastit, llojet e tyre. Ligji i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete (DRV). Metodat për ndërtimin e ndryshoreve të rastësishme (SV).
4. 16. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Karakteristikat numerike të një ndryshoreje të rastësishme diskrete: pritshmëria matematikore, dispersioni dhe devijimi standard.
5. Veprimet matematikore mbi variabla diskrete të rastësishme dhe shembuj të ndërtimit të ligjeve të shpërndarjes për KX, X"1, X + K, XV bazuar në shpërndarjet e dhëna të ndryshoreve të rastësishme të pavarura X dhe Y.
6. Koncepti i një ndryshoreje të rastësishme. Ligji i shpërndarjes së rasteve diskrete. sasive. Veprime matematikore në mënyrë të rastësishme. sasive.

Problemi 14. Në llotarinë e parave të gatshme luhen 1 fitore prej 1,000,000 rubla, 10 fitore nga 100,000 rubla. dhe 100 fitore nga 1000 rubla secila. në numri total 10,000 bileta Gjeni ligjin e shpërndarjes së fitimeve të rastësishme X për pronarin e një bilete llotarie.

Zgjidhje. Vlerat e mundshme për X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 = 1000000. Probabilitetet e tyre janë përkatësisht të barabarta: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Prandaj, ligji i shpërndarjes së fitimeve X mund të jepet nga tabela e mëposhtme:

Ndërtoni një poligon të shpërndarjes.

Zgjidhje. Le të ndërtojmë një sistem koordinativ drejtkëndor dhe do të vizatojmë vlerat e mundshme përgjatë boshtit të abshisave x i, dhe përgjatë boshtit të ordinatave - probabilitetet përkatëse p i. Le të vizatojmë pikat M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6; 0.4) dhe M 4 (8; 0.3). Duke i lidhur këto pika me segmente drejtvizore, fitojmë poligonin e dëshiruar të shpërndarjes.

§2. Karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit

Një ndryshore e rastësishme karakterizohet plotësisht nga ligji i shpërndarjes së saj. Një përshkrim mesatar i një ndryshoreje të rastësishme mund të merret duke përdorur karakteristikat e saj numerike

2.1. Vlera e pritshme. Dispersion.

Lëreni një ndryshore të rastësishme të marrë vlerat me probabilitete në përputhje me rrethanat.

Përkufizimi. Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të saj të mundshme dhe probabiliteteve përkatëse:

.

Vetitë pritje matematikore.

Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme rreth vlerës mesatare karakterizohet nga dispersioni dhe mesatarja devijimi standard.

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme është pritshmëria matematikore e devijimit në katror të një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore:

Përdoret për llogaritjet formulën e mëposhtme

Vetitë e dispersionit.

2. , ku janë variabla të rastësishme të pavarura reciprokisht.

3. Devijimi standard .

Problemi 16. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme Z = X+ 2Y, nëse dihen pritshmëritë matematikore të variablave të rastësishëm X Dhe Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.

Zgjidhje. Ne përdorim vetitë e pritjes matematikore. Pastaj marrim:

M(X+ 2Y)= M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Problemi 17. Varianca e një ndryshoreje të rastësishme Xështë e barabartë me 3. Gjeni variancën e ndryshoreve të rastit: a) –3 X; b) 4 X + 3.

Zgjidhje. Le të zbatojmë vetitë 3, 4 dhe 2 të dispersionit. Ne kemi:

A) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X+ 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

Problemi 18. Jepet një ndryshore e pavarur e rastësishme Y– numri i pikëve të marra gjatë hedhjes së një kërmale. Gjeni ligjin e shpërndarjes, pritjet matematikore, dispersionin dhe devijimin standard të një ndryshoreje të rastësishme Y.

Zgjidhje. Tabela e shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme Y ka formën:

Pastaj M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

D(Y) = (1 – 3,5) 2 1/6 +(2 – 3,5) 2 /6 + (3 – 3,5) 2 1/6 + (4 – 3,5) 2 / 6 +(5 – –3,5) 2 1/6 + (6 – 3,5) 2. 1/6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.

Variablat e rastësishëm: diskrete dhe të vazhdueshme.

Gjatë kryerjes së një eksperimenti stokastik, formohet një hapësirë ​​e ngjarjeve elementare - rezultatet e mundshme të këtij eksperimenti. Besohet se mbi këtë hapësirë ​​të ngjarjeve elementare jepet vlerë e rastësishme X, nëse jepet një ligj (rregull) sipas të cilit çdo ngjarje elementare shoqërohet me një numër. Kështu, ndryshorja e rastësishme X mund të konsiderohet si një funksion i përcaktuar në hapësirën e ngjarjeve elementare.

■ Ndryshore e rastësishme- një sasi që gjatë çdo prove merr një ose një vlerë numerike (nuk dihet paraprakisht cila), në varësi të arsyeve të rastësishme që nuk mund të merren parasysh paraprakisht. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin, dhe vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme shënohen me shkronja të vogla. Pra, kur hedhin zare ndodh një ngjarje e lidhur me numrin x, ku x është numri i pikave të tërhequra. Numri i pikëve është një ndryshore e rastësishme, dhe numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6 janë vlera të mundshme të kësaj vlere. Distanca që do të përshkojë një predhë kur gjuhet nga një armë është gjithashtu një ndryshore e rastësishme (në varësi të instalimit të pamjes, fuqisë dhe drejtimit të erës, temperaturës dhe faktorëve të tjerë), dhe vlerat e mundshme të kësaj vlere i përkasin në një interval të caktuar (a; b).

■ Ndryshore diskrete e rastësishme– një ndryshore e rastësishme që merr vlera të mundshme të veçanta, të izoluara me probabilitete të caktuara. Numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të jetë i fundëm ose i pafund.

■ Variabli i rastësishëm i vazhdueshëm– një ndryshore e rastësishme që mund të marrë të gjitha vlerat nga një interval i kufizuar ose i pafund. Numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i pafund.

Për shembull, numri i pikëve të hedhura gjatë hedhjes së një zari, rezultati për një test janë variabla diskrete të rastësishme; distanca që fluturon një predhë kur gjuan nga një armë, gabimi i matjes së treguesit të kohës për të zotëruar materialin arsimor, lartësia dhe pesha e një personi janë variabla të rastësishme të vazhdueshme.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme- korrespodenca midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve të tyre, d.m.th. Çdo vlerë e mundshme x i shoqërohet me probabilitetin p i me të cilin ndryshorja e rastësishme mund ta marrë këtë vlerë. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme mund të specifikohet në mënyrë tabelare (në formën e një tabele), në mënyrë analitike (në formën e një formule) dhe grafikisht.

Le të marrë një ndryshore diskrete e rastësishme X vlera x 1 , x 2 , ..., x n me probabilitete p 1 , p 2 , …, p n përkatësisht, d.m.th. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Kur specifikoni ligjin e shpërndarjes së kësaj sasie në një tabelë, rreshti i parë i tabelës përmban vlerat e mundshme x 1 , x 2 , ..., x n, dhe rreshti i dytë përmban probabilitetet e tyre

Si rezultat i testit, ndryshorja diskrete e rastësishme X merr një dhe vetëm një nga vlerat e mundshme, prandaj ngjarjet X=x 1 , X=x 2 , ..., X=x n formojnë një grup të plotë në çifte. ngjarje të papajtueshme, dhe, prandaj, shuma e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve është e barabartë me një, d.m.th. p 1 + p 2 +… + p n =1.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Shumëkëndëshi i shpërndarjes (poligoni).

Siç e dini, një ndryshore e rastësishme është një variabël që mund të marrë vlera të caktuara në varësi të rastit. Variablat e rastësishëm tregojnë me shkronja të mëdha Alfabeti latin (X, Y, Z), dhe kuptimet e tyre - me shkronjat e vogla përkatëse (x, y, z). Variablat e rastësishëm ndahen në të ndërprerë (diskrete) dhe të vazhdueshme.

Një ndryshore e rastësishme diskrete është një ndryshore e rastësishme që merr vetëm një grup vlerash të fundme ose të pafundme (të numërueshme) me probabilitete të caktuara jo zero.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskreteështë një funksion që lidh vlerat e një ndryshoreje të rastësishme me probabilitetet e tyre përkatëse. Ligji i shpërndarjes mund të specifikohet në një nga mënyrat e mëposhtme.

1. Ligji i shpërndarjes mund të jepet nga tabela:

ku λ>0, k = 0, 1, 2, … .

c) duke përdorur funksionin e shpërndarjes F(x), i cili përcakton për secilën vlerë x probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël se x, d.m.th. F(x) = P(X< x).

Vetitë e funksionit F(x)

3. Ligji i shpërndarjes mund të specifikohet grafikisht - nga një poligon (poligoni) i shpërndarjes (shih detyrën 3).

Vini re se për të zgjidhur disa probleme nuk është e nevojshme të njihni ligjin e shpërndarjes. Në disa raste, mjafton të njohësh një ose disa numra që pasqyrojnë tiparet më të rëndësishme të ligjit të shpërndarjes. Ky mund të jetë një numër që ka kuptimin e "vlerës mesatare" të një ndryshoreje të rastësishme, ose një numër që tregon madhësinë mesatare të devijimit të një ndryshoreje të rastësishme nga vlera e saj mesatare. Numrat e këtij lloji quhen karakteristika numerike të një ndryshoreje të rastësishme.

Karakteristikat themelore numerike të një ndryshoreje të rastësishme diskrete:

• Pritshmëria matematikore (vlera mesatare) e një ndryshoreje të rastësishme diskrete M(X)=Σ x i p i .
  Për shpërndarja binomiale M(X)=np, për shpërndarjen Poisson M(X)=λ
• Shpërndarja e një ndryshoreje diskrete të rastësishme D(X)= M 2 ose D(X) = M(X 2)- 2. Diferenca X–M(X) quhet devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore.
  Për shpërndarjen binomiale D(X)=npq, për shpërndarjen Poisson D(X)=λ
• Devijimi standard ( devijimi standard) σ(X)=√D(X).

· Për qartësinë e paraqitjes së serisë së variacioneve rëndësi të madhe keni atë imazhe grafike. Grafikisht, një seri variacionesh mund të përshkruhet si një poligon, histogram dhe kumulim.

· Një shumëkëndësh shpërndarjeje (fjalë për fjalë një shumëkëndësh shpërndarjeje) quhet një vijë e thyer, e cila është e ndërtuar në një sistem koordinativ drejtkëndor. Vlera e atributit vizatohet në abshisë, frekuencat përkatëse (ose frekuencat relative) - në ordinatë. Pikat (ose) lidhen me segmente të drejtëza dhe fitohet një poligon i shpërndarjes. Më shpesh, poligonet përdoren për të përshkruar diskrete seri variacionesh, por ato mund të përdoren edhe për seri intervali. Në këtë rast, pikat që korrespondojnë me pikat e mesit të këtyre intervaleve vizatohen në boshtin e abshisave.

Vlera e rastësishme është një sasi që, si rezultat i eksperimentit, merr një vlerë të panjohur më parë.

Numri i studentëve të pranishëm në leksion.

Numri i shtëpive të vëna në punë në muajin aktual.

Temperatura e ambientit.

Pesha e një fragmenti të një predhe shpërthyese.

Variablat e rastësishëm ndahen në diskrete dhe të vazhdueshme.

Diskret (i pandërprerë) quhet një ndryshore e rastësishme që merr vlera të veçanta, të izoluara nga njëra-tjetra, me probabilitete të caktuara.

Numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të jetë i fundëm ose i numërueshëm.

E vazhdueshme quhet një ndryshore e rastësishme që mund të marrë çdo vlerë nga një interval i fundëm ose i pafund.

Natyrisht, numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i pafund.

Në shembujt e dhënë: 1 dhe 2 janë variabla të rastësishme diskrete, 3 dhe 4 janë variabla të rastësishme të vazhdueshme.

Në të ardhmen, në vend të fjalëve “ndryshore e rastësishme” shpesh do të përdorim shkurtesën c. V.

Si rregull, variablat e rastësishëm do të shënohen me shkronja të mëdha, dhe vlerat e tyre të mundshme me shkronja të vogla.

Në interpretimin teorik të grupeve të koncepteve bazë të teorisë së probabilitetit, ndryshorja e rastësishme X është funksion i një ngjarjeje elementare: X =φ(ω), ku ω është një ngjarje elementare që i përket hapësirës Ω (ω  Ω). Në këtë rast, bashkësia Ξ e vlerave të mundshme të c. V. X përbëhet nga të gjitha vlerat që merr funksioni φ(ω).

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme është çdo rregull (tabela, funksion) që ju lejon të gjeni probabilitetet e të gjitha llojeve të ngjarjeve të lidhura me një ndryshore të rastësishme (për shembull, probabiliteti që ajo të marrë një vlerë të caktuar ose të bjerë brenda një intervali të caktuar).

Format për specifikimin e ligjeve të shpërndarjes së ndryshoreve të rastit. Seritë e shpërndarjes.

Kjo është një tabelë në rreshtin e sipërm të së cilës të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme X janë renditur në rend rritës: x 1, x 2, ..., x n, dhe në vijën fundore - probabilitetet e këtyre vlerave: p 1, p 2, ..., p n, ku p i = Р(Х = x i ).

Meqenëse ngjarjet (X = x 1), (X = x 2), ... janë të papajtueshme dhe formojnë një grup të plotë, shuma e të gjitha probabiliteteve në vijën fundore të serisë së shpërndarjes është e barabartë me një

Seria e shpërndarjes përdoret për të specifikuar ligjin e shpërndarjes vetëm të ndryshoreve të rastësishme diskrete.

Shumëkëndëshi i shpërndarjes

Paraqitja grafike e një serie shpërndarjeje quhet poligon i shpërndarjes. Është ndërtuar kështu: për çdo vlerë të mundshme të c. V. rikthehet pingulja me boshtin x, mbi të cilin vizatohet probabiliteti vlerën e dhënë Me. V. Për qartësi (dhe vetëm për qartësi!), pikat që rezultojnë janë të lidhura me segmente të drejta.

Funksioni kumulativ i shpërndarjes (ose thjesht funksioni i shpërndarjes).

Ky është një funksion që, për secilën vlerë të argumentit x, është numerikisht i barabartë me probabilitetin që ndryshorja e rastësishme  të jetë më e vogël se vlera e argumentit x.

Funksioni i shpërndarjes shënohet me F(x): F(x) = P (X  x).

Tani mund të jepni më shumë përcaktim i saktë ndryshore e vazhdueshme e rastësishme: një ndryshore e rastësishme quhet e vazhdueshme nëse funksioni i shpërndarjes së saj është një funksion i vazhdueshëm, i diferencueshëm pjesë-pjesë me një derivat të vazhdueshëm.

Funksioni i shpërndarjes është forma më universale e specifikimit të c. v., e cila mund të përdoret për të specifikuar ligjet e shpërndarjes si për s diskrete ashtu edhe për ato të vazhdueshme. V.